MUNIR MOHAMED KASSAB

LOCALIZAO DE MODOS DE VIBRAO EM PAINIS MODULADOS DE LAJES PROTENDIDAS

Tese apresentada Escola

Politcnica da Universidade de

So Paulo para a obteno do

Ttulo de Doutor em Engenharia

So Paulo

2009

MUNIR MOHAMED KASSAB

LOCALIZAO DE MODOS DE VIBRAO EM PAINIS MODULADOS DE LAJES PROTENDIDAS

Tese apresentada Escola Politcnica da Universidade de So Paulo para a obteno do Ttulo de Doutor em Engenharia

rea de Concentrao Engenharia de Estruturas

Orientador: Prof. Doutor Reyolando M. L. R. F. Brasil

So Paulo

2009

FICHA CATALOGRFICA

Kassab, Munir Mohamed Localizao de modos de vibrao em painis modulados

de lajes protendidas / M.M. Kassab. -- So Paulo, 2009. 158 p.

Tese (Doutorado) - Escola Politcnica da Universidade de So Paulo. Departamento de Engenharia de Estruturas e geotcnica.

1. Dinmica das estruturas 2. Mtodo dos elementos finitos 3. Placas (Teoria) 4. Matlab I.Universidade de So Paulo. Escola Politcnica. Departamento de Engenharia de Estruturas e Geotcnica II. t.

Kassab, Munir Mohamed Localizao de modos de vibrao em painis modulados

de lajes protendidas / M.M. Kassab. -- So Paulo, 2009. 158 p.

Tese (Doutorado) - Escola Politcnica da Universidade de So Paulo. Departamento de Engenharia de Estruturas e geotcnica.

1. Dinmica das estruturas 2. Mtodo dos elementos finitos 3. Placas (Teoria) 4. Matlab I.Universidade de So Paulo. Escola Politcnica. Departamento de Engenharia de Estruturas e Geotcnica II. t.

Aos meus pais, Mohamed Y. Kassab

Virgnia F. de Souza Kassab.

A Deus responsvel maior pela fora e coragem para enfrentar todas as dificuldades ao longo destes anos, sempre me amparando em todos os momentos difceis da vida.

Ao Prof. Dr. Reyolando Manoel Lopes Rebello da Fonseca Brasil, pela valiosa orientao na realizao deste trabalho, segurana, dedicao e tambm pela confiana depositada em mim.

Aos Professores do Departamento de Estruturas e Construo Civil da UFMS, Drs. Joo Pedro S. Zardo e Lauro Bulatty, pelo incentivo, amizade e recomendaes, acreditando sempre que este sonho se tornaria uma realidade.

Ao amigo e Professor do curso de Engenharia Eltrica da UFMS, Dr. Luigi Galloto Jnior, pelos ensinamentos necessrios ao aprendizado da linguagem de programao computacional.

Elisa minha esposa pelo apoio, convivncia, compreenso e pacincia ao longo do desenvolvimento deste trabalho.

minha irm Dra. Njla M. Kassab e seu esposo Dr. Marcos S. do Amaral pelo apoio e incentivo iniciais.

Ao amigo Ortopedista Dr. Roberto Antoniolli da Silva, pelos cuidados mdicos dispensados.

A todos os demais colegas do curso de doutorado, em especial aos companheiros de turma Andr Maus Pereira Brabo, Jorge Sal Suaznbar Velarde e Paulo de S Pereira Cavalcanti, que de forma direta ou indireta, contriburam nesta caminhada.

A CAPES Coordenao de Aperfeioamento de Pessoal de Nvel Superior pelo apoio financeiro ao trabalho.

Resumo

Nesta pesquisa, estuda-se o fenmeno de localizao de modos de vibrao em estruturas moduladas quase peridicas de comportamento linear e no-linear. Em particular, contempla-se uma aplicao na Engenharia Civil, os painis de placas peridicos com pequenas imperfeies fracamente acoplados entre si atravs de viga de grande rigidez, e principalmente submetidos variao de foras de membrana introduzidas por meio da protenso, o que s pode ser levado em conta introduzindo a rigidez geomtrica no modelo matemtico.

No caso de sistemas lineares, a presena de pequenas desordens nas caractersticas de rigidez ou massa de subsistemas fracamente acoplados pode causar confinamento espacial nas vibraes livres, conhecido como Localizao de Modos, e pode inibir a propagao da resposta forada. o que tem sido mostrado na literatura tcnica, em especial nas reas de Engenharia Mecnica e Aeroespacial.

Os efeitos de localizao sero obtidos numa perspectiva modal. O programa de elementos finitos DYMPLATE implementado pelo autor para anlise dinmica no-linear de estruturas de placas, ser utilizado para modelar estruturas peridicas (ordenadas) e quase peridicas (desordenadas). Os modelos so linearizados em torno de configuraes deformadas de referncia. O problema algbrico de autovalores resolvido para obter as freqncias naturais e correspondentes modos de vibrao.

Estruturas planas constitudas por placas protendidas com mdulos repetidos, pequenas imperfeies e diferentes condies de apoio e de carregamento, sero utilizadas na investigao numrica da influncia de diversos fatores na Localizao de Modos, em especial as foras de membrana.

Abstract

In this research, the phenomenon of vibration modes localization in nearly periodic modular structures of linear and nonlinear behavior is studied. Of special interest is an application in Civil Engineering, lightly coupled periodic plate panels with small imperfections, mainly submitted to the variation of membrane forces introduced by prestress forces, which can be only considered by introducing geometric stiffness in the mathematical model.

In the linear case, the presence of small disorders in the stiffness or mass characteristics of lightly coupled sub-systems can cause spatial confinement of free vibrations, known as Mode Localization, and can inhibit the propagation of the forced response. That is what has been shown in the literature, especially in the areas of Mechanical and Aerospace Engineering.

The effects of localization are viewed from a modal perspective. DYMPLATE, a finite element software implemented by the author for nonlinear dynamic analysis of plates, will be utilized to model ordered and disordered plate periodic structures. The models are linearized about a deformed reference configuration. The algebraic eigenvalue problem is solved to obtain the natural frequencies and corresponding modes shapes.

Plane structures constituted by prestressed plates with repetitive dynamic characteristics, small imperfections and different boundary conditions and loads, will be utilized in the numerical investigation of the influence of numerous factors in the Mode Localization.

Lista de Figuras

Figura 3.1 Modelo de um sistema quase peridico de n lajes acopladas. ............................. 32

Figura 3.2 Exemplo de um painel de lajes acopladas a vigas intermedirias........................ 37

Figura 4.1 Equilbrio dinmico de um elemento de chapa. ................................................... 39

Figura 4.2 Domnio da chapa. ............................................................................................... 42

Figura 4.3 Foras cortantes (por unidade de comprimento).................................................. 43

Figura 4.4 Momentos fletores e de toro (por unidade de comprimento). .......................... 44

Figura 4.5 Corte transversal placa. ..................................................................................... 44

Figura 4.6 Domnio da placa. ................................................................................................ 49

Figura 5.1 Fluxograma de anlise dinmica pelo mtodo dos elementos finitos. ................. 76

Figura 5.2 Fluxograma bsico do programa computacional. ................................................ 79

Figura 5.3 Interface grfica principal do programa computacional. ..................................... 85

Figura 5.4 Interface grfica Placas com destaque para os menus drop down................ 87

Figura 5.5 Janela com exemplos de arquivos Inputs j modelados. .................................. 88

Figura 5.6 Interface grfica Resultados em Primeira Ordem............................................. 89

Figura 5.7 Interface grfica Resultados em Segunda Ordem............................................. 90

Figura 5.8 Interface grfica Dinmica em Primeira Ordem............................................... 91

Figura 5.9 Interface grfica Dinmica em Segunda Ordem............................................... 92

Figura 5.10 Interface grfica Desenhar Placas................................................................... 93

Figura 5.11 Interface grfica Malha Indeformada. ............................................................ 94

Figura 5.12 Interface grfica Malha Deformada................................................................ 95

Figura 6.1 Modelo de um sistema quase peridico de duas placas acopladas a uma mola de

rigidez rotacional k. .................................................................................................................. 96

Figura 6.2 Perspectiva do modelo fsico real do painel de placas acopladas. ....................... 97

Figura 6.3 Modelo estrutural simplificado do painel formado por duas placas. ................... 98

Figura 6.4 Vista em planta do painel formado por duas placas............................................. 98

Figura 6.5 Freqncias naturais versus grau de desordem na espessura. ............................ 100

Figura 6.6 Freqncias naturais versus grau de desordem na rigidez flexional. ................. 101

Figura 6.7 Freqncias naturais versus grau de desordem na massa especfica.................. 103

Figura 6.8 Freqncias naturais versus grau de desordem na fora de protenso............... 105

Figura 6.9 Primeiro modo de vibrao das placas com espessuras iguais. ......................... 106

Figura 6.10 Primeiro modo de vibrao das placas com desordens na espessura............... 107

Figura 6.11 Segundo modo de vibrao do sistema com espessuras iguais........................ 107

Figura 6.12 Segundo modo de vibrao do sistema com desordens na espessura. ............. 108

Figura 6.13 Primeiro modo de vibrao do painel com foras de protenso iguais............ 109

Figura 6.14 Primeiro modo de vibrao do painel com foras de protenso diferentes...... 110

Figura 6.15 Segundo modo de vibrao do painel com foras de protenso iguais............ 110

Figura 6.16 Segundo modo de vibrao do painel com foras de protenso diferentes...... 111

Figura 6.17 Modelo de um sistema quase peridico de quatro placas alinhadas na direo

longitudinal e acopladas a molas de rigidez rotacional k.................................................... 112

Figura 6.18 Modelo fsico real do painel formado por quatro placas alinhadas. ................ 112

Figura 6.19 Modelo estrutural simplificado do painel com quatro placas acopladas.......... 113

Figura 6.20 Vista em planta do painel formado por quatro placas alinhadas...................... 113

Figura 6.21 Primeiro modo de vibrao das placas com espessuras iguais. ....................... 115

Figura 6.22 Primeiro modo de vibrao das placas com desordens nas espessuras............ 115

Figura 6.23 Segundo modo de vibrao do sistema com espessuras iguais........................ 116

Figura 6.24 Segundo modo de vibrao do sistema com desordens nas espessuras. .......... 116

