7/23/2019 Lista Geometria diferencial

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Geometria Diferencial2a.   Lista de Exercıcios

Data de Entrega: 17/11/15

Questao 1 (Secao 3.1). Seja  F   : R3 −→ R3 um difeomorfismo de classe  C k.

a)   Mostre que se  φ   :  U   ⊂   R2 −→   R

3 e uma superfıcie parametrizada regular de classe  C k, entao  F   ◦ φtambem e.b)  Mostre que se  S  ⊂ R

3 e uma superfıcie regular de classe  C k, entao  F  (S ) tambem e.

Questao 2 (Secao 3.3). Prove o Teorema da Funcao Inversa para Aplicacoes Diferenciaveis entre su-perfıcies:

Sejam   S 1, S 2  ⊂  R3 superfıcies regulares de classe   C k e   F   :  S 1  −→  S 2   uma aplicac˜ ao diferenci´ avel de 

classe  C k. Se   dF  p   e um isomorfismo, ent˜ ao  F   e um difeomorfismo local em   p.

Questao 3 (Secao 3-5 do Manfredo: Superfıcies Regradas).   Uma superfıcie parametrizada  S  ⊂ R3 e

uma superfıcie regrada se ela e a imagem de uma parametrizacao  φ  :  I  ×R −→ R3 de classe  C 2 da forma

φ (t, s) =  α (t) + sV    (t) ,

onde  α :  I  −→  R3 e uma curva regular (chamada a curva diretriz) e  V    :  I  −→  R

3 e um campo vetorial; areta gerada por V   (t) e chamada uma  reta geratriz. Note que uma superfıcie regrada nao e necessariamenteuma superfıcie regular nem tampouco uma superfıcie parametrizada regular: basta considerar o exemplo docone.

Uma superfıcie regrada e  cilındrica  se  α   e uma curva plana e  V    e paralelo a uma direcao fixa.Superfıcies regradas sao usadas em arquitetura e para descrever processos mecanicos, tais como o movi-

mento de um braco robotico.No que se segue, assumiremos sem perda de generalidade que  V   (t)   = 1 e tambem assumiremos que

V    (t) = 0 para todo  t  ∈  I . Respostas para varias das questoes a seguir podem ser encontradas no Manfredo.

a)  Mostre que existe uma curva parametrizada  β  :  I  −→ R3

contida no traco  φ (I  × R), tal que

β  (t) , V    (t) = 0

para todo  t  ∈  I .b) Verifique que a curva  β  do ıtem anterior nao depende da curva diretriz  α. A curva  β   e chamada a linhade estricao  e seus pontos sao chamados  pontos centrais  da superfıcie regrada.c) Mostre que a linha de estricao pode ser tomada como curva diretriz da superfıcie regrada.d)  De acordo com o ıtem (c) podemos escrever

φ (t, s) =  β  (t) + sW  (t) .

Mostre que existe uma funcao  λ  :  I  −→ R  tal que

β 

(t) ×W  (t) =  λ (t)W 

(t)e conclua que os unicos pontos singulares possıveis da superfıcie regrada estao na linha de estricao (s = 0) eocorrem se e somente se  λ (t) = 0. A funcao  λ   e chamada o parametro de distribuicao.e)  Mostre que a curvatura gaussiana dos pontos regulares de uma superfıcie regrada e dada por

K  (t, s) =  −  λ2 (t)

[λ2 (t) + s2]2.

Em particular, K   0 e  K  = 0 somente ao longo daquelas retas geratrizes que interceptam a linha de estricaoem um ponto singular.

7/23/2019 Lista Geometria diferencial

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f )  Mostre que o paraboloide hiperbolico  z  =  xy   e uma superfıcie regrada e encontre sua linha de estricao eparametro de distribuicao.g)   Mostre que o helicoide e uma superfıcie regrada, sua linha de estricao e o eixo   z   e seu parametro de

distribuicao e uma funcao constante.h)  Mostre que o hiperboloide de revolucao  x2 + y2 − z2 = 1 e uma superfıcie regrada, sua linha de estricaoe o paralelo de menor raio e seu parametro de distribuicao e uma funcao constante.i)  Calcule a curvatura gaussiana da faixa de Mobius.

Questao 4 (Secao 4.3). Descreva os conjuntos dos pontos elıpticos, hiperbolicos, parabolicos e planaresdas superfıcies quadricas a seguir. Faca um esboco do grafico de cada uma destas superfıcies indicando alocalizacao destes conjuntos.a)  Esfera.b)  Elipsoide.c) Paraboloide Elıptico.d)  Paraboloide Hiperbolico.e)  Hiperboloide de uma folha.

f )  Hiperboloide de duas folhas.g)  Cilindro.h)  Cone sem o vertice.

Questao 5 (Secao 4.5: Superfıcie Mınima de Scherk).a)  Seja  φ  :  U  ⊂ R

2 −→ R3 uma superfıcie parametrizada regular dada por um grafico de funcao, isto e,

φ (x, y) = (x,y,h (x, y)) .

Mostre que ela e uma superfıcie mınima se e somente se  h  satisfaz a equacao diferencial parcial

1 + h2y

hxx − 2hxhyhxy +

1 + h2x

hyy  = 0.

b)  Prove queφ (x, y) = (x,y,f  (x) + g (y))

e uma superfıcie mınima se e somente se  f   e  g   satisfazem as equacoes diferenciais ordinarias

f 

1 + (f )2

  = −  g

1 + (g)2

  = a

para alguma constante  a  ∈ R.c) Mostre que se  a  = 0 as superfıcies mınimas deste tipo sao dadas por

f  (x) =  −1

a log cos (ax + b) + c,

g (y) =

  1

a log cos (ay + b) + d,

onde  b,c, d ∈ R  sao constantes, e que se  a  = 0, entao a superfıcie mınima e um plano.d)  A  superfıcie mınima de Scherk   e obtida atraves do item anterior definindo-se

φ (x, y) =

x,y,

 1

a log

 cos ax

cos ay

.

Esboce-a ou cole uma foto dela obtida atraves de um programa ou diretamente de algum livro ou da internet.e)  Faca o mesmo para a  superfıcie mınima de Costa .