libro Álgebra quinto

1

“COLEGIO CRISTO REDENTOR” BOLETÍN DE CIENCIAS

TEMA 1 : TEORÍA DE

EXPONENTES

Ec. Exponenciales: Son aquellas

ecuaciones donde la incógnita se

encuentra en el exponente.

1. PROPIEDADES

1.- Si: ax = an x = n ∀a > 0 ; a ¿ 1

2.- Si: xx = nn x = n

Observación

Si: a f(x) = bf(x) f(x) = 0

PROBLEMAS RESUELTOS

1.- Resuelve :

(3√2x+1)

5

= 32

Solución:

(2x+1)5

3

= 25 2x +1

3

= 21

x+13 =1 x = 2

2.- Resuelve :

227 x−1

= 482 x+3

Solución:

227 x−1

= (22)23 ( 2x+3 )

227 x−1

= (22)26x+9

27x-1=2x26x+9

27 x−1 = 26 x+10

7x - 1 = 6x + 10 x = 11

3.- Halla “x” si:

323 x−2 = 1

64

Solución:

(25 )3x−2

= 2−6 15x-10 = -6

15x=4 x =

415

4.- Si: 4x – 4 x-1 = 24 . Calcular (2x)x

Solución:

4 x−4

4

x

4 (4x )−4x

4

4x

(4−1 )4

4 x( 34 )= 24

4x= 32 22X = 25

x = 5/2

∴ (2.

52 )

52

= 542+1

2=52+1

2

= 52 . 5

12

= 25 . √5

5.- Halla xx si :

x-x1-x

=256

Solución :

( 1x )

x

xx=256 ( 1xx )(

1

xx )=44

=

1

xx = 4

xx = 14

Av. Juan Dellepiani 151 Teléfono 2642849

ÁLGEBRA

2


BLOQUE I

1. Reducir:

1. √45 + √80

2. 2√3 + 5√27 - √48

3. 2√75 a3 + √28a3

- √12a3

4.

23q √18

+

35q √50

-

13q √45

5. + 3√81

6. 33√40 +

3√135 - 3√625

7. 53√16a +

3√81a - 3√128a

8.

12

3√16m5

+

23

3√54m5

-

25

3√250m5

9.

13√27

+

34√48

- 3√648 +

12√12

+ 3√1029

10.

15√125

+

23√45

+

34

3√128 +

25

3√250 -

37√245

+

13

3√135

BLOQUE II

MANEJO DE CONCEPTOS

1. ¿En qué caso x0≠1?

2. ¿Es cierto que −a0=1 , para valores

de a distintos de cero? ¿Por qué?

3. ¿Para qué valores de a distintos de

cero, se cumple quea0≠1?

4. ¿Es cierto que ( x+ y )n=xn+ yn ,

para cualquier valor real de x y para cualquier valor entero de n ? Justifique.

5. Si el índice es par, ¿qué valores no puede tomar el radicando?

6. ¿Es cierto que

√−2√−2=√(−2)(−2)=√4=2,

por qué?

7. ¿Para qué valores reales de x , se

cumple la igualdad √ x2=x ?

8. ¿Siempre se cumple quen√a + b = n√a + n√a? Justifique.

9. ¿Es cierto que (6√ y )2= y

13

? Justifique.

HABILIDADES DE CÁLCULO

1. Simplifique:

−8+ [50+876 ]1−871−60

+ (−8 )0

2. Calcule:

−4−1 (−2 )2( 13 )

−3

3. Efectuar

a) (x−2 )3 x x6

b) (2 x4 y )(− y 4 )

c) (2 xy )2(3 xy 2 )0

d) (2 x2 y5 )(3 x5 y4 )3

e) (2 x2 y )3

f) (−x4 y5 z2 )3

g) (0 ,0012)3 )(0 ,0002 )5

4. Si una computadora puede hacer un cálculo en 0,000004 segundos, ¿cuánto tiempo en segundos, tarda la computadora en hacer 8 billones de cálculos?

5. Calcular:


3


a)

x3 y2

xy6

b)

−25 x4 w5

5 x2 w

c)

( x4 y )(3 x4 yz )6 x8 y2 z4

d)

(0 ,0005 )4

(0 ,005 )2

e)

(0 ,002)3 (0 ,01)8

(0,2 )2(0 ,001)3

f)(−5m2n3

6 p2 )( 2mn5

15 p3 )

g)( x3 )

2

h)( 5 x2

y )2

i)(−4 x2

5 )2

j)(−p5q3

p 7 q )3

6. Efectúe:

3n+3−3n+2

3n con n entero

7. Reduzca:

5 (4n−1)4n−2+22n−2

con n entero

8. Efectúe:

a2b2

c2÷[ a4b

c2÷a

3b2

c5 ]9. Simplifique:

[ (x3 y−4 )9

(x 4 y−3 )8 ]−6

÷[ (x−4 y3 )8

(x−3 y4 )9 ]−5

10. ¿Para que valor de a el resultado de

2a−3 25

16 es 64?11. La tierra se encuentra

aproximadamente a 93 000 000 millas del sol. ¿Cuánto tarda la luz del sol en llegarnos? Use como velocidad de la

luz: 1 ,86×105 millas/s.

12. Efectúe:

(0 ,01 )4 (0 ,0001 )3

(0 ,0000001 )2

13. Simplifica:

a) −5 y (2ay2 y4−3 y )

b) (3 x−4 y )(5 x+7 y )

c) ( x−2 y )( x2+2 xy+4 y2 )

d) ( x−3 )( x+4 )( x−5)14. Desarrollar:

a) (3 x−2)(3 x+2)

b) (ax− y )(ax+ y )

c) (3 x−2 y )2

d) [5−( x+ y )]2

e) ( x−2 y )3

15. Reduzca: √8−2√18+√32

16. Reduzca: 2√27−3√48+ 1

5√75

17. Simplifique: (√14613√1461−3 )417

18. Calcule la raíz cuadrada de

2512+36

12+16

14 +810 ,25

19. Efectúe: (0 ,25 )0,5 ( 0,5 )−2 (0,3 ) (0,1 )−1

20. Efectúe: [( 1

3 )−3

+( 25 )

−2

+( 411 )

−1]12

21. Determine la expresión equivalente

más simple de

3√ x2 3√x3 √x

22. Reduzca:( 3√√5√x0,5 )120


4


23. Calcule el valor de m en la siguiente

igualdad: √√xm√ xm+2=x3

24. ¿Cuál es el valor de a para que la siguiente proposición sea verdadera?

√7√ y 7√ y3= ya

BLOQUE III

1).- Resuelve: (√3x )3

= 9

a) 1/3 b) ¾ c) 4/3 d) 2 e) 1/2

2).- Si: m = xa

n = xb

x2 = (mb.na) c Entonces (a b c) vale:

a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2

3).- Halla “m” si:

7√ 516+5m

5m+52=5

4).- Indica “x”

3√9x+2 .4√27x+3=√3x+1 .

5√81x+4

5).- Resuelve:

53 x−2= ( 1

3 )3 x−2

6).- Resuelve:

( 17 )

x−5

= 11x−5

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

7).- Resuelve:

238x

= 512

8).- Resuelve:

335 x+1

= 279x+3

a) 2 b) 4 c) 10 d) 15 e) 22

9).- Halla “x” si: (25 )

3 x−6

= 254

a) ¾ b) 4/3 c) 1/2

d) 1/6 e) 2/9

10).- Resuelve: x√ x = 4√2

a) 2 b) 4 c) 8 d) 16 e) √2

11).- Calcula “x” si:

12532x−11

=21−x

√52x−9

12).- Resuelve:

27x . 81x = 3x+10 . 9x+11

13).- Halla “x” si: (125

8 )x+2

= ( 425 ) 2−x

14).- Si: 2x+2x+2+2x+3 = 208

Halla “x”

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

15).- Calcula “x”

4x−4+4 x−3+4x−1 = 276

a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1

16).- Calcula “x” :

74 x

343= ( 1

7 )2 x−9

17).- Calcula: (n√ 4√9n+1√31+n

3√3−n )2

a) 9 b) 27 c) 18 d) 1 e) 1/3

18).- Indica el exponente luego de reducir :

E = √ x÷√ x÷√ x÷√ xa) 5/8 b) 5/16 c) 3/8


5


d) 3/17 e) 3/16

19).- Resuelve: x√ x = 9√3

a) 3 b) 27 c) 9 d) 18 e) N.A.

