Logic symbols 5Wikipedia

Contents

1 Algebraic normal form 11.1 Common uses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Performing operations within algebraic normal form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Converting to algebraic normal form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4 Formal representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.4.1 Recursively deriving multiargument Boolean functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Atomic formula 42.1 Atomic formula in rst-order logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.4 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 Atomic sentence 63.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.1.1 Assumptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.1.2 Atomic sentences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.1.3 Atomic formulae . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.1.4 Compound sentences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.1.5 Compound formulae . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.2 Interpretations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.3 Translating sentences from a natural language into an articial language . . . . . . . . . . . . . . . 83.4 Philosophical signicance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4 Head normal form 104.1 Beta reduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.2 Reduction strategies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

i

ii CONTENTS

5 Blake canonical form 125.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125.2 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

6 Categorical proposition 136.1 Translating statements into standard form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146.2 Properties of categorical propositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

6.2.1 Quantity and quality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146.2.2 Distributivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

6.3 Operations on categorical statements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156.3.1 Conversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156.3.2 Obversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156.3.3 Contraposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

6.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

7 Clause (logic) 177.1 Empty clauses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177.2 Implicative form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187.5 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

8 Conditioned disjunction 198.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

9 Conjunctive normal form 209.1 Examples and Non-Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209.2 Conversion into CNF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219.3 First-order logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219.4 Computational complexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219.5 Converting from rst-order logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239.9 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

10 Contingency (philosophy) 2410.1 Contingency and relativism in rhetoric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2410.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2510.3 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

CONTENTS iii

11 Contradiction 2611.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2611.2 Contradiction in formal logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

11.2.1 Proof by contradiction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2711.2.2 Symbolic representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2811.2.3 The notion of contradiction in an axiomatic system and a proof of its consistency . . . . . . 28

11.3 Contradictions and philosophy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2911.3.1 Pragmatic contradictions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2911.3.2 Dialectical materialism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

11.4 Contradiction outside formal logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2911.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3011.6 Footnotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3111.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3111.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

12 Converse implication 3212.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

12.1.1 Truth table . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3212.1.2 Venn diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

12.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3212.3 Symbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3212.4 Natural language . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3212.5 Boolean Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3312.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

13 Converse nonimplication 3413.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

13.1.1 Truth table . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3413.1.2 Venn diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

13.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3413.3 Symbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3413.4 Natural language . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

13.4.1 Grammatical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3513.4.2 Rhetorical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3513.4.3 Colloquial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

13.5 Boolean algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3513.5.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

13.6 Computer science . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3613.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3613.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

14 CornishFisher expansion 37

iv CONTENTS

14.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3714.2 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3714.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

15 Deductive closure 3915.1 Epistemic closure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3915.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

16 Disjunctive normal form 4016.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4116.2 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

17 Exclusive or 4217.1 Truth table . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4217.2 Equivalencies, elimination, and introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4217.3 Relation to modern algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4417.4 Exclusive or in English . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4417.5 Alternative symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4517.6 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4517.7 Computer science . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

17.7.1 Bitwise operation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4617.8 Encodings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4817.9 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4817.10Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4817.11External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

18 Expression (mathematics) 4918.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4918.2 Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4918.3 Syntax versus semantics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

18.3.1 Syntax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4918.3.2 Semantics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5018.3.3 Formal languages and lambda calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

18.4 Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5018.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5118.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5118.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

19 False (logic) 5219.1 In classical logic and Boolean logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5219.2 False, negation and contradiction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5219.3 Consistency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5219.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

CONTENTS v

19.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

20 Formation rule 5420.1 Formal language . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5420.2 Formal systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5420.3 Propositional and predicate logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5420.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

21 Frege system 5621.1 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5621.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5621.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5721.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

21.4.1 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

22 Freges propositional calculus 5822.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6022.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

23 Functional completeness 6123.1 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6123.2 Informal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6123.3 Characterization of functional completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6223.4 Minimal functionally complete operator sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6223.5 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6323.6 In other domains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6323.7 Set theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6323.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6323.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

24 Ground expression 6524.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6524.2 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

