vibracao 2gdl rev7
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Aula sobre 2 GDLTRANSCRIPT
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SISTEMAS COM 2 GDL
Vibraes Mecnicas IFBA 2014.1
Prof. Antonio Carlos Peixoto Bitencourt
22/08/2014
1
Prof. Antnio Carlos P. Bitencourt - ENG 314 - 2013.1
-
INTRODUO
At agora, estudamos sistemas mecnicos com apenas 1 GDL:
x(t), para a translao ou (t), para a rotao
Sistemas reais na maioria dos casos, h necessidade de mais de
uma coordenada independente para descrever o movimento
Casos mais simples de sistemas multidimensionais: sistemas com 2
GDL
Conceitos que sero estendidos para sistemas com n GDL
22/08/2014 2 Prof. Antnio Carlos P. Bitencourt - ENG 314 - 2013.1
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EX.: SISTEMA MOTOR-BOMBA
22/08/2014 3 Prof. Antnio Carlos P. Bitencourt - ENG 314 - 2013.1
-
EX.: SISTEMA MOTOR-BOMBA
22/08/2014 4 Prof. Antnio Carlos P. Bitencourt - ENG 314 - 2013.1
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Torno Universal
22/08/2014 Prof. Antnio Carlos P. Bitencourt - ENG 314 - 2013.1 5
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Automvel
22/08/2014 Prof. Antnio Carlos P. Bitencourt - ENG 314 - 2013.1 6
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Comportamento de prdio
22/08/2014 Prof. Antnio Carlos P. Bitencourt - ENG 314 - 2013.1 7
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DEFINIES
22/08/2014 8
GDL
Nmero mnimo de coordenadas independentes
necessrias para especificar o movimento do sistema
Restries Mecnicas
Reduzem a quantidade de GDL
Prof. Antnio Carlos P. Bitencourt - ENG 314 - 2013.1
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22/08/2014 9
2 translaes + 1 rotao = 3
possibilidades de movimentos
L = constante -> 1 GDL
No equaes de restrio:
ner = 1
No coordenadas
dependentes: ncd = 2
Relao:
nGDL = ncd - ner
GDL X RESTRIES
Prof. Antnio Carlos P. Bitencourt - ENG 314 - 2013.1
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GDL
Regra geral para o clculo do nmero de graus de liberdade:
No GDL do sistema = no de massas do sistema x no de movimentos
possveis de cada massa
n Equaes de Movimento para um sistema com n GDL.
n Equaes Diferenciais Acopladas
Desacoplar as equaes diferenciais: coordenadas naturais,
principais ou modais
22/08/2014 10
Prof. Antnio Carlos P. Bitencourt - ENG 314 - 2013.1
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GDL - VIBRAO NATURAL (OU LIVRE)
1 GDL
sistema vibra na freqncia natural
possui 1 freqncia natural
n GDL
condies iniciais adequadas, o sistema vibrar em uma de suas freqncias naturais
condies iniciais arbitrrias, vibrar em uma superposio dos modos normal
22/08/2014 11 Prof. Antnio Carlos P. Bitencourt - ENG 314 - 2013.1
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GDL - VIBRAO FORADA
HARMONICAMENTE
1 GDL
sistema vibrar na mesma freqncia da excitao
ressonncia em 1 situao
n GDL
sistema vibrar na mesma freqncia da excitao
ressonncia em n situaes
22/08/2014 12 Prof. Antnio Carlos P. Bitencourt - ENG 314 - 2013.1
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Modelo Matemtico - Sistema Com 2 GDL
22/08/2014 13 Prof. Antnio Carlos P. Bitencourt - ENG 314 - 2013.1
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Modelo Matemtico - Sistema Com 2 GDL
22/08/2014 14 Prof. Antnio Carlos P. Bitencourt - ENG 314 - 2013.1
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Modelo Matemtico - Sistema Com 2 GDL
22/08/2014 Prof. Antnio Carlos P. Bitencourt - ENG 314 - 2013.1 15
-
Modelo Matemtico - Sistema Com 2 GDL
22/08/2014 16 Prof. Antnio Carlos P. Bitencourt - ENG 314 - 2013.1
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FORMA MATRICIAL DE EQUAES
ACOPLADAS
22/08/2014 Prof. Antnio Carlos P. Bitencourt - ENG 314 - 2013.1 17
)t(F
)t(F
x
x
kkk
kkk
x
x
ccc
ccc
x
x
m0
0m
2
1
2
1
322
221
2
.1
.
