linearna algebra i geometrija - samo materijali i materijali · pdf fileanijer vidjeli rn, n =...

Univerzitet u Sarajevu

Elektrotehni£ki fakultet

Linearna algebra i geometrija

� predavanja �

Sarajevo, septembar 2012.

Sadrºaj

Sadrºaj ii

1 Uvod 1

2 Matrice i determinante 2

3 Sistemi linearnih jedna£ina 3

4 Linearni operatori 4

4.1 Pojam linearnog operatora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44.2 Matrice i linearni operatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74.3 Promjena baze i matrica operatora . . . . . . . . . . . . . . . 104.4 Jezgro i slika linearnog operatora . . . . . . . . . . . . . . . . 134.5 Svojstvene vrijednosti i svojstveni vektori . . . . . . . . . . . . 144.6 Dijagonalizacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

POGLAVLJE 1

Uvod

POGLAVLJE 2

Matrice i determinante

POGLAVLJE 3

Sistemi linearnih jedna£ina

POGLAVLJE 4

Linearni operatori

U uvodnom dijelu smo uveli pojam preslikavanja koje elementima jednogskupa pridruºuje elemente drugog skupa. Ukoliko umjesto skupova posma-tramo vektorske prostore i posmatramo preslikavanja koja uvaºavaju njihovulinearnu strukturu govorimo o linearnim operatorima. Ovakva preslikavanjasu osnovni predmet prou£avanja linearne algebre i funkcionalne analize i jav-ljaju se u mnogim oblastima primijenjene matematike.

4.1 Pojam linearnog operatora

De�nicija 4.1. Neka su V i W vektorski prostori nad istim poljem F . Pres-likavanje A : V → W za koje vrijedi

(∀x, y ∈ V, ∀α, β ∈ F ) A(αx+ βy) = αA(x) + βA(y) (4.1)

naziva se linearan operator.

Treba napomenuti da se za preslikavanje uvedeno prethodnom de�nicijomu nekoj literaturi koristi i pojam operator, ²to moºe dovesti do zabune jerje mogu¢e posmatrati i operatore koji nisu linearni, to jeste one koji nezadovoljavaju uslov (4.1).

4.1.Pojam linearnog operatora Doc. dr. Almasa Odºak

Analogno ranije posmatranoj situaciji datoj uslovom (??), uslov (4.1) senaziva uslovom linearnosti i ekvivalentan je uslovima aditivnosti i homoge-nosti datim sa

(∀x, y ∈ V ) A(x+ y) = A(x) + A(y), (4.2)

(∀x ∈ V, ∀α ∈ F ) A(αx) = αA(x). (4.3)

Slika elementa x ∈ V pri djelovanju operatora A se £esto skra¢eno pi²e saAx umjesto A(x). Tako�e skup svih linearnih operatora koji slikaju elementeskupa V u elemente skupa W obiljeºavamo sa L(V,W ).

Na ovom skupu mogu¢e je de�nirati operaciju sabiranja i operaciju mno-ºenja skalarom na sljede¢i na£in.

• Za A,B ∈ L(V,W ) operator A + B ∈ L(V,W ) de�niramo sa (∀x ∈V ) (A+B)x = Ax+Bx;

• Za A ∈ L(V,W ), α ∈ F operator αA ∈ L(V,W ) de�niramo sa (∀x ∈V ) (aA)(x) = a(A(x));

• Nula operator O je operator za koji vrijedi (∀x ∈ V ) O(x) = 0W , gdjeje 0W neutralni element u W .

• Za A ∈ L(V,W ), operator −A se de�nira sa −A = (−1)A.

Jendostavno se pokazuje da skup L(V,W ) sa upravo de�niranim opera-cijama uz uvedeni neutralni i suprotni element predstavlja vektorski prostor.

Iz same de�nicije odmah slijede neke osobine linearnih operatora.

(i) Linearan operator A : V → W nulu vektorskog prostora V slika u nuluvektorskog prostora W. Dokaz slijedi stavljaju¢i da je α i β, iz osobinelinearnosti, jednako neutralnom elementu polja F .

(ii) Linearan operator A : V → W po²tuje linearnu kombinaciju, to jesteza proizvoljno n ∈ N vrijedi

(∀αi ∈ F, ∀xi ∈ V ) A

(n∑

i=1

αixi

)=

n∑i=1

αiA(xi).

Dokaz se dobije induktivnim putem primjenom osobine linearnosti.

5

4.1.Pojam linearnog operatora Doc. dr. Almasa Odºak

(iii) Ako su x1, . . . , xn linearno zavisni elementi prostora V i ako je A :V → W linearan operator, onda su A(x1), . . . , A(xn) linearno zavisnielementi prostora W. Dokaz slijedi iz de�nicije linearne zavisnosti iosobine (i).

Dalje, treba napomenuti da de�nicija linearnog operatora dopu²ta daprostori V i W budu jednaki i u tom slu£aju govorimo o linearnim operato-rima na prostoru V .

