Éléments finis aspects...

Éléments finisaspects mathématiques

Michel [email protected]

Institut National de Recherche en Informatique et Automatique

ENSMP, S3733 / S3735, 22–26 novembre

M. Kern (INRIA) Éléments finis ENSMP S3733 / S3725 1 / 112

Plan général : lundi

Formulations variationnelles

1 Introduction

2 Espaces de Sobolev

3 Formulation variationnelle des problèmes aux limites

4 Approximation interne


Plan général : mardi

Éléments finis

5 Le problème modèle

6 Éléments finis P1 en 2D

7 Mise en oeuvre

8 Présentation générale


Plan général : mercredi

Convergence

9 Interpolation locale et gloable

10 Convergence : résultats théoriques

11 Exemples numériques

In mathematics you don’t understand things. You just getused to them.John von Neumann


Références I

G. ALLAIRE.

Analyse numérique et optimisation. Une introduction à la modélisationmathématique et à la simulation numérique.

Cours de l’École Polytechnique, 2004.

O. AXELSSON and Vincent A. BARKER.

Finite element solution of boundary value problems : theory andcomputation.

Society for Industrial and Applied Mathematics, 2001.

P. G. CIARLET.

The Finite Element Method for Elliptic Problems.

North-Holland, 1980.


Références II

P. G. CIARLET.

Basic error estimates for elliptic problems, in Handbook of NumericalAnalysis (P.G. Ciarlet & J.-L. lions, Editors), Vol. II : Finite ElementMethods (Part I), pp. 17-351,

North-Holland, Amsterdam, 1991.

R. DAUTRAY et J.-L. LIONS.

Analyse mathématique et calcul numérique pour les sciences et lestechniques, volume 5 : Méthodes intégrales et numériques.

Masson, 1987.

A. ERN et J.-L. GUERMOND.

Éléments finis : théorie, applications, mise en oeuvre.

Collection Mathématiques et Applications. Springer, 2002.


Références III

P. KNABNER et L. ANGERMAN.

Numerical Methods for Elliptic and Parabolic Partial DifferentialEquations.

Collection Texts in Applied Mathematics. Springer, 2003.

O. PIRONNEAU et B. LUCQUIN.

Introduction au calcul scientifique.

Masson, 1997.

P.-A. RAVIART et J.-M. THOMAS.

Introduction à l’analyse numérique des équations aux dérivées partielles.

Collection Mathématiques Appliquées pour la Maîtrise. Masson, 1983.

G. STRANG et G. x J. FIX.

An Analyis of the Finite Element Method.

Prentice Hall Series in Automatic Computation. Prentice Hall, 1973.


Première partie I

Formulations variationnelles


Plan

1 IntroductionProblèmes modèlesFormules de GreenFormulations variationnelles formelles

2 Espaces de SobolevDéfinitionThéorème de trace, espace H1

0 (Ω)Théorème de Lax–Milgram

3 Formulation variationnelle des problèmes aux limitesle LaplacienProblème du second ordre généralÉlasticité

4 Approximation interneLe problème approchéApproximation : le lemme de Céa


Plan







Problème scalaire

Physique : thermique, électrostatique, élasticité (membrane),écoulement poreux,...

− div (k∇u) = f dans Ω

u = 0 sur ΓD,

k∂u∂n

= g sur ΓN .

Hypothèse : ∃k∗, k∗, ∀x ∈ Ω, 0 < k∗ ≤ k(x) ≤ k∗ < ∞. k peut êtrediscontinue


Élasticité linéaire

Condition d’équilibrediv σ(u) + f = 0 dans Ω,

Loi de comportement isotrope

σ(u) = 2µ ε(u) + (λ Tr ε(u)) I, ε(u)ij =12

(∂ui

∂xj+

∂uj

∂xi

)Conditions aux limites

u = 0 sur ΓD CL essentielle, encastrement

σ(u).n = gN sur ΓN , CL naturelle, force imposée.


Formules de Green

Ω domaine « assez régulier »

OK Pas OKFormule de la divergence q ∈ C1 champ de vecteur∫

Ωdiv q dx =

∫Γ

q.n dγ(x)

Formule de Green (div (qv) = v div q + q. grad v )∫Ω

v div q dx = −∫

Ωq. grad v dx +

∫Γ

vq.ndγ(x).


Laplacien avec conditions de Dirichlet

Soit X =

u ∈ C2(Ω), u = 0 sur Γ

Les trois problèmes sont équivalents :1 Trouver u ∈ X solution de

(FF) −∆u = f dans Ω

2 Trouver u ∈ X tel que

(FV)∫

Ωgrad u. grad v dx =

∫Ω

f v dx , ∀v ∈ X

3 Trouver u ∈ X qui minimise J sur X , avec

(ME) J(u) =12

∫Ω|grad u|2 dx

∫Ω−f u dx


(FF) ⇔ (FV)

Multiplier l’équation par une fonction test v ∈ C10(Ω), formule de

Green, conditions aux limites

−∫

Ω∆uv dx =

∫Ω

grad u. grad v dx −∫

Γv grad u · n dγ(x)

=

∫Ω

grad u. grad v dx =

∫Ω

f v dx .

Formule de Green sur (FV) :

−∫

Ω∆uv dx =

∫Ω

f v dx , ∀v ∈ X


(ME) ⇔ (FV)

J(u + v)− J(u) =

∫Ω

grad u grad v dx −∫

Ωf v dx︸︷︷︸

= J ′(u)v

+12

∫Ω|grad v |2 dx

(ME) ⇒ (FV) (FV) est l’équation d’Euler de (ME).

(FV) ⇒ (ME) La solution de (ME) réalise le minimum strict de J

J(u + v)− J(u) =12

∫Ω|grad v |2 dx ≥ 0.


Formulation variationnelle formelle

E =

u ∈ C1(Ω), u = 0 sur Γ

Trouver u ∈ E tel que∫Ω

grad u. grad v dx =

∫Ω

f v dx , ∀v ∈ E .