322
221
2
..
1
..
2
1
matriz
massa matriz
amortecimento
matriz
rigidez
vetor
acelerao
vetor
velocidade
vetor
deslocamento
vetor
excitao
-
VIBRAO LIVRE DE SISTEMAS SEM
AMORTECIMENTO
22/08/2014 Prof. Antnio Carlos P. Bitencourt - ENG 314 - 2013.1 18
Fazendo:
c1 = c2 = c3 = 0 (sistema sem amortecimento)
F1 = F2 = 0 (sistemas sem excitao)
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VIBRAO LIVRE DE SISTEMAS SEM
AMORTECIMENTO
22/08/2014 Prof. Antnio Carlos P. Bitencourt - ENG 314 - 2013.1 19
Fazendo:
c1 = c2 = c3 = 0 (sistema sem amortecimento)
F1 = F2 = 0 (sistemas sem excitao)
0)( 2212111 xkxkkxm
0)( 2321222 xkkxkxm
-
PROCEDIMENTO CLSSICO PARA DETERMINAR
FREQNCIAS NATURAIS E MODOS DE VIBRAO
Considerar que, assim como os sistemas com 1 GDL, as respostas
livres das duas massas sejam tambm harmnicas:
22/08/2014 Prof. Antnio Carlos P. Bitencourt - ENG 314 - 2013.1 20
x1 = X1cos(t + )
x2 = X2cos(t + )
4 22 3 1 2 2 3 3 11 2
1 2 1 2
0k k k k k k k kk k
m m m m
-
PROCEDIMENTO CLSSICO PARA DETERMINAR
FREQNCIAS NATURAIS E MODOS DE VIBRAO
Resolver a Equao das Frequncias:
22/08/2014 Prof. Antnio Carlos P. Bitencourt - ENG 314 - 2013.1 21
4 22 3 1 2 2 3 3 11 2
1 2 1 2
0k k k k k k k kk k
m m m m
12
2 2 1 2 2 2 3 11 2
1 2
2
1 2 2 2 3 1
1 2
21 2 2 3 2
1 2
( ) ( )1,
2
( ) ( )1
2
( )( )4
k k m k k m
m m
k k m k k m
m m
k k k k k
m m
-
PROCEDIMENTO CLSSICO PARA DETERMINAR
FREQNCIAS NATURAIS E MODOS DE VIBRAO
Existe resposta harmnica para o sistema de equaes
diferenciais
Razes da equao caracterstica so as freqncias naturais
Freqncias Naturais so chamadas
1 = freqncia natural fundamental (menor)
2 = 2a freqncia natural (maior)
Equao caracterstica tem grau 2n, onde n o nmero de GDL
do sistema
22/08/2014 Prof. Antnio Carlos P. Bitencourt - ENG 314 - 2013.1 22
-
PROCEDIMENTO CLSSICO PARA DETERMINAR
FREQNCIAS NATURAIS E MODOS DE VIBRAO
Obter modos naturais:
22/08/2014 Prof. Antnio Carlos P. Bitencourt - ENG 314 - 2013.1 23
Amplitude da primeira varivel de referncia no
denominador X2/X1, X3/X1, ... , Xn/X1
Modos Naturais (ou Normais) de Vibrao
relaes entre as amplitudes
nomenclatura similar s freqncias naturais
Sistema de equaes das amplitudes
1
2
X
Xr
-
PROCEDIMENTO CLSSICO PARA DETERMINAR
FREQNCIAS NATURAIS E MODOS DE VIBRAO
Obter modos naturais:
22/08/2014 Prof. Antnio Carlos P. Bitencourt - ENG 314 - 2013.1 24
Para r1(=1), r2=(= 2)
22 1 2 2 3 2
21 1 2 1 2 2
( ) 0
( ) 0
k X m k k X
m k k X k X
21 2 12 22