Specijalno, operatore kod kojih je prostor W prostor skalara nazivamo li-nearnim funkcionalima ili linearnim formama. Naj£e²¢e jeW u ovom slu£aju,kao i polje F za linearne operatore, polje realnih ili kompleksnih brojeva.

Primjer 4.1. Neka je V = R3 i W = R2 i neka je preslikavanje dato saA : (x1, x2, x3) 7→ (x1, x2). Pokaºimo da je A linearan operator. Kao ²to smoranije vidjeli Rn, n = 2, 3 su vektorski prostori nad poljem realnih brojeva.Pokaºimo da je zadovoljen uslov linearnosti. Koristimo de�niciju operacijau Rn, n = 2, 3 i de�niciju preslikavanja A. S jedne strane je

A(α(x1, x2, x3) + β(y1, y2, y3)) = A(αx1 + βy1, αx2 + βy2, αx3 + βy3)

= (αx1 + βy1, αx2 + βy2),

a s druge

αA(x1, x2, x3) + βB(y1, y2, y3)) = α(x1, x2) + β(y1, y2)

= (αx1 + βy1, αx2 + βy2),

pa je o£igledno uslov zadovoljen.

Primjer 4.2. Neka je V = Rn, W = Rm i A ∈ Rm×n. De�ni²imo operatorA sa A(x) = Ax. Pri tome ure�enu k-torku (k = m,n) posmatramo kaomatricu formata 1 × k i desnu stranu de�nicije operatora A tuma£imo kaomnoºenje matrica. Imaju¢i na umu osobine mnoºenja matrica zaklju£ujemoda je ovako de�nisan operator linearan.

Upravo navedeni primjeri linearnih operatora su primjeri linearnih opera-tora de�niranih na kona£nodimenzionalnim prostorima i mi ¢emo u nastavkuisklju£ivo takve operatore i posmatrati.

6

4.2.Matrice i linearni operatori Doc. dr. Almasa Odºak

4.2 Matrice i linearni operatori

Primjer 4.2 nam u su²tini govori da svaka matrica predstavlja jedan linearanoperator. Prirodno je postaviti pitanje, da li i svakom linearnom operatorumoºemo pridruºiti neku matricu. Odgovor je potvrdan, me�utim, to pri-druºivanje nije obostrano jednozna£no. Naime, da bi operatoru jednozna£nopridruºili matricu neophodno je odabrati baze prostora V i W . Vidjet ¢emoda se promjenom baze u op²tem slu£aju mijenja i matrica pridruºena tomoperatoru. Jedan od vaºnih zadataka linearne algebre je upravo odabir bazatako da matrica pridruºena operatoru bude ²to jednostavnija.

Pridruºivanje matrice linearnom operatoru zasnovano je na £injenici daje za poznavanje djelovanja operatora dovoljno poznavati njegovo djelovanjena elementima baze.

Preciznije, neka je A : V → W linearni operator, dimV = n < ∞.Neka je {b1, b2, . . . , bn} baza prostora V . Proizvoljan elemenat x prostora Vmoºe biti napisan na jedinstven na£in kao linearna kombinacija elemenata

baze x =n∑

j=1

αjbj. Koriste¢i osobinu (ii) linearnih operatora slijedi da je

A(x) =n∑

j=1

αjA(bj). Dakle, A(x) je potpuno odre�eno sa A(bj), odnosno

linearan operator je u potpunosti odre�en djelovanjem na bazu.Neka je A : V → W , dimV = n < ∞, dimW = m < ∞, a BV =

{b1, b2, . . . , bn} i BW = {w1, w2, . . . , wm} baze prostora V i W , respektivno.Operator A elemente baze BV slika u neke elemente A(bj), j = 1, . . . , nprostora W , ti elementi mogu biti napisani u obliku linearne kombinacijeelemenata baze BW prostora W , to jeste, postoje skalari aij, i = 1, . . . ,m,j = 1, . . . , n takvi da je

A(bj) = a1jw1 + a2jwa + . . .+ amjwm (4.4)

za sve j = 1, . . . , n. Koriste¢i skalare aij formiramo ºeljenu matricu. Preciz-nije uvodimo sljede¢u de�niciju.

De�nicija 4.2. Neka je A : V → W , dimV = n < ∞, dimW = m <∞, a BV = {b1, b2, . . . , bn} i BW = {w1, w2, . . . , wm} baze prostora V i W ,respektivno. Matricu A = (aij)m×n, pri £emu su skalari aij dati relacijom(4.4), nazivamo matrica operatora A u odnosu na baze BV i BW .

Matrica iz prethodne de�nicije se £esto ozna£ava sa ABV ,BWili ABW

BV,

ukoliko ºelimo istaknuti u odnosu na koje baze prostora je data matrica A.

7


Djelovanje operatora A na element x prostora V koriste¢i matricu opera-tora moºe biti opisano mnoºenjem matrice ABW

BVoperatora A sa x. Pri tome

vektore x i y interpretiramo kao matrice fomrata n× 1 i m× 1, respektivno.

