librodeintroducciónalgebra1

5/19/2018 librodeintroducci nalgebra1

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1. 1. La Historia de lgebra

2000 A.C. 300 A.C. 100 A.C.

Los babilonos

- Ecuaciones

(Completando cuadrado)

Egipcios : Usaban ideas

bsicas algebraicas para

hacer calculos :

agricultura, comercio etc.

Los griegos : Usaron

ideas de babilonios y

griegos

Aparece el libro "Los

Elementos" (Euclides)

Este se uso por ms

de 2000 aos en

accidente.

Los chinos :

- Resolvan ecuaciones

lineales y sistems de

ecuaciones usando

tcnicas modernas

matriciales

Hindes :

- Introdujeron el uso de

letras para representar

cantidades

- Resolvan ecuaciones

cbicas, curticas y ecuac.

lineales (5 incgnitas)

300 D.C. 628 D.C. 847 D.C.

Los griegos :

Diofanto escribe el libro

"Aritmetica"

Ej) : representaba el

cuadrado de una cantidad

: El cubo de una

cantidad

: La cuarta

potencia de una cantidad

*manej de exponentes

negativos.

Los hindes:

- Aparece el tratado

"Brahma Spnta

Siddhanta" qu

proporciona reglas

para resolver

ecuaciones lineales y

cuadrticas.

- Encuentran qu las

cuadrticas tienen 2

races.

En Uzbekistn

- Muhammad ibn musa

Al khuwarazmi escribi

el libro. "Kitab

al-mukhasar fi hisab

al-jabr wl muqabala" ( trataba sobre cculos

transposiciones y

reducciones)


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- 2 -

1072 D.C. 1454 D.C.

Persia (irk. Iran)

Omar Khayyan

escribe

"Demostracin y

problems de

Algebra"

(Usa ideas,

geomtricas para

deducir formulas

algebraicas)

Los trabajos de los hindes y los griegos llegaron a Europa :

Por medio de los rabes

- Cardano, Tartaglia, Ferrari, Bombelli

desarrollaron el Algebra de frma ms estructurada

Ej) Se encontraron formulas para resolver ecuaciones

cbicas

- Robert Record (Ingls) introdujo el uso del signo "=" en la

solucin de ecuaciones (sistematizo la notacion)

- Widmam introdujo los simboles "+", "-"

- William Oughtred (1631)

us la letra x para el signo de multiplicacin y para

representar incgnitas. tambin introdujo la notacin de sin, cos para seno,

coseno y uso el simbolo para representar el cociente

(c: d: )


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Gua 2000 A.C. 300 A.C. 100 A.C.

Los babilonos

-Ecuaciones

(_____________________ )

Egipcios : Usaban

ideas bsicas

algebraicas para

hacer calculos ,

__________________________

____________etc.

Los griegos :

Usaron ideas de

babilonios y griegos

Aparece "____________

_______________________

___" (Euclides) Este

libro se uso por ms

de 2000 aos en

accidente.

Los chinos

- Resolvan

________________________________ y sistems

de ecuaciones usando tcnicas modernas

matriciales

Hindes :

- Introdujeron el uso de ______________ para

representar cantidades

-Resolvan ____________________________,

curticas y ecuac. lineales.

300 D.C. 628 D.C. 847 D.C.

Los griegos :

Diofanto escribe el libro

"___________________________"

Ej) _____: representaba el

cuadrado de una cantidad

_____ : El cubo de una cantid

_____ : La cuarta potencia de

una cantidad

Los hindes:

- Aparece el tratado

"Brahma Spnta Siddhanta"

qu da regls para

resolver ecuaciones

lineales y cuadrticas.

- Encuentran qu las_______________________________

_______ .

En Uzbekistn

- Muhammad ibn

musa Al khuwarizmi

escribi el libro.

"Kitab al-mukhasarfi

hisab al-jabr wl

muqabala"

1072 D.C. 1454 D.C.

Persia (irk. Iran)

Omar Khayyan escribe

"____________________________

_______

_____________________________

_____

____________________"

(Usa ideas

geomtricas para

deducir frmulas

algebraicas)

Trabajos de hindes y griegos llegaron a Europa :

_________________________________________________________________________

__

- Cardano, Tartaglia, Ferrari, Bombelli desarrollaron el Algebra de forma ms estructurada

- Robert Record (Ingls) introdujo el uso del signo "_____" en la

solucin de ecuaciones.

- Widmam introdujo los simboles "_____", "_____"

- William Oughtred (1631)

us la letra x para el signo de multiplicacin y para

representar incgnitas.


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D

escanso

Ren Descartes

Es tambin conocido como Cartesius, que era

la forma latinizada en la cual escriba su

nombre, nombre del que deriva la palabra "

cartesiano".

Hizo famoso el clebre principio "cogito ergo

sum", ("pienso, luego existo"),

la otra en francs. En fsica est considerado

como el creador del mecanicismo, y en

matemtica, de la geometra analtica. Se lo

asocia con los ejes cartesianos en geometra, con

la iatromecnica y la fisiologa mecanicista en

medicina, con el principio de inercia en

elemento esencial del

racionalismo occidental, y

formul el conocido como

"Mtodo cartesiano", Sin

delmbargo "cogito" ya

existan formulaciones

anteriores, algunas tan exacta

a la suya como la de Gmez

Pereira (1554), y del Mtodo

consta la formulacin previa

que hizo Francisco Snchez

en 1576.

fsica, con el dualismo

filosfico (mente/cuerpo) y el

dualismo metafsico

(materia/espritu).

No obstante parte de susteoras han sido rebatidas

-teora del animal -mquina-

o incluso abandonadas-

teora de los vrtices-. Su

pensamiento pudo

aproximarse a la pintura de

Poussin por su estilo claro y

ordenado.

Todo ello con antecedentes en Agustn de

Hipona y Avicena, por lo que ya en su siglo

fue acusado de plagio, entre otros, por Pierre

Daniel Huet. El Escribi una parte de sus

obras en latn, que era la lengua internacional

del conocimiento y


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2. 1. Los Patrones, las Relaciones y las Funcionescomo Recurso para Introducir laRepresentaci

n Simb

lica de los N

meros.

Patrones y regularidades para deducir expresiones

- Nmeros figurados ( Los griegos los nombraron as)

Nmeros Cbicos

Figura

nmero depunto 1

8 = 27=

posicion 1 2 3 4

Expresion

Cul es nmero de puntos qu forman al cubo de la posicion n?

Cuntos puntos se ha usado si se construyo una secuencia de cubos desde hasta ?




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Fecha : / / 2014

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Sobre una recta construimos cuadrados como se indica

Calcular el rea del cuadrado 2014 (Denotando con el rea del n-simo cuadrado)

Ara

del

cuadrado

1

2

3

7

En general el rea del cuadrado n-simo es :


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Nmeros Triangulares

Denotemos por el nmero de puntos de




Cmo pasamos a partir de un tringulo al siguiente?

De a : agregamos 2 puntos.

De a : agregamos puntos.




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- 8 -

Deducir la suma de Gauss de las figuras

Que manera Gauss utilizo cuando el era nio?


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Otra Generalizacin ( Para recordar el teorema de Pitgoras)

A partir del segmento construimos el rectangulo tringulo en

con longitud .

A partir del segmento construimos el rectangulo tringulo en

con longitud .

Asi sucesivamente construimos una secuencia de tringulos rectngulos.

Encuntrese el cuadrado de la longitud del segmento ; es decir hllar

Calculamos los cuadrados de las longitudes

Cul es la longitud del segmento


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- 10 -

Generalizacin en frmulas de reas de polgonos

De modo anlogo se encuentra el rea de cualquier polgono de n lados.


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- 11 -

Gua Nmeros Cuadrados


Denotemos por el nmeros de puntos de

Cantos puntos agregamos para pasar de a ?

Expresar en trminos de ?

Para pasar de a : 3

Para pasar de a :

Para pasar de a :

Para pasar de a :

Para pasar de a :

Calcule

Podemos ver qu en el cuadrado n-simo hay puntos, lo cual tambin es la suma


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Fecha : / / 2014

- 12 -

Nmeros pentagonales

nmero de

Puntos1 5 12

1 1+4

Cuntos puntos hay en unpoligono de 2014 lados ?

Comparemos trminos consecutivos

y

: diferente en 4 puntos.

Comparemos trminos consecutivos y : diferente en puntos.




denota al nmero de puntos de


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Fecha : / / 2014

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Cuntos cudrados grises y cuntos blancos se necesitan para hacer la figura siguiente?

Cul es el rea de cada torre de cubos (incluida la base) a medida que las torres se

hacen ms altas? Como cambia el rea?

Se colocan chocolates y caramelos en cajas, alineados de manera que siempre quede un

caramelo rodeado por cuatro chocolates, tal como se muestra en las figuras. Busque un

mtodo para calcular el nmero de caramelos que irn en una caja de 1719. Explique y

justifique el mtodo mediante palabras, diagramas o expresiones.