1 2 2 2 3( )
k k mX kr
X k m k k
2(1) 1 2 1 12 21 (1) 2
21 2 1 2 3( )
k k mX kr
kX m k k
2(2) 1 2 1 22 22 (2) 2
21 2 2 2 3( )
k k mX kr
kX m k k
-
Vetores Normais
Vetores que descrevem as amplitudes para cada modo de
vibrao
22/08/2014 Prof. Antnio Carlos P. Bitencourt - ENG 314 - 2013.1 25
)1(11
)1(1
)1(2
)1(1)1(
Xr
X
X
XX
)2(12
)2(1
)2(2
)2(1)2(
Xr
X
X
XX
Amplitude da massa m1 no 10 modo
Amplitude da massa m2 no 10 modo
Amplitude da massa m1 no 20 modo
Amplitude da massa m2 no 20 modo
-
Resposta Livre
Equaes do movimento no tempo
22/08/2014 Prof. Antnio Carlos P. Bitencourt - ENG 314 - 2013.1 26
(1) (1)1 1(1)
1 1(1) (1)2 1 1
( )( ) cos( )
( )
x t Xt t
x t r X
x
)tcos(Xr
X
)t(x
)t(x)t( 22)2(
12
)2(1
)2(2
)2(1)2(
x
so determinadas pelas condies iniciais 21)2(
1)1(
1 e ,X ,X
10 modo
20 modo
-
Resposta Livre Condies Iniciais
Para condies iniciais gerais h uma superposio dos mdulos
22/08/2014 27
(1) (2)1 1 1
(1) (2)2 2 2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
t t t
t t t
x x x
x x x
(1) (2)1 1 1 1 1 2 2
(1) (2)2 1 1 1 1 2 1 2 2
( ) cos( ) cos( )
( ) cos( ) cos( )
x t X t X t
x t r X t r X t
Prof. Antnio Carlos P. Bitencourt - ENG 314 - 2013.1
(1) (2)1 1 1 1 2
(1) (2)1 1 1 1 2 1 2
(1) (2)2 1 1 1 2 1 2
(1) (2)2 1 1 1 1 2 2 1 2
(0) cos cos
(0)
(0) cos cos
(0)
x X X
x X sen X sen
x r X r X
x r X sen r X sen
1 1
1 1
2 2
2 2
( 0) (0)
( 0) (0)
( 0) (0)
( 0) (0)
x t x
x t x
x t x
x t x
-
Resposta Livre
Sistema para
22/08/2014 28
2)2(
11)1(
12)2(
11)1(
1 oscX e oscX ,senX ,senX
(1) 2 1 21 1
2 1
(0) (0) cos
r x xX
r r
(1) 2 1 21 1
1 2 1
(0) (0) sin
r x xX
r r
(2) 1 1 21 2
2 2 1
(0) (0) sin
r x xX
r r
(2) 1 1 21 2
2 1
(0) (0) cos
r x xX
r r
Prof. Antnio Carlos P. Bitencourt - ENG 314 - 2013.1
-
Resposta Livre
Encontrando
22/08/2014 29
(1) (2)1 1 1 2, , e X X
122
2(1) 2 1 21 2 1 2 2
2 1 1
(0) (0)1 (0) (0)
r x xX r x x
r r
2 1 2
11 2 1 2
(0) (0) atan
(0) (0)
r x x
r x x
122
2(2) 1 1 21 1 1 2 2
2 1 2
(0) (0)1 (0) (0)
r x xX r x x
r r
1 1 2
22 1 1 2
(0) (0) atan
(0) (0)
r x x
r x x
Prof. Antnio Carlos P. Bitencourt - ENG 314 - 2013.1
(1) (2)1 1 1
(1) (2)2 2 2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
t t t
t t t
x x x
x x x
(1) (2)1 1 1 1 1 2 2
(1) (2)2 1 1 1 1 2 1 2 2
( ) cos( ) cos( )
( ) cos( ) cos( )
x t X t X t
x t r X t r X t
-
Condies iniciais especiais para ativar um
dado modo de vibrao
Condies iniciais podem ser ajustadas para ativar determinados
modos de vibrao.
