Universita del SalentoFacolta di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali

Corso di Laurea Triennale in Fisica

L’integrale di cammino di Feynman: da strumentoconcettuale a metodo di calcolo

Relatore:Chiar.mo Prof. Luca GIRLANDA

Laureanda:Francesca Caloro

ANNO ACCADEMICO 2015-2016

I was born not knowing,and have only had a little timeto change that here and there.

Richard Feynman

Indice

1 Introduzione 1

2 Propagatore e integrale di cammino di Feynman 32.1 Il propagatore in meccanica quantistica ondulatoria: definizione e proprieta . 32.2 Il propagatore come funzione di Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3 Il propagatore come ampiezza di transizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.4 Dalla formulazione di Schrodinger a quella di Feynman . . . . . . . . . . . . 62.5 Dalla formulazione di Feynman a quella di Schrodinger . . . . . . . . . . . . 92.6 La particella libera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3 Il limite classico 133.1 WKB e principio di minima azione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.1.1 Funzione d’onda WKB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.1.2 Limite classico e principio di minima azione . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2 Momento ed Energia: le relazioni di de Broglie e Planck-Einstein . . . . . . . 163.3 Diffrazione da una fenditura: l’indeterminazione di Heisenberg . . . . . . . . 19

4 Il problema dello spin 234.1 Variabili di spin come variabili di Grassmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.2 Spin come stato coerente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5 Topologia e integrale di cammino 305.1 Particella vincolata su una circonferenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.2 Particella in una buca infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335.3 L’effetto di Aharonov-Bohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5.3.1 L’effetto di Aharonov-Bohm nella formulazione di Schrodinger . . . . 365.3.2 L’effetto di Aharonov-Bohm nella formulazione di Feynman . . . . . . 38

6 Metodo Monte Carlo per il propagatore 406.1 L’integrale di cammino euclideo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406.2 Valor medio e metodo Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416.3 Le catene di Markov e l’algoritmo di Metropolis . . . . . . . . . . . . . . . . 426.4 Energia dello stato fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446.5 Il correlatore e il primo stato eccitato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456.6 Esempio numerico: l’oscillatore armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

A Algebra di Grassmann 50

i

Capitolo 1

Introduzione

Nel corso dei suoi studi da dottorando a Princeton, Richard Feynman, elabora i concettifisici e matematici alla base di un approccio alla meccanica quantistica mediante l’integraledi cammino. Storicamente, le prime formulazioni matematiche della meccanica quantisticafurono quelle equivalenti di Schrodinger e di Heisenberg elaborate negli anni venti del secoloscorso [1, 2]. In entrambe si introducono degli oggetti matematici detti operatori che agisco-no su elementi appartenenti allo spazio di Hilbert.Feynman, nel 1948, pubblica un articolo [3] in cui propone invece una terza formulazionedella meccanica quantistica non relativistica. Tale formulazione fu suggerita da alcune os-servazioni espresse da Dirac in una pubblicazione del 1933 [4]. Egli evidenzia l’importanzadella formulazione lagrangiana della dinamica di un sistema. In primo luogo l’approcciolagrangiano permette di esprimere le equazioni del moto come una proprieta stazionariadell’azione, che e definita come l’integrale sul tempo della Lagrangiana. Non esiste inveceun corrispettivo principio di azione nei termini delle coordinate e dei momenti della teoriaHamiltoniana. Inoltre, tale approccio e facilmente esprimibile relativisticamente a patto chel’azione sia un invariante relativistico. Si puo notare, per esempio, che nelle formulazioni diSchrodinger e di Heisenberg che si rifanno all’approccio hamiltoniano il tempo e lo spazionon sono sullo stesso piano: alla variabile tempo classica non e associata un’osservabile comeavviene invece per la posizione di una particella.A partire da tali osservazioni, Dirac si propone di studiare come intervenga l’approccio la-grangiano in meccanica quantistica. Egli osserva una relazione fra l’azione classica e lameccanica quantistica e afferma che la funzione di trasformazione fra due rappresentazionidiagonali e cioe fra due osservabili considerate in due istanti differenti ”corrisponde” a eiS/~,dove S indica l’azione classica. Feynman nella sua formulazione della meccanica quantistica,pone questa corrispondenza valida per ogni cammino che unisce le due osservabili in tempidifferenti e dunque pone la funzione di trasformazione di Dirac (propagatore) come la sommadei contributi dati da ogni cammino possibile tra istante iniziale e finale. Questa “somma”e detta integrale di cammino di Feynman.Tale formulazione della meccanica quantistica trova il maggiore impiego nella teoria quan-tistica dei campi a causa della proprieta di covarianza relativistica. Nel contesto della mec-canica quantistica non relativistica, invece, la formulazione mediante gli operatori permetteuna soluzione piu immediata di alcuni problemi generali rispetto all’integrale di Feynman.Tuttavia, l’approccio mediante l’integrale di cammino di Feynman, fornisce una valutazioneintuitiva delle leggi della meccanica quantistica.In questa tesi verra trattato lo strumento matematico dell’integrale di cammino nella mec-canica quantistica ed alcune sue applicazioni. In particolare, nel primo capitolo sara data ladefinizione del propagatore in meccanica quantistica e il suo significato fisico. Viene quindi

1

determinata l’espressione dell’integrale di cammino di Feynman e mostrata la sua equiva-lenza con la formulazione di Schrodinger della meccanica quantistica. Inoltre si propone unprimo calcolo esplicito dell’integrale di Feynman per una particella libera.Nel secondo capitolo si mostra come il propagatore formulato da Feynman sia uno strumentoadatto a studiare la relazione tra meccanica classica e meccanica quantistica e si ricaverannoin un’approssimazione semiclassica alcune relazioni fondamentali della meccanica quantisticacome la lunghezza d’onda di de Broglie e l’indeterminazione di Heisenberg.Nel terzo capitolo si espone, invece, il problema della formulazione dell’integrale di Feynmanper una particella dotata di spin e saranno proposti due diversi approcci possibili per affron-tare tale problema.Nel quarto capitolo, saranno trattati alcuni problemi della meccanica quantistica accomu-nati dal fatto di essere descritti in uno spazio non semplicemente connesso, in particolare simostrera come calcolare il propagatore di Feynman per una particella vincolata a muoversisu una circonferenza o in una buca infinita. Inoltre viene applicato il metodo dell’integraledi cammino per studiare l’effetto di Aharonov-Bohm in cui si mostrano gli effetti fisici diuno spazio non semplicemente connesso.La tesi si conclude con il quinto capitolo in cui, a differenza dei metodi analitici utilizzati neicapitoli precedenti, si mostra un metodo numerico di calcolo del propagatore di Feynmanbasato sul metodo Monte Carlo e dunque una sua applicazione al problema dell’oscillatorearmonico.

2

Capitolo 2

Propagatore e integrale di camminodi Feynman

Richard Feynman, nella tesi di dottorato, propose una formulazione della meccanica quanti-stica secondo cui il propagatore di una particella tra il suo stato iniziale e quello finale e datodall’integrale su tutti i cammini che la particella puo percorrere nel muoversi dalla configu-razione iniziale a quella finale. In questo capitolo sara prima definito l’oggetto propagatoree successivamente ricavata l’espressione dell’integrale di cammino di Feynman.

2.1 Il propagatore in meccanica quantistica ondulato-

ria: definizione e proprieta

Considero il problema dell’evoluzione temporale dello stato di una particella. Esso e risolvibi-le una volta nota un’osservabile che forma un insieme completo di osservabili che commutano(C.S.C.O.) con l’Hamiltoniana H che suppongo non dipendere esplicitamente dal tempo. Siadunque

H =P 2

2m+ V (X), (2.1)

dove P, V e X rappresentano rispettivamente gli operatori impulso, potenziale scalare e po-sizione.Sia |ϕnτ 〉 la base di autoket comuni, fissati gli autovalori En di H, con τ indice digenerazione. Vale cioe l’equazione agli autovalori:

H |ϕnτ 〉 = En |ϕnτ 〉 . (2.2)

Gli stati di una particella rispettivamente all’istante iniziale t0 e al tempo t sono:

|ψ(t0)〉 =∑n,τ

cn,τ (t0) |ϕnτ 〉 , (2.3)

|ψ(t)〉 =∑n,τ

cn,τ (t) |ϕnτ 〉 , (2.4)

dove cn,τ (t0) = 〈ϕnτ |ψ(t0)〉 e cn,τ (t) = 〈ϕnτ |ψ(t)〉.Secondo un postulato della meccanica quantistica, l’evoluzione temporale del vettore di stato

3

|ψ(t)〉 e determinata dall’equazione di Schrodinger:

i~d

dt|ψ(t)〉 = H |ψ(t)〉 . (2.5)

Dalle equazioni (2.2), (2.3), (2.4), (2.5) si ottiene dunque l’espressione dello stato |ψ(t)〉,noto lo stato iniziale:

|ψ(t)〉 =∑n,τ

cn,τ (t0)e−iEn(t−t0)

~ |ϕnτ 〉 . (2.6)

Da tale espressione si puo passare alla relazione che lega le funzioni d’onda iniziale e finale;proiettando l’espressione ottenuta per |ψ(t)〉 nella base |x′′〉 dell’operatore posizione:

〈x′′|ψ(t)〉 = 〈x′′|∑n,τ

〈ϕn,τ |ψ(t0)〉e−iEn(t−t0)

~ |ϕnτ 〉 . (2.7)

Sfrutto ora la relazione di chiusura´d3x′ |x′〉 〈x′| = 1:

〈x′′|ψ(t)〉 =∑n,τ

〈x′′|ϕn,τ 〉 〈ϕn,τ |ˆd3x′|x′〉〈x′|ψ(t0)〉e−

iEn(t−t0)~ , (2.8)

da cui si ha

ψ(x′′, t) =

ˆd3x′K(x′′, t;x′, t0)ψ(x′, t0), (2.9)

dove si e posto

K(x′′, t;x′, t0) ≡∑n,τ

〈x′′|ϕn,τ 〉〈ϕn,τ |x′〉e−iEn(t−t0)

~ . (2.10)

Tale oggetto e definito come il propagatore dal punto iniziale (x′, t0) al punto finale (x′′, t) diun certo sistema quantistico definito dall’Hamiltoniana H.

Noto dunque il propagatore e la funzione d’onda dello stato iniziale di un sistema e pos-sibile conoscere la funzione d’onda al tempo t [1].Si noti che il propagatore dipende solo dal potenziale ed e indipendente dallo stato iniziale.E importante osservare due proprieta del propagatore. La prima e che per t > t0 essosoddisfa l’equazione di Schrodinger nelle variabili x′′ e t, con x′ e t0 fissati:

i~∂

∂tK(x′′, t;x′, t0) = i~

∂

∂t(∑n,τ

〈x′′|ϕn,τ 〉〈ϕn,τ |x′〉e−iEn(t−t0)

~ )

= i~∑n,τ

〈x′′|ϕn,τ 〉〈ϕn,τ |x′〉(−iEn~

)e−iEn(t−t0)

~

=∑n,τ

〈x′′|En|ϕn,τ 〉〈ϕn,τ |x′〉e−iEn(t−t0)

~

=∑n,τ

〈x′′|H|ϕn,τ 〉〈ϕn,τ |x′〉e−iEn(t−t0)

~

= (− ~2

2m∇2x′′ + V (x′′))

∑n,τ

〈x′′|ϕn,τ 〉〈ϕn,τ |x′〉e−iEn(t−t0)

~

= − ~2

2m∇2x′′K(x′′, t;x′, t0) + V (x′′)K(x′′, t;x′, t0), (2.11)

4

dove si e tenuto conto delle relazioni (2.1) e (2.2).La seconda proprieta riguarda l’espressione del propagatore per t → t0. Considerata ladefinizione (2.10), si ha che:

limt→t0

K(x′′, t;x′, t0) = 〈x′′|x′〉 = δ3(x′′ − x′) (2.12)

poiche vale la relazione di ortogonalita tra gli autostati della posizione.

2.2 Il propagatore come funzione di Green

La definizione data per il propagatore e valida per t > t0. Siamo infatti interessati a conoscereil futuro di un sistema, noto il suo stato iniziale in cui viene osservato. Dunque per t < t0il propagatore e supposto nullo. La definizione completa di propagatore si ottiene quindimoltiplicando l’espressione (2.10) per la funzione gradino ϑ(t− t0)[2]

K(x′′, t;x′, t0) ≡ ϑ(t− t0)K(x′′, t;x′, t0). (2.13)

Il propagatore K cosı definito e la funzione di Green per l’equazione d’onda di Schrodinger.Ricordiamo che, se Lx e un operatore differenziale in uno spazio di funzioni, si definisceG(x, y) funzione di Green dell’operatore Lx se vale la seguente relazione:

LxG(x, y) = δ(x− y). (2.14)

In questo caso l’operatore differenziale corrisponde a i~H+ ∂

∂t, con H l’Hamiltoniana. Faccio

vedere quindi che il propagatore K e la funzione di Green di tale operatore:

i~∂

∂tK(x′′, t;x′, t0) = i~K(x′′, t;x′, t0)

d

dtϑ(t− t0) + ϑ(t− t0)i~

∂

∂tK(x′′, t;x′, t0). (2.15)

Ora, sapendo che vale (2.11) e che ddtϑ(t− t0) = δ(t− t0) si ha:

ϑ(t− t0)

(− ~2

2m∇2x′′ + V (x′′)

)K − i~ ∂

∂tK = −i~δ(t− t0)K,

dove ho omesso la dipendenza di K e K per brevita.Il membro di destra e non nullo solo nel limite di t→ t0, quindi per la proprieta (2.12) si ha:(

− ~2

2m∇2x′′ + V (x′′)

)K − i~ ∂

∂tK = −i~δ(t− t0)δ3(x′′ − x′). (2.16)

Confrontando questa uguaglianza con la definizione (2.14) e evidente che K(x′′, t;x′, t0) e lafunzione di Green per l’equazione d’onda di Schrodinger.

2.3 Il propagatore come ampiezza di transizione

In questa sezione voglio evidenziare il significato fisico che assume il propagatore fin quidefinito, collegandolo al concetto di ampiezza di transizione.Considero un sistema fisico che al tempo t0 sia preparato come autostato dell’osservabile

5

X con autovalore x′. Secondo la formulazione di Schrodinger, l’ampiezza di probabilita o ditransizione per il sistema di trovarsi in un autostato dell’osservabile X con autovalore x′′ adun istante seguente t e data da:

A = 〈x′′|e−iH(t−t0)

~ |x′〉. (2.17)

Voglio ora far vedere che il propagatore non e altro che un’ampiezza di transizione. Dal-la definizione di propagatore sfruttando la relazione di chiusura per gli autostati |ϕnτ 〉 el’equazione (2.1) si ha:

K(x′′, t;x′, t0) =∑n,τ

〈x′′|e−iEn(t−t0)

~ |ϕn,τ 〉〈ϕn,τ |x′〉

=∑n,τ

〈x′′|e−iH(t−t0)

~ |ϕn,τ 〉〈ϕn,τ |x′〉

= 〈x′′|e−iH(t−t0)

~ |x′〉 (2.18)

cioe si ottiene l’espressione dell’ampiezza di transizione definita nella (2.17).