20).- Resuelve: x√ 1x = 42−1

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e)16

21).- Resuelve:

( 2

3 )x−2

( 94 )

3 x−1

= ( 827 )

−5 x+2

a) 2 b) 3/5 c) 2/3

d) 5/3 e) 1/5

22).-Halla “x”.

Si: 323 x−2= 1

64

23).- Si:4x - 4x - 1 = 24. Calcular: (2x) x

24).- Calcula:

E =

4√ x2 3√ x2

5√ x3

25).- Reduce:

3√ x2 y 4√x2 y3 √ x4 y2

a) x b) xy2/3 c) y

d) xy5/3 e)y2/3

26).- Efectúa:

E = 7( 1

2 )−1

+( 113 )(−

12 )

−1

+( 15 )(

− 13 )−1

a) 49 b) 7 c) 343

d) 21 e)8

27).- Calcula:

2x+3+2x+2−2x+1

2x+2+2x

a) 2 b) 4 c) 0,5

d) 0,25 e) 8

28).- Reduce:

√√ .. .√22x−1

⏟( x−3 ) radicales

a) 2 b) 4 c) 8

d) 16 e) 32

29).- Efectúa:

3√ x2 4√ x3

5√ x4⋅3√4√5√x

a) x–1 b) x–2 c) x1

d) x2 e) √ x

30).- Evalúa:

2−16−1

⋅√4 √16 √32√12831).- Simplifica:

M=2n√ (80 )n+ (16 )n

(20 )n+( 4 )n

32).- Efectúa:

E = (716 )2

10

−73210

−7214

+7250

a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 5

33).- Efectúa:

E = (5256 )2

22

−(5213

)217

a) 3 b) 0 c) 2

d) 1 e) N.A.


6


34).- Efectúa:

E = (79x +2

)27x−2

−(733 x+5

)32 x−7

a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) N.A.

35).- Reduce:

E=[ x23−16n8

√x √x √ x ]15√x .15√x .. . ..

15√x⏞(30n+45 ) veces

a) 40 b) x5 c) 50

d) x6 e) x5

36).- Simplifica:

n−2√ 32 n+5 − 9(32n+1 )24(3n+ 4 )

TEMA 02: POLINOMIOS

La expresión que enlaza variables y/o constante mediante un numero finito de adiciones, sustracciones, multiplicaciones, divisiones, potenciaciones, y/o radicales, y donde los exponentes e índices son constantes; se llama expresión algebraica. La representación simbólica que nos permite reconocer quienes son las variables de una expresión algebraica, se llama notación matemática.Ejm:

E(x) = x3-2x+

3

√x ; la variable es x

F(x;y) =

2xy+3 xy−1

;las variables son x e y.

G(x;y;z) =

x−1 y2+4 z23

√x2+√n ; las variables son

x,y,z.

En las siguientes expresiones algebraica:

P(x;y) = √2xy 3−3 xn y1/3+m2 .

Son variables x e y ; son constantes: ;

3 ; n ;

13 ; m2.

Las constantes que se representan con

símbolos literales se llaman parámetros. En

el ejemplo anterior, m y n son parámetros.

Las siguientes expresiones no son

algebraicas:

F(x) = 1-

1x+ 1

x2− 1

x3+. .. . .. ..

G(x) = x2 + 2x + 2x ; H(x;y) = 2x3 + logxy

- seny2

Termino Algebraico

La expresión algebraica que no admite las

operaciones de adición y/o sustracción

(entre sus variables), se llama termino

algebraico:

Ejm:

R(x;y) = -

3x2

y; s( x )=4ax1/2

T(x;y;z) =

xn+1

yz; U( x )=-5x 4

Son

términos algebraico.

En el siguiente termino algebraico:

T(x;y) =

5x3

y4, se tiene :

Son variables x e y

Es coeficiente: 5 ; y


7


Son exponentes: 3 , 4.

Términos semejantes

Dos o más términos algebraicos son

semejantes, si presentan las mismas

variables, coeficientes no nulos; y con

respecto a las variables, coeficientes no

nulos; y con respecto a las variables

comunes, iguales exponentes.

Ejm: Los términos algebraicos:

A(x;y) = 2x3y5 N(x;y) =

12x3 y5

son

semejantes

Los términos algebraicos:

M(x;y) = -

4 x3

y2∧N ( x )=2x3

y2

No son semejantes, pues no tienen las

mismas variables.

Valor Numérico (V.N.)

Si le asignamos valores a las variables de

una expresión algebraica y efectuaron las

operaciones que se indican, el número real

que se obtiene se llama valor numérico de

la expresión algebraica.

Por ejm el valor numérico de:

A(x;y) =

2xy+3 xy−1 cuando x = -2 ; y = 3,

es:

A(-2;3) =

2(−2 )(3)+3 (−2 )3−1

=−12−62

=9

A(-2;3) = -9

Polinomio

La expresión algebraica que no admite las

operaciones de división y sustracción (para

las variables son enteros positivos, se

llama polinomio. Ejm:

P(x;y) = x2 + xy + y2

Se lee “polinomio P de variables x e y” o

simplemente de “P de x e y”.

Además podemos nombrar los polinomios

de acuerdo a la calidad de términos que

poseen:

P(x;y) = 3x2y4 : Monomio

P(x) = x2 - 2x : Binomio

Q(x;y) = 2x2 – xy + 3y2 : Trinomio

Q(x) = x3 - 3x2 + 11x - 6: Cuatrinomio o

simplemente polinomio de 4 términos.

Polinomio de una Variable

Generalmente se utiliza la letra “x” para

indicar la variable, donde el mayor

exponente de la variable es llamado el

grado del polinomio. Ejm:

P(x) = 3x – 2 : Polinomio de primer grado.

Q(x) = 3x2 – x + 2 : Polinomio de segundo

grado

F(x) = x3 - 2x + 1 : Polinomio de tercer

grado

G(x) = 5x4 - x2 + 7 : Polinomio de cuarto

grado


8


Polinomio Monico

Es aquel polinomio de una variable cuyo

coeficiente principal es uno.

Por ejemplo los polinomios:

P(x) = x3 + 2x2 - x4 + 3 ; G(x) = x5 + x4 +

2x6 + x3 - 5

son monicos.

PROBLEMAS

01.- Si: P(x-3) = (x-2)(x-4) + 1

Hallar: E =

02.- Sabiendo que: P(x-2) = 3x + 1

Calcular “x” para que: P(x+3) = 28

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5

e) 6

03.- Hallar el valor de “a” en:

P(a+1) - P(a-1) = 8

Si: P(x) = x2 – 2x + 3

a) 2 b) 3 c) 4 d) 8

e) 1

04.- Calcular P(2) del siguiente polinomio

mónico:

P(x) = (a-4)x5 – (a+1)x2 – (a-1)x + 3

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3

e) 4

05.- Dado el polinomio:

P(x) = (3mx-4m)2 + (3x-4)2m – x2 + 4

Hallar la suma de coeficientes, sabiendo

que el término independiente es 36 y m N

a) 3 b) 4 c) 7 d) 6

e) 5

06.- Calcular el coeficiente del término

principal del polinomio:

P(x) = (2a+3)x4 + (2a-1)x2 +ax – 5

Si la suma de sus coeficientes es 12.

a) 6 b) 9 c) 7 d) 11

e) 15

07.- Si:

T1 (x;y) =

T2 (x;y) = - 4

Son semejantes, calcular “m.n”

08.- Si los términos algebraicos:

T1 (x;y) =

T2 (x;y) =

Son semejantes, hallar T1 + T2

09.- Si : P(x) = x2 + 2x + 3

Q(x) = 3x – 5

R(x) = x – 4

Calcular : P(Q(R(6)))

a) 0 b) 4 c) 6 d) 7

e) 15

10.- Si: P(x) = 3x2 – 2x -1

Calcular: E =

a) 0 b) 1 c) 2 d) 7

e) 1/7

11.- Calcular a2 si:

F(x) = ax+b ; F(2) = F(-2) + 24


9


a) 16 b) 25 c) 36 d) 49

e) 81

12.- Sabiendo que: P(x+3) = 5x+8

P(Q(x)) = 10x+18

Calcular Q(P(2))

a) 3 b) 11 c) 9 d) 13

e) 7

13.- Si: P(x) + Q(x) = 5x + 3

P(x) – P(x) = 3x – 7

Hallar el valor de Q(P(1))

a) 2 b) 4 c) 5 d) 6

e) 7

14.- Calcular: P(1) + P(-1)

Si: P(x+1) = P(x) + 2x + 4

Además: P(0) = 2

a) 6 b) 0 c) 2 d) -2

e) 4

15.- SI: P(x) = . Además: P(P(x))

= y. Calcular el valor de:

E =

GRADOS

Grados es una característica propia de los

polinomios y está expresado por números

naturales.