Para ativar ri
22/08/2014 Prof. Antnio Carlos P. Bitencourt - ENG 314 - 2013.1 30
122
2(2) 1 1 21 1 1 2 2
2 1 2
(0) (0)1 (0) (0)
r x xX r x x
r r
122
2(1) 2 1 21 2 1 2 2
2 1 1
(0) (0)1 (0) (0)
r x xX r x x
r r
( )1 1
1
( )2 1 1
2
(0)
(0) 0
(0)
(0) 0
i
i
x X
x
x r X
x
12
=0
11
=0
-
Resumo
GDL e Restrio
Freqncias Naturais
22/08/2014 31
12
2 2 1 2 2 2 3 11 2
1 2
2
1 2 2 2 3 1
1 2
21 2 2 3 2
1 2
( ) ( )1,
2
( ) ( )1
2
( )( )4
k k m k k m
m m
k k m k k m
m m
k k k k k
m m
Prof. Antnio Carlos P. Bitencourt - ENG 314 - 2013.1
-
Resumo
Modos Naturais
22/08/2014 32
2(1) 1 2 1 12 21 (1) 2
21 2 1 2 3( )
k k mX kr
kX m k k
2(2) 1 2 1 22 22 (2) 2
21 2 2 2 3( )
k k mX kr
kX m k k
Prof. Antnio Carlos P. Bitencourt - ENG 314 - 2013.1
-
Resumo
Resposta Livre Completa
22/08/2014 33
122
2(1) 2 1 21 2 1 2 2
2 1 1
(0) (0)1 (0) (0)
r x xX r x x
r r
2 1 2
11 2 1 2
(0) (0) atan
(0) (0)
r x x
r x x
122
2(2) 1 1 21 1 1 2 2
2 1 2
(0) (0)1 (0) (0)
r x xX r x x
r r
1 1 2
22 1 1 2
(0) (0) atan
(0) (0)
r x x
r x x
(1) (2)1 1 1 1 1 2 2
(1) (2)2 1 1 1 1 2 1 2 2
( ) cos( ) cos( )
( ) cos( ) cos( )
x t X t X t
x t r X t r X t1 1
1 1
2 2
2 2
Condies Iniciais Gerais
( 0) (0)
( 0) (0)
( 0) (0)
( 0) (0)
x t x
x t x
x t x
x t x
Prof. Antnio Carlos P. Bitencourt - ENG 314 - 2013.1
-
Sistemas Massa Mola
Para simplificar, vamos considerar que
m1 = m2 = m
k1 = k2 = k3 = k
22/08/2014 Prof. Antnio Carlos P. Bitencourt - ENG 314 - 2013.1 34
-
Sistemas Massa Mola
Para simplificar, vamos considerar que
m1 = m2 = m
k1 = k2 = k3 = k
Equao de Frequncia
22/08/2014 Prof. Antnio Carlos P. Bitencourt - ENG 314 - 2013.1 35
4 22 3 1 2 2 3 3 11 2
1 2 1 2
0k k k k k k k kk k
m m m m
m
k3 e
m
k21
4 2
24 2
2
0
4 30
k k k k k k k k k k
m m m m
k k
m m
-
Sistemas Massa Mola
Modos de Vibrao
22/08/2014 36
2232
2
2
2121
1
2
mkk
k
k
mkk
X
Xr
km
k3mkk
X
Xr
)2(1
)2(2
2
1r2
km
kmkk
X
Xr
)1(1
)1(2
1
1r1
Prof. Antnio Carlos P. Bitencourt - ENG 314 - 2013.1
-
Sistemas Massa Mola
22/08/2014 37
1r1 1r2
Prof. Antnio Carlos P. Bitencourt - ENG 314 - 2013.1
-
Sistemas Massa Mola
22/08/2014 38
1r1 1r2
Prof. Antnio Carlos P. Bitencourt - ENG 314 - 2013.1
-
Sistemas Torcionais
22/08/2014 39 Prof. Antnio Carlos P. Bitencourt - ENG 314 - 2013.1
-
Sistemas Torcionais
22/08/2014 40
0k)kk(J 22t12t1t1..