Ramn y Julio se reparten una bolsa de caramelos con el siguiente procedimiento:

Ramn saca uno, Julio saca dos, Ramn saca tres, Julio saca cuatro, y asi sucesivamente;

cada uno en su turno saca uno ms que los que saco el otro en el turno anterior. Cuando

uno de ellos no puede cumplir la regla porque no hay sucientes caramelos, se lleva todo lo

que queda, y concluye la reparticion. Si Ramon saco en total 2009 caramelos, Cuntos

caramelos haba inicialmente en la bolsa?


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Fecha : / / 2014

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2. 2. El Uso de la Geometra Elemental para Introducirlas Propiedades Algebraicas de los N

meros Reales.

Generalizaci

n a partir de patrones n

mericos.


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1 1 1 2

2 1 2 1 4

3 1 1

4 1 1

5 1 1 32

n

Sumas de Cubos

Ejercicio Deducir una expresin para la suma


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Gua Si la suma de los cuadrados de dos nmeros es 34, y el producto es 15,

Cul es la suma de los nmeros ?

Encuentre todos los nmeros naturales cuya diferencia de cuadrados es igual a 39.

Hay seis asientos entre ellos hay sillas y taburetes. Las sillas tienen cuatro patas y los

taburetes tres. En total, hay veinte patas. Cuntas sillas y cuntos taburetes hay?

Cunto suman los ngulos interiores en un polgono de n lados? Queremos cercar con

alambre un jardn de forma cuadrada. Cunto alambre es necesario si el lado del jardin

mide 12m? Y si mide 7m, o 335m? Construya una tabla con los datos anteriores y aada otros.


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El coste de una ventana cuadrada depende de su tamao. El precio del cristal es de 5

dolares por y el marco 10 dolares por .

Cunto costar una ventana de 7dm de lado, de 1m y de 1.5m?

Construya una tabla, con los datos anteriores y otros qu elija, obteniendo el costo

segun la longitud del lado de la ventana.

Site los valores de la tabla anterior en una grafica cartesiana.

Conocida la longitud del lado, escriba una frmula que exprese el costo,

Suma aritmtica

Cul es el trmino 2014 de la se cuencia 1, 7, 13, 19, 25, 31, ?

Entonces la suma desde el r-simo trmino al 2014

Cul es el n-simo trmino?

Y la suma hasta el n-simo?

Considere la siguiente secuencia de nmeros

8, 98, 998, 9998, Encuentre la suma de los primeros 2014 trminos


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D

escanso

Hay 4 prisioneros ubicabos como en la figura

Tres estn separados por una pared que impide que vean al prisionero restante.

Hay 2 prisioneros con gorras blancas y 2 prisioneros con gorras negras.

Cada prisionero solo puede ver el color de la gorra de los prisioneros que tenga adelante de l, pero

no puede ver para atrs.

Puede cada prisionero averiguar el color de su gorra, sabiendo que hay 2 gorras blancas y 2 negras?


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3. 1. Representaci

n Geom

trica de

Expresiones Algebraicas (Cuadrado)

Desarollar y fatorizar


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La Politabla de dreyfous


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El uso dinmico de los smbolos matematicos abstracto.

Este tema, tiene como objetivo evidenciar las diferentes forms de expresar una frmula

matemtica. A continuacion se muestran pruebas visuales de identidades algebraicas:

`

=

La Suma de Cuadrados de Diofanto de Alejandra


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Gua Representar usando Algeblocks


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Se construye una piscina rectangular, como muestra la figura:

Exprese en funcin de el rea de la supercie de la piscina.

Exprese en funcin de el rea de los azulejos.

Desarrolle la expresin obtenida y pruebe que el rea de los azulejos es


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La siguiente figura est compuesta por un tringulo y un rectngulo, cuyas

longitudes estn expresadas en las mismas unidades, y .

Deduczca el rea de la figura en funcin de x.

Desarrolle la expresin del rea.

Factorice la expresin del

rea.

Encuentre el rea si


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Exprese el rea de las siguientes figuras de dos formas diferentes:


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una empresa construye estructuras predise

adas para Canchas y Pupuser

as. Si x representa el n

mero

de estructuras y los costos de produccin son: para las Pupuseras y

para Canchas. Cul es el costo total de produccin de la empresa?

Observa el siguiente plano de distribuci

n de una casa, la cual se proyecta en un terreno rectangular

De acuerdo con l, calcula la superficie que abarca la construccin, excepto el corredor y el bao


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3. 2. Representacin Geomtrica de

Expresiones Algebraicas (Cubos)


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Gua Representar usando reas o volumenes segn sea el caso.


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3. 3. Frmula

Gua sobre Jerarquia en Operaciones Artimticas Algebraicas


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Ejemplo

calcule sin calculadora

Ejercicios


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Gua Desarolle

Descomponga en factores


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Cul de estas formulas no representa a este cubo?


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- 33 -

Encuentre el volumen de este cubo

Hay un tringulo qu tiene lado . Supongamos qu tienen lasiguiente relacin

Que tipo de tringulo es?

Calcule sin calculadora


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- 34 -

Calcule

Si , Calcule =

Si

, Calcule

=

Simplifique


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- 35 -

D

escanso

Dnde se ve uno cuadrado?

Qu hora es en el tercer reloj?


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4. 1. Los Nmeros

Nmeros para contar, nmeros para medir

Nmeros para contar ; El nmero natural

Como ya se ha dicho, el hombre primitivo posea ya la idea del nmero qu llamamos

natural (1, 2, 3, 4, ), pero hasta la Edad de Bronce no aparecen sistemas de numeracin

potentes para manejar nmeros grandes y realizar, con soltura, operaciones entre ellos.

Nmeros para medir

El nmero fraccionario

Los egipcios, hacia el ao 2000 a, de C., comienzan a manejar, con acierto, algunas

fracciones sencillas tales como

Aparicin del nmero irracional

En el siglo a. de. C., los griegos pitagricos descubrieron con gran sorpresa qu,

adems del natural y el fraccionario, exist

a otro tipo de n

mero : el irracional.

Hasta entonces pensaban qu todo en el universo se rega por nmeros naturales y las

fracciones entre ellos (proporciones), pero se dieron cuenta de qu hay pares de

segmentos, como la diagonal y el lado de un pentgono regular o la diagonal y el lado de

un cuadrado, cuyo cociente de longitudes no es una fraccin.

Les pareci qu el caos se asomaba a su mundo y llamaron a tal relacin alogos o irracional.

El nmero negativo

Aunqu la solucin de educaciones algebraicas condujo, en el siglo cuandose les da un

sentido especial: lo negavivo en Geometra, indica un retroceso; lo posivivo un avance.

El difcil camino hacia los complejos

El nmero complejo fue el qu cero ms qubraderos de cabeza a los matamticos, pues su

fundamentacin moderna definitiva no lleg hasta mediados del siglo . En el ,

al tratar de resolver ecuaciones de segundo grado tales como y otras de


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grado mayor, se empezaron a encontrar expresiones como qu no sabian interpretar.

El cero

Notacin

Los smbolos

Signo de conjunto

Las letras maysculas denotan usualmente conjuntos y usaremos los smbolos usuales para

relacionar elementos a conjuntos:

:

: :

:

:


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Smbolos Lgicos

: (indica qu ocurre una cosa u otra)

Ej) Un nmero real es positivo o es negativo

Un nmero natural es par o impar

: (indica qu ocurren dos cosas a la vez)

Ej) Un nmero es positivo y es par

Smbolos usados en relaciones de orden

> :

< :

:

:

:

Ej) Un nmero es a lo sumo 100 :

Un nmero es por lo menos 25 :

Ejercicios

Encontrar una expresin algebraica que represente la situacin planteada

La suma de dos nmeros es 106 y el mayor excede al menor en 8

La suma de 2 nmeros es 540 y su diferencia es 32

Entre A y B tienen 1154 y B tiene 506 menos qu A

Dividir el 106 en 2 partes tales que el mayor supera al menor en 24.

A tiene 14 aos menos que B y ambas edades suman 56 aos


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Gua Llene y escriba los ejemplos

El nmero real

ej) ,

El nmero real

El nmero negativo

ej) 1, 2, 3, 100, 1000


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4. 2. Cantidades Positivas y Negativas

Positivas y negativasEn lgebra, cuando se estudian cantidades qu pueden tomar dos sentidos opuestos o que son de

condicin o de modo de ser opuestos, se expresa el sentido, condicin o modo de ser (valor relativo)

de cantidades tomadas en un sentido determinado (cantidad positivas) y anteponiendo el signo - a las

cantidades tomadas en sentido opuesto al anterior (cantidades negativas).

