lineær programmering - systime · her udarbejder vi derfor en tabel over afsætningen af borde og...

Kapitel6 lineærprogrammering

Hvis man lavede statistik over hvilket matematisk problem, der bruger den største del af computertiden i verden, så vil svaret sandsynligvis være lineær programmering (1980)

László LovászUngarsk matematiker(1948 –)

© Forfatterne og Systime - må kun benyttes frem til udgivelsen af bogen Matematik B hhx efteråret 2011

2 Kapitel6Lineær programmering

6.1lineærprogrammering

–lp-optimeringafproduKtmix

Lineær programmering kan anvendes til at løse problemstillinger, hvor der fx skal produceres flere produkter på samme tid. Det kan dog også anvendes i mange andre problemstillinger så som in-den for kørselsplanlægning, investeringsplanlægning og landbrug

Lineær programmering er en speciel metode, der anvendes til matematisk modellering i forbindelse med en virksomheds optimering af fortjenesten eller minimering af omkostningerne, når der er

fokus på flere produkter på samme tid. I dette afsnit redegøres for, hvorfor der er behov for at indføre endnu en model. Dette gøres i eksempel 1.

Hvis vi antager, at salgsprisen for en stol er 500 kr. og VE udgør 300 kr., så kan vi opstille en funktion for dækningsbidraget for stole, hvor vi lader y være afsætningen, med forskriften

f(y) = 200y for y ≥ 0

Det samlede dækningsbidrag ved salget af x borde og y stole vil være en sumfunktion, hvor de to dækningsbidrag lægges sammen.

f(x, y) = f(x) + f(y) = 400x + 200y x ≥ 0 og y ≥ 0

I Matematik C behandlede vi eksempler, hvor der kunne opstilles lineære funktioner til beskrivelse af en virksomheds dækningsbidrag.

Hvis salgsprisen for et bord er 1.000 kr. og VE (variable enhedsomkostninger) er 600 kr., kan vi fastlægge følgende forskrift for dækningsbidraget, når x angiver afsætningen:

f(x) = 1.000x – 600x = 400x for x ≥ 0

En sådan model er ret simpel; men hvad sker der, hvis vi ikke kun ser på en enkelt varegruppe, x, men også på en anden varegruppe, y? Virksomheden sælger måske også stole.

Model med produktion af to produkter med begrænset kapacitete1


3Kapitel6Lineær programmering

Hvorfor skal der i forskrifterne for funktionerne stå, at x og y skal være større end eller lig med nul?

Normalt plejer vi at betragte grafer for de funktioner, som vi arbejder med. Her udarbejder vi derfor en tabel over afsætningen af borde og stole (altså x og y) samt dækningsbidraget, for at undersøge, om vi ud fra tabellen kan tegne grafen. Dette gør vi i eksempel 2, som bygger videre på eksempel 1.

Beregning af dækningsbidrag

Beregning af dækningsbidraget er simpelt, så her vises kun et par af de beregninger, der ligger til grund for tabellen:

DB ved salg af to borde og to stole: f(2, 2) = 400 · 2 + 200 · 2 = 1.200

DB ved salg af ingen borde og tre stole: f(0, 3) = 400 · 0 + 200 · 3 = 600

DB ved salg af 1 borde og to stole: f(1, 2) = 400 · 1 + 200 · 2 = 800

Antal borde: x 0 0 1 1 2 0 2 1 2 3 0 1 3 2 3 3 4 0 1

Antal stole: y 0 1 0 1 0 2 1 2 2 0 3 3 1 3 2 3 0 4 4

Dækningsbidrag i alt i 100 kr.

0 2 4 6 8 4 10 8 12 12 6 10 14 14 16 18 16 8 12

Den tabel ser ret uoverskuelig ud.

e2

Ø1

Lineær programmering er et af de få matematiske emner, der er af forholdsvis ny dato. Lidt forenklet er årsagen til, at metoden opstod, denne: Under anden verdenskrig var der behov for at laste fly/skibe i med forskelligt materiel, så de kunne komme soldaterne til undsætning, hvor der var krav om en masimal vægt (flyene skulle kunne lette/skibene holde sig oven vande) og maksimalt rumfang (begrænset lagerkapacitet).Løsningen af problemstillingen (hvordan laster vi bedst) førte til udviklingen af LP.



Umiddelbart har vi et problem, for når vi ser på en traditionel funktion f(x) = y, så plejer vi at få punkter, der benævnes (x, y). Her får vi en funktion med koordinatsæt, der består af tre koordinater. Koor dinaterne bliver (antal borde, antal stole, DB i alt).

Tabellen ovenfor rummer fx punkterne: (0, 0, 0), (0, 1, 2), (1, 0, 4), (1, 1, 6), (2, 0, 8) etc. Vi har tre dimensioner, så punkterne skal plottes ind i et 3dimensionelt (rumligt) koordinatsystem, hvilket er om ikke umuligt så dog meget vanskeligt. Senere i dette kapitel vil vi vise, hvordan vi løser dette problem.

z

y

x

P(x, y, z)

I forbindelse med salget af borde og stole kan der være forskellige begrænsninger. Der kan fx være et lagerproblem, da der kun er kapacitet til at have et vist antal borde og stole hjemme. Der kan også være problemer med klargøring af møblerne, idet de, før de leveres til kunderne, evt. skal slibes til og have en oliebehandling, hvilket tager tid.

Umiddelbart kunne man tro, at vi bare skulle droppe at sælge stole, da dækningsbidraget på en stol kun er på 200 kr., hvorimod vi har et dækningsbidrag på 400 kr. på et bord. Men hvad så, hvis vi har en begrænset lagerkapacitet på fx 50 m3, og et bord fylder tre m3, mens en stol kun fylder 1 m3? Det betyder jo, at vi kan have tre gange så mange stole hjemme i forhold til borde – og dermed har vi mulighed for at sælge flest stole. Hvad nu, hvis det tager 10 min. at klargøre såvel et bord som en stol, og vi har kun fem timer til rådighed til klargøringen (300 min.)?

