Ülesanded

1. Determinandid

1. Arvuta determinandid ja võrdle tulemusi. Mis omadus siin kehtib?���� 7 4�3 �5

���� ja

���� �3 �57 4

����2. Arvuta determinant kahel viisisl: vahetult ja kasutades teguri ette-

toomist ���� 3 152 17

����3. Kasutades Sarruse reeglit veendu, et determinandid, mis on saadud

ridade ja veergude ümberpaigutamisel, on võrdsed�������1 �3 16 1 1�1 1 �2

������ ja

�������1 6 �1�3 1 11 1 �2

������4. Veendu arvutamise teel, et järgmised determinandid on võrdsed nul-

liga. Millise omaduse põhjal?������2 5 7�1 2 3�1 2 3

������ ja

������1 1 52 2 101 1 �2

������5. Arvuta determinant, arendades selle algul mingi rea järgi ja siis mingi

veeru järgi ������2 3 14 2 �13 5 2

������6. Arvuta neljandat järku determinant��������

1 2 3 42 3 4 13 4 1 24 1 2 3

��������7. Arvuta viiendat järku determinant����������

1 5 3 4 �12 3 0 4 0�4 7 5 8 04 0 3 0 12 0 5 �3 0

����������1

2. Maatriksid

8. Arvutaa) A+B b) A+ C c) B �A d) A�B e) B �Af) B � C g) C �B

kui

A =

�3 19 1

�B =

�3 �52 �8

�C =

�3 �5 21 4 2

�9. Arvuta

a)

0@ 1 �2 12 3 4�3 2 1

1A�0@ 2�43

1A b)

0BBBB@1 2 0 0 10 3 �1 0 00 0 1 2 01 0 0 1 20 0 0 2 3

1CCCCA�0BBBB@1 0 00 2 12 0 00 1 00 0 1

1CCCCA10. Ühe linna elanikest muudab igal aastal 4% keskusest äärelinna ja 3%

äärelinnast keskusesse. Aasta 2011 alguses elas 20 000 elanikku keskuses ja 40000 äärelinnas. Ennusta ülalöeldu põhjal, kui palju elanikke elab keskusesja äärelinnas aastal 2014 (ümmarda arvud täisarvudeks kahe koha täpsusega).

11. Autolaenutusel on laenutuspunktid kolmes kohas: A, B ja C. Autovõib anda tagasi mistahes punkti. Uurimine näitas, et laenutuspunktist A laenu-tatud autodest tuuakse tagasi punkti A 96%, punkti B 3% ja punkti C 1%.Laenutuspunktist B laenutatud autodest tuuakse tagasi punkti A 2%, punkti B92% ja punkti C 6%. Laenutuspunktist C laenutatud autodest tuuakse tagasipunkti A 10%, punkti B 2% ja punkti C 88%. Kui esmaspäeva hommikulon punktis A 400 autot, punktis B 300 autot ja punktis C 200 autot, siiskuidas jaguvad autod punktide vahel neljpäeva hommikuks (ümmarda arvudtäisarvudeks, autode summa 900 jääb samaks)?

12. Järgmisest esimesest tabelist näeb, millised keskuse A serveritestA1, A2, A3 ja A4on ühendatud optilise kaabliga keskuse B serveritega B1, B2,B3, B4 ja B5: Arv 1 tähendab, et ühendus on olemas, 0 aga, et ühendust ei ole.Samuti näeb teisest tabelist kaabliühenduste olemasolu keskuse B serverite B1,B2, B3, B4 ja B5 ning keskuse C serverite C1, C2, C3, C4 , C5 ja C6 vahel. Esitatabel MAC , kust näeb mitu ühendust on keskuste A ja C vahel

MAB=

0BB@0 1 0 1 11 0 0 1 00 1 0 1 11 1 0 0 1

1CCA MBC =

0BBBB@1 0 1 0 0 00 0 1 1 1 11 1 0 0 0 00 1 0 1 1 00 0 0 1 0 0

1CCCCA.

2

13. Tasapinna punkti X (x; y) pööramiseks nurga � võrra vastupäevapunktiksX 0 (x0; y0) kasutatakse valemeid

x0 = x cos�� y sin�y0 = x sin�+ y cos�

Kasutades maatrikskorrutist X 0 = M � X (kus näiteks X =

�xy

�), leia

ruudu koordinaadid peale pööret vastupäeva 600võrra, kui ruudu algsed tipudolid (1; 1) ; (1; 3), (2; 1) ja (2; 3).

