lie-teori och nästan kommutativa fält933841/fulltext01.pdf · geometri mått på kommu-tativitet...
TRANSCRIPT
Institutionen för naturvetenskap och teknik
Lie-teori och nästan
kommutativa fält
Malte Litsgård
Örebro universitetInstitutionen för naturvetenskap och teknikSjälvständigt arbete för kandidatexamen i matematik, 15 hp
Lie-teori och nästan kommutativa fält
Malte Litsgård
Juni 2016
Handledare: Marcus SundhällExaminator: Holger Schellwat
Abstract
We give a comprehensive introduction to manifolds, Lie groups, and theirassociated Lie algebras. A characterization of the Lie bracket which connectsthe most commonly seen characterizations in a canonical fashion is presented(thm. 4.4.1). We make use of ideas from Riemannian geometry to begin aninvestigation of what it means for vector �elds on Lie groups to be �moreor less commutative�. We present a measure of commutativity, discuss itsproperties, and close with a few suggestions for future work.
Sammanfattning
Vi ger en överskådlig introduktion till mångfalder, Lie-grupper och derasassocierade Lie-algebror. En karaktärisering av Lie-parentesen som natur-ligt kopplar ihop de vanligast förekommande karaktäriseringarna presente-ras (sats 4.4.1). Vi använder idéer från Riemanngeometrin för att inledaen undersökning av vad det betyder för vektorfält på Lie-grupper att vara�mer eller mindre kommutativa�. Vi presenterar ett mått av kommutativi-tet, diskuterar dess egenskaper och avslutar med några förslag på framtidaundersökningar.
Innehåll
1 Inledning 5
2 Topologi 7
2.1 Grundläggande begrepp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Separationsaxiom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3 Mångfalder 11
3.1 Mångfalder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.2 Immersioner och delmångfalder . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.3 Tangentrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.4 Ett exempel: Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.5 Knippen och fält . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4 Lie-grupper 25
4.1 Lie-grupper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.2 Inducerad Lie-algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.3 Exponentialfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.4 Alternativ karaktärisering av Lie-parentesen . . . . . . . . . . 34
4.4.1 Flöden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.4.2 Representationsteoretisk vinkel . . . . . . . . . . . . . 37
4.5 Några exempel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.5.1 GLn(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.5.2 SO3(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5 Riemanngeometri 41
5.1 k-tensorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.2 Riemannmetrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425.3 Kurvlängd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6 Kommutativitet av vektorfält 47
6.1 Konstruktion av norm på g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476.2 Vänsterinvarianta fält . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516.3 Framtida arbete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3
A Abstrakt algebra 58
B Samlade begrepp 61
Kapitel 1
Inledning
Den här uppsatsen ämnar göra två saker. Den första är att ge en introduk-tion till Lie-grupper som kan förstås av en intresserad matematikstudent påkandidatnivå. Den litteratur som �nns att tillgå i ämnet kan verka överväldi-gande och bygger ofta på stadiga bakomliggande kunskaper i topologi, teorinför mångfalder eller Lie-algebror. Detta är synd då Lie-grupperna blivit cen-trala objekt i den moderna matematiken (se Bishop [2]) och förtjänar attintroduceras på kandidatnivå. Här ges en handfast introduktion där centralasatser valts ut och bevisen är längre än standardbevisen, men (förhoppnings-vis) lättare att följa. Vi kommer så gott det går att hålla oss till geometriskintuition och återkoppling till välbekanta fall för att underlätta förståelsen.
Nästa syfte (som bör ses som huvudsyftet) är att med idéer från Rie-manngeometrin konstruera ett mått på hur kommutativa två vektorfält påen Lie-grupp är. Idén med att mäta �icke-kommutativitet� är inte någotteoretiskt nytt, utan används ofta (förbigående) för att karaktärisera Lie-parentesen (se t ex Simic [17]). Tanken är dock intressant och vi tittar härnärmare på vad det betyder för vektorfält att vara mer eller mindre kom-mutativa. Vi tar fram ett mått som vi kan göra beräkningar med. Dettakan tänkas tillämpas exempelvis i teorin för system av di�erentialekvationer,numerisk analys och reglerteori (se Jurdjevic [10]).
I uppsatsen presenteras en hel del teori och �ödesschemat i �gur 1.1 visarungefär den tänkta strukturen. Man bör dessutom tänka på uppsatsen somtvå delar, dock utan någon tydlig gräns mellan dessa. I början av uppsatsenförutsätts inga stora förkunskaper hos läsaren utöver grundläggande kun-skaper i �ervariabelanalys, linjär- och abstrakt algebra. Längre in i textenlämnas mer åt läsaren. Vi avslutar med några öppna frågeställningar somförslag på framtida utvecklingar av de ideér som presenteras i sista kapitlet.
Samtliga �gurer i uppsatsen är framtagna med ritprogrammet TikZ, för-utom �gur 6.2 som är framtagen med Matlab.
Jag vill rikta ett stort tack till min fantastiske handledare Marcus Sund-häll för alla långa, givande och inspirerande diskussioner!
5
Topologi MångfalderLie-
grupper
Tangentrum VektorfältLie-
algebror
Riemann-geometri
Mått påkommu-tativitet
Abstraktalgebra
Figur 1.1: Den tänkta strukturen i uppsatsen.
6
Kapitel 2
Topologi
Innan vi kan presentera mångfaldsbegreppet behöver vi lite topologisk bak-grund, så vi samlar här några viktiga begrepp från topologin. För en ingåendeintroduktion rekommenderas Gamelin och Greene [7]. Detta kapitel är inteett appendix då många matematikstudenter på kandidatnivå aldrig har lästtopologi. Den som är förtrogen med topologi kan hoppa över detta kapitel.
2.1 Grundläggande begrepp
De�nition 2.1.1. En topologi är en familj T av delmängder av en mängdX som uppfyller
1. Hela X och tomma mängden tillhör T .
2. Varje union av mängder i T tillhör T .
3. Varje ändligt snitt av mängder i T tillhör T .
Ett par (X, T ) kallas ett topologiskt rum och mängderna i T kallas öppna.
En topologi bestämmer alltså vilka delmängder av en mängd som äröppna i mängden. En topologi med få öppna mängder kallas grov och enmed många öppna mängder kallas �n.
Exempel 2.1.1. Rummet Rn tillsammans med topologin som induceras avdess norm (den �vanliga� topologin) är ett topologiskt rum.
De�nition 2.1.2. Låt X vara ett topologiskt rum. En bas för topologin påX är en familj B av öppna mängder i X sådana att varje öppen mängd i Xär en union av mängder i B.
En speciell topologi som förtjänar en de�nition här är delrumstopologin,eller relativa topologin.
7
De�nition 2.1.3. Låt (X, T ) vara ett topologiskt rum och låt S ⊆ X. Dåde�neras den relativa topologin TS enligt följande.
TS = {S ∩ U : U ∈ T } .
Låt oss precisera vad som menas med en konvergent följd i ett topologisktrum.
De�nition 2.1.4. Låt X vara ett topologiskt rum och låt {xi}∞i=1 vara enföljd i X. Följden {xi}∞i=1 säges vara konvergent mot x ∈ X om det för varje1 ≤ N <∞ �nns en omgivning U av x sådan att
i ≥ N ⇒ xi ∈ U.
De�nition 2.1.5. Låt X, Y vara topologiska rum. En funktion f : X →Y säges vara kontinuerlig om f−1(V ) är öppen i X när V är öppen i Y .Funktionen f säges vara öppen om U ⊂ X öppen ⇒ f(U) ⊂ Y öppen.
Den här de�nitionen av kontinuitet är den moderna topologiska de�nitio-nen som inte behöver någon metrik eller norm på det bakomliggande rummetför att fungera. Om vi har en kontinuerlig och bijektiv funktion med konti-nuerlig invers så bevarar den öppenhet. Den bevarar alltså den topologiskastrukturen. En sådan funktion är en topologisk isomor�, låt oss göra en de-�nition.
De�nition 2.1.6. En homeomor� är en bijektion f : X → Y mellan to-pologiska rum sådan att f och f−1 är kontinuerliga. Om det existerar enhomeomor� mellan två topologiska rum säges de vara homeomorfa. Detta ären ekvivalensrelation och betecknas ∼=.
Ofta konstruerar man nya topologiska rum genom att identi�era punkteri gamla rum med varandra. Det man får då är ett så kallat kvotrum. Vi gören formell de�nition.
De�nition 2.1.7. Låt ∼ vara en ekvivalensrelation på ett topologiskt rumX och π : X → X/ ∼ den kanoniska avbildningen som skickar x ∈ X tillsin ekvivalensklass. Då kan rummet X/ ∼ utrustas med en naturlig topologi,kvottopologin, enligt följande. U ∈ X/ ∼ är öppen om π−1(U) är öppen i X.Då är π kontinuerlig med avseende på denna topologi.
Exempel 2.1.2. De�nera en relation ∼ på R så att x ∼ y om och endast omx− y ∈ Z. Betrakta kvotrummet R/ ∼. Ekvivalensklasserna kan identi�erasmed intervallet [0, 1). De�nera en avbildning f : [0, 1)→ C, f(t) = e2πit. Dåär f([0, 1)) = S1 (enhetscirkeln). f är uppenbart bijektiv och kontinuerligmed kontinuerlig invers och därmed en homeomor�. Alltså är
S1 ∼= R/ ∼ .
8
Givet en följd {Xi}ni=1 av topologiska rum kan vi utrusta mängden
X = X1 ×X2 × · · · ×Xn
med en topologi sådan att de öppna mängderna U ⊆ X är på formen
U = U1 × U2 × · · · × Un,
där mängderna Ui är öppna i Xi för alla 1 ≤ i ≤ n.
De�nition 2.1.8. Låt {Xi}ni=1 och X vara som ovan och låt πi : X → Xi
vara de kanoniska projektionerna. Produkttopologin på X de�neras som dengrövsta topologin (topologin med minst antal öppna mängder) sådan att πiär kontinuerliga för alla 1 ≤ i ≤ n.
I ett produktrum har vi alltså identi�erat varje punkt i ett rum med etthelt rum. Det enklaste exemplet på detta är en plan (t ex R2) där varjepunkt på en linje identi�erats med en linje. Ett annat enkelt exempel är en2-torus, där varje punkt på en cirkel identi�erats med en cirkel, dvs
T2 ∼= S1 × S1.
2.2 Separationsaxiom
I ett topologiskt rum skiljer man på olika grader av separation. Löst uttrycktär det ett mått på �hur många� öppna mängder det �nns i topologin. De olikagraderna kallas T1, T2, T3 och T4. De kan karakteriseras som följer. Låt Xvara ett topologiskt rum. X är ett T1-rum om det för varje distinkt par avpunkter x, y ∈ X �nns en öppen mängd U sådan att y ∈ U och x /∈ U .Rummet X är ett T2-rum, eller Haussdor�, om det för varje par av punkterx, y ∈ X �nns disjunkta öppna mängder U , V sådana att x ∈ U och y ∈ V .Ett T1-rum X är ett T3-rum om det för varje sluten delmängd E och varjex ∈ X\E �nns öppna mängder U , V så att E ⊂ U och x ∈ V . Ett T1-rumX är ett T4-rum om det för varje par av disjunkta slutna delmängder E,F ⊂ X �nns disjunkta öppna mängder U , V sådana att E ⊂ U och F ⊂ V .Notera att dessa egenskaper bygger på varandra så att
T4 ⇒ T3 ⇒ T2 ⇒ T1,
vilket illustreras i �gur 2.1 (observera att T4 förutsätter T1).De topologiska rum som är av speciellt intresse inom analys är de som är
Haussdor�rum. Den främsta anledningen att Haussdor� är en trevlig egen-skap sammanfattas i följande sats.
Sats 2.2.1. Låt X vara ett topologiskt rum och antag att X är Haussdor�.
Låt (xn) vara en konvergent följd i X. Då konvergerar (xn) mot ett unikt
gränsvärde.
9
T1-rum
T2-rumT3-rum
T4-rum
Figur 2.1: Separationsegenskaper bygger på varandra.
Bevis. Eftersom (xn) är konvergent så �nns minst ett x så att xn → x. Antagatt xn → x och xn → x′ och att x 6= x′. Eftersom X är Haussdor� �nnsdisjunkta öppna mängder U och U ′ med x ∈ U och x′ ∈ U ′. Då xn → x�nns ett tal N ∈ R så att n > N ⇒ xn ∈ U . Å andra sidan �nns N ′ ∈ Rså att n > N ′ ⇒ xn ∈ U ′, då xn → x′. Låt N∗ = max(N,N ′). Vi får attn > N∗ ⇒ xn ∈ U ∩ U ′, men U ∩ U ′ = ∅. Alltså måste x = x′.
10
Kapitel 3
Mångfalder
En mångfald är löst formulerat ett topologiskt rum sådant att det lokalt serut som ett Euklidiskt rum. Exempelvis ser en liten bit av en 2-sfär ut somett plan. Det vet alla som stått mitt på en stor åker, trots att vi vet attJorden är rund känns det som att stå på en plan yta.
3.1 Mångfalder
De�nition 3.1.1. En (topologisk) n-mångfald M är ett topologiskt rummed dim M = n sådant att
1. M är Haussdor�.
2. Varje punkt p ∈ M har en omgivning Up som är homeomorf med ettn−klot i Rn.
3. M har uppräknelig bas av öppna mängder.
De�nition 3.1.2. Ett par {U,ϕ}, där U är en öppen mängd och ϕ är enhomeomor� mellan U och en öppen delmängd av Rn, säges vara en koordi-
natomgivning.
y
x
ϕ
U
ϕ(U)
M R2
Figur 3.1: En koordinatavbildning.
11
För att kunna exempelvis prata om vad en C∞-kurva på en mångfaldär för något behöver man ställa vissa krav på dess koordinatomgivningar.Om {U,ϕ} och {V, ψ} är koordinatomgivningar på en mångfald M sådanaatt U ∩ V 6= ∅ så behöver koordinaterna vara kompatibla i meningen attom representationen för en kurva på M är C∞ i ϕ(U) så är den det i ψ(V )också. Bytet av koordinater görs via avbildningen ψ ◦ ϕ−1 eller ϕ ◦ ψ−1. Seföljande diagram.
M
ϕ(U ∩ V ) ψ(U ∩ V )
ϕ ψ
ψ◦ϕ−1
ϕ◦ψ−1
De�nition 3.1.3. Paren {U, φ} och {V, ψ} säges vara C∞-kompatibla omU ∩ V är icke-tomt implicerar att φ ◦ ψ−1 och ψ ◦ φ−1 är bijektiva C∞-avbildningar mellan φ(U ∩ V ) och ψ(U ∩ V ).