1
Adaptando as equaes
0xkx)kk(xm 221211..
1
0x)kk(xkxm 232122..
2
0)kk(kJ 23t2t12t2..
2
Prof. Antnio Carlos P. Bitencourt - ENG 314 - 2013.1
-
Exemplo
Achar as freqncias naturais e os modos naturais de vibrao
toro Sugesto: Considerar o volante como estacionrio, tendo
em vista que o seu momento de inrcia muito maior que os
demais
22/08/2014 41
Dados:
Jvolante = 9000 kg.m2
Jmotor = 1000 kg.m2
Jengr 1 = 250 kg.m2
Jengr 2 = 150 kg.m2
Jhlice = 2000 kg.m2
Gao = 80x109 Pa
Prof. Antnio Carlos P. Bitencourt - ENG 314 - 2013.1
-
22/08/2014 42 Prof. Antnio Carlos P. Bitencourt - ENG 314 - 2013.1
-
Frequncia e Modos de Vibrao de um
Automvel
22/08/2014 43
Instabilidade Vertical
Inclinao
Determinar as frequncias e modos
de vibrao de inclinao e
vertical.
Massa 1000kg
Raio de giro 0,9m
Distncia entre o eixo traseiro e CG
1,5m
Distncia entre o eixto frontal e CG
1,0m
Rigidez molas traseiras 22 kN/m
Rigidez molas frontais 18 kN/m
Prof. Antnio Carlos P. Bitencourt - ENG 314 - 2013.1
-
Frequncia e Modos de Vibrao de um
Automvel
22/08/2014 44
Determinar as frequncias e modos
de vibrao de inclinao e
vertical.
Massa 1000kg
Raio de giro 0,9m
Distncia entre o eixo traseiro e CG
1,5m
Distncia entre o eixto frontal e CG
1,0m
Rigidez molas traseiras 22 kN/m
Rigidez molas frontais 18 kN/m
Prof. Antnio Carlos P. Bitencourt - ENG 314 - 2013.1
-
RAO 5.4
22/08/2014 45 Prof. Antnio Carlos P. Bitencourt - ENG 314 - 2013.1
-
RAO 5.5
22/08/2014 46 Prof. Antnio Carlos P. Bitencourt - ENG 314 - 2013.1
-
22/08/2014 Prof. Antnio Carlos P. Bitencourt - ENG 314 - 2013.1 47
-
22/08/2014 Prof. Antnio Carlos P. Bitencourt - ENG 314 - 2013.1 48
-
Batimento
22/08/2014 Prof. Antnio Carlos P. Bitencourt - ENG 314 - 2013.1 49
-
Batimento
22/08/2014 Prof. Antnio Carlos P. Bitencourt - ENG 314 - 2013.1 50
-
Acoplamento de Coordenadas e
Coordenadas Principais
Sistemas com n GDL requer n variveis independentes
Grandezas geomtricas independentes em relao posio de
equilbrio
Qualquer conjunto de variveis pode ser adotado
(Coordenadas Generalizadas)
Sistema desacoplado Coordenadas Principais
22/08/2014 Prof. Antnio Carlos P. Bitencourt - ENG 314 - 2013.1 51
-
22/08/2014 52
Modelo mais exato
Viga elstica
Colunas curtas elsticas
Massas concentradas nos
cabeotes
Modelo simplificado
Barra rgida com CG
Cabeotes massas
concentradas
Molas de compresso
Exemplo: Torno Mecnico
Prof. Antnio Carlos P. Bitencourt - ENG 314 - 2013.1
-
22/08/2014 53
Deflexes do CG x(t) e
rotao (t)
Deflexes x1(t) e x2(t) das
extremidades A e B
Deflexo da extremidade
x1(t) e rotao (t)
Deflexo da ponta principal
y(t) e rotao (t)
Exemplo: Torno Mecnico
Prof. Antnio Carlos P. Bitencourt - ENG 314 - 2013.1
-
Deflexes do CG x(t) e rotao (t)
22/08/2014 Prof. Antnio Carlos P. Bitencourt - ENG 314 - 2013.1 54
2 1 2 2 1 1
2 2
2 2 1 1 2 2 1 1
0 0
0 0o
m k k k l k lx x
J k l k l k l k l
-
Deflexo da ponta principal y(t) e rotao
(t)
22/08/2014 Prof. Antnio Carlos P. Bitencourt - ENG 314 - 2013.1 55
2 1 2 2 1 1
2 2
2 2 1 1 2 2 1 1
' ' 0
' ' ' ' 0P
m me k k k l k ly y
me J k l k l k l k l
-
Tipos de Acoplamentos
Acoplamento dinmico ou inercial
Acoplamento de amortecimento ou de velocidade
Acoplamento de rigidez ou elstico
22/08/2014 56
...