Hvordan skal produktionen/salget af borde og stole tilrettelægges, hvis der ønskes så stort et dækningsbidrag som muligt, og der er de nævnte oplysninger vedr. lager og klargøringskapacitet?

Ovenstående eksempel indeholder i grove træk essensen af den problemstilling, vi arbejder med i lineær programmering. Vi vil gerne kunne fastlægge det optimale salg/produktion af flere varer, hvor der er knap kapacitet på nogle områder, og forskellig fortjeneste/dækningsbidrag på produkterne. Opgaver inden for lineær programmering (LP) går ud på at bestemme det optimale produktmix, så udbyttet bliver størst. Man kan

også forestille sig en problemstilling, hvor fokus ikke er på indtjeningen, men på omkostningerne. Her skal man finde det optimale produktmix, så omkostningerne minimeres, hvorved udbyttet i sidste instans bliver størst.

I de næste afsnit se vi på, hvordan vi kan løse problemet med at få vist en funktion i et todimensionalt koordinatsystem, når funktionen reelt er i tre dimensioner.



6.2lineærefunKtioner

itoVariaBleMed niveaulinjer løser vi problemet med grafer, der skal tegnes i rummet

I dette afsnit ser vi på lineære funktioner i to variable, idet vi uddyber problemstillingen fra forrige afsnit.

Niveaulinier

Virksomheden fremstiller og sælger borde og stole, og dækningsbidraget er 400 kr. for et bord og 200 kr. for en stol. Vi indfører følgende:

x = antal solgte/producerede borde y = antal solgte/producerede stole z = f(x, y) = det samlede dækningsbidrag i kroner

Dækningsbidraget ved et salg af fx 5 borde og 10 stole beregnes som

z = f(5, 10) = 5 · 400 + 10 · 200 = 4.000.

Et salg på 5 borde og 10 stole giver altså et dækningsbidrag på 4.000 kr.

Regneforskriften for det samlede dækningsbidrag z = f(x, y) kan skrives som en funktionsforskrift, hvori både x og y indgår, nemlig

z = f(x, y) = 200 · x + 1.000 · y for x > 0 og y > 0

Grafen for denne funktion skal som nævnt indtegnes i et tredimensionelt koordinatsystem, hvilket vi ikke umiddelbart kan gøre, så vi har brug for en alternativ måde at tegne grafen for funktionen på.

Hvis vi udarbejder en større tabel over forskellige salgsalternativer, kan vi se, at det samme dækningsbidrag kan opnås ved flere kombinationsmuligheder. Her er fx vist, at et dækningsbidrag på 4.000 kr. kan opnås bl.a. ved følgende salgskombinationer:

e1



Antal borde: x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Antal stole: y 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0

Dækningsbidrag 4.000 4.000 4.000 4.000 4.000 4.000 4.000 4.000 4.000 4.000 4.000

Hvis vi plotter (x, y) ind i et almindeligt koordinatsystem, får vi følgende:

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

3

5

7

9

11

13

15

17

19

Antal borde

(0, 20)

(1, 18)

(2, 16)

(3, 14)

(4, 12)

(5, 10)

(6, 8)

(7, 6)

(8, 4)

(9, 2)

(10, 0)

Det fremgår, at alle punkterne ligger på den samme rette linje. Vi definerer denne som en niveaulinje, og da linjen viser hvordan dækningsbidraget kan blive 4.000 kr. betegnes linjen som N(4.000). N(4.000) er altså defineret som mængden af alle de kombinationer af antal borde og stole, der giver et samlet dækningsbidrag på 4.000 kr. Vi behøver ikke udarbejde en tabel, hvis vi vil tegne niveaulinjen for N(4.000), idet vi i stedet kan vælge at løse ligningen: z = f(x, y) = 400x + 200y = 4.000

Vi får følgende:

z = f(x, y) = 4.000

400x + 200y = 4.000

200y = – 400x + 4.000 y isoleres

y = –2x + 20



Alle punkter på linjen y = –2x + 20 vil give et dækningsbidrag på 4.000 kr. Teoretisk set kan vi indsætte alle værdier for x i forskriften og beregne y; men i dette eksempel taler vi om salg af borde og stole, så x og y kan ikke være negative – og reelt kun hele tal, idet vi ikke kan sælge 2½ stol. På trods af dette tegner vi en sammenhængende linje og ikke kun en række punkter i koordinatsystemet.

Der kan beregnes andre niveaulinjer svarende til andre dæknings bidrag. Fx er niveaulinjerne bestemt ved niveauet 6.000 kr. og 10.000 kr. givet ved følgende:

N(6.000): f(x, y) = 6.000 y = –2x + 30

N(10.000): f(x, y) = 10.000 y = –2x + 50

Disse niveaulinjer er her indtegnet i samme koordinatsystem.

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

4 6 8 10 12 14 1631–1 5 7 9 11 13 15

Antal stole

Antal borde

2

N(4.000): y = –2x + 20

N(6.000): y = –2x + 30

N(10.000): y = –2x + 50

Med disse niveaulinjer kan vi danne os et indtryk af dækningsbidragsfunktionen. Vi ser, at når vi parallelforskyder niveaulinjerne i pilens retning, bliver dækningsbidraget større. Det får vi brug for i næste afsnit til at optimere denne funktion under nogle begrænsninger.



lineærfunKtionitoVariaBleVed en lineær funktion i to variable forstås en funktion med forskriften:

f(x, y) = ax + by +c

hvor a, b, og c er reelle tal. Niveaulinjen svarende til niveauet t betegnes N(t) og er en ret linje bestemt ved

b–a

N(t): ax + by + c + = t

x +bty = –

bc

En funktion er givet ved f(x, y) = 40x + 80 y + 160

Niveaulinjer kan let beregnes ved indsættelse i ligningen

b–a x +

bty = –

bc

N(0): 80

– 40 x +800y = –

80160

21

21

N(800): 80

– 40x +80

800y = –80

16021

21

Begreberne og definitionerne i ovenstående eksempel kan vi sammenfatte i følgende ramme:

TIPI optimeringsopgaver med LP og salg/produktion, vil der altid være tale om et større dækningsbidrag, når salget øges.Det betyder, at pilen altid skal vokse op mod højre.