Estudiaremos dos tipos de grados:

Grado Absoluto (G.A.) Grado Relativo (G.R.)

a) Para un polinomio de un solo término (Monomio)

Grado Absoluto (G.A.): Está dado por

la suma de los exponentes de sus

variables.

Grado Relativo (G.R.): Está dado por

el exponente de la variable referida.

Ejemplo:

G.A.: 4+5+2 = 11 ; G.R.(x) = 4 ; G.R.

(y) = 5 ; G.R.(z) = 2

b) Para polinomios de dos o más términos:Grado Absoluto (G.A.): Está dado por

el Mayor de los grados se sus

términos.

Grado Relativo (G.R.): Está dado por

el Mayor de los exponentes de la

variable referida.

Ejemplo:

Luego el grado absoluto (G.A.) del

polinomio es 16.

Además: G.R.(x) = 4

(Mayor exponente de x)


OPERACIÓN REGLA

Multiplicació

n

Se suma los grados de sus factores.

DivisiónSe resta el grado del dividendo con el

grado del divisor.

PotenciaciónSe multiplica el grado de la expresión

con el exponente de la potencia.

RadicaciónSe divide el grado de la expresión

entre el índice del radical.

10


G.R.(y) = 8

(Mayor exponente de y)

G.R.(z) = 5

(Mayor exponente de z)

Grado de las Operaciones Algebraicas

Ejemplos:

1) Sea:

Grado: 1 + 2 + 4 = 7º

2) Sea:

Grado: 8 – 3 = 5º

3) Sea:

Grado: (5)(3) = 15

4) Sea:

F(x;y) =

Grado: = 2

Ejemplo:

Hallar el valor de “n” para que la expresión

sea de tercer grado.

E =

Solución:

Aplicando grados en operaciones se tiene

que:

Grado (E) =

Por dato: 3 =

n = 4 ….. Respuesta

01.- Calcular (m/n) para que el monomio:

Tenga: GR(x) = 17 ; R(y) = 11

02.- Calcular (mn) si el monomio:

M (x;y) =

Tiene: GA = 20 y GR(x) – GR(y) = 4

a) 8 b) 12 c) 20 d) 32

e) 24

03.- Hallar el coeficiente del monomio:

si su G.A = 13 y GR(x) = 4

04.- Encontrar la suma de los coeficientes

si el polinomio:

P(x) =

Tiene grado 7.

05.- Dado el polinomio:

P(x;y) =

Hallar: , si el GA = 17 y el GR(x) =

6


11


06.- Si el grado del Monomio:

M ( x )=3√ 4√x3 a

√ xa

es igual a 5, calcular el valor de de √a+4

07.- Calcular el coeficiente del monomio:

si su GA = 12 y GR(x) – GR(y) = 11

08.- El monomio:

M (x )=3√(3 x )2 n .

5√(4 x )3 n7√(5x )5n

es de segundo grado hallar “n”

a) 85/12 b) 35/11 c) 12/35 d) 9

e) 7

09.- Encontrar el grado absoluto de:

E(x;y) =

a) 7 b) 6 c) 8 d) 4

e) NA

10.- Si el monomio:

tiene: GA = 7 y GR(x) = 4 , hallar (a+b)

a) 30 b) 32 c) 35 d) 29

e) 23

11.- Calcular (n-m) para que el polinomio:

P(x;y)=

Tenga: GA = 28 y GR(y) = 2

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4

e) 5

TEMA 03: POLINOMIOS

ESPECIALES

POLINOMIO HOMOGÉNEO

Es aquel polinomio que tiene todos sus términos del mismo grado. Por ejemplo, los polinomios:

P(x;y) = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 ;

Q(x) = ax3y2 + bx2y3 + cxy4 ; abc0 son homogéneos

POLINOMIO ORDENADO

Es aquel polinomio que esta ordenado con respecto variable llamada ordenatriz, donde los exponentes de la mencionada variable van aumentando o disminuyendo.

Ejm:

P(x;y) = 9x5y + 2x3y3 - 4x2y2 + 3y4

Es un polinomio ordenado en forma descendente respecto a la ordenatriz x.

POLINOMIO COMPLETO

Se dice que un polinomio es completo respecto a una de sus variables si posee todos los exponentes de la variable considerada, desde el mayor al exponente uno, inclusive el termino independiente (de la variable considerada).

Ejemplos:

P(x) = 5x3 - 3x2 + 6x - 2 ; es un polinomio completo y ordenado.

Q(x) = 5x3 - 3x2 + 6x - 2 , es un polinomio completo y ordenado.

P(x;y) = 11x4y - 3x3y2 + 4x2 - 10xy + y2,


12


es un polinomio completo y ordenado respecto a la variable x.

POLINOMIO IDÉNTICOS

Dos polinomios de las mismas variables son idénticos si tienen el mismo valor numérico para cualquier valor o valores asignados a sus variables. Ejm:

P(x) = (x+2)2, Q(x) = x2+4x+4 son polinomios idénticos, luego

denotamos: P(x) = Q(x)

P(x;y) = x3-y3 , Q(x;y) = (x-y)(x2+xy+y2) son polinomios idénticos.

Consecuencia:Los polinomios: P(x) = a0x3+a1x2+a2x+a3

Q(x) = b0x3+b1x2+b2x+b3

Son idénticos, si y solo si:a0 = b0 ; a1 = b1 ; a2 = b2 ; a3 = b3

NOTA:

Término Independiente: Es el término que no esta afectado de ninguna variable, se calcula haciendo x = 0 en el polinomio

T. I. = P(0)

Sumatoria de Coeficientes

Es la suma de los términos de un polinomio evaluado en x = 1

chef. = P(1)

Ejercicios

01.- Siendo el polinomio:

completo y ordenado ascendentemente, hallar “2a+b+c”

Solución:

Por ser completo y ordenado:El exponente del primer término debe ser igual a cero:

a – 1 = 0 a = 1

El exponente del siguiente término sería 1 a + b – 3 = 1 a + b = 4 1 + b = 4 b = 3

El último exponente valdrá 2: b – c = 2 3 – c = 2 c = 1

Piden: 2a+b-c = 2(1) + 3 – 1 = 4

02.- Si se cumple la siguiente identidad:4(2x-1) m(x+2) + n(x-2)

Hallar los valores de “m” y “n”

Solución:

Desarrollando:8x – 4 mx + 2m + nx – 2n8x – 4 (m+n)x + (2m-2n)

m+n = 82m–2n = 4 resolviendo el sistema : m = 3 ; n = 5

03.- Si el polinomio es completo y ordenado en forma decreciente: P(x;y) =

Hallar el valor de m+n

Solución:

Por ser completo y ordenado en forma decreciente, debe cumplirse: m – 4 = 1 m = 5 n + 1 = 2 n = 1

reemplazando: P(x;y) =

Piden: m+n = 5 + 1 = 6

04.- El polinomio dado es completo y ordenado en forma ascendente, dar el valor de: “p+q+b+c” P(x) =

Solución:

Por ser completo y ordenado en forma ascendente, debe cumplirse que:


13


q+2 = 0 q = -2 q+b+c = 1 -2+b+c = 1 b+c = 3

Reemplazando en el polinomio:

b-c+p = 2 p+q = 3Luego piden: p+q+b+c = 3 + 3 = 6

PROBLEMAS

01.- Calcular (m.n) si el polinomio:

P(x;y) = Es homogéneo.

a) 0 b) 2 c) 3 d) 6e) 12

02.- Hallar (m-n) si:

P(x;y) = Es homogeneo.

a) -2 b) -1 c) 0 d) 1e) 2

03.- Calcular: m+n+p si el siguiente polinomio:

P(x;y) =

Esta completo y ordenado en forma decreciente.

A) 6 b) 7 c) 8 d) 10e) 12

04.- Si:

Es completo y ordenado ascendentemente. Calcular “abcd”.

a) –12 b) 12 c) –6 d) 6e) –3

05.- Si el polinomio:

Es completo y ordenado en forma ascendente. Calcular “a+b+c”

a) 18 b) 32 c) 36 d) 68e) 92

06.- Si:P(x) (x - 2) (x + 1)x (x+1) (x+2)+1

Calcular su término independiente

07.- En el polinomio:P(x) (3x - 2)4 (x + 1)2 (x - 2) + 9

Calcular la suma de sus coeficientes

08.- Calcular la suma de coeficientes del polinomio:

Q(x,y) = nxn+5 + 3xnym + mxm+3 , si es

homogéneo.