Ejemplos

Traducir a lenguaje algebraico(Representa de manera algebraica)

Pedro debia 60,000 bolvares y recibi 320,000. Expresar su estado econmico.

Tena $200. Cobr $56 y pagu deudas por $189. Cunto tengo?

A las 8 a.m. el termmetro marca -1. De las 6 a.m. a las 11a.m. baja a razn de 2 por

hora y de 11a.m. a 2 p.m. sube a razn de 3 por hora. Expresar la tempratura a las 10

a.m., a las 11a.m., a las 12 a.m. y a las 2 p.m.

Una ciudad fundada el ao 75 a. C. fue destruida 135 aos despus. Expresar la fecha de

su destruccin.

Un mvil recorre 72m a la derecha de A entonces empieza a rectoceder en la misma

direccin, a razn de 30. Expresar su distancia del punto A la cado del 1er, 2o, 3er

y 4os.

Un mvil recorre 55m a la derecha de A luego en la misma direccin retrocede 53m. A

qu distancia se halla de A?

Anlysis de Relaciones cuantitativas y construccin de Modelos matemticos traduccin de

lenguaje verbal a lenguaje Algebraico.


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Ejercicios

Traducir a lenguaje algebraico.

El rea de un tringulo es el producto de la mitad de la base por la altura del mismo.

El rea de un tringulo es el semiproducto de las longitudes de su base y altura.

La suma de los cuadrados de dos nmeros.

El cuadrado de la suma de dos nmeros.

Un nmero sumado con el cuadrado de otro.

OBS : (Sobre notaciones de conjuntos y signos lgicos)

Para representar incgnitas se suele usar las ltimos letras del alfabeto :

Ejercicios

Traducir a lenguaje algebraico.

Representemos al entero con n :

(Si el cuadrado de un entero es par entonces el entero mismo es par. )

Un nmero aumentado en el triplo del nmero :

La diferencia de los cuadrados de dos nmero :

El cuadrado de la diferencia de los dos nmeros :

El cuadrado de la diferencia de los 100 primeros nmeros naturales :


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Comentario hist

rico

Los griegos descubieron los nmeros "amigos" : 220 y 284 son nmeros amigos

Divisores de 220 : 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110 (suman 284)

Divisores de 284 : 1, 2, 4, 71, 142 (suman 220)

Fermat hall otro par 17,294 y 18,416

Descartes hall 9,363,584 y 9,437,056 "quizas hall una frmula?"

Euler (1, 7, ) hall 122,265, 137,815 y hallo 59 parejas ms

(de las Cules una estaba mal)

Generalizaci

n ("Los n

meros amigos")

Sean :

son nmeros amigos


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Gua Encontrar una expresin algebraica qu represente la situacin planteada

El recproco de un nmero.

El recproco del cuadrado de un nmero.

La suma de 3 nmeros naturales consecutivos es 15.

La suma de los cubos de 2 nmeros es el cubo de otro nmero.

La edad de un padre del estudiante es la edad del estudiante triplicada y aumentada en 1.

Repartir 1080 nuevos soles entre A y B de modo qu A reciba 1019 ms qu B

Cuatro nmeros enteros consecutivos suman 74

Tres cestos contienen 575 manzanas el cesto tiene 10 manzanas ms que el y 15

ms qu el

La suma de las edades de 3 personas es 88 aos la mayor tiene 20 aos ms que el

menor y la del medio 18 aos menos qu la mayor.


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La suma de 3 nmeros da 238. El primero excede al doble del en 8 y al tercero en 18.

Hallar los nmeros.

Cunto suman los ngulos interiores en un polgono regular de n lados?

y si no es regular?

Se tiene el producto de tres nmeros naturales consecutivos, sumado con el nmero

intermedio. Qu resultado obtiene? Demuestre qu es cierto para cualquier caso.

Encuentre todos los nmeros naturales cuya diferencia de cuadrados es igual a 39.

Si un nmero ms su recproco es 3, Cul es el valor de la potencia cuarta del nmero

ms la potencia cuarta del recproco del nmero?


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Una alumna se golpe en una rodilla jugando futbol, su medico prescribi un

anti-inflamatorio para reducir la hinchazon. Tena que tomar dos tabletas de 220mg cada 8

horas durante 10 dias. Si sus riones filtraban de su cuerpo un 60% del medicamento

cada 8 horas, qu cantidad quedar en su sistema circulatorio al cabo de los 10 dis?

y si hubiera tomado la medicina durante un ao?

Encuentre todos los nmeros naturales de dos cifras, tales que el producto de sus dgitos

ms el doble de la suma de sus dgitos sea igual al mismo nmero.


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Fecha : / / 2014

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4. 3. Expresin Decimal y Fraccionariade los Nmeros Reales

Expresin decimal de los nmeros reales.

Ejemplos

Todos los nmeros reales tienen una representacin del tipo.

Las cuales pueden ser finitas o infinitas

Ejemplos

OBS


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- 47 -

Conversi

n de notaci

n decimal a fraccionaria.

Ejemplos

Covertir los nmeros

en notacin fraccionaria


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Fecha : / / 2014

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Conversi

n de notaci

n fraccionaria a decimal.

Ejemplos

Covertir los nmeros

en notacin decimal.


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En comparaci

n con el caso de fraccional

Ejemplo

Cul de es las dos fracciones es mayor

o

?

Ejercicio

De los numeros

y

Indica cules son

menores que cero

mayores que cero y menores que 1

mayores que 1


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Gua Covertir el nmero en notacin fraccionaria.

Tres recipientes contienen agua : el primero

de litro, el segundo

de litro y el

trecero

de litro. Qu recipiente contiene menos agua y cul ms?

Cunto valen los

de un terreno que mide 11,084 a razn de 1,275 pesetas el ?

Repart 75,250 pesetas entre tres personas de modo que la primera persona recibi el doble

que la segunda y, sta, el doble que la tercera. Canto recibi cada una?


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4. 4. Operaciones con Signos de Agrupacin

(Jerarqua de las Operaciones)

Operaciones con signos de agrupacin

Potencias y races

Productos y cocientes

Sumar y restas

Ejemplo

Calcule

Ejercicios

Calcule las siguientes expresiones


52/210

Fecha : / / 2014

- 52 -

Encuentre el valor de a,b,c,d

Encuentre el valor de


53/210

Fecha : / / 2014

- 53 -

Gua Calcule


54/210

Fecha : / / 2014

- 54 -

Encuentre el valor de x,y,z

Simplifique la siguiente expresion

Ordene a A,B,C por signo de desigualidad


55/210

Fecha : / / 2014

- 55 -

4. 5. lgebra de los Nmeros Reales

En general la nmeros racionales tienen una representacion decimal qu puede ser finita

o infinita. Todo nmero irracional tiene una representacin decimal infinita no peridica.

(base de los logartmos naturales)

Esto caracteriza los nmeros irracionales!!

Potencias y ra

ces

potencias :

races:

Si

Propiedades de la potencias

,


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- 56 -

Ejemplo

Simplifique las siguientes expresines


57/210

Fecha : / / 2014

- 57 -

Gua Coloca V de verdadero o F de falso segun sea el caso.

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

Simplifique


58/210

Fecha : / / 2014

- 58 -


59/210

Fecha : / / 2014

- 59 -

4. 6. Los Radicales

Propiedades de las races

,

Ejercicios

Simplifique


60/210

Fecha : / / 2014

- 60 -

Elimina las races del denominador y simpliifica (Racionalizar)


61/210

Fecha : / / 2014

- 61 -

Si , encuentre el valor de


62/210

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- 62 -

Gua Simplifique


63/210

Fecha : / / 2014

- 63 -

Si

,

encuentre el valor de


64/210

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- 64 -

Simplifique


65/210

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- 65 -

Simplifique

Si

, encuentre el valor de


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Fecha : / / 2014

- 66 -

4. 7. Los Nmeros Reales

Segmento conmesurables e inconmesurables

- Sea A, B un segmento dirigido

Para medir es necesario definir una unidad de medida (patrn). Renotamos por al segmento unitario

de medida 1.

Definimos dos segmentos congruentes. Como aqullos qu tienen la misma medida. Si cabe n veces

en decimos que AB tiene medida n

Puede ocurrir que u qupa un exacto de veces en o no. En este ltimo caso la medida no ser

un natural.

As, hacemos lo siguiente

Conseguimos un segmento que quepa n veces en u y exactamente m veces en AB.

As, como cabe m veces en AB y su medida es

, la medida de AB es m veces

En este caso decimos que U y AB son segmentos conmesurables.

OBS : En algn momento de la historia se pens que todo segmento era conmensurable, lo

cul result falso. Esto dio origen a otro tipo de nmeros ; los irracionales.


67/210

Fecha : / / 2014

- 67 -

Un segmento es inconmensurable si no lo podemos medir con la unidad que definimos.