Figura 6.25 Primeiro modo de vibrao do sistema de placas com protenso ordenada. ... 118

Figura 6.26 Primeiro modo de vibrao do sistema com desordens na protenso.............. 118

Figura 6.27 Segundo modo de vibrao do sistema de placas com protenso ordenada. ... 119

Figura 6.28 Segundo modo de vibrao do sistema com desordens na protenso.............. 119

Figura 6.29 Modelo fsico real do painel formado por quatro placas acopladas................. 120

Figura 6.30 Modelo estrutural simplificado do painel com quatro placas. ......................... 121

Figura 6.31 Vista em Planta do painel formado por quatro placas. .................................... 121

Figura 6.32 Primeiro modo de vibrao das placas com espessuras iguais. ....................... 123

Figura 6.33 Primeiro modo de vibrao das placas com desordens nas espessuras............ 123

Figura 6.34 Segundo modo de vibrao das placas com espessuras iguais. ....................... 124

Figura 6.35 Segundo modo de vibrao das placas com desordens nas espessuras............ 124

Figura 6.36 Primeiro modo de vibrao do sistema de placas com protenso ordenada. ... 126

Figura 6.37 Primeiro modo de vibrao do sistema com desordens na protenso.............. 126

Figura 6.38 Segundo modo de vibrao do sistema de placas com protenso ordenada. ... 127

Figura 6.39 Segundo modo de vibrao do sistema com desordens na protenso.............. 127

Figura 7.1 Domnio e contorno C a duas dimenses............................................... 132

Lista de Tabelas

Tabela 6.1 Freqncias naturais versus grau de desordem na espessura............................... 99

Tabela 6.2 Freqncias naturais versus grau de desordem na rigidez flexional.................. 101

Tabela 6.3 Freqncias naturais versus grau de desordem na massa especfica. ................ 102

Tabela 6.4 Freqncias naturais versus grau de desordem na protenso. ........................... 104

Tabela 6.5 Freqncias naturais obtidas com desordens na espessura................................ 105

Tabela 6.6 Freqncias naturais de vibrao para o sistema ordenado. .............................. 106

Tabela 6.7 Freqncias naturais de vibrao com protenso ordenada.............................. 108

Tabela 6.8 Freqncias naturais obtidas com desordens na protenso................................ 109

Tabela 6.9 Freqncias naturais versus grau de desordem na espessura............................. 114

Tabela 6.10 Freqncias naturais versus graus de desordem protenso.............................. 117

Tabela 6.11 Freqncias naturais versus grau de desordem na espessura........................... 122

Tabela 6.12 Freqncias naturais versus grau de desordem na protenso. ......................... 125

Lista de Siglas e Softwares Utilizados

ADINA Automatic Dynamic Incremental Nonlinear Analysis

BASIC Beginners AllPurpose Symbolic Instruction Code

CAD Computer-Aided Design

CE Constraint Equations

CST Constant Strain Triangle

EXCEL Microsoft Office Professional Excel 2003

DYMPLATE Placas Dinmicas

FORTRAN FORrmula TRANslation

GUI Graphical User Interface

JAVA Linguagem de Programao Sun Micro systems

MATLAB Matrix Laboratory Release 7.5a (2007)

PASCAL Turbo Pascal Linguagem de programao procedural

WORD Microsoft Office Professional Word 2003

Lista de Smbolos

Letras Romanas Maisculas

,A B,C matrizes que dependem do vetor

dC contorno essencial da chapa (placa) C contorno natural da chapa (placa)

oC funes que garantem a continuidade dos deslocamentos considerados

1C funes que garantem a continuidade dos deslocamentos considerados e suas derivadas primeiras

D rigidez da placa flexo

E mdulo de elasticidade longitudinal

F , F ,Fx y zi i i foras nodais equivalentes para o sistema de eixos original

G matriz componente de 0K

H matriz componente de 0K

K matriz de rigidez secante

TK matriz de rigidez tangente poK matriz de rigidez de primeira ordem de chapa

Kbo matriz de rigidez de primeira ordem de placa

0K matriz de correo de coordenadas

K g matriz de rigidez geomtrica

Kbg matriz componente de K g

1 2 3, ,L L L coordenadas naturais ou locais do tringulo

PM matriz de massa de chapa

bM matriz de massa de placa

,x yi iM M momentos nodais equivalentes para o sistema de eixos

,n ntM M momento de flexo e toro por unidade de comprimento em C

,,x y xyM M M momentos fletores e de toro solicitantes

,,x y xyN N N foras de membrana no elemento infinitesimal

zP carga concentrada vertical

,,x y xyQ Q Q foras cortantes em planos perpendiculares ao plano indeformado da placa

Vn carga vertical de borda por unidade de comprimento em C

Vn carga vertical de borda conhecida por unidade de comprimentoC

,X Y foras de volume

,X Y foras de superfcie aplicadas em C

Letras Romanas Minsculas

a vetor de parmetros nodais pa vetor de parmetros nodais de chapa ba vetor de parmetros nodais de placa

f vetor de esforos nodais equivalentes pf vetor de esforos nodais equivalentes de chapa bf vetor de esforos nodais equivalentes de placa

h espessura da placa

n

normal externa ao contorno da placa

q carga transversal por unidade de rea

t

versor tangente ao contorno da placa

u , v , w deslocamentos dos pontos do plano mdio da placa

u , v , wi i i deslocamentos u , v , w do n i

x, y eixos originais

Letras Gregas Maisculas

funo de ponto contnua e derivvel

rea do tringulo

e rea do elemento e

funo de ponto contnua e derivvel

Somatrio estendida a todos os elementos finitos domnio da placa

e domnio do elemento e

Letras Gregas Minsculas

ngulo que a normal faz com o eixo x ngulo que a normal faz com o eixo y funo contnua e derivvel

i Funo de forma correspondente a ui e vi

xy distoro (deformao angular) ngulo de n e i

(contorno)

,x y alongamentos ou encurtamentos (deformaes lineares) em x e y , respectivamente

i funo de forma correspondente a yi

,x yi i rotaes do n i

coeficiente de Poisson

ei

vetor contendo as funes de forma , ,i i i para o n i do elemento e

i funo de forma correspondente a xi

i funo de forma correspondente a w i massa especfica

freqncia circular

Autovalor

Adimensional

Sumrio

Lista de Figuras .................................................................................................... i

Lista de Tabelas.................................................................................................. iv

Lista de Siglas e Softwares Utilizados ............................................................... v

Lista de Smbolos................................................................................................ vi

1 Introduo .................................................................................................... 1

1.1 Tema e Motivao .......................................................................................................... 3

1.2 Objetivos e Justificativas ................................................................................................ 5

1.3 Plano da Tese .................................................................................................................. 7

2 Pesquisa Bibliogrfica ............................................................................... 10

2.1 Localizao de Modos .................................................................................................. 10

2.2 Elementos Finitos para Modelagem No-Linear de Placas .......................................... 17

2.3 Lajes Protendidas.......................................................................................................... 19

2.4 Aspectos Histricos do Concreto Protendido ............................................................... 21

2.5 Sistemas de Protenso................................................................................................... 25

2.5.1 Protenso com Aderncia Inicial................................................................................ 25

2.5.2 Protenso com Aderncia Posterior ........................................................................... 26

2.5.3 Protenso sem Aderncia ........................................................................................... 26

3 Fundamentos Tericos .............................................................................. 28

3.1 Dinmica de Estruturas................................................................................................. 28

3.2 Localizao de Modos .................................................................................................. 32

4 Vibraes No-Lineares de Placas........................................................... 38

4.1 Introduo ..................................................................................................................... 38

4.2 Movimento no Plano..................................................................................................... 39

4.2.1 Equilbrio de Foras na Direo x .............................................................................. 40

4.2.2 Equilbrio de Foras na Direo y.............................................................................. 40

4.3 Equaes Constitutivas ................................................................................................. 40

4.4 Relaes Deformaes Deslocamentos ..................................................................... 41

4.5 Condies de Contorno................................................................................................. 42

4.6 Movimento na Transversal ........................................................................................... 43

4.7 Equilbrio de Foras na Direo Transversal Placa ................................................... 44

4.7.1 Equilbrio de Momentos em torno do eixo x.............................................................. 47

4.7.2 Equilbrio de Momentos em torno do eixo y.............................................................. 48

4.7.3 Condies de Contorno .............................................................................................. 49

4.7.4 Condies Iniciais ...................................................................................................... 51

4.8 SemiDiscretizao ...................................................................................................... 52

4.8.1 Introduo................................................................................................................... 52

4.9 Movimento no Plano..................................................................................................... 52

4.9.1 Mtodo dos Resduos Ponderados (Hiptese de Galerkin) ........................................ 52

4.9.2 Mtodo dos Elementos Finitos ................................................................................... 54

4.9.2.1 Formulao Matricial............................................................................................. 57

4.10 Movimento na Transversal ........................................................................................... 60

4.10.1 Mtodo dos Resduos Ponderados (Hiptese de Galerkin) ........................................ 60

4.10.2 Mtodo dos Elementos Finitos ................................................................................... 69

4.10.2.1 Formulao Matricial............................................................................................. 70

4.11 Matriz de Rigidez Secante ............................................................................................ 71

4.12 Matriz de Rigidez Tangente.......................................................................................... 72

5 Programa de Clculo Computacional ..................................................... 73

5.1 Consideraes Gerais sobre o Software MATLAB...................................................... 73

5.2 O Programa DYMPLATE ............................................................................................ 75

5.3 Arquivos de Inputs .................................................................................................... 80

5.4 Arquivo Elemento Triangular de chapa/placa........................................................... 82

5.5 Arquivo Anlise por Elementos Finitos em Primeira Ordem ................................... 83

5.6 Arquivo Anlise por Elementos Finitos em Segunda Ordem ................................... 84

5.7 Arquivo Placas .......................................................................................................... 85

5.8 Arquivo Resultados em Primeira Ordem .................................................................. 89

5.9 Arquivo Resultados em Segunda Ordem .................................................................. 90

5.10 Arquivo Dinmica em Primeira Ordem .................................................................... 91

5.11 Arquivo Dinmica em Segunda Ordem .................................................................... 92

5.12 Arquivo Desenhar Placas .......................................................................................... 93

5.13 Arquivo Desenha Malha Indeformada ...................................................................... 94

5.14 Arquivo Desenha Malha Deformada ........................................................................ 95

6 Estudos Numricos .................................................................................... 96

6.1 Painel formado por duas placas .................................................................................... 96

6.1.1 Exemplos numricos .................................................................................................. 97

6.1.2 Vibraes.................................................................................................................... 99

6.2 Painel formado por quatro placas alinhadas ............................................................... 112

6.3 Painel formado por quatro placas no alinhadas ........................................................ 120

7 Concluso ................................................................................................. 128

7.1 Concluses Finais ....................................................................................................... 128

7.2 Sugestes para Trabalhos Futuros .............................................................................. 129

8 Anexo A .................................................................................................... 130

9 Anexo B..................................................................................................... 132

10 Anexo C .................................................................................................... 133

11 Referncias Bibliogrficas ...................................................................... 134

1

Captulo 1

1 Introduo Embora a teoria de Localizao seja bem estabelecida no estudo da Fsica do

Estado Slido, onde foi uma rea ativa de pesquisa durante os ltimos 40 anos, os fenmenos correspondentes em dinmica estrutural ainda so relativamente pouco estudados.