Naime, jedinstvenost prikaza elemenata x =n∑

j=1

αjbj i A(x) = y =m∑i=1

βiwi

po datim bazama prostora i linearnost operatora A implicira da vrijedi

A(x) = A

(n∑

j=1

αjbj

)=

n∑j=1

αjA(bj)

=n∑

j=1

αj

m∑i=1

aijwi =m∑i=1

(n∑

j=1

aijαj

)wi,

pa mora biti βi =n∑

j=1

aijαj za sve i = 1, . . .m, a prema de�niciji mnoºenja

matrica to implicira da je ABWBV

x = y.De�nicija matrice linearnog operatora i upravo navedena razmatranja po-

kazuju da vrijedi sljede¢i teorem.

Teorem 4.1. Neka je A : V → W , dimV = n < ∞, dimW = m < ∞, aBV = {b1, b2, . . . , bn} i BW = {w1, w2, . . . , wm} baze prostora V i W , respek-tivno. Operatoru A se moºe pridruºiti jedinstvena matrica A = (aij)m×n £ijesu kolone koordinate vektora A(bj) u bazi BW i pri tome je A(x) = Ax 1.Tako�e, svakoj matrici Am×n odgovara samo jedan operator A koji djeluje naelemente prostora V dimenzije n i slika ih u elemente prostora W dimenzijem tako da vrijedi

(∀x ∈ V )(∃!y ∈ W )A(x) = Ax = y.

�injenica da je za poznavanje operatora dovoljno poznavati samo njegovodjelovanje na elemente baze ima jo² neke vaºne implikacije.

Ukoliko se djelovanje dva linearna operatora A i B s prostora V na prostorW podudara na elementima baze prostora V onda su operatori A i B jednaki.

Vrijedi i sljede¢i teorem.

Teorem 4.2. Neka su V i W kona£nodimenzionalni vektorski prostori nadpoljem F . Neka je dimV = n < ∞, {b1, b2, . . . , bn} baza prostora V i

1Kao i ranije prilikom mnoºenja matrica elemente x i y interpretiramo kao matrice

kolone.

8


(w1, w2, . . . , wn) ure�ena n-torka elemenata prostora W . Tada postoji je-dinstveni linearni operator A : V → W takav da je A(bi) = wi, i = 1, . . . , n.

Dokaz. Prvo dokaºimo egzistenciju linearnog operatora A. Neka je x pro-

izvoljan element prostora V , x =n∑

i=1

αibi. Stavimo da je A(x) =n∑

i=1

αiwi.

Pogodnim izborom skalara odmah zaklju£ujemo da je A(bi) = wi. Dokaºimo

linearnost. Neka je x, y ∈ V , x =n∑

i=1

αibi, y =n∑

i=1

βibi. Sada je

αx+ βy =n∑

i=1

(ααi + ββi)bi,

i

A(x) =n∑

i=1

αiwi, A(y) =n∑

i=1

βiwi,

pa je

A(αx+ βy) =n∑

i=1

(ααi + ββi)wi =n∑

i=1

(ααiwi + ββiwi)

=n∑

i=1

ααiwi +n∑

i=1

ββiwi = α

n∑i=1

αiwi + β

n∑i=1

βiwi

= αA(x) + βA(y).

Dakle, egzistencija linearnog operatora A je dokazana. Dokaºimo i jedins-tvenost. Pretpostavimo da postoji i linearan operator B : V → W takav daje B(bi) = wi, za sve i = 1, . . . , n. Sada je

B(x) = B

(n∑

i=1

αibi

)=

n∑i=1

αiB(bi) =n∑

i=1

αiwi = A(x).

Dakle, A = B, pa je jedinstvenost operatora A dokazana.

Zna£aj upravo dokazanog teorema se ogleda u tome da za zadanu bazuprostora V postoji jedinstven linearan operator A : V → W koji ¢e elementete baze preslikati u zadate, po volji odabrane vektore prostora W .

9

4.3.Promjena baze i matrica operatora Doc. dr. Almasa Odºak

4.3 Promjena baze i matrica operatora

U prethodnom odjeljku smo vidjeli da matrica operatora direktno zavisi odizbora baza prostora na kojima operator djeluje. Pitanje koje se prirodnoname¢e je kako uspostaviti vezu matrica nekog operatora pri razli£itim iz-borima baza. Da bismo odgovorili na ovo pitanje prvo ¢emo vidjeti kakouspostaviti vezu izme�u koordinata nekog vektora datih u dvije baze jednogprostora.

Neka je V vektorski prostor diomenzije n < ∞. Neka suBV = {b1, b2, . . . , bn}i B′

V = {b′1, b′2, . . . , b′n} dvije baze tog prostora. Kaºemo da je BV stara, aB′

V nova baza. Proizvoljan element x ∈ V ima reprezentaciju i u jednoj i udrugoj bazi, to jeste

x =n∑

j=1

αjbj =n∑

j=1

α′jb

′j.