Si, AC es conmesurable podemos construir la fraccin

que represente su medida

En aparece un nmero par de factores de 2 y a la derecha de la igualidad un nmero impar.

OBS : La existencia de segmentos inconmensurable implic qu los naturales y

los racionales no eran suficientes.

La solucin es ampliar el sistema nmerico a otro conjunto ms grande.

As tenemos que :

A los segmento conmesurables les asociamos racionales

A los segmento inconmesurable les asociamos los irracionales

La recta real

es la recta real, la cul contiene al segmento unitario .

Si, OA cabe un exacto de veces en el segmento, OX tiene medida n.

En ese caso llamamos la abscisa de X al valor natural n. Si, el punto X est a la izqurda se le agrega

" - ". Todos las abscisas que cumplen con esto forman


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- 68 -

(Los nmeros enteros)

En otro caso en OX obtendremos todos las abscisas de la forma

Estos forman

( La recta Real)

Si, elegimos X de tal modo qu OX es inconmesurable obtenemos una abscisa que no se puede

expresar de la forma

. Estos forman los irrecionales.

Los nmeros reales son la reunin de y

Representacin de operaciones en la recta Real

se asocia a la medida del segmento que forma la unin de los segmento y

Producto

Representar a, b (a por b)

( por semejanza de tringulos )

Cmo representaria

El de Oro


69/210

Fecha : / / 2014

- 69 -

Si, al rectngulo ABCD le quitamos el cuadrado ABGF obtenemos un nuevo rectngulo FGCD

semejante al inicial

ureo o nmero de oro)

Algunas propiedades

M

s ideas sobre los n

meros reales ubicaci

n en la recta

El nmero de oro

El segmento DB tiene longitud


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Fecha : / / 2014

- 70 -

Ubicacin en el eje real de

Raznes de Cuerpo de Humano

Los nmeros reales

Axioms en

Aceptaremos la existencia de un conjunto no vaco , que llamaremos conjunto de los nmeros reales.

Sobre el cual se ha definido una relacin de igualdad y dos operaciones algebraicas. La relacin de

igualdad " = " satisface las propiedades de:

Reflexividad

Simetra


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- 71 -

Transitividad

Si y antonces

Los operacion " + " y " " son funciones

+ :

( a, b ) a+b

:

( a, b ) ab

" + " , " " son operaciones binarias.

Propiedades

Ley asociativa para la suma :

Existencia del elemento neutro :

Existencia del elemento opuestos :

Ley conmutativa para la suma :

Ley asociativa para el producto :

Existencia de la identidad multiplicativa :

Existencia de inversos para la multiplicacin:

Ley conmutativa para el producto:

Adems estas relaciones son compatibles con la relacin de igualdad.

Si y

Propiedades en qu se derivan de las ya mencionadas.


72/210

Fecha : / / 2014

- 72 -

Teoremas

Dado cumple que

(Puede demostrarse usando algunas de las propiedades antes escritas)

Teorema

Dados , cumplen las siguientes propiedades.

: El opuesto de a

Segn la igualdad el opuesto de es , entonces debe verficarse qu

Teorema

Dados

Entonces

Donde denota

y

(cociente de 2 reales)

Ley Cancelativa

Sean , entonces


73/210

Fecha : / / 2014

- 73 -

Definicin

Dados escribimos para representar

Teorema

Dados se cumple o

( En no hay divisores de cero)

Teorema

Dados se cumple

Propiedades relativas al cociente

Teorema

Dados se cumplen las siguientes propiedades.

Si

Si

Si

Si

Si


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Fecha : / / 2014

- 74 -

Gua Llene

La representacin nmero real Puntos

P( )

A( )

B( )

D( )

P( )

Q( )

A( )

B( )

C( )

D( )


75/210

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- 75 -

Definicin

si y slo si

si y slo si

4. 8. Orden en

Propiedades

Aceptamos en la existencia de un subconjunto de , llamado el conjunto de los nmeros reales

positivos, denotado por .

(O1) es cerrado para la suma es decir si

(O2) es cerrado para la producto es decir si

(O3) Ley de Tricotoma

Para cada mmero real a se cumple una y slo una las siguientes propiedades.

Teorema

Dados las reales se cumple una y slo una de las siguientes afirmaciones.


76/210

Fecha : / / 2014

- 76 -

Definicin

Llamaremos conjunto de los nmeros reales negativos al conjunto.

Definicin

1) si y slo si o ( : y / : o)

2) si y slo si o

Teorema

Dado se cumple una y slo una de las siguientes afirmaciones.

Propiedades de las relaciones de orden.

Teorema

La relacin " < " tiene las siguientes propiedades.

No es reflexiva ( es falso)

Es asimtrica (Si es falso qu )

Transitiva : Si y

Teorema

La relacion "" satisface:

Reflexiva :

Antisimetrica : si y

Transitividad : si


77/210

Fecha : / / 2014

- 77 -

Teorema

Teorema

y es un nmero positivo ____________________

y es un nmero positivo ____________________

Teorema

si

si

si

Teorema

si y slo si

( y ) o ( y )

si y slo si( y ) o ( y )

Teorema

Teorema

Sean

si

(Densidad de los nmeros reales)


78/210

Fecha : / / 2014

- 78 -

D

escanso

Cual figura sigue?


79/210

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- 79 -

5. 1. Resolucin de Ecuaciones

Resoluci

n de ecuaciones lineales.

Dada la ecuacion

tiene como solucin al valor

Ejemplo

Diofanto fue un famoso matemtico greigo del siglo D.C. De su vida no se sabe mucho,

pero el epitafio de su tumbra proprociona algunos detalles sobre ella. Est secrito como

problema algebraico.


80/210

Fecha : / / 2014

- 80 -

Ejercicios

Resuelva

Resolucin de ecucaciones cuadraticas.

se tiene que

Si

Si

Si

: se llama discriminante


81/210

Fecha : / / 2014

- 81 -

Ejemplo

Hallar las races de

De aqu se deduce que

si no hay races y

si hay una sla raiz

Adems si hay 2 races

Ejemplo

Dados los nmeros reales demostrar que

si y slo si

* si y slo si

Prueba () Hipotesis :

Como

Si

De la misma forma si hacemos

(*)

tambin (**)


82/210

Fecha : / / 2014

- 82 -

Al resolver (*) y (**)

()

Ejemplo

Dados los nmeros reales

Demostrar qu

si y slo si

()


83/210

Fecha : / / 2014

- 83 -

Gua La suma de tres nmeros enteros consecutivos es . Cunto vale cada nmero?

De un depsito lleno de lquido se saca la mitad del contenido ; despus la tercera parte

del resto y quedan an 1,600 litros. Calcula la capacidad del depsito.

Tres amigos juegan un dcimo de lotera que resulta premiado con un milln de pesetas.

Calcula cunto debe corresponerle a cada uno sabiendo que el primero juega el doble que

el segundo y ste el triple que el tercero. (Sugerencia : llama a la cantidad que

dorresponde al tercero).

A un chico le preguntan la edad de su padre y contesta : si al doble de mi edad se le

suman 6 veces mi misma edad y a la mitad de esa suma se le quitan 18, resulta la edad

de mi padre. El chico tiene ahora 15 aos. Cuntos aos tiene el padre?


84/210

Fecha : / / 2014

- 84 -

5. 2. Resolucin de Inecuaciones

Inecuaciones lineales ;

Ejemplos

Inecuaciones cuadr

ticas

Hay que resolver la inecuacin

El procedimiento consiste en determinar el signo del trinomio

encontrando en qu valores de da positivo. Asi si factorizamos el trinomio es sencillo

determinar tal solucin.

- Determinar el conjunto

Resuelva la inecuacin


85/210

Fecha : / / 2014

- 85 -

Ejemplos

Resuelva

-3 2

signo

Conjunto solucin :

Conjunto solucin :

Ejercicios

Resuelva


86/210

Fecha : / / 2014

- 86 -

Soluci

n de otras inecuaciones

Si una inecuacin tiene la forma (o se puede llevar algebraicamente a ella)

se resuelven de forma similar al caso cuadrtico :

Ejemplo

Resuelva

1 2 3

- + + +

- - + +

- - - +sgn - + - +

Resoluci

n de inecuaciones con expresiones racionales

Quremos resolver

hacemos un cuadro de variacin de los signos.

signo

Otra forma

Ahora resolvemos por el mtodo ya conocido.


87/210

Fecha : / / 2014

- 87 -

Ejercicios

Resuelva

Resuelva

Resuelva

Resuelva

Resuelva


88/210

Fecha : / / 2014

- 88 -

Gua Resuelva


89/210

Fecha : / / 2014

- 89 -

Resuelva


90/210

Fecha : / / 2014

- 90 -

Resuelva


91/210

Fecha : / / 2014

- 91 -

Definicin

Sean subconjuntos de los nmeros reales.

El producto cartesiano de A y B es el conjunto.