Uma razo para isto de ordem matemtica e no ser aqui detalhada.

Por outro lado, o que existe na literatura sobre o assunto se espalha por diversos peridicos cientficos que tratam de diferentes reas, portanto pouco especficos.

Conseqentemente, a maioria dos engenheiros que trabalham no campo da dinmica das estruturas, so pouco familiarizados com a teoria de Localizao de Modos e com os fenmenos relacionados, ficando freqentemente surpresos quando confrontam, pela primeira vez, com uma manifestao de localizao de modos num ensaio numrico ou experimental.

Sabe-se que pequenas divergncias de periodicidade em grandes estruturas de engenharia podem ter efeitos drsticos em suas propriedades dinmicas, levando localizao de vibrao, na qual esta confinada em certa regio, podendo nela causar um aumento na amplitude dessa vibrao.

A Localizao de Modos de Vibrao importante porque a resposta dinmica de um sistema desordenado pode ser consideravelmente maior do que de um sistema perfeito ou ordenado, conduzindo a nveis de vibraes mais altos e conseqentemente maiores tenses.

2

Alm disso, uma estrutura peridica pode ser desordenada de propsito de forma que o comportamento da localizao possa ser usado como um mecanismo de amortecimento. Embora desordem e dissipao ambos resultem em um decaimento de amplitude, a localizao e o mecanismo de amortecimento so intrinsecamente distintos. Na Localizao a energia de vibrao est confinada em uma pequena regio, enquanto que para o amortecedor a energia dissipada conforme ela se propaga.

A Localizao de Modos e o curve veering das freqncias so fenmeno relacionados a pequenas alteraes nas caractersticas dinmicas do sistema estrutural. Sua ocorrncia sugere que o sistema dinmico seja muito sensvel a certo parmetro estrutural. Deve ser dada ateno especial a essa significante sensibilidade.

As freqncias naturais (autovalores) e os modos de vibrao (autovetores) so as principais caractersticas dinmicas dos sistemas estruturais, ambos so funes da configurao geomtrica e das propriedades dos materiais utilizados nas estruturas.

Sendo assim, este trabalho procura apresentar o fenmeno de Localizao de Modos em dinmica de estruturas constitudas de mdulos com caractersticas lineares ou no lineares. Em particular, no campo da Engenharia Civil, estaremos contemplando aplicaes relativas a painis modulares de lajes protendidas, com imperfeies introduzidas, entre outras causas, por meio das foras de membrana.

3

1.1 Tema e Motivao

Nas diversas reas de abrangncia da Cincia da Engenharia, com aplicaes em Mecnica, Aeroespacial, Naval, Eltrica, Civil, etc., usual encontrarmos sistemas estruturais compostos de uma seqncia de mdulos, nominalmente iguais em suas caractersticas de rigidez, massa e carregamentos, acoplados entre si. Tais sistemas so denominados de uma forma imprecisa como estruturas peridicas. Citam-se, a seguir, alguns exemplos, para ilustrao:

as ps de turbinas constituem uma estrutura com periodicidade cclica levemente acoplada pelo rotor a que so elasticamente engastadas, os painis modulados de chapa fixados a longarinas e cavernas de veculos terrestres longos, como nibus, caso de embarcaes de superfcie e submarinas;

as linhas de transmisso de energia quando as distncias entre torres so aproximadamente iguais;

estruturas treliadas de todos os tipos, inclusive de plataforma espaciais, estruturas de edifcios altos em que os andares se repetem em grande nmero ao longo da altura, edifcios industriais compostos de estruturas aporticadas repetidas, pontes e viadutos de muitos tramos nominalmente iguais, painis de lajes modulados, edifcios repetidos, essencialmente iguais, levemente acoplados pelo solo sobre o qual esto fundados.

estruturas de aeronaves que supostamente possuem os lados esquerdo e direito idnticos ou simtricos, onde teoricamente seria necessrio analisar apenas um desses lados, so sempre assimtricas ou desordenadas pois defeitos construtivos na fabricao e na montagem fazem com que sejam de grande importncia prtica investigar os efeitos de vrios fatores de desordem na dinmica das aeronaves, como um todo.

Ao estudar o comportamento dinmico de tais sistemas, o engenheiro geralmente adota propriedades de rigidez, massa e amortecimento idnticas para os diversos segmentos. Tambm os carregamentos so considerados repetitivos. Os modos de vibrao resultantes desses modelos, idealizados so globais por natureza, sendo que respostas modais se estendem ao longo de toda a estrutura.

4

Entretanto nas estruturas reais, no h segmentos idnticos. Imperfeies construtivas, via de regra, geram pequenas variaes de natureza aleatria, nas propriedades estruturais. As magnitudes dessas diferenas entre os trechos so determinadas pela tolerncia de construo e variabilidade de carregamento.

medida que essas desordens crescem e o acoplamento entre os modos diminui em intensidade, h probabilidade de que os modos resultantes mudem expressivamente com relao ao do modelo idealizado. A resposta pode ficar confinada a alguns segmentos, ou mesmo a um s, em contraste com o caso ordenado em que ela se estende por toda a estrutura.

Este o denominado fenmeno de Localizao de Modos de Vibrao. O grau e a natureza das imperfeies determinam se essas localizaes so benficas como um mecanismo de amortecimento, ou catastrfica, quando leva a solicitaes excessivas ou perda de estabilidade.

Surge de pronto, a promissora idia de imposio proposital de desordem nesses sistemas como uma forma de controle passivo de vibraes nos mesmos. Eles seriam uma das mais simples formas do que se convenciona chamar estruturas inteligentes.

Recentemente, no estudo dos chamados Modos de Vibrar No-Lineares de sistemas que exibem no-linearidades importantes, a possibilidade de bifurcaes leva ao aparecimento de um fenmeno semelhante de localizao de vibraes a uma regio restrita da estrutura, mesmo que esta esteja isenta de imperfeies e que exista acoplamento de monta entre os subsistemas.

Dessa forma, a principal motivao para a escolha do tema, consiste no estudo do fenmeno da Localizao de Modos na dinmica de estruturas quase peridicas de comportamento linear ou no-linear (linearizadas em torno de uma configurao deformada de referncia), tais como as estruturas planas de painis de placas protendidas, de modo que venha futuramente utilizar o fenmeno como elemento de controle de vibraes.

5

1.2 Objetivos e Justificativas

Os principais objetivos a que se prope esta Tese so, em suma: levantar o estado da arte do assunto tratado; deduzir os elementos da mecnica das estruturas pertinentes ao problema e

apresentar os recursos numricos necessrios s anlises linearizadas e no-linearizadas que se apresentam;

caracterizar o fenmeno da localizao de modos de vibrar em estruturas peridicas e quase peridicas;

incorporar ao problema o conceito de estado de carregamento de referncia como fonte de perturbao da rigidez, o que s pode ser feito via uma teoria geometricamente no-linear para obteno da matriz tangente nessa configurao deformada, a ser utilizada na determinao dos modos;

elaborar um programa de clculo computacional implementado para aplicaes do Mtodo dos Elementos Finitos, para anlise esttica ou dinmica de estruturas de placas de comportamento linear e no-linear, tendo por base o desenvolvimento das equaes pertinentes ao problema;

apresentar exemplos relacionados engenharia de estruturas civis tais como painis de lajes protendidos inicialmente idnticas e com diferentes variaes construtivas, conectados vigas de diferentes rigidez;

mostrar como o efeito das foras de protenso que so caracterizadas pelas foras de membrana e aplicadas diretamente nas placas, afetam principalmente suas matrizes de rigidez geomtrica;

mostrar a possibilidade de o fenmeno da localizao de modos ser utilizado como controle passivo de vibraes em estruturas quase peridicas;

Neste trabalho, implementa-se tambm a formulao geometricamente no-linear para um elemento finito triangular via Resduos Ponderados (hiptese GALERKIN [34]), apresentado por COSTA [22] no contexto da esttica. Todos os coeficientes das diversas matrizes so obtidos so obtidos de forma explicita, no requerendo integrao numrica, utilizando-se o software MATLAB [53] para a implementao do programa de clculo computacional desenvolvido pelo autor.

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O programa desenvolvido realiza uma anlise no-linear pelo Mtodo de Newton-Raphson para obteno da configurao deformada de referncia devida ao carregamento aplicado. Neste ponto, a ltima matriz de rigidez tangente computada usada juntamente com a matriz de massa (em que se incluem as massas rotacionais), como entradas de dados de um problema generalizado de autovalores e autovetores que fornece as freqncias e os modos naturais de vibrao.

Como se sabe, a possibilidade de se obter solues fechadas para os modelos matemticos que representam os problemas de engenharia pequena e se esgotam rapidamente com o crescimento do porte dos mesmos. Desta forma, esta Tese apia-se, quase sempre, nas solues numricas.

O mtodo empregado com mais freqncia neste trabalho a repetio de grande nmero de processamento para cada exemplo de modelo estrutural estudado. Variam-se, de cada vez, parmetros de controle relacionados com os diversos fatores que influenciam a ocorrncia e a importncia do fenmeno da Localizao de Modos, em especial o carregamento e seus reflexos sobre a rigidez.

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1.3 Plano da Tese

Para facilitar o entendimento a Tese foi dividida em seis captulos cujo contedo apresentado a seguir.