De�nition 3.1.4. En di�erentierbar, eller C∞-, struktur på en topologiskmångfald M är en familj U = {Uα, φα} av koordinatomgivningar s.a.
1. {Uα} är en övertäckning av M .
2. För godtyckliga α, β är omgivningarna {Uα, φα} och {Uβ, φβ} C∞-kompatibla.
3. Varje koordinatomgivning {V, ψ} som är C∞-kompatibel med varje{Uα, φα} ∈ U själv �nns i U .
En C∞-mångfald är en topologisk mångfald tillsammans med en C∞-struktur.Familjen U kallas ibland för atlas och koordinatomgivningarna för kartor.
Notera att varje öppen delmängd U i en C∞-mångfaldM själv är en C∞-mångfald. Detta inses genom att först utrusta U med relativa topologin, C∞-strukturen ges då av {(V ∩ U), ψ|(V ∩ U)} för alla koordinatomgivningar{V, ψ} i M .
Följande sats visar att det är punkt (1.) och (2.) i de�nition 3.1.4 somär viktiga för att de�nera en C∞-struktur. Se Boothby [3] för ett bevis.
Sats 3.1.1. Låt M vara ett topologiskt rum som är Haussdor� och har upp-
räknelig bas av öppna mängder. Om {Uα, φα} är någon övertäckning av Msom utgörs av C∞-kompatibla koordinatomgivningar så �nns en unik C∞-struktur som innehåller de koordinatomgivningarna.
Sats 3.1.1 innebär att för att visa att en mångfald är C∞ behöver vi barahitta en övertäckning av parvis C∞-kompatibla koordinatomgivningar. Låtoss illustrera med ett par exempel.
12
Exempel 3.1.1. Rn är en C∞-mångfald. Vi väljer helt enkelt {Rn, id} somkoordinatomgivning. Varje öppen delmängd av Rn är därför också en C∞-mångfald.
Exempel 3.1.2. Låt oss titta närmare på enhetscirkeln S1 för att illustreravad kompabilitet mellan koordinatomgivningar innebär. Vi kan tänka påcirkeln som
S1 ={x ∈ R2 : ‖x‖ = 1
}.
Det är dock viktigt att påpeka att vi endast gör identi�eringen ovan föratt underlätta representationen av S1 (den ska tänkas på som ett rum, inteen kurva inbäddad i R2). Vi kan utrusta S1 med relativa topologin, så attU ⊆ S1 är öppen i S1 om
U = S1 ∩ U ,där U är öppen i R2. Detta garanterar att S1 är Haussdor� och har uppräk-nelig bas av öppna mängder. Betrakta nu de öppna delmängderna
U+1 =
{x ∈ S1 : x1 > 0
},
U−1 ={x ∈ S1 : x1 < 0
},
U+2 =
{x ∈ S1 : x2 > 0
},
U−2 ={x ∈ S1 : x2 < 0
}.
och projektionernaπ±xi : U±i → (−1, 1), x 7→ xi.
Det är enkelt att veri�era att projektionerna π±xi är homeomor�er och där-med att
{U±i , π
±xi
}är koordinatomgivningar och S1 är en topologisk 1-
mångfald. Koordinatomgivningarna{U±i , π
±xi
}är dessutom C∞-kompatibla.
U−2
U+1
R
R
π+x1
π+x2
Figur 3.2: Två koordinatomgivningar på S1.
Vi har exempelvis att
π+x1(U+1 ∩ U+
2 ) = π+x2(U+1 ∩ U+
2 ) = (0, 1),
13
och
π+x2 ◦(π+x1)−1
: (0, 1)→ (0, 1), t 7→ π+x2
((π+x1)−1
(t))
= π+x2
(t,√
1− t2).
Uppenbart är π+x2◦(π+x1)−1 en bijektiv C∞-avbildning med C∞ invers. mellan
π+x1(U+1 ∩ U+
2 ) och π+x2(U+1 ∩ U+
2 ). Att övriga koordinatomgivningar är C∞-kompatibla kan visas helt analogt. Vi har visat att S1 är en C∞-mångfald,och bevisidén går att generalisera för att visa att alla Sn är n-mångfalder.
På en C∞-mångfaldM �nns tillräckligt med struktur för att vi ska kunnaprata om en C∞-kurva på mångfalden, eller C∞-avbildningar mellan mång-falder.
De�nition 3.1.5. Låt M och N vara mångfalder. En avbildning F : M →N säges vara C∞ om det för varje p ∈ M och F (p) ∈ N �nns koordina-tomgivnigar {U,ϕ} kring p, {V, ψ} kring F (p) med F (U) ⊂ V sådana attψ ◦ F ◦ ϕ−1 är C∞. Se diagrammet nedan.
M ⊇ U V ⊆ N
Rm Rn
F
ϕ ψ
ψ◦F◦ϕ−1
Vi de�nerar två speciella typer av avbildningar mellan mångfalder.
De�nition 3.1.6. En kurva på en mångfaldM är en avbildning γ : R→M .
De�nition 3.1.7. Vi kommer kalla en avbildning f : M → R för en funktion
på M .
De�nition 3.1.8. En di�eomor� är en bijektiv C∞-avbildning F : M → Nsådan att F−1 är C∞. Två mångfalder M och N säges vara di�eomorfa omdet �nns en di�eomor� mellan dem.
3.2 Immersioner och delmångfalder
Att de�nera en delmångfald är inte helt enkelt. I litteraturen förekommer�era olika typer av delmångfalder och författare är inte helt ense om hurde bör de�neras. Samtliga är dock överens om att en delmångfald till enmångfald M är en delmängd som själv är en mångfald, se Boothby [3] för engivande diskussion. Vi gör här den mest allmänna de�nitionen. För att göraden behöver vi introducera begreppet immersion.
De�nition 3.2.1. Låt F : M → N vara en di�erentierbar avbildning mellanC∞-mångfalder. Låt p ∈M och låt {U,ϕ}, {V, ψ} vara koordinatomgivning-ar sådana att p ∈ U , F (p) ∈ V . Vi de�nerar rangen av F i p som rangen avψ ◦ F ◦ ϕ−1 i ϕ(p), dvs
rang F = rang D(ψ ◦ F ◦ ϕ−1),
14
där D betecknar funktionalmatrisen.
De�nition 3.2.2. En immersion är en avbildning F : M → N sådan attrang F = dimM överallt.
Exempel 3.2.1. Avbildningen
F : R→ R2, t 7→ (cos(t), sin(t))
har funktionalmatris
DF (t) =
(− sin(t)cos(t)
).
Uppenbart har DF (t) rang 1, så rang F = 1 = dimR och F är en immersion.
De�nition 3.2.3. Låt F : M → N vara en injektiv immersion. Om vi låterF inducera en topologi och C∞-struktur på M = F (M) så kallas M endelmångfald i N och F : M → M är en di�eomor�.
Anmärkning 3.2.1. Notera att en delmångfald inte nödvändigtvis är ett (to-pologiskt) delrum. En delmångfald som är ett delrum säges vara inbäddad.
3.3 Tangentrum
Vid varje punkt i en n-mångfald kan vi �fästa� ett n-dimensionellt vektorrum.Detta kallas tangentrummet i punkten och är ett av de viktigaste verktygenför att studera mångfalden. I denna sektion beskriver vi tangentrummet ochvisar att det går att givet en avbildning mellan mångfalder prata om dess�di�erential�. Vi ger också ett längre exempel där dessa idéer relateras tillfallet Rn. Senare kommer vi visa att vi kan samla alla tangentrum på enmångfald i ett �knippe�, för att kunna prata om vektorfält på mångfalden.
Innan vi kan göra en stringent de�nition av tangentrummet behövs föl-jande de�nition.
De�nition 3.3.1. Låt f, g vara C∞-funktioner på M . Låt f ∼ g om f ≡ gpå någon omgivning av p ∈M . Då bildar ekvivalensklasserna [f ] en algebraöver R. Vi betecknar denna C∞(p).
Nu kan vi de�nera tangentrummet.
De�nition 3.3.2. Tangentrummet Tp(M) till M vid p är mängden av av-bildningar Xp : C∞(p)→ R som för alla α, β ∈ R och f, g ∈ C∞(p) uppfyllervillkoren
1. Xp(αf + βg) = α(Xpf) + β(Xpg)
2. Xp(fg) = (Xpf)g(p) + f(p)(Xpg)
15
med vektorrumsoperatoner de�nerade enligt
(Xp + Yp)f = Xpf + Ypf,
(αXp)f = α(Xpf).
En tangentvektor till M vid p är någon Xp ∈ Tp(M).
p
M
Tp(M)
Figur 3.3: Tangentrum i p.
I termer av tangentrum vill vi kunna prata om en linjärapproximationav en C∞-avbildning på en mångfald, dvs något liknande derivatan i Rn.
De�nition 3.3.3. Låt M och N vara C∞-mångfalder och F : M → N enC∞-avbildning. Då de�neras di�erentialen till F vid p ∈M som
F∗ : Tp(M)→ TF (p)(N),
F∗(Xp)f = Xp(f ◦ F ),
där Xp ∈ Tp(M), f ∈ C∞(F (p)) är godtyckliga.
Anmärkning 3.3.1. Di�erentialen F∗ kallas ibland �push-forward� och kande�neras i termer av pullback. Vi väljer dock här att göra en mer abstraktde�nition.
Anmärkning 3.3.2. Med di�erentialen F∗ får vi ett ekvivalent alternativ tillde�nition 3.2.2. F är en immersion om och endast om F∗ är injektiv. Dettaanvänds oftast som de�nition av immersion. Att de�nitionerna är ekviva-lenta följer av en generalisering av inversa funktionsatsen som brukar kallasConstant rank theorem (se t ex Boothby [3]).
Notera att F∗(Xp) är en avbildning från C∞(F (p)) till R. Dessutom harvi för alla α, β ∈ R, Xp, Yp ∈ Tp(M)
F∗(Xp)(αf + βg) = Xp((αf + βg) ◦ F ) = Xp(α(f ◦ F ) + β(g ◦ F ))
= αXp(f ◦ F ) + βXp(g ◦ F ) = αF∗(Xp)f + βF∗(Xp)g,
16
och
F∗(Xp)(fg) = Xp((f ◦ F )(g ◦ F ))
= Xp(f ◦ F )g(F (p)) + f(F (p))Xp(g ◦ F )
= F∗(Xp)g(F (p)) + f(F (p))F∗(Xp).
Dessutom är
F∗(αXp + βYp)f = (αXp + βYp)(f ◦ F )
= αXp(f ◦ F ) + βYp(f ◦ F )
= (αF∗(Xp) + βF∗(Yp))f,
så att F∗(Xp) ∈ TF (p)(N) och F∗ är en homomor�. Direkt från de�nitionenav di�erentialen får vi följande.
Sats 3.3.1. Låt F : M →M ′, G : M ′ → N vara C∞-avbildningar, då är
(G ◦ F )∗ = G∗ ◦ F∗.
Bevis.
(G ◦ F )∗(Xp)f = Xp(f ◦ (G ◦ F )) = Xp((f ◦G) ◦ F )
= F∗(Xp)(f ◦G) = G∗(F∗(Xp))f
= (G∗ ◦ F∗)(Xp)f.
Anmärkning 3.3.3. Föregående sats brukar kallas kedjeregeln.
Sats 3.3.2. Om F : M → U ⊆ N är en di�eomor� från M till en öppen
mängd U ⊆ N och p ∈ M så är F∗ : Tp(M) → TF (p)(N) en surjektiv
isomor�.
Bevis. Eftersom de�nitionen av Tp(M) bara beror av C∞(p) så kan vi förvarje öppen omgivning U ⊂ M av p naturligt identi�era Tp(U) = Tp(M).Om F∗ är en isomor� följer alltså surjektivitet direkt. Låt idM : M → Mvara identitetsavbildningen på M . Vi har
idM∗(Xp)f = Xp(f ◦ idM ) = Xpf,
idM∗ är alltså identitetsavbildningen på Tp(M). Eftersom (G◦F )∗ = G∗ ◦F∗har vi
Xpf = (F ◦ F−1)∗(Xp)f = (F∗ ◦ F−1∗ )(Xp)f.
F−1∗ är alltså invers till F∗ som alltså måste vara bijektiv. Vi vet redan attF∗ är linjär så F∗ är (vektorrums)isomor�.
17
3.4 Ett exempel: Rn
Di�erentialen av en avbildning mellan mångfalder är ett abstrakt begrepp,så vi ger här ett exempel där den underliggande mångfalden är Rn. Då blirsituationen lättare att visualisera och tänka intuitivt på. Liknande exem-pel �nns i t ex Boothby [3] eller Sharpe [16]. Här ska vi dock fokusera påatt försöka illustrera abstrakta idéer, som t ex att tänka på vektorer somderiveringar, på ett konkret sätt.
Exempel 3.4.1. Låt p ∈ Rn. Tangentrummet Tp(Rn) kan tänkas på somrummet av alla riktade sträckor i p, dvs Rn själv betraktat som vektorrum.
Låt Xp =∑n
i=1 αiei ∈ Tp(Rn). Vi kan de�nera en riktningsderivata iriktningen Xp enligt
X ′pf =n∑
i=1
αi∂f
∂xi
∣∣∣∣p
.
Notera att om ‖Xp‖ = 1 så beskriver X ′pf förändringshastigheten av f ipunkten p i Xp:s riktning. Man veri�erar enkelt från de�nitionen att X ′p ärlinjär, dvs
X ′p(αf + βg) = αX ′pf + βX ′pg;
och uppfyller Leibniz regel, dvs
X ′p(fg) = f(p)X ′pg + g(p)X ′pf.
Låt D(p) beteckna mängden av linjära avbildningar D : C∞(p) → R somuppfyller Leibniz regel. Tillsammans med operationerna
(αD1 + βD2) f = αD1f + βD2f
är D(p) ett vektorrum. Vi ska visa följande.
Sats 3.4.1. Avbildningen Xp 7→ X ′p är en isomor� mellan Tp(Rn) och D(p).
Vi delar upp beviset i två delar; först visar vi linjäritet och injektivitetoch sedan surjektivitet.
Lemma 3.4.1. Avbildningen Xp 7→ X ′p är en vektorrumsmonomor� (injektiv
och linjär).
Bevis. Låt Xp =∑n
i=1 αiei och Yp =∑n
i=1 βiei ∈ Tp(Rn). Antag att X ′p =Y ′p . Då har vi för alla f ∈ C∞(p) att X ′pf = Y ′pf . Detta tillsammans medobservationen att
X ′pxk =
n∑
i=1
αi∂xk∂xi
∣∣∣∣p
= αk,
Y ′pxk =n∑
i=1
βi∂xk∂xi
∣∣∣∣p
= βk,
18
där xk är projektion på k:te koordinaten, ger att αk = βk, 1 ≤ k ≤ n,dvs Xp = Yp. Alltså är Xp 7→ X ′p injektiv. Vidare har vi för α, β ∈ R ochf ∈ C∞(p) att
(αXp + βYp)′f = αX ′pf + βY ′pf,
vilket visar att Tp(Rn)→ D(p), Xp 7→ X ′p är linjär.