I en teoretisk opgave kan niveaulinjen sagtens ligge anderledes og dermed kan pilen gå i en anden retning.

e2



En funktion i to variable er givet ved

f(x, y) = 8x + 4y + 40

Indtegn niveauliner svarende til N(0), N(40) og N(100) og illustrér ved hjælp af en pil på niveaulinjerne den retning, hvori niveauet bliver større.

Fortjenesten på spanske rundstykker er 1,50 kr. pr. stk. og fortjenesten på birkes er 0,75 kr. pr. stk.

Lad x betegne antal solgte rundstykker og y antal solgte birkes og z = f(x, y) den samlede fortjeneste i kr.

a) Bestem en forskrift for fb) Bestem ligningen for niveaulinjerne

N(6), N(9), N(12) og N(15), og tegn disse linjer i samme koordinatsystem.

c) Illustrér ved hjælp af en pil den retning, hvori fortjenesten bliver større.

Funktionen f er en lineær funktion i to variable x og y. Herunder er tegnet nogle niveaulinjer for denne funktion.

a) Bestem f(5, 1), f(5, –1) og f(–5, 3).

b) Vurdér hver af nedenstående funktionsværdier i forhold til niveauerne 0, 10 og 20, dvs. er funktionsværdierne større end, mindre end eller lig med de pågældende niveauer?

f(1, 1), f(3, 6), f(2, 2), f(2, 0) og f(5, –5)

Ø1 Ø4

Ø2

Ø3

En funktion i to variable er givet ved

f (x, y) = 8x – 4y – 40

Indtegn niveauliner svarende til N(0), N(40) og N(100) og illustrér ved hjælp af en pil på niveaulinjerne den retning, hvori niveauet bliver større.

y

x

1

–1

2

3

4

5

2 3 4 5 6 71

N(20): y= – x+435

N(10): y= – x+235

N(0): y= – x35



6.3optimeringindenfor

etpolYgonomrÅdeI dette afsnit skal vi bestemme største og mindsteværdi for lineære funktioner i to variable inden for et afgrænset område

Med niveaulinjer kan vi finde største og mindsteværdien af en funktion i to variable inden for et begrænsningsområde. Dette begrænsningsområde fremkommer ved hjælp af nogle lineære uligheder svarende til begrænsninger i produktionsfaktorerne. Begrænsningsområdet bliver ofte et lukket polygonområde (dvs. en mangekant).

I praksis vil en virksomhed altid være underlagt begrænsninger i forbruget af fx produktionsfaktorer som arbejdstimer, maskintimer og råstoffer. Sådanne maksimalbetingelser lægger en øvre grænse for produktionen af produkter, dvs. x og y. Endvidere kan der være betingelser om, at produkterne skal have et vist mindsteindhold af bestemte stof

fer, fx at en rejeost skal indeholde et vist kvantum rejer, for at må kaldes rejeost. Sådanne minimalbetingelser lægger en nedre grænse for x og y. Tilsammen danner maksimal og minimalbetingelser et polygonområde. Ved at forskyde niveaulinjerne så langt som muligt inden for polygonområdet kan man bestemme den kombination af x og y, der giver den største eller mindste værdi af vor funktion i to variable.

Nu mangler vi blot at finde ud af, hvordan dette begrænsningsområde fremkommer, så vi kan tegne det og finde maksimum, idet vi allerede ved fra afsnit 6.2 hvordan vi tegner niveaulinjer.

Her præsenteres en metode, der kan anvendes til LP.

TIPKriteriefunktion:

f(x, y) = ax + by +c

Funktionen i flere variable kaldes kriteriefunktionen, idet det er den, der fastlægger (sætter kriteriet for), hvor stort udbytte der bliver tale om

TIP Før opgaven løses: Sæt altid oplysningerne om produktionsforhold og vilkår ind i et skema, hvor produkterne står i øverste linje.



lp-algoritme

Før beregning: lav skema med alle oplysninger.

1. Definér de uafhængige variable x og y (x = antal produkt 1, y = antal produkt 2)

2. Opstil begrænsninger – og skriv disse som uligheder med x og y (opstil evt. et begrænsningsskema)

3. Indtegn polygonområde i et koordinatsystem ud fra betingelserne, hvor der anvendes samme enheder på akserne

4. Opstil kriteriefunktionen f(x, y) = ax + by

5. Indtegn niveaulinje(r) og angiv med pil i hvilken retning, kriteriefunktionen vokser

N(t): ax + by = t

b

– a x +bty =

6. Konklusion. Parallelforskyd niveaulinjen og bestem, hvor det optimale punkt ligger. Formulér svaret som et tekstsvar.

Vi gennemgår metoden ved på ny at se på vort eksempel i afsnit 6.2 vedrørende salg/produktion af borde og stole.

Maksimeringsproblem

Ud fra oplysningerne kan vi udarbejde følgende skema, hvor produkterne og kapacitetskrav placeres øverst:

Bord Stol Maksimum

Lagervolumen 3 m3 1 m3 50 m3

Klargøring 10 min 10 min 5 timer = 300 min

DB Kr. 400,– Kr. 200,–

1. Definition: x = antal borde, y = antal stole

e1



2. Betingelser: Ud fra skemaet kan følgende uligheder opstilles:

Lagervolumen: 3x + 1y < 50 y < –3x + 50

Klargøring: 10x + 10 y < 300 y < –x + 30

Desuden må både x og y ikke være negative: x > 0, y > 0 (1. kvadrant)

3. Polygonområde: Betingelserne ovenfor indtegnes i et koordinatsystem. Polygonområdet

bliver en firkant hvor hjørnepunkterne fremgår af polygonet. Området giver os alle de kombinationsmuligheder for produktion af borde og stole, som virksomheden kan producere, når der skal tages hensyn til begrænsningerne. Vi siger, der er tale om en produktion under knap kapacitet.

