Lista de Exerccios 04

EQUAO DO 1 GRAU As equaes do primeiro grau so aquelas que podem ser representadas sob a forma ax+b=0,em que a e b so constantes reais, com a diferente de 0, e x a varivel. A resoluo desse tipo de equao fundamentada nas propriedades da igualdade: adicionando um mesmo nmero a ambos os membros de uma equao, ou subtraindo um mesmo nmero de ambos os membros, a igualdade se mantm; e/ou dividindo ou multiplicando ambos os membros de uma equao por um mesmo nmero no-nulo, a igualdade se mantm. Exemplo: 5x = 15 + 2x (subtraindo ambos os lados por 2x) 5x - 2x = 15 + 2x - 2x 3x = 15 (dividindo ambos os lados por 3) 3x/3 = 15/3 x = 15 Exerccio: 1) Resolver a equao: 2( x + 5 ) - 3( 5 x ) = 5 2) Tenho a seguinte escolha: Ou compro 20 unidades de um produto com todo o dinheiro que tenho, ou compro apenas 14 unidades e ainda me sobra um troco de R$ 30,00. Qual o valor unitrio deste produto? 3) A soma da minha idade, com a idade de meu irmo que 7 anos mais velho que eu d 37 anos. Quantos anos eu tenho de idade? INEQUAO DO 1 GRAU Uma inequao do 1 grau resolvida da mesma forma que se resolve uma equao do 1 grau, s que quando o x negativo no final da resoluo multiplica-se ambos os membros da inequao por (-1) e a o sentido se inverte, se > fica , se fica e se fica . Exemplo: Determine o maior nmero inteiro t que satisfaz a desigualdade: 1 112 > 76 2 6 336 > 7 126 6 33 > 7 12 33 + 12 > 7 6 21 > 1 21 < 1 > 121 < 0,04761

O maior nmero inteiro que satisfaz essa desigualdade o -1 4) Resolva as seguintes inequaes, em R: a) 2x + 1 x + 6 b) 2 - 3x x + 14 c) 2(x + 3) > 3 (1 - x) d) 3(1 - 2x) < 2(x + 1) + x - 7

SISTEMA DE INEQUAES DO 1 GRAU Um sistema de inequao do 1 grau formado por duas ou mais inequaes, cada uma delas tem apenas uma varivel sendo que essa deve ser a mesma em todas as outras inequaes envolvidas. Quando terminamos a resoluo de um sistema de inequaes chegamos a um conjunto soluo, esse composto por possveis valores que x dever assumir para que exista o sistema. Para chegamos a esse conjunto soluo devemos achar o conjunto soluo de cada inequao envolvida no sistema, a partir da fazermos a interseco dessas solues. O conjunto formado pela inteseco chamamos de CONJUNTO SOLUO do sistema. Exemplo: 3 + 1 > 05 4 0 Em primeiro lugar devemos calcular o conjunto soluo de cada inequao. 3x + 1 > 0 3x > - 1 x > - 1/3

A bolinha aberta, pois o sinal da inequao no igual. Calculamos agora o conjunto soluo da outra soluo. 5x 4 0 5x 4 x 4/5

Agora podemos calcular o CONJUNTO SOLUO da inequao, assim temos: S = S1 S2

Portanto: S = { x R| -1/3 < x 4/5} ou S = ] -1/3 ; 4/5] 5) Resolva os seguintes sistemas de inequaes a) 3 < 02 1 < 0 b) 3 > 02 1 > 0 Inequao Produto Resolver uma inequao produto consiste em encontrar os valores de x que satisfazem a condio estabelecida pela inequao. Para isso utilizamos o estudo do sinal de uma funo. Observe a resoluo da seguinte equao produto: (2x + 6)*( 3x + 12) > 0. Vamos estabelecer as seguintes funes: y1 = 2x + 6 e y2 = 3x + 12. Determinando a raiz da funo (y = 0) e a posio da reta (a > 0 crescente e a < 0 decrescente). y1 = 2x + 6 2x + 6 = 0 2x = 6 x = 3 y2 = 3x + 12 3x + 12 = 0 3x = 12

Verificando o sinal da inequao produto (2x + 6)*( 3x + 12) > 0. Observe que a inequao produto exige a seguinte condio: os possveis valores devem ser maiores que zero, isto , positivo.

Atravs do esquema que demonstra os sinais da inequao produto y1*y2, podemos chegar seguinte concluso quanto aos valores de x: {x R / 3 < x < 4} Inequao quociente Na resoluo da inequao quociente utilizamos os mesmos recursos da inequao produto, o que difere que, ao calcularmos a funo do denominador, precisamos adotar valores maiores ou menores que zero e nunca igual a zero. Observe a resoluo da seguinte inequao quociente: + 12 1 0

Resolver as funes y1 = x + 1 e y2 = 2x 1, determinando a raiz da funo (y = 0) e a posio da reta (a > 0 crescente e a < 0 decrescente). y1 = x + 1 x + 1 = 0 x = 1 y2 = 2x 1 2x 1 = 0 2x = 1 x = 1/2 Fazendo o "produto" de sinais, temos:

Com base no jogo de sinal conclumos que x assume os seguintes valores na inequao quociente: {x R / 1 x < 1/2 } Exerccios: 6) Resolva o seguinte sistema de inequaes:

a)

4 0( + 2)(2 6) 0

b) ()()() > 0

7) Qual o domnio da funo () =

?