Surjektiviteten, dvs att varje D ∈ D(p) är en riktningsderivata, är liteklurigare att visa. Vi behöver två lemman, det första är en direkt konsekvensav hur vi de�nerat D(p) och det andra är ett specialfall av Taylors formel.
Lemma 3.4.2. Låt D ∈ D(p) vara godtycklig, och låt f ∈ C∞(p) vara
konstant i en omgivning av p. Då är Df = 0.
Bevis. Eftersom D uppfyller Leibniz regel har vi D1 = D(1 · 1) = 1 ·D1 +1 ·D1 = 2D1 så att D1 = 0. Antag att f ≡ α i en omgivning av p. EftersomD är linjär har vi Df = Dα = αD1 = 0.
Lemma 3.4.3. Låt p = (p1, · · · , pn) ∈ Rn. Låt f ∈ C∞(p), då �nns ett klot
Bε(p) så att
f(x) = f(p) +n∑
i=1
(xi − pi)(∂f
∂xi
∣∣∣∣x
+ ai(x)
)
för x ∈ Bε(p), där ai(x) är C∞ och ai(p) = 0.
Bevis. Vi har
f(x)−f(p) =
∫ 1
0
∂f(p+ t(x− p))∂t
dtkedjeregeln
=
n∑
i=1
(xi − pi)∫ 1
0
∂f
∂xi
∣∣∣∣(p+t(x−p))
dt.
Partialintegrerar vi fås
∫ 1
0
∂f
∂xi
∣∣∣∣(p+t(x−p))
dt =
[t∂f
∂xi
∣∣∣∣(p+t(x−p))
]1
t=0
−∫ 1
0t
n∑
j=1
(xi − pi)∂2f
∂xi∂xj
∣∣∣∣(p+t(x−p))
dt
=∂f
∂xi
∣∣∣∣x
+ ai(x),
där funktionerna ai(x) tydligt är C∞ och ai(p) = 0.
Nu kan vi visa surjektiviteten.
Lemma 3.4.4. Avbildningen Tp(Rn)→ D(p), Xp 7→ X ′p är surjektiv.
19
Bevis. Låt f ∈ C∞(p) och D ∈ D(p) vara godtyckliga. Vi vill givet D hittaXp ∈ Tp(Rn) så att X ′pf = Df . Låt Dxi = αi. Betrakta
Xp =n∑
i=1
αiei ∈ Tp(Rn).
Vi vet att på något klot Bε(p) inneslutet i de�nitionsmängden för f har vi
för x ∈ Bε(p) att f(x) = f(p) +∑n
i=1 (xi − pi)(∂f∂xi
∣∣∣∣x
+ ai(x)
). Vi låter D
verka på f och får
Df = D(f(p)) +
n∑
i=1
D(xi − pi)(∂f
∂xi
∣∣∣∣p
+ ai(p)
)+ 0 ·D
(∂f
∂xi
∣∣∣∣p
+ ai(p)
)
= 0 +
n∑
i=1
Dxi∂f
∂xi
∣∣∣∣p
+ 0 =
n∑
i=1
αi∂f
∂xi
∣∣∣∣p
= X ′pf.
Nu kan vi enkelt bevisa att avbildningen Xp 7→ X ′p är en isomor�.
Bevis av sats 3.4.1. Lemma 3.4.1 ger att avbildningen är linjär och injektiv,lemma 3.4.4 ger att den är surjektiv.
Vi har visat att vi kan identi�era Tp(Rn) med D(p). Speciellt identi�erasbasvektorerna med riktningsderivatan i koordinataxelns riktning, dvs
ei 7→ ei′ =
∂
∂xi.
Givet en funktion F på Rn har vi sambandet
gradF · v = dF (v),
där grad betecknar gradienten och dF di�erentialen. Riktningsderivatan iv:s riktning ges av
v′F = gradF · v(se Persson och Böiers [14]), så vi ser att
v′F = dF (v). (3.1)
Vi kan använda sambandet (3.1) för att relatera di�erentialen dF till di�e-rentialen vi de�nerat på allmänna mångfalder. Vi har
dF (v) = v′F = F∗(v′) = F∗(v),
där den sista likheten följer av sats 3.4.1.
Anmärkning 3.4.1. Di�erentialen brukar i olika böcker i �ervariabelanalysgå under olika namn som di�erential, jakobian eller funktionalmatris.
20
3.5 Knippen och fält
För att stringent kunna prata om vektorfält på mångfalder behöver vi objektsom kallas knippen (bundle på engelska). Här ger vi en kort presentation avdessa och går sedan vidare till en mer intuitiv syn på vad ett vektorfält påen mångfald är för något. Den som nöjer sig med en intuitiv beskrivning avvektorfält på mångfalder kan hoppa fram till stycket efter de�nition 3.5.2.För en mycket beriplig introduktion till knippen rekomenderas Schuller [15].En mer ordentlig behandling ges av Sharpe [16].
De�nition 3.5.1. Ett �berknippe med �ber F är en kvadruppel
ξ = (E,B, π, F ),
sådan att E,B och F är topologiska rum, π : E → B är en surjektiv konti-nuerlig avbildning och det för varje b ∈ B �nns en öppen mängd U ⊆ B sominnehåller b sådan att π−1(U) ∼= U × F via en homeomor� φ så att följandediagram kommuterar.
E ⊇ π−1(U) U × F
B ⊇ U
φ
πproj1
Där proj1 är projektion på första elementet.
I ett �berknippe ξ kallas E totala rummet och B basrummet. Noteraatt för varje b ∈ B är π−1({b}) ∼= F . Om avbildningen π är C∞ är ξ ettC∞ − knippe. Man kan tänka på ett �berknippe som ett rum E som lokaltser ut som produktrummet B×F . Om E globalt kan identi�eras med B×Fsäges knippet vara trivialt.
Exempel 3.5.1. Låt B = S1, F = [0, 1], E = B×F och π =proj1. Då är ξ =(E,B, π, F ) triviala knippet. Totala rummet är en cylinder och basrummet ären cirkel på cylindern. Fibrerna är alla linjestycken parallella med cylindernsom skär cirkeln och π skickar varje sådan linje till skärningspunkten påcirkeln.
Exempel 3.5.2. Minns attMöbiusbandet kan tänkas på som en enhetskvadrat[0, 1]× [0, 1] med den övre och undre kanten identi�erad enligt(x, 0) ∼ (1 − x, 1). Låt B, π och F vara som i föregående exempel, men låtE vara Möbiusbandet. Lokalt är E ∼= B × F , men randen till E består baraav en komponent så knippet är inte trivialt. Vi kan se att om vi tittar på enomgivning på E som kan identi�eras med B × F och försöker utvidga dentill hela E kommer vi att få problem där vi identi�erat kanterna.
21
B
E
b
π−1({b})
Figur 3.4: Trivialt knippe
Vi har nu de�nerat allmänna �berknippen, men vi ska här bara intresseraoss för specialfallet då F är ett reellt vektorrum.
De�nition 3.5.2. Låt ξ = (E,B, π, F ) vara ett �berknippe. En sektion överU ⊆ B är en kontinuerlig (eller C∞) avbildning
σ : U → E
sådan att π ◦ σ = idB.
I termer av tangentvektorer, dvs elementen i Tp(M), kan vi de�nera vadett vektorfält på en mångfald M är för något. Det är vad vi får om vi förvarje punkt p ∈ M väljer en tangentvektor Xp ∈ Tp(M). För att göra enstringent de�nition inför vi en beteckning:
T (M) =⋃
p∈MTp(M),
där unionen är disjunkt. T (M) är alltså mängden av tangentvektorer på M(kallas tangentknippet till M). T (M) partitioneras i alla Tp(M), så det �nnsen kanonisk projektion
π : T (M)→M, Xp 7→ p.
Notera att T (M) är ett �berknippe med totalrum T (M), basrum M , pro-jektion π och �ber π−1({p}) = Tp(M).
De�nition 3.5.3. Ett vektorfält på en mångfald M är en funktion
X : M → T (M),
sådan att π ◦X = idM .
22
Ett vektorfält på en mångfald är alltså en sektion på tangentknippetT (M). Låt Γ(M) beteckna mängden av vektorfält påM . Vektorfälten påMbildar ett reellt vektorrum, med operationer de�nerade enligt
(αX + βY )p = αXp + βYp,
för X,Y ∈ Γ(M), p ∈ M och α, β ∈ R. Om X är ett vektorfält kommer vii fortsättningen med skrivsättet Xp mena X evaluerad i punkten p. Noteraatt om f ∈ C∞(M) och X är C∞ så är Xf ∈ C∞(M), där Xf(p) = Xpf .
Till varje vektorfält �nns en speciell associerad kurva, vi gör följandede�nition.
De�nition 3.5.4. Låt X vara ett vektorfält på M . Låt α : R → M varakurvan som uppfyller {
ddtα(t) = Xα(t)
α(0) = p,(3.2)
där p ∈ M . Kurvan α(t) kallas maximala integralkurvan till X med begyn-nelsepunkt p.
Kurvan α(t) är alltså den unika kurvan som i p har tangentvektor Xp.
Anmärkning 3.5.1. Observera att vi här de�nerar kurvan α(t) som den unikakurvan från hela R som uppfyller 3.2. Existens, unikhet och att de�nitions-området är hela R är icke-trivialt. För en nogrann behandling, se Bump[4].
Exempel 3.5.3. Vi illusterar integralkurvan med ett enkelt exempel i R2.Låt
X(x,y) =∂
∂x+ x3
∂
∂y∈ Γ(R2).
Observera att slutsatsen från exempel 3.4.1 visar att vi kan tänka på X somX(x,y) = (1, x3). Vi ska hitta integralkurvan αX(t) = (x(t), y(t)) till X medbegynnelsepunkt (0, 0). Den bestäms av ekvationssystemet
{ddtαX(t) = XαX(t)
αX(0) = (0, 0)
som har lösningαX(t) = (t, t4/4).
Om vi tänker på fältet som �ödande vatten så beskriver integralkurvan bananför en partikel som släpps ned i punkten (0, 0).
23
0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.60
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Figur 3.5: Vektorfält och en integralkurva
24
Kapitel 4
Lie-grupper
När Sophus Lie började utveckla teorin för det som idag kallas Lie-gruppervar en av hans främsta intentioner att hitta en teori som är för di�eren-tialekvationer vad Galoisteorin är för algebraiska ekvationer. Galoisteorinanvänder permutationsgrupper för att studera en algebraisk ekvations sym-metrier, men en di�erentialekvation har kontinuerliga symmetrier. Lie-grupperdyker upp som kontinuerliga symmetrigrupper i många olika fält i matema-tiken. De har blivit centrala objekt inte bara inom matematiken utan äveninom exempelvis fysiken. För en behandling av Lie-gruppernas tidiga utveck-ling och motivering rekomenderas Hawkins [8].
Lie-grupperna har en speciell egenskap, den globala strukturen på enLie-grupp kan studeras med hjälp av ett lokalt de�nerat linjärt rum kallatLie-algebran till gruppen (Lie själv kallade denna för in�nitesimal grupp).Denna korrespondens ska vi presentera här och i senare kapitel utnyttja.
4.1 Lie-grupper
De�nition 4.1.1. En Lie-grupp är en C∞-mångfald G utrustad med engruppstruktur sådan att µ : G×G→ G, (g, h) 7→ gh och τ : G→ G, g 7→ g−1
båda är C∞. Vi kommer att beteckna gruppens neutrala element med e.
Exempel 4.1.1. Vi börjar med det kanske enklaste exemplet på en Lie-grupp: (R,+). Vi har redan visat att R är en C∞-mångfald. Operationerna
(x, y) 7→ x+ y,
ochx 7→ −x
är uppenbart C∞ så (R,+) är en Lie-grupp.
Exempel 4.1.2. Nu tittar vi på det kanske mest klassiska exemplet på enLie-grupp; liknande åter�nns i exempelvis van den Ban [1] eller Boothby
25
[3]. Låt Mn(R) vara mängden av n × n−matriser med reella element. To-pologiskt kan vi identi�eraMn(R) med Rn2
. Betrakta mängden GLn(R) ={A ∈Mn(R) : det(A) 6= 0}. Observera att determinanten är ett polynom avelementen i A och är därför C∞. Speciellt är det : GLn(R)→ R kontinuerligoch urbilden av 0,
S0 = det−1({0}),är sluten. Eftersom GLn(R) = (S0)
C så är GLn(R) öppen i Mn(R) ochdärmed en C∞-mångfald. Vidare har vi att eftersom för alla A,B ∈Mn(R)gäller
det(AB) = det(A) det(B),
så att A,B ∈ GLn(R) ⇒ AB ∈ GLn(R). Elementen aij i A ∈ GLn(R)
är precis de lokala koordinaterna i Rn2, och elementen i produkten AB är
polynom av elementen i A och B så produkten
GLn(R)×GLn(R)→ GLn(R), (A,B) 7→ AB
är C∞. Inversen till A kan uttryckas
A−1 =1
det(A)(aij),
där aij är kofaktorer till A, som i sin tur är polynom av elementen i A.Därmed är även A 7→ A−1 C∞. Identitetsmatrisen In är neutralt element iGLn(R) och matrismultiplikationen är förstås associativ. Alltså är GLn(R) engrupp, med C∞ operation (matrismultiplikation) och invers, som dessutomär en C∞-mångfald. GLn(R) är alltså en Lie-grupp. Då GLn(R) är en öppendelmängd i det linjära rummet Mn(R) kan tangentrummet TIn(GLn(R))identi�eras medMn(R).
Ett specialfall av exemplet ovan är GL1(R) = R∗, dvs den multiplikativagruppen av reella (nollskilda) tal.
Anmärkning 4.1.1. Om vi mer allmänt låter V vara ett n-dimensionellt vek-torrum så är GLn(V ) dess automor�grupp och tangentrummet Te(GLn(V ))är End(V ), rummet av linjära endomor�er på V .
På Lie-grupper är det praktiskt att de�nera två speciella avbildningar,nämligen vänster- och högertranslation.
De�nition 4.1.2. Låt G vara en Lie-grupp. De�nera för α ∈ G avbildning-arna
lα : G→ G, lα(x) = αx,
rα : G→ G, rα(x) = xα.
26
Eftersom operationen på G är C∞ så är lα och rα det också. Notera attför α, β ∈ G är
(lα ◦ lβ)(x) = lα(βx) = αβx = lαβ(x).
Speciellt är lα ◦ lα−1 = lαα−1 = le så (lα)−1 = lα−1 och lα är en di�eomor�(analogt för rα).
