Lista de problemas sobre el canónico

L. A. Arias–Hernández

13 de diciembre de 2015

1. El Hamiltoniano de un gas ideal de N partículas relativistas contenidas en un reci-piente de volumen V es:

HN =N∑i=1

√−→pi 2c2 +m2c4 (1)

en donde m es la masa de de cada partícula y c es la velocidad de la luz. Determi-nar la función de partición, la energía promedio y el calor específico por partícula,expresando estos resultados por medio de las funciones de Bessel:

Kn (x) =

√π

Γ(n+ 1

2

) (x2

)n ˆ ∞0

dθ Senh2n (θ) e−xCosh(θ) (2)

2. El Hamiltoniano de una molécula diatómica contenida en un recipiente de volumen Vpuede escribirse como la suma de tres términos:

h = htras + hvib + hrot =

−→P 2

2M+p2r2µ

+(r − r0)2

2µω2

+1

2µr20

(p2θ +

p2φSen2 (θ)

), (3)

en donde−→P yM son el momento y la masa del centro de masa de la "mancuerna",

r y pr la distancia entre los átomos de la molécula y su momento conjugado, µ lamasa reducida de la molécula y r0 es la distancia que minimiza la interacción de susátomos. El hamiltoniano de rotación de la mancuerna alrededor su eje esta dado entérminos de los momentos pθ y pφ generalizados y sus coordenadas conjugadas θ yφ. Calcular la función de partición de una molécula, su energía promedio y el calorespecifico por molécula de un gas ideal formado por N de estas moléculas diatómicas.

3. Considere un ensamble de moléculas diatómicas de momento magnético −→µ orientadoen dirección del eje de la molécula, sumergidas en un campo magnético

−→B en dirección

del eje z. El hamiltoniano por partícula de este sistema esta dado por:

h (θ, pθ, pφ) =1

2I

(p2θ +

p2φSen2θ

)− |−→µ |

∣∣∣−→B ∣∣∣Cosθ (4)

con I el momento de inercia de la "mancuerna". Calcule la función de partición deuna molécula, el momento magnético y la energía interna del gas ideal representadopor este ensamble.

4. Determine la función de partición de un gas ideal que experimenta la acción de uncampo gravitacional, contenido en una caja de sección transversal de área A y cuyas

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caras inferior y superior se encuentran en z = z0 y z = zL con zL − z0 = L. Calcular laenergía promedio por partícula, el calor especifico y la densidad espacial de partículas.Obtener las ecuaciones de estado correspondientes a las restricciones exteriores z0 yzL e interpretar el resultado.

5. Un modelo de solido clásico debido a Einstein está constituido por N osciladoresarmónicos de masa m y constante K, descrito por el hamiltoniano:

HN =N∑j=1

−→Pj

2

2m+

(−→rj −

−→r0j

)22K

(5)

donde−→Pj y −→rj denotan los momentos y las posiciones de las partículas y

−→r0j las posicio-

nes de equilibrio de los átomos de la red. Determinar las propiedades termodinámicasdel sólido y la fluctuación: ⟨−→rj 2⟩− 〈−→rj 〉2 (6)

6. Calcular la función de partición, la energía promedio y el calor especifico por partícula,de un sistema ideal de N osciladores armónicos pseudo cuánticos unidimensionalesdistinguibles de frecuencia ω:

εn =

(1

2+ n

)~ω; con n = 0, 1, 2, . . . . (7)

Calcule los límites a temperaturas alta y baja, de la energía promedio y del calorespecífico.

7. Calcule la función de partición de un sistema de N partículas que sólo pueden accedera dos niveles de energía: ε0 = 0 y ε1 = ε. Además, determine la termodinámica de estesistema (ecuación fundamental más ecuaciones de estado) y el límite de la energíainterna para T →∞.

8. Considere un sistema de tres partículas, cada una de ellas de diferente naturaleza,pero las tres pueden acceder a dos diferentes niveles de energía. Calcule explícita-mente la función de partición de este sistema, y muestre que es factorizable en tresfunciones de partición, cada una de ellas correspondiendo a una partícula.

9. Una aleación binaria esta compuesta de NA átomos del tipo A y de NB átomos del tipoB. Cada átomo de la especie A puede acceder a dos niveles de energía ε0A = 0 y ε1A = ε,y cada átomo de la especie B puede acceder a dos niveles de energía ε0B = 0 y ε1B = 2ε.El sistema se encuentra en eq. termodinámico a temperatura T .

a) Calcule la energía libre de Helmholtz del sistema.

b) Calcule la capacidad calorífica del sistema.

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