Introduco qui l’ampiezza di transizione nella rappresentazione di Heisenberg [1] In tale rappre-sentazione, a differenza di quella di Schrodinger, si definiscono i ket di stato stazionari mentre,a variare con il tempo, sono gli operatori corrispondenti alle osservabili. Inoltre, poiche gliautoket delle osservabili sono dei ket di base, questi variano col tempo. In particolare valela seguente relazione:

|x, t〉H = eiH(t−t0)

~ |x〉Sdove con |x, t〉 indico l’autoket dell’operatore posizione X(t) e con i pedici H ed S rispet-tivamente la rappresentazione di Heisenberg e di Schrodinger. Accade dunque che i ket dibase, nella rappresentazione di Heisenberg, ruotano in senso opposto ai ket di stato nellarappresentazione di Schrodinger. Per l’ampiezza di transizione (e dunque per il propagatore)posso quindi scrivere:

K(x′′, t;x′, t0) = 〈x′′, t|x′, t0〉. (2.19)

2.4 Dalla formulazione di Schrodinger a quella di Feyn-

man

La formulazione del path integral di Feynman e equivalente alla formulazione di Schrodin-ger, cioe una e deducibile dall’altra e viceversa. In questa sezione determinero l’espressionedell’integrale di cammino di Feynman a partire dalla definizione di propagatore nella formu-lazione di Schrodinger. Si seguira nel seguito la referenza [5].Considero l’espressione per il propagatore di una particella (descritta dall’Hamiltoniana H)che si muove dal punto iniziale (x′, t′) al punto finale (x′′′, t′′′):

K(x′′′, t′′′;x′, t′) =∑n,τ

〈x′′′|ϕn,τ 〉〈ϕn,τ |x′〉e−iEn(t′′′−t′)

~ . (2.20)

6

Suppongo ora di dividere l’intervallo ∆t = t′′′ − t′ in due sottointervalli, cioe si abbia ∆t =(t′′′ − t′′) + (t′′ − t′); pongo inoltre t′ = 0. Il propagatore diventa allora:

K(x′′′, t′′′;x′, t′) = 〈x′′′|e−iH(t′′′−t′′)

~ e−iHt′′

~ |x′〉. (2.21)

Inserisco ora la relazione di chiusura soddisfatta dagli autostati della posizione |x′′〉:

K(x′′′, t′′′;x′, t′) = 〈x′′′|e−iH(t′′′−t′′)

~

ˆd3x′′ |x′′〉 〈x′′| e−

iHt′′~ |x′〉

=

ˆd3x′′〈x′′′|e−

iH(t′′′−t′′)~ |x′′〉 〈x′′| e−

iHt′′~ |x′〉.

Ho quindi ottenuto che:

K(x′′′, t′′′;x′, t′) =

ˆd3x′′K(x′′′, t′′′;x′′, t′′)K(x′′, t′′;x′, t′). (2.22)

Tale espressione rappresenta la proprieta di composizione delle ampiezze di transizione. Laparticella nel propagarsi dalla posizione x′ alla posizione x′′′ dovra trovarsi in una posizioneintermedia x′′ al tempo t′′, si ha quindi un prodotto di due propagatori. Inoltre poiche nonviene effettuata alcuna misura nel punto intermedio, tale posizione puo assumere un valorequalsiasi e dunque si integra su tutte le possibili posizioni intermedie x′′.

Posso pensare di iterare questo procedimento suddividendo l’intervallo di tempo T , cheintercorre fra il punto iniziale e finale del moto, in N sottointervalli di durata ∆t = T

N. Per

semplificare la notazione siano x0 e xN rispettivamente la posizione iniziale e finale e siaK(i, j) ≡ K(xi, ti;xj, tj). Posso quindi scrivere il propagatore nel seguente modo:

K(N, 0) = 〈xN | (e−iH∆t

~ )N |x0〉 . (2.23)

Inserisco, quindi, N−1 relazioni di chiusura verificate dagli autostati della posizione |xi〉N−1i=1

e ottengo:

K(N, 0) =

ˆd3x1d

3x2...d3xN−1K(1, 0)K(2, 1)...K(N − 1, N − 2)K(N,N − 1).. (2.24)

Da questa espressione del propagatore si puo osservare che l’ampiezza di transizione tra ilpunto iniziale e finale del moto e data dalla “somma” su tutte le possibili posizioni intermediexi dell’ampiezza di probabilita per una particella che partendo dal punto (x0, t0) raggiungeil punto finale (xN , tN) passando successivamente attraverso i punti intermedi (xi, ti), coni = 1, ..., N − 1 (si veda la fig. 2.1).Considero ora in dettaglio l’espressione del propagatore per un sottointervallo K(j + 1, j) =

〈xj+1| e−iH∆t

~ |xj〉. Assumo ∆t infinitesimo, allora posso espandere in serie di Taylor l’espo-nenziale fino al secondo ordine:

K(j + 1, j) = 〈xj+1| (1−iH

~∆t− H2

2~2∆t2 + o(∆t2) |xj〉

= 〈xj+1|xj〉 −i

~〈xj+1|H |xj〉∆t+O(∆t2). (2.25)

7

t 0 t i t N

x0

xN

Figura 2.1: Cammini possibili nel piano xt

Dal primo termine della (2.25), poiche vale la relazione di ortogonalita degli autostati dellaposizione si ha:

〈xj+1|xj〉 = δ(xj+1 − xj) =

ˆdpj2π~

ei~pj(xj+1−xj). (2.26)

Per quanto riguarda il secondo termine della (2.25) esplicito la forma dell’Hamiltonianadefinita nella (2.1) e inserisco la relazione di chiusura soddisfatta dagli autostati del momentoe ottengo dunque:

− i~

∆t 〈xj+1|H |xj〉 = − i~

∆t 〈xj+1| (P 2

2m+ V (X))

ˆdpj2π~|pj〉 〈pj|xj〉

= − i~

∆t

ˆdpj2π~

(p2j

2m+ V (xj+1))e

i~pj(xj+1−xj). (2.27)

Si noti che l’Hamiltoniana in (2.27) e asimmetrica rispetto ai punti j e j+1. Questo dipendedal punto in cui ho inserito la relazione di chiusura. Poiche il punto in cui la inserisco earbitrario, per evitare cio, pongo V (xj) al posto di V (xj+1), con xj = 1

2(xj + xj+1).

Combinando le espressioni (2.26) e (2.27), la (2.25) diventa quindi:

K(j + 1, j) =

ˆdpj2π~

ei~pj(xj+1−xj)(1− i

~∆t(

p2j

2m+ V (xj)) +O(∆t2))

=

ˆdpj2π~

ei~pj(xj+1−xj)e−

i~∆tH(pj ,xj)(1 +O(∆t2)). (2.28)

Ho ottenuto cosı un’espressione del propagatore per ogni sottointervallo.Sfrutto ora questo risultato per determinare il propagatore su tutto l’intervallo, espresso nella(2.24). L’integranda e data dal prodotto di N propagatori K(j + 1, j). Si ottiene dunque:

K(N, 0) =

ˆ N−1∏j=1

dxj

ˆ N−1∏j=0

dpj2π~

ei~∆t

∑N−1j=0 (pj xj−H(pj ,xj) (2.29)

dove si e posto xj = (xj+1 − xj)/∆t, e si e trascurato il fattore (1 +O(∆t2))N che tende ad1 per N grande.

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Tenuto conto della forma dell’Hamiltoniana, si possono fattorizzare gli integrali nella (2.29):

K(N, 0) =

ˆ N−1∏j=1

dxje− i

~∆t∑N−1j=0 V (xj)

ˆ N−1∏j=0

dpj2π~

ei~∆t

∑N−1j=0 (pj xj−p2

j/2m). (2.30)

Gli integrali nelle variabili pj sono di tipo gaussiano, ma con esponente immaginario. Perdar loro un significato preciso devo considerare

∆t→ ∆t− iε, (2.31)

con ε→ 0+, in modo da assicurarne l’esistenza per ogni ε > 0. Per ogni j vale:

ˆdpj2π~

ei~∆t(pj xj−p2

j/2m) =

√m

2π~i∆tei~∆tmx2

j/2. (2.32)

Posso quindi scrivere l’espressione del propagatore come integrale solo sulle variabili spaziali,cioe si ha:

K(N, 0) = (m

2π~i∆t)N/2ˆ N−1∏

j=1

dxjei~∆t

∑N−1j=0 (mx2

j/2−V (xj)). (2.33)

Se considero gli estremi del moto (x0, t0) e (xN , tN) fissati e considero N → ∞, alloral’intervallo di tempo ∆t diventa infinitesimo e dunque vale la seguente notazione per ilpropagatore:

K(N, 0) =

ˆ xN

x0

D[x(t)]ei~S[x(t)], (2.34)

dove

D[x(t)] ≡ limN→∞

(m

2π~i∆t)N/2ˆ N−1∏

j=1

dxj, (2.35)

e S[x(t)] =´ T

0dtL(x, x) e l’azione del sistema. L’espressione (2.34) e nota come integrale di

cammino di Feynman.

2.5 Dalla formulazione di Feynman a quella di Schrodin-

ger

In questa sezione voglio procedere nel modo inverso rispetto a quanto fatto nella sezione pre-cedente e cioe voglio dedurre la formulazione di Schrodinger a partire da quella di Feynamn.Si seguira la trattazione della referenza [1].Considero il propagatore nella forma dell’integrale di cammino e provo che esso soddisfa l’e-quazione d’onda di Schrodinger nelle variabili xN e tN proprio come il propagatore definitonel primo paragrafo nella formulazione di Schrodinger. A partire dalla (2.33), tenuto contodella (2.28) si ha:

K(N, 0) =

ˆdxN−1K(N,N − 1)K(N − 1, 0)

=

ˆdxN−1

√m

2π~i∆tei~∆t(mx2

N−1/2−V (xN−1))K(N − 1, 0). (2.36)

9

Ricordando che xN−1 = (xN −xN−1)/∆t e utilizzando la rappresentazione di Heisenberg peril propagatore posso scrivere

〈xN , tN |x0, t0〉 =

ˆdxN−1

√m

2π~i∆te[ im

2~(xN−xN−1)2

∆t− iV∆t

~ ]〈xN−1, tN−1|x0, t0〉. (2.37)

Faccio ora le seguenti sostituzioni:

ξ ≡ xN − xN−1

xN → x

tN → t+ ∆t

e ottengo

〈x, t+ ∆t|x0, t0〉 =

ˆdξ

√m

2π~i∆te

[imξ2

2~∆t− iV∆t

~

]〈x− ξ, t|x0, t0〉. (2.38)

Nel limite in cui ∆t e infinitesimo, l’integrale e significativo per ξ ' 0. Quindi sviluppo〈x− ξ, t|x0, t0〉 in potenze di ξ e inoltre sviluppo e−

iV∆t~ e 〈x, t+ ∆t|x0, t0〉 in potenze di ∆t:

〈x, t|x0, t0〉+∂

∂t〈x, t|x0, t0〉∆t =

√m

2π~i∆t

ˆdξe

imξ2

2~∆t

(1− iV∆t

~

)[〈x, t|x0, t0〉+

+∂

∂x〈x, t|x0, t0〉ξ +

∂2

∂x2〈x, t|x0, t0〉

ξ2

2+ o(∆t2) + o(ξ2)

].

Considerato che il termine lineare in ξ si annulla e che

ˆdξe

imξ2

2~∆t =

√2π~i∆tmˆ

dξξ2eimξ2

2~∆t =√

2π

(i~∆t

m

)3/2

,

si ha quindi:

∂

∂t〈x, t|x0, t0〉∆t =

√m

2π~i∆t√

2π

(i~∆t

m

)3/21

2

∂2

∂x2〈x, t|x0, t0〉 −

i

~∆tV 〈x, t|x0, t0〉

dalla quale si ottiene:

i~∂

∂t〈x, t|x0, t0〉 = −

(~2

2m

)∂2

∂x2〈x, t|x0, t0〉+ V 〈x, t|x0, t0〉. (2.39)

Ho dunque ottenuto che 〈x, t|x0, t0〉, costruito secondo la formulazione di Feynman, e lostesso propagatore definito nel contesto della meccanica ondulatoria di Schrodinger.

2.6 La particella libera

A conclusione di questo primo capitolo, riporto un esempio di calcolo del propagatore peruna particella libera come riportato dallo stesso Feynman nella referenza [6].

10

La Lagrangiana per una particella libera nel caso unidimensionale e:

L =1

2mx2. (2.40)

Dalle equazioni (2.34) e (2.33), l’integrale di Feynman per una particella libera che si muovedal punto (x0, t0) al punto (xn, tn) e dato da:

K(n, 0) = limn→∞

(m

2π~i∆t

)n/2 ˆ n−1∏j=1

dxjeim

2~∆t

∑n−1j=0 (xj+1−xj)2

. (2.41)

Si nota che gli integrali sono gaussiani, non disaccoppiati, e questo complica in qualche modoil calcolo. Per dare il risultato finale di questo propagatore, considero prima il caso n = 2.Dalla (2.33) si ha:

K(2, 0) =

(m

2π~i∆t

)ˆdx1 exp

im

2~∆t[(x2 − x1)2 + (x1 − x0)2]

=

(m

2π~i · 2∆t

)exp

[im

2~(2∆t)(x2 − x0)2

]. (2.42)

Successivamente si moltiplica questo risultato per:(m

2π~i∆t

)1/2

exp

[im

2~∆t(x3 − x2)2

], (2.43)

e si integra rispetto a x2. Si ottiene da qui un risultato analogo alla (2.42):

K(3, 0) =

(m

2π~i · 3∆t

)1/2

exp

[im

2~(3∆t)(x3 − x0)2

]. (2.44)

Iterando questo processo, e chiaro che vale:

K(n, 0) =

(m

2π~i · n∆t

)1/2

exp

[im

2~(n∆t)(xn − x0)2

]. (2.45)

Ora, considerato che n∆t = tn − t0, si ottiene dunque l’espressione finale per il propagatoredi una particella libera:

K(n, 0) =

[m

2π~i · (tn − t0)

]1/2

exp

[im(xn − x0)2

2~(tn − t0)

]. (2.46)

Voglio verificare ora che valga la proprieta (2.12). E evidente che per tn → t0 il propagatoretende a infinito per xn = x0. Non e altrettanto banale, invece, far vedere che nel limitetn → t0, il propagatore si annulla per xn 6= x0. Pongo per brevita tn − t0 = τ , xn − x0 = x,K(n, 0) = K. Voglio dimostrare quindi che nel limite di τ → 0 il propagatore si annulla perx 6= 0. Ricordando la prescrizione (2.31), τ → τ − iε, con ε → 0+, allora il propagatore(2.46) posso scriverlo come:

K =

[m

2π~i · (τ − iε)

]1/2

exp

[imx2

2~(τ − iε)

]. (2.47)

11

Ne faccio ora il modulo:

|K| =[

m2

4π2~2 · (τ 2 + ε2)

]1/4

exp

[− mx2ε

2~(τ 2 + ε2)

], (2.48)

allora si ha che:limε→0

limτ→0|K| = 0. (2.49)

Quindi la proprieta (2.12) e verificata.Infine, determino lo stesso propagatore nella formulazione di Schrodinger e lo confronto conquello ottenuto sfruttando la formulazione di Feynman. L’operatore hamiltoniano per unaparticella libera e:

H =P 2

2m. (2.50)

Dalla (2.18) si ha:

K(n, 0) = 〈xn|e−iH(tn−t0)

~ |x0〉

= 〈xn|e−iP2(tn−t0)

2m~

ˆdp

2π~|p〉 〈p|x0〉

=

ˆdp

2π~e−

ip2(tn−t0)2m~ 〈xn|p〉〈p|x0〉

=

ˆdp

2π~e−

ip2(tn−t0)2m~ +i(xn−x0)p, (2.51)

da cui, risolvendo l’integrale gaussiano si ottiene

K(n, 0) =

[m

2π~i · (tn − t0)

]1/2

exp

[im(xn − x0)2

2~(tn − t0)

], (2.52)

in accordo con la (2.46).