De�nition 4.1.3. En Lie-grupphomomor� är en grupphomomor� som dess-utom är C∞.
Lemma 4.1.1. Låt G vara en Lie-grupp och H en delgrupp. Om H är en
C∞-delmångfald så är H en Lie-grupp.
Bevis. Låt µ : G×G→ G vara binära operationen på G och låt τ : G→ Gvara inversoperationen på G. Eftersom G är en Lie-grupp så är µ och τ C∞.Då H är en delgrupp till G så är operationerna på H restriktionerna µ|Hoch τ |H, som förstås också är C∞. Vidare är H en C∞-delmångfald ochspeciellt en C∞-mångfald och därmed en Lie-grupp.
Följande välkända sats bevisar vi inte här. Se exempelvis van den Ban[1].
Sats 4.1.1. Låt G vara en Lie-grupp. Varje delgrupp till G som är sluten
med avseende på topologin i G är en Lie-grupp.
Exempel 4.1.3. Betrakta On(R) ={A ∈ GLn(R) : A−1 = AT
}. Eftersom
I−1n = In = ITn så visar
A,B ∈ On(R)⇒ (AB−1)−1 = BA−1 = BAT = (ABT )T = (AB−1)T
att On(R) är en delgrupp i GLn(R). Betrakta nu den kontinuerliga avbild-ningen
F : GLn(R)→ GLn(R), A 7→ ATA.
Eftersom On(R) = f−1({In}) så är On(R) sluten i GLn(R) och därmed enLie-grupp. Vidare implicerar AT = A−1 att
det(A) = ±1,
och då det : On(R)→ {−1, 1} är kontinuerlig och {1} är öppen i {−1, 1} såär
det−1({1}) = SOn(R) = {A ∈ On(R) : det(A) = 1}en öppen delmångfald i On(R). Dessutom är SOn(R) delgrupp i On(R) såäven SOn(R) en Lie-grupp.
27
4.2 Inducerad Lie-algebra
Vi ska visa att varje Lie-grupp G är relaterad till en speciell algebra, kalladLie-algebran g till G. Innan vi kan de�nera g som en algebra behöver vibygga upp lite bakgrund.
De�nition 4.2.1. Ett vänsterinvariant vektorfält på en Lie-grupp G är ettvektorfält X sådant att
lg∗Xp = Xgp, för alla p, g ∈ G.
Begreppet vänsterinvarians kommer i fortsättningen att vara centralt såvi försöker ge en geometrisk bild av vad det betyder för ett vektorfält att varavänsterinvariant. Gruppstrukturen på G tillåter att vi med vänstertransle-ring ��yttar� punkter på den underliggande mångfalden. Di�erentialen avvänstertranslationen ��yttar� vektorer från ett tangentrum till ett annat.Att ett vektorfält är vänsterinvariant betyder då att vi kan ta en vektori fältet och med di�erentialen av vänstertranslering �ytta på den utan atthamna utanför vektorfältet. En ekvivalent formulering är att ett fält X ärvänsterinvariant om och endast om X helt bestäms av Xe.
För att få en bild av hur de vänsterinvarianta fälten ser ut på en givenLie-grupp (eller undersöka om ett givet fält är vänsterinvariant) behöver viförstå vad vi menar med att ��ytta� vektorer. Med andra ord behöver vi vetavad di�erentialen av vänstertranslering på den aktuella gruppen är. Låt osstitta på ett par enkla exempel.
Exempel 4.2.1. Betrakta Lie-gruppen R2 (med addition som operation).Det neutrala elementet är (0, 0). Antag att x, y ∈ R2. Vänstertransleringmed y ges då av
ly(x) = y + x.
Notera att funktionalmatrisen av ly är identitetsmatrisen, så att
ly∗ = id.
Givet ett vektorfält X ∈ Γ(R2) har vi alltså att
ly∗Xp = Xp,
och X är vänsterinvariant om och endast om Xp = X(y+p) för alla p, y ∈ R2.Med andra ord är de vänsterinvarianta fälten på R2 precis de konstantafälten.
Exempel 4.2.2. Betrakta nu Lie-gruppen S1. Eftersom S1 går att bäddain i R2 kan vi tänka på den som
S1 ={
(cos(t), sin(t)) ∈ R2 : t ∈ [0, 2π)},
28
T(1,0)(S1)
S1
X(1,0)
Figur 4.1: S1, tangentrummet i (1, 0) och en vektor inbäddade i R2.
med operationen
(cos(t), sin(t)) · (cos(s), sin(s)) = (cos(t+ s), sin(t+ s)).
Då är (1, 0) neutralt element och vänstertranslering med en punkt a =(cos(α), sin(α)) ges av
(cos(t), sin(t))la7−→ (cos(t+ α), sin(t+ α)) .
Notera att vänstertranslering med a är detsamma som rotation kring origomed vinkeln α. Detta är en linjärtransformation så la = la∗. Vi har att
T(1,0)S1 = R.
Med vår inbäddning av S1 i R2 har alla vektorer i T(1,0)S1 formen X(1,0) =
λ ∂∂y . Genom att rotera dessa kring origo, dvs ��ytta� dem på S1, får vi de
vänsterinvarianta fälten på S1. Vi kan tänka på vektorerna i T(1,0)S1 som
X(1,0) =
(0λ
),
och di�erentialen av vänstertransleringen som rotationsmatrisen
la∗ =
(cos(α) − sin(α)sin(α) cos(α)
).
Alltså måste (med vår inbäddning i R2) de vänsterinvarianta fälten ha formen
Xa = la∗X(1,0) = −λ sin(α)∂
∂x+ λ cos(α)
∂
∂y.
29
I fortsättningen kommer vi med vektorfält mena C∞-vektorfält. Låt L(G)vara mängden av vänsterinvarianta vektorfält på G. Notera att om X,Y ∈L(G), α, β ∈ R och g, p ∈ G så är
lg∗(αX + βY )p = lg∗(αXp + βYp) = αlg∗Xp + βlg∗Yp
= αXgp + βYgp = (αX + βY )gp.
Uppenbart är 0 ∈ L(G) så att L(G) är ett delrum i Γ(G). Ett vektorrumav vänsterinvarianta vektorfält kan verka abstrakt men man kan göra enintressant identi�ering.
Sats 4.2.1. Låt G vara en Lie-grupp med neutralt element e. Avbildningen
Φ : L(G)→ Te(G), X 7→ Xe
är en vektorrumsisomor�.
Bevis. Uppenbart är Φ linjär, ty
αX + βY 7→ (αX + βY )e = αXe + βYe
för alla X,Y ∈ L(G), α, β ∈ R. Antag nu att X ∈ ker(Φ), så att X 7→ Xe =0. Vi har
0 = lg∗0 = lg∗Xe = Xg ⇒ X = 0,
så att ker(Φ) = {0} och Φ är injektiv. Antag att v ∈ Te(G). För att visasurjektivitet söker viX ∈ L(G) sådant attXe = v. Vi kan de�neraXg = lg∗v,då följer att
la∗Xg = (la∗ ◦ lg∗)v = lag∗v = Xag
för alla a ∈ G, dvs X ∈ L(G).
Anmärkning 4.2.1. Om v ∈ Te(G) så betecknas motsvarande vänsterinva-rianta vektorfält v† ∈ L(G). Denna notation kommer dock bara nyttjas dåotydlighet kan uppstå.
Lemma 4.2.1. Om X,Y ∈ L(G), så är Zp = (X ◦ Y − Y ◦X)p ∈ Tp(G).
Bevis. Låt f, g ∈ C∞(p) och α, β ∈ R. Vi har
Zp(αf + βg) = (X ◦ Y − Y ◦X)p(αf + βg)
= α(Xp(Y f)− Yp(Xf)) + β(Xp(Y g)− Yp(Xg)) = αZpf + βZpg.
Så Zp är linjär, vidare har vi
Zpfg = (X ◦ Y − Y ◦X)pfg = Xp(Y fg)− Yp(Xfg)
= Xp(f · Y g + g · Y f)− Yp(f ·Xg + g ·Xf)
= f(p)(Xp(Y g)− Yp(Xg)) + g(p)(Xp(Y f)− Yp(Xf)) = f(p)Zpg + g(p)Zpf,
så Leibniz regel är uppfylld.
30
Vi ser att sammansättningen Z = (X ◦ Y − Y ◦X) i varje punkt ger entangentvektor, speciellt är Z själv ett vektorfält.
De�nition 4.2.2. På ett rum av vektorfält på G de�neras kommutatorn
(eller Lie-parentesen) [·, ·] enligt
[X,Y ]f = (X ◦ Y )f − (Y ◦X)f,
där X,Y är vektorfält och f ∈ C∞(G).
Lemma 4.2.2. L(G) är slutet under kommutatorn.
Bevis. Låt X,Y ∈ L(G), a, p ∈ G och f ∈ C∞(G). Vi har
la∗ [X,Y ]p f = la∗(Xp(Y f)− Yp(Xf)) = la∗(Xp(Y f))− la∗(Yp(Xf))
= Xap(Y f)− Yap(Xf) = [X,Y ]ap f.
Så [X,Y ] ∈ L(G).
Anmärkning 4.2.2. Notera att operatorn f 7→ Xp(Y f) i allmänhet inte de-�nerar en tangentvektor vid p, då Leibniz regel fallerar:
Xp(Y fg) = f(p)Xp(Y g) + g(p)Xp(Y f) + Ypg ·Xpf + Ypf ·Xpg.
Men som vi visat ovan de�nerar f 7→ [X,Y ]pf = Xp(Y f) − Yp(Xf) entangentvektor vid p.
De�nition 4.2.3. Lie-algebran g till en Lie-grupp G är tangentrummet vidneutrala elementet Te(G) tillsammans med operationen
[·, ·] : g× g→ g, (u, v) 7→[u†, v†
]e.
Produkten av två tangentvektorer är alltså värdet i neutrala elementet avkommutatorn på deras motsvarande vänsterinvarianta vektorfält.
Anmärkning 4.2.3. Vi kommer där det är lämpligt att tänka på Lie-algebransom rummet av vänsterinvarianta vektorfält. Med skrivsättet X ∈ g menasdet vänsterinvarianta vektorfält X sådant att Xp = lp∗Xe, där Xe ∈ g.
4.3 Exponentialfunktionen
Exponentialfunktionen är nog den viktigaste avbildningen som presenterasi denna uppsats. Den är viktig eftersom den ger en länk mellan en Lie-grupp och dess Lie-algebra. En liknande, men mer ingående och teknisk,framställning ges i van den Ban [1].
Låt G vara en Lie-grupp, Xe ∈ Te(G) och αX(t) vara maximala integral-kurvan till X med αX(0) = e. Vi börjar med att notera en viktig egenskapför αX(t).
31
Lemma 4.3.1. αX(s+ t) = αX(s)αX(t).
Bevis. Fixera s ∈ R och beteckna p = αX(s). Då är βX(t) = pαX(t) maximalintegralkurva tillX med begynnelsepunkt p. Å andra sidan har vi för βX(t) =α(s + t) att βX(0) = αX(s) = p. Eftersom maximala integralkurvan till Xmed begynnelsepunkt p är unik får vi att
βX(t) = βX(t).
De�nition 4.3.1. Exponentialfunktionen exp : g→ G de�neras av
exp(X) = αX(1).
Lemma 4.3.2. Exponentialfunktionen uppfyller följande för s, t ∈ R, X ∈ g:
1. exp(sX) = αX(s).
2. exp((s+ t)X) = exp(sX) exp(tX).
Bevis. (1.) Låt β(t) = αX(st), då är β(0) = e och
d
dtβ(t) =
d
dt(αX(st)) = sXαX(st) = sXβ(t),
så β(t) = αsX(t). Påståendet följer om vi evaluerar i t = 1.(2.) exp((s+ t)X) = αX(s+ t) = αX(s)αX(t) = exp(sX) exp(tX).
Vi presenterar följande egenskaper utan bevis. För en ordentlig behand-ling se t ex van den Ban [1].
Lemma 4.3.3. exp : g→ G är C∞ och en lokal di�eomor� vid 0. Di�eren-tialen av exp vid 0 ges av exp∗ = idTe(G).
Exempel 4.3.1. Innan miniräknare och datorer var tillgängliga användeman sig av räknesticka och logaritmtabell om man ville multiplicera storatal snabbt. Att dessa skulle ha något alls med Lie-grupper att göra kanskeinte verkar uppenbart, men det är faktiskt ett enkelt exempel på den korre-spondens som uppstår mellan en Lie-grupp och dess Lie-algebra i och medexponentialfunktionen. Betrakta Lie-gruppen
(R∗+, ·
)= ({x ∈ R : x > 0} , ·).
Dess tangentrum vid 1 är T1(R∗+) = R1. Minns från exemplet med Rn (exem-pel 3.4.1) att vi kan identi�era varje vektor med riktningsderivatan i vektornsriktning. I det här fallet får vi för en avbildning F och y ∈ R1 att di�erenti-alen i x ges av
F∗(y) = y · dFdt
∣∣∣∣x
.
32
Speciellt är för a ∈ R∗+
(la)∗y = ydladt
∣∣∣∣x
= ay,
eftersom dla(t)dt = a. Vi ser att de vänsterinvarianta fälten på R∗+ är på for-
men yx = xy. För att bestämma exponentialfunktionens utseende vill vihitta integralkurvorna till dessa. Låt y vara ett vänsterinvariant fält. Då gesintegralkurvan αy(t) av ekvationssystemet
{α′y(t) = αy(t) · yαy(0) = 1
som har lösningen αy(t) = eyt, alltså är exponentialfunktionen
exp(y) = αy(1) = ey.
Betrakta speciellt y = 1. Lemma 4.3.2 ger att för s, t ∈ R är es+t = es · et.Eftersom vi vet att x = ey är bijektiv med invers y = log(x) kan vi översättaett problem i Lie-gruppen R∗+ (multiplikation) till ett problem i dess Lie-algebra R1 (addition). Detta är precis principen som räknestickan bygger på(se Niklitschek [12]).
De�nition 4.3.2. En C∞-grupphomomor� α : R→ G kallas en 1-parameterdelgrupp
i G.
Notera att, namnet till trots, α bara är en kurva på G sådan att α(s+t) =α(s)α(t). Eftersom den inte behöver vara injektiv så är den inte nödvändigt-vis en delgrupp.
Lemma 4.3.4. Låt α vara en 1-parameterdelgrupp i G och låt ddtα(0) = Xe.
Då är
α(t) = exp(tX).
Bevis. Eftersom α(t) är en grupphomomor� så är α(0) = e. Dessutom är
d
dtα(t)
kedjeregeln=
d
dsα(t+ s)
∣∣s=0
=d
dsα(t)α(s)
∣∣s=0
=d
ds
(lα(t)(α(s))
) ∣∣s=0
= lα(t)∗Xe = Xα(t).