Da bi oderedili vezu izme�u komponenti vektora x u dvjema datim repreze-natcija prvo ¢emo prona¢i vezu vektora jedne i druge baze. Naime, vektoreBV moºemo razloºiti po vetorima baze B′

V i obratno. Neka je

b′1 = p11b1 + p21b2 + . . .+ pn1bn

b′2 = p12b1 + p22b2 + . . .+ pn2bn...

b′n = p1nb1 + pn2b2 + . . .+ pnnbn,

odnosno

b1 = q11b′1 + q21b

′2 + . . .+ qn1b

′n

b2 = q12b′1 + q22b

′2 + . . .+ qn2b

′n

...bn = q1nb

′1 + qn2b

′2 + . . .+ qnnb

′n.

Koe�cijenti iz prethodnih relacija formiraju matrice

P =

p11 p12 · · · p1np21 p22 · · · p2n...

......

pn1 pn2 · · · pnn

, Q =

q11 q12 · · · q1nq21 q22 · · · q2n...

......

qn1 qn2 · · · qnn

. (4.5)

10


Matrica P se naziva matricom prelaza sa stare na novu bazu, matrica Qmatricom prelaza sa nove na staru bazu.

Vezu me�u uvedenim matricama prelaza i koordinatama datog vektora urazli£itim bazama iskazat ¢emu u vidu sljede¢ih teorema.

Teorem 4.3. Neka je V vektorski prostor diomenzije n < ∞. Neka suBV = {b1, b2, . . . , bn} i B′

V = {b′1, b′2, . . . , b′n} dvije baze tog prostora. Zamatrice prelaza P i Q date sa (4.5) vrijedi PQ = QP = E.

Dokaz. Dokaz slijedi direktnom primjenom razlaganja vektora jedne bazepreko druge baze, zamjenom redoslijeda sumiranja u kona£nim sumama iprimjenom de�nicije mnoºenja matrica, kao i £injenice da su vektori bazelinearno nezavisni. Linearna nezavisnost nam tako�e govori da matrica sa-£injena od kolona £iji su elementi komponente vektora baze je matrica pu-nog ranga, pa je ona regularna. Proizilazi da su matrice P i Q me�usobnoinverzne.

Teorem 4.4. Neka je V vektorski prostor dimenzije n < ∞. Neka su BV ={b1, b2, . . . , bn} i B′

V = {b′1, b′2, . . . , b′n} dvije baze tog prostora i P matrica

prelaza sa baze BV na bazu B′V . Neka za x ∈ V vrijedi x =

n∑j=1

αjbj =n∑

j=1

α′jb

′j.

Tada je α′ = P−1α, pri £emu je α =

α1

α2...αn

i α′ =

α′1

α′2...α′n

.

Dokaz. Koristimo jedinstvenost prikaza elemenata vektorskog prostora u pro-izvoljno odabranoj bazi i reprezentaciju vektora nove baze pomo¢u vektorastare baze. Zaista,

x =n∑

j=1

α′jb

′j =

n∑j=1

α′j

(n∑

i=1

pijbi

)=

n∑i=1

(n∑

j=1

α′jpij

)bi.

i x =n∑

i=1

αibi implicira da je αi =n∑

j=1

α′jpij za sve i = 1, . . . , n, odnosno

matri£no zapisano α = Pα′, ili zbog regularnosti matrice prelaza u oblikuα′ = P−1α, ²to je i trebalo dokazati.

Pre�imo sada na osnovni zadatak ovog odjeljka, a to je razmatranje vezematrica pridruºenih nekom operatoru pri izboru razli£itih baza.

11


Neka je A : V → W linearan operator, dimV = n < ∞, dimW = m <∞. Neka su BV = {b1, b2, . . . , bn} i B′

V = {b′1, b′2, . . . , b′n} baze prostora Vi PV matrica prelaza sa baze BV na bazu B′

V , a BW = {w1, w2, . . . , wm} iB′

W = {w′1, w

′2, . . . , w

′m} baze prostora W s matricom prelaza PW sa baze

BW na bazu B′W . Neka je A matrica operatora A u odnosu na baze BV i

BW , a matrica A′, matrica tog operatora u odnosu na baze B′V i B′

W . Neka

je y = A(x), x =n∑

j=1

αjbj =n∑

j=1

α′jb

′j i y =

m∑i=1

βiwi =n∑

i=1

β′iw

′i, i neka su kao i

ranije α, α′, β i β′ matrice kolone sa£injene od odgovaraju¢ih koe�cijenata.Prema dosada²njim razmatranjima, koriste¢i matri£ne zapise, zaklju£u-

jemo da vrijedi

β = Aα, β′ = A′α′,

α′ = P−1V α, β′ = P−1

W β,

²to impliciraP−1

W β = A′(P−1V α),

pa je daljeβ = PW (A′(P−1

V α)).

Primjenom osobina mnoºenja matrica dobijamo da je

β = (PWA′P−1V )α.

Posljednja jednakost i jednakost β = Aα impliciraju da je

A = PWA′P−1V , (4.6)

odnosnoA′ = PVAP−1

W .