No captulo 2 uma reviso bibliogrfica o mais completa possvel feita dos trabalhos existentes sobre o tema at o presente, ressaltando inclusive a produo mais recente, em parte de autoria do Orientador desta Tese. Procura-se tambm discutir, sistematizar e criticar as idias, fundamentos, problemas e sugestes dos autores citados. O objetivo a busca dos pontos em que a pesquisa publicada oferece campo para as contribuies apresentadas nesta Tese. Tambm no captulo 2, realizada uma breve reviso histrica do Mtodo dos Elementos Finitos, seus principais idealizadores, tanto nos procedimentos utilizando clculos Variacionais de RAYLEIGH-RITZ [66] [67] como nos de Resduos Ponderados por GALERKIN [34].

Na parte final deste captulo apresentada uma pequena abordagem a respeito do concreto protendido, onde so resumidas algumas informaes principais na utilizao do mesmo. Os principais nomes no cenrio nacional e mundial na histria do desenvolvimento das tcnicas de protenso so citados. Os tipos de protenses existentes (protenso com aderncia inicial, aderncia posterior e protenso sem aderncia), os elementos estruturais de engenharia que so protendidos, em particular as vigas e lajes planas de edifcios, tambm so resumidos neste captulo.

No captulo 3 apresenta-se a obteno das equaes de movimento da Mecnica das Estruturas em vibraes livres no amortecidas para modelos matemticos simples do tipo das estruturas peridicas e no peridicas em questo.

No capitulo 4 so obtidas as equaes diferenciais do movimento para placas delgadas elsticas de comportamento geometricamente no-linear, mostrando com clareza o acoplamento existente entre os esforos de membrana e os de flexo. As correspondentes condies de contorno so tambm apresentadas.

Devido a se considerar o material com comportamento elstico linear, limites so impostos quanto grandeza dos deslocamentos angulares e deformaes admitidas, ou seja, as rotaes so da ordem da raiz quadrada do mdulo das deformaes, levando definio de aproximaes com eles coerentes.

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Na formulao, inclui-se tambm o efeito da inrcia de rotao. Ainda no mesmo captulo 4, passa-se aproximao da soluo do problema contnuo equacionado utilizando o mtodo dos Resduos Ponderados, na variante GALERKIN [34], aplicado a uma discretizao de elementos finitos triangulares. As matrizes de rigidez secante e tangente so todas explicitadas, identificando-se as parcelas linear, geomtrica e de correo de coordenadas. Por fim, chega-se matriz de massa necessria soluo numrica do problema dinmico.

No captulo 5 apresentado o programa de clculo computacional denominado DYMPLATE, implementado pelo autor utilizando recursos do LMC Laboratrio de Mecnica Computacional do Departamento de Engenharia de Estruturas e Geotcnica da Escola Politcnica da Universidade de So Paulo, com o uso de uma linguagem de alto nvel presente no software MATLAB [53]. Trata-se da aplicao do Mtodo dos Elementos Finitos anlise esttica ou dinmica de estruturas planas de placas com comportamento linear ou no-linear. So apresentados os principais mdulos ou funes que compem o programa, os fluxogramas iterativos e as interfaces grficas de usurio.

O programa DYMPLATE um software de cdigo aberto, isto , permite que qualquer programador introduza novas funes e rotinas. Uma vez que no compilado em nenhum sistema especfico, poder ser executado em qualquer sistema onde o MATLAB [53] esteja instalado, tomando programa um software com caractersticas multi-plataforma.

Esquematiza-se, de forma resumida, o algoritmo bsico do trabalho. De inicio, procede-se soluo do problema esttico geometricamente no-linear, pelo mtodo de Newton-Raphson, de forma incremental. Quando a carga esttica final atingida, no caso de se ter convergncia, a matriz de rigidez tangente calculada no ltimo passo utilizada junto com a correspondente matriz de massa na composio de um problema generalizado de autovalores e autovetores.

No captulo 6, aplicam-se as idias j desenvolvidas anteriormente, atravs de exemplos didticos de painis de placas peridicos e com pequenas imperfeies fracamente acopladas entre si atravs de viga de grande rigidez, e principalmente submetidas variao de foras de membrana introduzidas por meio da protenso, o que s pode ser levado em conta introduzindo a rigidez geomtrica no modelo matemtico.

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Os modelos utilizados so simples, mas usuais na prtica da Engenharia Civil, mostram a ocorrncia do fenmeno da Localizao de Modos em estruturas peridicas (ordenadas) e quase peridicas (desordenadas), bem como o aparecimento do fenmeno de curve veering. Procura-se tambm mostrar, como o fenmeno se relaciona com o grau de acoplamento entre os mdulos da estrutura e a ocorrncia de pequenas desordens impostas ao sistema de maneira proposital, tais como: variao nas espessuras das placas, variao nos mdulos de elasticidade flexional, variao na densidade do material e variao nas foras de protenso.

Os valores efetivamente obtidos para os diferentes painis de placas exemplificados so apresentados em tabelas, grficos e figuras, para melhor avaliar os efeitos da no-linearidade geomtrica nas freqncias naturais e os correspondentes modos de vibrao.

Uma das grandes contribuies apresentadas aqui nesta Tese mostrar que o carregamento, em principio repetitivo, isto , igual para cada mdulo, pode ser, devido a pequenas variaes, fonte de desordem e causador do fenmeno de Localizao ao afetar a rigidez da estrutura.

Finalmente no captulo 7 so enfeixadas as concluses gerais obtidas ao longo do trabalho, alguns comentrios so tecidos a respeito dos valores obtidos, sugestes quanto s ampliaes e aperfeioamento do programa bem como possveis rumos de trabalhos futuros so tambm citados.

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Captulo 2

2 Pesquisa Bibliogrfica

2.1 Localizao de Modos

O estudo de sistemas desordenados comeou no campo da Fsica do estado slido, com o trabalho de ANDERSON [3]. Este trabalho culminou com um Prmio Nobel ANDERSON; MOTT [4].

Usou-se a idia de localizao para a explicao das propriedades de transporte de materiais cristalinos, isto , se os vetores de estado ou modos prprios da equao de onda de Schrdinger, que governa os movimentos de eltrons num slido, se tornarem localizados, a condutibilidade metlica se torna impossvel. Assim, um slido ordenado, isto , com ligaes cristalinas regulares, pode mudar abruptamente de um condutor metlico para um semicondutor uma vez que essa ordem seja destruda por imperfeies ou impurezas, ou quando um slido se torna amorfo. Parte importante da indstria eletrnica moderna deve sua existncia a esse fenmeno.

Em 1963, BRILLOUIN [14], estudou a propagao de ondas em estruturas peridicas, fato este que tem sido um tpico de considervel interesse para os estudiosos da mecnica. Os modos para uma estrutura peridica idealizada ou ordenada so agrupados em faixas de freqncia chamadas bandas de passagem.

Dentro de uma banda de passagem, energia vibratria transmitida ao longo de uma estrutura no-amortecida sem atenuao. Para estruturas finitas, surgem ondas que tem a aparncia de modos estendido a toda a estrutura. Entre as bandas de passagem existem bandas de parada, que so associadas a faixas de freqncias em que ocorre transmisso de energia nula.

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Tambm em 1963, DEAN; BACON [24] estudaram a localizao de modos de vibrao para modelos analticos de cadeias desordenadas de tomos. Eles notaram que os modos relacionados s freqncias mais baixas tinham uma caracterstica ondulada enquanto que os correspondentes s mais elevadas eram fortemente localizados.

SOONG; BOGDANOFF [73] em 1964 aplicaram tcnicas de perturbao em matrizes de transferncia para investigar propriedades estatsticas das freqncias naturais, funes de admitncia e funes de resposta de freqncia para cadeias desordenadas de osciladores mecnicos de um grau de liberdade.

Em 1969, BLIEVEN; SOONG [9] usaram mtodos semelhantes para estudar um modelo de parmetros discretos de uma viga simplesmente apoiada com n vos e rigidez de variao aleatria.

DYE; HENRY [26] tambm em 1969, derivaram uma equao aproximada para a resposta de ps de turbina usando um modelo de parmetros discretos de um conjunto rotor-turbina, incorporando pequenas diferenas nas freqncias naturais das ps. Solues numricas foram obtidas para essa equao aproximada. Para distribuies de freqncias realizveis na prtica, a localizao de resposta prevista era grande o suficiente para causar solicitaes 35 por cento em uma p do que nas outras.

No inicio da dcada de 70, MEAD [54] investigou a propagao de ondas em estruturas peridicas para sistemas mono e multi-acoplados. As freqncias limitantes para as bandas de passagem e parada so obtidas de equaes que modelam estruturas peridicas por meio de matrizes de receptncia caractersticas.

Outra pesquisa relacionada com as propriedades estatsticas das freqncias e modos naturais de sistemas desordenados foi realizada em 1974 por LYN; YANG [48] onde o comprimento dos tramos e rigidez flexional para uma viga de n vos sobre apoios simples foram perturbados aleatoriamente. Esses estudos precursores no detectaram o fenmeno da localizao por terem usado ferramentas estatsticas para obteno das respostas mdias para as estruturas. ANDERSON [3] j havia notado que nenhum sistema individual comporta-se como a mdia do conjunto. Sendo assim, conclui-se que os valores mdios pouco tm a dizer a respeito dos problemas fsicos reais.

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Uma anlise de vibraes de um rotor com 24 ps, feita em 1975, por EL-BAYOUMI; SRINIVASAN [27], conclui que as tenses nas ps eram uma funo da distribuio de freqncias e do desvio dessas freqncias de um valor mdio. Eles tambm determinaram que a lmina de mximo desvio no necessariamente experimenta as mximas solicitaes.

Um estudo terico e experimental realizado no ano de 1976 por EWINS [30], demonstrou boa correlao entre as freqncias preditas e medidas e os modos de discos com padres de desordens.

Os efeitos de flutuao de freqncias no flutter de lminas de turbinas foi tambm matria de considervel interesse. No incio da dcada de 80 KAZA; KIELB [43] mostraram que falta de sintonia tem efeito benfico na velocidade do flutter associada flexo-toro. Na resposta forada, entretanto, resultados favorveis ou prejudiciais dependiam da ordem da excitao.