Esto es el conjunto de todos los pares ordenados cuyos componentes pertenecen a y

5. 3. El Plano Cartesiano

Producto cartesiano

EjemploSi ,

Entonces y

Notemos que en este caso y en general podemos decir que se da la igualidad slo si

OBS : Si se denota por y en general

Ejercicios

Si podemos formar

Cunto elemento hay ?

En general si multiplicamos con n elementos.

Cuntos elementos tiene ?


92/210

Fecha : / / 2014

- 92 -

Ejercicios

El plano cartesiano es

,

Qu conjunto es, es decir que porcin del plano ocupa?

De modo anlogo definimos el conjunto que es una recta horizontal que pasa

por pararela al eje

Ejercicios

Dibujar el producto cartesiano

,


93/210

Fecha : / / 2014

- 93 -

Gua Un cuadriltero tiene vrtices en y . Encontrar el

rea en unidades cuadradas del cuadriltero

Dibujar en el plano


94/210

Fecha : / / 2014

- 94 -

Dibuje las siguientes expresines

Resuelva


95/210

Fecha : / / 2014

- 95 -

Definicin

Llamaremos valor absoluto del nmero

Denotado por al nmero

Otras definiciones equivalentes son

max

5. 4. El Valor Absoluto

Obs : se puede interpretar como la distancia entre y a

Propiedades del valor absoluto.

Teorema

Si,

Si,

(Especialmente se llama desigualidad triangular)

Demostracin

Si tenemos que ocurre alguna de las situaciones.


96/210

Fecha : / / 2014

- 96 -

Si tenemos que ocurre alguna de las situaciones.

Caso (*)

Si este ocurre si

tenemos ambos positivos

Ahora si tenemos ambos negativos


97/210

Fecha : / / 2014

- 97 -

(Aplique )


98/210

Fecha : / / 2014

- 98 -

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

Gua Coloca V de verdadero o F de falso segun sea el caso.

Calcule las siguientes expresines(Realiza los siguientes calculos)


99/210

Fecha : / / 2014

- 99 -

5. 5. Las Ecuaciones e Inecuaciones con Valor Absoluto.

Ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto.

Ejercicios Resuelva


100/210

Fecha : / / 2014

- 100 -

Aplicaci

n

Ejercicios

Escriba sin que aparezcan signos de valor absoluto.


101/210

Fecha : / / 2014

- 101 -

Desigualdad absoluta

Desigualdad absoluta

Desigualdad de Cauchy-Schwarz

Si ,

( Cuando ,

)

Media geomtrica de la aritmtica

Demostracin

+


102/210

Fecha : / / 2014

- 102 -


103/210

Fecha : / / 2014

- 103 -

Gua

Simplifique


104/210

Fecha : / / 2014

- 104 -

Demuestre

( , )

Por eso ( Cuando )

Si , Calcule el mnimo de


105/210

Fecha : / / 2014

- 105 -

El costo de mantener una cuenta corriente en el banco A es $12 por mes ms $0.1 por

cheque girado. El banco B cobra $10 por mes ms $0.14 por cheque girado. A cules

clientes les conviene el banco A en terminos del costo total mensual?

Una compana de publicidad determina que el costo por ejemplar de cierta revista es de

$150. El ingreso recibido por los distribuidores es de $1.40 por revista. El ingreso por

publicidad es 10% de los ingresos recibidos por los distribuidores por todos los

ejemplares vendidos por arriba de 10,000. Cul es el nmero mnimo de revistas que

deben venderse de modo que la compaia obtenga ulilidades?

Un arquitecto desea delimitar un tereno retangular y tiene 450 metros de cerca disponible.

Encontrar los dimensiones del terreno si el rea delimitada debe ser al menos 3,150


106/210

Fecha : / / 2014

- 106 -

Una compaia desea ensamblar 1000 dispositivos electronicos en una semana gastando no

ms de $6000 por concepto de mano de obra. Si el costo de mano obra para ensamblar

una unidad durante las horas diurnas es de $5 y $7 en las horas nocturnas. Cul es el

nmero mnimo de dispositivos que deber ensamblar en las horas diurnas?

Para una compana que fabrica webcams el costo de mano de obra y material es de $21

por cada unidad producida y sus costos fijos son $70,000. Si el precio de venta de cada

webcam es de $35. Cuntas unidades deben venderse como mnimo para asegurarse que

la compaa tenga utilidades ?


107/210

Fecha : / / 2014

- 107 -

5. 6. Las Ecuaciones Fraccionarias

Ejemplo

Hallar de modo qu para todo

Ejercicio

propuestos:

Demuestre que

y exprese esta regla en palabras.


108/210

Fecha : / / 2014

- 108 -

Encuentre de modo que

Simplifique


109/210

Fecha : / / 2014

- 109 -

Gua Simplifique


110/210

Fecha : / / 2014

- 110 -

Simplifique


111/210

Fecha : / / 2014

- 111 -


112/210

Fecha : / / 2014

- 112 -

5. 7. Sustituciones Algebraicas

Ejercicios

Resuelva las ecuacines dada de forma cuadrtica


113/210

Fecha : / / 2014

- 113 -


114/210

Fecha : / / 2014

- 114 -

Gua Simplifique


115/210

Fecha : / / 2014

- 115 -


116/210

Fecha : / / 2014

- 116 -

D

escanso

Agrega un segmento para que la igualdad sea vlida

ej)

Haz que la igualdad sea cierta moviendo slo un segmento de recta.

ej)


117/210

Fecha : / / 2014

- 117 -

6. 1. Construccin de Modelos Matemticospara Anlisis Cuantitativos.

Variables

Las relaciones entre 2 variables ( ms) es expresada mediante una " funcin"

Por ejemplo el precio del transporte depende de otras variables : precio del combustible,

precio de vehculos, la distancia etc.

La temperatura ambiental, depende de variables como la altitud, el tiempo (la hora del da),

la epoca del ao, etc.

OBS

Las variables que se relacionan por medio de una funcin pueden ser numricas o no numricas.

Ejemplo

En el plano, si consideramos todos los tringulos que se pueden formar y calculamos sus respectivas

reas, tenemos un ejemplo de relacin entre una variable numrica y una no numrica.

Relaciones entre variables

Si A e son variables tales que es funcin de

Si la funcin se denota con se escribe y se lee es funcin de de f.

en general representa la regla de asignacin.

Origen del concepto de funcin.

Comenz en el XIV al estudiar cuerpos en movimiento (Nicole Oresme fu el en

representar en el plano la relacin entre variable independiente y otra dependiente)

El nombre de funcin proviene del matemtico Leibnitz, al estudiar puntos donde

ocurren mximos, mnimos, etc.


118/210

Fecha : / / 2014

- 118 -

La variable natural qu vara constantemente es el tiempo.

En economia la funcin qu relaciona el precio de un producto con su demanda en el

mercado se llama curva de "la oferta".

Con una lmina rectangular quremos construir una caja haciendo recortes en las

esquinas

V= rea base altura

De modo qu el volumen que queda en la caja sea mximo

V(x)=

Esta es la regla de asignacin de la funcin "Volumen" ; relaciona la dimensin del cuadrado

recortado y el volumen de la caja.

Representacin grafca

El "hombre bala"

La longitud o distancia del desplazamiento depende del ngulo de inclinacin.

Lalongitud "" qu alcanza depende dal ngulo del caon

(la regla de asignacin es desconocida an)


119/210

Fecha : / / 2014

- 119 -

Funciones : Primeras ideas, concepto

En una fotocopiadora hay un rtulo qu indica los precis.

copias () 1 2 3 4 5 6precios (p) 6 11 16 21 26 31

Tenemos el precio en funcin del nmero del copias

Regla de asignacin ___________________

Si tenemos la circunferencia de longitud C y diametro D

___________________

Es la regla de asignacin de la funcin qu asigna a cada "diametro " una longitud " "

Si ___________________

la regla de asignacin sera ___________________

Ejemplo

Funcin, conjuntos numerables, cardinalidad

Cuando se quiere enmerar los elementos de un conjunto se suele usar el conjunto de los

naturales.

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

5 3 1 0 2 4 6 8 10

Tenemos una funcin : a cada natural le hacemos corresponder un entero es, la regla de

asignacin es

Si

Cuando se puede construir una funcin "uno a uno" entre 2 conjuntos se dice que estos

tienen la misma cardinalidad.

OBS: En lo conjuntos finitos su cardinalidad es el nmero de elementos.


120/210

Fecha : / / 2014

- 120 -

Definicin

Dados 2 conjunto una funcin (qu se lee una funcin de A en B) es

una regla ( o conjunto de instrucciones) que dice como asociar a cada elemento de A un

elemento de B es decir asocia a cada un elemento

6. 2. La Funcin

OBS

El conjunto A se llama

Al conjunto A se llama dominio de la funcin f, y B es el rango (contra dominio) de la

funcin .