24.2.1 Ground terms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6524.2.2 Ground atom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6624.2.3 Ground formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

24.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

25 Head normal form 6725.1 Beta reduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6725.2 Reduction strategies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6725.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6825.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

vi CONTENTS

26 Herbrandization 6926.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6926.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

27 Herbrandization 7127.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7127.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

28 Horn clause 7328.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7328.2 Logic programming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7328.3 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7428.4 Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

29 Material equivalence 7629.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7629.2 Usage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

29.2.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7629.2.2 Proofs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7729.2.3 Origin of i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

29.3 Distinction from if and only if . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7729.4 More general usage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7829.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7829.6 Footnotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7829.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

30 Implicational propositional calculus 7930.1 Virtual completeness as an operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7930.2 Axiom system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7930.3 Basic properties of derivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8030.4 Completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

30.4.1 Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8030.5 The BernaysTarski axiom system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8230.6 Testing whether a formula of the implicational propositional calculus is a tautology . . . . . . . . . 8230.7 Adding an axiom schema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8330.8 An alternative axiomatization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8330.9 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8530.10References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

31 Indicative conditional 8631.1 Distinctions between the material conditional and the indicative conditional . . . . . . . . . . . . . 8631.2 Psychology and indicative conditionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8631.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

CONTENTS vii

31.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8731.5 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

32 Intermediate logic 8832.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8832.2 Properties and examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8832.3 Semantics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8932.4 Relation to modal logics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8932.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

33 List of logic systems 9133.1 Classical propositional calculus systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

33.1.1 Implication and negation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9133.1.2 Implication and falsum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9333.1.3 Negation and disjunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9433.1.4 Sheers stroke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

33.2 Implicational propositional calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9533.3 Intuitionistic and intermediate logics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9633.4 Positive implicational calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9733.5 Positive propositional calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9833.6 Equivalential calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9933.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

34 Literal (mathematical logic) 10234.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10234.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

35 Logical biconditional 10335.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

35.1.1 Truth table . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10435.1.2 Venn diagrams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

35.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10535.3 Rules of inference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

35.3.1 Biconditional introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10635.3.2 Biconditional elimination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

35.4 Colloquial usage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10635.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10635.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10735.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

36 Logical conjunction 10836.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10936.2 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

viii CONTENTS

36.2.1 Truth table . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11036.3 Introduction and elimination rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11036.4 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11136.5 Applications in computer engineering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11236.6 Set-theoretic correspondence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11236.7 Natural language . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11236.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11336.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11336.10External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

37 Logical connective 11437.1 In language . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

37.1.1 Natural language . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11437.1.2 Formal languages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

37.2 Common logical connectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11537.2.1 List of common logical connectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11537.2.2 History of notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11637.2.3 Redundancy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

37.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11737.4 Order of precedence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11837.5 Computer science . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11837.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11837.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11837.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11937.9 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11937.10External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

38 Logical consequence 12038.1 Formal accounts of logical consequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12038.2 A priori property of logical consequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12138.3 Proofs and models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

38.3.1 Syntactic consequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12138.3.2 Semantic consequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

38.4 Modal accounts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12138.4.1 Modal-formal accounts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12238.4.2 Warrant-based accounts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12238.4.3 Non-monotonic logical consequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

38.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12238.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12238.7 Resources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12338.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

CONTENTS ix

39 Logical disjunction 12539.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12639.2 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

39.2.1 Truth table . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12739.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12739.4 Symbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12839.5 Applications in computer science . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

39.5.1 Bitwise operation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12839.5.2 Logical operation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12939.5.3 Constructive disjunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

39.6 Union . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12939.7 Natural language . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12939.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12939.9 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12939.10External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13039.11References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

40 Logical equality 13140.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13240.2 Alternative descriptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13240.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13240.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13340.5 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

41 Logical NOR 13441.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

41.1.1 Truth table . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13541.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13541.3 Introduction, elimination, and equivalencies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13541.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13541.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

42 Material conditional 13642.1 Denitions of the material conditional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

42.1.1 As a truth function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13742.1.2 As a formal connective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

42.2 Formal properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13842.3 Philosophical problems with material conditional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13842.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