TIPBetingelserne fås ved at læse rækkerne og tilføje x for produkt 1 og y for produkt 2Hvis der er maksimumgrænse anvendes ≤Hvis der er nedre grænse anvendes ≥Herefter isoleres y

TIPPolygonområdet fremgår tydeligst, hvis man vælger at skravere det, der ikke kan bruges. Det frie område bliver dermed mulighedsområdet.

Hvis linjen tegnes ind ud fra kendskab til parametrenes betydning er det hensigtsmæssigt akserne er ens.

Linjerne kan tegnes ved, at man vælger to punkter på linjen og forbinder disse.

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

10 15 20 25 30 35

yStole

x

Borde

(0, 30)

(10, 20)

(16 , 0)23

5–5

y = –3x + 50

y = –x + 30



4. Kriteriefunktion: Det fremgår, at DB er hhv. kr. 400, og kr. 200,, så vi får: f(x, y) = 400x + 200y

5. Niveaulinjer: N(6.000): f(x, y) = 6.000 y = –2x + 30

N(8.000): f(x, y) = 8.000 y = – 2x + 40

Linjerne indtegnes i koordinatsystemet med polygonområdet, og der angives med pil i hvilken retning, kriteriefunktionen vokser (se koordinatsystemet på næste side).

6. Konklusion

Ved at forskyde niveaulinjerne i pilens retning ses, at det yderste hjørnepunkt ligger i (10, 20). Her får vi altså det størst mulige dækningsbidrag indenfor kapacitetsområdet.

Da der kan være usikkerhed forbundet med aflæsninger kontrolleres, at punktet ligger på begge linjerne.

Lagervolumen: y = –3x + 50: y = –3 · 10 + 50 = –30 + 50 = 20 Klargøring: y = –x + 30: y = –1 · 10 + 30 = –10 + 30 = 20

Da kontrollen viser, at punktet (10, 20) ligger på begge linjer, kan vi konkludere, at aflæsningen er korrekt. Dermed har vi redegjort for, at der bør produceres/sælges 10 borde og 20 stole, hvis DB skal maksimeres.

TIPVælg nogle ”pæne” tal til niveaulinjer, dvs. se på tallet foran y (b) og vælg en værdi, som dette tal går op i.

Vælg gerne nogle niveauliner, der ligger hensigtsmæssigt i polygonområdet, og hvor værdierne er til at arbejde med.

b b– a x + k bN (k b): ax + by = k b: y =

b– a x + k y=



Dækningsbidraget bliver:

f(10, 20) = 400 · 10 + 200 · 20 = 4.000 + 4.000 = 8.000

Heraf fremgår, der er et dækningsbidrag på kr. 8.000, ved dette pro dukt mix.

y = –3x + 50

Max

y = –x + 30

N(6.000)

N(8.000)

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

10 15 20 25 30 35 x

y Stole

Borde

(0, 30)

(10, 20)

(16 , 0)23

5–5

En anden metode, hvor vi ikke behøver at anvende niveaulinjer, er at beregne funktionsværdierne i alle hjørnepunkter i polygonområdet, da største og mindsteværdien altid vil forekomme i et hjørnepunkt, hvis kriteriefunktionen er lineær. Herefter viser de fundne værdier, hvor maksimum eller minimum ligger.

I eksemplet ovenfor får vi ved denne metode:

f(0, 30) = 0 · 400 + 30 · 200 = 6.000 f(10, 20) = 10 · 400 + 20 · 200 = 8.000 f(16, 0) = 16 · 400 + 0 · 200 = 6.400

Begge løsningsmetoder viser, at maksimum opnås i hjørnepunktet (10, 20).



Et polygonområde er begrænset af ulighederne: y ≤ –2x + 10, y ≤ – 21 x+5, x ≥ 1, y ≥ 2

En funktion f er givet ved: f(x, y) = 2x + 2y

a) Tegn polygonområdet.b) Bestem og tegn to niveaulinjer for f.c) Bestem indenfor polygonområdet i hvilke punkter, der er hhv. minimum og maksimum.d) Bestem såvel minimum som maksimumværdierne.

En virksomhed fremstiller produkterne XP1 og Q2. Til fremstilling af 1 stk. XP1 anvendes 2 timer i produktionsafdelingen og 1 time i klargøringsafdelingen. Til fremstilling af 1 stk. Q2 anvendes 3 timer i produktionsafdelingen og 1 time i klargøringsafdelingen.

Til fremstilling af de to produkter er der 36 timer til rådighed i produktionsafdelingen og 15 timer i klargøringsafdelingen.

Dækningsbidraget ved salg for 1 stk. XP1 er kr. 300, og ved salg af 1 stk. Q2 er det kr. 200,.

a) Bestem den produktionssammensætning af de to produkter, der giver det største samlede dækningsbidrag.

En effektiv markedsføring af Q2 sætter virksomheden i stand til at øge dækningsbidraget på Q2 til kr. 400, pr. stk.

b) Hvordan skal virksomheden nu sammensætte produktionen for at opnå det største dækningsbidrag samlet?

En virksomhed producerer og sælger produkterne Mix og Max. Produkterne skal forarbejdes i to tempi i de to afdelinger afdeling A og B.

I afdeling A tager det 3 timer at forarbejde et styk Mix og 6 timer at forarbejde et styk Max. I afdeling B tager det 2 timer at forarbejde et styk Mix og 2 timer at forarbejde et styk Max.

Til produktion af de to produkter har virksomheden 48 timer pr. uge i afdeling A og 22 timer pr. uge i afdeling B.

Dækningsbidraget for Mix er 500 kr. pr. styk og for Max er det 750 kr. pr. styk.