1111 12 11 12 11 12 1
...
21 22 21 22 21 22 22
2
0
0
xm m c c k k xx
m m c c k k xxx
Prof. Antnio Carlos P. Bitencourt - ENG 314 - 2013.1
-
Exemplo de Desacoplamento
22/08/2014 57 Prof. Antnio Carlos P. Bitencourt - ENG 314 - 2013.1
-
Sistemas Semidefinidos
22/08/2014 58
Tambm conhecidos como sistemas sem restrio ou
sistemas degenerados
Exemplos:
Prof. Antnio Carlos P. Bitencourt - ENG 314 - 2013.1
-
Freqncias naturais
22/08/2014 59
4 2
1 2
0k k
m m
2 2
1 2
0k k
m m
021 21
2122
mm
)mm(k
No h
oscilao
Prof. Antnio Carlos P. Bitencourt - ENG 314 - 2013.1
-
Modos de vibrao:
22/08/2014 60
k
mk
X
Xr
21
1
2
10 modo normal vibrao: 021 1r1
20 modo normal vibrao:
21
2122
mm
)mm(k
2
12
m
mr
Prof. Antnio Carlos P. Bitencourt - ENG 314 - 2013.1
-
Auto-excitao e anlise de estabilidade
22/08/2014 Prof. Antnio Carlos P. Bitencourt - ENG 314 - 2013.1 61
...
1111 12 11 12 11 12 1
...
21 22 21 22 21 22 22
2
0
0
xm m c c k k xx
m m c c k k xxx
2 1, j eX)t(x tijj
0, i= 0,1, 2, 3 e 4ia
-
Vibrao Forada Harmonicamente
Absorvedores de vibrao
22/08/2014 62 Prof. Antnio Carlos P. Bitencourt - ENG 314 - 2013.1
-
Vibrao Forada 2 GDL
Resposta forada de um sistema linear com muitos GDL dada
pela soma das respostas livre e forada
resposta livre depende das propriedades do sistema e das condies
iniciais
resposta forada depende da forma da excitao
Excitaes peridicas, a resposta livre geralmente ignorada, por
constituir um transiente
Vamos considerar o caso de um sistema massa-mola-
amortecedor submetido a um foramento harmnico sob forma
exponencial
22/08/2014 63 Prof. Antnio Carlos P. Bitencourt - ENG 314 - 2013.1
-
Modelo matemtico mais geral de um
sistema com 2 GDL:
22/08/2014 64
2
1
2
1
2221
1211
2
.1
.
2221
1211
2
..1
..
2221
1211
F
F
x
x
kk
kk
x
x
cc
cc
x
x
mm
mm
Considerando foramento harmnico
2 1, j eF)t(F ti0jj
2 1, j eX)t(x tijj
onde j = 1,2 indica o grau de liberdade considerado, obtemos a resposta
permanente, tambm harmnica:
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Modelo matemtico mais geral de um
sistema com 2 GDL:
22/08/2014 65
20
10
2
1
2222222
1212122
1212122
1111112
F
F
X
X
kcimkcim
kcimkcim
Definindo Impedncia Mecnica Zrs(i) como
2 1, s r, ,kcim)i(Z rsrsrs2
rs 0FX)i(Z
onde
)i(Z)i(Z
)i(Z)i(Z)i(Z
2212
1211
a matriz impedncia
2
1
X
XX o vetor amplitude da resposta
20
100
F
FF o vetor amplitude da excitao
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-
Modelo matemtico mais geral de um
sistema com 2 GDL:
22/08/2014 66
01 F)i(ZX
onde
22 12
1 12 11
2
11 22 12
( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
Z i Z i
Z i Z iZ i
Z i Z i Z i
)i(Z)i(Z)i(Z
F)i(ZF)i(Z)i(X
2122211
201210221
)i(Z)i(Z)i(Z
F)i(ZF)i(Z)i(X
2122211
201110122
2 1, j eX)t(x tijj
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Resposta permanente de um sistema
massa-mola
22/08/2014 67
Obter as respostas em freqncia das amplitudes
X1() e X2()
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-
22/08/2014
68
Equaes do movimento:
2
1
2
1
2221
1211
2
.1
.