AvantageMoins de régularité sur u (une seule dérivée),Interprétation physique (travaux virtuels),Théorème existence et unicité (dans le cadreHilbertien) ;

Inconvénient Quel problème a-t-on résolu ?


Élasticité linéarisée

Multiplier par vi ∈ C10(Ω), formule de Green :

∫Ω

d∑i,j=1

∂vi

∂xjσij(u) dx +

∫Ω

d∑i=1

f ivi dx = 0, ∀v.

Symétrie de σ(u),∑d

i,j=1∂vi

∂xjσij(u) =

∑di,j=1 σij(u)εij(v).

Loi de comportement (isotrope,∑

ij εij(v) = Tr ε(v) = div v) :∫Ω

λ div u div v + 2µε(u).ε(v) dx =

∫Ω

f v dx , ∀v ∈ C10(Ω).


Principe des travaux virtuels – Énergie

On retrouve le théorème des travaux virtuels (cf Cours MMCS. Forest).v est un déplacement virtuel, vérifie les conditions aux limitesessentielles. L’espace C1

0(Ω) est (presque) l’espace V desdéplacements admissibles.

Énergie mécaniqueL’équation variationnelle est l’équation d’Euler pour la minimisation surV de l’énergie

J(u) =12

∫Ω

σ(u) : ε(u) dx −∫

Ωf.u dx

=12

∫Ω

λ(div u)2 + 2µε(u)2 dx −∫

Ωf.u dx


Plan







Dérivation faible

Définition

v ∈ L1loc(Ω). wi dérivée partielle faible de v :∫

Ωv

∂ϕ

∂xidx = −

∫Ω

wiϕ dx , ∀ϕ ∈ C1c (Ω).

Exemple

Dérivée faible de v : x → |x | est w(x) =

−1 si x < 0

1 si x ≥ 0w n’a pas de dérivée faible


Exemples

Exemple

Ω = Ω1 ∩ Ω2, Γ = Ω1 ∪ Ω2 v ∈ C0(Ω), vk = v|Γk∈ C1(Ωk ),

wi =

∂v1

∂xisur Ω1

∂v2

∂xisur Ω2

est la ie dérivée partielle faible de v sur Ω.

Preuve : ϕ ∈ C1c (Ω)∫

Ωv

∂ϕ

∂xidx = −

∫Ω1

∂v1

∂xiϕ dx +

∫Γ

v1ϕni dγ −∫

Ω2

∂v2

∂xiϕ dx +

∫Γ

v2ϕni dγ,

= −∫

Ωwϕ dx +

∫Γ

v1ϕn1 dγ +

∫Γ

v2ϕn2 dγ.


Espace de Sobolev (2)

Exemple

Ω = Ω1 ∩ Ω2, Γ = Ω1 ∪ Ω2, vk = v|Γk∈ C1(Ωk ),

v ∈ C0(Ω) ⇒ v ∈ H1(Ω)

On a C1(Ω) ⊂ H1(Ω), mais les fonctions de H1(Ω) ne sont pasnécessairement continues.

En dimension 1 : H1(0, 1) ⊂ C0(0, 1).


Espace de Sobolev : propriétés

Produit scalaire sur H1(Ω)

(u, v)1 =

∫Ω

u v dx +

∫Ω

grad u. grad v dx

Norme associée

‖u‖1 =

(∫Ω|u|2 dx +

∫Ω|grad u|2 dx

)1/2

Théorème

L’espace H1(Ω), muni de la norme ‖.‖1 est un espace de Hilbert.


Rappels : espaces de Hilbert

DéfinitionUn espace de Hilbert est un espacevectoriel muni d’un produit scalaire, etqui est complet pour la normeassociée à ce produit scalaire.

ExempleL’espace vectoriel Rn, muni duproduit scalaire euclidien usuel,est un espace de Hilbert.

L’espace vectoriel L2(Ω), muni duproduit scalaire(u, v) =

∫Ω u(x)v(x) dx , est un

espace de Hilbert.


Propriétés des espaces de Hilbert

Inégalité de Cauchy–Schwarz

∀(x , y) ∈ H2, |(x , y)|2 ≤ ‖x‖2H ‖y‖

2H .

Théorème (de projection)

F ⊂ H convexe fermé, z ∈ H. Il existe un unique élément de x0 ∈ F telque : ‖z − x0‖H = infx∈F ‖y − x‖H .x0 est caractérisé par x0 ∈ F et (z − x0, x − x0) ≤ 0, ∀x ∈ F.

Théorème (de représentation de Riesz)Soit L une forme linéaire sur H. Il existe un unique élément x ∈ H telque

∀u ∈ H, L(u) = (u, x)


Théorème de trace

Fonctions de H1(Ω) définies presque partout, Γ de mesure nulle. Pouru ∈ L2(Ω), u|Γ n’existe pas.

Théorème (de trace)

Ω ouvert borné régulier. L’application trace γ0

H1(Ω) ∩ C(Ω) → L2(Γ) ∩ C(Γ)

v → γ0(v) = v|Γ

se prolonge par continuité en une application linéaire continue γ0 deH1(Ω) dans L2(Γ). Il existe C > 0, telle que

∀v ∈ H1(Ω,∥∥v|Γ

∥∥L2(Γ)

≤ C ‖v‖H1(Ω)


Les formules de Green

Pour un ouvert Ω régulier, les formules de Green s’étendent à H1(Ω).

Formules de Green

Pour (u, v) ∈ H1(Ω)2, q ∈ H1(Ω)2,∫Ω

u(x)∂v∂xi

(x) dx = −∫

Ω

∂u∂xi

(x)v(x) dx +

∫Γ

u(x)v(x)ni(x) dγ(x).

∫Ω

v div q dx = −∫

Ωq. grad v dx +

∫Γ

vq.ndγ(x).


L’espace H10(Ω)

Définition

H10 (Ω) = ker γ0 =

u ∈ H1(Ω), u|Γ = 0

.

C’est un espace de Hilbert (fermé dans H1(Ω))

Les fonctions de H10 (Ω) « s’annulent sur le bord ».