Detta ger α(t) = αX(t) = exp(tX).
Alltså är 1-parameterdelgrupperna i G exakt de maximala integralkur-vorna till de vänsterinvarianta vektorfälten på G, och eftersom maximalaintegralkurvan till ett vektorfält X med begynnelsepunkt e är unik �nns hären korrespondens mellan G och dess Lie-algebra g. Nu kan vi presentera ettmycket viktigt och vackert resultat.
33
Sats 4.3.1. Låt G,H vara Lie-grupper, g, h deras Lie-algebror och F : G→ Hen Lie-grupphomomor�. Då kommuterar följande diagram
g h
G H
F∗
exp exp
F
Bevis. Antag attX ∈ g. Då exp(tX) är 1-parameterdelgrupp iG så är α(t) =F (exp(tX)) en 1-parameterdelgrupp i H, ty F är Lie-grupphomomor�. No-tera att
d
dtα(0) = F∗
(d
dtexp(tX)
∣∣∣∣t=0
)= F∗Xe ∈ Te(H)
så enligt lemma 4.3.4 är α(t) = exp(tF∗X). Insättning av t = 1 ger
F (exp(X)) = exp(F∗X),
för alla X ∈ g.
4.4 Alternativ karaktärisering av Lie-parentesen
De�nitionen vi gett av Lie-parentesen (i termer av kommutatorn) är nog denenklaste att formulera, men den är svår att ta till sig intuitivt. För att hjälpaförståelsen ska vi här presentera ett par andra vinklar man kan använda föratt närma sig konceptet. Vi börjar med att försöka uttrycka kommutatorn itermer av �öden på vektorfält.
4.4.1 Flöden
Det går att tänka på Lie-parentesen på ett ganska geometriskt sätt. Dennavinkel tycks dock inte uttryckas explicit i standardlitteraturen, så här ska viillustrera vad vi menar med �geometriskt�. Vi börjar med att precisera vadvi menar med �ödet av ett vektorfält på en Lie-grupp.
De�nition 4.4.1. Låt X vara ett vektorfält på en Lie-grupp G. FlödetφX(t, g) av X är avbildningen
φX : R×G→ G, (t, g) 7→ g · exp(tX).
Flödet i en punkt g är alltså integralkurvan med begynnelsepunkt g. Förett senare bevis behövs följande tekniska lemma.
Lemma 4.4.1. Låt G vara Lie-grupp, g ∈ G, f ∈ C∞(g), ψ en di�eomor�
på G och låt X ∈ g vara vektorfält på G. Då gäller
((Xf) ◦ ψ)(g) =((ψ−1)∗Xψ(g)
)(f ◦ ψ).
34
Bevis.((ψ−1)∗Xψ(g)
)(f ◦ ψ) = Xψ(g)((f ◦ ψ) ◦ ψ−1) = Xψ(g)f = (Xf)(ψ(g)).
Vi vill försöka beskriva förändringen av ett vektorfält Y i en punkt �längsmed� �ödet av ett annat fält X. Tittar vi i punkten e skulle denna förändringkunna ges av ett gränsvärde av typen
limt→0
Yexp(tX) − Yet
enligt ett resonemang analogt med det som de�nerar derivatan i envariabela-nalys. Lägg dock märke till att gränsvärdet ovan inte alls fungerar, eftersomYexp(tX) ∈ Texp(tX)(G), men Ye ∈ Te(G). Vektorerna ligger alltså inte ens isamma vektorrum! Vi behöver något lite mer so�stikerat. Minns att Xe ∈ gär en linjär reellvärd avbildning från C∞(e) som uppfyller Leibniz regel. Viformulerar ett lemma.
Lemma 4.4.2. Låt G vara en Lie-grupp, X ∈ g och låt f vara en C∞-funktion på G. Då är
Xef = limt→0
f(exp(tXe))− f(e)
t.
Bevis. Då f : G→ R och R är en mångfald så kan vi ta di�erentialen
f∗ : Te(G)→ R
av f . Låt αX(t) vara maximala integralkurvan till X. Vi får
Xef = Xe(id ◦ f) = f∗(Xe)id
= f∗(α′X(0))id
= f∗
(d
dtexp(tXe)
∣∣∣∣t=0
)id
= f∗ ◦ exp(Xe)∗
(d
dt
∣∣∣∣t=0
)id
= (f ◦ exp(Xe))∗
(d
dt
∣∣∣∣t=0
)id
=d
dt(f(exp(tXe)))
∣∣∣∣t=0
= limt→0
f(exp(tXe))− f(exp(0))
t
= limt→0
f(exp(tXe))− f(e)
t.
35
De�nition 4.4.2. Vi de�nerar
LXY = limt→0
rexp(−tX)∗Yexp(tX) − Yet
.
Notera att subtraktionen i täljaren är de�nerad då
rexp(−tX)∗Yexp(tX) ∈ Te(G).
Vi kan skapa en intuitiv bild av vad de�nitionen av LXY egentligen betydergenom att tänka i lokala koordinater. Vi tänker oss någon omgivning av eavbildad på Rn, där vi ju kan identi�era tangentvektorerna med geometriskavektorer (riktade sträckor). Vi får något i stil med �gur 4.2. Figuren visar
Ye
Yexp(tX)
rexp(tX)∗Yexp(tX)
eexp(tX)
Figur 4.2: Liten förändring av Y längs integralkurvan av X
integralkurvan av X i e. Vektorerna Ye och Yexp(tX) ligger (oavsett hur litett är) i olika rum, men via di�erentialen av rexp(−tX) kan Yexp(tX) ��yttas� tillTe(G).
Nu är vi redo att ge en geometrisk karaktärisering av Lie-parentesen.
Sats 4.4.1. Låt X,Y ∈ g. Då är
LXY = [X,Y ]
Bevis. Låt f ∈ C∞(e). Vi har
Xe(Y f) = limt→0
(Y f)(exp(tXe))− (Y f)(e)
t
= limt→0
(Y f ◦ rexp(tXe))(e)− (Y f)(e)
t
lemma 4.4.1= lim
t→0
rexp(−tXe)∗Yexp(tXe)(f ◦ rexp(tX))− (Yef)
t
= limt→0
((rexp(−tXe)∗Yexp(tXe))
(f ◦ rexp(tXe))− f)
t+
(rexp(−tXe)∗Yexp(tXe) − Ye)t
f
)
= Ye(Xf) + (LXY )f.
36
Vi får att Xe(Y f) = Ye(Xf) + (LXY )f , dvs
(LXY )f = Xe(Y f)− Ye(Xf) = [X,Y ]e f.
Detta bevisar påståendet eftersom X och Y och därmed [X,Y ] är vänste-rinvarianta och därför helt bestämda av sitt värde i e.
Anmärkning 4.4.1. Sats 4.4.1 och bevisidén till denna har inspirerats avTorres del Castillo [20] (proposition 2.20 ) där ett liknande påstående bevisasför kommutatorn av vektorfält på en mångfald.
Låt oss meditera lite över detta resultat. Vi de�nerade Lie-parentesen avtvå vektorer Xe, Ye som kommutatorn av de vänsterinvarianta fält X,Y somgenereras av vektorerna. Nu har vi visat att vi kan titta på vad som händermed Y då vi evaluerar det längs med integralkurvan tillX och med den infor-mationen beräkna kommutatorn. Eller med andra ord, det vänsterinvariantafältet [X,Y ] ges av förändringen av Y längs med �ödet av X. I nästa sektionska vi med denna geometriska synvinkel koppla ihop vår tidigare de�nitionav Lie-parentesen med en annan vanligt förekommande karaktärisering.
4.4.2 Representationsteoretisk vinkel
Vi har de�nerat Lie-parentesen [X,Y ] som kommutatorn av de vänsterin-varianta vektorfälten X†, Y † evaluerad i e och i termer av �förändring längs�öden�. Här ska vi med hjälp av representationer ge en alternativ formule-ring, som nog är den vanligast förekommande i litteraturen. I van den Ban[1] är den representationsteoretiska karaktäriseringen av Lie-parentesen denenda som presenteras och detta är ganska vanligt i standardlitteraturen, menhär ska vi koppla ihop denna karaktärisering med den geometriska vinkelnsom presenterades i föregående sektion.
De�nition 4.4.3. En representation av en ändlig-dimensionell Lie-grupp Gpå ett ändlig-dimensionellt vektorrum V är en grupphomomor�
ρ : G→ GL(V ).
För varje element g ∈ G �nns alltså en automor� ρ(g) som verkar på V .Vi ska konstruera en representation av G på g.
De�nition 4.4.4. Den inre automor�n inducerad av g ∈ G de�neras somIg(x) = gxg−1, för x ∈ G.
Notera att Ig är en Lie-gruppautomor� då Ig = lg ◦ r−1g och vi harfastställt att lg, rg ∈ Aut(G). Dessutom är Ig(e) = e för alla g ∈ G, ty Ig(e) =geg−1 = gg−1 = e. Om vi di�erentierar Ig vid e får vi (Ig)∗ : Te(G)→ Te(G).Geometriskt ser vi att om γ(t) är någon kurva på G som löper genom e, såskickas γ(t) av Ig till någon annan kurva γ(t) på G som också löper genome (eftersom Ig(e) = e). Därför skickar (Ig)∗ tangentvektorn till γ(t) vid e tillnågon annan tangentvektor vid e.
37
De�nition 4.4.5. Vi de�nerar den adjungerade representationen av G somAd(g) = (Ig)∗,
Ad : G→ GL(g), g 7→ Ad(g).
Notera att Ad verkligen är en representation av G på g då den är enhomomor�,
Ad(gh) = (Igh)∗ = (Ig ◦ Ih)∗ = Ig∗ ◦ Ih∗ = Ad(g) ◦Ad(h)
ochAd : G→ GL(g).
Sats 4.4.2. Låt G vara Lie-grupp och g dess Lie-algebra. Låt X,Y ∈ g. Dåär
Ad∗(X)Y = [X,Y ] .
Bevis. För att underlätta läsbarheten låter vi här D0 beteckna derivatanmed avseende på t evaluerad i t = 0. Vi har
Ad∗(Xe)Ye = D0Ad(exp(tXe))Ye = D0(Iexp(tXe))∗Ye
= D0(rexp(−tXe)∗ ◦ lexp(tXe)∗)Ye = D0(rexp(−tXe)∗(Yexp(tXe)))
= limt→0
rexp(−tXe)∗Yexp(tX) − Yet
sats 4.4.1= LXYe
= [X,Y ]e .
Anmärkning 4.4.2. Notera att de tre karaktäriseringarna av Lie-parentesensom ges av de�nition 4.2.3, sats 4.4.1 och sats 4.4.2 naturligt kopplas ihopav sats 4.4.1, som är den geometriska tolkningen.
4.5 Några exempel
4.5.1 GLn(R)
Exempel 4.5.1. Vi visade i exempel 4.1.2 att GLn(R) är en Lie-grupp medtangentrum TInGLn(R) = Mn(R). Låt A ∈ GLn(R). Avbildningen IA ärlinjär och kan ses som restriktionen IA|GLn(R) av
IA :Mn(R)→Mn(R), Y 7→ AY A−1.
Med detta resonemang står det klart att (IA)∗ = IA. Avbildningen
Ad(A) :Mn(R)→Mn(R)
ges därför avAd(A)Y = (IA)∗Y = IAY = AY A−1.
38
Ett resonemang analogt med det i exempel 4.3.1 ger att exp : Mn(R) →GLn(R) är den vanliga exponentialfunktionen för matriser, dvs
Aexp7−→ eA.
Om vi nu låter A = etX ser vi att eftersom Ad(A)Y = AY A−1 = etXY e−tX
så är
Ad∗(A)Y =d
dt
(etXY e−tX
) ∣∣∣∣t=0
= XY − Y X,
så enl. sats 4.4.2 är[X,Y ] = XY − Y X.
4.5.2 SO3(R)
Exempel 4.5.2. I exempel 4.1.3 visade vi att grupperna On(R) och SOn(R)är Lie-grupper. Vi ska titta lite närmare på
SO3(R) ={A ∈ GL3(R) : AT = A−1, det(A) = 1
},
även känd som rotationsgruppen då den verkar på det Euklidiska rummet R3
som rotationer kring origo. Låt A ∈ SO3(R). Tänk på varje element i A somen di�erentierbar funktion av någon parameter t, dvs A = A(t), sådan attA(0) = I3. Implicit derivering av villkoret
AT (t)A(t) = I3
gerd
dt(ATA) = 0⇔ (A′)TA+AT (A′) = 0.
Evaluerar vi i A = I3, dvs t = 0, får vi
(A′)T + (A′) = 0.
Eftersom SO3(R) är den sammanhängande del av O3(R) som innehåller I3så är tangentrummet till SO3(R) i I3
TI3SO3(R) ={Y ∈M3(R) : Y T = −Y
}.
Nu när vi hittat tangentrummet i I3 kan vi undersöka strukturen i Lie-algebran so3. En elementär beräkning (lös ekvationssystemet Y T = −Y ) geratt varje matris Y ∈ so3 kan skrivas på formen
Y =
0 −c bc 0 −a−b a 0
.
De�nera en avbildningω : so3 → R3,
39
sådan att
0 −c bc 0 −a−b a 0
ω7−→
abc
.
Uppenbart är ω en isomor�. Liksom i det föregående exemplet är
[X,Y ] = XY − Y X
och vi kan explicit skriva vad kommutatorn gör elementvis. Låt för den sakensskull
X =
0 −c bc 0 −a−b a 0
, Y =
0 −z yz 0 −x−y x 0
.
Vi ser att
[X,Y ] =
0 −(ay − bx) cx− azay − bx 0 −(bz − cy)−(cx− az) bz − cy 0
.
Speciellt kan vi identi�era
ω([X,Y ]) =
bz − cycx− azay − bx
= ω(X)× ω(Y ),
så att(so3, [·, ·]) ∼= (R3,×),
Lie-algebran till SO3(R) är alltså isomorf med R3 tillsammans med vektor-produkten.
Anmärkning 4.5.1. Det visar sig faktiskt att alla de klassiska gruppernaGLn (allmänna linjära gruppen), SLn (speciella linjära gruppen), On (orto-gonala gruppen), SOn (speciella ortogonala gruppen), Spinn (spinngruppen),Sp2n(R) (symplektiska gruppen), Spn (kompakta symplektiska gruppen), Un(unitära gruppen) och SUn (speciella unitära gruppen) är Lie-grupper. Där-emot är de förstås inte de enda Lie-grupperna. Nämnvärt är att av alla sfärerSn är bara S0, S1 och S3 Lie-grupper. För att bevisa det skulle vi dock be-höva introducera homologi (speci�kt de Rham kohomologi, se Fok [6]), vilketinte tjänar våra senare syften i uppsatsen, så vi nöjer oss med att nämnadet.