Funktionen f(x, y) = ax + by angiver det samlede dækningsbidrag.

a) Definér de to variable x og y og bestem en forskrift for funktionen f(x, y)

b) Opstil uligheder, der beskriver begrænsningerne i produktionen, og indtegn i et almindeligt koordinatsystem det område, der afgrænses af disse uligheder.

c) Bestem det optimale produktmix – og dækningsbidraget der opnås ved denne produktion.

Ø1

Ø2 Ø3



Ovenstående eksempler og øvelser har alle angået problemstillinger, hvor der har været tale om at maksimere produktionen. Følgende er et eksempel, der angår minimering.

Et minimeringsproblem

En parcelhusejer har til sprøjtning i sin have et minimumsbehov for hhv. 10, 12 og 12 måleenheder af kemikalierne A, B og C.

En dunk AVORIX indeholder 5, 2 og 1måleenhed af A, B og C. Et karton PARADISpulver indeholder 1, 2 og 4 måleenheder af A, B og C.

Prisen for AVORIX er kr. 30,; mens prisen for PARADIS er kr. 20,.

Hvor mange dunke og kartoner af de to produkter skal husejeren købe, for på billigste måde at dække sine behov for gødning i haven?

1. Definition x = antal dunke AVORIX y = antal kartonner PARADISpulver

2. Betingelser:

A: 5x + y > 10 y > – 5x + 10

B: 2x + 2y > 12 y > –x + 6

C: x + 4y > 12 � 41 x + 3 y > –

x + 4y > 12 � 4

1 x + 3 y > – x > 0, y > 0

Avorix Paradis Minimum

A 5 1 10

B 2 2 12

C 1 4 12

Pris 30 20

e2



3.Polygonområde:Betingelserne indtegnes og det, der ikke kan anvendes, skraveres. Mulighedsområdet er nu det område, der ikke er skraveret, og kombinationsmulighederne her opfylder de stillede betingelser for kemikalier.

y

x–1–2–3

1

2

3

–1

4

5

6

7

8

9

10

11

–2

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

PARADIS

AVORIX

1

(0, 10)

y = –5x + 10

(1, 5)

y = –x + 6

(4, 2)y = –0,25x + 3

TIPHvis et punkt er vanskelig at aflæse, SKAL du beregne skæringspunktet. I det hele taget kan en beregning – eller kontrol – altid anbefales.

4.Kriteriefunktion:Ud fra oplysningerne har vi en forskrift for dæknings bidraget:

f(x, y) = 30x + 20 y

5. Niveaulinjer: N(0): f(x, y) = 0: 30x + 20y = 0 y = – 12

1 x

N(120): f(x, y) = 120: 30x + 20y = 120 y = – 12

1 x + 6

Linjerne indtegnes. Pilen angiver, i hvilken retning f(x, y) vokser.Ved forskydning af niveaulinjen vokser omkostningerne, og vi bevæger os ind i polygonområdet, hvor et køb er muligt.



TIPTegnet ^ læses som ”og”Når man løser to lignigner med to ubekendte, er det det tegn, der anvendes (men det er OK at skrive og)

6. Konklusion:Niveaulinjen forskydes i pilens retning.Punktet (1, 5) bliver det første punkt (hjørnepunkt), vi kan bruge, og da vi vil minimere omkostningerne vælges dette. Det er umiddelbart let at se, at punktet er (1, 5); men det kunne også beregnes.

y = –x + 6 ∧ y = –5x + 10

y = –x + 6 ∧ –x + 6 = –5x + 10

y = –x + 6 ∧ 4x = 4

y = –x + 6 ∧ x = 1

y = –1 + 6 = 5 ∧ x = 1

Heraf kan konkluderes: Den laveste pris opnås ved et køb på 1 AVORIX og 5 PARADIS. Prisen er f(1, 5)= 1·30 + 5·20 = 130. Prisen er altså 130 kr.

y

x–1–2–3

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

–2

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

PARADIS

AVORIX

10

N(0)

N(120)

Minimum



En foderfabrik skal producere en blanding af to foderblandinger A og B.

I begrænsningsskemaet til højre er vist, hvor meget jod, jern og zink, der kræves pr. dag for et dyr. Desuden er nævnt, hvor meget de to foderblandinger indeholder af de 3 stoffer pr. gram (mg er en forkortelse for milligram) samt prisen pr. gram.

En fabrikant af kattemad skal anvende fisk og kød til fremstillingen af foderet.Han har følgende mængder til rådighed:

Fisk: 240 kg Kød: 180 kg

Han fremstiller to slags kattemad: Kattekat og Missekat.

I Kattekat skal der bruges 0,1 kg fisk og 0,15 kg kød til en pakke.

I Missekat skal der tilsvarende bruges 0,2 kg fisk og 0,1 kg kød.

a) Opstil et skema for denne problemstilling.

Dækningsbidraget pr. pakke Kattekat er 7,00 kr. pr. pakke og for Missekat er det 6,00 kr. pr. pakke.

b) Hvor mange pakker Kattekat og Misse kat skal fabrikanten producere?

c) Hvor stort bliver det største dækningsbidrag?

Mineral indhold

A B Minimum

Jod 1,5 mg 1 mg 18 mg

Jern 3 mg 3 mg 42 mg

Zink 0,5 mg 2 mg 10 mg

Pris 4 kr. pr. g 3 kr. pr. gHvor mange gram af foderblandingerne A og B skal man anvende for på den billigste måde at opfylde mindstekravene?

Ø4

Ø5



6.4fØlSomHedSanalYSeMan skal være opmærksom på, hvor store ændringer i dæk-ningsbidraget eller omkostningerne, der kan accepteres uden produktmixet skal justeres

Kriteriefunktionen: f(x, y) = ax + by fastlægges ud fra oplysninger om dækningsbidrag og/eller omkostninger, og disse er meget ofte behæftet med en vis usikkerhed, da det i praksis vil være umuligt at kende disse beløb helt nøjagtigt, og der sker ændringer over tiden. Disse ændringer kan have betydning for, hvorvidt produktionen skal omlægges.