DensitéL’espace C∞

0 (Ω) = v ∈ C∞(Ω), v à support compact dans Ω estdense dans H1

0 (Ω).

γ0 n’est pas surjective : Im γ0 L2(Γ).


Compléments

Inégalité de Poincaré Ω ⊂ Rd ouvert borné. Il existe CP > 0 telle que

∀v ∈ H10 (Ω),

∫Ω|v(x)|2 dx ≤ CP

∫Ω|∇v(x)|2 dx .

Équivalence de normes La semi-norme

|v |H10 (Ω) =

(∫Ω|∇v(x)|2 dx

)1/2

définit une norme sur H10 (Ω), équivalente à la norme de

H1(Ω).


Compléments (2)

Théorème (de Rellich)

Si Ω est borné régulier, de toute suite bornée dans H1(Ω), on peutextraire une sous-suite convergente dans L2(Ω) (l’injection deH1(Ω)dans L2(Ω) est compacte).

Définition (Espace H2(Ω))

H2(Ω) =

u ∈ H1(Ω), 1 ≤ i , j ≤ d ,

∂2u∂xi∂xj

∈ L2(Ω)

C’est un espace de Hilbert. En dimension 2, H2(Ω) ⊂ C0(Ω).

Pour u ∈ H2(Ω), on peut définir∂u∂n

∈ L2(Γ).


Problèmes variationnels

V espace de Hilbert, a forme bilinéaire V × V → R, L forme linéaireV → R.

Problème variationnel « abstrait »

(FVA) Trouver u ∈ V , tel que a(u, v) = L(v) pour tout v ∈ V .

Hypothèses1 L continue sur V : il existe C > 0 telle que∀v ∈ V , |L(v)| ≤ C ‖v‖V .

2 a continue sur V × V : il existe M > 0 telle que∀(u, v) ∈ V 2, |a(u, v)| ≤ M ‖u‖V ‖v‖V ;

3 a coercive : il existe α > 0 telle que ∀u ∈ V , a(u, u) ≥ α ‖u‖2V ;


Problème variationnels (2)

En dimension finieSi V = Rd , A ∈ Rd×d matrice, f ∈ Rd vecteur,

a(u, v) = L(v),∀v ∈ V ⇐⇒ vT A u = vT f ,∀v ∈ V ,

Système linéaire

Au = f

Continuité automatique, coercivité uT Au ≥ αuT u > 0 ⇒ A inversible.

Dans le cas général, a(u, u) > 0 pas suffisant !


Théorème (de Lax–Milgram)

Sous les hypothèses ci-dessus, le problème (FVA)admet une unique solution u ∈ V.


Cas symétrique

∀(u, v) ∈ V 2, a(u, v) = a(v , u)

(FVA) est l’équation d’Euler d’un problème de minimisation :

J(v) =12

a(v , v)− L(v).

ThéorèmeSoit u la solution du problème variationnel (FVA). u est l’unique pointréalisant le minimum de la fonctionnelle J.Réciproquement, si u minimise J, alors u est l’unique solutionde (FVA).


Plan







Le Laplacien avec conditions de Dirichlet

Problème modèle

(LD)

−∆u = f dans Ω,

u = 0 sur Γ.

3 étapes1 Établir la formulation variationnelle (déjà fait)2 Existence et unicité de la solution3 Équivalence avec l’équation initiale : quel problème a-t-on résolu ?

.


Formulation variationnelle, énergie

Formulation variationnelle

(LDV)Trouver u ∈ H1

0 (Ω) tel que∫Ω

grad u. grad v dx =

∫Ω

f v dx , ∀v ∈ H10 (Ω).

a(u, v) =

∫Ω

grad u. grad v dx , L(v) =

∫Ω

f v dx

Énergie

J(u) =12

∫Ω|∇u|2 dx −

∫Ω

f u dx .


Existence et unicité (1)

Continuité de a

|a(w , v)| ≤∫

Ω|grad w | . |grad v | dx

≤ ‖grad w‖L2(Ω) ‖grad w‖L2(Ω) = ‖w‖H10 (Ω) ‖v‖H1

0 (Ω)

Continuité de L

|L(v)| ≤∫

Ω|f | |v | dx ≤ ‖f‖L2(Ω) ‖v‖L2(Ω) ≤ ‖f‖H1

0 (Ω) ‖v‖H10 (Ω) ,


Existence et unicité (2)

Hypothèse : Ω borné

Coercivité de a Immédiat à cause de Poincaré :

a(w , w) =

∫Ω|grad w |2 dx = ‖w‖2

H10 (Ω) .

Lax–Milgram OK

Théorème

Si Ω est borné, il existe une unique solution u ∈ H10 (Ω) de (LDV).

La solution faible de (LDV) réalise le minimum sur H10 (Ω) de J.


Équivalence avec l’équation

Démonstration avec l’hypothèse u ∈ H2(Ω) (régularité).Résultat vrai pour u ∈ H1

0 (Ω)

Formule de Green, avec v ∈ C∞0 (Ω) (dense dans H1

0 (Ω)) :∫Ω(∆u + f )v dx = 0, ∀v ∈ C∞

c (Ω).

C∞0 (Ω) dense dans H1

0 (Ω)) : −∆u = f dans L2(Ω), donc

−∆u = f presque partout dans Ω.

Théorème de trace : si Ω régulier, u = 0 presque partout sur Γ.


Problème de Neumann

(LNa)

−∆u + cu = f dans Ω,

∂u∂n

= g sur Γ., g ∈ L2(Γ), c > 0.

Multiplier par v ∈ H1(Ω), formule de Green∫Ω(−∆u + cu)v dx =

∫Ω(grad u grad v + cuv) dx −

∫Γ

∂u∂n

v dγ(x)

=

∫Ω(grad u grad v + cuv) dx −

∫Γ

gv dγ(x)

=

∫Ω

f v dx .