42.4.1 Conditionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13942.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13942.6 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

x CONTENTS

42.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

43 Material equivalence 14143.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14143.2 Usage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

43.2.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14143.2.2 Proofs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14243.2.3 Origin of i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

43.3 Distinction from if and only if . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14243.4 More general usage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14343.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14343.6 Footnotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14343.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

44 Material nonimplication 14444.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

44.1.1 Truth table . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14544.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14544.3 Symbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14544.4 Natural language . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

44.4.1 Grammatical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14544.4.2 Rhetorical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14544.4.3 Colloquial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

44.5 Boolean algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14544.6 Computer science . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14544.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14544.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

45 Modal operator 14645.1 Modality interpreted . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

45.1.1 Alethic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14645.1.2 Deontic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14645.1.3 Axiological . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14645.1.4 Epistemic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14645.1.5 Doxastic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

46 Negation 14746.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14746.2 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14746.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

46.3.1 Double negation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14846.3.2 Distributivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14846.3.3 Linearity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

CONTENTS xi

46.3.4 Self dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14846.4 Rules of inference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14846.5 Programming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14846.6 Kripke semantics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14946.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14946.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15046.9 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15046.10External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

47 Negation introduction 15147.1 Formal notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15147.2 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15147.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

48 Negation normal form 15248.1 Examples and counterexamples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15248.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15348.3 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

49 Nicods axiom 154

50 Normal form 15550.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

51 Open sentence 15651.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

52 Polish notation 15852.1 Arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15852.2 Computer programming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15952.3 Order of operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15952.4 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16052.5 Polish notation for logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16052.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16052.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16152.8 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

53 Predicate (mathematical logic) 16253.1 Simplied overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16253.2 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16253.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16353.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16353.5 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

xii CONTENTS

54 Prenex normal form 16454.1 Conversion to prenex form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

54.1.1 Conjunction and disjunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16454.1.2 Negation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16554.1.3 Implication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16554.1.4 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16554.1.5 Intuitionistic logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

54.2 Use of prenex form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16654.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16754.4 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16754.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

55 Principle of distributivity 168

56 Probabilistic proposition 169

57 Proof by contrapositive 17057.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17057.2 Relation to proof by contradiction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17057.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17057.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

58 Proposition 17258.1 Historical usage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

58.1.1 By Aristotle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17258.1.2 By the logical positivists . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17258.1.3 By Russell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

58.2 Relation to the mind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17358.3 Treatment in logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17358.4 Objections to propositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17358.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17458.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17458.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

59 Propositional calculus 17559.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17659.2 Terminology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17659.3 Basic concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

59.3.1 Closure under operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17859.3.2 Argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

59.4 Generic description of a propositional calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17959.5 Example 1. Simple axiom system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18059.6 Example 2. Natural deduction system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

CONTENTS xiii

59.7 Basic and derived argument forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18259.8 Proofs in propositional calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

59.8.1 Example of a proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18259.9 Soundness and completeness of the rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

59.9.1 Sketch of a soundness proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18359.9.2 Sketch of completeness proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18459.9.3 Another outline for a completeness proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

59.10Interpretation of a truth-functional propositional calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18559.10.1 Interpretation of a sentence of truth-functional propositional logic . . . . . . . . . . . . . . 185

59.11Alternative calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18659.11.1 Axioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18659.11.2 Inference rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18659.11.3 Meta-inference rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18659.11.4 Example of a proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

59.12Equivalence to equational logics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18859.13Graphical calculi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18959.14Other logical calculi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18959.15Solvers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19059.16See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

59.16.1 Higher logical levels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19059.16.2 Related topics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

59.17References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19059.18Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

59.18.1 Related works . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19159.19External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

60 Propositional formula 19260.1 Propositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

60.1.1 Relationship between propositional and predicate formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . 19360.1.2 Identity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

60.2 An algebra of propositions, the propositional calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19360.2.1 Usefulness of propositional formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19460.2.2 Propositional variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19460.2.3 Truth-value assignments, formula evaluations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