Vi skal i dette afsnit vurdere, hvor store ændringer i enhedsbeløbene a og b, man kan acceptere, uden den optimale løsning ændres. Dette kaldes følsomhedsanalyse.

Følsomhedsanalysen kommer altid efter, at LP opgaven er løst med de givne forudsætninger. Lad os se på et eksempel.

Følsomhedsanalyse

En virksomhed har opstilet følgende skema vedrørende produktionen, hvor produktionstiden er angivet i i timer for en enhed og den samlede produktionstid i de tre afdelinger, som produktionen skal passere.

GPS iPod Maksimum

Produktionstid ¾ 3 42

Samletid ½ ½ 10

Afprøvningstid ½ 1/4 9

DB pr. enhed 80 140

fØlSomHedSanalYSeeriKKeKerneStofpÅB-niVeau

e1



Vi skal fastlægge den bedste produktion og anvender 6punktsmodellen:

1. Definition x = antal GPS. y = antal iPod

2. Betingelser:Ud fra skemaet kan følgende uligheder opstilles – hvorefter y isoleres

Produktion: Samling: Afprøvning:

43 x + 3 y < 42 2

1 x + 21 y < 10 2

1 x + 41 y < 9

y < – 4

1 x + 14 y < –x + 20 y < –2x + 36

x > 0; y > 0

3. Polygonområde

4. Kriteriefunktion: f(x, y) = 80x + 140 y

Ipod

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

y

4 6 8 10 12 14 162–2

Gps

18 x

(0, 14)

y = –2x + 36

(8, 12)

y = –x + 20

(16, 4)

y = –0,25x + 14

(18, 0)



5. Niveaulinjer: N(0): f(x, y) = 0: 80x + 140y = 0

74 x y = –

N(1960): f(x, y) = 1960: 80x + 140y = 0

74 x + 14 y = –

Linjerne indtegnes. Pilen angiver, i hvilken retning f(x, y) vokser.

6. Konklusion:Niveaulinjen parallelforskydes i pilens retning.Den største værdi, der kan fås indenfor polygonområdet, aflæses til hjørne punkt (8, 12).

Heraf kan konkluderes: Den største fortjeneste opnås ved 8 GPS og 12 iPod. Dækningsbidraget vil være 2.320 kr. (f(8,12) = 8·80 + 12·140 = 2.320)

Ipod

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

y

4 6 8 10 12 14 162

Gps

18 x

(0, 14)

y = –2x + 36

(8, 12)

y = –x + 20

(16, 4)

y = –0,25x + 14

(18, 0)N(0)

Max



– Hvad sker der, hvis dækningsbidrager for en GPS ændrer sig, og DB for en iPod er uændret? Hvor meget kan dækningsbidraget falde, uden vi omlægger produktionen?

– Hvor meget kan det stige, uden det får konsekvenser?– Hvad hvis dækningsbidraget på en iPod ændres, mens DB på en

GPS er uændret?– Hvor meget kan DB falde/stige på en iPod, uden produktionen bør

omlægges?

Dette beregner vi på følgende vis:

Vi ser først på det hjørnepunkt, der er valgt som den optimale løsning under betingelse af de oplyste dækningsbidrag. Det fremgik af løsningen, at det er punktet (8, 12) og punktet skabes af de to linjer

74 x + 14 y = – x + 20 og y = –

Ipod

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

y

4 6 8 10 12 14 162

Gps

18 x

(0, 14)

y = –2x + 36

(8, 12)

y = –x + 20

(16, 4)

y = –0,25x + 14

(18, 0)

Max

Niveaulinjens hældningstal: –

Hældning a = –0,25 da y = –0,25x + 14

74

Hældning a = –1 da y = –x + 20



Hvis Niveaulinjens hældning ændres, så kan maksimum forskydes til et andet hjørnepunkt. I koordinatsystemet ovenfor er antydet andre mulige hældninger – og dermed løsninger. Det ses, at hvis niveaulinjerne bliver ”flade” nok, bliver punktet (0, 14) optimalt. Hvis niveaulinjen bliver stejlere, er det punktet (16, 4) eller (18, 0), der angiver det optimale valg afhængig af, hvor stejl niveaulinjen bliver.

Det fremgår af koordinatsystemet herunder, at de to linjer, der danner det optimale punkt, har hældningerne 4

1 og – 1 –

Vi beregnede niveaulinjer ud fra kriteriefunktion f(x, y) = 80x + 140 y, hvor 80 var dækningsbidrag for en GPS og 140 dækningsbidraget for en iPod.

Vi ser nu på, hvad der sker, hvis dækningsbidraget for en GPS ændrer sig, når DB for en iPod fastholdes til 140 kr.

Kriteriefunktionen skrives derfor som: f(x, y) = ax + 140y, idet vi nu skal regne nogle værdier for a, der netop angiver DB for GPSen. Hældningen for en niveaulinje for denne kriteriefunktion kan fx bestemmes ud fra N(0):

N(0): ax + 140y = 0 140 y = –ax

140– a x y =

Vi ved nu, at når vi ikke kender værdien i kriteriefunktionen, der er tilknyttet det første produkt, kan hældningen for niveaulinjen skrives som 140

– a

Så længe denne hældning befinder sig mellem hældningerne på de to linjer, der angiver maksimum, skal produktionen ikke omlægges; men hvis hældningen bliver enten højere eller lavere, vil det optimale punkt ændre sig, idet niveaulinen ved en parallelforskydning ikke længere har optimum samme sted. Vi kan derfor beregne, hvor meget DB kan ændre sig ved at løse følgende to ligninger mht. a:

140– a = –1 og

140– a

= –41



Vi løser ligningen

140– a = – �a = 140

Herefter løses ligningen

140– a = – � a = 35

41

Ud fra disse beregninger kan vi konkludere, at så længe dækningsbidraget for en GPS ligger mellem 35 og 140 kr., så kan produktmixet fastholdes under forudsætning af, at DB for en iPod ligger på 140 kr. Dernæst ser vi på, hvor meget dækningsbidraget for en iPod kan variere, uden produktmixet ændres, under forudsætning af, at DB for en GPS er 80 kr.