09.- Si el polinomio:

P(x) = (a–4)x5 + 3x4 + ax5 – 4

Es idénticamente nulo, señalar (a+b)

10.- Calcular a + b + c; para que el polinomio:

P(x) 9xa-18 + 12xa-b+15 + 15xc-b+16

Sea completo y ordenado en forma descendente

11.- Si P(x) es completo y ordenado, hallar el valor de “b”

P(x) axb+a + xa+2 - x2a + 3xa + xa-1

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4e) 5

12.- Si se cumple la siguiente identidad del polinomio:

m(x-2) + n(x+1) 4x - 17calcular m + n

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4e) 5

13.- Calcular a + b + c; para que el polinomio:

P(x) 9xa-18 + 12xa-b+15 + 15xc-b+16


14


Sea completo y ordenado en forma descendente

a) 36 b) 54 c) 72 d) 84e) 96

14.- Si P(x) es completo y ordenado, hallar el valor de “b”

P(x) axb+a + xa+2 - x2a + 3xa + xa-

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4e) 5

15.- Si se cumple la siguiente identidad del polinomio:

m(x-2) + n(x+1) 4x - 17calcular m + n

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4e) 5

16.- Calcular: del siguiente polinomio completo y ordenado:

P(x;y) =

a) 5 b) 7 c) 9 d) 11e) 8

17.- Hallar la suma de los coeficientes del siguiente polinomio completo y ordenado:

P(x) =

a) 10 b) 11 c) 12 d) 13e) 14

18.- Calcular la relación entre “a” y “b” si:

a) 3a=2b b) 2a=3b c) a=b d) 2a=b e) a=2b

19.- Hallar “m.n” si:

mx(x+1) + n(x3-x+1) x(x+1)(x+2) + 1

a) 1 b) 2 c) 3 d) 6e) 10

20.- Hallar el número de términos del siguiente polinomio complete y ordenado:

P(x) = (n-10)xn-19 + (n-11)xn-18 + (n-12)xn-17 + ………

a) 9 b) 12 c) 18 d) 19e) 10

TEMA 4 : PRODUCTOS

NOTABLES

Son los resultados de la multiplicación que

se obtienen de polinomios, que tienen

características especiales y necesidad de

realizar la multiplicación.

PRINCIPALES PRODUCTOS

NOTABLES:

2.1.Binomio al Cuadrado:

a) (a b)2 = a2 2ab+b2

Nota: (a-b) 2 = (b-a) 2

2.1.1.Corolario : "Identidades de

Legendre"

b) (a+b)2 + (a-b)2 = 2(a2+b2)

c) (a+b)2 - (a-b)2 = 4ab

2.2.Diferencia de Cuadrados:

a) (a+b)(a-b) = a2-b2

2.3.Trinomio al Cuadrado:


15


a) (a+b+c)2 = a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca

2.4.Binomio al Cubo:

a) (a + b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3 = a3+b3+ 3ab(a + b)

b) (a -b)3 = a3-3a2b + 3ab2 - b3 = a3- b3-3ab(a-b)

2.5.Suma y Diferencia de Cubos:

a) (a+b)(a2-ab+b2) = a3+b3

b) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3

2.6.Trinomio al Cubo:

(a+b+c) 3 = a3+b3+c3+3a2(b+c)+3b2(c+a)+

3c2(a+b)+6abc

También:

(a+b+c) 3 = a3+b3+c3 + 3(a + b)(b + c)(c + a)

(a + b + c) 3 = 3(a+b+c) (a2+b2+c2) -

2(a3+b3+c3) + 6abc

(a + b + c) 3 = a3+b3+c3 + 3(a + b + c) (ab +

bc + ca) - 3abc

2.7.Producto de Binomios con un Término

Común:

(x+a)(x+b) = x2+(a+b)x+ab (Identidad

de Stevin)

(x+a)(x+b)(x+c) = x3+ (a + b + c)x2 +(ab +

bc + ca)x + abc

2.8.Identidad Trinómica (Argand):

(x2n+xnym+y2m) . (x2n-xnym+y2m) =

x4n+x2ny2m+y4m

Casos Particulares:

(x2+xy+y2)(x2-xy+y2) = x4+x2y2+y4

(x2+x+1)(x2-x+1) = x4+x2+1

2.9.Identidad de Lagrange:

(a2+b2)(x2+y2) = (ax+by) 2+(ay-bx) 2

(a2+b2+c2)(x2+y2+z2) = (ax+by+cz)2 +(ay-

bx)2+(bz-cy)2+(cx-az) 2

2.10.Identidades Adicionales:

½ (a+b+c)[(a–b)2+(a-c)2+(b-c)2] = a3+b3+c3–

3abc (Ident. Gauss)

a3+b3+c3-3abc = (a+b+c)(a2+b2+c2 -ab-ac-

bc) (Ident. Gauss)

a2+b2+c2-ab-ac-bc = 1/2{(a-b) 2 +(b-c) 2 + (c-

a) 2}

(a + b)(b + c)(c + a) + abc = (a + b + c) (ab

+ bc +ca)

2.11. Igualdades Condicionales:

Si: a + b + c = 0,

entonces se cumplen:

a) a3 + b3 + c3 = 3abc

b) a2 + b2 + c2 = -2(ab + bc + ca)

c) (ab) 2+(bc) 2+(ca) 2=(ab+bc+ca) 2

d) (a4 + b4 + c4) = (a2 + b2 + c2)2

e) a 2 +b 2 +c 2 . a 3 +b 3 +c 3 = a 5 +b 5 +c 5

2 3 5

f) a 2 +b 2 +c 2 . a 5 +b 5 +c 5 = a 7 +b 7 +c 7

2 5 7

NIVEL I :

1).- Reduce :

E=(x+2)3 - (x+3) (x+2) (x+1) – x

a) 1 b) 2 c) 3


16


d) 4 e) 5

2).- Reduce:

E = (a+b+c) (a-b+c)+(b+a-c)(b-a+c)

a) 2ab b) 4abc c) 4bc

d) 6ab e) 4ac

3).- Calcula “M”.

M=(a+b+ x )2+(a+b−x )2+( x+a−b)2+( x−a+b )2

Si: a2+b2+x2 = 16

a) 4 b) 8 c) 32 d) 64 e) 48

4) Simplifica :

S = n√2+√3 .

n√2−√3

5).- Reduce :

E=(a+b+c)2+(a+b-c)2+(a+b-d)(a+b+d)-3(a-

b)2+d2-2c2

a) 6ab b) ab c) d2+c2

d) 12ab e) 8abc

6)Reduce:

E=(x2+x+3)(x2+x+7)-(x2+x+2)(x2+x+8)

a) 9 b) 5 c) 4 d) 2 e) 6

7).- Reduce:

N=(a+b+c )( a+b+d )−(a+c+d )(b+c+d )− (a+b+c+d )( a+b−c−d )−cd

a) 2a b) 4ab c) 0

d) a2+c2 e) -ab

8).- Simplifica:

A=(a+2b+c )2+(a+b+2c )2−2(a+b+c )(a+2b+2c )−b2

a) a2 + b2 b) c2 c) 4a2

d) d2 e) c2+d2

9).- Reduce :

K=

( x+2 ) ( x+3 ) ( x+4 ) ( x+5 )− (x2+7 x+11)2

(x2+9x+19 )2− (x+3 ) ( x+5 ) ( x+6 ) (x+4 )

a) 1 b) 1/2 c) 0

d) –1 e) –1/2

10).- Si: x=√4+√15+√4−√15

Calcula: K= (x+2 ) ( x−2 ) (x4+x2+1 )

a) 666 b) 216 c) 512

d) 200 e) 375

11).- Efectúa :

√(3 x+2)2+(4 x+6 )2−(5 x+6 )2

a) 9 b) 2 c) 4 d) 2x+2 e) 6

12) Si : a + b = 2

ab = 3

Determina : a3 + b3

a) 20 b) 40 c) 10

d) -20 e) –10

13).- Efectúa :

(x-3)4–x(x-6)(x-4)(x-2)–10x(x-6)+9

a) 90 b) 72 c) 15

d) –72 e) -90

14) Si : x + x -1 = √5

Calcula : x 5 +x –5

a) 14 b)5√5 c) 16

d) 7 e) 5

15).- Reduce :( x+ y−z ) ( x− y−z )−( x−z )2

a) -y2 b) y2 c) z2

d) x2 e) -x2


17


16).- Reduce :