12

Capitolo 3

Il limite classico

In questo capitolo si vogliono passare in rassegna alcune implicazioni fisiche a partire dalladefinizione del propagatore come somma sui cammini. Lo stesso Feynman, una volta posto ilpropagatore come somma sui possibili cammini, deduce dalla sua espressione alcuni concetticome il limite classico, l’impulso, l’energia.La formulazione della meccanica quantistica mediante l’integrale di cammino di Feynmane particolarmente utile per discutere la relazione che intercorre tra meccanica classica emeccanica quantistica. Essa, infatti, non introduce degli enti matematici come gli operatorie non opera nello spazio di Hilbert. Nel propagatore di Feynman compaiono variabili come laposizione e l’impulso che coincidono con le variabili classiche. Nella formulazione di Feynman,infatti, la posizione non e un autovalore di una certa base di un certo operatore. Il passaggiodalla meccanica classica a quella quantistica e viceversa diviene, cosı, piu “naturale”.

3.1 WKB e principio di minima azione

A proposito di limite classico, in questa sezione confronto l’espressione del propagatore diFeynman con la funzione d’onda nell’approssimazione semiclassica.

3.1.1 Funzione d’onda WKB

La funzione d’onda di una particella in generale e una funzione complessa dello spazio e deltempo e dunque, nel caso unidimensionale, puo essere scritta nella seguente forma [1]

ψ(x, t) =√ρ(x, t)e

iS(x,t)~ , (3.1)

dove ρ = |ψ|2 rappresenta la densita di probabilita ed S e una funzione reale, legata al flussodi probabilita. Esso e definito come:

j(x, t) = −(i~2m

)[ψ∗∇ψ − (∇ψ∗)ψ] =

(~m

)Im(ψ∗∇ψ), (3.2)

da cui si deduce che:

j =ρ∇Sm

. (3.3)

Si riconosce dunque che la variazione spaziale della fase della funzione d’onda caratterizza ilflusso di probabilita.

13

Per valutare il limite classico della meccanica quantistica, considero l’equazione di Schrodin-ger e sostituisco l’espressione della funzione d’onda (3.1):[

− ~2

2m∇2 + V

]√ρe

iS~ = i~

∂

∂t(√ρe

iS~ ), (3.4)

da cui derivando si ha:

− ~2

2m

[∇2√ρ+

(2i

~

)(∇√ρ) · (∇S)−

(i

~2

)√ρ|∇S|2 +

(i

~

)√ρ∇2S

]+√ρV =

= i~[∂√ρ

∂t+

(i

~

)√ρ∂S

∂t

]. (3.5)

Ora suppongo che ~ sia “piccolo”e raggruppo i termini dominanti indipendenti da ~. Ottengoquindi un’equazione non lineare alle derivate parziali per S:

1

2m|∇S(x, t)|2 + V (x) +

∂S(x, t)

∂t= 0. (3.6)

Questa equazione non e altro che l’equazione di Hamilton-Jacobi della meccanica classica,con S(x, t) funzione principale di Hamilton. Quindi nel limite di ~ piccolo, la meccanicaclassica e contenuta in quella quantistica.Voglio ora determinare una soluzione stazionaria dell’equazione di Schrodinger approssima-ta. In meccanica classica, quando l’Hamiltoniana e costante (caso stazionario), la funzioneprincipale e separabile:

S(x, t) = W (x)− Et, (3.7)

dove E rappresenta l’energia del sistema e W (x) e la funzione caratteristica di Hamilton,legata all’impulso e alla funzione principale S nel seguente modo:

pcl = ∇S = ∇W. (3.8)

La soluzione S dell’equazione classica di Hamilton-Jacobi ha quindi la forma

S(x, t) = ±ˆ x

0

dx′√

2m[E − V (x′)]− Et, (3.9)

che e un’espressione equivalente all’azione valutata su un cammino classico. Per uno statostazionario, inoltre, la densita di probabilita non varia nel tempo, cioe:

∂ρ

∂t= 0, (3.10)

e posso determinare ρ dall’equazione di continuita:

∂ρ

∂t+∇ · j = 0⇒ 1

m

∂

∂x

(ρ∂S

∂x

)= 0, (3.11)

tenuto conto della (3.8) e della (3.9) si ottiene:

ρdW

dx= ±ρ

√2m[E − V (x)] = cost⇒ √ρ =

cost

[E − V (x)]1/4. (3.12)

14

Inoltre, sempre in meccanica classica, vale pcl(x) ∝√

[E − V (x)], quindi:

√ρ =

cost√pcl(x)

. (3.13)

Determinate dunque le espressioni di S(x, t) e√ρ(x, t) in questa approssimazione, ottengo

la soluzione approssimata della (3.4):

ψWKB(x, t) ' cost√pcl(x)

ei~S(x,t), (3.14)

nota come soluzione WKB da G. Wentzel, A. Kramers e L. Brillouin. Si puo quindi affermareche la fase della funzione d’onda WKB e 1

~ volte il funzionale dell’azione S valutata su uncammmino classico.

3.1.2 Limite classico e principio di minima azione

Nell’articolo che Feynman pubblico sulla rivista “Reviews of Modern Physics” [3] in cuiesponeva questa nuova formulazione della meccanica quantistica, egli trattava anche il limiteclassico per il propagatore da lui definito.L’equazione (2.9) esprime l’evolvere nel tempo della funzione d’onda di una particella in uncerto intervallo di tempo. Fisicamente, tale espressione e assimilabile al principio di Huy-gens nell’ambito dell’ottica ondulatoria. L’enunciato che viene studiato nei corsi di fisicastabilisce che: ogni elemento dΣ di un fronte d’onda Σ si puo considerare formalmente comeuna sorgente secondaria di onde sferiche in fase con la primaria e di ampiezza proporzio-nale a quella dell’onda primaria e all’area dΣ. La perturbazione prodotta in un punto dellospazio si puo sempre ottenere come sovrapposizione di tutte le onde sferiche secondarie cheraggiungono quel punto.In altre parole esso afferma che, nota l’ampiezza di un’onda di un punto su un certo fronted’onda, la sua ampiezza in un punto vicino ad esso puo essere considerata come la sommadei contributi dati da tutti i punti posti sul fronte d’onda. Ogni contributo sara sfasato diuna quantita proporzionale al tempo che l’onda luminosa impiega per percorrere il raggioche minimizza il tempo, secondo il principio di Fermat valido in ottica geometrica.Si puo considerare l’espressione (2.34) introdotta da Feynman, in un modo analogo, partendodal principio di minima azione di Hamilton, valido in meccanica classica o “geometrica”. See nota l’ampiezza della funzione d’onda ψ su un certo “fronte d’onda” che consiste nell’in-sieme di tutte le posizioni x al tempo t, il suo valore in un punto vicino al tempo t+ ∆t, e lasomma dei contributi dati da tutti i punti sul “fronte d’onda” al tempo t. Ogni contributo esfasato di una quantita proporzionale all’azione S calcolata lungo il cammino che minimizzal’azione della meccanica classica. Dunque il principio di Hugyens vale per le onde di materia,a patto di sostituire il tempo con l’azione. Viene fuori in questo modo il parallelismo traottica geometrica-ottica ondulatoria e meccanica classica-meccanica quantistica.Nell’espressione dell’integrale di cammino di Feynman tutti i cammini hanno lo stesso peso.Essi differiscono solo per la fase. Nel limite classico, in che modo dunque un cammino assumepiu importanza rispetto a tutti gli altri? Per approssimazione classica si intende il caso incui le dimensioni delle masse, dei tempi, delle energie sono tali da avere S >> ~. In questaapprossimazione, la fase di ogni ampiezza e molto grande, in quanto e data dal rapportoS/~. Da cio consegue che l’ampiezza di probabilita oscilla rapidamente.Considero ora due cammini “vicini” nello spazio delle coordinate, cioe siano vicini nella scala

15

classica. La variazione dell’azione S nel passare da un cammino all’altro e tuttavia grandese considerata nella scala quantistica, cioe se rapportata alle dimensioni di ~. Dunque unpiccolo cambiamento nei cammini, implica un grande cambiamento nella fase che dunqueoscilla molto e nel momento in cui si vanno a sommare tutti i contributi dei cammini viciniil risultato al netto e nullo, cioe, in questa approssimazione, se considero un cammino nel cuiintorno gli altri cammini hanno un’azione differente, esso da una probabilita nulla e dunquee possibile non considerarlo. Tuttavia, c’e un particolare cammino nel cui intorno l’azioneS non cambia molto, o al limite, non cambia per niente: e questo l’unico cammino che dacontributo non nullo al propagatore. Questo cammino particolare e quello per cui l’azionerimane circa la stessa al variare dei cammini, cioe e tale che

δS[x(t)] = 0. (3.15)

Tale equazione esprime il principio di minima azione di Hamilton in meccanica classica.Il cammino che verifica la (3.15) e il cammino classico, quello per cui l’azione e quindistazionaria. Per esempio, in figura (3.1), i cammini x1 e x2 intorno al cammino classico xcl

x4

x2

x1 xcl

x3

t

x

Figura 3.1: Limite classico.

danno contributo non nullo, interferendo costruttivamente; i cammini x3 e x4, invece, chenon si trovano nell’immediato intorno del cammino classico, interferiscono distruttivamentee danno contributo nullo. E in questo modo che le leggi classiche del moto sono contenutein quelle quantistiche [6].Tornando al parallelismo con l’ottica, si puo osservare quindi che nel limite classico, l’unicocontributo che conta e quello che minimizza l’azione, cosı come in ottica geometrica, la luceche attraversa un mezzo transita lungo un solo raggio che e quello che verifica il teorema diFermat.Da queste considerazioni, inoltre, si puo comprendere da dove derivi la funzione WKB (3.14).Nella sua espressione il contributo della fase e dato infatti dal cammino classico. Dunque ledue considerazioni fatte in merito al limite classico nel contesto della meccanica quantisticadi Schrodinger e nella formulazione di Feynman, coincidono.

3.2 Momento ed Energia: le relazioni di de Broglie e

Planck-Einstein

In questa sezione voglio estrapolare altri concetti fisici dall’espressione dell’integrale di Feyn-man. A partire dal propagatore della particella libera, analizzando le sue dipendenze spaziali

16

e temporali, otterro le relazioni della prima fisica quantistica, come la lunghezza d’onda dide Broglie e la relazione del quanto di energia di Planck-Einstein. Si seguira la trattazioneproposta da Feynman nella referenza [6].Considero una particella libera la cui configurazione iniziale sia data dall’origine spaziale etemporale e sia (x, t) il punto finale. Considerata l’equazione (2.46), il suo propagatore hala seguente forma:

K(x, t; 0, 0) =

(m

2π~it

)1/2

expimx2

2~t. (3.16)

Ora, suppongo di fissare il tempo e di studiare quindi l’andamento del propagatore al variaredella posizione x. Come si osserva dal grafico della parte reale del propagatore in unita

x

RHKL

Figura 3.2: Parte reale del propagatore K(x, t; 0, 0) fissato t

arbitrarie a t fissato in fig. 3.2 (la parte immaginaria e la stessa, solo sfasata di 90), alcrescere della distanza x, la funzione oscilla piu rapidamente. Se considero x grande tale chela distanza fra i nodi e pressoche costante e la lunghezza d’onda λ cambia molto lentamente,la funzione e assimilabile a una sinusoide. Si puo dunque valutare in questa regione lalunghezza d’onda λ. Se considero i punti di coordinate x e x + λ, la fase del propagatorevaria di 2π come il periodo del seno. E quindi:

2π =m(x+ λ)2

2~t− mx2

2~t=mxλ

~t+mλ2

2~t, (3.17)

dove si puo trascurare il termine quadratico in λ poiche nella regione in cui ci si e postiλ << x. Conseguentemente si ha:

2π =mxλ

~t=⇒ λ =

2π~tmx

=2π~

m(x/t), (3.18)

ma si noti che dal punto di vista della meccanica classica il fattore m(x/t) rappresentail momento della particella libera. Quando il moto puo essere adeguatamente descrittoassegnando un momento classico alla particella, dalla (3.18) si puo scrivere:

λ =2π~p

=⇒ λ =h

p, (3.19)

cioe, l’ampiezza di probabilita varia nello spazio come una funzione periodica con lunghezzad’onda λ. A partire dal propagatore di una particella libera, quindi, si e ottenuta la lun-

17

ghezza d’onda di de Broglie che associa una caratteristica ondulatoria ad una particella.Tale deduzione si puo fare anche piu in generale, per una particella descritta da una lagran-giana qualsiasi. Considerato un apparato di misura per il quale la fisica classica fornisce unabuona approssimazione, si e visto nella sezione precedente che vale:

K ∼ exp

[i

~Scl

]. (3.20)

Se faccio variare il punto finale del moto, allora cambia anche l’azione classica che sappiamoessere molto maggiore di ~. Il propagatore dunque oscilla rapidamente col cambiare delpunto finale x, in particolare, la variazione della fase rispetto al cambiamento del puntofinale e:

k =1

~∂Scl∂x

, (3.21)

ma come visto in precedenza ∂Scl/∂x e il momento classico di una particella quando rag-giunge il punto x. Dunque, la (3.21) si puo anche scrivere come:

p = ~k. (3.22)

Si puo osservare, inoltre, che k rappresenta il cambio di fase per unita di distanza, cioe e ilnumero d’onda definito come k = 2π/λ. Allora, dalla (3.21) si ha anche:

2π

λ=p

~=⇒ λ =

h

p. (3.23)

Si e cosı ottenuta, anche nel caso piu generale, la relazione di de Broglie.Considero ora la dipendenza temporale del propagatore della particella libera espresso nella(3.16). Suppongo, cioe, di fissare la distanza x e studio il propagatore al variare di t. Analo-gamente a quanto fatto in precedenza, considero il grafico della parte reale del propagatorea x fissato e mi limito alla regione con t “grande”, tale che l’ampiezza e la frequenza dellafunzione rimangono circa costanti.

t

RHKL

Figura 3.3: Parte reale del propagatore K(x, t; 0, 0) fissato x.