Napomenimo da smo ustanovili da su matrrice prelaza regularne, pa postojenjihove inverzne matrice.

Dakle, dokazali smo teorem.

Teorem 4.5. Neka je A : V → W linearan operator, dimV = n < ∞,dimW = m < ∞. Neka su BV = {b1, b2, . . . , bn} i B′

V = {b′1, b′2, . . . , b′n}baze prostora V i PV matrica prelaza sa baze BV na bazu B′

V , a BW ={w1, w2, . . . , wm} i B′

W = {w′1, w

′2, . . . , w

′m} baze prostora W s matricom pre-

laza PW sa baze BW na bazu B′W . Ako je matrica A matrica operatora A u

odnosu na baze BV i BW , tada je matrica A′ operatora A, u odnosu na bazeB′

V i B′W , data sa A′ = PVAP−1

W .

12

4.4.Jezgro i slika linearnog operatora Doc. dr. Almasa Odºak

Specijalno moºemo posmatrati situaciju kada je V = W , pa je BV = BW ,B′

V = B′W i PV = PW . Neposredno iz prethodnog teorema slijedi da vrijedi

posljedica.

Posljedica 4.6. Neka je A : V → V linearan operator, dimV = n < ∞.Neka su BV = {b1, b2, . . . , bn} i B′

V = {b′1, b′2, . . . , b′n} baze prostora V i PV

matrica prelaza sa baze BV na bazu B′V , a A matrica operatora A u odnosu

na bazu BV . Tada je matrica A′ operatora A u odnosu na bazu B′V data sa

A′ = P−1V APV

Prethodna posljedica je motivacija za uvo�enje pojma sli£nih matrica.

De�nicija 4.3. Za matrice A,B ∈ Rn×n kaºemo da su sli£ne ukolio postojiregularna matrica P ∈ Rn×n tako da vrijedi

B = P−1AP.

Pi²emo A ≃ B.

Neke od osobina relacije sli£nosti za matrice su sljede¢e.

• Relacija sli£nosti za matrice je relacija ekvivalencije na skupu kvadrat-nih matrica reda n.

• Sli£ne matrice imaju jednake determinante.

• Sli£ne matrice imaju jednak rang.

Vidjet ¢emo u nastavku da se sli£ne matrice koriste u postupku dijagonali-zacije.

4.4 Jezgro i slika linearnog operatora

Iz same de�nicije linearnog operatora A ∈ L(V,W ) slijedi da su V i Wvektorski prostori. Neki njihovi potprostori su posebno zna£ajni.

Uvedimo pojmove jezgra i slike linearnog operatora.

De�nicija 4.4. Neka je A ∈ L(V,W ). Skup

Im(A) = {y ∈ W : (∃x ∈ V )A(x) = y}

nazivamo slikom operatora A.

13

4.5.Svojstvene vrijednosti i svojstveni vektori Doc. dr. Almasa Odºak

De�nicija 4.5. Neka je A ∈ L(V,W ). Skup

Ker(A) = {x ∈ V : A(x) = 0W}

nazivamo jezgrom operatora A.

U prethodnoj de�nicji sa 0W smo ozna£ili neutralni element u vektorskomprostoru W .

Koriste¢i de�niciju vektorskog podprostora odmah slijedi sljede¢a tvrdnja.

Teorem 4.7. Neka je A ∈ L(V,W ). Im(A) je podprostor prostora W , aKer(A) podprostor prostora V .

Svaki podprostor je u su²tini vektorski prostor, pa moºemo govoriti onjegovoj dimenziji. Uvodimo sljede¢e pojmove.

De�nicija 4.6. Neka je A ∈ L(V,W ). Dimenzija vektorskog prostora Im(A)naziva se rangom operatora A i ozna£ava se sa r(A). Dimenzija vektorskogprostora Ker(A) naziva se defektom operatora A i ozna£ava se sa d(A).

Vaºan rezultat o defektu i rangu dat je sljede¢om teoremom.

Teorem 4.8. Neka je A ∈ L(V,W ). Vrijedi r(A) + d(A) = dimV.

4.5 Svojstvene vrijednosti i svojstveni vektori

Vaºan alat u postupku dijagonalizacije, o kojem ¢emo govoriti u narednomodjeljku, su svojstvene vrijednosti i svojstveni vektori. Ovdje uvodimo tepojmove i njihove najzna£ajnije osobine.

Posmatrat ¢emo samo operatore koji djeluju na nekom kona£no-dimen-zionalnom vektorskom prostoru i imaju vrijednosti u istom tom prostoru.

De�nicija 4.7. Neka je V kona£no-dimenzionalan vektorski prostor nad po-ljem F , dimV = n < ∞ i A : V → V linearan operator. Skalar λ ∈ F nazivase svojstvenom vrijedno²¢u operatora A ako postoji nenulti vektor x ∈ V ta-kav da je

A(x) = λx. (4.7)

Nenulti vektor koji zadovoljava (4.7) naziva se svojstvenim vektorom kojiodgovara svojstvenoj vrijednosti λ. Skup svih svojstvenih vrijednosti operatoraA naziva se spektar operatora.