14. Permutatsioonimaatriksi kõik elemendid on nullid ja ühed. Ühed onpaigutatud nii, et igas reas ja igas veerus on vaid üksainus üks. Leia per-mutatsioonimaatriksi P ja maatriksi A korrutised PA ja AP , kui

P =

0@ 0 1 01 0 00 0 1

1A ; A =

0@ a b cd e fg h i

1A :Millise permutatsiooniga ja kummalt poolelt peaks A:d korrutama, et tema

I ja III rida vahetaksid kohad? Aga kui tahame vahetada I ja III veergu?

15. Leida ülesande 8 maatriksitelea) AT b) ATB c) CTA ja d) CAT .

16. Kontrolli, et(AB)T = BTAT ;

kui

A =

�a bc d

�, B =

�u vx z

�.

17. Mitu arvutust (korrutiste ja liitmiste summa) vajatakse, et korru-tada kaks

a) 2x2, b) 3x3, c) 4x4 d) nxn-maatriksit,kasutades maatrisite korrutamise reeglit. Oletame, et maatriksites ei ole

ühtegi nullelementi.Kui kaua kestaks kahe 1000x1000 maatriksi korrutamine, kui taskuarvuti

kulutab ühe tehte peale 10�6sekundit?

18. Kontrolli, kas ruutmaatriks on regulaarne või singulaarne, kui

a) A =

0@ 1 2 33 1 �12 �1 �4

1A b) B =

0BB@3 2 0 04 5 0 06 7 2 38 9 3 7

1CCA

c) C =

0BB@3 2 2 29 �8 5 105 �8 5 86 �5 4 7

1CCA d) D =

0BBBB@1 1 1 1 11 2 2 2 21 2 3 3 31 2 3 4 41 2 3 4 5

1CCCCA3

19. Leia maatriksi astak

a)

0@ 1 3 2 4 �22 5 4 7 11 1 2 2 8

1A b)

0BBBB@1 �1 �1 70 5 4 �172 3 2 �33 2 1 48 7 4 5

1CCCCAc)

0BB@1 3 �1 �1 �22 1 0 �2 �2�2 8 �4 3 �16 �1 2 �7 �5

1CCA20. Leia pöördmaatriks ja kontrolli tulemuse õigsust

a)

0@ 2 1 20 2 1�1 3 1

1A b)

0@ 3 10 63 5 24 12 7

1A

c)

0@ 1 2 23 7 42 3 5

1A d)

0BB@1 0 0 20 1 4 00 2 �1 33 �1 0 5

1CCA21. Kasutades ülesande 10 andmeid leia, palju elanikke elas keskuses ja

äärelinnas (kasuta pöördmaatriksit)a) aastal 2010,b) aastal 2009,c) aastal 2005.

22. Kui kolmnurka on pööratud 200 vastu päeva, on selle tippude koor-dinaadid (0,2), (1, 3) ja (2, 9). Leia ülesande 13 valemeid kasutades pöördmaa-triksi abil kolmnurga algsed koorinaadid.

23. Millisel k väärtusel on maatriksil A pöördmaatriks

A =

1 1 2k 1 11 k 2

24. Lahenda maatrikvörrand

a)�2 13 2

��X =

�1 �20 3

�b)X�

�1 23 7

�=

��2 11 0

�

c)

24 1 2 �33 2 �42 �1 0

35 �X =

24 1 �3 00 2 �4�5 4 3

354

3. Lineaarsed võrrandisüsteemid

25. Lahenda süsteem Krameri teoreemi abil. Kontrolli vastust

a)

8<: 2x� y � z = 5x+ 3y � z = 45x+ 2y + 2z = 8

b)

8<: 2x� 3y + 2z = �8x+ 2y + z = 35x+ y � z = 5

c)

8<: 3x+ 4y + 2z + 10 = 05x+ 2y + 3z + 2 = 02x� 2y + 5z = 0

26. Lahenda süsteem pöördmaatriksi abil. Kontrolli vastust

a)

8<: x+ 2y = 3� 2z2x+ 3y + 5z = 103x+ 7y = 3� 4z

b)

8<: 3x+ 2y � 4z = 82x+ 4y � 5z = 114x = 1 + 3y � 2z

c)