Il periodo T e il tempo necessario per far variare la fase di 2π. Quindi si ha:

2π =mx2

2~t− mx2

2~(t+ T )=mx2

2~t2

(T

1 + T/t

). (3.24)

18

Nella regione dei tempi considerata si verifica che t >> T e quindi la relazione appena scrittadiventa:

2π =mx2T

2~t2=⇒ ω =

mx2

2~t2=E

~, (3.25)

dove si e tenuto conto che la frequenza angolare e ω = 2π/T e che m2

(xt)2 e l’energia della

particella quando arriva nel punto (x, t). Dall’analisi del propagatore ho quindi ottenutol’espressione di Planck-Einstein per l’energia:

E = ~ω. (3.26)

Come fatto nell’analisi della dipendenza spaziale, e possibile ricavare in generale la relazionefra energia della particella e frequenza angolare. Per un apparato per il quale valga la fisicaclassica, il propagatore ha l’andamento espresso nella (3.20). Al variare dell’istante finale t,il propagatore oscilla rapidamente con una frequenza data da:

ω =1

~∂Scl∂t

. (3.27)

Classicamente ∂Scl/∂t rappresenta l’energia e quindi vale:

ω =E

~, (3.28)

che e la stessa relazione ottenuta per l’energia nel caso di una particella libera.

3.3 Diffrazione da una fenditura: l’indeterminazione

di Heisenberg

E possibile ricavare un’altra caratteristica importante della meccanica quantistica sfruttandola sua relazione con la meccanica classica, si tratta dell’indeterminazione di Heisenberg. Perdedurre questo concetto sfruttando l’integrale di cammino di Feynman si puo analizzare unesperimento concettuale: la diffrazione da una fenditura.

Figura 3.4: Diffrazione da una fenditura uniforme di larghezza 2b [6].

Considero una particella libera che all’istante t = 0 parte dall’origine e dopo un tempo Tviene osservata nel punto x0. Classicamente si puo affermare che la sua velocita e v0 = x0/Te che durante l’intervallo successivo di tempo τ , la particella percorre una distanza pari a v0τ .Cosa avviene invece nel contesto della meccanica quantistica? Per studiare questo problema,suppongo di sapere che la particella all’istante T si trova in x0 ± b. Dopo un tempo τ con

19

che probabilita la particella si trovera a una distanza x? La conoscenza della localizzazionespaziale della particella al tempo T e ottenuta mediante una fenditura con apertura pari a 2bcentrata su x0. Si fa in modo cioe di escludere qualsiasi altro cammino che al tempo T passaper un punto a distanza maggiore di b da x0. Date tali premesse, l’ampiezza di propabilitaper la particella di trovarsi nella posizione x dopo un tempo T + τ si ottiene sfruttando lacomposizione delle ampiezze:

K(x+ x0, T + τ ; 0, 0) =

ˆ b

−bK(x+ x0, T + τ ;x0 + y, T )K(x0 + y, T ; 0, 0)dy, (3.29)

dove sto integrando su y che rappresenta la distanza dal punto x0 nella fenditura, cioe l’inte-grazione avviene sulle possibili posizioni che la particella puo assumere al tempo T all’internodella fenditura (si veda la figura 3.4). L’integranda dell’ampiezza per la particella libera saradi tipo gaussiano, ma l’integrazione avviene su uno spazio finito, cioe tra −b e b e dunquenon e immediato il calcolo. Si noti inoltre che si sta considerando un’ampiezza di transi-zione di una particella la cui configurazione iniziale e fissata e dunque la (3.29) corrispondealla funzione d’onda ψ(x). Sfruttando l’espressione del propagatore di una particella libera(2.46), si ha:

ψ(x) =

ˆ b

−b

m

2πi~√τT

(exp

im

2~

[(x− y)2

τ+

(x0 + y)2

T

])dy. (3.30)

Al fine di risolvere questo problema e dedurre delle proprieta fisiche importanti, Feynman,sceglie di risolvere questo integrale estendendo il dominio di integrazione. Per fare questo enecessario moltiplicare l’integranda per una funzione gradino G(y) che si comporta propriocome la fenditura, cioe e nulla per |y| > b e pari a 1 per −b < y < b. Quindi posso scrivere:

ψ(x) =

ˆ ∞−∞

mG(y)

2πi~√τT

(exp

im

2~

[(x− y)2

τ+

(x0 + y)2

T

])dy. (3.31)

In questo caso sto considerando una distribuzione uniforme della posizione della particellaall’interno della fenditura.A questo punto, Feynman, al solo scopo di semplificare i calcoli, suppone che la fenditura siagaussiana e cioe che la distribuzione della posizione della particella all’interno della fendituranon sia uniforme ma vada come una Gaussiana. Allora G(y) non rappresenta una funzionegradino ma una gaussiana con larghezza 2b, cioe:

G(y) = e−y2/2b. (3.32)

Analizzo il problema dal punto di vista classico. Sia x1 la posizione della particella al tempoT + τ posto che al tempo T si trovi in x0. Sappiamo che al tempo T la particella si trovain una posizione compresa tra x0 − b e x0 + b, allora al tempo T + τ la sua posizione saracompresa tra x1 − b1 e x1 + b1, dove

x1 = v0τ =x0

Tτ,

x1 − b1 = −b+x0 − bT

τ = −b+x0τ

T− bτ

T= x1 − b

(1 +

τ

T

)=⇒ b1 = b

(1 +

τ

T

).

20

Per una particella che segue le leggi classiche del moto e che si muove attraverso una fendituragaussiana mi aspetto che la posizione della particella al tempo T + τ sia distribuita con lostesso tipo di distribuzione del tempo T e cioe con una gaussiana ma con una larghezzamaggiore pari a 2b1 (si veda la fig. 3.5).Calcolo ora, invece, l’ampiezza di probabilita mediante l’integrale di cammino. Dalla (3.31),sfruttando la (3.32) si ha:

ψ(x) =

ˆ ∞−∞

m

2πi~√τT

exp

[im

2~

(x2

T+x2

0

τ

)+im

~

(x0

τ− x

T

)y+

+

(im

2~T+im

2~τ− 1

2b2

)y2

]dy. (3.33)

In questo modo si ha un integrale gaussiano valutato su un dominio infinito e dunque lasoluzione e nota:

ψ(x) =

√m

2πi~

(T + τ + Tτ

~imb2

)−1/2

exp

[im

2~

(v2

0T +x2

τ

)+

+(m2/2~2τ 2)(x− v0τ)2

(m/~)(i/T + i/τ)− 1/b2

], (3.34)

dove si e sostituito x0/T con v0. La probabilita di trovare la particella intorno al punto(x, T + τ) sara proporzionale al modulo quadro dell’ampiezza appena determinata, e cioe:

dP (x) = |ψ(x)|2dx =mb

2π~T∆xexp

[−(x− v0τ)2

2(∆x)2

]dx, (3.35)

dove si e posto

(∆x)2 = b2

(1 +

τ

T

)2

+τ 2~2

m2b2= b2

1 +τ 2~2

m2b2. (3.36)

Ho ottenuto che la distribuzione di probabilita e ancora una Gaussiana. Essa e centrata inv0τ = x1, ma la sua larghezza non e 2b1 come previsto classicamente. La sua larghezza,

Figura 3.5: Diffrazione da una fenditura gaussiana con una σ = 2b1 [6].

infatti, e data da 2∆x che e maggiore di 2b1, come si evince dalla (3.36). Quindi si puoaffermare che, nel contesto della meccanica quantistica si accumula un’incertezza maggioresulla posizione finale della particella.Dall’equazione (3.36), il fattore ~τ/mb puo essere interpretato come la deviazione standarddi una certa variabile extra x′ che si somma alla variabile x la cui deviazione e pari a b1, cioe

21

sia:

∆x′ =~τmb

(3.37)

Tale termine avra una natura quantistica data la presenza di ~ ed assume importanza perparticelle di massa piccola e per fenditure molto strette. Cioe, per particelle poco massive, ilpassaggio attraverso una fenditura stretta genera un’incertezza sulla posizione finale. Sup-posto che abbia valore la nozione di velocita classica, e possibile considerare l’incertezza ∆x′

causata da un’incertezza sulla velocita:

δv =~mb

. (3.38)

L’apertura della fenditura puo essere considerata l’incertezza δx sulla posizione della parti-cella nell’istante in cui essa attraversa la fenditura, cioe sia:

δx = 2b. (3.39)

Dalla (3.38) si ha allora che:

δv ·m · 2b = 2~ =⇒ δp · δx = 2~. (3.40)

Tale relazione esprime il principio di indeterminazione di Heisenberg. Infatti, dalla (3.40) sideduce che la conoscenza della velocita (o del momento), genera un’indeterminazione sullaposizione, come si e visto nell’esperimento concettuale. Inoltre, analogamente, avviene chela conoscenza della posizione determina un’incertezza sulla velocita. Quindi, non e possibileconoscere con la stessa precisione la posizione e il momento.

22

Capitolo 4

Il problema dello spin

Nel capitolo precedente e stato messo in evidenza come l’integrale di cammino di Feynmanrenda piu naturale il passaggio dalla meccanica classica a quella quantistica. Come si evisto, infatti, non viene introdotto alcun operatore e si continuano a considerare le variabilicanoniche x(t) e p(t). Tuttavia, non tutte le proprieta della meccanica quantistica possonoessere studiate tramite la definizione dell’integrale di cammino data nel primo capitolo. Siincontra per esempio difficolta a descrivere una particella dotata di spin: lo spin e descrittoda variabili discrete che non hanno un corrispettivo nello spazio delle fasi classico. AncheFeynman nel primo articolo pubblicato in merito a questa sua nuova formulazione della mec-canica quantistica e nella referenza [6], relativamente al problema dello spin rimane sul vago,rimandando alla trattazione dell’elettrone relativistico di Dirac.In questo capitolo esporro l’idea alla base di due diversi approcci con cui viene affrontatoil problema dello spin in modo che abbia validita la descrizione della meccanica quantisticamediante l’integrale di cammino.Per una particella dotata di spin nell’Hamiltoniana si presenta un termine dovuto all’intera-zione dello spin con il potenziale magnetico. L’Hamiltoniana assume la seguente espressione:

H =1

2m

(P− eA

c

)2

+ V + 2γS ·B, (4.1)

dove V e un potenziale scalare, A il potenziale vettore associato al campo magnetico B, γuna costante ed S il momento angolare di spin.Poiche il campo magnetico in generale puo cambiare nel tempo e nello spazio, si ha che l’Ha-miltoniana non commuta con se stessa per tempi diversi e dunque non si puo procedere colconsiderare l’esponenziale dell’Hamiltoniana suddividendo l’intervallo di tempo del moto Tin N sotto intervalli ∆t come fatto nel primo capitolo per ricavare l’espressione dell’integraledi cammino[7]. Vediamo allora qui di seguito, quali sono i due possibili approcci.

4.1 Variabili di spin come variabili di Grassmann

Un modo per incorporare lo spin nella formulazione dell’integrale di cammino della meccani-ca quantistica e quello di sfruttare delle nuove variabili che seguono regole di commutazionediverse da quelle canoniche fin qui utilizzate. Tali variabili sono le variabili di Grassmann.Tramite esse si definisce una pseudomeccanica, che e la meccanica di un sistema descritto davariabili canoniche ordinarie e dalle variabili di Grassmann e infine si integra sui camminipseudoclassici. L’espressione dell’integrale di cammino che si ottiene mediante questa proce-dura permette la descrizione di una particella con spin in meccanica quantistica equivalente

23

alla formulazione che scaturisce dai postulati di Pauli. Inoltre, si verifica che il limite classico(~→ 0) della teoria quantistica e, in generale, la pseudomeccanica[8].L’idea alla base per la definizione di questa pseudomeccanica e di considerare gli elementi diun’algebra di Grassmann come variabili dinamiche classiche, cioe come funzioni dello spaziodelle fasi. Definisco ora gli elementi di un’algebra di Grassmann[9].Considero n variabili ξ1, ..., ξn. Esse sono n generatori di un’algebra di Grassmann se∀j, k = 1...n vale che:

ξjξk + ξkξj = 0, (4.2)

cioe i generatori di un’algebra di Grassmann sono variabili che anticommutano. Si osserviche, invece, le variabili canoniche ordinarie sono variabili che commutano.Gli elementi di un’algebra di Grassmann possono essere rappresentati come una combinazionelineare dei generatori ξ, cioe, se g e un elemento dell’algebra di Grassmann esso puo essereespresso nel seguente modo:

g(ξ) =n∑ν=0

∑k

gk1...kνν ξk1 · · · ξkν , (4.3)

dove gkν sono numeri reali o complessi antisimmetrici negli indici k. L’insieme degli

elementi per i quali sono presenti solo i termini con ν pari formano una sottoalgebra. Glielementi dispari, definiti in modo analogo, non costituiscono invece una sotto algebra. Siverifica inoltre che, gli elementi pari (E) commutano con tutti gli elementi dell’algebra diGrassmann; gli elementi dispari (O) commutano con gli elementi pari e anticommutano conquelli dispari, cioe:

[E1, E2] = [E,O] = 0

O1, O2 = 0.