Muitos pesquisadores tm usado matrizes de transferncia como base para solues para o problema de propagao de ondas. ENGELS [29] em 1980 usou os autovalores da matriz de transferncia para analisar a resposta de estruturas peridicas infinitas e semi-infinitas a cargas harmnicas. A vantagem desse mtodo que o esquema computacional independe do nmero de subestruturas.

Em 1982, HODGES [38] foi o primeiro a usar a expresso localizao de modos ao estudar seus aspectos acsticos. Usando dois modelos, uma srie de pndulos acoplados e uma corda vibratria com massas pontuais e molas, ele determinou que o grau de localizao dependesse da razo entre o nvel de desordem e a fora de acoplamento. J em 1983, HODGES; WOODHOUSE [39] demonstraram analtica e experimentalmente que atenuao de vibraes pode ser conseguida por uma variao das propriedades da estrutura peridica.

Os primeiros trabalhos realizados no campo da dinmica estrutural, no que diz respeito localizao de modos de vibrar em estruturas com simetria cclica, se relacionam com o estudo de turbinas, sendo estas pertencem a uma classe de estruturas ciclicamente simtricas com elementos fracamente acoplados, portanto suscetveis localizao modal. A pesquisa tentava explicar rupturas por fadiga no previstas nas ps de turbinas. BENDIKSEN [8] em 1984 usou a idia da localizao dos modos para explicar o comportamento observado nesse tipo de problema.

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PIERRE; TANG; DOWELL [64] em 1987 realizaram estudos analticos e experimentais de localizao para uma viga Bernoulli-Euler de dois vos. As imperfeies ou desordens foram conseguidas perturbando a posio do apoio central. Acoplamento varivel entre os tramos foi introduzido pela alterao da rigidez de uma mola rotacional ligando a viga ao solo em sua seo sobre o apoio central.

Resultados analticos foram obtidos por um mtodo de perturbaes modificado e uma tcnica tipo RAYLEIGH-RITZ [45]. Curvas de localizao foram criadas relacionando as respostas de cada tramo para cada modo como funo das imperfeies geomtricas e do acoplamento. Os resultados obtidos concordaram com HODGES [38] indicando que o grau de localizao depende da razo entre a quantidade de desordem e a fora de acoplamento.

Em 1987 e 1988, efeitos de acoplamento foram investigados em detalhe por PIERRE [65], para um sistema de vigas em balano. Na mesma poca, WEI; PIERRE [80] estenderam as investigaes sobre o acoplamento para as vibraes livre e foradas de estruturas assimtricas simulando turbinas.

Combinao de ondas e localizao em estruturas peridicas foi estudada por KISSEL [44] em 1987. Localizao foi determinada por tcnicas probabilsticas. Usando o limite de FURSTENBERG [33], sobre o produto de matrizes aleatrias, primeiro aplicado a sistemas desordenados unidimensionais por ISHII [41] em 1973, fatores de localizao podem ser calculados sem multiplicao das matrizes individuais para cada segmento desordenado. Entretanto, o teorema s d informaes teis para matrizes de transferncia 2x2 correspondentes a sistemas peridicos mono-acoplados, isto , uma nica coordenada de acoplamento entre os segmentos repetitivos. Assim, localizao para sistemas peridicos com mais de uma coordenada de acoplamento no pode ser tratada por essa tcnica.

Localizao de vibraes para sistemas estruturais ciclicamente simtricos com subestruturas de mltiplos graus de liberdade foi estudada por CORNWELL; BENDIKSEN [20], no final da dcada de 80, usando tcnicas de RAYLEIGH-RITZ [45].

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Em 1990, CHA; PIERRE [15] adotou a abordagem de propagao de onda para calcular fatores de localizao para subestruturas multimodais mono-acopladas. Ateno foi dada dependncia da localizao na freqncia e na fora do acoplamento. Resultados de anlises probabilsticas de perturbaes foram comparados com simulaes tipo Monte-Carlo.

No que diz respeito ao efeito de amortecimento sobre o fenmeno, NATSIAVAS [59], em 1993 reportou que a presena de dissipao de energia tende a diminuir a localizao.

Tambm na dcada de 90, o orientador deste projeto, Prof. BRASIL [10], desenvolveu um estudo bastante compreensivo de aplicaes do fenmeno de Localizao de Modos de Vibrar e de Flambagem em estruturas civis, em colaborao com HAWWA [10] em 1996, MAZZILLI [11] em 1995 e BALTHASAR [6] em 1995. O trabalho completo encontra-se na Tese de Livre Docncia do Prof. BRASIL [12].

Localizao de Modos de Vibraes em estruturas desordenadas na engenharia aeronutica foram estudas no ano de 2000 por LIU; CHAN [51].

Trs modelos de vigas tipo T com desordem horizontal pertencentes fuselagem traseira da aeronave, um modelo com dois pares desordenados de controladores de superfcie e um modelo com desordens no armazenamento externo da aeronave foi adotado para a investigao terica. Utilizaram a tcnica de perturbao matricial para estudar como acontece o mecanismo do fenmeno da localizao. Observou-se que quando a simetria estrutural da aeronave modificada, ocorre a localizao de modos e o fenmeno de curve veering. Quando a energia est restrita a alguns modos de vibrao, a localizao pode ser benfica nos casos onde o confinamento de energia requerido, ou ao contrrio, poder resultar em falhas criticas em alguns componentes estruturais, podendo causar efeitos drsticos nos projetos de controle estrutural.

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Em 2005, CHEN; XIE [17] estudaram a influncia do efeito de pequenos erros na colocao de enrigecedores transversais em estruturas de placas de pequena espessura na localizao dos modos, utilizando o mtodo das faixas finitas na obteno das freqncias naturais e os correspondentes modos. Na obteno da resposta vibrao forada para uma carga harmnica aplicada no centro da placa, utilizaram mtodo de GALERKIN [34]. Verificou-se que uma pequena desordem nos enrigecedores da placa, afetou a localizao dos modos de toda a placa de maneira bem significante.

Em 2006, CHALLAMEL; LANOS; CASANDJIAN [16] estudaram o fenmeno de localizao e instabilidade em uma viga de dois vos. Observaram que uma forte localizao aparece para pequenos valores de rigidez da mola rotacional associada ao apoio intermedirio, sendo que a mesma foi associada ao aumento da fissurao neste apoio devido ao confinamento das vibraes neste ponto. Assim, fizeram uma analogia entre a o tamanho das fissuras com a localizao dos modos de vibrao da viga.

Um critrio quantitativo de localizao foi estabelecido e comparado ao conhecido fenmeno de curve veering. Como a localizao estava mais presente em uma parte da viga bastante danificada, isto pde ser entendido como um indicador do nvel de dano da estrutura global, e, conseqentemente mostrar que o conceito de localizao de modos pode ser usado como controle passivo da integridade estrutural, na mesma linha de pesquisa dos trabalhos de NAYFEH; HAWWA [60] no ano de 1994

Em 2007, no seu mais recente trabalho, BRASIL, et. al. [13] apresentaram um mtodo simples e eficiente para estudar o problema das vibraes livres e localizao de modos de vibrao em uma viga de Bernoulli-Euler com n vos ordenados ou com pequenas desordens geomtricas no comprimento dos vos e, diferentes condies de acoplamento. Uma das vantagens da metodologia proposta, que diferentes tipos de evoluo de sistemas podem ser tratados sistematicamente numa forma compacta, de um modo conveniente para simulao numrica e tratamento de dados.

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Diferentemente da maioria dos trabalhos encontrados na literatura, esta metodologia desenvolvida em seu prprio espao fsico, isto , sem passar denominada formulao espacial. A formulao obtida tambm bastante til na anlise de estabilidade. Esta metodologia tambm pode ser aplicada a outros tipos de vigas que resultam de diversas aproximaes tais como RAYLEIGH-RITZ [66] [67] ou vigas de TIMOSHENKO [75].

GATTULLI; LEPIDI [37] apresentaram um artigo (EURODYN 2008) no qual estudam um modelo seccional utilizado para realar as diferentes condies de ressonncia interna nas iteraes cabo-tabuleiro de uma ponte estaiada. So investigados sistemas ressonantes com foco na sensibilidade das freqncias em relao aos parmetros significantes. Um fator baseado em energia usado para avaliar o nvel de localizao modal. Atravs do modelo discreto analtico, com 4 graus de liberdade, simularam o movimento linear vertical e de toro do tabuleiro (sistema principal) junto com o movimento transversal de dois cabos estaiados (sistemas secundrios peridicos).

A soluo modal obtida mostra que o fenmeno de curve veering existe entre as freqncias dos modos locais associados aos sistemas secundrios e que a freqncia de toro aumenta a amplitude da curva, enquanto que o modo global fortemente envolvido no processo de hibridao dos modos ressonantes envolvidos.

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2.2 Elementos Finitos para Modelagem No-Linear de Placas

Na engenharia, como em vrias outras reas do conhecimento, o tratamento de sistemas contnuos, geralmente, excede a capacidade de compreenso da mente humana. A alternativa natural encontrada foi a de dividir os sistemas em subsistemas, tratando-se cada um destes individualmente e, posteriormente construindo anlise global do sistema.

A complexidade do modelo matemtico que representa o comportamento de muitos problemas de engenharia levou ao desenvolvimento de mtodos aproximados para sua soluo, sendo que um dos mtodos de discretizao mais utilizados em engenharia o chamado Mtodo dos Elementos Finitos.

O Mtodo dos Elementos Finitos, contribuio original da engenharia de estruturas ARGYRIS; KELSEY [5]; TURNER; CLOUGH; MARTIN; TOPP [77], CLOUGH [18] em 1960, entre outros, utilizando de incio o Principio dos Trabalhos Virtuais, nada mais que uma tcnica de discretizao de meios contnuos em um nmero finito de pequenas regies denominadas elementos finitos, tornando o meio continuo em discreto, alm de fazer uma aproximao numrica da soluo de suas equaes diferenciais.

A essa diviso do domnio d-se o nome de malha de elementos finitos. A malha desse reticulado pode ser aumentada ou diminuda, ou seja, discretizada, variando o tamanho dos elementos finitos. Os pontos de interseco das linhas dessa rede so chamados ns.

O Mtodo dos Elementos Finitos est embasado nos procedimentos tipo trial functions utilizados nos Mtodos Variacionais de RAYLEIGH- RITZ [66] [67] e nos de Resduos Ponderados de GALERKIN [34].