2221
1211
2
..1
..
2221
1211
F
F
x
x
kk
kk
x
x
cc
cc
x
x
mm
mm
0
tcosF
x
x
k2k
kk2
x
x
m0
0m 10
2
1
2
..1
..
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-
Soluo Harmnica
22/08/2014 69
Como F10cost = Real(F10eit),
consideraremos a soluo como sendo tambm harmnica:
xj(t) = Real(Xjeit) = Xjcost, j = 1, 2
k2m)(Z)(Z 22211 k)(Z12
)i(Z)i(Z)i(Z
F)i(ZF)i(Z)i(X
2122211
201210221
)i(Z)i(Z)i(Z
F)i(ZF)i(Z)i(X
2122211
201110122
2( ) , r, s 1, 2rs rs rs rs
Z i m i c k
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22/08/2014
70
obtemos: )km)(k3m(
F)k2m()(X
22
102
1
)km)(k3m(
kF)(X
22
102
Usando as freqncias naturais j conhecidas:
m
k3 e
m
k21
2
10
1
1 2 2 2
2
1 1 1
10
2 2 2 2
2
1 1 1
2
( )
1
( )
1
F
X
k
FX
k
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22/08/2014
71
Prof. Antnio Carlos P. Bitencourt - ENG 314 - 2013.1
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Problema 5.49
22/08/2014 72
Uma mquina alternativa de
massa m1 est montada sobre
uma viga bi-engastada de
comprimento l, espessura t e
largura a e mdulo de Young E.
Foi acrescentado ao sistema um
conjunto massa mola (m2, k2)
com o objetivo de reduzir a
vibrao da mquina. Achar a
relao entre m2 e k2 que anula
a vibrao da mquina quando
uma fora harmnica F1(t) =
F0cost desenvolvida na
mquina durante a sua
operao
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-
Absorvedores de vibrao
22/08/2014 73
Se um sistema mecnico for excitado por uma fora harmnica de
freqncia constante que opera nas proximidades da ressonncia, a
amplitude da vibrao aumenta, atingindo valores que podem
eventualmente provocar a falha do sistema
A fim de remediar tal situao, podemos tentar mudar a massa e/ou a rigidez
do sistema para fugir da condio de ressonncia, o que nem sempre
prtico ou mesmo possvel
Uma outra possibilidade ser apresentada a seguir, a qual consiste na
aplicao do absorvedor dinmico de vibraes, idealizado por Frahm,
em 1909
O uso de um absorvedor dinmico de vibraes indicado para mquinas
que operam em velocidades constantes, como mquinas eltricas
sncronas
Basicamente, o absorvedor dinmico de vibraes adiciona um grau de
liberdade ao sistema: ele consta de uma massa e de uma mola auxiliares,
ma e ka, que so colocadas em srie com o sistema principal M, k
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Equaes do movimento
22/08/2014 74 Prof. Antnio Carlos P. Bitencourt - ENG 314 - 2013.1
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Equaes do movimento
22/08/2014 75
..
