Lmites y continuidad

LMITES

El concepto de lmite es la base fundamental con la que se construye el clculo

infinitesimal (diferencial e integral). Informalmente hablando se dice que el lmite es el

valor al que tiende una funcin cuando la variable independiente tiende a un nmero

determinado o al infinito.

Definicin de lmite

Antes de establecer la definicin formal del lmite de una funcin en general vamos a observar qu sucede con una funcin particular cuando la variable independiente tiende

(se aproxima) a un valor determinado.

Ejemplo:

En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x, en el

entorno de 2, y calculamos los valores correspondientes de la funcin f (x):

x f (x) Cuando x se aproxima a 2, tanto por la izquierda como

por la derecha, tomando valores menores o mayores que 2,

f (x) se aproxima, tiende, cada vez ms a 3; y cuanto ms

cerca est x de 2, o lo que es lo mismo, cuando la diferencia

en valor absoluto entre x y 2 es ms pequea asimismo la

diferencia, en valor absoluto, entre f (x) y 3 se hace cada

vez ms pequea. (Estas diferencias se muestran en la

tabla inferior derecha).

O sea, la funcin se acerca a un valor constante, 3, cuando

la variable independiente se aproxima tambin a un valor

constante.

1.9

1.99

1.999

1.9999

2.0001

2.001

2.01

2.1

2.61

2.9601

2.996001

2.99960001

3.00040001

3.004001

3.0401

3.41

|x 2| | f (x) 3|

|1.9-2| = 0.1

|1.99-2| = 0.01

|1.999-2| = 0.001

|1.9999-2| = 0.0001

|2.0001-2| = 0.0001

|2.001-2| = 0.001

|2.01-2| = 0.01

|2.1-2| = 0.1

|2.61-3| = 0.39

|2.9601-3| = 0.0399

|2.996001-3| = 0.003999

|2.99960001-3| = 0.00039999

|3.00040001-3| = 0.00040001

|3.004001-3| = 0.004001

|3.0401-3| = 0.0401

|3.41-3| = 0.41

De lo anterior se deduce intuitivamente que el lmite de la funcin f (x) cuando x tiende

a 2, es 3.

Ahora, pasamos a dar la definicin formal de lmite:

Definicin psilon-delta

Sea f una funcin definida en algn intervalo abierto que contenga a a. El lmite

de f (x) cuando x tiende a a es L, y se escribe

Nota: no es necesario que f este definida en a para que el lmite exista.

Ejercicios resueltos (aplicando la definicin psilon-delta)

En los ejercicios 1 a 4, demuestre que el lmite es el nmero indicado

aplicando la definicin psilon-delta:

S o l u c i o n e s

1. Solucin:

2. Solucin:

3. Solucin:

4. Solucin:

Teoremas de lmites

Para facilitar la obtencin del lmite de una funcin sin tener que recurrir cada vez a la definicin psilon-Delta se establecen los siguientes teoremas.

Los teoremas se numeran consecutivamente para facilitar una futura referencia.

Teorema de lmite1: Si k es una constante y a un nmero cualquiera, entonces

Teorema de lmite2:

Para cualquier nmero dado a,

Teorema de lmite3:

Si m y b son dos constantes cualesquiera, entonces

Teorema de lmite4:

Teorema de lmite5:

Teorema de lmite6:

Si f es un polinomio y a es un nmero real, entonces

Teorema de lmite7:

Si q es una funcin racional y a pertenece al dominio de q, entonces

Teorema de lmite8:

Procedimiento para calcular lmites Si es posible aplicar directamente las propiedades anteriores, el lmite se calcula

directamente. Con respecto a las propiedades, como la propiedad 6 se aplica a cualquier

polinomio y las propiedades 1, 2, 3, y 4 implican funciones polinmicas es indistinto que

nos refiramos a cada una de las propiedades 1 a 4 en particular que a la propiedad 6

cuando calculamos el lmite de una funcin polinmica. Lo mismo, la propiedad 7 se

aplica a una funcin racional y la propiedad 4 (III) tambin.

Cuando al sustituir la a por x en la funcin nos da la forma indeterminada 0/0 es

posible calcular el lmite pero, previamente, hay que transformar la frmula de la

funcin de tal modo que, una vez hecha la simplificacin pertinente, se pueda evitar la

divisin por cero: para lograr esto disponemos de procedimientos algebraicos eficaces

como la factorizacin, la conjugada, etc.

Ejercicios resueltos Evalu los siguientes lmites indicando la propiedad o propiedades que se aplican

en cada paso:

S o l u c i o n e s

1. Solucin

2. Solucin:

3. Solucin:

4. Solucin:

5. Solucin:

6. Solucin:

No es posible aplicar directamente el TL7, pues se obtendra la forma indeterminada 0/0; no obstante, luego de factorizar y simplificar la expresin, se obtiene fcilmente el lmite

aplicando el TL1:

7. Solucin:

No es posible aplicar directamente el TL7, pues se obtendra la forma indeterminada 0/0; no obstante, luego de factorizar y simplificar la expresin se obtiene fcilmente el lmite

aplicando el TL7 o el TL4(III):

8. Solucin:

Si pretendiramos aplicar el lmite directamente a partir del TL7, nos dara la forma indeterminada 0/0;

por lo que, se debe factorizar y luego simplificar la expresin antes de poder hacer uso del TL6:

9. Solucin: No se puede aplicar el lmite directamente, dara la forma indeterminada 0/0; no obstante,

luego de multiplicar tanto el numerador como el denominador por la conjugada de la expresin en el numerador y luego reduciendo y simplificando, se puede aplicar el TL para hallar el lmite:

10. Solucin:

Luego de la transformacin de la expresin se aplican los TL7 y TL8:

11. Solucin:

El lmite no se puede aplicar directamente, resultara la forma indeterminada 0/0; no obstante, una vez factorizando y simplificando, la expresin queda expedita para hallar el lmite mediante los TL7 y TL6:

12. Solucin:

Lmites unilaterales

Hay casos en que las funciones no estn definidas (en los reales) a la izquierda o a la

derecha de un nmero determinado, por lo que el lmite de la funcin cuando x tiende a

dicho nmero, que supone que existe un intervalo abierto que contiene al nmero, no

tiene sentido.