8<: 2x� y + z = 23x+ 2y + 2z = �2x = 2y � z + 1

27. Uuri, kas antud süsteem on lahenduv või mitte. Lahenduvuse kor-ral, kui see on võimalik, leia süsteemi üldlahend ja kaks erilahendit. Kontrollierilahendite abil vastust.

a)

8<: 2x+ 3y � z = 34x� y + z = 11x� 2y + z = 4

b)

8<: x+ 2y + 3z = 45x+ 4y + z = 133x+ 3y + 2z = 10

c)

8<: 3x� 7y + 4z + 7u = 20x+ 3y � 2z � 5u = �62x+ 5y � 6z � 6u = �7

5

d)

8>><>>:x+ 2u� 3v = 5

x+ 2y + 2z + u+ 3v = 5y + z + u+ v = 1x� 3y � 3z � 6v = 2

e)

8>><>>:x� y + 2z + 2u = 03x+ 2y � z = 33y + u = �13z � 2u = �2

f)

8>>>><>>>>:x+ y � 2z = �53x� y + z = 42x+ 2y + 5z = 82x� 2y + 3z = 9x� 3y � 4z = �4

28. Leia homogeense süsteemi üldlahend. Kontrolli erilahendi abil vas-tuse õigsust

a)

8<: x+ 4y + 2z = 04x+ 11y + 5z = 04x+ 6y + 2z = 0

b)

8<: 2x+ 7y + 3z + u = 03x+ 5y + 2z + 2u = 09x+ 4y + z + 7u = 0

c)

8>><>>:x� 3y � 26z + 22v = 03x+ 8y + 24z � 19v = 0x+ 2y + 4z � 3v = 03x+ 5y + 6z � 4v = 0

29. Arvuta kordajad a; b ja c nii, et kõvery = ax2 + bx+ c

kulgeks punktide A(-1. 1), B(1, 0) ja C(2, 3) kaudu.

30. Vooluvõrgust saadakse järgmised võrrandid8<: 40I1 � 20I2 + 10I3 = 1220I1 � 40I2 = 010I1 + 20I3 = �12

:

Arvuta voolutugevused I1; I2 ja I3.

31. Kui kolmekohaline arv kirjutada tagurpidi, siis see väheneb 99 võrra.Lisaks teame, et selle arvu numbrite summa on 12 ja keskmine number on kahe

6

võrra väiksem kui äärmiste numbrite summa. Leia see arv. (Tähista arv xyz,koosta võrrandisüsteem ja lahenda see).

32. Kasutada on kolm lahust A, B ja C. Lahuses A on 2 % kaaliumi,0,5 % fosforit ja 1 % lämmastikku. Lahuses B on vastavad arvud 0,5, 1 ja 2 jaC:s 1, 2, ja 1. Mis suhtes peaks lahuseid segada, et saaks lahuse, kus on samapalju iga ülalnimetatud ainet. (Soovitv võtta ainete koguseks 21 ühikut).

33. Auto bensiinikulutuse y sõltuvust kiirusest vsaab esitada valemiga

y = av2 + bv + c

kus 50km=h � v � 140km=h: Testimisel leiti, et teatud mudeli kiirustel50km=h; 90km=hja 120km=h olid kulutused vastavasti 5; 5l=100km, 6; 5l=100kmja 8; 7l=100km: Leia kordajad a; b ja c: Palju oleks auto kulutanud kiirusel140km=h?

4. Vektorid

34. Olgu ABCD rööpkülik.a) Milline vektoritest

�!AC,

��!AB ja

��!AD on võrdne vektoriga

��!BC?

b) Milline vektoritest��!BA,

��!BD ja

��!BC on vektori

��!DC vastasvektor?