Formulation variationnelle, énergie


(LNV)Trouver u ∈ H1(Ω) tel que

a(u, v) = L(v), ∀v ∈ H1(Ω).

a(u, v) =

∫Ω(grad u grad v + c uv) dx , L(v) =

∫Ω

f v dx +

∫Γ

gv dγ(x).

Énergie

J(u) =12

∫Ω(|grad u|2 + c u2) dx −

∫Ω

f u dx −∫

Γgu dγ(x).


Existence et unicité de la solution faible

Continuité de a et de L : OK.

Coercivité de a

a(u, u) =

∫Ω|grad u|2 + c |u|2 dx ≥ min(1, c) ‖u‖2

H1(Ω) .

Théorème

Si c > 0, le problème LNV admet une unique solution faible u ∈ H1(Ω).

Différence avec Dirichlet : CL intervient dans la forme linéaire, pasdans la définition de l’espace V .

Que se passe-t-il si c = 0 (Neumann pur, voir plus loin) ?


Équivalence avec l’équation

Hypothèse : u ∈ H2(Ω), (⇒ ∂u∂n

∈ L2(Ω)). Formule de Green :

∫Ω(∆u − cu + f ) dx =

∫Γ

(g − ∂u

∂n

)v dγ(x), ∀v ∈ H1(Ω).

1 v ∈ C∞0 (Ω), densité : −∆u +c u = f dans L2(Ω), donc p.p. dans Ω.

2 v ∈ H1(Ω) :∫

Γ

(g − ∂u

∂n

)v dγ(x) = 0,

∂u∂n

= g pp sur Γ (densité).


Problème de Neumann pur

−∆u = f dans Ω,

∂u∂n

= g sur Γ.

Forme bilinéaire n’est pas coercive sur H1(Ω).

CN d’existence :∫

Ωf dx +

∫Γ

g dγ(x) = 0 (prendre v = 1). Solution

définie à une constante près.V =

v ∈ H1(Ω),

∫Ω v dx = 0

(fixe la constante).

a coercive sur V (admis)

ThéorèmeSi f et g vérifient la condition de compatibilité, le problème deNeumann « pur » admet une unique solution faible u ∈ V.


Problème scalaire général

Formulation forte − div (k∇u) = f dans Ω

u = 0 sur ΓD,

k∂u∂n

= g sur ΓN .


(SGV)Trouver u ∈ H1

D(Ω) tel que∫Ω

k(x) grad u gradv dx =

∫Ω

f v dx +

∫ΓN

gv dγ(x) ∀v ∈ H1D(Ω).

H1D(Ω) =

v ∈ H1(Ω), v = 0 surΓD

.


Existence et unicité de la solution faible (1)

Continuité de L L(v) =∫Ω f (x)v(x) dx +

∫Γ gv dγ(x).

|L(v)| ≤∫

Ω|f | |v | dx +

∫Γ|g| |v | dγ(x)

≤ ‖f‖L2(Ω) ‖v‖L2(Ω) + ‖g‖L2(Γ) ‖v‖H1(Ω)

(par le théorème de trace) ;

Continuité de a Cauchy-Schwarz dans Rd , puis dans H1(Ω) :

|a(u, v)| ≤ k∗∫

Ω|∇u| |∇v | dx ≤ k∗ ‖u‖H1(Ω) ‖v‖H1(Ω)

Coercivité de a a(u, u) =∫Ω |grad u|2 dx .

a(u, u) ≥ k∗

∫Ω|grad u|2 dx .


Existence et unicité de la solution faible (1)

Continuité de L L(v) =∫Ω f (x)v(x) dx +

∫Γ gv dγ(x).

|L(v)| ≤∫

Ω|f | |v | dx +

∫Γ|g| |v | dγ(x)

≤ ‖f‖L2(Ω) ‖v‖L2(Ω) + ‖g‖L2(Γ) ‖v‖H1(Ω)

(par le théorème de trace) ;Continuité de a Cauchy-Schwarz dans Rd , puis dans H1(Ω) :

|a(u, v)| ≤ k∗∫

Ω|∇u| |∇v | dx ≤ k∗ ‖u‖H1(Ω) ‖v‖H1(Ω)

Coercivité de a a(u, u) =∫Ω |grad u|2 dx .

a(u, u) ≥ k∗

∫Ω|grad u|2 dx .


Existence et unicité de la solution faible

UnicitéPar linéarité : (a(u, v) = 0, ∀v ∈ V ) ⇒ u = 0

Lemme

u →√∫

Ω |grad u|2 dx est une norme sur H1D(Ω)

Si∫Ω |grad u|2 dx = 0, u est constante sur Ω. Comme mes(ΓD) > 0,

u = 0 sur Ω.

Cette norme est équivalente à la norme de H1(Ω). Admis(raisonnement par l’absurde, compacité)

ThéorèmeSous les hypothèses ci-dessus, le problème (SGV) admet une uniquesolution faible u ∈ H1

0 (Ω).


Élasticité plane

Formulation forte− div σ(u) = f dans Ω,

u = 0 sur ΓD

σ(u) · n = g sur ΓN

, f ∈ L2(Ω)2, g ∈ L2(ΓN)3

σ(u) = 2µε(u) + λ Tr ε(u)I


V =

u ∈ H1(Ω)3, u = 0 sur ΓD

, fermé de H1(Ω)3.

(ELV)Trouver u ∈ V tel que∫

Ω2µ ε(u)ε(v) + λ div u div v dx =

∫Ω

f v dx +

∫ΓN

gv dγ(x), ∀v ∈ V ,


Unicité de la solution faible

a(u, u) ≥ 2µ

∫Ω|ε(u)|2 dx , (λ > 0)

Lemme (Mouvements de corps rigides)

Soit u un champ de déplacement vérifiant ε(u) = 0. Il existe deuxvecteurs a et b tels que ∀x, u(x) = a + b ∧ x.

Preuve‖ε(u)‖H1(Ω)3 définit une norme sur V : ‖ε(u)‖H1(Ω)3 = 0 ⇒ u = 0.D’après le lemme, ε(u) = 0 ⇒ u(x) = a + b ∧ x, maisu = 0 sur ΓD ⇒ a = b = 0.