Ejemplo:

Lmite unilateral por la derecha:

Sea f una funcin definida en todos los nmeros del intervalo abierto (a, c). Entonces, el

lmite de f (x), cuando x se aproxima a a por la derecha es L, y se escribe

Lmite unilateral por la izquierda:

Sea f una funcin definida en todos los nmeros de (d, a). Entonces, el lmite de f (x),

cuando x se aproxima a a por la izquierda es L, y se escribe

Lmite bilateral:

Teorema de lmite12:

Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 4, trace la grfica y determine el lmite indicado si existe; si no

existe, d la razn:

S o l u c i o n e s

1. Solucin:

2. Solucin:

3. Solucin:

4. Solucin:

Continuidad de una funcin

Criterios de continuidad de una funcin en un nmero

Se dice que una funcin f es continua en el nmero a si y slo si se

cumplen las tres condiciones siguientes:

Una funcin que no es continua en un nmero, se dice que es discontinua en dicho nmero. En la grfica de una funcin que es discontinua en el nmero a se puede observar un

"salto" o un "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial.

Las discontinuidades eliminables se denominan tambin discontinuidad de "hueco": en

la grfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto

del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).

Las discontinuidades esenciales tambin reciben los nombres de discontinuidad de

"salto": se presenta cuando los lmites unilaterales existen pero son diferentes; y, la

discontinuidad infinita sucede cuando el lmite de f cuando x tiende a a es infinito.

T e o r e m a s d e c o n t i n u i d a d

Ejercicios resueltos

En los ejercicios 1 a 7 trace la grfica de la funcin; luego observando dnde hay saltos en la grfica,

determine los valores de la variable independiente en los cuales la funcin es discontinua y muestre cul

condicin no se cumple de los "Criterios de continuidad de una funcin en nmero". En los ejercicios 8 a

14 demuestre que la funcin es discontinua en el nmero a. Luego determine si la discontinuidad es

eliminable o esencial. Si es eliminable defina f (a) de manera que la discontinuidad desaparezca. En los

ejercicios 15 a 21, determine los nmeros en los cuales es continua la funcin dada.

S o l u c i o n e s

1. Solucin:

x -4 0 2

f (x) -6 -2 0

f (-3) no existe; por lo tanto, la parte (i) de los criterios de continuidad no se cumple; conclusin: f es discontinua en -3.

2. Solucin:

x -6 -1 0 2 3 5 6 9

h(x) -0.5 -1 -1.25 -2.5 -5 5 2.5 1

f (4) no existe; por lo tanto, la parte (i) de los criterios de continuidad no se cumple; conclusn: f es discontinua en 4.

3. Solucin:

x -4 -3 -2 -1 0 8

y -0.5 -1 0 1 0.5 0.1

4. Solucin:

x -6 -2 -1 0 1 2 6

y 0.02

5

0.12

5

0.

2

0.2

5

0.

2

0.12

5

0.02

5

5. Solucin

Por lo tanto, f es discontinua en 0.

6. Solucin:

7. Solucin:

x ... ...

y ... -2 -1 0 1 2 ...

8. Solucin:

9. Solucin:

10. Solucin:

11. Solucin:

12. Solucin:

13. Solucin:

14. Solucin:

15. Solucin:

16. Solucin:

17. Solucin:

18. Solucin:

19. Solucin:

20. Solucin:

21. Solucin:

Lmites infinitos

Existen ciertas funciones que aumentan o disminuyen sin lmite a medida que la variable independiente se acerca a un valor fijo determinado.

Crecimiento infinito:

Decrecimiento infinito:

Teorema de lmite13:

Teorema de lmite14:

Teorema de lmite15:

Teorema de lmite16:

Teorema de lmite 17:

Una asntota es una recta a la cual se aproxima una curva indefinidamente. Trazar

las asntotas, tanto verticales como horizontales (ms adelante nos ocuparemos de estas

ltimas), es de gran ayuda para dibujar la grfica de una funcin.

Asntota vertical:

Una asntota vertical es una recta paralela al eje y.

Se dice que la recta x = a es una asntota vertical de la grfica de la funcin f si por lo

menos uno de los siguientes enunciados es verdadero:

Ejercicios resueltos

En los ejercicios 1 a 7, determine el lmite. En los ejercicios 9 a 11. encuentre la(s)

asntota(s) vertical(es) de la grfica de la funcin y trcela(s).

S o l u c i o n e s

1. Solucin:

2. Solucin:

3. Solucin:

4. Solucin:

5. Solucin:

6. Solucin:

Lmites en el infinito

Teorema de lmite18:

Asntota horizontal: Una asntota horizontal es una recta paralela al eje x.

Teorema de lmite19:

Ejercicios resueltos

S o l u c i o n e s

Miscelnea1

S o l u c i o n e s

Miscelnea2

S o l u c i o n e s

Miscelnea3