35. Leiaa) -(-(-�))b) -(-(-(-�)))

36. On teada, et j�j = 3,75, j�j= 2,93 ja (�; �) = 71,50. Leia j�+ �jja j�� �j.

37. On teada, et j�j = 5, j�j= 8. Leia j�+ �j ja j�� �j , kui a)� � �, b) � "# � ja c) �?�:

38. On teada, et j�j = 2; j�j =3 ja (�; �) = 600. Leia j�+ �j ja vektoritevahelised nurgad (�; �+ �) ja (�, �+ �)).

39. On teada, et j�j = 3, j�j = 5 ja (�; �) = 500: Leia j�� �j javektorite vahelised nurgad (�; �� �) ja (�, �� �)).

40. Arvuta alloleva pildi vektorite �!u ja �!v summa ���!u+ v; kui u = 6,v = 4.

u

20o

60o

v

7

41. Alloleval pildil u = 3, v = 5. Leia nurk �, kui���!u+ v suund on

�!j ,

� = (�!v , �!j ). Leia ka������!u+ v

���v

50o

u

42. Leia alloleva joonise vektorite�!T ja

�!F pikkused, kui

�������!F + T���= 10

ja����!F + T suund on

�!j . .

F

O

3

5

15o

T

43. Arvuta allolevate vektorite�!F1 ja

�!F2 pikkused, kui summa pikkus

on������!jF1 + F2j = 6 ja suund

a) -�!i

b) üles vasakule nii et (�����!F1 + F2,

�!i ) = 1600

P

O60o

35o

F1

F2

44. Punkt P jagab lõigu AB suhtes AP : PB = 3 : 4. Olgu �!v = �!AB.

Esita vektor�!AP vektori �!v abil. Tee joonis.

45. Punkt P jagab alloleval joonisel lõigu AB suhtes AP : PB = 2 : 5.

8

Esita vektor��!OP vektorite �!a = �!OA ja �!b = �!OB abil.

46. Rööpkülikus ABCD jagab punkt P külje AB suhtes AP : PB = 2 : 1ja Q külje CD suhtes CQ : QD = 4 : 1. Tee joonis ja esita vektor

��!PQ vektorite

�!a = �!AB ja �!b = �!AD abil.

47. Alpoololeva joonise tetraeedris OABC jagab punkt P külje ACsuhtes AP : PC = 3 : 2 ja Q on külje BC keskpunkt.

Leia vektor�!PQ vektorite �!a = �!OA, �!b = �!OB ja �!c = �!OC kaudu.

48. Allpoolne pilt esitab rööptahukat.

Esita vektorite �!e , �!f ja �!g abil vektorida)�!FA b)

��!CE c)

��!BE d)

��!HG -3

��!FD:

9

49. Meri voolab kirde ja ida vahelt edela ja lääne vahele kiirusega 3 m/s.Millises suunas peab purjekat juhtima ja milline on tema kiirus vee suhtes, etpurjekas liiguks läände kiirusega 10 m/s.

50. Purilennuk lendab põhja kiirusega 150 km/h (see on kiirus maasuhtes). Tuul on loode ja lääne vahelt ja purilennuki kiirusmõõtja näitab 175km/h. Mis suunas lendur juhib ja kui suur on tuule tugevus?

51. Arvuta joonisel olevatele tugedele mõjuvad jõud, kui verikaalseltallapoole mõjub jõud

�!F , mille norm on F = 540 N.

52. Tugedele mõjub joonisel nähtav horisontaalne jõud 350 N. Kui suurpeaks nurk � olema, et toele AC mõjuks jõud 250 N? Milline oleks siis toele ABmõjuv jõud?

53. Jaga vektor �!v = (1, 0, 3) kolmeks komponendiks, mis on vektorite�!a = (1, -1, 0), �!b = (0, 1, 1) ja �!c = (1, 1, 1) suunalised.

54. Olgu �!a = (1, -t, 1),�!b = (2t, 0, 1) ja �!c = (2, 1, -t). Millisel t

väärtusel saab ruumi iga vektorit esitada vektorite �!a;�!b ja �!c abil?

55. Konksu otsas on tross (vaata allolevat joonist), mille kaudu konksulemõjub jõud

�!F . Selle jõu koordinaatidest Fy = 70 N ja Fz = 105 N ja nurk �

= 550.

10

Leia F ja nurgad (�!F ,

�!j ) ja (

�!F ,

�!k ).

56. Vaia tippu mõjuvad 3 jõudu�!F1,

�!F2ja F�!3 , millede kohta on teada,

et�!F1= 500 N

�!i ,�!F2 = 400 N

�!j ja F3 = 750 N.

Milline on jõudude summa�!F (leia ka selle suurus), et ta oleks

suunas -�!k .