(2 x+3 )2− (2x+1 )2+(2 x−3 )2−(2 x−1 )2−16

a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 0

17).- Si : m = 1998 y n =

Calcula :

a) 9 b) 2 c) 4 d) 2x e) 6

18).- Si : a + b = √6

a b = 3

Halla : a6 + b6

a)25 b)24 c)23 d)26 e)22

19).- Si: x+x-1=5

Calcula : B= x

3+x−3−2x2+x−2+22

20).- Si : a + b + c = 20

a2 + b2 + c2 = 300

Calcula: E = (a+b)2+(a+c)2+(b+c)2

NIVEL II

1).- Si: a =√5 -√3 b =√2 -√5

c =√3 -√2

Calcula :

E=[ a2+b2+c2

ab+ac+bc ] .[ a2

bc+ b

2

ac+ c

2

ab ]a) 6 b) 2 c) 2/3

d) –6 e) 9√30

2) Reduce:

a) 1x b)-48x c)-38x

d) 4x e) –58x

3).- Si : ( xy )

n+( yx )

n=62

Calcula:E=3√ xn+ yn√xn yn

a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1

4).- Simplifica

M=( x+a+b)( x+a+c )−bc

x+a+b+c−a

5).- Si: x + y + z = 6

Calcula :

a) 60 b) 10 c) 40

d) 48 e) 51

6).- Simplifica :

G =

(2m5+3 )2+(2m5−3)2

4m10+9

a) 6 b) 5 c) 4 d) 2 e) 16

7).- Efectúa :

(x2+x+1)(x+1)(x–1)(x2–x+1)-x6

a) x + 1 b) -1 c) x-1

d) 1 e) x5

8).- Si : x2 + 3x - √2= 0


18


Calcula : x(x+1)(x+2)(x+3)-2√2

a) 2 b) 7 c) 0 d) 6 e) 73

9).- Si : x2+

1

x2=3

; x > 1.

calcula : V = x -

1x

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

10).- Si : (a + b)2 = 4ab, calcula:

a+1b+1

+b−1a−1

a) ab b) a + b c) a2 – b2

d) 1 e) 2

11).- Halla : E = a2

bc+ b

2

ac+ c

2

ab

Si :a + b + c = 0

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

12).-Efectúa: 4√4√1+3(22+1 )(24+1)(28+1 )

a) 3 b) 2 c) –5

d) –3 e) 1

13).- Simplifica :

E =2b2 + 2ab+√(a2+b2)2−(2ab )2

y calcula : √E

a) a + b b) (a + b)2

c) a – b d) ab e) a2 + b2

14).- Si: a=√2 -1; b=1-√3 ; c=√3 -√2

Calcula :

abc

3(a3+b3+c3 )

a) 1/3 b) 2/3 c) 1/9

d) 7/3 e) 1

15).- Si : y =√5+2√3

Calcula : E = (y+3)(y–3)(y2+9)–y4

a) 81 b) –81 c) -27

d) 9 e) -9

NIVEL III

01.- Si el desarrollo de: (2x2+1)2 + (3x2-1)2

es:

ax4 + bx3 + cx2 + dx + e , entonces

determine a+b.

a) 2 b) 13 c) 5 d) 7

e) 9

02.- Halle el valor de M+N

M =

N =

a) 0 b) 24 c) 16 d) 12 e) 32

03.- Calcule:

a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1

04.- Calcule:

E =

a) 1 b) 2 c) 3 ) 4 e) 5

05.- Simplifique:

E = (2x+1)(x+2) – (2x-1)(x-2)

a) 5x b) 10x c) x-1

d) x+1 e) 2x


19


06.- Si se cumple: x + y = 5

xy = 2

Determine: x – y

a) b) c) d) 2

e)

07.- Reduzca: (x+2)(x+1) – (x+5)(x-2)

a) 11 b) 12 c) 13 d) 4 e) 5

08.- Si se cumple:

x2 + y2 = 2xy

Determine: x – y + 5

a) 2 b) 3 c) 5 d) 6

e) 7

09.- Si: x – y = 4

xy = 1

Entonces: x2 + y2 es:

a) 18 b) 15 c) 16 d)

180 e) 2

10.- Si: m2 – n2 = 12 y m – n = 3

Entonces 2m es:

a) 3 b) 7 c) 8 d) 10

e) 12

11.- Dar los valores de verdad

I. (x+y)2 = x2 + y2

II. (x-y)2 = x2 + y2 – 2xy

III. (x-y)2 = (y-x)2

Para todo x , y R

12.- Simplique:

962 + 942 + 1 – 2(96)(94)

a) 1 b) 100 c) 5 d) 4 e) 9 999

13.- Calcule el valor de:

(3a+2b)2 + (2b-3a)2

Si: a2 = b2 = 3

a) 39 b) 78 c) 29 d) 25

e) NA

14.- Al efectuar: 2(x+4)(x-2) – (x+1)2 –

x(x+2)

se obtiene:

a) -15 b) -17 c) -14 d) -

20 e) -22

15.- Efectuar:

(x-2)4 – x(x-1)(x-3)(x-4) – 5(x-

2)2

a) -2 b) x2+x c) –x+1 d) 2

e) -4

16.- Si se cumple:


20


Calcular el valor de:

a) 0 b) 1 c) -1 d) 2

e) 3

17.- Sean a y b tal que: a2 + b2 = 1 y

ab = a+b

Calcular el valor de: (ab – 1)2

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4

e) 5

18.- Si:

; calcular:

a) 1/2 b) 5/2 c) 3/2 d)

7/2 e) -1/2

19.- Si: a+b = 3 ab = -1

Calcular el valor de: (a-b)2

a) 1 b) 7 c) 3 d) 5

e) 9

20.- Reducir:

E = (x+a)(x2+a2)(x4+a4)(x-a) +

a8

a) x4 b) x8 c) x8-a8 d) a8

e) –a8

NIVEL IV

01.- Efectuar:

E =(x + 2y)2 - (x - 2y)2 - 4xy

a) xy b) 3xy c) 4xy d)

6xy e) 9xy

02.- Reducir:

R = (a + b)2 - (a - b)2 + (a - 2b)2 - a2 -

4b2

a) a b) b c) 0 d)

2ab e) ab

03.- El valor de:

a) 6 b) 8 c) 10 d) 12

e) 14

04.- Luego de efectuar:

E = (x + 1)(x + 2) + (x + 3)(x + 4) - 2x(x

+ 5)

Se obtiene:

a) 15 b) 14 c) 13 d) 12

e) 11


21


05.- Efectuar:

(x-3)(x+2)(x-5)(x+4) – (x-2)2(x+1)2 +

22x(x-1)

a) 116 b) 115 c) 114 d)

120 e) 230

06.- Efectuar: M = (x + 2)2 + (x + 4)2 - 2(x +

3)2

a) 0 b) 2x c) 2 d) -1

e) 2x - 1

07.- A qué es igual: E = ; x

> 0

a) x + y b) x c) xy d) 0

e) x – y

08.- Efectuar:

R = ; x; y

R+

a) 4xy b) 4 c) 0 d) x

+ y e) 2x + 2y

09.- Efectuar: R =

a) 1 b) 2 c) d) 2

e)

10.- Efectuar:

S = (x + 6)2 - (x + 8) (x + 4)

+ 1

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4

e) 5

11.- Reducir:

E =

a) 1/2 b) 1 c) 2 d) 4

e) 1/4

12.- Si:

Calcular el valor de:

a) b) c) d)

e) 1

13.- Dada la expresión: (a + 2b)2 + (a-2b)2 =

8ab


22


hallar el valor de: M =

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4

e) 5

14.- Si: ; Calcular: x4 +

a) 34 b) 23 c) 79 d) 49

e) NA

15.- Simplificar:

(x2 + 5x + 5)2 - (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x +

4)

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3

e) 4

16.- Efectuar:

E = (2x + 5y)2 - (2x - 5y)2 - 36xy

a) xy b) 8xy c) 4xy d)

8xy e) 12xy

17.- Resolver:

M =

a) 40 b) 36 c) 60 d) 18

e) 72

18.- Hallar : ; Si:

a) 1 b) 3 c) 2 d) 6

e) NA

19.- Reducir:

E =

4√(a−1)( a2+a+1)(a3+1 )(a6+1)+1a) a b) a3 c) a2 d) –

a2 e) 1

20.- Si: x3 – y3 = m; x – y = n, entonces,

¿cuál es el valor de “xy”?

a) b) c) d)

e)

TEMA 05: DIVISIÓN


23


ALGEBRAICA

¡Se denomina así los polinomios que

intervienen en la operación son de una

variable y se encuentran ordenados en

forma decreciente; se conoce el dividendo

y el divisor ( °[D] °[d] ).