1 11 1 2 2
..2 2 2
2 2
0 sen
0 0
m k k kx x F t
m k kx x
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-
21 1 2 2 11
22 2 2 22
0
00
X k k k X Fm
X k k Xm
211 2 1 2
222 2 2
0
X Fk k m k
Xk k m
Solues Harmnicas
22/08/2014 76 Prof. Antnio Carlos P. Bitencourt - ENG 314 - 2013.1
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Solues Harmnicas e Amplitude
22/08/2014 77
2
2 21 2 2 2
1 1 2 2 2 2
( )
( )( )
m k FX
m k k m k k
2
2 2 2 2
1 1 2 2 2 2( )( )
k FX
m k k m k k
2
2
1 2
2 2
2 2
2 2
2 1 1 1
1
1 1st
X
k k
k k
2
2 2
2 2
2 2
2 1 1 1
1
1 1st
X
k k
k k
Prof. Antnio Carlos P. Bitencourt - ENG 314 - 2013.1
-
Comportamento do Sistema com
Absorverdor
Frequncia de excitao igual a frequncia natural
Amplitude do sistema principal
Absorvedor exerce fora contrria a excitao
No tem cargas transmitida fundao
22/08/2014 78 Prof. Antnio Carlos P. Bitencourt - ENG 314 - 2013.1
-
Comportamento com
Absorvedor
Ressonncia
Duas frequncia de
ressonncia
Altas amplitudes se
velocidade crescente
Separao das frequncias
de ressonncia implica em
absorvedor de massa igual
do sistema principal
22/08/2014 Prof. Antnio Carlos P. Bitencourt - ENG 314 - 2013.1 79
22 2 2
2 2 2 2 2
21 1 1 1 1
1,2
2
22
1
1 1 1 1 4
2
m m
m m
-
22/08/2014 Prof. Antnio Carlos P. Bitencourt - ENG 314 - 2013.1 80
-
1. Dado o sistema mecnico da figura,
determinar as freqncias naturais e os
modos naturais de vibrao e esboar os
dois modos naturais de vibrao.
Dados: M = 2 kg; m = 1 kg;
k1 = 10 N/m; k2 = 40 N/m.
Resp.: 1 = 2,6818 rad/s; 2 = 5,2733 rad/s
r1 = 3,5615; r2 = -0,5615
Exerccios
22/08/2014 81 Prof. Antnio Carlos P. Bitencourt - ENG 314 - 2013.1
-
3. Determinar as freqncias naturais e os modos de vibrao para o
sistema pendular duplo da figura:
)a
(m
k2
g
g :.spRe 222
21
22/08/2014 82 Prof. Antnio Carlos P. Bitencourt - ENG 314 - 2013.1
-
4. Achar as freqncias naturais e os modos naturais vibrao para o
sistema da figura:
781,0r 281,1r
m
k562,5
m
k439,1 :.spRe
21
22
21
22/08/2014 83 Prof. Antnio Carlos P. Bitencourt - ENG 314 - 2013.1
-
5. A figura apresenta um modelo simplificado de um
automvel, no qual so considerados apenas 2 GDL:
translao vertical da massa m2 (chassis e carroceria)
e translao vertical da massa m1 (massas das rodas
e eixos). Determinar as duas freqncias naturais do
movimento.
Dados numricos:
m1 = 180 kg
m2 = 670 kg
2k1 = 538 N/mm
2k2 = 45,5 N/mm
Resp.: 75,5 ciclos/min; 544 ciclos/min.
22/08/2014 84 Prof. Antnio Carlos P. Bitencourt - ENG 314 - 2013.1
-
6. Um guincho A de massa 254 kg est montado na extremidade livre de
uma viga de ao engastada e livre (mdulo de Young 2,07 x 1011 Pa,
comprimento 1,525 m, momento de inrcia flexo da seo reta constante
1493 x 10-8 m4). Ele suspende uma carga de massa 101,6 kg atravs de um
cabo de ao, o qual se deforma 2,9 mm quando submetido a uma fora de
9967 N.
(a) Desprezando a massa da viga, determinar as freqncias naturais e os
modos de vibrao do sistema;
(b) Se o sistema estiver vibrando no primeiro modo natural e se a amplitude
do movimento da carga B for 0,254 mm, calcular a amplitude do movimento
do guincho e a variao da trao no cabo de ao devida apenas vibrao
das duas massas.
Resp.: (a) 13,18 e 35,87 Hz; 1,254 e -1,993; (b) 0,203 mm e 175,3 N.
22/08/2014 85 Prof. Antnio Carlos P. Bitencourt - ENG 314 - 2013.1