FUNO DO 1 GRAU Chama-se funo polinomial do 1 grau, ou funo afim, a qualquer funo f de R em R dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b so nmeros reais dados e a 0. Na funo f(x)=ax + b, o nmero a chamado de coeficiente de x e o nmero b chamado termo constante. Veja alguns exemplos de funes polinomiais do 1 grau: f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3 f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7 f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0 Grfico O grfico de uma funo polinomial do 1 grau, y = ax + b, com a 0, uma reta oblqua aos eixos x e y. Exemplo: y = 3x - 1: Como o grfico uma reta, basta obter dois de seus pontos e lig-los com o auxlio de uma rgua: a) Para x = 0, temos y = 3 0 - 1 = -1; portanto, um ponto (0, -1). b) Para y = 0, temos 0 = 3x - 1; portanto, x = 1/3e outro ponto (1/3;0). Marcamos os pontos (0, -1) e (1/3;0)no plano cartesiano e ligamos os dois com uma reta.

x y 0 -1 1/3 0

J vimos que o grfico da funo afim y = ax + b uma reta. O coeficiente de x, a, chamado coeficiente angular da reta e, como veremos adiante, a est ligado inclinao da reta em relao ao eixo x. O termo constante, b, chamado coeficiente linear da reta. Para x = 0, temos y = a 0 + b = b. Assim, o coeficiente linear a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo y. Sinal Estudar o sinal de uma qualquer y = f(x) determinar os valor de x para os quais y positivo, os valores de x para os quais y zero e os valores de x para os quais y negativo. Consideremos uma funo afim y = f(x) = ax + b vamos estudar seu sinal. J vimos que essa funo se anula pra raiz x = - b/a. H dois casos possveis: 1) a > 0 (a funo crescente) y > 0 ax + b > 0 x > - b/a y < 0 ax + b < 0 x < - b/a Concluso: y positivo para valores de x maiores que a raiz; y negativo para valores de x menores que a raiz

2) a < 0 (a funo decrescente) y > 0 ax + b > 0 x < - b/a y < 0 ax + b < 0 x > - b/a

Concluso: y positivo para valores de x menores que a raiz; y negativo para valores de x maiores que a raiz.

Exerccios: 8) Sabe-se que a conta de energia residencial calculada por meio de uma taxa, de acordo com o consumo de kWh, acrescida de uma taxa fixa por residncia, correspondente iluminao pblica. Suponha que duas cidades A e B so servidas por duas companhias de energia distintas, com taxas diferenciadas, cujos valores so: Companhia da cidade A: 30 centavos por kWh e 4 reais da taxa de iluminao pblica Companhia da cidade B: 40 centavos por kWh e 3 reais da taxa de iluminao pblica a) D a expresso de y(x), onde y a conta de energia eltrica e x a quantidade de kWh consumida. b) Diga se pode acontecer que, em determinado ms, duas residncias, uma da cidade A e outra da cidade B, tenha pago a mesma conta. Em caso afirmativo, determine a consumo de kWh e o valor da conta paga pelas residncias. c) Faa, num mesmo sistema de coordenadas cartesianas, os grficos das contas de energia eltrica (em R$) de residncias das cidades A e B, em funo do consumo (em kWh). 9) A escala N de temperatura foi feita com base nas temperaturas mximas e mnimas em Nova Iguau. A correspondncia com a escala Celsius a seguinte:

N C

0 18

100 43 Em que temperatura ferve a gua na escala N? 10) Em um aougue o preo do quilograma de um tipo de carne R$4,00.Durante certo perodo foi feita a seguinte promoo:

Na compra de uma quantia entre 3kg e 5kg,desconto de R$1,00 no total Na compra de 5kg ou mais, desconto de 10%

a) Determine a equao da quantia Q a ser paga em funo da quantidade x de quilogramas b) Determine a quantia a ser paga na compra de 2kg, 4kg e 5kg c) Determine a quantidade de carne que se pode comprar com R$17,00 d) Construa o grfico da funo Q(x). 11) Determine a lei formao da funo representada pelo grfico abaixo.

12) Bilogos descobriram que o nmero de sons emitidos por certa espcie de grilos est relacionado com a temperatura. A relao quase linear. A 68 F, os grilos emitem cerca de 124 sons por minuto. A 80F, emitem 172 sons por minuto. Encontre a relao que relaciona a temperatura em Fahrenheit F e o nmero n de sons. Faa o grfico dessa relao. 13) Numa escola adotado o seguinte critrio: a nota da primeira prova multiplicada por 1, a nota da segunda prova multiplicada por 2 e anota da terceira prova multiplicada por 3. Os resultados aps somados, so divididos por 6. Se a mdia obtida por esse critrio for maior ou igual a 6,5 o aluno dispensado das atividades de recuperao. Suponha que um aluno tenha tirado 6,3 na primeira prova e 4,5 na segunda prova. Quanto precisar tirar na terceira prova para ser dispensado da recuperao? 14) Comprei 7,5kg de um produto e recebi um troco de R$ 1,25. Caso eu tivesse comprado 6kg, o troco teria sido de R$ 5,00. Quanto dei em dinheiro para pagar a mercadoria? Resposta: 1) x = 2 2) x = 5 3) x= 15 4) a) x 5 b) x -3 c) x > -3/5 d) x > 8/9 5) a) {} b) 1/2 < x < 3 6) a) 2 x 3 b) - 4 < x < 1 ou x > 2 7) S ={x R/ x < -1 ou x 1} 8) a) CA = 0,3k + 4 CB = 0,4k + 3 b) k = 10 e C = 7 c)

9) C = 1/4*N + 18 N=328

10) a) () = 4; 0 34 1; 3 < < 53,6; 5

b) 8, 15 e 18, respectivamente c) x = 4,5

d)

11) () = + 4; < 5 +

; 5

12) N = 4F - 148 13) 7,9

14) R = 7,5p + 1,25. eu dei R$20,00

Prof Leandro Colombi Resendo

y

x

y