57. Leia alloleva joonise jõudude koordinaadid

58. Raskus massiga 10 Mg rippub joonisele esitatud viisil. Leia poomija trossidele mõjuvad jõud.

11

59. Mast kinnitatakse kolme samale kõrgusele kinnitatud trossiga. Maastikustjohtudes on 2 neist kinnitatud joonisel esitatud viisil. Kolmandale trossile onplaanitud 540 N pinge. Kuhu peaks kolmas tross kinnitama xy-tasandil, etjõudude summa oleks masti suunas.

60. Leia alloleva joonise täisnurkse risttahuka vektorite�!AC ja

��!AB

skalaarkorrutis�!AC � ��!AB (Aseta xyz-koordinaadistik ühte risstahuka nurka).

61. Olgu �!a = (2, -3) ja �!b = (3, 4) Leia �!a � �!b , a, b ja (�!a , �!b ).

62. Olgu �!u = (1,2; -2,1; 4,2) ja �!v = (3,1; -0,7; -1,8). Leia �!u � �!v , u, vja (�!u , �!v ).

12

63. Leia alloleva joonise risttahuka vektorite��!AB ja

��!CD vaheline nurk

(��!AB;

��!CD) (Aseta xyz-koordinaadistik ühte risstahuka nurka).

64. Juuresoleva pildi korrapärase nelinurkse püramiidi põhjaruudu külgon 4,00 m ja kõrgus 5,00 m. Punktid P ja Q on servadel nii, et AP : PH = 3 :1 ja CQ : QH = 1 : 4. Leia vektorite

��!PQ ja

��!HB vaheline nurk (

��!PQ,

��!HB).

65. Millisel t väärtusel on kiirusvektorite �!v1 = (1,25 m/s; 2,50 m/s; 2,50m/s) ja �!v2 = (2t m/s; 1,25 m/s; t m/s) vaheline nurk 600?

66. Vektori �!v alguspunkt on (t, -1, 4) ja lõpppunkt (2t, -2, 5). Vektori�!u alguspunkt on (0, 2, 2t) ja lõpppunkt (t, 3, 2t). Millisel t väärtusel onvektorite �!u ja �!v vaheline nurk 600?

67. Päikese kiired lähevad vektori (2, -1, -2) suunas. Kui suure teravanurga moodustavad kiired horisontaaltasandiga (s.t. vektoriga

�!k risti oleva

tasandiga)?

68. Nelinurga OABC tipust O teistesse tippudesse joonistatud vektoridon�!OA = (3, 1),

��!OB = (x, y) ja

��!OC = (-1, 2). Leia x ja y nii, et nelinurk oleks

täisnurkne.

69. Leia vektorite �!a = (-1, 2, -4) ja �!b = (0, -1, 2) vektorkorrutis.

13

70. Leia vektorite �!u = (a, -2a, 0) ja �!v = (b, 0, -a) vektorkorrutis.

71. Olgu �!a = (2, -1, 1), �!b = (-3, 4, -2) ja �!c = (2, -1, -5). Leia (�!a x�!b ) x �!c ja

�!a x (�!b x �!c ).

72. Leida need ühikvektorid, mis on risti vektoritega �!a = (-1, 6, -2) ja�!b = (1, 2, -1).

73. Rööpküliku küljed on vektorid �!a = (1,2; -2,2; -3,3) ja�!b = (-4,2;

-3,1; 2,0). Leia rööpküliku pindala.

74. Kolmnurga tipud on A(1, 2, -1), B(0, 3, 2) ja C(3, 0, 1). Leiakolmnurga pindala.

75. Jaga jõuvektor�!F = (190 N, 95 N, -95 N) kolmeks komponendiks,

milledest üks on vektori �!a = (3, -1, 0) suunas, teine on vektori�!b = (0, 1, 1)

suunas ja kolmas on nendega risti.

76. Tasand läheb punktide A(1, -1, 2), B(0, 1, 2) ja C(2, 0, 1) läbi. Leiapunkti P(3, -4, 8) kaugus sellest tasandist.

77. Tetraeedri tipud on punktides A(1, 2, -1), B(3, 1, -2), C(-1, -2, 0)ja D(2, 1, 5). Leia tipust D joonistatud kõrguse pikkus.

78. Tetraeedri tipud on punktides A(2, 1, -1), B(3, 3, 0), C(1, 2, 1) jaD(2, 2, 4). Leia tipust D joonistatud kõrguse ja külje AD vaheline nurk.