Coercivité de la forme bilinéaire

a est coercive sur V × V .

Lemme (Inégalité de Korn)

Il existe une constante C > 0 telle que, pour v ∈ H1(Ω)3), on a

‖v‖H1(Ω) ≤ C(‖v‖L2(Ω)3 + ‖ε(v)‖L2(Ω)3

)PreuvePar l’absurde : Inégalité de Korn + compacité (mes(ΓD) > 0) :

∀v ∈ VD, ‖v‖H1(Ω)3 ≤ C ‖ε(v)‖H1(Ω)3 .

Théorème

Pour f ∈ L2(Ω)3, et g ∈ L2(ΓN)3 le problème variationnel (ELV) admetune solution unique u ∈ V.


Plan







Méthode d’approximation interne

Vh ⊂ V famille de sous-espace de dimension finie Nh.

Problème approché

(FVh) Trouver uh ∈ Vh, tel que a(uh, vh) = L(vh) pour tout vh ∈ Vh.

Lax–Milgram : il existe une unique solution approchée uh.

QuestionsComment choisir Vh ?

Comment calculer uh ?

Comment évaluer l’erreur ‖u − uh‖V ?


Le problème approché

Base de Vh : ϕ1, . . . , ϕNh , développement de uh,

uh =

Nh∑j=1

x jϕj .

Choix vh = ϕi dans (FVh) :

a

Nh∑j=1

x jϕj , ϕi

= L(ϕi), i = 1, . . . , Nh.

Système linéaire Ax = b, A est inversible

Aij = a(ϕj , ϕi

), bi = L(ϕi),


Approximation

Lemme (Orthogonalité)Soit u la solution exacte , et uh la solution approchée.

a(u − uh, vh) =, pour tout vh ∈ Vh.

(Preuve : Prendre v = vh ∈ Vh dans le problème exact).

Théorème (Lemme de Céa)

‖u − uh‖V ≤Mα

infvh∈Vh

‖u − vh‖V ,

M et α de Lax–Milgram.


Preuve du lemme de Céa

Démonstration.Fixons vh ∈ Vh. D’après le lemme (uh − vh ∈ Vh.)

a(u − uh, u − uh) = a(u − uh, u − vh),

Coercivité de a α ‖u − uh‖2V ≤ a(u − uh, u − uh),

Continuité de a a(u − uh, u − vh) ≤ M ‖u − uh‖V ‖u − vh‖V .

∀vh ∈ Vh, ‖u − uh‖2V ≤

1α

a(u − uh, u − uh) ≤Mα‖u − uh‖V ‖u − vh‖V .


Cas où a est symétrique

Norme de l’énergieLa forme bilinéaire définit un produit scalaire sur V . La norme del’énergie ‖u‖e =

√a(u, u) est équivalente à la norme de V .

a–orthogonalitéL’erreur est a-orthogonale à l’espace approché vh, la solutionapprochée est la projection sur Vh de la solution exacte.

Estimation de l’erreur

‖u − uh‖V ≤√

Mα

infvh∈Vh

‖u − vh‖V .


Stratégie d’estimation de l’erreur

Lemme de Céa : estimation d’erreur ramenée à l’approximation de Vpar Vh.w ∈ V −→ wh ∈ Vh tq ‖w − wh‖V peut être « facilement » estimée.

‖u − uh‖V ≤ C ‖w − wh‖V .

ThéorèmeOn suppose qu’il existe un sous-espace V ⊂ V dense dans V , et unopérateur rh : V → V, tel que

∀v ∈ V, limh→0

‖v − rh(v)‖V = 0.

Alors la solution approchée converge vers la solution exacte quand htend vers 0 :

limh→0

‖u − uh‖V = 0


Deuxième partie II

Éléments finis


Plan


6 Éléments finis P1 en 2DEspaces d’éléments finis locauxEspaces d’approximation

7 Mise en oeuvreAssemblageMatrices élémentairesConditions aux limites

8 Présentation généraleÉléments finis : présentation généraleQuelques éléments


Plan






Problème modèle

Ω ouvert (connexe) polygonal de R2, ΓD et ΓN une partition de Γ,

Formulation forte − div (k∇u) = f dans Ω

u = 0 sur ΓD,

k∂u∂n

= g sur ΓN .


Trouver u ∈ V , tel que∫

Ωk ∇u·∇v dx =

∫Ω

f v dx+

∫ΓN

gv dγ(x), ∀v ∈ H1D(Ω)

V = H1D(Ω) =

v ∈ H1(Ω), v = 0 sur ΓD

.


Plan






L’élément fini P1

P1 = p ∈ R[X , Y ], p(x , y) = a + bx + cy .

ThéorèmeIl existe un unique polynôme de P1

prenant des valeurs fixées aux sommetsde K .

Système linéairea + bxi + cyi = fi , i = 1, 2, 3 A1

A2

A3

Déterminant ∆ =

∣∣∣∣∣∣1 x1 y1

1 x2 y2

1 x3 y3

∣∣∣∣∣∣ égal à la surface du triangle

DéfinitionA1, A2, A3 est P1–unisolvant


Coordonnées barycentriques

λi : unique fonction de P1 tq λi(Aj) = δij , p =∑3

i=1 p(Ai)λi .

Définitionλi s’appellent des coorodonnées barycentriques sur le triangle K .

λ1x1 +λ2x2 +λ3x3 =x ,

λ1y1 +λ2y2 +λ3y3 =y ,

λ1 +λ2 +λ3 =1.

ExempleCoté A1A2 du triangle : λ3(P) = 0

Droite passant par les milieux deA1A2 et A2A3 : λ2 = 1/2

Centre de gravité (1/3, 1/3, 1/3).

λi(P) est l’aire du triangle PAjAk

A2 A3

A1

P

λ1

λ3

λ2


Triangulation

Définition

Triangulation (maillage ) d’un ouvert polygonal Ω ⊂ R2 : ensemble Th

de triangles (Ki)1≤i≤n vérifiant1 Ki ⊂ Ω et Ω = ∪1≤i≤nKi ;2 Ki ∩ Kj est soit vide soit réduite à un sommet commun, soit la

totalité d’une arète commune.

noeud du maillage : sommets des triangles de Th.