14


Umjesto pojma svojstveni iz prethodne de�nicije koriste se i pojmovisopstveni, karakteristi£ni i vlastiti.

Treba napomenudi da se prethodnom de�nicijom de�niraju svojstvenivektori i svojstvene vrijednosti operatora. Imaju¢i na umu korespondencijulinearnih operatora i matrica, analogno uvedenoj de�niciji uvode se i pojmovisvojstvenih vrijednosti i vektora kvadratne matrice. Odre�ivanje svojstvenihvrijednosti i svojstvenih vektora za dati operator £esto se naziva i rje²avanjemproblema svojstvenih vrijednosti datog operatora.

Iz de�nicije 4.7 moºemo zaklju£iti da su zadovoljene sljede¢e osobine.

(i) Ukoliko je nenulti vektor x svojstveni vektor operatora A sa svojstve-nom vrijedno²¢u λ, onda je i αx (α ∈ F ) svojstveni vektor sa istom tomsvojstvenom vrijedno²¢u. Zaista, A(αx) = αA(x) = α(λx) = λ(αx).

(ii) Ukoliko su nenulti vektori x i y svojstveni vektori operatora A sa svoj-stvenom vrijedno²¢u λ, onda je i αx+ βy (α, β ∈ F ) svojstveni vektorsa istom tom svojstvenom vrijedno²¢u ukoliko je on razli£it od nulavektora. Zaista, A(αx + βy) = αA(x) + βA(y) = α(λx) + β(λy) =λ(αx+ βy).

Obzirom da se prema de�niciji zahtjeva da svojstveni vektor bude nenultivektor, islju£enje tog vektora u osobini (ii) uzrokuje da skup svih svojstvenihvektora koji odgovaraju istoj svojstvenoj vrijednosti λ ne obrazuje vektorskiprostor. No, ako tom skupu dodamo nula vektor, tada ¢e on postati vektorskipodprostor prostora V . Ovaj podprostor se naziva svojstvenim podprostoromoperatora A koji odgovara svojstvenoj vrijednosti λ i ozna£ava se sa Eλ.

Ovaj podprostor se moºe dobiti i ne²to druga£ije. Naime, relacija (4.7)se moºe napisati i ne²to druga£ije

(A− λE)x = 0, (4.8)

pri £emu smo sa E ozna£ili identi£ni operator, to jeste operator koji svakielement prostora V slika u samog sebe. Sada proizilazi da je Eλ = Ker(A−λE). Kako smo ve¢ napomenuli skup svih linearnih operatora je vektorskiprostor, pa je linearna kombinacija linearnih operatora linearan operator, paima smisla posmatrati jezgro tog operatora.

Posljednja razmatranja nam daju i na£in na koji moºemo rje²avati pro-blem svojstvenih vrijednosti. Naime, svojstveni vektor x je nenulti vektor

15


koji zadovoljava homogeni sistem jedna£ina odre�en sa (4.8), ukoliko isko-ristimo jednozna£nu korespondenciju matrica i operatora u slu£aju kada jeizabrana baza posmatranog prostora. Neka operatoru A odgovara matricaA = (aij)n×n u nekoj proizvoljno odabranoj, ali �ksiranoj bazi. Identi£nomoperatoru odgovara jedini£na matrica, pa operatoru A−λE odgovara matricaA− λEn. Kao i ranije, u matri£nom zapisu ¢emo vektor x pisati kao vektorkolonu. Da bi sistem (A− λEn)x = 0 imao netrivijalno rje²enje potrebno jeda je determinanta sistema bude jednaka nula, to jeste∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 − λ a12 · · · a1na21 a22 − λ · · · a2n...

......

an1 an2 · · · ann − λ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0. (4.9)

Ukoliko determinantu iz (4.9) razvijemo dobijamo polinom n-tog stepena poλ. Vode¢i koe�cijent tog polinoma je (−1)n.

Determinanta iz (4.9) se naziva karakteristi£nim polinomom matrice A,a odgovaraju¢a jedna£ina karakteristi£nom jedna£inom.

Razmotrimo sada kako se mijenja jedna£ina (4.9) kada se mijenja matricaposmatranog operatora, odnosno baza prostora na kojem on djeluje.

Neka su matrice A i B matrice datog opereatora u dvije baze prostorana kojem djeluje dati operator. To su sli£ne matrice, pa postoji regularnamatrica P takva da je B = P−1AP. Sada koriste¢i osobine matrica i deter-minanti slijedi da je

det(B− λEn) = det(P−1AP− λEn)

= det(P−1AP−P−1λEnP)

= det(P−1(A− λEn)P)

= det(P−1)det(A− λEn)det(P)

= det(A− λEn).

Dakle, zaklju£ujemo da jedna£ina (4.9) ostaje nepromijenjena pri promjenibaze prostora V .

Obzirom na navedeno, determinanta iz (4.9) se naziva i karakteristi£nimpolinomom operatora A, dok se odgovaraju¢a jedna£ina naziva karakteristi£-nom jedna£inom.