79. Leia alloleva joonise jõu�!F moment koordinaatide alguse suhtes ja

momendi pikkus, kui F = 350 N.

80. Leia alloleva joonise jõu�!F moment koordinaatide alguse suhtes ja

momendi pikkus, kui F = 270 N.

14

81. Leia vektorite �!u = (2,5; -1,5; 3,5), �!v = (-0,5; -4,5; 1,0) ja �!w=(1,5; -1,0; 1,0) segakorrutised �!u x �!v � �!w ja �!u x �!w � �!v .

82. Rööptahuka külgedeks on vektorid �!a = (6,3; -2,8; 1,7),�!b = (4,1;

-5,2; 6,5) ja �!c = (0,3; 8,2; -2,6). Leia rööptahuka ruumala.

83. Leia tetraeedri ruumala, kui selle tipud on punktides A(4, 4, 0),B(2, -1, 1), C(3; 2,5; 2,5) ja D(1, 1, 5).

84. Tetraeedri tipud on A(2, 0, 0), B(1, 2, 0), C(-1, 1, 1) ja D(1, 1, 54).Leia tipust D põhjale ABC veetud kõrguse pikkus.

85. Olgu OABC tetraeeder. Külgedel OA, OB ja OC valitakse punktidP, Q ja R nii, et OP : PA = 1 : 2, OQ : QB = 1 : 1 ja OR : RC = 5 : 2. Millineon tetraeedrite OABC ja OPQR suhe?

86. Kas punktid A, B, C ja D on samal tasandil, kuia) A(1, 0, 1), B(0, -2, 1), C(2, 5, 2) ja D(-1, -10, -1)b) A(2, -1, 0), B(1, 1, 1), C(-1, 0, 0) ja D(0, 2, 2)?

87. Tasand kulgeb punktide A(1, 2, -1), B(0, -1, 1) ja C(1, 0, 1) kaudu.Kas punktid P(2, -3, 4) ja Q(4, 1, -9) on tasandi samal või eri pooltel?

88. Tasand kulgeb punktide A(2, 0, 0), B(1, 2, -1) ja C(-1, 3, 0) kaudu.Millisel t väärtusel punktid P(-1, 1, t) ja Q(3, -t, 2) on tasandi samal poolel?

VASTUSED

1. Determinandid.1. -23 ja 23: omadus 2 (determinandi märk muutub vastupidiseks kuiselle 2 rida vahetada)

2. 21 ja 3�73. -23 ja -23

15

4. omadus 4 ja omadused 3�ja 45. -16. 1607. 131

2. Maatriksid

8. a) A+B =�6 �411 �7

�b) A+ C ei saa

c) B �A =�

0 �6�7 �9

�d) A �B =

�11 �2329 �53

�e) B �A =

��36 �2�66 �6

�f) B � C =

�4 �35 �4�2 �42 �12

�g) C �B ei ole võimalik

9. a)

0@ 134�11

1A b)

0BBBB@1 4 3�2 6 32 2 01 1 20 2 3

1CCCCA10.

�0:96 0:030:04 0:97

�3��2000040000

���2110039100

�11.

0@ 428278194

1A12. MAC =

0 1 1 3 2 11 1 1 1 1 00 1 1 3 2 11 0 2 2 1 1

13. (-0,366;1,366), (-2,098;2,366), (0,134;2,232), (-1,598;3,232)

14.:P �A =

0@ d e fa b cg h i

1A A � P =

0@ b a ce d fh g i

1A15. a) AT =

�3 91 1

�b) AT �B =

�27 �875 �13

�c) CT �A =

0@ 18 421 �124 4

1A d) ei saa arvutada

17. a) 4 b) 9 c) 16 d) n2 e) 1 sek18. a) singulaarne b) - d) regulaarne19. a) 2 b) 2 c) 3

20. a)

0@ �1 5 �3�1 4 �22 �7 4

1A b)

0@ �11 �2 1013 3 �12�16 �4 15

1A c)

0@ �23 4 67 �1 �25 �1 �1

1A

16

d)

0BB@19 2

3 �2 23 �612 � 1

3 �1 13 �4�3 1

313 1

�9 13 1 13 3

1CCA21. a)

�1960040400

�b)�1910040900

�c)�1690043100

�22. (0,684; 1,879), (1,966; 2,477), (4,958; 7,773)23. k 6= 1 ja k 6= 0; 5

24. a)�

2 �7�3 12

�b)��17 57 �2

�c)