40
Kapitel 5
Riemanngeometri
Vi ska här presentera idéer från Riemanngeometrin, som tillåter oss att prataom (i någon mening) �avstånd�, �krökning� och �räta linjer� på mångfalder.Vi inleder med en sektion om k-tensorer (dock en kort sektion, för den intres-serade läsaren rekomenderas Spivak [18]) och använder dessa för att utrustatangentrummen med inre produkter. När vi har byggt upp den grunden blirdet enkelt att de�nera längd av kurvor o dyl på mångfalder. Vi ska i kapitel6 använda dessa ideér för att konstruera ett mått på hur kommutativa tvåvektorfält är.
5.1 k-tensorer
Låt V vara ett vektorrum över R. Minns att en avbildning T : V k → R sägesvara multilinjär om
T (v1, v2, · · · , αvi+βv′i, · · · , vk) = αT (v1, v2, · · · , vi, · · · , vk)+βT (v1, v2, · · · , v′i, · · · , vk),
för alla 1 ≤ i ≤ k och alla α, β ∈ R.
De�nition 5.1.1. En multilinjär avbildning T : V k → R kallas en k-tensor.
Mängden av k-tensorer bildar ett vektorrum T k(V ) om vi för S, T ∈T k(V ) och α ∈ R de�nerar
(S + T )(v1, · · · , vk) = S(v1, · · · , vk) + T (v1, · · · , vk),(αT )(v1, · · · , vk) = αT (v1, · · · , vk).
Vi kan också de�nera en operation som knyter ihop de olika rummen T k(V ).
De�nition 5.1.2. Låt T ∈ T k(V ) och S ∈ T l(V ). Deras tensorproduktT ⊗ S ∈ T k+l(V ) de�neras enligt
(T ⊗ S)(v1, · · · , vk+l) = T (v1, · · · , vk)S(vk+1, · · · , vk+l).
41
Anmärkning 5.1.1. Den uppmärksamme kanske noterar att tensorprodukteninte används någonstans i denna uppsats. Vi väljer ändå att ta med de�ni-tionen av den anledning att benämningen tensorprodukt kan användas omolika operationer, beroende på sammanhang.
Exempel 5.1.1. det : Rn×n → R, där
det(v1, · · · , vn) = det([v1| · · · |vn])
är en n-tensor på Rn, dvs det ∈ T n(Rn).
Exempel 5.1.2. Skalärprodukten u • v =∑n
i=1 uivi på Rn är en 2-tensor.
5.2 Riemannmetrik
Vi ska nu koncentrera oss på 2-tensorer (kallas ibland bilinjära former). Om{e1, · · · , en} är bas för V så bestäms g ∈ T 2(V ) helt av de n2 värdena
αij = g(ei, ej), 1 ≤ i, j ≤ n.
Om u =∑n
i=1 uiei, v =∑n
i=1 viei är något par av vektorer i V så får vifrån bilinjäriteten att
g(u,v) =
n∑
i,j=1
αijuivj .
En 2-tensor kallas symmetrisk om g(u,v) = g(v,u) och skevsymmetrisk omg(u,v) = −g(v,u). Vi säger att g är positivt de�nit om g(v,v) ≥ 0 (medlikhet om och endast om v = 0). En symmetrisk, positivt de�nit 2-tensorbrukar kallas en inre produkt (minns att vi jobbar med reella mångfalder, såvi behöver inte tänka på komplexkonjugat).
De�nition 5.2.1. Låt M vara en mångfald. Ett C∞-2-tensorfält på M ären funktion
Φ : M → T 2(T (M)), p 7→ Φp ∈ T 2(Tp(M))
sådan att för alla C∞-vektorfält X,Y är Φ(X,Y )(p) = Φp(Xp, Yp) en C∞-funktion.
De�nition 5.2.2. En mångfald M tillsammans med ett C∞ 2-tensorfältΦ sådant att Φp är symmetrisk och positivt de�nit för alla p ∈ M kallasen Riemannsk mångfald och Φ kallas Riemannmetriktensor (eller bara Rie-
mannmetrik).
Vi kan tänka på en Riemannsk mångfald som en mångfald M där viutrustat tangentrummen i varje punkt p ∈M med en inre produkt Φp (så attΦp varierar C∞ med p). Det enklaste exemplet på en Riemannsk mångfald ärRn tillsammans med skalärprodukten, Riemannmetriken är då ett konstantfält. Vi gör en observation som direkt kommer ge en stor klass av Riemannskamångfalder.
42
Lemma 5.2.1. Låt M,N vara mångfalder, F∗ : T (M) → T (N) vara en
linjär C∞-avbildning och låt Φ vara en Riemannmetrik på N . Då är
(F ∗Φ)(u,v) = Φ(F∗(u), F∗(v))
ett symmetriskt C∞ 2-tensorfält på M . Om F är en immersion så är (F ∗Φ)en Riemannmetrik på M (kallas ibland pullback-metriken).
Anmärkning 5.2.1. Vi utelämnar beviset som inte är svårt att genomföramen ganska långt, se Boothby [3].
Notera att lemma 5.2.1 direkt implicerar att varje delmångfald till Rn ären Riemannsk mångfald, faktiskt till och med att varje delmångfald till enRiemannsk mångfald själv är en Riemannsk mångfald. Vi illustrerar med ettenkelt exempel.
Exempel 5.2.1. Låt Φ vara Riemannmetriken vi de�nerade tidigare på R3
(dvs skalärprodukten). Betrakta en 2-torus T2 ∼= S1×S1 ⊆ R3. Vi kan tänkapå T2 som kvotrummet
([0, 2π]× [0, 2π]) / ∼,där relationen ∼ identi�erar kanterna som i �gur 5.1. Vårt mål är att bädda
aa
b
b
Figur 5.1: Identi�ering av kanterna enligt pilarnas orientering ger en torus.
in T2 i R3 genom parametrisering. Betraka funktionen F : T2 → R3, de�-nerad enligt följande. Låt p ∈ [0, 2π) × [0, 2π) ha koordinater (p1, p2) ochde�nera
F (p) = ((1 + cos(p1)) cos(p2), (1 + cos(p1)) sin(p2), sin(p1)) .
Notera att F är injektiv och parametriserar T2 i R3. Med en enkel beräkningser vi att rang F = 2 =dim T2 så F är en immersion och T2 är en delmångfaldi R3. Nu när vi bäddat in T2 i R3 kan vi betrakta avbildningen
id : T2 → R3.
id är uppenbart en immersion så enligt lemma 5.2.1 är
(id∗Φ)(x, y) = Φ(id∗(x), id∗(y)) = Φ(x, y) = 〈x, y〉en Riemannmetrik på T2.
43
5.3 Kurvlängd
Låt γ : [a, b] → M vara en kurva på en Riemannsk mångfald M med Rie-mannmetrik Φ. Vektorn dγ
dt ∈ Tγ(t)(M) är tangentvektor till γ vid γ(t).
De�nition 5.3.1. Längden av γ de�neras som
L =
∫ b
a
√Φγ(t)
(dγ
dt,dγ
dt
)dt
Lemma 5.3.1. Längden av en kurva är oberoende av parametrisering.
Bevis. Låt γ vara en kurva påM och låt längden vara L =∫ ba
√Φγ(t)
(dγdt ,
dγdt
)dt.
Låt nu t = f(s), a′ ≤ s ≤ b′. Vi får∫ b′
a′
√Φγ(s)
(dγ
ds,dγ
ds
)ds =
∫ b
a
√Φγ(t)
(dγ
dt
dt
ds,dγ
dt
dt
ds
)ds
dtdt
=
∫ b
a
√Φγ(t)
(dγ
dt,dγ
dt
)(dt
ds
)2ds
dtdt
=
∫ b
a
√Φγ(t)
(dγ
dt,dγ
dt
)dt.
Den sista likheten följer av inversa funktionssatsen.
Notera att om vi låter längden bero av en parameter, säg t, får vi
s = L(t) =
∫ t
a
√Φγ(τ)
(dγ
dτ,dγ
dτ
)dτ
och analysens fundamentalsats (se Persson och Böiers [13]) ger att
ds =
√Φγ(t)
(dγ
dt,dγ
dt
)dt.
Vi ser att ds kan betraktas som ett �bågelement�.
Exempel 5.3.1. Låt γ : [a, b] → R vara en kurva i Rn, med koordina-ter γ(t) = (x1(t), · · · , xn(t)). Om vi låter den vanliga inre produkten varaRiemannmetrik får vi
ds =
√⟨dγ
dt,dγ
dt
⟩dt =
√√√√n∑
i=1
(x′i(t))2dt,
44
och γ:s längd är∫ b
a
√√√√n∑
i=1
(x′i(t))2dt =
∫
γds
som vi är vana vid (se Persson och Böiers [13]).
Exempel 5.3.2. Betrakta rummet R2+ =
{(x, y) ∈ R2 : y > 0
}. Låt Rie-
mannmetriken på rummet ges av
Φ(x,y)(u, v) =1
y2〈u, v〉 ,
där 〈·, ·〉 är vanliga inre produkten på R2. Om γ(t) = (x(t), y(t)), t ∈ [a, b],är en kurva på R2
+ så ges dess längd av
Lγ(t) =
∫ b
a
1
y(t)
√(dx
dt
)2
+
(dy
dt
)2
dt.
Figur 5.2 visar två kurvor, ett cirkelsegment γ(t) = (cos(t), sin(t)), t ∈[π4 ,
3π4
]
y
x
η(t)
γ(t)
( 1√2, 1√
2)(− 1√
2, 1√
2)
Figur 5.2: Två kurvor i övre halvplanet
och ett linjestycke η(t) = ( t√2, 1√
2), t ∈ [−1, 1]. Bägge kurvor sammanbinder
de två punkterna (− 1√2, 1√
2) och ( 1√
2, 1√
2). I den vanliga Euklidiska geome-
trin är det helt klart att linjestycket η har kortast längd, men hur är det medRiemannmetriken Φ? Vi räknar
Lγ(t) =
∫ 3π/4
π/2
1
sin(t)dt = 2 log
(1
tan(π8 )
)≈ 1, 7627,
45
men
Lη(t) =
∫ 1
−1dt = 2
Det räta linjestycket η är alltså längre än cirkelsegmentet. Notera specielltatt varje kurva som närmar sig x-axeln kommer att växa sig oändligt lång.
Vi vill här understryka att vi bara presenterar några idéer från Riemanng-eometrin för att använda dem i nästa kapitel. Riemanngeometrin är i sigsjälvt ett väldigt spännande område och hela den här uppsatsen skulle kun-na ägnas åt den. Vi har nu presenterat de idéer som kommer att användas,men det går inte att låta bli att åtminstonde nämna några fantastiska re-sultat som vi ju byggt upp teori mot. Det första som måste nämnas är atten sammanhängande Riemannsk mångfaldM verkligen är ett metriskt rum,med metrik de�nerad enligt följande. Givet två punkter p1, p2 ∈M de�nerasavståndet mellan dem som in�mum av mängden av längder av segmentvisC1-kurvor från p1 till p2, dvs
d(p1, p2) = inf{Lγ : γ segmentvis C1-kurva från p1 till p2
}.
Dessutom stämmer topologin på M som mångfald överens med topologinsom induceras av denna metrik. Med hjälp av metriken påM kan vi de�neraså kallade geodeter, som motsvaras av räta linjer i den Euklidiska geometrin.En geodet är en kurva sådan att varje segment med startpunkt p1 och slut-punkt p2 har längden d(p1, p2). Med andra ord är en geodet den kurva somföljer den kortaste vägen mellan två punkter.
Den som vill läsa mer om Riemanngeometri rekomenderas den mycketläsbara Boothby [3].
46
Kapitel 6
Kommutativitet av vektorfält
Vi börjar med att precisera vad vi menar med kommutativitet av vektorfält.
De�nition 6.0.2. Låt M vara en mångfald och X,Y ∈ Γ(M). Då säges Xoch Y kommutera om
φXt ◦ φYt = φYt ◦ φXt ,där φX är �ödet av X.
Om X och Y är vektorfält så säger ett välkänt resultat att
[X,Y ] = 0 ⇔ φXt ◦ φYt = φYt ◦ φXt ,
dvs om kommutatorn är identiskt 0 så kommuterar fälten (se Spivak [19]).Denna observation gör att vi skulle kunna de�nera kommutativitet av tvåvektorfält enligt
X och Y kommuterar⇔ [X,Y ] = 0.
I ett �ertal situtioner intresserar man sig för om vektorfält kommuterar.Oftast tänker vi på kommutativitet som en egenskap som antingen besittseller inte gör det: �Antingen kommuterar X och Y eller så gör de det inte�.Vad händer om vi inte tänker så? Kan man precisera vad man menar med�nästan kommutativa�? I litteraturen nämns inte mycket om detta. Här skavi inleda en undersökning och presentera några ideér. Vi ska med andra ordundersöka vad som händer då
[X,Y ] 6= 0.
6.1 Konstruktion av norm på g
Vi ska använda koordinatomgivningar på en Lie-grupp G för att med hjälpav pullback konstruera en norm på Te(G). Låt dimG = n och {U,ϕ} varanågon koordinatomgivning på G kring e. Vi börjar med ett lemma.
47
Lemma 6.1.1. Låt M och N vara mångfalder och antag att
ξ : M → N
är en lokal di�eomor�. Då är ξ en immersion.
Bevis. Då ξ är lokal di�eomor� så �nns det någon öppen mängd U ⊆ Msådan att
ξ : U → V ⊆ När en di�eomor�. Eftersom U själv är en mångfald (då den är öppen) gersats 3.3.2 att för p ∈ U är
ξ∗ : Tp(M)→ Tξ(p)(N)
en isomor�. Speciellt är ξ∗ injektiv så att ξ är en immersion.
Korollarium 6.1.1. Om {U,ϕ} är koordinatomgivning på M så är ϕ en
immersion.
Vi har alltså attϕ : G→ Rn
är en immersion. Di�erentierar vi i p ∈ U så får vi
ϕ∗ : Tp(G)→ T0(Rn),
dvsϕ∗ : Tp(G)→ Rn.
Låt x, y ∈ Rn vara godtyckliga och låt
ΦRn(x, y) = 〈x, y〉
vara Riemannmetrik på Rn (dvs vanliga inre produkten). Låt p ∈ U ,X,Y ∈ goch låt x = ϕ∗(Xp) och y = ϕ∗(Yp). Eftersom ϕ är en immersion så ger lem-ma 5.2.1 att
ΦUp (Xp, Yp) = (ϕ∗ΦRn)(Xp, Yp) = ΦRn(ϕ∗(Xp), ϕ∗(Yp)) = ΦRn(x, y) = 〈x, y〉
är en Riemannmetrik på U . Vi ska motivera att denna är global på G. Devänsterinvarianta vektorfälten på G bestäms helt av sitt värde i e så normenav en vektor Xp i fältet borde också vara helt bestämd av normen av Xe. Attfältet är vänsterinvariant betyder ju just att en vektor kan transleras utanatt �hamna utanför� fältet.