Para cada un elemento se llama imagen de por

Como vemos hay 3 ingredientes para definir una funcin

Dominio

Rango Deben estar claramente Especificados

Regla de asignacin

OBS : a la definicin de funcin : "Ingredientes" para definir una funcin :

- Dominio

- Conjunto de llegada (Contra dominio, codominio)

- Regla de formacin o ley de corresponecia


121/210

Fecha : / / 2014

- 121 -

Ejemplos

Cul es el dominio "natural" (esto es los valores que pueden evaluarse en la frmula) de

la funcin qu corresponde a la regla de asignacin dada?

Definimos la funcin en cuestin as :

"El dominio natural de una funcin es el mayor conjunto de en que la regla de

asignacin puede evaluarse"

es una regla de asignacin de una funcin qu tiene como dominio natural a

__________

En el ejemplo anterior de la numerabilidad de

Aqui : dominio de :__________

conjunto de llegada : __________

La regla de asignacin es

Ms ejemplor de funciones:

funcin Identidad

funcin constante


122/210

Fecha : / / 2014

- 122 -

correspondencia

funcin o no

por qu

Notacin importante

Para definir una funcin se debe cumplir las 2 situaciones siguientes :

No hay elementos sin imagen

No puede haber ambiguedades, es decir, no hay elementos en A con :

dos imgenes distintas.

Generalidades sobre funciones

Igualdad de funciones

Dadas 2 funcin

se dice qu es igual a si y

Funcin Inyectiva

Una funcin

se llama inyectiva cuando a elementos diferentes en les corresponde elementos diferentes en .

Es decir ( )

Conjunto imagen de una funcin (Rango)

Si

El conjunto imagen es el conjunto de todos los posibles valores con . Denotamos este

conjunto por


123/210

Fecha : / / 2014

- 123 -

graf

funcin

injectiva

sobrejectiva

Funcin Sobreyectiva

Una funcin es sobreyectiva. Si para cada existe una preimagen, es decir.

tal qu

Ejemplos

Sea el conjunto de tringulos del plano (qu llamamos ) y el conjunto de los

nmeros regalos. Si a cada (t=tringulo) hacemos corresponder su rea

rea de t

no es injectiva ni sobrejectiva.

Por qu?

es injectiva. no es sobreyectiva.

Por qu?


124/210

Fecha : / / 2014

- 124 -

6. 3. Sistema Coordenado Rectangular en el PlanoCartesiano

Segmentos dirigidos ;

Si, el punto inicio en A y se nueve hacia B ; decimos que el segmento AB tiene longitud d.

Si, por otro lado el punto inicio en B y se nueve hacia A decimos que el segmento AB tiene longitud

d. En Geometra Analitica consideramos segmentos "dirigidos", es decir, agregamos la nocin de sentido

direccin.

En el or caso A es punto de inicio y B es el punto final del segmento AB y en el otro caso B es

punto de inicio y A el final.

Asi si

F

rmula de Chasles

Si, A, B, C son tres puntos en una misma recta entonces

Para dotar al plano de un sistema coordenado que permita ubicar un punto arbitrario en cualquier

posicin necesitamos 2 rectas dirigidas y ubicadas perpendicularmente.

: abscisa del punto P

: ordenada del punto P

La recta se llama eje de las abscisas.

La recta se llama eje de las ordenadas.


125/210

Fecha : / / 2014

- 125 -

OBS : es importante resaltar el hecho qu cada punto P del plano es representado por

el Cul es ordenado y por lo tanto si

Igualdad de pares Ordenados

Decimos que dos pares ordenados

son iguales si y slo si

Distancia entre puntos del plano

frmula de la entre

Ejemplo

Para verificar que si los puntos y son los vrtices de un

tringulo equiltero basta calcular las distancias

sol)


126/210

Fecha : / / 2014

- 126 -

Divisi

n de un segmento en una raz

n dada

Ubicamos el segmento en el sistema de ejes coordenado.

El punto es tal que divide al segmento en la razn

Cuales son las coordenadas del punto ?

Observamos que las rectas paralelas dividen

los segmentos y de forma proprocional


127/210

Fecha : / / 2014

- 127 -

De la misma forma encontramos que

,

OBS : Si , las coordenadas del punto P.

son

La coordenados del punto medio

Ejemplo

Dados los puntos

las coordenadas de los puntos que cortan

a una razn

de

Hacer lo mismo con los puntos ,

caso 1;

caso 2;

caso 3;

caso 1;

caso 2;

caso 3;


128/210

Fecha : / / 2014

- 128 -

Gua Calcule la distancia de A a B.

En un sistema coordenado lineal y son los puntos extremos de un segmento

dirigido. Demostrar qu la coordenada un punto que divide a en la razn

dada

Un cuadrado de lado igual a tiene su centro en el origen y sus lados son paralelos a

los ejes coordenados. Hallar las coordenadas de sus cuatro vrtices.


129/210

Fecha : / / 2014

- 129 -

6. 4. La Funcin Afn

Funci

n de propocionalidad directa.

Se llama funcin de propocionalidad directa o simplemente funcin lineal a cualquier funcin que

relacione dos magnitudes e . directamente proporcionales. Su regla de asignacin es o

OBS :Dos magnitudes y son directamente proporcionales cuando su cociente es

constante. Algunas caractersticas de la funcin de proporcionalidad son:

Pasa por el origen, es decir en

Describe una recta en el plano

Para graficarla slo necesitamos un punto adicional

Si x=1, , por tanto , representa la variacin de la por cada unidad de

es la pondiente de la funcin de proporcionalidad.

Ejercicios

Determinar si las relaciones entre las parejas de magnitudes son lineales o no

(directamente proporcionales)

Relacin entre el precio inicial y precio rebajado con un .

precio rebajado precio inicial.

Relacin entre el peso y el volumen de un material en condiciones constante de presin

y temperatura.

Un banco ofrece un deposito annual al con una comisin fija de $20.

(Relacin entre la cantidad invertida e interes recibidas)


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- 130 -

Definicin

Si a dos magnitudes directamente proporcionales se les aplica una condicion inicial, la

funcin que las relaciones ya no es directamente proporcional. Se dice qu es una funcin

afin. Su forma es

Relacin entre el rea de un cuadrado y su lado ( no es directamente proprocional

la relacin entre y. )

OBS : La pendiente , sigue siendo la constante de proporcionalidad y el termino n se

llama ordenada en el origen por qu es el valor qu toma cuando

La forma de la funcin afin se llama pendiente ordenada en el origen.

El cociente entre y ya no es constante por lo que la funcin no es de

proporcionalidad.

Para graficar la recta que describe la funcin afin basta tener 2 puntos la pendiente y

un punto.

Recordemos que dados 2 puntos sobre una recta, la pendiente se obtiene haciendo un cociente de

diferencias.


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- 131 -

Si tenemos un punto y conocemos la pendiente

entonces

ecuacin punto-pendiente.

Ejercicios

Calcular la ecuacin de la recta que pasa por y cuya pendiente es

Sol)

Consideremos 2 puntos sobre la recta.

Caculamos la pendiente

Ahora con y puede cacularse de nuevo:

ecuacin de 2 puntos

Ecuacin General de la Recta

La manera ms usual de expresar la ecuacin de una recta es

La cul es llamada forma general de la ecuacin de una recta.

La pendiente es


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- 132 -

Ejemplo

Graficar

De la cuacin general

(Ecuacin simtrica de la recta)

OBS : si

si

La recta pasa por y

Posiciones Relativas de 2 Rectas. Dadas 2 rectas


133/210

Fecha : / / 2014

- 133 -

Si so pendientes de dos las rectas se cortan en un punto cuyas coordenadas se obtienen

resolviendo el sistema.

Se dice que las rectas son secantes. Si las rectas son paralelas. Si adems de que

tambin las rectas son coincidentes.

Observacin : Vale la pena razonar los casos particulares en las que y no es definida.

Pendiente infinita

Ejercicios

Halle la ecuacin de la recta que pasa por y cuya pendiente es

Halle la ecuacin de la recta que pasa por y . Escrbola en todas las

forms vistas.

Determine la ecuacin de la recta que pasa por y cuya pendiente es

.

Psela a la forma general.

Determine la ecuacin de la recta que pasa por y cuya pendiente es 0.

Psela a la forma general.

Cul es la posicin relativa de las rectas. ? Se cortan?

Si, se cortan, dnde se cortan?


134/210

Fecha : / / 2014

- 134 -

ngulos entre rectas

Consideremos dos rectas dirigitos en el plano

Llamaremos ngulo qu forman las rectas y al ngulo formado por los lados qu se alejan del

vrtice. En la figura nos referimos al angulo .

OBS Si le cambiamos el sentido a por ejemplo el ngulo entre y seria .

Si los rectas son paralelos el ngulo entre y puede ser .