L’algebra di Grassmann definita da tre generatori che si trasformano come le tre componentidi un vettore soggetto a rotazioni da luogo alla dinamica non relativistica di una particelladotata di spin.Si definisce la traiettoria nello spazio delle fasi ξ(t), come un elemento dispari dell’algebradi Grassmann G3 dipendente da un parametro t.Per formulare una pseudomeccanica in questo contesto, si definisce l’azione dipendente anchedalle variabili di Grassmann, cioe:

S =

ˆ tf

ti

L(xi, xi, ξα, ξα)dt, (4.4)

con i, α = 1, 2, 3 e dove le xi rappresentano le variabili canoniche ordinarie.Ho esposto fin qui le basi per la costruzione di una pseudomeccanica. Successivamenteinfatti vengono definite l’Hamiltoniana, le parentesi di Poisson ed altri concetti cosı comesi fa in meccanica classica. Lo step successivo, una volta definita tale pseudomeccanica, ela sua quantizzazione. Per fare cio si sostituiscono, al posto delle parentesi di Poisson nellevariabili di Grassmann, gli anticommutatori degli operatori corrispondenti, divisi per −i~.A titolo di esempio, considero un sistema di spin 1/2 o piu in generale un sistema a duelivelli. Esso puo essere descritto da un operatore ψ(t) (che suppongo unidimensionale), peril quale vale l’identita ψ(t)2 = 0 e la relazione di anticommutazione ψ(t), ψ†(t) = 1. Tale

24

operatore soddisfa inoltre l’equazione del moto di Heisenberg:

i~∂tψ(t) = ~ωψ(t), (4.5)

dove ~ω rappresenta lo splitting dell’energia fra i due livelli. L’Hamiltoniana del sistema e

H = ~ωψ†ψ(t). (4.6)

Determino dunque gli autovalori e gli autostati per dimostrare che effettivamente date questepremesse, ottengo un sistema a due livelli.Integrando la (4.5) ricavo la soluzione dell’equazione, cioe:

ψ(t) = ce−iωt; (4.7)

considerata la relazione di anticommutazione e l’identita soddisfatte dalla ψ(t) si deduce chel’operatore c deve soddisfare relazioni analoghe

c2 = 0, (4.8)

c, c† = 1. (4.9)

L’Hamiltoniana posso scriverla allora anche come H = ~ωc†c.Ora, definito lo stato di vuoto |0〉 come l’unica soluzione dell’equazione c |0〉 = 0, determinogli autovalori e gli autostati di H. Dall’espressione di H si ha che i suoi autostati coincidonocon quelli di c†c e i suoi autovalori saranno quelli di c†c moltiplicati per ~ω. Indico con |n〉gli autostati di c†c.Considerata la definizione dello stato di vuoto si ha che:

c†c |0〉 = c† · 0 = 0 =⇒ c†c |0〉 = 0, (4.10)

cioe lo stato di vuoto e un autostato di c†c con autovalore 0.Sfrutto ora l’anticommutatore c†c, c† = c†, allora si ha che:

c†c, c† |n〉 = c† |n〉 =⇒ c†cc† |n〉 = −c†c†c |n〉+ c† |n〉 = c† |n〉 , (4.11)

cioe c† |n〉 e un autostato di c†c con autovalore 1. Allora posso scrivere che c† |0〉 = |1〉.Inoltre, poiche (c†c)2 = c†c, deve essere n2 = n e dunque n = 0, 1. Quindi gli autostatideterminati sono gli unici, supponendoli non degeneri. Conseguentemente gli autostati di Hsono i ket |0〉 e |1〉 associati rispettivamente agli autovalori 0 e ~ω. Ho quindi ottenuto unsistema a due livelli.Voglio determinare l’espressione

〈0|T ψ(t)ψ†(t′)|0〉 (4.12)

come una funzione esplicita di t− t′. Si tratta del propagatore come si vedra in seguito. Tindica l’operazione di ordinamento temporale, e si ha che (il segno meno viene dalle proprietadi anticommutazione):

〈0|T ψ(t)ψ†(t′)|0〉 = 〈0|θ(t− t′)ψ(t)ψ†(t′)− θ(t′ − t)ψ†(t′)ψ(t)|0〉 = θ(t− t′)e−iω(t−t′), (4.13)

25

dove si e tenuto conto delle equazioni (4.7) e (4.9). Si puo verificare che l’oggetto appenacalcolato e la funzione di Green per l’equazione del moto (4.5), infatti vale che:

(i∂t − ω)(θ(t′ − t)e−iω(t−t′) = iδ(t− t′), (4.14)

considerato che ddtϑ(t− t0) = δ(t− t0). Ho verificato dunque che l’espressione (4.12) rappre-

senta il propagatore nel sistema considerato.Tale sistema a due livelli e stato fin qui analizzato nel formalismo degli operatori. Voglioora esprimerlo mediante le variabili di Grassmann ψ(t) e ψ†(t) associate agli operatori ψ(t)e ψ†(t), che soddisfano le seguenti relazioni di anticommutazione:

ψ(t)2 = 0 (4.15)

ψ(t), ψ†(t) = 0. (4.16)

La Lagrangiana del sistema nei termini di tali variabili e:

L = iψ†∂tψ − ωψ†ψ. (4.17)

Se da essa determino l’Hamiltoniana, ottengo un’espressione analoga a quella vista nelformalismo degli operatori. Infatti, il momento coniugato e dato da Πψ = iψ†, da cuiH = Πψψ − L = ωψ†ψ che ha una forma analoga alla (4.6).Mediante le variabili di Grassmann e possibile ora esprimere il propagatore visto nel forma-lismo operatoriale, nei termini dell’integrale di cammino di Feynman. Esso e espresso nelmodo seguente:

〈0|T ψ(t)ψ†(t′)|0〉 =

´Dψ†Dψ exp(i

´dtL)ψ(t)ψ†(t)´

Dψ†Dψ exp(i´dtL)

. (4.18)

Dimostrero ora che esso e equivalente al propagatore determinato precedentemente.Considero la variabile dinamica ψ(t) definita tra −T/2 e T/2, allora posso svilupparla inserie di Fourier, quindi:

ψ(t) =∑n

cnei 2πTnt, con cn =

1

T

ˆ T/2

−T/2e−i

2πTntψ(t)dt. (4.19)

Si noti che anche i coefficienti cn sono delle variabili di Grassmann perche funzioni di variabilidi Grassmann.Ora considero l’esponenziale dell’azione, tenuto conto dell’espressione della Lagrangiana:

exp(i

ˆ T/2

−T/2dtL) = exp

i

ˆ T/2

−T/2dt

[i∑n,m

c†ncme−i 2πn

T(n−m)t

(i2π

Tm

)− ω

∑n,m

c†ncme−i 2πn

T(n−m)t

],

da cui, sapendo che gli addendi nell’esponenziale non si annullano, una volta integrati, solonel caso in cui n = m, si ottiene:

exp(i

ˆ T/2

−T/2dtL) = exp

[iT∑n

c†ncn

(−2π

Tn− ω

)]. (4.20)

26

Sviluppata l’espressione dell’esponenziale e noto lo sviluppo di Fourier di ψ(t), si puo espri-mere il denominatore del propagatore (4.18) nel modo seguente:

ˆ T/2

−T/2

∏n

dc†ndcn exp

−iT

∑n

(ω +

2π

Tn

)c†ncn

=

ˆ T/2

−T/2

∏n

dc†ndcne−

∑n bnc

†ncn , (4.21)

dove si e posto

bn = iT

(ω +

2π

Tn

). (4.22)

Si puo esservare che il denominatore del propagatore e dato da un prodotto di integraligaussiani su variabili di Grassmann. Considerata la definizione di integrazione su variabilidi Grassmann e la soluzione di un integrale gaussiano (si veda l’Appendice A) si ha che ilnumeratore si riduce a ∏

n

bn. (4.23)

Procedendo in maniera analoga per il numeratore del propagatore, esso diventa:

ˆ T/2

−T/2

∏n

dc†ndcne−

∑n bnc

†ncn∑k,l

ckei 2πTktc†l e

−i 2πTlt′ , (4.24)

che e diverso da zero solo per k = l. Il numeratore sara:∏n

bn∑k

1

bkei

2πTk(t−t′). (4.25)

Dalle espressioni (4.23) e (4.25) si ha che il propagatore puo anche essere espresso come:∑k

ei2πTk(t−t′) · 1

iT

(ω + 2π

Tk

) . (4.26)

Rimane da verificare che l’espressione appena ottenuta coincide con la (4.13), ottenuta nelformalismo operatoriale. A tal fine sviluppo la (4.13) in serie di Fourier supponendola definitaanch’essa tra −T/2 e T/2:

f(t− t′) ≡ θ(t− t′)e−iω(t−t′) =∑k

cke−i 2π

Tk(t−t′), (4.27)

con

ck =1

T

ˆ T/2

−T/2e−i

2πTk(t−t′)θ(t− t′)e−iω(t−t′)dt

=1

T

ˆ T/2

−T/2e−i(ω+ 2π

Tk)

(t−t′)dt

=1

−iT(ω + 2π

Tk

)e−i(ω+ 2πTk)

(t−t′)]T/2

0

; (4.28)

27

ora, ponendo ω → ω − iε, con ε→ 0+, si ottiene che

ck =1

iT

(ω − iε+ 2π

Tk

) ; (4.29)

sostituendo l’espressione dei ck nella (4.27) si ha:

f(t− t′) =∑k

e−i2πTk(t−t′) · 1

iT

(ω − iε2π

Tk

) . (4.30)

Nel limite di ε→ 0+ il risultato ottenuto coincide con il propagatore (4.26) calcolato a par-tire dall’espressione (4.18).Si e dunque mostrato un esempio operativo di calcolo del propagatore per variabili diGrassmann.

4.2 Spin come stato coerente

Per quanto riguarda il secondo approccio, le variabili discrete dello spin rientrano nel forma-lismo dell’integrale di cammino tramite l’utilizzo degli stati coerenti di spin [10].Dai postulati di Pauli si ha che la rappresentazione dell’operatore di spin S = 1/2 e data da:

−→S =

~2−→σ , (4.31)

dove con −→σ si intendono le matrici di Pauli σx, σy, σz.Si consideri un ket |n〉 corrispondente al vettore unitario n diretto secondo gli angoli θ e ϕ.Esso corrisponde allo stato coerente di spin |Ω〉 che rappresenta uno spin polarizzato lungol’asse n:

|Ω〉 = e−iϕSze−iθSy |↑〉 , (4.32)

ottenuto dalle due rotazioni di θ e ϕ intorno agli assi y e z dello stato |↑〉. Per questi stati

θ

y

z

n

x

ϕ

Figura 4.1: Angoli di rotazione.

28

coerenti valgono le seguenti relazioni:

〈Ω|Ω′〉 = cosθ

2cos

θ′

2ei2

(ϕ−ϕ′) + sinθ

2sin

θ′

2e−

i2

(ϕ−ϕ′), (4.33)

1

2π

ˆdϕdθ sin θ |Ω〉 〈Ω| = I. (4.34)

Per descrivere il sistema della particella dotata di spin mediante l’integrale di cammino siconsiderano tali stati coerenti e per ricavare il propagatore si procede in maniera analoga aquanto fatto nel primo capitolo. Il propagatore e dato dall’elemento di matrice dell’operatoredi evoluzione (ordinato nel tempo) fra lo stato iniziale |Ωi〉 al tempo ti = 0 e lo stato finale|Ωf〉 al tempo tf = T :

K(f, i) = 〈Ωf |TD exp

(i

~

ˆ T

0

Hdt

)|Ωi〉 . (4.35)

Ora suddivido l’intervallo di tempo in N sottointervalli ∆t = T/N →∞, allora il propaga-tore assume la seguente forma:

K(f, i) = limN→∞

N∏j=1

dϕjdθj sin θj2π

N∏j=0

[〈Ωj+1|Ωj〉 − i∆t〈Ωj+1|H|Ωj〉], (4.36)

con Ωj = Ωf e Ω0 = Ωi. A questo punto si calcolano gli elementi di matrice 〈Ωj+1|H|Ωj〉 perl’Hamiltoniana propria del sistema e si giunge a un’espressione analoga alla (2.34), in cui icammini non sono quelli classici ma quelli definiti dagli stati coerenti e cioe dagli angoli θ eϕ.

29

Capitolo 5

Topologia e integrale di cammino

Come e stato illustrato per il problema dello spin, la difficolta nasce dal fatto che le variabilidi spin sono discrete oltre al fatto che non hanno un corrispettivo classico. Una particelladotata di spin, puo essere vista come una particella alla quale e imposto un vincolo. Spesso,in molti sistemi fisici, le traiettorie sono confinate in una parte topologicamente ristretta delsistema di coordinate cartesiane. In questi casi avviene per esempio che la variabile x nonvaria da −∞ a +∞ cosı come nel propagatore definito nel primo capitolo. Questo determinaun cambiamento nella relazione di completezza della meccanica quantistica e insieme ad essail modo con cui si determina il propagatore di Feynman. Per esempio, nel capitolo precedente,si puo notare che la (4.34) corrisponde a una relazione di chiusura modificata.In questo capitolo, allora, si vogliono studiare alcune situazioni fisiche in cui lo spazio delleconfigurazioni non e semplicemente connesso.Uno spazio e non semplicemente connesso se esistono almeno due cammini che non possonoessere trasformati l’uno nell’altro tramite trasformazioni continue.Nel seguito trattero quindi il problema di una particella vincolata su una circonferenza, laparticella in una buca infinita di potenziale e l’effetto di Aharonov-Bohm.

5.1 Particella vincolata su una circonferenza

La trattazione di questo problema fa riferimento alla referenza [7]. Considero un sistemail cui unico grado di liberta e costretto a muoversi su una circonferenza. Si puo pensaread esempio a una biglia che ruota su un anello o ad un reticolo infinito con condizioni alcontorno periodiche (nel seguito sara trattata la buca infinita di potenziale).Considero come coordinata l’angolo ϕ, tale che 0 ≤ ϕ ≤ 2π e ϕ = 0 e ϕ = 2π sono identificati.La Lagrangiana del sistema e:

L =1

2Iϕ2, (5.1)

dove I indica il momento di inerzia della particella rispetto all’asse della circonferenza.Un cammino continuo in tale sistema e espresso dalla funzione continua ϕ(t). I camminitopologicamente equivalenti fra loro formano una classe di equivalenza e ogni classe di equi-valenza e caratterizzata dal numero di avvolgimento n che e dato dal numero di passaggidel cammino per un punto particolare della circonferenza muovendosi in senso antiorario,meno il numero di passaggi per lo stesso punto in senso orario. In questo sistema, infatti,due cammini sono topologicamente equivalenti se hanno gli stessi punti finali e numero diavvolgimento uguale.Siano ϕn(t) i cammini appartenenti alla classe di equivalenza n, allora dall’espressione del

30

propagatore (2.34), sostituendo ϕ(t) ad x(t) posso esprimere il propagatore della particellache si muove da ϕ(t′) = ϕ′ a ϕ(t′′) = ϕ′′ in questo sistema nel modo seguente:

K(ϕ′′, t′′;ϕ′, t′) =+∞∑

n=−∞

ˆD[ϕn(t)]e

i~S[ϕn(t)] =

+∞∑n=−∞

Kn, (5.2)

dove si e posto Kn =´D[ϕn(t)]e

i~S[ϕn(t)].