48
Exempel 6.1.1. I exempel 4.5.2 visade vi att Lie-algebran so3 till rotations-gruppen SO3(R) är
so3 ={A ∈Mn(R) : AT = −A
}
tillsammans med operationen
[X,Y ] = XY − Y X.
Exponentialfunktionen är den vanliga exponentialfunktionen för matriser ochde vänsterinvarianta vektorfälten på SO3(R) ges för någon matris X ∈ so3av
X†A = AX.
Eller, då vi visat att man kan identi�era so3 med R3, för någon vektor x ∈ R3
x†A = Ax.
Vektorerna i ett vänsterinvariant vektorfält på SO3(R) är alltså rotationerav x, så normen av en godtycklig vektor i fältet är uppenbart bestämd av x(här har till och med varje vektor i fältet samma norm).
Låt nu {U,ϕ} vara koordinatomgivning kring e och antag att vi har enöppen mängd V ∈ G sådan att V inte är innesluten i U . För p ∈ V menp /∈ U är ΦU
e (Xp, Yp) inte de�nerat. Vi har dock ett verktyg med vilket vikan ��ytta in� p i U , nämligen vänstertranslationen lp−1 . De�nera därför
ΦGp = (ϕ ◦ lp−1)∗ΦRn .
Notera att eftersom lp−1 är en di�eomor� så är ϕ◦lp−1 en lokal di�eomor� ochenl. lemma 6.1.1 en immersion. Lägg också märke till att för alla X,Y ∈ goch p ∈ G är
ΦGp (Xp, Yp) = (ϕ ◦ lp−1)∗ΦRn(Xp, Yp) = ΦRn(ϕ∗(Xe), ϕ∗(Ye)) = 〈ϕ∗(Xe), ϕ∗(Ye)〉 .
Alltså är ΦGp invariant under translering så vi kan de�nera
ΦG(Xp, Yp) = 〈ϕ∗(Xe), ϕ∗(Ye)〉 .
Vi kan nu naturligt de�nera en norm på g.
De�nition 6.1.1. Låt X ∈ g. Vi de�nerar
‖X‖g =√
ΦG(Xe, Xe) =√〈ϕ∗(Xe), ϕ∗(Xe)〉 = ‖ϕ∗(Xe)‖Rn .
Anmärkning 6.1.1. Då förväxling gällande vilken koordinatavbildning somavses kommer vi att använda notationen ‖X‖ϕg , där ϕ är avsedd koordinatav-bildning.
49
Vi har i de�nition 6.1.1 kallat avbildningen ‖·‖g : g → R för norm, menvi har kvar att visa att den verkligen är en norm.
Sats 6.1.1. ‖·‖g är en norm.
Bevis. Låt X och Y vara vänsterinvarianta, dvs X,Y ∈ g. Låt λ ∈ R. Vi fåratt
‖λX‖g = ‖ϕ∗(λXe)‖Rn = |λ| · ‖ϕ∗(Xe)‖Rn = |λ| · ‖X‖goch
‖X + Y ‖g = ‖ϕ∗(Xe + Ye)‖Rn ≤ ‖ϕ∗(Xe)‖Rn + ‖ϕ∗(Ye)‖Rn = ‖X‖g + ‖Y ‖g .
Notera att påståendena ovan följer av att di�erentialen ϕ∗ är linjär. Vi harkvar att visa att ‖X‖g = 0 ⇒ X = 0, dvs att om normen av det vänsterin-varianta vektorfältet X är 0 så måste X vara nollfältet. Vi har
‖X‖g = 0⇔ ‖ϕ∗(Xe)‖Rn = 0,
och då ‖·‖Rn är en norm så ger det att ϕ∗(Xe) = 0. Eftersom ϕ∗ är enisomor� måste då Xe = 0. Vi visade i sats 4.2.1 att
Te(G) ∼= g
vilket ger att Xe = 0⇒ X = 0.
Nu när vi vet att ‖·‖g verkligen är en norm följer alla egenskaper som ärkända från teorin för normerade rum. Exempelvis har vi följande.
Sats 6.1.2. Låt {U,ϕ} och {V, ψ} vara två olika koordinatomgivningar på
G sådana att e ∈ U och e ∈ V . Då är
‖X‖ϕg = ‖ϕ∗(Xe)‖Rn ,‖X‖ψg = ‖ψ∗(Xe)‖Rn
ekvivalenta normer på g, dvs om{X(k)
}∞k=0
är en följd i g och X ∈ g så har
vi
∥∥∥X(k) −X∥∥∥ϕ
g→ 0, då k →∞⇔
∥∥∥X(k) −X∥∥∥ψ
g→ 0, då k →∞.
Bevis. Påståendet följer direkt eftersom varje norm på ett ändlig-dimensionelltvektorrum är ekvivalent (se Debnath och Mikusinski [5]), och dim g = n.
50
6.2 Vänsterinvarianta fält
Här ska vi undersöka fallet då vi har två vänsterinvarianta vektorfältX och Ypå en Lie-grupp G. Vi har karaktäriserat Lie-parentesen som �förändring avett fält längs �ödet av ett annat� i sats 4.4.1. Man kan visa att en ekvivalentkaraktärisering ges av
[X,Y ] =1
2
d2
dt2(φY−t ◦ φX−t ◦ φYt ◦ φXt
) ∣∣∣∣t=0
. (6.1)
Den uppmärksamme noterar något lite underligt här, vi vet att [X,Y ] ∈T (G) men högerledet ovan ser ut att vara ett element i T (T (G)), dvs entangentvektor till T (G). Man kan dock visa att
d
dt
(φY−t ◦ φX−t ◦ φYt ◦ φXt
) ∣∣∣∣t=0
= 0
och under det antagandet de�nerar
d2
dt2(φY−t ◦ φX−t ◦ φYt ◦ φXt
) ∣∣∣∣t=0
en tangentvektor till G. Denna vektor är precis 2 [X,Y ] (se t ex Spivak [19]).Vidare kan man göra omskrivningen
1
2
d2
dt2(φY−t ◦ φX−t ◦ φYt ◦ φXt
) ∣∣∣∣t=0
=d
dt
(φY−√t◦ φX−√t ◦ φ
Y√t◦ φX√
t
) ∣∣∣∣t=0
vilket motiverar att vi kan tänka på [X,Y ]e som tangentvektor till kurvanφY−√t◦ φX−√t ◦ φ
Y√t◦ φX√
toch vidare att normen av [X,Y ] är ett mått på �hur
icke-kommutativa� fälten X och Y är. Därför gör vi följande de�nition.
De�nition 6.2.1. Låt G vara en Lie-grupp, g dess Lie-algebra och låtX,Y ∈ g vara två vänsterinvarianta vektorfält på G. Ett mått på hur icke-kommutativa X och Y är ges av
Cgϕ(X,Y ) = ‖[X,Y ]‖ϕg .
Anmärkning 6.2.1. Observera att Cgϕ inte är ett mått i den mått-teoretiskameningen (dvs en viss typ av funktion från en σ-algebra till R+). Med måttmenar vi här bara att Cgϕ mäter något.
Vi har följande sats.
Sats 6.2.1. Cgϕ(X,Y ) = 0 om och endast om X och Y kommuterar.
Bevis. X och Y kommuterar om och endast om [X,Y ] = 0 (se Spivak [19],Lemma 13, kap. 5 ) och
Cgϕ(X,Y ) = 0⇔ ‖[X,Y ]‖g = 0⇔ [X,Y ] = 0.
51
Låt oss titta på ett enkelt exempel.
Exempel 6.2.1. Betrakta Lie-gruppen GL2(R) med Lie-algebra gl2 =M2(R).De vänsterinvarianta fälten är på formen
X†A = AXI2 .
De�nera en avbildning
F :M2(R)→ R4,
(a bc d
)7→
abcd
.
Notera att restriktionen ϕ = F |GL2(R) duger som koordinatavbildning ochϕ∗ = F . Eftersom de vänsterinvarianta fälten på GL2(R) bestäms av matriserkan vi illustrera att måttet på deras kommutativitet stämmer överens medvad man intuitivt tänker att det borde vara. Om två matriser kommuteraroch vi låter elementen i den ena variera C∞, så borde också måttet på deraskommutativitet variera C∞. Betrakta matriserna
X =
(1 21 2
), Y =
(1 42 3
)∈ gl2,
och låt γ1(t), γ2(t), γ3(t) och γ4(t) vara C∞-funktioner på R sådana attγ1(0) = γ2(0) = γ3(0) = γ4(0) = 0. Notera att XY = Y X. Om vi nulåter varje element i Y variera C∞ enligt
Yγ(t) =
(1 + γ1(t) 4 + γ2(t)2 + γ3(t) 3 + γ4(t)
)
så borde också Cgl2ϕ (X,Yγ(t)) variera C∞. Vi räknar
Cgl2ϕ (X,Yγ(t)) = · · ·
=√
(γ1(t) + γ3(t)− γ4(t))2 + (2γ1(t) + γ2(t)− 2γ4(t))2 + 2(γ2(t)− 2γ3(t))2,
som är C∞ på R och Cgl2µ (X,Yγ(t)) = 0 om t = 0.Om vi låter γ1(t) = t, γ2(t) = t2, γ3(t) = t3 och γ4(t) = t4 så får vi
grafen i �gur 6.1 för Cgl2ϕ (X,Yγ(t)).
Föregående exempel ger en bild av att vi kan tänka intuitivt på måttetav kommutativitet, men intuition måste behandlas med försiktighet! LåtX,Y och Z vara vänsterinvarianta fält på en Lie-grupp. Vi har visat attdet går att mäta hur icke-kommutativa X och Y är men måttet är inte enmetrik, då triangelolikheten fallerar (läsaren uppmanas att i sättningen förexemplet ovan hitta ett motexempel, det är inte svårt). Vi kan inte heller göra
52
Cgl2ϕ (X,Yγ(t))
t
Figur 6.1: Måttet på kommutativitet av vänsterinvarianta fält varierar C∞.
uttalanden som �X och Y är mer kommutativa än X och Z�. Detta eftersomnormen vi de�nerat är beroende av val av koordinatomgivning {U,ϕ} kringe och det går förstås att välja olika ϕ (vi skulle alltså kunna säga att �X ochY är mer kommutativa än X och Z med avseende på koordinatomgivningen
{U,ϕ}�).Däremot är konvergens av följder av vektorfält en egenskap som inte beror
av detta val (följd av sats 6.1.2). Vi formulerar detta som ett korollarium.
Korollarium 6.2.1 (Korollarium till sats 6.1.2). Låt G vara en Lie-grupp
med Lie-algebra g och låt {Uα, ϕα} vara alla koordinatomgivningar kring e.Låt X ∈ g och låt
{Y (k)
}∞k=0∈ g vara en följd sådan att
Y (k) → Y, då k →∞och X och Y kommuterar. Då gäller
Cgϕα(X,Y (k))→ 0, då k →∞,för alla α.
Bevis. Från sats 6.1.2 får vi att om {Uα, ϕα} och {Uβ, ϕβ} är godtyckligakoordinatomgivningar kring e så gäller
∥∥∥[X,Y (k)
]∥∥∥ϕα
g→ 0, då k →∞
om och endast om ∥∥∥[X,Y (k)
]∥∥∥ϕβ
g→ 0, då k →∞.
Påståendet följer.
53
Att ordning inte är bevarat under byte av koordinatavbildning men attkonvergens är det kan förstås med ett intuitivt exempel.
Exempel 6.2.2. Antag att vi har samma förutsättningar som i exempel6.2.1. Med avseende på ϕ har vi för matriserna (vektorfälten)
X =
(1 21 2
), Y =
(1 11 2
), Z =
(2 21 2
)∈ gl2,
attCgl2ϕ (X,Y ) ≤ Cgl2ϕ (X,Z).
Om vi däremot väljer koordinatavbildningen
(a bc d
)ψ7−→
a110b110cd
så ärCgl2ψ (X,Z) ≤ Cgl2ϕ (X,Y ).
I exemplet ovan är det lätt att se varför ordning inte bevaras: ψ kom-mer ju att förminska elementen [X,Y ]1,2 och [X,Y ]2,1, medan ϕ inte gördet. Låt oss illustrera en konsekvens av detta. Vi betraktar Lie-gruppen R2,och två vektorfält på denna (dock inte vänsterinvarianta fält, eftersom allavänsterinvarianta fält på R2 kommuterar). Låt
X =∂
∂x+ x3
∂
∂y,
Y =∂
∂x+ y2
∂
∂y.
Längs med linjen (0, y) kommuterar X och Y , men där de inte gör det kom-mer Cr2ϕ bero av ϕ. Figur 6.2 visar en illustrering av Cr2ϕ över [−1, 1]× [−1, 1]för två olika val av koordinatavbildning ϕ (lägg märke till skalan).
6.3 Framtida arbete
Tidsspannet för att skriva den här uppsatsen har varit begränsat och det�nns fortfarande många frågor att undersöka. Här följer en något informelldiskussion som ämnar presentera några idéer som vore intressanta att un-dersöka.
Vi kan hittills bara säga att X och Y är mer kommutativa än X och Zmed avseende på någon koordinatomgivning. Om det går att precisera hur Cgϕberor av ϕ så vore det intressant. Det �nns här en analogi vi kan jämföramed. Antag att vi har ett vektorrum och vill mäta en vektors magnitud.
54
Figur 6.2: Måttet av kommutativitet beror av val av koordinatavbildning.
Det vi gör då är att de�nera en norm på rummet. Liksom för måttet vide�nerat här kommer ordning vara beroende av vilken norm vi väljer ochdet �nns egentligen ingen norm som är att föredra, vilken vi väljer beror påsituationen. Att ordning inte bevaras av måttet kan ses som en följd av attordning inte bevaras under olika val av norm.
I nuläget kan vi på grund av beroendet av ϕ egentligen inte tänka påmåttets målmängd som R, utan snarare som något i stil med
B(0, ε) ∪ {∞} ,
dvs antingen är X och Y kommutativa, icke-kommutativa eller så ligger[X,Y ] i varje omgivning av 0 så att X och Y är �nästan kommutativa� (Yär då gräns för en konvergent följd). Detta är förstås inte långt ifrån attbara kunna tala om kommutativa eller icke-kommutativa fält. Därför är detönskvärt att precisera hur Cgϕ beror av ϕ.