Som ovenfor starter vi med at se på kriteriefunktionen, hvor vi fastholder 80 som værdi for a, og nu undlader at indsætte værdien 140 og i stedet skriver b. Vi får da:

f(x, y) = 80x + by

idet b er DB for en iPod. Vi beregner nu hældningen for niveaulinjerne ud fra N(0), så vi får:

N(0) = 80x + by = 0

= –�

b80by = – 80x x

Dermed ved vi, at hældningen for alle niveaulinjer, med ukendt værdi knyttet til produkt 2, og værdien 80 tilknyttet produkt 1, kan skrives som b

80–

Så længe denne hældning ligger mellem hældningerne for de to linjer, der angiver maksimum i polygonområdet, behøver man ikke omlægge produktionen. Vi beregner nu, hvor meget DB kan ændre sig, ved at løse følgende to ligninger mht.

b80b: – = – 1 og –

b80 = –

41

Vi løser først ligningen

b

80– = – 1� b = 80

og herefter løser vi

b80– � b = 320= –

41



Ud fra disse beregninger kan konkluderes, at så længe DB for en Ipod ligger mellem 80 og 320 kr. skal produktionen ikke omlægges.

Vi kan altså konkludere:

Dækningsbidraget for en GPS er nu kr. 80,–, og det må ligge mellem 35 og 140 kr., hvis dækningsbidraget på en iPod er på 140 kr. DB må falde med 45 kr. (80 – 35 = 45) og stige med 60 kr. (140 – 80 = 60) uden punktet med maksimum i polygonområdet ændres.

Mht. en iPod, så er DB nu kr. 140, og det skal ligge mellem 80 og 320 kr., når DB for en GPS er på 80 kr. Dækningsbidraget for en iPod kan falde med 60 kr. (140 – 80) og stige med 180 kr. (320 – 140) uden det får betydning for hvilket hjørnepunkt, der er maksimum.

Vi kan samlet således konkludere, at der ikke er tale om særlig stor følsomhed m.h.t. ændringer i DB på de to produkter, hvilket også kan ses grafisk, idet vinklen mellem linjerne i hjørnepunktet er ret stor, og niveaulinjen ligger pænt i midten.

Vær opmærksom på, at analysen kan resultere i, at der er stor følsomhed for fx prisstigninger; men ikke i forhold til prissænkninger – eller modsat. Hvis det oprindelige DB fx var 720, og analysen når frem til, at værdierne kan ligge mellem 740 og 500, så er der meget stor følsomhed den ene vej, idet en stigning på 20 kan ændre optimum, hvorimod der skal et fald på 240 til før optimum ændres. Vi kan sige, der er stor følsomhed op – men meget lav ned.



Ud fra ovenstående eksempel vil vi gerne kunne opstille en metode, der viser, hvordan man generelt laver en følsomheds analyse.

fØlSomHedSalgoritme

1. Noter hældningerne på de to linjer, der krydser hinanden i det hjørne punkt, der danner optimum

2. Betragt kriteriefunktionen f(x, y) = ax + by

3. Beregn niveaulinjernes hældning

4. Undersøg hvilket af de to produkter, der skal laves følsomhedsanalyse i forhold til, da det har konsekvens for de beregninger, der skal udføres.

Produkt 1: Der ses på værdien a.

Produkt 2: Der ses på værdien b.

5. Sammenlign de beregnede værdier med den oprindelige værdi, der stod på a eller b’s plads i kriteriefunktionen. Beregn, hvor meget værdierne kan stige/falde uden produktionen skal ændres.



Modeltilprisfølsomhedsberegninger

Eksempel Generelt

1. Hældning på linjerne, der danner optimum noteres

Linje 1’s hældning = – 1

Linje 2’s hældning = –41

2.Kriteriefunktion: f(x, y) = 80x +140y

3.Hældning niveaulinjer: N(0): 80x + 140 y = 0

140y = – 80x14080y = – x�

Hældningen er: 14080 –

4.Hvilket produkt analyseres?

Hvis produkt 1: Der regnes på a

Hældning: 140a –

140

a– � a = 140= – 1

140

a– � = 35– a = –41= –

4140

Hvis produkt 2: Der regnes på b

Hældning: b80–

b80– �– 80 = – b � b = 80= – 1

b80– �– 80= –= –

41� 4b

1 b = –80

–41 = 320

5.Følsomhedsanalysens resultat: Sammenligning af kritiske værdier:

Produkt 1: Værdien på a kan ændre sig fra 80 og ned til 35 og fra 80 og op til 140 uden optimum flyttes

Produkt 2: Værdien på b kan ændre sig fra 140 og ned til 80 og fra 140 og op til 320 uden optimum flyttes

Konklusion: Der er et rimeligt spænd, så føl somheden for ændringer er ikke særlig stor – hverken op eller ned

1.Hældning på linjerne, der danner optimum, noteres

Linje 1’s hældning = a1

Linje 2’s hældning = a2

2.Kriteriefunktion: f(x, y) = ax +by

3.Hældning niveaulinjer:

N(0): ax + by = 0

y = –� bxaby = ax

Hældningen er –

ba

4.Hvilket produkt analyseres?