El objetivo es determinar el cociente (q) y el

residuo (R) de tal modo que verifique la

siguiente:

Identidad Fundamental

D(x) = d(x) q(x) + R(x) .............. ( I )

CLASIFICACIÓN

1.- Una división es exacta si y solo si:

R(x) = 0

En ( I ) :

D(x) = d(x).q(x)

Nota:

Si D(x) es divisible por d(x), esto se cumple

si y solo si: , es una división exacta.

2.- Una división es inexacta si y sólo si:

R(x) 0

En ( I ) :

D(x) = d(x).q(x) + R(x)

PROPIEDADES:

1) °[q] = °[D] – °[d]2) °[R] < °[d]

Max °[R] = °[d]

Ejemplo:

Luego: °[q] = 7 – 3 = 4

Max °[R] = = 3 – 1 = 2

Nota: El residuo como máximo es de grado

2, pero también puede ser de primer grado

o de grado cero (una constante).

1.- MÉTODO CLÁSICO

Q(x) = 3x2 – 2x + 2

R(x) = 10x – 11

2.- MÉTODO DE HORNER

Este método se basa en la división por

coeficientes separados. Los polinomios

dividendo y divisor se presentan en el

esquema como polinomios completos y

ordenados por lo general en forma

decreciente. Si faltase algún término para

que sean completos se colocará un cero.

Esquema:

Nota: El número de columnas que

presentan el resto es numéricamente igual


24


al grado el divisor contado de derecha a

izquierda.

Dividir:

Por Horner:

Luego: q(x) = 3x2 – x + 3 ; R(x) = 0

3.- MÉTODO DE RUFFINI

Se utiliza cuando el divisor es mónico y de

primer grado, así:

d(x) = x + b ; b 0

Esquema:

TEOREMA DEL RESTO

Finalidad: Tiene por finalidad hallar el resto

de una división sin efectuar dicha

operación.

Enunciado: En toda división de la forma

P(x) entre (ax+b), el resto se halla mediante

el valor numérico del polinomio P(x) cuando

x toma el valor de (–b/a)

Pasos a Seguir:

i.Se iguala el divisor a ceroii. Se despeja una variableiii. Se reemplaza el valor o equivalente de

esta variable en el dividendo cuantas veces sea necesario.

Ejemplo: Hallar el resto de dividir:

i. x+1 = 0

ii. x = – 1

iii. Reemplazando: R = 8(–1)2001 + 13(–1)2 +

1999

R = 2004

PROBLEMAS - HORNER

01.- Al efectuar la siguiente división:

Indicar su cociente:

a) x2+2x-3 b) x2-2x+3 c) x2+2x+3

d) x2+3x+2 e) x2-3x-2

02.- Indicar el cociente al dividir:

a) x2-2x-2 b) x2+2x+2 c) x2-2x+2

d) x2+3x+1 e) x2-3x+1

03.- En la siguiente división:

Deja como resto: 13x+3. Determinar: A/B

a) 1 b) 2 c) 3 d)

1/2 e) 1/3



25


Deja como resto: 4. Calcular:

a) 2 b) 4 c) 1/2 d)

1/4 e) 3

05.- Calcular “a+b+c” si la división:

es exacta

a) 0 b) 5 c) 10 d) 14

e) -10

06.- Al dividir:

se obtiene como resto: bx + c . Indicar el

valor de a+b+c

a) 1 b) -4 c) -2 d) -1

e) 2

07.- En la siguiente división exacta:

Determinar el cociente:

a) 2x2 + 3x + 4 b) 2x2 + 3x - 4 c)

2x2 - 3x - 4

d) 2x2 - 3x + 4 e) x2 + 3x - 4

08.- En la siguiente división exacta:

Calcular: (A+1)/B

a) 2 b) 1/2 c) 3 d)

1/3 e) 1

09.- 01.- Si la división:

2x4+3 x2−ax+bx2+x+3 es

exacta, halle 4√a+b

a) 2 b) c) 4 d) ½

e) 3

10.- Si la siguiente división:

ax3−bx 2+cx+bx2−x−2 es exacta, halle:

a+b+c2a


26


a) 0 b) 1 c) –1 d) –3

e) 5

11.- El cociente al dividir:

es:

a) 0 b) x c) 2x-1 d)

2x+1 d) 2x+6

12.- Halle la suma del cociente más el resto

de la división:

a) x2+3x-6 b) 2x2+9x-3 c)

2x2+10x+1

d) x2+6 e) 2x2+5

13.- Hallar “m+n” si al dividir:

Se obtiene como resto a 5x+7

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3

e) 4

14.- De la división:

Obtener: m3+n3. Sabiendo que el resto de

dicha división es 4x

a) 214 b) 215 c) 216 d)

217 e) 218

15.- Dividir ( 4x3+3x-2) entre (2x2-3x+2) y

dar como respuesta la suma del cociente y

el residuo.

a) 8x-8 b) 10x+3 c) 2x+3 c)

10x-5 e) 10x-8

16.- Hallar el cociente de la siguiente

división:

a) x2+1 b) x2+3 c) x+3 d) -

10x+14 e) 10x-14

17.- Hallar el residuo de la división:


27


a) x2+1 b) 4x-6 c) -2 d) -8

d) 4x

18.- Al efectuar la siguiente división:

Indicar su cociente:

a) x2+2x+3 b) x2-2x+3 c) x2-2x-3 d)

x2+2x-3 e) x2+2x+4

PROBLEMAS - RUFFINI

01.- Halle el cociente de dividir:

a) x+1 b) x2-1 c) 8x2+1 d)

4x2+5x+1 e) 4x2-5x+1

02.- Efectúe las siguientes divisiones e

indique sus respectivas sumas de

coeficientes de los cocientes

respectivamente.

a)

b)

a) -3; 2 b) -1; 9 c) 2; 5 d) -1;

2 e) -1; -1

03.- Hallar el cociente al dividir:

a) 3x2 - 4x – 7 b) 3x2 + 4x – 7 c)

3x2 – 4x + 7

d) 3x + 4x + 7 e) N.A.

04.- Al dividir, su cociente es:

a) 2x3 + 1 b) 2x 3 + x + 1 c)

2x3 – 1

d) 2x3 – x + 1 e) N.A.

05.- Hallar el término lineal del cociente:

a) 20 b) 20x c) 18x d)

15x2 e) 6x

06.- Al dividir:


28


Indicar el cociente, señalar el coeficiente

del término cuadrático.

a) 1 b) 12 c) 3 d) 4

e) 13

07.- Hallar la suma de coeficientes del

cociente de dividir:

a) 10 b) 12 c) 13 d) 20

e) 23

08.- Hallar la suma de coeficientes del

cociente y el residuo al dividir:

a) 18 b) 15 c) -15 d) -6

e) 6

09.- Halle “m” , si la división es exacta

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3

e) 4


Sabiendo que la suma de coeficientes del

cociente es 29, hallar el resto

a) 20 b) 21 c) 22 d) 23

e) 24

11.- Hallar el valor de “2m” en la división:

si es exacta

a) 2 b) 1 c) 3 d) 4

e) 6

12.- Determinar la suma de coeficientes del

cociente que se obtiene al dividir:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4

e) 6

13.- Calcular “a” si el resto de la siguiente

división es el triple del coeficiente del

término central del cociente.


29


a) -8 b) -7 c) -6 d) -5

e) -4

14.- Hallar: “a” y “b” si:

P(x) = 4x5 – 2x3 + ax + b es divisible por:

Q(x) = 2x3 – 2x2 + 1 ; Indicar : a.b

a) 2 b) 6 c) -2 d) -6

e) 4

15.- Al dividir:

Se obtuvo como resto: 3m-10. Determinar

“m”.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4

e) 5

PROBLEMAS - TEOREMA DEL RESTO

01.- Hallar el resto al dividir:

a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) N.A.


a) -11 b) -12 c) -13 d)

-14 e) N.A.


a) 7x – 9 b) 7x + 10 c) 7x +

9 d) 7x – 10 e) N.A.