16


Dakle, da bi odredili svojstvene vrijednosti operatora A potrebno je idovoljno da rije²imo karakteristi£nu jedna£inu. Da bismo to uradili potrebnoje izra£unati determinatnu n-tog reda i odrediti nule polinoma n-tog stepena.Oba ova problema s prakti£nog aspekta su zahtjevna za ve¢e vrijednostin. Treba napomenuti da posmatrana determinanta sadrºi pored numeri£kihvrijednosti i varijablu λ, ²to oteºava ra£un. Koristimo li razvoj determinantepotrebno je ra£unati veliki broj poddeterminanti. Tako�e, za traºenje nulapolinoma n-tog stepena ne postoje esplicitne formule za n > 4.

Dodatno, napomenimo da, u op²tem slu£aju, karakteri²ti£na jedna£inasa koe�cijentima iz polja F , ne mora uvijek imati rje²enje u tom polju. Uspecijalnom, naj£e²¢e kori²tenom, slu£aju poljem realnih brojeva, karakteris-ti£na jedna£ina ne mora imati rje²enja koja su realni brojevi. Obzirom danam osnovni stav algebre garantuje da polinom n-tog stepena ima ta£no nnula u skupu kompleksnih brojeva, uzimaju¢i u obzir njihovu vi²estrukost,pri rje²avanju problema svojstvenih vrijednosti koristi se polje kompleksnihbrojeva. Slijedi da, u slu£aju F = C, karakteristi£na jedna£ina ima oblik

(−1)n(λ− λ1)n1(λ− λ2)

n2 . . . (λ− λr)nr = 0,

gdje su λ1, . . . , λr razli£ite svojstvene vrijednosti, a n1, . . . , nr njihove vi²es-trukosti, respektivno, n1 + . . . + nr = n. Ovaj prelaz na skup kompleksnihbrojeva garantuje da svaki linearan operator A ima barem jednu svojstvenuvrijednost, ²to ne mora biti slu£aj ako se ograni£imo na skup realnih brojeva.Bez obzira na navedenu prednost vektorskih prostora nad poljem kompleks-nih brojeva u nekim primjenama neophodno je posmatrati vetorske prostorenad poljem realnih brojeva. U tom slu£aju moºemo se susresti sa situacijomu kojoj linearnan operator nema svojstvenih vrijednosti.

Za odre�ivanje svojstvenih vektora datog operatora za datu svojstvenuvrijednost λ = λ0 treba uvrstiti datu vrijednost u homogeni sistem (4.8).Obzirom na izbor vrijednosti λ sistem ima netrivijalna rje²enja, ima ih be-skona£no mnogo, ²to je u skladu sa osobinom (ii) svojstvenih vektora. Trebajo² napomenuti, da u slu£aju kada odaberemo F = C, svojstvene vrijednostimogu biti kompleksni brojevi, pa to mogu biti i komponenete svojstvenihvektora.

Na kraju ovog odjeljka dokazat ¢emo jednu vaºnu osobinu svojstvenihvektora.

Teorem 4.9. Neka je V vektorski prostor, dimV = n i A : V → V linearanoperator. Neka su λ1, . . . , λr razli£ite svojstvene vrijednosti operatora A, a

17

4.6.Dijagonalizacija Doc. dr. Almasa Odºak

x1, . . . , xr njima pridruºeni svojstveni vektori, respektivno. Skup {x1, . . . , xr}je linearno nezavisan.

Dokaz. Dokaz ¢emo izvesti koriste¢i princip matemati£ke indukcije po brojur razli£itih svojstvenih vrijednosti. U slu£aju r = 1 tvrdnja je o£iglednota£na, jer posmatramo jednoelementan skup i po de�niciji svojstveni vektorje nenulti vektor.

Pretpostavimo sada da tvrdnja vrijedi za r−1 i dokaºimo da vrijedi za r.

Posmatrajmor∑

i=1

αixi = 0. Treba pokazati da je αi = 0 za sve i = 1, . . . , r.

Djelovanjem operatora A na sumu iz prethodne jednakosti dobijamo

A

(r∑

i=1

αixi

)=

r∑i=1

αiA(xi) =r∑

i=1

αiλixi,

pa jer∑

i=1

αiλixi = 0, odnosno nakon oduzimanja posljednje i po£etne jedna-

kosti pomnoºene sa λr dobijamo

r∑i=1

αiλixi −r∑

i=1

αiλrxi = 0

r−1∑i=1

αi(λi − λr)xi = 0.

Obzirom da su prema induktivnoj pretpostavci vektori {x1, . . . , xr−1} line-arno nezavisni, to slijedi da je αi(λi − λr) = 0 za sve i = 1, . . . , r − 1. Popretpostavci su svojstvene vrijednosti me�usobno razli£ite, pa je λi ̸= λr zai = 1, . . . , r− 1. Slijedi da mora biti αi = 0 za sve i = 1, . . . , r− 1. No, sadase po£etna suma reducira na αrxr = 0, a po²to su svojstveni vektori nenultivektori, slijedi da mora biti αr = 0. Dakle, prema principu matemati£keindukcije tvrdanja teorema vrijedi.