0@ �1; 61 1; 22 0; 731; 78 �1; 56 �1; 540; 32 0; 37 �0; 78

1A3. Lineaarsed võrrandisüsteemid

25. a) x = 2; y = 0; 25; z = �1; 25;b) x = 1=3; y = 2; z = �4=3;c) x = 2; y = �3; z = �2

26. a) x = 3; y = �2; z = 2; b) x = 2; y = 3; z = 1;c) x = 2; y = �1; z = �3

27. a) x = (18� C)=7; y = (3C � 5)=7; z = C; b) ei lahendu,c) x = 1 + C; y = 2C � 3; z = C � 1; u = C;d) x = 3; 5; y = 1; 5� C; z = C;u = 0; v = �0; 5;e) x = 1; y = � 1

3 ; x = �23 ; u = 0

f) x = 14 ; y = �

54 ; z = 2:

28. a) x = 2C; y = �3C; z = 5C;b) x = C1 � 9C2; y = �5C1 + C2; z = 11C1; u = 11C2;c) x = 8C1 � 7C2; y = �6C1 + 5C2; z = C1; v = C2:

29. a = 76 ; b = �

12 , c = �

23

30. I1 � 0; 72; I2 � 0; 36; I3 � �0; 9631. Arv on 45332. Lahuseid peaks võtma suhtes 6 : 4 : 733. a � 6,90 �10�4, b �-7,17�10�2, c � 7,36; y �10,9 l/100 km

4. Vektorid34. a)

��!AD b)

��!BA

35. a) -� b) �36. j�+ �j � 5; 44 j�� �j � 3; 9637. a) 13 ja 3 b) 3 ja 13 c)

p89 ja

p89

38. j�+ �j =p19 �4,359; (�; �+ �) � 36,60; (�, �+ �)) � 23,40

39. j�� �j �3,836; (�; �� �) � 93,20; (�, �� �)) � 143,2040. (7; 638; 5; 516) � (7; 6; 5; 5)41. � � 22; 69;

������!u+ v��� � 6; 91

42. F � 5; 35;T � 10; 04743. a) F1 � 4; 934; F2 � 3; 011 b) F1 � 5; 818; F2 � 1; 04644. 37

�!v45. 57

�!a + 27

�!b

46. 715�!a +�!b

17

47. 25�!a + 1

2

�!b � 1

10�!c

48. a) ��!f ��!g b) �!e ��!f +�!g c) ��!f +�!gc) 3�!e + 4�!f + 3�!g

49. 9; 00 läänest päripäeva; 7; 3m=s50. 150 põhjasuunast vastupäeva; 14m=s � 50km=h51. 570N; 400N52. 240; 520N53. �!v = �3�!a � 7�!b + 4�!c54. t 6= 3

p0; 5

55. 150N; 630; 470

56.�!F = �390�!k ; �!F nurgad koordinaattelgedest 1320; 1220; 1210

57. 850(�0; 778; 0; 311; 0; 545)N; 650(�0; 572; 0; 477; 0; 677)N58. Poomile mõjub 123N; trossidele 237N59. (16; 4m;�9; 7m; 0)60. 9; 61cm3

61. �6,p13; 5 ja 1; 19

62. �2; 4; 4; 8; 3; 7; 1; 71Rad � 98063. 30; 80

64. 53; 70

65. �4; 07m=s või �0; 141m=s66. t � �1; 86467. 41; 80

68. x= 157 y=25

7

69. �!a ��!b = (0; 2; 1)70. �!u ��!v =

�2a2,a2,6ab

�71. 0; (24;�12;�60)72. � 1p

77(2; 3; 8)

73. S = 2374. S = 4

p2

75. (150N;�50N; 0); (0; 25N; 25N); (40N; 120N;�120N)76. 19p

14� 5; 1

77. 13p5� 5; 81

78. 63; 10

79. (330;�180; 20)Nm; 380Nm80. (250;�40;�250)Nm; 360Nm81. �!u ��!v � �!w � 13; 6; . �!u ��!w � v � �13; 682. V = 23083. V = 11

6 � 1; 8(3)84. h = 269p

30� 49; 11

85. 42 : 586. a) samal tasandil b) ei ole samal tasandil87. samal poolel88. 2 < t < 3

18