Universidade Federal da Integrao LatinoAmericanaDocente: Newton Solrzano

Curso: _____

Clculo IIIExerccios 6

Temas Abordados: Transformada de Laplace; Definio.

1. Dado a R resolva os itens abaixo.a) Verifique que a transformada de Laplace, H(s), da funo h : [0,) C definida

por h(t) = eiat dada por

H(s) = 1s ia, s > 0.

(Sugesto: Note que eiat = cos(at) + i sen(at))b) Sejam F (x) e G(s) a transformada de Laplace das funes f(t) = cos(at) e g(t) =

sen(at), respectivamente. Observando que H(s) = F (s) + iG(s) e usando o itemanterior, verifique que, para s > 0, temos

F (s) = ss2 + a2 , G(s) =

a

s2 + a2 .

2. Dado n N resolva os itens abaixo.a) Verifique que a transformada de Laplace da funo fn : [0,+) R definida por

fn(t) = tn para n = 0, 1, 2, . . . dada por

Fn(x) =n!sn+1

, s > 0.

b) Use o item anterior para calcular a transformada de Laplace de f(t) = 2t2+3t+5.

3. Dado a R, mostre que a transformada de Laplace da funo

f(t) = cosh(at) = eat + eat

2 dada por

F (s) = ss2 s2 , s > |a|.

4. Dado a R, mostre que a transformada de Laplace da funo

f(t) = senh(at) = eat eat

2 dada por

F (s) = as2 a2 , s > |a|.

5. Dados a, b R, calcule a transformada de Laplace de cada uma das funes abaixo.a) f(t) = eat cosh(bt)

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b) f(t) = eat senh(bt)

6. Dado a R, use integrao por partes para calcular a transformada de cada uma dasfunes abaixo

a) f(t) = teat

b) f(t) = t2 senh(at)

7. Calcule a transformada da soluo de cada problema de valor inicial proposto:

a) y y 6y = 0, y(0) = 1, y(0) = 1b) y + 3y + 2y = 0, y(0) = 1, y(0) = 0c) y 4y + 4y = 0, y(0) = 1, y(0) = 1.

8. Considere um circuito RLC onde a fora eletromotriz E(t) = 0, a resistncia R = 5,a indutncia L = 1 e a capacitncia C = 6. Pela segunda Lei de Kirchoff, a cargaq(t) no capacitor satisfaz

a + 5q + 6q = 0.Considere as condies iniciais q(0) = 1 e q(0) = 1.

a) Determine a transformada L[q] da soluo q(t) do PVI.b) Determine as razes do dominador de L[q] e escreva q(t) como combinao de

funes elementares.c) Escreva L[q] como combinao de transformadas de funes elementares e deter-

mine seus coeficientes.d) Determine a soluo q(t) do PVI.

9. Considere um sistema MMA onde a fora externa F (t) = 0, a massa m = 1, aconstante da mola k = 10 e constante de amortecimento b = 6. Pela segunda Lei deNewton, a posio y(t) da massa em relao ao equilbrio satisfaz

y + 6y + 10y = 0

Considere as condies iniciais y(0) = 1 e y(0) = 1.a) Determine a transformada L[y] da soluo y(t) do PVI.b) Determine as razes do denominador L[y] e escreva y(t) como combinao de fun-

es elementares.c) Escreva L[y] como combinao de transformadas de funes elementares e deter-

mine seus coeficientes.d) Determine a soluo y(t) do PVI.

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