O elemento finito retangular foi proposto pela primeira vez por ADINI [1] em 1961 e independentemente formulado por MELOSH [57] em 1963, ZIENKIEWICZ; CHEUNG [81] em 1964 e finalmente por DAWE [23] no ano de 1965.

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O elemento finito triangular surgiu em 1965, num artigo atribudo a BAZELEY; ZIENKIEWICZ; IRONS; CHEUNG [7]. Posteriormente, em 1968, ZIENKIEWICZ; CHEUNG [81] apresentaram uma formulao explcita para a matriz de rigidez desse elemento, mas que exigia um esforo computacional considervel.

SLYPER [72] em 1969 obteve as matrizes de massa e rigidez para o elemento em questo, considerando uma variao linear da espessura ao longo do domnio do elemento. Uma formulao explcita e otimizada para a matriz de rigidez surgiu em 1979 num artigo de JOSEPH; SINGA RAO [42].

Em 1986 COSTA [22] em sua Tese de Doutorado, abordou os conceitos bsicos da teoria de primeira e segunda ordem das placas delgadas e de estruturas formadas por barras, atravs do Mtodo dos Elementos Finitos. O elemento finito utilizado foi o triangulo de deformao constante (CST) de ZIENKIEWICZ [82].

GARZERI [36] em sua Dissertao de Mestrado analisou a teoria clssica das placas Teoria de Kirchhoff sob o ponto de vista dinmico. A equao diferencial do movimento teve sua soluo aproximada por meio do Mtodo de GALERKIN [34] discretizados pelo Mtodo dos Elementos Finitos. Dois tipos de elementos finitos foram utilizados: o elemento retangular de MELOSH [57] e o elemento triangular de ZIENKIEWICZ [82].

IDE [40], utilizando-se do Mtodo dos Elementos Finitos, analisou numericamente as vibraes livres em torno de configuraes deformadas de placas com comportamento geometricamente no-linear. Neste trabalho, ele programou uma formulao geometricamente no-linear para um elemento finito de placa via Resduos Ponderados devido s COSTA [22]. Maiores detalhes encontram-se na sua Tese de Doutorado na Biblioteca da EPUSP.

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2.3 Lajes Protendidas

A palavra protenso ou pr-tenso (presstressing em ingls) um artifcio que consiste em introduzir numa estrutura um estado prvio de tenses capaz de melhorar sua resistncia ou seu comportamento, sob diversas condies de carregamento.

Nos ltimos anos a arquitetura evoluiu na busca do ganho espacial dos ambientes construdos, mudando a dimenso do espao projetado. A engenharia, por sua vez, vem buscando sempre tirar o mximo proveito dos materiais disponveis e utilizar o que h de melhor entre as novas tecnologias. O concreto protendido vem evidenciando vantagens tcnicas e econmicas engenharia de estruturas, graas a um nmero aprecivel de experincias feitas pelo mundo afora.

Concebido para libertar os projetistas das limitaes, o concreto protendido permitiu a execuo de obras antes somente imaginadas. Suas caractersticas possibilitaram projetos iniciais ousados de grandes vos, tais como pontes, viadutos, estruturas de conteno, barragens, etc. Posteriormente a protenso tambm tem sido utilizada em obras residenciais de pequeno e mdio porte, como lajes de edifcios comerciais, residenciais, reservatrios, galpes, peas pr-moldadas, e, at mais recentemente em pavimentos rgidos de concreto dos aeroportos.

A fora de protenso age em sentido contrrio ao carregamento e equilibra seus efeitos, diminuindo drasticamente as deformaes e fissurao. Com a protenso possvel melhorar a capacidade de utilizao da pea estrutural e controlar de modo mais eficiente a fissurao, podendo, em alguns casos at elimin-la.

De acordo com as Normas, os critrios de segurana tomam por base os Estados Limites, sendo evidentemente desejvel que a estrutura seja mais econmica possvel, tanto na construo como na sua manuteno. Para as lajes protendidas valem as Normas usuais do concreto protendido, com destaque dos captulos dedicados s lajes protendidas (NBR 7197, cap. 9.5).

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A solicitao correspondente ao Estado Limite ltimo (ELU) pode estar limitada pelo escoamento do ao ou esmagamento do concreto, instabilidade da estrutura ou fadiga do material. No caso das lajes verifica-se o ELU flexo e ao puncionamento, servindo o Estado Limite de Utilizao ou de Servio (ELS) para o controle de fissuras, deformaes, vibraes e para a verificao da resistncia ao fogo e a proteo contra a corroso.

No concreto armado convencional, a armadura solicitada pela flexo, compondo o binrio material resistente, o qual traciona a armadura e obriga o seu alongamento. Ao se alongar o concreto fissura. Em concreto protendido, utilizam-se aos de alta resistncia, capazes de atingir tenses elevadas de trabalho sem depender de alongamentos exagerados do concreto, ficando livre das fissuras.

No presente trabalho, como a estrutura estar trabalhando apenas no Estdio I, caracterizado pelo Estado Limite de Formao de Fissuras (ELS-F) sem a presena de fissuras na seo protendida, ento o mecanismo concebido no o binrio, mas de solicitaes de alvio.

Nesse caso, o que se equilibra so as solicitaes externas, gerando um mecanismo onde todos os pontos da pea solicitada esto em estado de tenso uniforme, que corrigido o estado de deformao atravs da protenso, sobrar apenas deformao do concreto, que bastante reduzida e tambm corrigida.

No concreto protendido, a armadura ativa destinada produo de foras de protenso, isto , na qual se aplica um pr-alongamento inicial, constituda por fios, barras e cordoalhas.

Entre os aos de protenso existentes atualmente, distinguem-se os de relaxao normal (RN) e os de relaxao baixa (RB). Com relao sua resistncia trao, os mais comuns so os CP-175 e o CP-190. Entretanto, nas obras com lajes protendidas, o ao que vem sendo mais largamente empregado o CP-190 RB, tanto para o sistema de protenso aderentes como para os de sem aderncia.

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A construo de estruturas protendidas requer um controle de qualidade do concreto muito rigoroso. Deve-se sempre realizar ensaios prvios, controle do cimento e dos agregados utilizados, bem como a fiscalizao constante durante a elaborao do concreto. Normalmente, os concretos protendidos possuem resistncia superior quelas das peas de concreto armado, sendo recomendado por norma um 25fck Mpa .

Existem vrias razes que justificam a utilizao de concretos de alta resistncia em peas protendidas. A alta resistncia, aliada ao fato de toda a seo da pea trabalhar, resistindo aos esforos atuantes, redunda em sees com dimenses menores que no concreto armado convencional, o que, em outras palavras, significa menor peso prprio. A diminuio do peso prprio viabiliza economicamente a execuo de estruturas com grandes vos.

2.4 Aspectos Histricos do Concreto Protendido

Por volta do sculo 19, j se conhecia mundialmente a possibilidade de reforar elementos de concreto atravs da armadura de ao. Com a fundao da primeira fbrica de cimento Portland alem em 1855, o francs LAMBOT [63], desenvolveu e uma tcnica para fabricao de embarcaes de concreto armado. A partir de 1867, MONIER [78] comeou a fabricar vasos, tubos, lajes e pontes, utilizando concreto com armadura de ao.

JACKSON [25] em 1886 foi o primeiro a propor a idia de pr-tensionar o concreto em So Francisco (EUA). No mesmo ano o alemo KOENEN [79] desenvolveu um mtodo de dimensionamento emprico para alguns tipos de construo de concreto armado, baseado em resultados de ensaios segundo o sistema MONIER [78], com inteno de eliminar a fissurao nas peas de concreto. Como ainda no existia ao de alta resistncia, KOENEN [79] sistematizou a fabricao de peas estirando as armaduras com uma tenso 26p kgf mm = , obtendo uma deformao 0,003s mm m = , alongamento que com o decorrer do

tempo se perdia devido retrao e deformao lenta do concreto.

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Em 1905, MRSCH [47], desenvolveu a teoria iniciada por KOENEN [79], comprovando suas proposies atravs de inmeros ensaios. Os conceitos desenvolvidos por MRSCH [47] constituram ao longo de dcadas e em quase todo o mundo, os fundamentos da teoria do concreto armado, e seus elementos essenciais ainda so vlidos.

O americano STEINER [32] em 1908 sugeriu que se fizesse um re-estiramento aps ocorrerem as perdas por retrao e deformao lenta do concreto, a fim de recuperar tais perdas.

KOENEN e MRSCH [69] em 1912 reconheceram que o efeito de uma protenso reduzia com o decorrer do tempo devido retrao e deformao lenta do concreto.

Em 1919, K. WETTSTEIN [58] fabricou na Alemanha, painis de concreto protendidos de pequena espessura (pranchas de WETTSTEIN [58], com cordas de ao de alta resistncia para piano, fortemente tensionadas. Ele foi o primeiro a usar ao de alta resistncia embora sem ter plena conscincia de que estas eram as condies prvias decisivas para o xito do concreto protendido.

O americano DILL [35] em 1923 foi o primeiro a reconhecer que se deveriam utilizar fios de alta resistncia sob elevadas tenses para superar as perdas de protenso.

FREYSSINET [68], uma das figuras de maior destaque no desenvolvimento da tecnologia do concreto protendido, em 1928 apresentou seu primeiro trabalho consistente sobre concreto protendido, reconhecendo a importncia da protenso da armadura na construo civil e tambm da importncia das perdas na protenso, produzidas pela retrao e deformao lenta do concreto. FREYSSINET [68] reconheceu que s possvel assegurar um efeito duradouro da protenso em um elemento estrutural, atravs da utilizao de elevadas tenses no ao.

Em 1949, no Brasil, inicia-se o uso do concreto protendido com a construo da Ponte do Galeo, no Rio de Janeiro, sendo que, naquela poca, a maior ponte em concreto protendido do mundo, com 380 m de comprimento. ALMEIDA [2].

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At a dcada de 50, o comportamento das lajes protendidas no era bem entendido, o que tornava necessrio o uso de critrios conservadores e mtodos de clculos trabalhosos. Ainda nessa dcada, surgiram nos Estados Unidos, Austrlia e Canad, as primeiras lajes macias de concreto protendido, as quais eram associadas ao mtodo construtivo Lift-Slab, onde as lajes so moldadas no terreno e, posteriormente, iadas e ancoradas nas suas posies finais. SILVA [70].