Situations Interdites


Exemple de maillage


Espace d’approximation

Vh =

vh ∈ C0(Ω), vh|K ∈ P1, ∀K ∈ Th

,

VDh = vh ∈ Vh, vh = 0 sur ΓD .

Les fonctions de Vh sont

affines sur chaque triangle de Th ;

globalement continues.

Les fonctions de VDh sont nulles sur ΓD.

Théorème

Vh est une approximation interne de H1(Ω) : Vh ⊂ H1(Ω).VDh est une approximation interne de H1

D(Ω).


Preuve du théorème

Montrer que v ∈ Vh a une dérivée faible dans L2(Ω).

Soit w ∈ L2(Ω), wj |K =

(∂v∂xj

)|K

. Formule de Green, ϕ ∈ C∞0 (Ω)∫

Ωv(x)

∂ϕ

∂xjdx =

∑K∈Th

∫K

v(x)∂ϕ

∂xjdx

=∑

K∈Th

(−∫

K

∂v∂xj

(x)ϕ(x) dx +

∫∂K

ϕ(x)v(x)nK ,j dγ(x)

)

v continue sur Ω, K1 ∩ K2 = L, v|K1= v|K2

sur L, et nK1 = −nK2 .∫Ω

v(x)∂ϕ

∂xjdx = −

∫Ω

ϕ(x)wj(x) dx +∑

L

∫L(v|K1

− v|K2)ϕnK1,j dγ(x)

= −∫

Ωϕ(x)wj(x) dx ,

donc∂v∂xj

= wj ∈ L2(Ω).


Preuve du théorème

Montrer que v ∈ Vh a une dérivée faible dans L2(Ω).

Soit w ∈ L2(Ω), wj |K =

(∂v∂xj

)|K

. Formule de Green, ϕ ∈ C∞0 (Ω)∫

Ωv(x)

∂ϕ

∂xjdx =

∑K∈Th

∫K

v(x)∂ϕ

∂xjdx

=∑

K∈Th

(−∫

K

∂v∂xj

(x)ϕ(x) dx +

∫∂K

ϕ(x)v(x)nK ,j dγ(x)

)v continue sur Ω, K1 ∩ K2 = L, v|K1

= v|K2sur L, et nK1 = −nK2 .∫

Ωv(x)

∂ϕ

∂xjdx = −

∫Ω

ϕ(x)wj(x) dx +∑

L

∫L(v|K1

− v|K2)ϕnK1,j dγ(x)

= −∫

Ωϕ(x)wj(x) dx ,

donc∂v∂xj

= wj ∈ L2(Ω).


Base de Vh (1)

Définitionϕi fonction de base associéeau sommet ai :

ϕi(aj) = δij .

LemmeLa fonction ϕi est élément deVh.

Démonstration.ϕi bien définie (unisolvance).ϕi continue : L = K ∩ K ′ arète. ϕi |K et ϕi |K ′ affines sur L, égales auxextrémités.


Base de Vh (2)

Ns nombre de sommets de Th, NDs nombre de sommets non–situés sur

ΓD.

ThéorèmeL’ensemble (ϕi)1≤i≤Ns forme une base de Vh.L’ensemble (ϕi)1≤i≤ND

sforme une base de VDh.

v(x) =Ns∑i=1

v(ai)ϕi(x),

V (ai) degré de liberté associé à ai .

Support de ϕi = union des triangles ayant le noeud ai pour sommet.


Problème approché

On cherche uh =∑ND

sj=1 x jϕj , x j = uh(aj),∫

Ωk ∇uh · ∇vh dx =

∫Ω

f vh dx +

∫ΓN

gvh dγ(x), ∀vh ∈ V Dh .

Système linéaire Ax = b,

Aij =

∫Ω

k ∇ϕi · ∇ϕj dx

bi =

∫Ω

f (x)ϕi(x) dx +

∫∂Ω

g(x)ϕi(x) dγ(x)


Propriétés de la matrice A

Symétrique Aij = Aji

Définie positive uh =∑ND

si=1 xjϕj , xT Ax = a(uh, uh) > 0

Creuse Aij non–nul seulement si ai et aj appartiennent à unmême élément.

A s’appelle la matrice de rigidité

Aij =∑

K∈Th

∫K

k(x)∇ϕi(x)∇ϕj(x) dx

bi =∑

K∈Th

∫K

f (x)ϕi(x) dx +∑

K∈Th

∫K∩∂Ω

g(x)ϕi(x) dγ(x),


Plan






Assemblage du système linéaire (1)

Algorithme « naturel » trop cher.for j = 1 : Nd

s dofor i = 1 : Nd

s do

Aij =∑

K∈Th

∫K

k(x)∇ϕi(x)∇ϕj(x) dx

end forend for

Description du maillage (topologie) : table de connectivitéNumSom(Ne, 3),NumSom(e, l) = le noeud de l’élément e.Sur l’élément K l , la fonction de base locale λe est la restriction à K l dela fonction de base ϕNumSom(e,l).Illustrer passage local global


Assemblage du système linéaire (2)

for K ∈ Th dofor e = 1 : 3 do

i = NumSom(e, l)for f = 1 : 3 do

j = NumSom(f , l)

Aij = Aij +

∫K

k(x)∇λe(x)∇λf (x) dx

end forbi = bi +

∫K

f (x)λe(x) dx +

∫K∩∂Ω

g(x)λe(x) dγ(x)

end forend for


Compléments sur l’assemblage

RemarqueA n’est pas stockée comme une matrice pleine (cf. F. Feyel, vendredi) ;

RemarqueEn général, on ne peut pas calculer les intégrales exactement.Intégration numérique (cf plus loin, G. Cailletaux mardi AM) ;

RemarquePrendre en compte les conditions aux limites (cf plus loins).