Considerato che l’equazione di Schrodinger e un’equazione locale, si ha che ogni Kn soddisfaindividualmente l’equazione di Schrodinger; una generica combinazione lineare dei Kn costi-tuira quindi una altrettanto legittima espressione per il propagatore, che soddisfa la stessaequazione. Quindi posso scrivere:

K(ϕ′′, t′′;ϕ′, t′) =+∞∑

n=−∞

AnKn, (5.3)

dove dev’essereAn = einδ, (5.4)

con δ reale. Questo vincolo su An e facilmente dimostrabile: suppongo di voler calcolare ilpropagatore K(ϕ′′, t′′;ϕ′, t′) ≡ K e di far variare ϕ′′. Seguo il cambiamento di Kn e di K (sinoti che An non dipende dal cammino ϕ). Se ϕ′′ compie un giro completo, allora Kn diventaKn−1, mentre il propagatore K non deve mostrare alcun cambiamento fisico e quindi puosolo essere moltiplicato per un fattore di fase che poniamo eiδ, cioe:

K(ϕ′′, t′′;ϕ′, t′) = eiδK(ϕ′′ + 2π, t′′;ϕ′, t′) = eiδ∑n

AnKn(ϕ′′ + 2π, t′′;ϕ′, t′)

= eiδ∑n

AnKn−1(ϕ′′, t′′;ϕ′, t′), (5.5)

da cui tenuto conto della (5.3) si ha che An+1 = eiδAn. Ponendo infine A0 = 1, si ottiene ilvincolo sulle An espresso dalla (5.4).Per calcolare esplicitamente il propagatore considero la mappa p dalla linea reale R allacirconferenza S1:

p : R→ S1 p(x) = x−[x

2π

]2π, (5.6)

dove con[x2π

]si intende la parte intera di x

2π. Si ha che 0 ≤ p(x) ≤ 2π e inoltre e localmente

invertibile. Allora, dato un cammino continuo ϕ(t) sulla circonferenza con punti iniziali ϕ′ eϕ′′, se viene selezionata una definita preimmagine p−1(ϕ′), si ha che ϕ(t) puo essere ritrattoa R, cioe p−1(ϕ(t)) e ben definita in R.Si noti che cammini ϕ(t) con stessi punti finali e la stessa scelta di p−1(ϕ′) possono finirein preimmagini di ϕ′′ differenti. La preimmagine di ϕ′′ e determinata infatti dal numero diavvolgimento n del cammino: il ritratto su R di tale cammino terminera in p−1(ϕ′′) + 2πn,dove p−1(ϕ′′) e la preimmagine di ϕ′′ piu vicina alla preimmagine scelta di ϕ′.Sfruttando questa mappa p che e una funzione liscia, e possibile “trasportare” la lagrangianaL dalla circonferenza sull’asse reale. Su R, la Lagrangiana (5.1) e quella di una particellalibera. Fissato a zero il punto per il calcolo del numero di avvolgimento e tenuto contodell’espressione del propagatore per una particella libera dato nella (2.46), il propagatore

31

Kn e dato da:

Kn(ϕ′′, t′′;ϕ′, t′) =

[I

2π~iT

]1/2

exp

[iI(ϕ− 2nπ)2

2~T

], (5.7)

dove ϕ ≡ ϕ′′ − ϕ′ e T = t′′ − t′. Ora, ponendo questa espressione insieme alla (5.4) nelpropagatore (5.3) si ottiene l’espressione del propagatore cercato:

K(ϕ′′, t′′;ϕ′, t′) =∞∑

n=−∞

[I

2π~iT

]1/2

exp

[inδ +

iI(ϕ− 2nπ)2

2~T

]. (5.8)

Al fine di confrontare il propagatore di Feynman con quello che si ottiene a partire dall’e-quazione di Schrodinger, esprimo il propagatore trovato mediante la funzione θ3 di Jacobi.Essa e una serie definita come

θ3(u) =∞∑

n=−∞

qn2

e2nui = 1 + 2∞∑n=1

qn2

cos 2nu, (5.9)

dove |q| < 1 [11]. Vale anche la notazione θ3(u, τ) in cui si sfrutta il parametro τ legato a qsecondo la relazione q = eiπτ , e dunque

θ3(u, τ) = exp(iπτn2 + i2nu). (5.10)

Tale funzione e una funzione periodica di u e quasiperiodica di u e τ e verifica le seguentiproprieta:

θ3(u+ π) = θ3(u), (5.11)

θ3(u+ πτ, τ) = e−iπτ−2iuθ3(u, τ), (5.12)

θ3(u, τ) = (−iτ)−1/2eu2/iπτθ3(

u

τ,−1

τ). (5.13)

Sviluppando il quadrato nell’esponenziale della (5.8) e confrontando l’espressione che siottiene con la (5.10), si puo scrivere il propagatore mediante la funzione θ3:

K(ϕ′′, t′′;ϕ′, t′) =

[I

2π~iT

]1/2

eiIϕ2/2~T θ3

(πϕI

~T− δ

2,2πI

~T

). (5.14)

Determino ora il propagatore a partire dall’equazione di Schrodinger. L’Hamiltoniana delsistema e data da H = L2

z/2I, da cui si puo scrivere l’equazione di Schrodinger nello spaziodelle coordinate ϕ, cioe:

−~2

2I

∂2ψ

∂ϕ2= i~

∂ψ

∂t. (5.15)

Noti gli autovalori e gli autostati di Lz si possono determinare gli stati stazionari del sistemaψm(ϕ, t) = um(ϕ)e−iEmt, con

um(ϕ) =1√2π

exp

(imϕ+

iδϕ

2π

), (5.16)

Em =~2

2I

(m+

δ

2π

)m = 0,±1, ... (5.17)

32

dove poiche non si e imposto u(0) = u(2π), la fase di u(ϕ) non e un multiplo intero di ϕ,ma dipende anche da un certo δ che dunque corrisponde al cambiamento di fase sotto unarotazione di 2π.Sfruttando ora la definizione di propagatore nel contesto della formulazione di Schrodingerespressa nella (2.10), posso scriverlo come

K(ϕ′′, t′′;ϕ′, t′) =∑m

um(ϕ′′)u∗m(ϕ)′e−iEmT , (5.18)

da cui dopo alcune manipolazioni algebriche si ha:

K(ϕ′′, t′′;ϕ′, t′) =1

2πexp

[iδϕ

2π− iδ2~T

8Iπ2

]θ3

(ϕ

2− ϕ

2− ~Tδ

4πI,− ~T

2πI

). (5.19)

Confrontando la (5.19) con la (5.14) sfruttando la (5.13), si osserva che i due propagatoricalcolati nelle due differenti formulazioni della meccanica quantistica coincidono.

5.2 Particella in una buca infinita

In questa sezione voglio determinare l’integrale di cammino di Feynman per una particella dimassa m che si muove in una buca infinita di potenziale, cioe considero un potenziale V (x)che si annulla per 0 ≤ x ≤ L ed e infinito altrove (nel caso unidimensionale). Si seguira latrattazione riportata nella referenza [12].Nella formulazione di Schrodinger e un problema di immediata soluzione: dall’equazione diSchrodinger, infatti, imponendo la continuita della funzione d’onda si ottengono gli statistazionari:

ψn(x, t) =

√2

Lsin

(2nπ

Lx

)e−i

En~ t n = 1, 2, ... (5.20)

dove En = ~2π2n2/2mL2.Nella formulazione di Feynman, questo sistema non e invece un problema banale: l’integraledato nella (2.33) e da risolvere per N → ∞ su un intervallo finito [0, L] e quindi, in questocaso, non e un integrale completamente gaussiano. Per superare cio, si procede come nelproblema della particella su una circonferenza, cioe si cerca di estendere il dominio di inte-grazione da −∞ a +∞ e successivamente si sottraggono i contributi dati dai cammini postinella regione inaccessibile x > L e x < 0.Si costruisce allora uno schema della zona estesa dividendo l’intero spazio x, t in tante strisceadiacenti di larghezza L. Siano (xa, ta) e (xb, tb) i punti iniziali e finali di una particella chesi muove nella buca. Considero tutti i cammini da xa a xb contenuti nella regione permessae li confronto con quelli che hanno come punti finali x

(n)b e x

(n)b dati da

x(n)b = xb + 2nL (5.21)

x(n)b = −xb + 2nL n = ±1,±2, ... (5.22)

Fissato il punto iniziale xa, sommando tutti i cammini che terminano in x(n)b e sottraendo

quelli che terminano in x(m)b si eliminano tutti i cammini non interamente contenuti nella

buca. Per comprendere come avviene cio si puo osservare che se considero una curva conuna riflessione su un muro della buca (cioe non interamente compreso nella buca), il suo

33

Figura 5.1: Cammino con una riflessione sul muro superiore e cammino associato con azioneuguale [12].

contributo nell’integrale di cammino viene annullato tramite la sottrazione del contributodato dal cammino che termina in x

(1)b (si veda la fig. 5.1). Questo e possibile in quanto

l’azione lungo il cammino da xa a x(1)b e uguale a quella del cammino da xa a xb che compie

una riflessione, dato che l’energia cinetica e uguale in ogni istante per costruzione. Si ottieneun risultato analogo se si procede allo stesso modo nel caso che il cammino da xa a xb subiscadiverse riflessioni sullo stesso muro della buca.Considero ora un cammino compreso in [0, L] che viene riflesso una volta sul muro superioreed una volta su quello inferiore. Ad esso sono associati tre cammini che hanno la stessa azionema che attraversano la regione proibita: quelli che terminano in x

(1)b , x

(0)b e x

(1)b . Se sommo i

Figura 5.2: Cammino con una riflessione sul muro superiore ed una su quello inferiore ecammini associati con azione uguale [12].

contributi dati dai cammini che terminano in xb e x(1)b e sottraggo quelli dati dai cammini che

terminano in x(0)b e x

(1)b , ottengo che si annulla il contributo dato all’integrale di cammino

dal cammino che compie le due riflessioni. Esso infatti, come nel caso precedente, non e

34

contenuto interamente nella buca. Con questi due esempi si e mostrato come, estendendoil dominio di integrazione, posso comunque calcolare il propagatore effettivo del problema,dato dalla somma su tutti i cammini contenuti in [0, L].L’ampiezza per una particella nella buca infinita che si muove da (xa, ta) a (xb, tb) puo esseredeterminata quindi integrando su tutto lo spazio e sommando tutti i cammini che vannoa x

(n)b e sottraendo quelli che vanno a x

(n)b . Utilizzando la notazione di Heisenberg per il

propagatore si ha:

〈xb, tb|xa, ta〉 =∞∑

n=−∞

〈x(n)b , tb|xa, ta〉 −

∞∑n=−∞

〈x(n)b , tb|xa, ta〉, (5.23)

dove 〈x(n)b , tb|xa, ta〉 = 〈xb + 2nL, tb|xa, ta〉 e 〈x(n)

b , tb|xa, ta〉 = 〈−xb + 2nL, tb|xa, ta〉 sono leampiezze per la particella libera che si muove in tutto lo spazio e le cui espressioni sono datedalla (2.46). Considerate le equazioni (2.46) e (2.30), si ha che il propagatore cercato (5.23)e dato da:

〈xb, tb|xa, ta〉 =∞∑

n=−∞

ˆ ∞−∞

dp

2π~e[ i~p(xb−xa+2nL)]−(xb→−xb)e

(−i p

2

2~m (tb−ta))

=π~L

∞∑ν=−∞

ˆ ∞−∞

dp

2π~δ

(p− π~

Lν

)e[ i~p(xb−xa)−(xb→−xb)]e

(−i p

2

2~m (tb−ta))

=1

L

∞∑ν=1

[cos

π

Lν(xb − xa)− (xb → −xb)

]exp

[−i~π

2ν2

2L2m(tb − ta)

]=

2

L

∞∑ν=1

sinπ

Lνxb sin

π

Lνxa exp

[−i~π

2ν2

2L2m(tb − ta)

], (5.24)

dove si e tenuto conto che vale:

∞∑n=−∞

einp2L ∝∞∑

ν=−∞

∞∑n=−∞

ein[(p−π~

Lν)

2L~

]=

∞∑ν=−∞

π~Lδ

(p− π~

Lν

), (5.25)

e si e inserita la sommatoria su ν (formalmente infinita) per ottenere la giusta normalizza-zione del propagatore.Considerata la (5.20) e evidente che l’espressione ottenuta coincide con il propagatore cal-colato come somma sugli stati stazionari definito nella (2.10).

5.3 L’effetto di Aharonov-Bohm

L’approccio spazio-temporale di Feynman basato sugli integrali di cammino non forniscenuovi risultati nella meccanica quantistica non relativistica. Tuttavia, esso ci permette diavere una comprensione piu intuitiva di alcuni fenomeni della meccanica quantistica. Uno diquesti e l’effetto di Aharonov-Bohm, che riguarda il comportamento di una particella caricain presenza di un campo magnetico.In meccanica classica, il potenziale vettore A (e quello scalare) e solo uno strumento ma-tematico di cui si potrebbe anche fare a meno nella descrizione della fisica di un sistema.In meccanica quantistica, invece, esso e essenziale. Si e verificata, infatti, l’esistenza di uneffetto in cui il potenziale vettore ha effetti misurabili su una particella carica, anche se

35

questa si muove in una regione schermata dal campo magnetico B. Furono Yakir Aharonove David Bohm, nel 1959, a proporre un esperimento che venne poi effettivamente eseguitoun anno dopo, nel quale poter osservare direttamente l’effetto.Considero una particella di carica e che percorre una traiettoria sopra e sotto un lungosolenoide cilindrico impenetrabile nel quale e confinato il campo magnetico diretto paralle-lamente all’asse del solenoide, preso come normale al piano della pagina come in figura.

r 0

r N

A Regione di interferenza

Solenoideimpenetrabile

B

B

Figura 5.3: Due cammini possibili sopra e sotto un solenoide impenetrabile.

I percorsi della particella, quindi, racchiudono un flusso magnetico. Mi chiedo in che modoesso influisca nella probabilita di trovare la particella nella regione di interferenza (si veda lafig. 5.3). Trattero questo problema nelle formulazioni di Schrodinger e di Feynman in mododa notare come il secondo approccio fornisca una comprensione piu intuitiva dell’effetto.

5.3.1 L’effetto di Aharonov-Bohm nella formulazione di Schrodin-ger

L’operatore Hamiltoniano per una particella di carica e in un campo elettromagnetico e:

H =1

2m

(P− eA

c

)2

+ eΦ. (5.26)

Sia ϕ(r, t) soluzione dell’equazione di Schrodinger in assenza di campo magnetico, cioeverifichi l’equazione:

i~∂ϕ(r, t)

∂t= − ~2

2m∇2ϕ(r, t) + eΦ(r)ϕ(r, t). (5.27)

Mi chiedo se esiste una funzione S(r) tale che ψ(r, t) = eiS(r)ϕ(r, t) sia soluzione dell’equa-zione di Schrodinger in presenza di un campo magnetico. Dunque ψ(r, t) deve soddisfare laseguente equazione:

i~∂ψ(r, t)

∂t=

[(−i~∇− e

cA)2

2m+ eΦ(r)

]ψ(r, t). (5.28)

Dal primo membro della (5.28) si ha:

i~∂ψ(r, t)

∂t= eiS(r)i~

∂ϕ(r, t)

∂t= eiS(r)

(− ~2

2m∇2ϕ(r, t) + eΦ(r, t)ϕ(r, t)

), (5.29)

36

dove si e considerata l’equazione (5.27). Considerato invece il secondo membro della (5.28),affinche ψ(r, t) la soddisfi deve essere:(

−i~∇− eA

c

)ψ(r, t) = eiS(r)

(−i~∇ϕ(r, t)

), (5.30)

e questo si verifica se e solo se ∇S = e~cA. Dunque, la funzione S(r) e un integrale di linea:

S(r) =e

~c

ˆ r

r0

A · ds =e

~c

ˆγ

A · ds, (5.31)

dove γ indica la curva su cui avviene l’integrazione e ds rappresenta l’elemento di cammino.Si e posto inoltre S(r0) = 0. Considerata la relazione che intercorre fra S(r) e A si deduce chel’integrale di linea dev’essere indipendente dal cammino γ, esso dipende solo dai punti estremir0 e r; per il teorema di Stokes cio si verifica fin tanto che il contorno formato da una coppiadi diversi percorsi non racchiude un flusso magnetico. Dalla teoria dell’elettromagnetismo siha che ˛

C

A · ds = ΦB, (5.32)

dove ΦB rappresenta il flusso del campo magnetico racchiuso dal percorso C. Nel problemaesposto precedentemente, in cui considero un campo magnetico generato da un solenoide(fig. 5.4), data la geometria del problema fisico, posso supporre una simmetria cilindricadel potenziale vettore, cioe sia A ≡ Aϑ(r)eϑ. Suppongo, per semplicita, che C sia unacirconferenza di raggio r, con il centro coincidente con quello della sezione del solenoide. Siainoltre r0 il raggio della sezione del solenoide e B0 il campo magnetico da esso generato.

r 0

r

r

A θ

B0

Figura 5.4: Simmetria cilindrica del potenziale vettore dentro e fuori il solenoide.