Det skulle förstås kunna vara så att vi inte kan precisera om X och Y ärmer kommutativa än X och Z av den enkla anledningen att en sådan ord-ning inte är möjlig. Då Lie-algebran är ett ändlig-dimensionellt topologisktvektorrum så induceras dess topologi av normen vi beskrivit. Dessutom harvi att [
X,Y (k)]→ 0⇒ exp
([X,Y (k)
])→ e,
då exp är kontinuerlig. Det betyder att om vi har en konvergent följd avvektorfält i Lie-algebran g så induceras en konvergent följd i Lie-gruppenG via exponentialfunktionen (se �gur 6.3). Låt y = exp([X,Y ]) och z =exp([X,Z]). Vi kan översätta problemet att avgöra vilka fält som kommu-terar mest till problemet att avgöra vilken av y och z som ligger �närmast�e. Frågan är då med avseende på vilken metrik? En idé att undersöka skullekunna vara följande.
55
g G
0[X, Y (k)
] eexp(
[X, Y (k)
])
Figur 6.3: En konvergent följd i en Lie-algebra inducerar via exponential-funktionen en konvergent följd i en Lie-grupp.
Låt
Y = {Omgivningar av e som innehåller y men inte z}
ochZ = {Omgivningar av e som innehåller z men inte y} .
Vi kan givet något (mått-teoretiskt) mått bestämma inf Y och inf Z ochavgöra vilket av dessa som är minst. Frågan är om detta ger upphov till enordning av kommutativitet?
En fråga som uppstår är förstås hur �mer eller mindre kommutativa fält�borde de�neras. Vilken de�nition som är lämplig beror förstås på vilkenaspekt av kommutativitet som är intressant för situationen vi be�nner ossi. Det vore intressant att se strukturella likheter och olikheter i mått avkommutativitet som utgår från olika de�nitioner. I den här framställningenhar vi tänkt på måttet av kommutativitet som �magnitud av kommutatorn�.Ett annat sätt att de�nera grad av kommutativitet skulle kunna vara attkonstruera ett mått (i den mått-teoretiska meningen) på den underliggandeLie-gruppen G och mäta mängden
{p ∈ G : [X,Y ]p = 0
}.
Eller med andra ord, mäta på hur stor del av gruppen X och Y kommuterar.Bristen med den de�nitionen är att om X och Y ingenstans kommuterar helt(även om de är �nästan kommutativa� överallt) så ser de ut att inte vara inärheten av kommutativa.
Vi har hittills bara undersökt fallet vänsterinvarianta fält, och den up-penbara generaliseringen är att undersöka vad som händer om vi tar bortkravet på vänsterinvarians. Om vi nu betraktar två vektorfält X,Y ∈ Γ(G)som inte nödvändigtvis är vänsterinvarianta så kan vi inte längre utnyttjakorrespondensen mellan en Lie-grupp och dess associerade Lie-algebra. Ef-tersom (lp−1)∗(Xp) inte nödvändigtvis sammanfaller med Xe så gäller intelängre
ΦG(Xp, Yp) = (ϕ ◦ lp−1)∗ΦRn(Xp, Yp) = 〈ϕ∗(Xe), ϕ∗(Ye)〉 .
56
Det betyder att ‖·‖g inte längre är global på G. Vi kan däremot fortfarandeanvända samma idé som tidigare om vi jobbar lokalt. Eftersom G är enmångfald �nns för varje p ∈ G en koordinatomgivning {Vp, ψp} sådan attp ∈ Vp. Då ψp är en immersion så är
ΦGp = ψ∗pΦRn
en Riemannmetrik på G. Notera att i och med att vi inte kräver att X och Yär vänsterinvarianta har vi inte utnyttjat gruppstrukturen på G. Därför ärΦ en Riemannmetrik även på en C∞ n-mångfald M . Det skulle kunna varaså att vi inte längre tjänar något på att bara titta på Lie-grupper iställetför mer allmänna mångfalder om vi inte begränsar oss till vänsterinvariantafält.
Slutligen vore det ett intressant steg på vägen att göra en klassi�ceringav de mångfalder som ett mått av kommutativitet lämpar sig särskilt väl på(om en sådan klassi�cering existerar?).
57
Bilaga A
Abstrakt algebra
Vi samlar här några viktiga begrepp från den abstrakta algebran. Dettaappendix är inte tänkt som en introduktion utan snarare en uppfriskningav minnet. För en ordentlig behandling rekomenderas Hazewinkel, Gubarenioch Kirichenko [9] och Lang [11].
De�nition A.0.1. En grupp G = (G,�) är en mängd G tillsammans meden operation � : G×G→ G sådan att
1. Om g, h ∈ G så g � h ∈ G.
2. Det �nns e ∈ G sådant att för alla g, h ∈ G gäller g � e = e� g = g.
3. För alla g ∈ G �nns hg ∈ G sådant att g � hg = hg � g = e.
4. För alla g, h, k ∈ G gäller (g � h)� k = g � (h� k).
Om det i en grupp (G,�) dessutom gäller att g � h = h � g för allag, h ∈ G så säges (G,�) vara abelsk. Oftast skriver vi gh istället för g � h,eller g + h om G är abelsk.
Exempel A.0.1. GLn(R) = {A ∈Mn(R) : det(A) 6= 0}, dvs mängden avinverterbara n×n-matriser, tillsammans med matrismultiplikation bildar engrupp.
Exempel A.0.2. Z2 = {0, 1} tillsammans med addition modulo 2 bildar engrupp.
De�nition A.0.2. Låt (G,�) vara en grupp. En delmängd H ⊆ G somsjälv är en grupp med operationen �|H kallas delgrupp i G och vi skriverH ≤ G.
Exempel A.0.3. SLn(R) = {A ∈Mn(R) : det(A) = 1} är en delgrupp iGLn(R).
58
De�nition A.0.3. En delgrupp N ≤ G sådan att det för alla g ∈ G ochn ∈ N gäller gn = ng säges vara normal och vi skriver N / G.
De�nition A.0.4. Låt G vara en grupp och N / G. En sidoklass är enmängd gN = {gn : n ∈ N}. Vi de�nerar kvotgruppen G/N som mängden avsidoklasser tillsammans med operationen gN � hN = ghN .
De�nition A.0.5. Låt (G, ·) och (H,�) vara grupper. En grupphomomor�
är en avbildning φ : G→ H sådan att
φ(g1 · g2) = φ(g1)� φ(g2).
Om φ är bijektiv säges φ vara en gruppisomor� och G och H säges varaisomorfa. Vi skriver då G ∼= H. En gruppisomor� ψ : G→ G kallasgruppautomor�.
Exempel A.0.4. Gruppen (2Z,+) är normal i Z och Z/2Z ∼= Z2.
De�nition A.0.6. En ring (R,+, ·) är en abelsk grupp (R,+) tillsammansmed en operation · : R×R→ R som för alla r, s, t ∈ R uppfyller
1. (r · s) · t = r · (s · t),
2. r · (s+ t) = (r · s) + (r · t),
3. (s+ t) · r = (s · r) + (t · r).
+ kallas addition och · kallas multiplikation.
I en ring brukar det additiva neutrala elementet skrivas 0. En ring medett (multiplikativt) neutralt element 1 kallas ring med etta. En ring R sådanatt för alla r, s ∈ R är r · s = s · r kallas kommutativ. Ett element i sr ∈ Rsådant att r · sr = sr · r = 1 kallas enhet.
De�nition A.0.7. En kropp är en kommutativ ring (F,+, ·) med etta därvarje element utom 0 är en enhet.
Exempel A.0.5. Q,R och C är kroppar. Z är inte en kropp då multiplikativainverser saknas.
De�nition A.0.8. Ett vektorrum över en kropp F är en mängd V tillsam-mans med två operationer
(x, y) 7→ x+ y : V × V → V
(λ, x) 7→ λx : F× V → V
som kallas addition och skalärmultiplikation. Dessa ska för alla x, y, z ∈ Voch α, β ∈ F uppfylla
59
1. x+ y = y + x,
2. (x+ y) + z = x+ (y + z);
3. För varje x, y ∈ V �nns ett z ∈ V sådant att x+ z = y;
4. α(βx) = (αβ)x,
5. (α+ β)x = αx+ βx,
6. α(x+ y) = αx+ αy,
7. 1x = x.
Elementen i V kallas vektorer.
Exempel A.0.6. Rn med (a1, a2, · · · , an) + (b1, b2n · · · , bn) = (a1 + b1, a2 +b2, · · · , an+bn) och λ(a1, a2, · · · , an) = (λa1, λa2, · · · , λan) är ett vektorrum.
De�nition A.0.9. En algebra över en kropp F är ett vektorrum A tillsam-mans med en bilinjär operation · : A×A→ A sådan att för alla x, y, z ∈ Voch α, β ∈ F det gäller att
1. (x+ y) · z = x · z + y · z,
2. z · (x+ y) = z · x+ z · y,
3. (αx) · (βy) = (αβ)(x · y)).
Exempel A.0.7. Vektorrummet R3 tillsammans med vektorprodukten (kryss-produkten)
(x, y) 7→ x× y = (x2y3 − x3y2, x3y1 − x1y3, x1y2 − x2y1)
bildar en algebra över R.
60
Bilaga B
Samlade begrepp
I uppsatsen förekommer många begrepp (som för en matematikstudent påkandidatnivå kan vara helt nya). Vi har för bekvämlighetens skull samlatnågra av de viktigaste här tillsammans med en kortare föklaring som upp-friskning av minnet.
Algebra Ett vektorrum med en extra operation, se de�nition A.0.9.
Automor� En isomor� från ett objekt till sig självt.
Di�erential (på mångfald) Di�erentialen av en avbildning F (betecknadF∗) är en avbildning som skickar tangentvektorer vid p till tangentvek-torer vid F (p), se de�nition 3.3.3.
Di�eomor� En C∞-avbildning med C∞-invers (bevarar C∞-struktur).
Endomor� En homomor� från ett objekt till sig självt.
Exponentialfunktion En funktion från en Lie-algebra till sin Lie-grupp.Se de�nition 4.3.1.
Flöde (på Lie-grupp) Flödet av ett vektorfält X genom punkten p (be-tecknas φXt (p)) är maximala integralkurvan genom p, dvs φXt (p) =p · exp(tX).
Homeomor� En kontinuerlig avbildning med kontinuerlig invers (bevarartopologisk struktur).
Immersion En avbildning vars rang är lika med de�nitionsmängdens di-mension, eller ekvivalent en avbildning vars di�erential är injektiv.
Integralkurva OmX är ett vektorfält så är en integralkurva tillX en kurvasom i varje punkt p har tangentvektor Xp.
61
Lie-algebra Tangentrummet Te(G) i e på en Lie-grupp G tillsammans medLie-parentesen (betecknas g, isomorft med vektorrummet av alla väns-terinvarianta vektorfält på G). Se de�nition 4.2.3.
Lie-grupp En C∞-mångfald utrustad med gruppstruktur. Se de�nition 4.1.1.
Lie-parentes I denna framställning de�nerar vi Lie-parentesen som kom-mutatorn av vänsterinvarianta vektorfält, dvs [X,Y ] f = X(Y f)− Y (Xf).Observera att i en stor del av litteraturen används namnet �Lie-parentes�(Lie-bracket) om en mer abstrakt typ av operator, men det är inte nöd-vändigt för våra ändamål.
Mångfald En topologisk mångfald är ett �trevligt� topologiskt rum som lo-kalt ser ut som ett Euklidiskt rum. Se de�nition 3.1.1. En C∞-mångfaldär en topologisk mångfald med en C∞-struktur. Se de�nition 3.1.4.
Riemannmetrik Ett tensorfält som utrustar varje tangentrum på en mång-fald med en inre produkt. Se de�nition 5.2.2.
Tangentknippe Den disjunkta unionen av alla tangentrum till en mång-fald.
Tangentrum Rummet av tangentvektorer vid en punkt i en mångfald.
Vektorfält (på mångfald) En sektion på en mångfalds tangentknippe. Detär vad vi får om vi väljer en tangentvektor för varje punkt i mångfalden.
Vänsterinvariant vektorfält Ett vektorfält X sådant att lp∗(X) = X. Vikan alltså använda di�erentialen av vänstertranslering för att skickavektornXe från Te(G) till Tp(G) utan att �hamna utanför� vektorfältet.Se de�nition 4.2.1.
62
Litteraturförteckning
[1] van den Ban, Erik, Lie groups, Universiteit Utrecht, 2010,http://www.staff.science.uu.nl/∼ban00101/lecnotes/lie2010.pdf, 2016-04-05
[2] Bishop, Richard, Lecture notes on Lie groups, University of Illino-is, 2013, http://www.math.uiuc.edu/∼bishop/Lie%20Groups.pdf,2016-04-05
[3] Boothby, William, An introduction to di�erentiable manifolds and Ri-
emannian geometry, Academic Press, 2003
[4] Bump, Daniel, Lie groups, Springer, 2013
[5] Debnath, Lokenath och Mikusinski, Piotr, Hilbert spaces with applica-
tions, Elsevier, 2005
[6] Fok, Chi-Kwong, Cohomology and K-theory of compact Lie groups,National Taiwan University, 2010, http://www.math.cornell.edu/
∼ckfok/Cohomology_Lie_groups.pdf, 2016-04-21
[7] Gamelin, Theodore och Greene, Robert, Introduction to topology, Do-ver, 1999
[8] Hawkins, Thomas, Emergence of the theory of Lie groups, Springer,2000
[9] Hazewinkel, Michiel, Gubareni, Nadiya och Kirichenko, Vladimir, Al-gebras, Rings and Modules, Kluwer academic publishers, 2004
[10] Jurdjevic, Velimir, Geometric control theory, Cambridge universitypress, 1997
[11] Lang, Serge, Algebra, Springer, 2002
[12] Niklitschek, Alexander, Im Zaubergarten der Mathematik, UniversitasVerlag, 1969
[13] Persson, Arne och Böiers, Lars-Christer, Analys i en variabel, Student-litteratur, 2010
63
[14] Persson, Arne och Böiers, Lars-Christer, Analys i �era variabler, Stu-dentlitteratur, 2005
[15] Schuller, Fredric, videoföreläsning, https://www.youtube.com/
watch?v=mJ8ZDdA10GY, 2016-01-26
[16] Sharpe, Richard, Di�erential geometry, Springer, 1997
[17] Simic, Slobodan, Three faces of the lie bracket, San Jose Sta-te University, 2011, http://www.math.sjsu.edu/∼simic/Spring11/Math213B/lie.bracket.pdf, 2016-04-05
[18] Spivak, Michael, Calculus on manifolds, Perseus books publishing, 1965
[19] Spivak, Michael, A comprehensive introduction to di�erential geometry,Publish or perish, 1999
[20] Torres del Castillo, Gerardo, Lie derivatives, Birkhäuser Boston, 2012
64