Matrice et vecteur élémentatire

Matrice élémentaire

AKef =

∫K∇λf (x)T k(x)∇λe(x) dx , (e, f ) = 1, 2, 3,

Vecteur élémentaire

BKe =

∫K

f (x)λe(x) dx+

∫K∩∂Ω

g(x)λe(x) dγ(x), e = 1, 2, 3.


Élément de référence

Â2

Â3

FK

A1

A2

A3

Â1

K^

K

FK application affineAe → Ae, pour e = 1, 2, 3.BK matrice associée.

Calcul de AKef

Changement de variable x = F (x), jacobien = |det(B)|.Transformation du gradient : λe(x) = λe(x) (λe = λe FK ),

∇λe(x) = B−T∇λe(x).

AKef = |det(B)|

∫K

k(x)∇λTf (BT B)−1∇λe(x)(x) dx .


Intégration numérique

Fonction ϕ continue sur K , une formule de quadrature sur K

I =

∫K

ϕ(x) dx ≈Q∑

q=1

ωqϕ(bq),

avec des poids ωq > 0 ∈ R et des noeuds de quadrature bq ∈ K .

ExempleIntégration aux sommets : ∫

Kϕ(x) dx ≈ 1

6

3∑q=1

ϕ(Aq);

Intégration au barycentre : ∫K

ϕ(x) dx ≈ 12ϕ

(13

3∑i=1

Ai

).


Problème de Dirichlet non-homogène

Comment constuire un relèvement : fonction ug ∈ H1(Ω) telle queug = g sur ∂Ω ?gi les valeurs de g aux sommets situés sur ∂Ω. Il existe une uniquefonction ugh ∈ Vh définie par

ughi =

gi si i est un noeud du bord,

0 sinon.

Relèvement de g seulement aux sommets du bord.

uh ∈ VDgh = vh ∈ Vh, vhi = gi en tous les noeuds de ∂ΩD .


Modification du système linéaire

Partitionner les degrés de libertés

uI DDL sur Ω ∩ ∂ΩN ;

uII DDl sur ∂ΩD.

Système assemblé (AII AIB

ABI ABB

)(xI

xB

)=

(bI

bB

)On veut AII xI = bI . Remplacer par (conserve la symétrie)(

AII 00 I

)(xI

xB

)=

(bI − AIBgh

gh

).


Conditions aux limites (fin)

Deux étapes :1 Assemblage du système de Neumann (sans CL)2 Prise en compte des CL

les conditions de Neumann rajoutent des termes au secondmembre ;

les conditions de Robin modifient les éléments de la matrice derigidité ;

les conditions de Dirichlet mènent à l’opération que nous venonsde détailler.


Plan






Définition d’un élément fini

DéfinitionUn élément fini de Lagrange est un triplet (K , P,Σ) où

K est un élément géométrique (triangle, rectangle, tétraèdre,parallélipipède, prisme, ...) ;

P est un espace de polynômes ;

Σ = A1, . . . , AL est un ensemble de points de K .

Unisolvance : Pour tout (f1, . . . , fL) ∈ RL, il existe un unique p ∈ P telque

p(Al) = fl , ∀l = 1, . . . , L.


Espace d’approximation

Triangulation Comme précédemment.

Définition

Vh =

v ∈ C0, v|K ∈ P,∀K ∈ T h

Théorème

Vh est un sous–espace de H1(Ω)

(Même démonstration que pour l’élément P1).


Triangle quadratique

Polynomes P2 =

a + bx + cy + dx2 + ey2 + fxy

, dimension 6.

1

A2

A3

A

A6

A4

A5

Fonctions de forme

λi(x)λj(x), 1 ≤ i , j ≤ 3,

λi(2λi(x)− 1), 1 ≤ i ≤ 3.

Élément de classe C0.


Éléments de degré 1 sur des rectangles

Élément Q1 = p(x , y) = a + bx + cy + dxy, dimension 4.

Fonctions de forme, sur [−1, 1] ×[−1, 1]

(1− x)(1− y), x , y , xy

Élément de classe C0.


Éléments de degré 2 sur des rectangles

Élément Q2 =p(x , y) = a + bx + cy + dxy + ex2 + fy2 + gx2y + hxy2 + ix2y2

,

dimension 9.

Fonctions de forme, sur [−1, 1] ×[−1, 1]

14

(1− x)(1− y)xy , −14

(1 + x)(1− y)xy ,

−14

(1− x)(1− y)xy ,14

(1 + x)(1 + y)xy ,

−12

(1− x2)(1− y)y ,12

(1 + x)(1− y2)x ,

−12

(1− x2)(1 + y)y ,12

(1− x)(1− y2)x ,

(1− x2)(1− y2)

Élément de classe C0.M. Kern (INRIA) Éléments finis ENSMP S3733 / S3725 92 / 112

Troisième partie III

Convergence : théorie et exemples numériques


Plan





Stratégie de l’étude de convergence

Rappel : Lemme de Céa, u solution exacte, uh solution approchée

‖u − uh‖H1(Ω) ≤ infvh∈Vh

‖u − vh‖H1(Ω) .

Problème d’approximation dans H1(Ω) : approcher v ∈ H1(Ω) parvh ∈ Vh.Comme ‖v − vh‖H1(Ω) =

∑K∈Th

‖v − vh‖H1(K ), approximation locale.Choix de vh : interpolation.

Erreur « naturelle » en norme H1(Ω) : erreur sur le gradient. Pourl’erreur L2(Ω), besoin d’un argument supplémentaire.


L’opérateur d’interpolation local

Définition(K , P,Σ) élément fini, fonctions de forme N1, . . . , NL. Opérateurd’interpolation sur K :

IK :

∣∣∣∣∣C0(K ) → P

v → IK (v) =∑L

l=1 v(Al) Nl .

Bien défini (unisolvance).


Géométrie des éléments

Diamètre de K hK , plus grande distanceentre deux points de K .

Rondeur de K ρK , diamètre du plusgrand cercle inscrit dans K

diam(K)

ρ(K)

Rapport hK /ρK mesure « l’aplatissement » de K .