Em 1956, nos Estados Unidos, deu-se o incio da utilizao de lajes protendidas sem aderncia, com a construo de escolas em Nevada. ALMEIDA [2].

Foi na dcada de 60 que as lajes protendidas alcanaram um grande desenvolvimento em todo o mundo, principalmente nos Estados Unidos.

Diversos motivos colaboraram para esse desenvolvimento: incorporao do concreto protendido s Normas de edifcios nos Estados Unidos, desenvolvimento do Mtodo das Cargas Equivalentes (Load-Balancing Method), grande nmero de pesquisas realizadas a partir de 1956, que vieram a responder diversas dvidas referentes ao comportamento de peas protendidas; evoluo dos materiais para a utilizao da protenso, melhoria e simplificaes nos processos de protenso e sistemas de frmas e o reconhecimento das vantagens econmicas que o sistema oferece.

Segundo SILVA [70], no Brasil destaca-se a colaborao de Jos Rudloff Manns e do Engenheiro Jos Carlos de Figueiredo Ferraz que, entre 1957 e 1973, desenvolveram um sistema de protenso utilizado em obras como o MASP - Museu de Artes de So Paulo, a ponte Cidade Universitria e o Viaduto Beneficncia Portuguesa em So Paulo.

Em 1963, LIN [49] desenvolveu o Mtodo de Balanceamento de Cargas, tambm conhecido como Carga Equivalente (Load-Balancing Method), no qual defende a idia de que a fora de protenso atuante na pea tomada como um carregamento, sendo este no sentido da curvatura do cabo, que equilibra uma parcela do carregamento da pea. Esse novo conceito de protenso possibilitou um grande avano na anlise de estruturas de concreto protendido.

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LIN; BURN [50] em 1981 aprofundaram o estudo do conceito da Carga Equivalente, alm de contemplar nesse estudo os projetos de vigas e elementos de barras, eles tambm dedicaram um captulo exclusivo para o projeto de lajes protendidas.

COLLINS; MITCHELL [19] em 1987 desenvolveram um estudo contendo os conceitos bsicos necessrios para o entendimento de uma estrutura formada por lajes protendidas.

Vrios artigos e relatrios tcnicos so encontrados nas publicaes da ACI, como o Technical Report n 43 Concrete Society [28] que apresenta um manual de projetos para lajes de edifcios de concreto protendido.

No Brasil, SOUZA; CUNHA [74] em 1998, estudaram os conceitos de lajes em concreto armado e protendido. No mesmo ano SILVA [70] aborda em seus estudos os pontos principais no tocante ao projeto de lajes macias protendidas.

Em 2001 FERNANDES [31], fez uma abordagem geral sobre os estudos relacionados ao puncionamento de lajes lisas por parte de CORRA; MELLO; MARTINS [21], por parte de MELGES; PINHEIRO; DUARTE [56] e tambm uma abordagem dos procedimentos bsicos sobre o projeto e o dimensionamento de lajes de concreto com protenso sem aderncia.

Em 2002, ALMEIDA [2] estudou a utilizao da protenso no aderente em edifcios residenciais e comerciais de concreto.

No ano de 2003, SILVA; MELLO [71] analisaram a puno em lajes protendidas com cordoalha no aderente e pilares de vrias dimenses.

Em 2005, LUCIA [52] em sua Dissertao de Mestrado, realizou um estudo sobre lajes lisas com protenso parcial e limitada, atravs de um modelo computacional empregando o uso de grelhas equivalentes no processo de clculo e dimensionamento. Os processos de execuo, levantamento das principais variveis que intervm no procedimento e anlise das principais diferenas existentes na determinao do nmero de cabos para protenso, tambm fizeram parte dos objetivos desta pesquisa.

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Portanto, embora bastante desenvolvida, principalmente nos Estados Unidos, a tecnologia de projetos e construo de pavimentos com lajes lisas usando a protenso est bastante incipiente no Brasil. Os estudos mais aprofundados e a produo de livros sobre protenso em lajes so, na sua maioria de origem norte americana, com pequenas quantidades de texto nacionais. Os enfoques dos textos brasileiros so voltados ao comportamento flexo, ao esforo cortante, e ao estudo do desempenho de estruturas de edifcios em relao aderncia da cordoalha, tendo em sua minoria, o estudo do dimensionamento de lajes protendidas. SOUZA; CUNHA [74].

2.5 Sistemas de Protenso

2.5.1 Protenso com Aderncia Inicial

A protenso com aderncia inicial muito empregada na fabricao de pr-moldados de concreto protendido. Nas pistas de protenso, utilizam fios ou cordoalhas de ao especial, que so estirados ao ar livre com o auxilio de macacos hidrulicos, onde a armadura ativa posicionada, ancorada em blocos nas cabeceiras e em seguida tracionada.

Posteriormente, a armadura passiva colocada, o concreto lanado e adensado, e a pea passa para a fase de cura. Aps a cura, as formas so retiradas, os equipamentos que mantinham os cabos tracionados so liberados e os fios so cortados, transferindo a fora de protenso para o concreto pela aderncia ou atrito, que nessa ocasio j deve estar suficientemente desenvolvida.

Algumas vantagens do sistema com aderncia inicial devem-se ao fato de que se aumenta a capacidade das sees no estado limite ltimo, melhora o comportamento da pea entre os estgios de fissurao e de ruptura, alm de que a falha de um cabo tem conseqncias restritas.

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2.5.2 Protenso com Aderncia Posterior

No caso de protenso com aderncia posterior, a protenso aplicada sobre uma pea de concreto j endurecido e a aderncia se d posteriormente, atravs da injeo de uma nata de cimento no interior das bainhas metlicas, com o auxlio de bombas injetoras. Geralmente, os cabos so ps-tracionados por meio de macacos hidrulicos especiais, apoiando-se nas prprias peas de concreto j endurecido. Quando a fora de protenso j atinge o valor especificado, os cabos so ancorados por meio de dispositivos especiais. Nos sistemas mais comuns so utilizados placas de ancoragem com cunhas metlicas ou argamassa de alta resistncia. Em outros processos, utilizam-se porcas especiais e at mesmo grandes blocos de concreto para ancoragem.

A soluo com cabos ou cordoalhas aderentes, se comporta melhor quanto distribuio das fissuras e segurana contra ruptura para efeitos localizados, tais como: exploso, incndios, demolio parcial, etc.

A influncia da aderncia no comportamento da fissurao e na resistncia ltima das peas de concreto protendido tem assumido uma relevncia considervel no meio profissional de modo que, mesmo diante das vantagens econmicas da protenso sem aderncia, tm-se optado por utilizar cabos aderentes nos sistemas construtivos modernos.

2.5.3 Protenso sem Aderncia

A protenso aplicada sobre uma pea de concreto j endurecido no havendo, entretanto, aderncia entre os cabos e o concreto. A inexistncia de aderncia refere-se somente armadura ativa, j que a armadura passiva sempre deve estar aderente ao concreto.

Em alguns sistemas de protenso sem aderncia, a armadura ativa colocada em dutos formados por bainhas metlicas engraxadas ou de plstico (PVC). Aps a aplicao da fora de protenso, nas bainhas so injetadas graxas para evitar a corroso.

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Utilizam-se tambm outros sistemas de protenso sem aderncia nos quais os cabos so colocados externamente pea de concreto j moldada, como no caso de vigas armadas com tirantes externos. Essa soluo mais freqente em obras de reforo de estruturas pr-existente, muito utilizada na recuperao de pontes.

Cabe ressaltar que a falta de aderncia pode no impedir a fissurao da pea estrutural, sendo necessrio utilizar uma armadura aderente passiva. Os cabos no aderentes funcionam apenas como elementos para aplicao da fora de protenso. Em funo da ausncia de ligao entre o cabo e o concreto, sua contribuio para a resistncia ruptura da pea limitada.

O emprego de cabos no aderentes fica limitado a situaes em que a fissurao e a ruptura tenham importncia secundria, ou ainda, a casos em que se deseja poder substituir alguns cabos. A NBR 7197, no item 4.3, prescreve que o concreto protendido sem aderncia s pode ser empregado em casos especiais e sempre com protenso completa. Essa medida visa prevenir a formao de fissuras com grande abertura no concreto.

Durante a construo da hidreltrica de Itaipu, a empresa Furnas reforou todas as pontes do trajeto Rio-Foz do Iguau, por onde foram transportadas as turbinas da usina, a partir dos portos do Rio de Janeiro e de Santos, atravs da protenso de cabos externos sem aderncia.

A utilizao de armaduras de protenso no aderentes relativamente polmica. Alguns pases possuem tradio no uso desta soluo e outros no. Nos EUA a protenso sem aderncia muito utilizada. Esse sistema tambm foi bastante empregado na Austrlia durante algum tempo, mas posteriormente foi abandonado. No Brasil existe pouca tradio na utilizao deste sistema.

Na presente Tese, a estrutura plana formada por painis de placas protendidas, se caracteriza por um sistema de protenso sem aderncia.

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Captulo 3

3 Fundamentos Tericos

3.1 Dinmica de Estruturas

Modelos matemticos de sistemas dinmicos recaem, em geral, em duas classes. Na primeira delas, modelos espacialmente discretos, constitudos de partculas ou corpos rgidos, tem suas configuraes definidas por variveis dependentes apenas do tempo, enquanto que no outro grupo, em que se enquadram os contnuos estruturais, elas so definidas por variveis dependentes do tempo e do espao.

O movimento de sistemas discretos descrito por equaes diferenciais ordinrias enquanto que o dos sistemas contnuos, como nos caso das estruturas, governado por equaes de derivadas parciais. Neste ltimo caso, a anlise , em geral, precedida de uma etapa de discretizao parcial no espao, permitindo tambm recair em sistemas de equaes diferenciais ordinrias no tempo. Para obteno das solues desses sistemas, pode ainda ser conveniente a opo por mtodos numricos em que seja feita uma discretizao da varivel tempo.

Nesta exposio, supe-se que uma discretizao espacial do contnuo estrutural foi feita (por exemplo, pelo Mtodo dos Elementos Finitos) de forma a recair em um sistema de equaes diferenciais ordinrias na varivel tempo. A configurao do sistema, em cada instante, pode ser completamente definida por um nmero mnimo n, nmero de graus de liberdade do sistema, de variveis dependentes do tempo ( ) ( )1,2...iq t i n= , denominadas coordenadas generalizadas.