Dalla (5.32), per r > r0, si ha che:

˛C

A · dr = πr20B0 =⇒ Aϑ(r) =

B0r20

2r,

per r < r0, invece: ˛C

A · dr = πr2B0 =⇒ Aϑ(r) =B0r

2.

Dunque ho determinato un potenziale vettore A non nullo all’esterno del solenoide e per ilquale esiste una funzione S(r) tale che ψ(r, t) = eiS(r)ϕ(r, t) e soluzione dell’equazione di

37

Schrodinger in presenza di un campo magnetico. Cioe, quello che ho ottenuto, e che in unaregione in cui il campo magnetico si annulla, ma il potenziale vettore e diverso da zero, lafunzione d’onda di una particella con carica e che si muove dal punto r0 al punto r, vienesfasata rispetto alla soluzione ϕ(r, t) di un fattore dato da:

S(r) =e

~c

ˆ r

r0

A · dr.

5.3.2 L’effetto di Aharonov-Bohm nella formulazione di Feynman

La formulazione di Feynman, cosı come e stato mostrato nel primo capitolo, sfrutta l’e-spressione dell’azione S[r(t)] e dunque della Lagrangiana L(r, r). Si seguira di seguito latrattazione secondo la referenza [1].La Lagrangiana in assenza di campo magnetico per una particella con carica e soggetta a unpotenziale scalare φ e data dall’espressione:

L(r, r) =1

2mr2 − eφ; (5.33)

in presenza di un campo magnetico diventa:

L′(r, r) =1

2mr2 − eφ+

e

cA · r. (5.34)

Le due espressioni dunque differiscono per il termine che coinvolge il potenziale vettore.Conseguentemente, anche l’azione subisce un cambiamento quando si considera la presenzadi un campo magnetico. In particolare sia

S(j + 1, j) = ∆t(mr2j/2− V (rj)) (5.35)

l’azione in assenza di campo magnetico relativamente a un cammino di estremi (rj, tj) e(rj+1, tj+1). L’azione per lo stesso segmento di cammino, in presenza di campo magnetico, eallora:

S ′(j + 1, j) = S(j + 1, j) +e

c

ˆ tj+1

tj

dtA · r. (5.36)

Si noti che quest’ultimo integrale puo anche essere scritto come integrale di linea:

e

c

ˆ tj+1

tj

dtA · r =e

c

ˆ rj+1

rj

A · dr. (5.37)

Considero ora l’intero percorso di una particella da r0 a rN . L’esponenziale presente nell’e-spressione (2.34) dell’integrale di cammino subisce il seguente cambiamento:

N−1∏j=1

exp

[i

~S(j + 1, j)

]−→

N−1∏j=1

exp

[i

~S(j + 1, j)

]exp

(ie

~c

ˆ rN

r0

A · dr). (5.38)

Ma per ottenere l’espressione finale dell’integrale di cammino di Feynman e necessario som-mare su tutti i possibili cammini con estremi x0 e xN . In particolare sommo su tutti icammini al di sopra e al di sotto del solenoide. Per l’integrale di cammino di Feynman,

38

quindi, nel passare dall’assenza alla presenza di un campo magnetico si ha:

ˆ rN

r0,sopra

D[x(t)] exp

(i

~S[r(t)]

)+

ˆ rN

r0,sotto

D[r(t)] exp

(i

~S[r(t)]

)↓

ˆ rN

r0,sopra

D[r(t)] exp

(i

~S[r(t)]

)exp

[ie

~c

ˆ rN

r0,sopra

A · dr]+

+

ˆ rN

r0,sotto

D[r(t)] exp

(i

~S[r(t)]

)exp

[ie

~c

ˆ rN

r0,sotto

A · dr],

dove ho tenuto conto del fatto che l’integrale di linea del potenziale vettore non dipende dalpercorso, quando non racchiude un flusso magnetico. La probabilita di trovare la particellanella regione di interferenza B dipende dal modulo quadro dell’ampiezza di transizione edunque dalla differenza di fase dei contributi provenienti dai percorsi sopra e sotto. Ladifferenza di fase dovuta alla presenza di B e data da:[

ie

~c

ˆ rN

r0,sopra

A · dr]

+

[ie

~c

ˆ rN

r0,sotto

A · dr]

=

[ie

~c

ˆ rN

r0,sopra

A · dr]−[ie

~c

ˆ r0

rN ,sotto

A · dr]

=e

~c

˛A · dr =

e

~cΦB. (5.39)

Da cio si deduce che, quando si fa variare l’intensita del campo magnetico, nella probabilitadi osservare la particella nella regione B si presenta una componente sinusoidale dipendentedal potenziale vettore. Per cui, quello che si osserva al variare del campo magnetico e unafigura di interferenza sfasata. Per esempio, se eΦB/~c = π, lı dove sullo schermo in assenzadi campo magnetico si osservava un punto di interferenza costruttiva, ora si ha un punto diinterferenza costruttiva, e viceversa. Quindi, anche se la particella non e soggetta ad unaforza magnetica in quanto il campo e nullo nella regione in cui si muove, essa subisce uneffetto che e da noi misurabile sperimentalmente.

39

Capitolo 6

Metodo Monte Carlo per ilpropagatore

In questo ultimo capitolo si vuole proporre un esempio riguardante il calcolo del propagatoredi Feynman mediante un metodo numerico. La formulazione di Feynman prevede la risolu-zione di un integrale. Nel primo capitolo, per esempio, lo si e fatto per il propagatore di unaparticella libera in modo analitico. Tuttavia, non sempre e nota la primitiva dell’integranda,ed e in questo caso che si rende necessario l’utilizzo di metodi numerici per determinare ilvalore di un certo integrale.Il metodo che di seguito verra illustrato e detto metodo Monte Carlo. Esso viene usatoin diversi campi della fisica e non solo. In particolare, l’applicazione di tale metodo perla risoluzione dell’integrale di cammino ha fornito un importante metodo di calcolo nonperturbativo molto sfruttato nella moderna teoria delle interazioni forti, la cromodinamicaquantistica (QCD). In questo caso particolare, l’applicazione di tale metodo per la risolu-zione dell’integrale di cammino di Feynman e legata al fatto che l’integrale di Feynman ematematicamente equivalente alla funzione di partizione propria della meccanica statistica.

6.1 L’integrale di cammino euclideo

Il metodo Monte Carlo applicato all’integrale di cammino di Feynman e legato al fatto chel’integrale di Feynman e matematicamente equivalente alla funzione di partizione propriadella meccanica statistica. In questa sezione si illustrera la relazione che intercorre tra lafunzione di partizione e l’integrale di cammino. Si seguira nel seguito la referenza [15].Considero l’integrale di cammino di Feynman (2.34) e faccio la seguente sostituzione formale(matematicamante corrisponde ad una procedura detta rotazione di Wick):

τ = it, (6.1)

allora, sotto questa trasformazione, l’integrale di cammino e detto Euclideo e assume laforma

K(N, 0) =

ˆ xN

x0

D[x(t)]e−1~S[x(t)], (6.2)

dove l’azione Euclidea e data da

S =

ˆ T

0

dτ

[m

2

(dx

dτ

)2

+ V (x)

]. (6.3)

40

Considerata la formulazione discreta come somma sui cammini fatta nel primo capitolo,avendo suddiviso l’intervallo di tempo T del moto di una particella in N sottointervalli,l’azione Euclidea assume la seguente forma discreta:

S =N∑j=1

a

[m

2

(xj+1 − xj)2

a2+ V (xj)

], (6.4)

dove si e posto a = ∆τ = i∆t. Come visto nel primo capitolo, il limite continuo si ottieneper N →∞ e a→ 0.Ora, si puo osservare che l’equazione (6.2) corrisponde alla funzione di partizione per unproblema di meccanica statistica. Essa e definita infatti nel caso discreto come

Z =∑n

e− EnkBT , (6.5)

dove T indica la temperatura di un certo sistema ed En l’energia della configurazione n. Inmeccanica statistica la funzione di partizione assume un ruolo importante in quanto, notaZ, si puo determinare l’energia libera e quindi la distribuzione di probabilita delle energie diun sistema.Si puo dunque notare un parallelismo tra meccanica statistica in cui si ha il fattore e

− EnkBT

e la meccanica quantistica in cui si trova un fattore analogo dato da e−S~ ; inoltre, sia la

funzione di partizione, sia l’integrale di cammino di Feynman fungono da strumenti di calcolodeterminanti nei rispettivi contesti.

6.2 Valor medio e metodo Monte Carlo

Nella sezione precedente si e visto in che modo sono relazionate meccanica quantistica emeccanica statistica. In questa sezione, dopo aver definito il valor medio di un’osservabilenei termini dell’integrale di cammino di Feynman espongo cosa si intende per metodo MonteCarlo. Si fara riferimento alle referenze [13, 14, 15, 16].In generale, il valor medio di una funzione f(x) distribuita secondo una distribuzione diprobabilita p(x) e definito come

f =

ˆf(x)p(x)dx. (6.6)

In meccanica quantistica il valor medio di un’osservabile O misurata in uno stato |x〉 edato dall’elemento di matrice 〈x|O|x〉. Sfruttando l’integrale di Feynman euclideo si puoesprimere il valor medio anche nel seguente modo:

〈O〉 =

´D[x(t)]O(x)e−S[x]/~´D[x(t)]e−S[x]/~ . (6.7)

Tale espressione e analoga a quella per il valor medio di una grandezza dipendente da una

configurazione con densita di probabilita proporzionale ad e− EnkBT . In questo caso, analoga-

mente, si puo pensare ad un’osservabile dipendente da una configurazione distribuita secondouna distribuzione proporzionale a e−

S~ .

Un modo per poter valutare un integrale di questo tipo e il metodo di integrazione MonteCarlo. I metodi Monte Carlo sono una classe generale di algoritmi che fa uso dei numeri

41

casuali. L’integrazione Monte Carlo e il metodo piu adatto per risolvere integrali di grandidimensioni, come in questo caso in cui si integra su tutti i possibili cammini x(t), in quantola velocita di convergenza e maggiore rispetto ad altri algoritmi come quello dei rettangoli odei trapezi [13]. Esso si basa su una procedura di campionamento casuale.Si consideri un integrale della forma

θ =

ˆΩ

f(q)dq, (6.8)

dove per brevita si e usata la notazione q ≡ (q1, ..., qn), dq =∏n

j=1 dqj. Il metodo MonteCarlo consiste nell’approssimare l’integrale con:

θ∗ =V

N

N∑k=1

f(Qk), (6.9)

dove per ogni k, Qk ≡ (Q1, ..., Qn) e una ennupla di numeri casuali con Q(k)j ∈ Ω e V =

´Ωdq.

Il numero N di valori campionati dev’essere sufficientemente grande, ma finito. La stimadell’integrale, allora, avra un’incertezza statistica pari a σθ = V σf/

√N , dove σf rappresenta

la deviazione standard della funzione f che e stimata nel seguente modo:

σ2f =

1

N − 1

N∑k=1

(fk − f)2. (6.10)

Per avere una buona stima dell’integrale σθ dev’essere quanto piu piccola possibile. Questo sipuo ottenere in due modi: aumentando il numero di campionamenti o riducendo la varianzaσ2f . Poiche aumentare il numero di campionamenti diventa dispendioso (bisogna anche tener

conto che un calcolatore ha una memoria finita) si opta per la riduzione della σf . Una tecnicapossibile e quella dell’importance sampling : si varia la distribuzione secondo cui avviene ilcampionamento in modo tale da generare piu campioni nelle regioni in cui la funzione f daun contributo maggiore. Per esempio, se si vuole integrare una funzione distribuita comeuna gaussiana, un’approssimazione mediante una generazione di numeri casuali distribuitiuniformemente non sara la soluzione ottimale; sara piu conveniente generare numeri casualidistributi secondo una gaussiana corrispondente.Nel caso particolare considerato, l’espressione (6.7) puo essere approssimata dunque medianteil metodo Monte Carlo come:

〈O〉∗ =

∑j O[Xj]

Npath

, (6.11)

dove Xj indica gli Npath cammini o configurazioni generati in modo casuale in modo che

seguano una distribuzione di probabilita proporzionale a e−S~ . Nel seguito si vedra come

e possibile generare un insieme di numeri casuali secondo una distribuzione di probabiilitanota a priori.

6.3 Le catene di Markov e l’algoritmo di Metropolis

La realizzazione dell’importance sampling e possibile sfruttando un processo di Markov pergenerare le N configurazioni [15]. Questo processo e costruito in modo tale che nel limite diN →∞, la distribuzione di probabilita delle configurazioni estratte nella catena di Markovsia quella decisa a priori, cioe nel caso particolare qui trattato, voglio che nel limite si abbia

42

la probabilita

Peq(Xn) =e−S/~´

D[x(t)]e−S[x]/~ . (6.12)

Una catena di Markov e definita come una matrice W di dimensione N × N con elementiWij tali che:

Wij ≥ 0 (6.13)∑Wij = 1, ∀ i = 1, 2, ...n. (6.14)

Considerate tali proprieta, si puo pensare a Wij come la probabilita che un sistema in unostato i faccia una transizione nello stato j in uno step di Markov, che nel nostro caso edeterminato dalla discretizzazione dell’intervallo di tempo T .Si puo dare anche una definizione nel continuo di tale catena, definendo la densita di pro-babilita di transizione da una configurazione x ad una configurazione x′ come W (x, x′), taleche valgano le proprieta

W (x, x′) ≥ 0 (6.15)ˆdx′W (x, x′) = 1, ∀ x. (6.16)

Al continuo, il sistema passera attraverso una certa configurazione x1 e si ha quindi che laprobabilita di transizione per due step in una catena di Markov e data da:

W (2)(x, x′) =

ˆdx1W (x, x1)W (x1, x

′), (6.17)

conseguentemente, piu in generale, per n step tra x e x′ si ha che

W (n)(x, x′) =

ˆdx1...dxn−1W (x, x1)W (x1, x2)...W (xn−1, x

′). (6.18)

Si puo dimostrare sfruttando le proprieta della catena di Markov, che nel limite di un numerodi passi infinito, cioe per n→∞, si verifica che

limn→∞

W (n)(x, x′) = P ∗(x′), ∀ x. (6.19)

Dunque si ha che al limite, la probabilita non dipende dalla configurazione iniziale ed epari a P ∗(x′). Essa ha la proprieta di essere stazionaria come si puo verificare sfruttandol’equazione (6.18), considerato il limite n→∞:

P ∗(x′) =

ˆdxαP

∗(xα)W (xα, x′). (6.20)

Inoltre, considerate le proprieta di W (x, x′), si ha che P ∗(x′) verifica le proprieta di unadistribuzione di probabilita ed e unica. Dunque P ∗ e l’unico punto fisso del processo diMarkov nel limite di una catena infinita.Nel caso qui analizzato, quindi, si vuole costruire una catena di Markov il cui limite sia datodalla probabilita Peq. Ma in che modo determinare la probabilita W (x, x′) di transizione trauno step e l’altro di una catena? Si puo osservare che la condizione del bilancio dettagliato

43

data da:W (x, x′)Peq(x) = W (x′, x)Peq(x

′), (6.21)

verifica la proprieta (6.18). Si noti che nel caso qui trattato la condizione del bilanciodettagliato ad un certo step s in cui si cambia solo la coordinata xj, e data da:

Ws(xj, x′j)

Ws(x′j, xj)=e−S(x′j)

e−S(xj). (6.22)

Un algoritmo efficiente per determinare le probabilita di transizione e l’algoritmo di Metropo-lis. Esso, considerata la distribuzione di probabilita che si vuole ottenere nel caso analizzatoin questo capitolo, puo essere riassunto nei seguenti step:

1. Si sceglie una configurazione di prova xi come punto di partenza.

2. Si aggiorna tale configurazione con un valore di prova xi+1 estratto casualmente.

3. Si calcola il rapporto W (xi,xi+1)W (xi+1,xi)

. Esso sara determinato dalla variazione dell’azione nelle

due configurazioni, dunque e sufficiente determinare ∆S = S(x′j)− S(xj).