Éviter les triangles applatis


Famille affine d’éléments finis

Définition

Deux éléments finis (K , PK ,ΣK ) et K , P, Σ) sont affine équivalents ssiil existe FK : K → K affine (Tk (x) = Bk x + dK ) tel que :

K = TK (K ) ;

PK =

p = p T−1K , p ∈ P

(p(x) = p(x), si x = TK (x)) ;

ΣK =

TK (Al), Al ∈ Σ, l = 1, . . . , L

.

Théorème

Si K est K sont affine équivalents :

det(BK ) =mes(K )

mes(K ), ‖BK‖ ≤

hK

ρbK ,∥∥∥B−1

K

∥∥∥ ≤ hbKρK


Opérateur d’interpolation global

Défini seulement pour des fonctions régulières (continues).

DéfinitionL’opérateur d’interpolation Ih global sur Ω :

Ih :

∣∣∣∣∣C0(Ω) → Vh

v → Ih(v).

∀K ∈ Th, (Ihv)|K = IK (vK ).

Majorer ‖v − Ihv‖H1(Ω)


Plan





Théorème principal

DéfinitionUne famille de triangulations est régulière s’il existe σ0 > 0 telle que

∀h,∀K ∈ Th,hK

ρK≤ σ0.

Théorème

Soit T h une famille régulière de maillages affines. Soit (K , P, Σ) unélément fini de Lagrange, avec Pk ⊂ P, k ≥ 1. Soit l = min(k , s − 1).

limh→0

‖u − uh‖H1(Ω) = 0.

Si u ∈ Hs(Ω), il existe C > 0 telle que

∀h, ‖u − uh‖H1(Ω) ≤ Chl |u|H l+1(Ω) .


Commentaires

Exemple

k = 1, si u ∈ H2(Ω), convergence en O(h).

k = 2, si u ∈ H3(Ω), convergence en O(h2).

RemarqueEstimation optimale si s = k + 1. Inutile d’approcher avec un ordreélevé une solution non–régulière.

Remarque (Estimation L2)Pour un problème de Dirichlet sur un domaine convexe,

∀h, ‖u − uh‖L2Ω) ≤ Chl+1 |u|H l+1(Ω) .


Principe de la démonstration

1 Lemme de Céa, il suffit d’estimer ‖v − Ihv‖H1(Ω), pour u ∈ H2(Ω)

(⊂ C0(Ω) en dimensions 2 et 3).

2 ‖v − Ihv‖H1(Ω) ≤∑

K∈Th‖v − IK v‖H1(K ), problème local.

3 Passer sur l’élément de référence K , et majorer∥∥v − IbK v

∥∥H1(bK )

Lemme

Il existe C > 0, tq pour 0 ≤ m ≤ l + 1, on ait, pour tout v ∈ H l+1(K ),

|w − IK w |Hm(K ) ≤ Chl+1−mK

(hK

ρK

)m

|w |H l+1(K )


Erreur d’interpolation locale

Passage à l’élément de référence

w = w TK . Il existe C > 0 tq

∀K ∈ Th, ∀w ∈ H2(K ),

∣∣w∣∣Hm(bK )

≤ C ‖BK‖m |det(BK )|−1/2 |w |Hm(K ) ,

|w |Hm(K ) ≤ C∥∥∥B−1

K

∥∥∥m|det(BK )|1/2 ∣∣w∣∣Hm(bK )

.

Estimation sur l’élément de référenceIl existe C > 0 tel que, pour 0 ≤ m ≤ l + 1, on ait

∀w ∈ H l+1(K ),∣∣w − IbK w

∣∣Hm(bK )

≤ C∣∣w∣∣H l+1(bK )

.

Rappel :∣∣w∣∣H2(bK )

=

∫bK(∣∣∣∣∂2w

∂x2

∣∣∣∣+ ∣∣∣∣∂2w∂y2

∣∣∣∣+ ∣∣∣∣ ∂2w∂x∂y

∣∣∣∣) dx .


Plan





Exemple régulier

Problème modèle, Ω =]0, 1[×]0, 1[.−∆u = f dans Ω

u = 0 sur Γ

Solution u = sin(ax) cos(ay), a = 6.28, ou a = 12.56.

h 1/10 1/20 1/40 1/80Erreur L2 2.42 10−5 6.02 10−6 1.50504 10−6 3.76 10−7

Erreur H1 0.162 0.0421 0.011 0.0027


Exemple avec régularité variable

Même problème, solution exacte

u(x , y) =(

x2 + y2)α

2 . u ∈

H1(Ω) si 0 < α ≤ 1

H2(Ω) si 1 < α ≤ 2

H3(Ω) si 2 < α ≤ 3.IsoValue-0.06258980.03129490.09388480.1564750.2190640.2816540.3442440.4068340.4694240.5320140.5946040.6571930.7197830.7823730.8449630.9075530.9701431.032731.095321.2518

Solution n=40 alpha=0.5

IsoValue-0.125180.06258980.187770.3129490.4381290.5633090.6884880.8136680.9388481.064031.189211.314391.439571.564751.689931.815111.940292.065462.190642.50359

Solution n=40 alpha=2.5


Erreur en fonction de la régularité

-210

-110

-710

-610

-510

-410

-310

-210

Erreurs en normes H1 et L2

a=0.5, L2

a=1.5, L2

a=2.5,L2

a=0.5, H1

a=1.5, H1

a=2.5, H1

Approximation des pentesα = 0.5 α = 1.5 α = 2.5

Erreur L2 1.74 1.93 1.98Erreur H1 0.50 1.45 1.95


Erreur en fonction de la régularité, approximation P2

-210

-110

-1010

-910

-810

-710

-610

-510

-410

-310

-210

Erreur, approximation P2

h

Erreur

a=0.5, L2a=1.5, L2a=2.5, L2

a=0.5, H1a=1.5, H1a=2.5, H1

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+++++

++

++

+

+

+


Éléments finis aspects...

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