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Nesta tese, sero analisados apenas os sistemas no-giroscpicos conservativos ou no-conservativos. Alm disso, estaremos sempre considerando somente vibraes livres no-amortecidas, permitindo as simplificaes que a seguir se fazem.

Para um sistema linear de vrios graus de liberdade, no amortecido, em vibrao livre, a equao do movimento pode ser escrita na seguinte forma

[ ]{ } [ ]{ } { }0M Kq q+ = (3.1) onde:

[ ]M representa a matriz de massa [ ]K representa a matriz de rigidez { }q o vetor de acelerao { }q o vetor de deslocamento

Para determinar-se a possibilidade de movimentos sincrnicos, admite-se que a soluo da equao (3.1) seja na forma exponencial dada por:

( ) stq t e z= (3.2)

que substituda na equao do movimento resulta em:

K Mz z= (3.3)

um sistema de equaes homogneas que constituem um problema algbrico de autovalores e autovetores. Para que possua solues no-triviais necessrio e suficiente que:

[ ]det 0K M = (3.4) onde se tem o determinante caracterstico que computado resulta na equao caracterstica ou equao de freqncia fornecendo n autovalores i , em geral

distintos, que podem ser congregados na matriz de autovalores:

30

1

2

0 . . 00 . . 0. . . . .

. . . . 00 . . 0 n

=

(3.5)

Reconhecendo-se que a cada autovalor r correspondem dois expoentes,

r rS = , conclui-se que as solues obtidas so da forma:

( ) ( ) , 1, 2,...r rt tr r r rq t a e b e z r n = + = (3.6) Assim, movimentos sincrnicos so possveis, na forma acima. As constantes

ra e rb dependem das condies iniciais do movimento. Como o sistema foi

linearizado, a soluo geral uma combinao linear:

( ) ( )1

n

r rr

q t q t=

= (3.7)

O comportamento do sistema controlado pela parte da soluo dependente do tempo, ou seja, pelos expoentes rS . Como a matriz de massa sempre positiva definida, se a matriz de rigidez (tangente) for positiva definida, todos os autovalores sero reais e positivos de forma que r rS i= , onde r r = . Quando ela for

positiva semi-definida, todos os autovalores so reais e no-negativos, isto , alguns podem ser nulos e os demais positivos.

Em ambos os casos, os autovalores so reais, resultando que rb deve ser igual

a ra , o complexo conjugado de ra .

As quantidades r representam as freqncias naturais do sistema,

associadas aos vetores modais rz . O par constitui um modo natural de vibrao,

sendo que as freqncias naturais so colocadas em ordem crescente, de modo que a mais baixa se refere ao primeiro modo de vibrao e assim por diante.

31

Observa-se que os vetores das formas modais obtidos referem-se apenas forma geomtrica assumida pelo sistema em vibrao livre naquela freqncia em particular, no possuindo qualquer relao com a amplitude das oscilaes desenvolvidas.

Em termos de apenas quantidades reais, tm-se:

( ) ( )1

cosn

r r r rr

q t c t z =

= (3.8)

Alm disso, os autovetores podem ser normalizados e reunidos em uma matriz modal dado por:

11 1 1

1

1

. .

. . . . .

. .

. . . . .

. .

r n

m mr mn

n nr nn

z z z

z z z

z z z

=

Z (3.9)

Dessa forma, o problema pode ser colocado da seguinte forma:

K Z M Z= (3.10)

Quando a matriz de rigidez (tangente) positiva semi-definida, autovalores s nulos so possveis, por exemplo:

( ) ( ) s s s sq t a t b z= + (3.11) que divergente. Este o caso de estruturas no vinculadas em que os modos associados a esses autovalores so chamados modos de corpo rgido.

Quando a matriz de rigidez tangente muda de sinal, obtm-se tambm autovalores s negativos, e os expoentes rS correspondentes so reais de forma

que se tem soluo divergente, claramente instvel, levando a deslocamentos que rapidamente se afastam da hiptese de pequenos movimentos.

32

3.2 Localizao de Modos

A presena de irregularidades em estruturas nominalmente peridicas pode inibir a propagao de vibraes ou modificar sensivelmente suas caractersticas dinmicas. Essas perturbaes localizam os modos de vibrao e, dependendo da magnitude da desordem e do grau de acoplamento entre os mdulos do sistema, a energia nele injetada no pode propagar-se, confinando-se a certa regio da estrutura. Este fenmeno conhecido como de Localizao de Modos Normais.

Estuda-se, nesta Tese, a Localizao de Modos de Vibrao para sistemas elsticos quase peridicos. Para obteno de um entendimento do fenmeno por meio de um exemplo, considere-se uma estrutura modulada constituda de uma seqncia de subestruturas, nominalmente iguais levemente acopladas entre si

A Figura 3.1 mostra um modelo simples, mas bastante geral de um sistema quase peridico desse tipo. Constitui-se de um painel de placas de lajes solidarizados por vigas de grande rigidez a toro, as quais so representadas por molas. Pretende-se investigar os modos de vibrao do conjunto quando o acoplamento se torna pequeno. Trataremos apenas de vibraes livres.

Figura 3.1 Modelo de um sistema quase peridico de n lajes acopladas. Considere-se a i-sima placa, iK a sua rigidez ao movimento vertical, iq ,

cuja massa iM . A rigidez das molas de acoplamento k . Desprezando-se, por exemplo, o peso prprio, a equao do movimento correspondente coordenada generalizada iq , para vibraes no-amortecidas, dada por:

y

x

k k

1q

k k

2q iq nq

1 1 1 1, , ,M K EI h 2 2 2 2, , ,M K EI h , , ,n n n nM K EI h,i iM K ,i iEI h

33

( )1 12 0i i i i i i iM q K q k q q q ++ + = (3.12) ou

( )1 12 2 0i i i i i i iq q r q q q ++ + = (3.13) onde:

i i iK M = e 2=i i ir k M .

J foi dito que a soluo desse sistema homogneo a do problema de autovalores e autovetores da seguinte forma:

A z z= (3.14)

onde z so os autovetores (modos de vibrao), os autovalores (freqncias naturais de vibrao ao quadrado) e, neste caso,

1 1 1 1

1 1 1 1

. . . . . . .

. 2 2 . . .

. . 2 2 . .

. . . 2 2 .

. . . . . . .

Ai i i i

i i i i

i i i i

r r r

r r r

r r r

+ + + +

+ = +

+

(3.15)

uma matriz tridiagonal simtrica, que no que se segue ser referida por matriz dinmica.

Considere-se, inicialmente, que as placas esto desacopladas, isto , 0ir = .

Nesse caso, os elementos da diagonal principal i so os prprios autovalores do

problema.

Se as subestruturas forem idnticas, suas freqncias naturais individuais so iguais, na forma 20 0i = = . Alm disso, fica claro que qualquer excitao aplicada

a uma das placas no se transmitir aos demais.

Introduzindo acoplamento entre eles ir r= , independente de quo pequeno

seja, os modos de vibrao no so mais localizados, estendendo a todo sistema. Neste caso, de subestruturas idnticas, a amplitude das oscilaes verticais de

cada placa varia sunusoidalmente no espao com sua posio.

34

Se uma pequena quantidade infinitesimal de acoplamento for imposta ao sistema, haver uma quebra na multiplicidade das freqncias individuais iguais, mudando fundamentalmente as caractersticas dos modos, passando de um vibrador desacoplado para oscilaes coletivas. Demonstra-se, como pode ser encontrado em PARLET [61], que neste caso, as freqncias, embora possam ser muito prximas, so sempre distintas. De fato, a matriz dinmica [ ]A tem aqui a forma:

0

0

0

. . . . . . .

. 2 2 . . .

. . 2 2 . .

. . . 2 2 .

. . . . . . .

r r r

r r r

r r r

+ = +

+

B (3.16)

e o teorema dos Crculos de GERSHGORIM [55] garante que cada autovalor est numa faixa com centro no valor do coeficiente da diagonal principal e raio igual soma dos elementos fora da diagonal da correspondente linha da matriz. Essa faixa, aqui, :

0 0 2i r + (3.17)

mostrando, dessa maneira, que para pequenos acoplamentos a variabilidade dos autovalores tambm pequena.

Considere-se a seguir, o caso onde as freqncias naturais individuais variam de uma forma qualquer, aleatria ou determinstica. Para acoplamento nulo os modos de vibrao consistem de oscilaes dos prticos individuais em freqncias variveis, geralmente diferentes por pequenos valores, na forma 20i i ip = + = .

Para pequeno acoplamento, ou seja, quando houver uma viga de grande rigidez entre as placas, os modos de vibrao so uma perturbao das oscilaes desacopladas. Em conseqncia, os modos permanecem localizados perto das placas individuais, e as freqncias naturais do sistema so prximas s freqncias naturais das placas isoladas.

A multiplicidade de autovalores do caso ordenado e desacoplado foi quebrada pela desordem, e a introduo de pequeno acoplamento no pode mais levar a oscilaes coletivas. A matriz dinmica [ ]A do problema toma a seguinte forma:

35

0

0

0

1 1 1 1

1 1 1 1

. . . . . . .

. 2 2 . . .

. . 2 2 . .

. . . 2 2 .

. . . . . . .

i i i i

i

i i i i

i i i

r p r r

r p r r

r p r r

+ + + +

+ +

+ + =

+ +

C (3.18)

Agora o teorema dos Crculos de GERSHGORIM [55], leva a concluses mais complexas quanto aos autovalores que dependem dos valores relativos das variaes ip e dos acoplamentos ir . Cada um deles tanto pode estar solitrio em

faixas dadas por:

0 0 2i i i ip p r + + + (3.19)

dependendo de iP e ir , como em grupos de valores situados em faixas dadas pela

conexo de certos subdomnios.

Para ganhar algum sentimento fsico do fenmeno, considere-se que uma particular placa forada periodicamente com freqncia prxima sua freqncia natural. Esta particular placa oscilar com grandes amplitudes. Como o sistema desordenado e o acoplamento fraco, provvel que seus vizinhos mais prximos no experimentem tal ressonncia, vibrando com menor amplitude. Da mesma forma, vizinhos mais distantes respondem com muito menor amplitude.

Em concluso, para oscilaes foradas, a vibrao permanece localizada perto do ponto forado. Para oscilaes livres, os modos permanecem prximos dos modos das placas individuais desacop