135/210

Fecha : / / 2014

- 135 -

6. 5. La Pendiente

La pendiente

Llamaremos ngulo de inclinacin al ngulo formado por la recta y la parte positiva del eje .

OBS : puede tomar cualquier valor e ntre .

Podemos definir la pedienete o coeficiente angular de una recta a la tangente del ngulo de inclinacin,

ya que si entonces.

tan

Para calcular

efectuamos tan arctan

Ejemplo

Si es una recta qu pasa por , hallar el ngulo de inclinacin de

arctan


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Fecha : / / 2014

- 136 -

pendienete

Ejercicios


137/210

Fecha : / / 2014

- 137 -

C

lculo del

ngulo entre 2 rectas

Sean dos rectas con pendiente y respectivamente. El ngulo formado por y esta

dado por

tan

Donde es la pendiente de la recta inicial y

la pendiente de la recta final correspondiente a

OBS Si entonces tan y asi o

Si la tangente no est definida, lo cual significa que

(Condicin de perpendicularidad)


138/210

Fecha : / / 2014

- 138 -

Gua Escribir la zona de pendiente ""

Encuentre la pendiente

pendiente ; pendiente pendiente

pendiente ; pendiente ; pendiente ;


139/210

Fecha : / / 2014

- 139 -

Oredene de mayor a menor haciendo uso de la pendiente

Si , Cul recta es

Si ,

, Que es el rea de =


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Fecha : / / 2014

- 140 -

Estas tablas son de .Llene las tablas.

x 4 5 6

y -28 -49

x -2 6

y -1 2 5

Calcule tan de


141/210

Fecha : / / 2014

- 141 -

6. 6. Intercepto Eje de

Intercepto del eje

Descubimos la regla

Relacion de

3 7

4 9

5 11

6 13

Relacion de

-1 5

0

1 11

( la constante)

intercepto del eje :

intercepto del eje :


142/210

Fecha : / / 2014

- 142 -

Gua Llene la tabla.

Grafica pendiente intercepto del eje intercepto del eje Punto


143/210

Fecha : / / 2014

- 143 -

Si ,

Si

y

Llene

Forma pendiente intercepto eje de Grafica


144/210

Fecha : / / 2014

- 144 -

6. 7. Aplicaciones

Ejemplo

Antonio va a jugar una partida de bolos con sus amigos. Sale de su casa y tiene queesperar a sus amigos en un parque. Por fin, van a la bolera y, despus de la partida,

vuelven a casa, pero antes, se paran a tomar un refresco.

Qu distancia hay entre la casa de Antonio y el parque ? Y entre la casa y la bolera?

Cunto tiempo est esperando a sus amigos?

Cunto tardan en tomarse el refresco?

Cunto tiempo estn jugando a los bolos?

Si entran en la bolera a las 6 de la tarde, Dnde se encuentra Antonio

a las 5h 30min ; 5h 46min ; 7h 35min y a las 8h 12min?

A qu hora sale de casa? A qu hora vuelve?

Invntate una historia parecida y construye una grfica con el recorrido.


145/210

Fecha : / / 2014

- 145 -

Ejercicios

Piensa ahora en los tringulos issceles de de permetro. Busca la funcin que

relacione el lado desigual o base con cualquiera de los otros dos . Represntala.

Es una recta?

Dos motoristas parten, simultneamente, de y . El primero se dirige a con una

velocidad de y el segundo se dirige a con una velocidad de . Si y

distan entre si , a qu distancia de se encuentran? Cunto tardan en

encontrarse?

Un cuerpo, en cada libre, adquiere una velocidad que aumenta 9.8 metros por segundo

cada segundo. Si dejamos caer un objeto desde lo alto de una torre.

Qu velocidad llevar al cabo de 3 segundos? Y al cabo de 10 ? Llama a los

segundos transcurridos desde que dejamos caer el objeto y construye una tabla dando a

los valores entros desde hasta .


146/210

Fecha : / / 2014

- 146 -

6. 8. La Funcin Cuadrtica

-4 1 -1

0 0

4 1 -1

-1 1 -1

0 0

1 -1

-1 4 4

0 0

1 4 4

Graf.

a0 : figuracin como forma de


:

Vrtice :

Rango :


147/210

Fecha : / / 2014

- 147 -

La funcin Cuadrtica se define por la regla de asignacin

La grfica de una funcin cuadrtica tiene alguna de estas formas.

Algunas caractersticas importantes

Si la grafica corresponde a una parbola abierta hacia arriba como ( ) y

Si la grafica que resulta es invertida y abierta hacia abajo.

Ambas parbolas, caso y cumplen con tener a una recta paralela al eje y que pasa

por el punto V (que llamaremos vrtice) , tal recta se llama eje de simetra.

Ven la grfica y se llama vrtice y es el punto ubicado ms hacia arriba ms hacia

abajo de la parbola.

Ejercicios

Llene

Grafico

Dominio

Conjunto (Rango) Imagen


148/210

Fecha : / / 2014

- 148 -

-4 2 0

0 1 -1

4 2 0

-1 2 0

0 1 1

1 2 0

-1 6 -2

0 2 2

1 6 -2

Graf. a0 : figuracin como forma de


:

Vrtice : ( , )

Rango :


149/210

Fecha : / / 2014

- 149 -


La grfica de una funcin cuadrtica tiene alguna de estas forms.


Si , la grafica corresponde a una parbola que pasa del origen.

Si , la grafica corresponde a una parbola que pasa del origen.

Ejercicios

Llene

Grafico

Dominio



150/210

Fecha : / / 2014

- 150 -

-3 1 -1

1 0

5 1 -1

-2 1 -1

-1 0

0 -1

0 4 -1

1 0

2 4 -1

Graf.

: figuracin como forma de


:

Vrtice :

Rango :


151/210

Fecha : / / 2014

- 151 -


La grfica de una funcin cuadrtica tiene alguna de estas forms.

son llamadas parablas.


Si , la grafica corresponde a una parbola qu pasa del origen.

Si , la grafica corresponde a una parbola qu pasa del origen.

Ejercicios

Llene

Grafico

Dominio



152/210

Fecha : / / 2014

- 152 -

0 7 -1

1 4 2

2 3 3

-1 -1 -1

0 3 -5

1 15 -17

3 3 1

1 2 2

-1 3 1

Graf.



:

Vrtice :

Rango :


153/210

Fecha : / / 2014

- 153 -

Al variar el coeficente "a" hace qu la parbola se cierre

(Si a se incrementa) o se abra (Si a se disminuye)

OBS : Lo qu ocurre al variar

El efecto de variar es

se mueve hacia arriba la parbola si

se mueve hacia abajo la parbola si ________________

Ahora si variamos en lo qu hacemos a la parbola es desplazarla a la izquierda o

a la derecha.

Ejercicios

Si se mueve a la derecha.

se mueve a la ________________ .

Resumen

origina cambios sobre la abertura de la parbola.

origina desplazamiento a la iaquierda o a la derecha.

origina desplazamientos hacia arriba o hacia abajo.


154/210

Fecha : / / 2014

- 154 -

Gua Llene

Graf. vrtice intercepto eje de Rango Forma


155/210

Fecha : / / 2014

- 155 -

6. 9. La Funcin Cuadrtica

-2

0

2

-3

0

3

-1

0

1

Vrtice :

Rango :

Mximo o mnimo


156/210

Fecha : / / 2014

- 156 -

-2

0

2

-3

0

3

-1

0

1

Vrtice :

Rango :

Mximo o mnimo


157/210

Fecha : / / 2014

- 157 -

Podemos hallar las coordenadas del vrtice.

Primer Caso

Si, la funcin

No tiene mximo ya qu el valor de y crece indifinidamente cuando x, valores muy grandes.

mnimo de y si hay ocurre cuando y en el valor es

.

Luego las coordenadas del vrtice son ( , )

Ejemplo

Hallar el vrtice de la parbola qu describe la funcin definida por

Dnde ocurre el valor mnimo de la ?, Cal es ese valor?

sol)

Segundo Caso

Si, la funcin

No tiene _________________ ya qu y crece indifinadamente al tomar x valores muy grande.

_________________ de y si hay y occurre cuando

y en el valor es

.

Luego las coordenadas del vrtice son ( , )

La regla de asignacin de la funcin cuadrtica hemos visto qu es que tambin la

llevamos a la forma

o

(

) Frma connica de la funcin cuadrtica.

En este caso recordemos qu el vrtice es

valor donde ocurre el maxmo o mnimo.

valor mximo o mnimo de la funcin.


158/210

Fecha : / / 2014

- 158 -

Ejercicios

Es este caso

Para distinguir el vrtice es necesario llevar la expresin a la forma connica.

Relacin del Discriminante de la ecuacin cuadratica y la funcin cuadratica.

OBS : Llos puntos de corte de la parabla con los ejes pueden hallarse al resolver la

ecuacin.