04.- Dividir por Ruffini y dar el resto:

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7

e) 8


a) 2 b) 3 c) 4 d) 5

e) 6

06.- Halle el resto de dividir:

a) 8 b) 0 c) 10 d) 12

d) 16


30


TEMA 06: COCIENTES

NOTABLES

Cocientes Notables (CN) son resultados de

ciertas divisiones que por poseer

características especiales, se pueden

escribir directamente sin efectuar la

división.

PRIMER CASO (n: par o impar)

Ejemplo:

SEGUNDO CASO (n : impar)

Ejemplo:

TERCER CASO (n : par)

PROPIEDADES EN LOS COCIENTES

NOTABLES

01.- PROPIEDAD

Dado la siguiente división:

Será Cociente Notable, SOLO SI se cumple

que:


xn

−an

x−a=x

n−1

+xn−2

a+xn−3

a2

+. .. .. .+an−1

xn

+an

x +a=x

n−1

−xn−2

a+xn−3

a2

−. .. . ..+an−1

x5+a5

x+a=x4 -x3 a+x2a2 -xa3+a4

xm

±ap

xn

±aq

mn

=pq

= Nro . de Términos

31


02.- CÁLCULO DEL TÉRMINO DE LUGAR

“K”

Sea la división:

Donde: Tk representa cualquier término de

lugar “k” en el C.N.

Dicho Tk se calcula así:

“x” es el primer término del divisor.

“a” es el segundo término del divisor (sin

el signo).

“k” es el lugar que ocupa el término

buscado.

“n” es el exponente que indica el número

de términos del CN

PROBLEMAS

01.- Determine el coeficiente del tercer

término del siguiente C.N.

a) 512 b) 8 c) 32 d) 4

e) NA

02.- Determine el cuarto término del

siguiente C.N.

a) 6 b) c) 36 d) 12

d)

03.- Determine el valor de “n” en el

siguiente cociente notable:

a) 13 b) 23 c) 33 d) 18

e) 27

04.- Calcular la posición del término que

tiene por grado 59 en el C.N.

a) 9 b) 12 c) 14 d) 11

e) 13

05.- En el siguiente cociente notable:

Determine la posición del término en la cual

se cumple:

GR(x) = GR(y)

a) 1ero b) 3ero c) 5to d)

2do d) 4to

06.- Determine el valor de “a” en el



xm

±ap

xn

±aq

T k= (signo)xn-k

.ak−1

32


, si uno de los términos es:

x24y33

a) 12 b) 48 c) 60 d) 24

e) NA

07.- Calcular el número de términos del


; si uno de los términos es: x4y60

a) 12 b) 18 c) 24 d) 16

e) 20

08.- Determinar “a+b” en el cociente

notable.

; si se cumple: T3 . T4 = (x2y3)5

a) 10 b) 30 c) 50 d) 20

e) 40

09.- Determine el grado absoluto del 6to

término en el siguiente cociente:

a) 7 b) 15 c) 23 d) 11

e) 19

10.- Calcular:

a) 1/2 b) 1/4 c) 1/8 d)

1/3 d) 1/5

11.- Determinar el coeficiente del quinto

término del siguiente C.N.

a) 2 b) 16 c) 64 d) 8

e) 32

12.- Sea el cociente notable:

Si posee 5 términos indique : (a2+b)/a

a) 3 b) 5 c) 8 d) 2

e) NA

13.- Determinar el valor de “n” en el

siguiente cociente notable


33


a) 5 b) 7 c) 9 d) 6

e) 8

14.- Calcular la posición del término que

tiene por grado 45 en el C.N.

a) 10 b) 12 c) 14 d) 11

e) 13

15.- En el siguiente cociente notable:

Determine la posición término en la cual se

cumple: GR(x)=GR(m)

a) 1er. b) 3er. c) 5to d)

2do e) 4to

16.- Determine el valor de “a” en el


Si uno de los términos es x12y33

a) 12 b) 36 c) 60 d) 24

e) 48

17.- Determine “a+b” en el cociente

notable:

Si se cumple: T4 .

T5 = x44y35

a) 40 b) 70 c) 90 d) 50

e) 80

18.- Cuantos términos tiene el CN:

a) 4 b) 6 c) 8 d) 3

e) 2

19.- Indicar uno de los términos de:

a) 9xy20 b) 27x4y6 c) 9x8y36 d)

9x4y12 e) y30

20.- Indique el cuarto término de:

a) 25x6y6 b) a18 c) 5x3a12 d) a6

e) 25x3a6


34


TEMA 07:

FACTORIZACIÓN

Definición: es el proceso de transformación de un polinomio en una multiplicación indicada de factores primos sobre un determinado campo numérico.

En este capítulo veremos 2 casos iniciales

Método del Factor Común Método de las Indentidades

A.- Factor Común

Dado un polinomio se extrae el MCD de los

coeficientes, luego, la(s) variable(s)

común(es)

Ejemplos:

01.- Factorizar: ac + ad + bc + bd

Solución:

Agrupando de dos en dos


35


= (ac + ad) + (bc + bd)

= a(c+d) + b(c+d)

= (c+d)(a+b) ……. Rpta.

02.- Factorizar:

2x2 +2xc – 3bx – 3bc

Agrupando el primero con el segundo, y los

dos últimos:

= (2x2+2xc) – (3bx+3bc)

= 2x(x+c) – 3b(x+c)

= (x+c)(2x-3b) ………. Rpta.

03.- Factorizar:

Solución:

Factorizando el 5:

Por diferencia de cuadrados:

5 [ ]

5. …….. Rpta.

04.- Factorizar:

64x3 – (3x-1)3

Solución:

Dando la forma conveniente:

Por identidad:

[ 4x - (3x-1) ] . [ (4x)2 + 4x(3x-1) + (3x-1)2 ]

(x+1).(37x2-10x+1) ……. Rpta.

SEGUNDA PARTE

Utilizando los criterios:

- Aspa Simple- Aspa Doble- Divisores binomios

Ejemplo 1:

factorizar: 2x² + 5x + 2

Finalmente: 2x² + 5x + 2 = ( 2x+1 ) ( x+

2 )

Ejemplo 2:

Factorizar: 6x2 + 7xy – 3y2 + 11x –

11y – 10

El método del Aspa Doble se aplica

generalmente a polinomios de 6 términos

con 2 o 3 variables. Para efectuar las dos


36


primeras pruebas del aspa hay que

acomodar los términos del polinomio de un

modo conveniente.

Hasta aquí hemos aplicado dos veces la

prueba del aspa empleando cinco de los 6

términos. Para verificar si la

descomposiciones realizadas son las

correctas efectuamos una tercera prueba

del aspa con los EXTREMOS, es decir:

Si la suma de los resultados de multiplicar

en Aspa coincide con el término que “no se

uso” (subrayado) en el polinomio dado,

entonces tal polinomio está virtualmente

factorizado.

Finalmente :

El resultado de la factorización será:

6x² +7xy – 3y² +11x – 11y – 10 = ( 3x – y –

2 )( 2x + 3y + 5 )

Ejemplo 3:

Factorizar por Divisores Binomios

P(x) = x³ + 6x² + 11x + 6

Solución:

Como el polinomio es de tercer grado, tendrá 3 FACTORES.

Los divisores del término independiente son : 1 , 2 , 3 y 6 . Los probables valores que anulan al polinomio son: -1 , -2 , -3 y -6 Ya que los términos del polinomio son todos positivos.

Probemos dichos valores :Si x = -1 P(-1) = (-1)³ + 6(-1)² +

11(-1) + 6

P(-1) = 0

¡ Se anula !

Luego un factor es ( x+1 )

Si x = -2 P(-2) = (-2)³ + 6(-2)² + 11(-2)

+ 6

P(-2) = 0

¡ Se anula !

Luego otro factor es ( x+2 )

Si x = -3 P(-3) = (-3)³ + 6(-3)² + 11(-3)

+ 6


37


P(-3) = 0

¡ Se anula !