4.6 Dijagonalizacija

Kako smo ve¢ napomenuli matrica nekog operatora zavisi od izbora bazaprostora na kojim operator djeluje. Jedan od vaºnih zadataka je odre�ivanjepogodne baze tako da matrica operatora bude ²to jednostavnija. Odgovor

18


na pitanje koliko jednostavnu matricu je mogu¢e dobiti za dati operator nijejednostavno unaprijed dati. No, imaju¢i na umu da je ra£un sa dijagonalnimmatricama znatno jednostavniji od onog sa proizvoljnim matricama, moºemozaklju£iti da bi bilo zna£ajno odrediti bazu prostora za koju je matrica opera-tora dijagonalna, ukoliko takva postoji. Postupak kojim se datom operatorupridruºuje dijagonalna matrica se naziva postupkom dijagonalizacije opera-tora. Za operator kojem se moºe pridruºiti dijagonalna matrica kaºe se dase moºe dijagonalizirati.

Razmotrimo jednu direktnu posljedicu teorema 4.9. Posmatrajmo line-aran operator A : V → V , koji djeluje na kona£no-dimenzionalnom prostoruV , dimV = n. Ukoliko operator A ima n razli£itih svojstvenih vrijednosti,tada je skup od n njima odgovaraju¢ih svojstvenih vektora nezavisan, pa uprostoru dimenzije n £ini bazu. Slijedi, koriste¢i de�niciju svojstvenih vek-tora, da je matrica operatora A, u toj bazi sastavljenoj od svojstvenih vek-tora dijagonalna. Dodatno, elementi na dijagonali su svojstvene vrijednostioperatora.

Odavde slijedi da se operator koji ima n nezavisnih svojstvenih vektoramoºe dijagonalizirati. Pokazuje se da vrijedi i obrnuta tvrdnja. Preciznije,vrijedi sljede¢i teorem, kojeg navodimo bez dokaza.

Teorem 4.10. Linearni operator se moºe dijagonalizirati ako i samo akopostoji baza koja se sastoji od njegovih svojstvenih vektora.

Ovdje treba napomenuti da operator koji ima n razli£itih svojstvenihvrijednosti ima i n razli£itih svojstvenih vektora, koji su prema teoremu 4.9linearno nezavisni, pa se prema teoremu 4.10 moºe dijagonalizirati. No, uslovrazli£itosti svojstvenih vrijednosti nije potreban, mogu¢e je da operator samanje od n razli£itih svojstvenih vrijednosti ima n nezavisnih svojstvenihvektora i da se moºe dijagonalizirati.

Karakteristike dijagonalne matrice i matrice prelaza pri dijagonalizacijidate su sljede¢im teoremom.

Teorem 4.11. Neka je operator A dat matricom A ∈ Rn×n i neka se moºedijagonalizirati. Elementi na glavnoj dijagonali dijagonalne matrice A′ susvojstvene vrijednosti operatora A (odnosno matrice A). Matrica prelaza Pna bazu sa£injenu od svojstvenih vektora je matrica £ije su kolone formiraneod komponenti svojstvenih vektora.

Navedena razmatranja nam daju i postupak kojim se vr²i dijagonalizacijaoperatora A kojem je pridruºena matrica operatoraA. Dakle, prvo odredimo

19


svojstvene vrijednosti operatora rje²avaju¢i karakteristi£nu jedna£inu, zatimza svaku od svojstvenih vrijednosti rje²avanjem odgovaraju¢eg homogenogsistema jedna£ina odredimo pridruºene svojstvene vektore. Ukoliko postojin linearno nezavisnih svojstvenih vektora operator se moºe dijagonalizirati.Matricu prelaska P s date baze na bazu sa£injenu od svojstvenih vektora for-miramo tako ²to komponente svojstvenih vektora pi²emo kao kolone matriceprelaza. Matrica A′ operatora A u novoj bazi je dijagonalna matrica £iji suelementi na dijagonali svojstvene vrijednosti, to jeste

A′ = P−1AP =

λ1 0 . . . 00 λ2 0... . . . ...0 0 . . . λn

.

Treba napomenuti da se pojam dijagonalazicije nekada uvodi samo zamatrice bez referiranja na odre�eni operator. No rezultati su potpuno ana-logni, a formalni prelazak se izvodi koriste¢i operator odre�en matricom kaou primjeru 4.2.

Jedna od primjena dijagonalizacije matrice je primjena na ra£unanje ste-pena matrice. Naime, kako smo vidjeli, postupak mnoºenja matrica, pa istepenovanja, zahtijeva izvr²enje velikog broja ra£unskih operacija. No, uslu£aju dijagonalnih matrica postupak je vrlo jednostavan.

20

linearna algebra i geometrija - samo materijali i materijali · pdf fileanijer vidjeli rn, n =...

Documents