Recordemos que el discriinante de criterios para saber si hay o no races

: hay una unicaraiz real.

:

:

Asi si la ecuacin slo tiene una raiz, lo que significa que la parabla

slo corta al eje en un punto (tangente al eje )


159/210

Fecha : / / 2014

- 159 -

y adems

y fundamente

Ejemplo

- Problema de aplicacin en Fisica -

Se lanza verticalmente una piedra desde el piso hacia arriba con una velocidad inicial de

. Si la distancia de la piedra al punto de partida a los t segundos de haber sido

lanzada esta dada por . Hallar

A qu altura sube ?

Cuntos segundos tardar en caer al suelo ?

Cunto tordar en alcanza la altura mximo ?

Qu altura alcanza a los segs ?

Hacer un grafica que describa el movimiento. Hallar dominio y rango de la funcin de

posicin.


160/210

Fecha : / / 2014

- 160 -

-2

-1

0

1

2

-2

-1

0

1

2

-2

-1

0

1

2

Vrtice :

Rango :

Mximo o mnimo


161/210

Fecha : / / 2014

- 161 -

Forma factorizada de la funcin cuadratca.

es coeficiente de termino cuatrtico, son las abscisas de los puntos donde occurren los cortes

de la parabla con el eje

Ejemplo

Hallar el valor mximo o mnimo de la funcin dada


162/210

Fecha : / / 2014

- 162 -

Gua Llene

Frmula Vrtice Interceptoeje

Mximoo mnimo

Graf.


163/210

Fecha : / / 2014

- 163 -

Graficar las funciones

Hallar la frmula para la funcin cuadrtica que pasa por y cuyo vrtice es

. tambin la funcin cuadrtica cuya grafica corta al eje en , vrtice


164/210

Fecha : / / 2014

- 164 -

Hallar los posibles valores de m para que se cumpla la condicin pedida.

: Corta al eje en 2 puntos

: No corta al eje

; La grfica es tangente al eje

Los registros de temperatura tomados en la zona rural se ajustan a la funcin

, con la temperatura en grados centgrados y la hora del

da. Responder las preguntas.

Cul fu la temperatura mxima?

A qu horas se registro este mximo?

Cundo la temperatura fu de cero grados?

Qu temperatura habr a las 3:00 pm?


165/210

Fecha : / / 2014

- 165 -

Se arroja una pelota de tenis hacia arriba imprimindole una velocidad de su altura

en metros sobre el suelo. segundos, despus de haber sido lanzada est dada por

Desde qu altura la lanzaron?

En qu instante ocurre la altura mxima y cul fue dicha altura?

Para qu valores de , aumenta y para cules disminuye?

Cunto tarda en llegar al suelo?

Encuentre las partes del dominio en la cul la funcin dada es positiva, negativa o cero.

Hallar mximo, mnimo, segn sea el caso.


166/210

Fecha : / / 2014

- 166 -

La suma de las longitudes de los catetos de un tringulo es .

Hallar las longitudes de los catetos si el rea del tringulo debe ser mxima.

Encuentre el nmero que excede a su cuadrado en un nmero mximo.

Ungranjero desea cercar un terreno rectangular y dispone de 320m de alambre,

Qu dimensiones debe tener el terreno para que su rea sea mxima?


167/210

Fecha : / / 2014

- 167 -

6. 10. Caracterizacin de Funcin

Cuadrticas por segundas diferencias

Supongamos que tenemos un conjunto de datos obtenidos alguna manera.

Supongamos que la representacin de los puntos en el punto es

Los puntos parecen corresponder a puntos qu describen una funcin cuadratica. Esto puede

verificarse.

Ejemplo

1 2 3 4 5

Sucesin 3 9 17 27 39

6 8

2

El resultado de las diferencias indica que los datos iniciales de la sucesin corresponden a una

funcin cuadrtica de la forma .

Ahora la pregunta es A cul funcin cuadrtica corresponden los datos?

Segn los datos del inicio.


168/210

Fecha : / / 2014

- 168 -

es un sistema de la ecuacin lineal cuya solucin es (Luego veremos como hallarla)

Luego la funcin cuadrtica es

Esta funcina de manera general. Si se quiere saber si un conjunto de datos corresponden a una funcin

cuadrtica basta calcular las

diferencias y estas deben ser constantes. (Si salen valores muy parecidos,los datos se juntan de manera aproximada a una funcin cuadrtica)

Ejercicios

Supongamos qu la temperatura en una cuidad en un cierto dia en un instante .

est dado por

Graficar la funcin

Cul fu la temperatura a los 2:00 am ?

Cul fu la mxima temperatura alcanzada y a qu horas ocurri?

Se arroja vericalmente un objeto hacia arriba desde el piso. Su altura en funcin del

tiempo es

Graficar la funcin

Cunto tiempo dura el movimiento decreciente?

Cul fu la altura mxima alcanzada y en que instante se logra?

Responder las mismas preguntas si la altura est dada por y

el objecto es lanzado a 5mts de altura,


169/210

Fecha : / / 2014

- 169 -

7. 1. Las Matrices

Determinantes

Con elementos de el conjunto de los nmeros reales formamos arreglos rectangulares qu

denotaremos con letras mayusculas y encerramos entre coschetes o parentesis

Asi

A se llamada una matriz de m filas y n columnas.

(Decimos qu A es una Matriz )

El elemento es la "entrada" de la Matriz en la fila y columna .Las entradas de la Matriz son sus componentes. indica una Matriz de filas y columnas.

Notacin

La Matriz

, se puede denotar por

Ejemplos

es una Matriz

es una Matriz _____________

Escribir una Matriz de orden tal qu


170/210

Fecha : / / 2014

- 170 -

Al conjunto de todos las matrices de orden lo representamos por .

Un caso especial importante ocurre si , es el conjunto de las materices cuadradas.

Algunas matrices especiales

La matriz

o matruz nula.

La matriz identidad

OBS : Esta tiene sentido slo para matrices cuadradas

Vector fila : Es una Matriz de 1 fila y n "columnas"

Vector columna es una Matriz de n "filas" y columna.

Operaciones con Matrices


171/210

Fecha : / / 2014

- 171 -

Suma Si son Matrices es .

Se define la suma de las materies de y a la Matriz que resulta de sumar las respectivas

componentes si y .

entonces

Producto escalar Si definimos el producto escalor de por como

Ejemplos

Calcule si

Calcule si

Algunos propiedades de

P1 : es cerrada bajo la suma y producto por escalar es decir.

si y , y

P2 :La suma es

P3 : Asociatividad

P4 : Existencia del elemento neutro talque

P5 : Existencia del elemento

si existe tal qu

P6 : Propiedad distributiva

)

)

P7 :

P8 :


172/210

Fecha : / / 2014

- 172 -

Demostracin :

P2 :

La tabla - Propiedades de las matrices

Sean las matrices A,B,C de orden , O la matriz nula de , I la matriz identidad y r,sescalares

Propiedades

Conmutativa de la suma

Asociativa de la suma

Identidad de la suma

Distributiva izquierda

Distributiva derecha

Inverso aditivo

Asociativa de la multiplicacin de escalares

Asociativa de la multiplicacin

Identidad de la multiplicacin

Distributiva por la izquierda

Distributiva por la derecha


173/210

Fecha : / / 2014

- 173 -

Gua Determine la Matriz que cumpla las siguientes condiciones

( , )

( )

Si ,

Si ,


174/210

Fecha : / / 2014

- 174 -

Determine la Matriz que cumpla las siguientes condiciones:

, ,

Si

Si

Si


175/210

Fecha : / / 2014

- 175 -

Calcule el valor de que cumpla las siguientes condiciones

Si

Si

Si

, =


176/210

Fecha : / / 2014

- 176 -

Calcule el valor de que cumpla las siguientes condiciones

Dadas las matrices ,

, = ( )Calcule el valor de

Dadas las matrices

,

Calcule =


177/210

Fecha : / / 2014

- 177 -

7. 2. Producto Interior (Producto de un vector fila por un vector columna)

Sea

Definimos el producto de y al nmero real dado por

Efectuar el producto (Si se puede)

No est bien definido

Producto Matricial

Sean y dos Matrices de orden y respectivamente definimos la matriz producto

de y a la que denotamos por con fila columna


178/210

Fecha : / / 2014

- 178 -

Ejemplos

Sea ,

OBS : El produto matricial no es _________________________________________

Propiedades del producto

Ley Asociativa para el producto

Existencia del elemento identidad para el producto

Ejercicios

Efectuar el producto si


179/210

Fecha : / / 2014

- 179 -

Traza y transpuesta

Traza : Sea una matriz cuadrada. Definimos la traza de ,

denotanda por tr al nmero

( La suma de los elementos de la diagonal )

Matriz tran

librodeintroducciónalgebra1

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