4. Si valuta se accettare o meno il valore di prova:se ∆S < 0, la nuova configurazione viene accettata;se ∆S > 0, il nuovo valore viene accettato con probabilita e−∆S. Si genera quindiun numero random r distribuito uniformemente nell’intervallo [0, 1]. Se r ≤ e−∆S siaccetta il nuovo valore, altrimenti il nuovo valore viene rigettato.

5. Si aggiunge il valore appena determinato nella collezione delle configurazioni e siricomincia dal punto 2 per determinare gli altri mancanti.

6.4 Energia dello stato fondamentale

Nelle sezioni precedenti si e mostrato come e definito il valor medio di un’osservabile e si eillustrato il metodo numerico per poterlo determinare. In questa sezione si illustrera comecalcolare lo stato fondamentale dell’energia [16].Considero l’osservabile Hamiltoniana:

H =1

2mx2 + V (x); (6.23)

Tenuto conto della definizione (2.10), il propagatore valutato su un intervallo di tempo Ttale che T →∞ e determinato soltanto dallo stato a minore energia |ϕ0〉, cioe:

limT→∞〈x|e−iHT/~|x〉 = lim

τ→∞〈x|e−Hτ/~|x〉 = e−E0τ/~|〈x|ϕ0〉|2, (6.24)

dove E0 indica l’energia dello stato fondamentale. Se dunque considero l’equazione (6.7) cheesprime il valor medio di un’osservabile, nel caso in cui l’osservabile sia l’Hamiltoniana si ha:

〈H〉 =E0e

−E0τ/~|〈x|ϕ0〉|2

e−E0τ/~|〈x|ϕ0〉|2= E0. (6.25)

Si e quindi ottenuto che nel limite di T → ∞ (e quindi per a → 0), l’energia dello statofondamentale del sistema e data dal valor medio dell’Hamiltoniana.

44

Tale valor medio puo essere determinato numericamente come esposto nelle sezioni prece-denti per un problema generale. Tenuto conto della (6.4) e del fatto che l’azione euclidea eesprimibile come

S = i

ˆ τ

0

H(x, τ ′)dτ ′, (6.26)

si puo esprimere l’Hamiltoniana in forma discretizzata nel seguente modo:

H(tj) =1

2m

(xj+1 − xj

a

)2

+ V (xj). (6.27)

Tuttavia, nel limite in cui a → 0 si ha che tale espressione diverge come 1/a come accadeper l’azione.Per superare questa difficolta si sfrutta il teorema del viriale, secondo cui

〈12mv2〉 =

1

2〈xV ′(x)〉. (6.28)

Posso dunque esprimere l’Hamiltoniana discretizzata nella seguente forma:

H(tj) =1

2xjV

′(xj) + V (xj), (6.29)

e sfruttare tale espressione per determinare lo stato fondamentale [15].

6.5 Il correlatore e il primo stato eccitato

Per analizzare il primo stato eccitato di un sistema fisico mediante la formulazione diFeynman si introduce il correlatore a due punti definito dalla seguente espressione [16]:

〈x(t2)x(t1)〉 ≡´D[x(t)]x(t2)x(t1)e−S[x]/~´

D[x(t)]e−S[x]/~ . (6.30)

Tale espressione nel formalismo di Schrodinger e equivalente a:

〈x(t2)x(t1)〉 =

∑e−EnT/~ 〈En|xe−(H−En)t/~x |En〉∑

e−EnT/~, (6.31)

dove x ed H sono degli operatori, |En〉 indica l’autostato dell’Hamiltoniana, T l’intero arcotemporale e si e posto t = t2 − t1.Se T e molto grande, allora lo stato a energia minore predomina nella sommatoria. In questocaso, pero, vale

〈E0|x|E0〉 = 0, (6.32)

in quanto |E0〉 e uno stato pari, mentre x e un operatore dispari. Allora si ha che lo stato aminore energia che predomina nella sommatoria e il primo stato eccitato |E1〉. Per T grandisi ha quindi che:

G(t) ≡ 〈x(t2)x(t1)〉 = |〈E0|x|E1〉|2e−(E1−E0)t/~, (6.33)

cioe il correlatore e una funzione esponenziale dello split.

45

6.6 Esempio numerico: l’oscillatore armonico

Di seguito riporto un’applicazione numerica di quanto illustrato nelle sezioni precedenti peril caso dell’oscillatore armonico.L’energia di tale sistema e data da:

H =1

2mx2 +

1

2kx2. (6.34)

Quindi, implemento il metodo Monte Carlo per la determinazione dell’energia dello statofondamentale e della rispettiva funzione d’onda.Mediante l’algoritmo di Metropolis si generano N configurazioni x, e successivamente, sfrut-tando l’espressione (6.29), si determina l’energia dello stato fondamentale E0 per ognuna diesse.Generate le N configurazioni, e possibile inoltre determinare la funzione d’onda dello sta-to fondamentale: un modo per ottenere cio e dato dalla determinazione della probabilita|ϕ0(x′)|2dx′ di trovare la particella nell’intervallo [x′, x′ + dx′] contando quante configura-zioni estratte cadono all’interno di tale intervallo. Si puo conseguentemente determinare ilvalore assoluto |ϕ0(x′)| della funzione d’onda dello stato fondamentale estraendone la radice.Infine e possibile risalire allo split di energia E1−E0 tra primo stato eccitato e stato fonda-mentale, sfruttando la (6.33).I risultati per una particella di massa m e k = 1 sono illustrati qui di seguito, nelle unitadefinite da m = 1, k = 1 e ~ = 1. L’intero arco temporale e attraversato da N = 5000 step diMetropolis intervallati da a = 0.1. Nell’implementazione dell’algoritmo, sono stati scartati iprimi Ntherm = 585 step iniziali, finche la distribuzione di probabilita delle configurazioni nonsi e circa termalizzata, cioe finche non ha raggiunto l’equilibrio; sono state scartate inoltrequelle configurazioni che mostrano una certa correlazione fra di esse, cioe sono state escluseNdec = 165 configurazioni fra uno step accettato e il successivo. Il numero di configurazionieffettivamente misurate e Nmeas = 1000.Per quanto riguarda l’energia dello stato fondamentale si e ottenuto E0 = 0.498 ± 0.045.Tale valore e determinato calcolando la media sulle Nmis misure ottenute (fig.6.1).Inoltre e stata determinata anche la funzione d’onda dello stato fondamentale, come e illu-strato in fig. 6.2 in cui e plottata anche l’espressione analitica della funzione d’onda datada:

ϕ0(x) =

(mω

π~

)1/4

e−mω2~ x

2

, (6.35)

con ω =√k/m. E evidente che il metodo numerico concorda con quello analitico.

Infine si e determinato numericamente il correlatore espresso nella 6.33, che in questo casoe dato da:

G(n) ∝ e−(E1−E0)na, (6.36)

dove t = na. In fig 6.3 e mostrato il fit con una funzione esponenziale, mediante il quale si edeterminato (E1−E0)a = 0.1003. Il risultato coincide con quanto ci si aspetta teoricamente,sapendo che lo spettro dell’energia di un oscillatore armonico e dato da En = (n+ 1/2)~ω.

46

0.35

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6

0.65

0 200 400 600 800 1000

E_0

N

’E0o.txt’

Figura 6.1: Energia dello stato fondamentale al variare degli step, tenuto conto dellatermalizzazione e della decorrelazione.

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

-4 -2 0 2 4

phi(

x)

x

’psio.txt’exp(-x*x/2)/sqrt(sqrt(pi))

Figura 6.2: Valore assoluto della funzione d’onda dello stato fondamentale.

47

0

0.1

0.2

0.3

0.4

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

G(n

)

n

’CorRatioo.txt’0.49879*exp(-0.100362*x)

Figura 6.3: Correlatore G(n) e fit con una funzione esponenziale.

48

Conclusioni

Nel corso di questa tesi si e analizzato l’integrale di cammino di Feynman. Una volta defi-nito, si e messo l’accento sul suo carattere di strumento concettuale, in quanto la maggiorparte dei risultati in meccanica quantistica possono essere ottenuti piu agevolmente nellaformulazione tradizionale. Dalla sola espressione del propagatore si sono riconosciuti alcuniconcetti fondamentali per la meccanica quantistica come il limite classico per ~→ 0, la lun-ghezza d’onda di de Broglie, la quantizzazione dell’energia, l’indeterminazione di Heisenberg.Inoltre, il problema della definizione di un integrale di cammino per una particella dotatadi spin ha permesso di indagare su quale sia il limite classico di un sistema con spin: si evisto che questo e dato dalla “pseudomeccanica”, definita grazie alle variabilli di Grassmann.Si e provato che e possibbile dedurre lo spettro dell’energia e le funzioni d’onda per alcuniproblemi come la particella su un cerchio o in una buca infinita. Dallo studio dell’effetto diAharonov-Bohm e stato possibile comprendere in maniera piu intuitiva l’effetto della presen-za del potenziale vettore in meccanica quantistica. Infine, grazie all’integrale di Feynman,si e mostrata una relazione tra meccanica quantistica e meccanica statistica sfruttando l’in-tegrale di cammino Euclideo. Sfruttando questa analogia, si e quindi pensato di utilizzaretecniche statistiche di calcolo come l’integrazione Monte Carlo, per risolvere problemi com-plessi di meccanica quantistica. Si tratta infatti di un metodo non perturbativo che trova ilsuo uso maggiore come metodo di calcolo nei problemi riguardanti la teoria delle interazioniforti che non possono essere studiati mediante metodi perturbativi.

49

Appendice A

Algebra di Grassmann

I generatori di un’algebra di Grassmann di dimensione n sono le variabili ξi che soddisfano:

ξjξk + ξkξj = 0, i, j = 1, ..., n (1.1)

in particolare quindi vale cheξ2i = 0. (1.2)

Conseguentemente le funzioni di variabili di Grassmann avranno sviluppi di Taylor finiti.Considero il caso n = 1, lo sviluppo di Taylor di f(ξ) sara:

f(ξ) = f0 + f1ξ1, (1.3)

dove f0 ed f1 sono in generale numeri complessi.

Considerate tali premesse, la derivata (sinistra) di una funzione di Grassmann e:

d

dξf(ξ) = f1. (1.4)

Per le funzioni di variabili di Grassmann si definisceˆdξ ≡ d

dξ. (1.5)

In questo modo vale l’invarianza per traslazione dell’integrale:

ˆf(ξ + η)dξ =

ˆf(ξ)dξ. (1.6)

L’integrale gaussiano di variabili di Grassmann e non nullo solo nel caso in cui le variabili diGrassmann sono almeno due. Infatti, per n = 1 si ha che

ˆe−bξ

2

dξ = 0, (1.7)

per le proprieta (1.2) e (1.5).Dunque il caso piu semplice e quello con n = 2. In tal caso vale:

ˆe−bξ1ξ2dξ1dξ2 = b, (1.8)

50

infatti: ˆe−bξ1ξ2dξ1dξ2 =

ˆ(1− bξ1ξ2)dξ1dξ2 = b

ˆξ2dξ2

ˆξ1dξ1 = b. (1.9)

Quindi la differenza sostanziale rispetto alle variabili ordinarie e la diretta proporzionalita ab invece che inversa.

51

Bibliografia

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[16] G. P. Lepage, “Lattice QCD for novices”, 2005; arXiv:hep-lat/0506036v1.

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Ringraziamenti

Alla fine di questo percorso desidero ringraziare primo fra tutti il professore Luca Girlandaper tutto quello che mi ha insegnato, per la sua costante disponibilita e la sua dedizionedurante la preparazione di questa tesi. Grazie per il tempo dedicato!Vorrei ringraziare poi la mia professoressa di pianoforte Bianca Maria dell’Erba: ha com-preso i miei desideri e mi ha permesso di realizzarli accettando i periodi in cui non potevo“essere tutta sua” (e della musica), dedicandomi tante ore estive nonostante il suo mare diGallipoli fosse sicuramente piu invitante. E anche grazie a lei se sono qui oggi a raggiungerequesto secondo obiettivo importante.Ringrazio gli amici e colleghi del Fiorini con i quali ho condiviso questo percorso nel mon-do della fisica e non solo. Grazie in particolare ad Annamaria, amica sincera e paziente.Nonostante le abbia fatto prendere tutte le possibili misure dell’oscillazione del pendolo, eancora qui accanto a me a condividere questo traguardo. Grazie ad Irene, i lunghi confronti”filosofici” avranno aiutato a schiarire qualche idea? Grazie ad Isabella che, purtroppo, votanel modo sbagliato! Grazie ad Alessandro che rende partecipe dei suoi studi al pianoforte eanche se Beethoven e Chopin sono i suoi preferiti, un po’ del caro Scriabin l’ha ascoltato.Voglio poi ringraziare Tiziana, eterna compagna di banco, con cui ora condivido i lunghiviaggi giornalieri, perche e con lei che sono cresciuta nel percorso degli studi e non.Grazie alle mie sorelle che seguono il mio percorso di studi con attenzione, sempre prontea sostenermi. Infine, un ultimo ringraziamento speciale va ai miei genitori che mi hannotrasmesso l’amore per la cultura e mi hanno permesso di essere qui a raggiungere questoimportante traguardo.

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