Hvis produkt 1: Der regnes på a

Hældning: – ba

ba– – a= – a1 b= – a1 � � a= – a1 b

ba– – a= – a2 b= – a2 � � a= – a2 b

Hvis produkt 2: Der regnes på b

Hældning: ba–

ba– – a = – a1 b= – a1 � � b = a1

–a

ba– – a = – a2 b= – a2 � � b = a2

–a

5.Følsomhedsanalysens resultat: Sammenligning af kritiske værdier:

Produkt 1: Værdien på a kan ændre sig fra a til – a

1·b og fra a til – a

2·b uden optimum flyttes

Produkt 2: Værdien på b kan ændre sig fra b til

a1

–a og fra b til a2

–a uden optimum flyttes

Konklusion: Der er ???, så følsomheden for ændringer er ???.

Helt kort kan det reduceres til:

Følgende er en algoritme til følsomhedsanalyse anvendt på det foregående eksempel.



fØlSomHedSanalYSeDer anvendes følgende betegnelser:a

1 og a

2: hældning for linjerne, der krydser hinanden i optimum

a og b: talværdierne i kriteriefunktionen f(x, y) = ax + by

Analyse vedr. produkt 1:

Beregn værdierne

a = –a1 . b a = –a

2 . b

Analyse vedr. produkt 2:

Beregn værdierne a1

–ab = – a2

–ab = –

Følsomhedsanalyse ved hjælp af algoritmen

Vi foretager en følsomhedsanalyse i forhold til eksempel 1 i afsnit 6.3, der omhandler produktion af borde og stole.

I eksemplet kan vi se, at linjerne, der danner hjørnepunktet med maksimum, har hældningerne –3 og – 1.

Dækningsbidraget på bordet er på 400 kr., mens dækningsbidraget på en stol er på 200 kr.

Ifølge metoden får vi:

a1 = –3 og a

2 = –1, da dette er hældning for linjerne,

der krydser hinanden i optimum

a = 400 og b= 200, da dette er værdierne i kriteriefunktionen f(x, y) = 400x + 200y

Analyse vedr. bordene:Beregning af de kritiske værdier

a = –a1 . b: Vi får a = –(–3)

. 200 = 600

a = – a2 . b: Det giver a = –(–1)

. 200 = 200

Dermed fremgår, at dækningsbidraget på et bord kan ligge mellem 200 og 600 kr, så DB kan såvel stige som falde med 200 kr. uden produktionen skal omlægges.

e2



-1 1 2 3 4 5 6 7 8 10 11-1

123456789

101112

Borde type A

Borde type B

9

(6, 6)

(6, 1) (9.2, 1)

Max

y = –1½x + 15

x = 6

y = 2N(0)

N(1500)

Analyse vedr. stolene:Beregn af de kritiske værdier

a1

ab = – : Dette giver b = – –3400 = 133 3

1

a2

ab = – : her får vi b = – –1400 = 400

Hermed fremgår, at dækningsbidraget for en stol kan ligge mellem 133,33 kr. og 400 kr. uden, vi skal omlægge produktionen. DB kan således falde med godt 66 kr. og stige med 200 kr., hvilket betyder, der er forholdsvis stor prisfølsomheds nedad, hvorimod følsomheden for ændringer i dækningsbidraget opad ikke er kritiske.

I eksempel 2 i afsnit 6.3 angår problemstillingen salg af to typer borde, A og B, med et DB på hhv. 150 kr. og 300. kr.

Dette eksempel er lidt specielt, da hjørnepunktet ligger mellem en linje med hældningen – 1½ og så linjen x = 6, der ikke er en lineær funktion med en hældning. Der kan derfor kun foretages en

følsomhedsanalyse i forhold til den ene hældning, da der ifølge opgaven skal produceres mindst 6 borde af type A.

Foretag en følsomhedsanalyse i forhold til begge borde. Hvor meget kan de to dækningsbidrag ændre sig, uden produktionen skal omlægges?

Ø1



y

x–1–2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

–2

–1

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

PARADIS

AVORIX

1

N(0)

N(120)

Minimum (1, 5)

y = –x + 6

y = –5x + 10

Eksempel 3 (afsnit 7.3) angår gødning af haven med de to produkter AVORIX og PARADIS, der koster hhv. 30 og 20 kr. Det var en minimeringsopgave, hvor minimum fandtes i punktet (1, 5) jf koordinatsystemet, der vises her igen.

Foretag følsomhedsanalyse i forhold til produktet XP1 øvelse 3 i afsnit 6.3, der omhandler produkterne XP1 og Q2.

Foretag følsomhedsanalyse i forhold til begge produkter i øvelse 4 i afsnit 6.3, der omhandler foderblandinger.

Foretag følsomhedsanalyse i forhold til begge produkter i øvelse 5 i afsnit 6.3, der omhandler produkterne Kattekat og Missekat.

I kapitel 10 omkring modellering vil vi vise en model, hvor der introduceres et begreb kaldet skyggepriser. Skyggeprisen er prisen, der må betales pr. enhed for en produktionsfaktor for at udvide produktionen eller besparelse ved at indskrænke produktionsfaktoren. Vi ser fx her på, hvad man højst må betale pr. time, hvis man vil udvide timetallet i en afdeling ved overarbejde.

a) Hvor meget kan prisen på AVORIX ændre sig, uden der skal foretages et andet indkøb, idet det forudsættes, at prisen på PARADIS fastholdes på 20 kr.?

b) Hvor meget kan prisen på PARADIS ændre sig, uden købssammensætningen berøres, hvis prisen på AVORIX ligger fat på 30 kr.?

Ø2

Ø3

Ø4

Ø5



6.5tjeKSpØrgSmÅl

1. Hvad er en funktion i to variable?2. Hvordan illustreres en niveaulinie i et koordinatsystem?3. Hvad er et polygonområde?4. Hvad er en kriteriefunktion?5. Hvordan løses et maksimeringsproblem?6. Hvordan løses et minimeringsproblem?7. Beskriv algoritmen til løsning af LPmodeller.8. Hvad kan lineær programmering anvendes til i praksis?9. Hvad er en følsomhedsanalyse?10. Beskriv algoritmen i en følsomhedsanalyse.


lineær programmering - systime · her udarbejder vi derfor en tabel over afsætningen af borde og...

Documents