Luego otro factor es ( x+3 )

Ya encontramos los tres factores Entonces el polinomio será : P(x) =

(x+1)(x+2)(x+3)

PROBLEMAS

01.- Factorizar:

P(x,y) = x7y10 + 4x6y11 + 4x5y12

a) x5y10(x+2y)2 b) x5y10(x+y)2 c) x5y10(x-

2y)2 d) x5y10(x+2y)

e) x5y10(x+2)2

2.- Factorizar: P(x) = x2(x+5) + 6x(x+5) +

9x + 45

Indicando el factor primo que más se repite.

a) x+1 b) x+2 c) x+5 d)

x+3 e) x+9

03.- Factorizar: P(x) = x7(x+n) – 9x5(x+n)

La suma de factores primo es:

a) 4x b) 4x+n c) x5+3x+n d)

x+n e) x+n+4

04.- Factorizar: F(x,y,z) = y2 + xy + xz +

yz

Indicando la suma de factores primos.

a) 2x+y+z b) 2y+x+z c) 2z+x+y d)

x–y–z e) x+y-z

05.-Factorizar: P(x,y) = (36x2 – 25y2) (x2 –

4y2) (x4 – y4)

Indicando el número de factores primos.

a) 1 b) 2 c) 4 d) 6

e) 7

06.- Factorizar: F(a,b) = a6 – 729b6


a) 1 b) 2 c) 3 d) 4

e) 5


38


07.- Factorizar: P(x) = x22 – x2 – 10x – 25

Indicando un término de uno de los factores

primos.

a) x b) 2x c) 3x d) –

3x e) 5x

08.- Factorizar: P(x) = x8 – 20x4 + 64


a) 1 b) 2 c) 3 d) 4

e) 5

09.- Factorizar: P(x,y) = 9x4 – 85x2y2 +

36y4


a) 1 b) 2 c) 3 d) 4

e) 5

10.- Factorizar: P(x) = (x+2)4 – 10(x+2)2 +

9

Indicando un factor primo

a) x+5 b) x+6 c) x+7 d)

x+8 e) x+9

11.- Factorizar e indicar el factor primo que

más se repite.

P(x) = (x2-3) (x2-4)(x2-5) + (x2-3)(x2-

4) + 3 – x2

a) x2-3 b) x2-5 c) x2-4 d) x2-

1 e) x2-7

12.- Factorizar e indicar el número de

factores primos.

Q(x) = xm+6 + xm + x8 – x6 + x2 –

1

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4

e) 5

13.- Factorizar: F(a,b,c) = a(b-c)2 + b(c-

a)2 + c(a-b)2 + 9abc


a) 1 b) 2 c) 3 d) 4

e) 5


39


14.- Factorizar: P(x) = x6 - x4 + x - 1

Indicando un factor primo.

a) x3-x+1 b) x3+x+1 c) x3-x+2 d)

x3-x-2 e) x2+x+2

15.- Factorizar: F(x,y,z) = (x2+y2-z2)3 – x6 –

y6 + z6


a) 1 b) 2 c) 3 d) 4

e) 5

16.- Factorizar:

P(x,y,z) = (x2 + xz + z2)2 – x2y2 - y2z2 – x2z2

Indicando un factor primo cuadrático.

a) x2+z2 b) x2-z2 c) x2+xy+y2 d)

y2+z2 e) y2-z2

17.- Factorizar:

Q(x) = (x2+8)2 + 15x(x2+8) + 54x2

Indicando la suma de sus factores primos.

a) 4x b) 4x+15 c) 4x-15 d)

4x+12 e) 4x+10

18.- Factorizar indicando el factor primo

que más se repite:

P(a,b) = (a2+b2)2 – 3(a2+b2)ab –

10a2b2

a) a2+b2 b) (a+b) c) (a-b)2 d) a2-

b2 e) a2 + ab + b2

19.- Factorizar:

F(x,y) = (x+3y)2 (x2 + 6xy + 4y2)

+ 4y4


a) x+4y b) x+10y c) x+11y d)

x+16y e) N.A.

20.- Factorizar:

P(x) = x13 - 2x11 – 3x10 + 6x8 – 16x5 +

32x3 + 48x2 – 96

Indicando su factor primo.

a) x2+2 b) x2-2x+2 c) x2+2x+4 d) x2-

x+1 e) NA


40


21.- Factorizar:

P(x) = (x6-1)(x4-x2+1) -

3x2(x3+x2)(x-1)


a) x+1 b) x-10 c) x2+1 d)

x+8 e) x+17

22.- Factorizar:

P(x,y) = 12(x+3)(y+3)(x+y+3) +

x2y2

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

FACTORIZACIÓN II

01.- Factorizar:

R(x,y) = 6x2 – 13xy – 5y2 – 13x

+ 7y + 6

e indicar un factor primo.

a) 3x–y+2 b) 3x+y-2 c) 2x-5y+3 d)

2x+5y-3 e) 3x-y-2

02.- Luego de factorizar:

F(x,y) = 15x2 + 14xy + 3y2 +

41x + 23y + 14

Señale la suma de coeficientes de un factor

primo.

a) 2 b) 5 c) 10 d) –5 e) 3

03.- Luego factorizar:

A(x,y) = 21y2 - 3xy – 12 + 4x –

19y

Indique un factor.

a) x+7y+3 b) 3y+4 c) x-7y+2 d)

3y-4 e) x+3y-3

04.- Factorizar:

P(x) = x3 + x2 – 5x + 3



41


a) 3 b) 5 c) 2 d) 9

e) 11

05.- Factorizar:

F(x) = 16x3 – 20x2 – 8x + 3

Indicar el factor cuadrático de mayor suma

de coeficientes.

a) 8x2+2x-1 b) 4x2-4x-3 c) 8x2-14x+3

d) 8x2+2x+3 e) 16x2

06.- factorizar:

P(x) = x4 + 2x2 + 9

Proporcionar un factor.

a) x2+2x+11 b) x2+2x+2 c) x2+2x+3 d)

x2+2x+4 e) x2+2x+6

07.- Luego de factorizar: P(x) = x4 + 2x3 +

x2 – 4

Indicar (V) o falso(F)

I. Tiene 4 factores primos.II. Tiene 2 factores primos

lineales.III. La suma de coeficientes de un

factor primo es 4.

a) VVV b) VFV c) FVV d)

FFV e) FVF

08.- Factorizar: P(x) = 2x3 – 5x2 + x + 2

e indicar la suma de términos

independientes de sus factores primos.

a) 1 b) -2 c) 3 d) 4

e) NA

09.- Factorizar:

P(x) = x3 + 6x2 + 3x – 10

e indicar la suma de factores primos.

a) 3x+6 b) 3x-6 c) 3x+4 d)

3x-4 e) 3x+5

10.- Factorizar:

P(x) = 12x3 – 8x2 – x + 1

Dar como respuesta la suma de sus

factores primos.

a) 5x b) 7x+1 c) 7x-1 d)

2x-1 e) 3x+1

11.- Factorizar: P(x) = x4 + 4x + 3

e indicar el número de factores primos

lineales.

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4


42


12.- Luego de factorizar: E(x) = 2x4 + 3x3

+ 4x2 + x – 2

Indicar la suma de términos independientes

de sus factores primos.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4

e) 5

13.- Factorizar: P(x) = x3 – 2x2 – 5x + 6

Señalar la suma de factores primos.

a) 3x+1 b) 3x-1 c) 3x+2 d)

3x-2 e) 3x

14.- Factorizar:

P(x) = 4x3 + 4x2 – 7x + 2

Señalar la suma de factores primos.

a) 3x+1 b) 3x-1 c) 3x+2 d)

3x-4 e) 3x+3

15.- Indicar la suma de coeficientes de un

factor primo al factorizar:

Q(x) = 3x3 + (2x+1)2

a) 2 b) 3 c) 5 d) 6

e) 8

16.- Factorizar:

E(x) = x5 + 2x4 – x3 + 3x – 2

Dar como respuesta la suma de factores

primos cuadráticos.

a) 2x2 b) 2x2+1 c) 2x2-1 d) 2x2-

x+1 e) 2x2-x-1

17.- Luego de factorizar: P(x) = x5 + x4 + 1

Se obtiene un factor primo cuadrático. El

producto de sus coeficientes es:

a) –1 b) 2 c) -3 d) 1

e) 5

18.- Indicar la suma de los factores primos

mónicos obtenidos al factorizar:

P(x) = 2x4 + 7x3 + 4x2 – 7x – 6

a) 3x b) 3x+2 c) 2x+6 d) 2x

e) 5x+5

19.- Luego de factorizar: P(x) = 12x4 –

8x3 – 7x2 + 2x + 1

Indicar lo correcto:

I. Tiene 4 factores lineales.II. Tiene 2 factores primos

mónicos.III. La suma de coeficientes de un

factor es 4.


43


a) todas b) sóloI c) solo II d) I y II

e) I y III

20.- Luego de factorizar:

H(x) = x8 + 2x6 – x4 – 5x2 + 4

Indicar un factor

a) (x4+x2-4)b) (x4+x2-3)c) (x4+x2-2)d) (x4+2x2-1)e) (x4+x2+4)


libro Álgebra quinto

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