60.3 Propositional connectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19560.3.1 Connectives of rhetoric, philosophy and mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19560.3.2 Engineering connectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19560.3.3 CASE connective: IF ... THEN ... ELSE ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19560.3.4 IDENTITY and evaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

60.4 More complex formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19760.4.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19760.4.2 Axiom and denition schemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

xiv CONTENTS

60.4.3 Substitution versus replacement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19860.5 Inductive denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19860.6 Parsing formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

60.6.1 Connective seniority (symbol rank) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19960.6.2 Commutative and associative laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20060.6.3 Distributive laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20060.6.4 De Morgans laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20060.6.5 Laws of absorption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20160.6.6 Laws of evaluation: Identity, nullity, and complement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20160.6.7 Double negative (Involution) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

60.7 Well-formed formulas (ws) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20160.7.1 Ws versus valid formulas in inferences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

60.8 Reduced sets of connectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20260.8.1 The stroke (NAND) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20260.8.2 IF ... THEN ... ELSE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

60.9 Normal forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20460.9.1 Reduction to normal form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20460.9.2 Reduction by use of the map method (Veitch, Karnaugh) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

60.10Impredicative propositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20660.11Propositional formula with feedback . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

60.11.1 Oscillation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20760.11.2 Memory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

60.12Historical development . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20860.13Footnotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21060.14References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

61 Propositional function 21861.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

62 Propositional proof system 21962.1 Mathematical denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21962.2 Algorithmic interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21962.3 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22062.4 Relation with computational complexity theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22062.5 Examples of propositional proof systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22062.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22162.7 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22162.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

63 Propositional representation 22363.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22363.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

CONTENTS xv

64 Propositional variable 22664.1 Uses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22664.2 In rst order logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22664.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22664.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

65 Resolution inference 22765.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22765.2 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

66 Rule of inference 22966.1 The standard form of rules of inference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22966.2 Axiom schemas and axioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23066.3 Example: Hilbert systems for two propositional logics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23066.4 Admissibility and derivability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23166.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23166.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

67 Rule of replacement 23367.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

68 Second-order propositional logic 23468.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23468.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

69 Sentence (logic) 23569.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23569.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23569.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

70 Sequent 23770.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

70.1.1 The form and semantics of sequents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23770.1.2 Syntax details . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23870.1.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23870.1.4 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23970.1.5 Rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

70.2 Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23970.2.1 History of the meaning of sequent assertions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23970.2.2 Intuitive meaning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

70.3 Variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24070.4 Etymology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24070.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24170.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

xvi CONTENTS

70.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24270.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

71 Sheer stroke 24371.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

71.1.1 Truth table . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24471.2 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24471.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24471.4 Introduction, elimination, and equivalencies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24471.5 Formal system based on the Sheer stroke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

71.5.1 Symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24471.5.2 Syntax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24571.5.3 Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24571.5.4 Simplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

71.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24671.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24671.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24771.9 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

72 Skolem normal form 24872.1 How Skolemization works . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24872.2 Uses of Skolemization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24972.3 Skolem theories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24972.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24972.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25072.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25072.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

73 Strict conditional 25173.1 Avoiding paradoxes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25173.2 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25173.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25273.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25273.5 Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

74 Substitution (logic) 25474.1 Propositional logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

74.1.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25474.1.2 Tautologies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

74.2 First-order logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25574.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25574.4 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25674.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

CONTENTS xvii

74.6 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

75 Syncategorematic term 25775.1 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25775.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

76 System L 25876.1 Description of the deductive system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25876.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25976.3 History of tabular natural deduction systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25976.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25976.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25976.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26076.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

77 T-schema 26177.1 The inductive denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26177.2 Natural languages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26177.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26277.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26277.5 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

78 Tautology (logic) 26378.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26378.2 Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26478.3 Denition and examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26478.4 Verifying tautologies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26578.5 Tautological implication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26578.6 Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26578.7 Ecient verication and the Boolean satisability problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26678.8 Tautologies versus validities in rst-order logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26678.9 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

78.9.1 Normal forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26778.9.2 Related logical topics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

78.10References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26778.11External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

79 Theorem 26879.1 Informal account of theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26879.2 Provability and theoremhood . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26979.3 Relation with scientic theories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26979.4 Terminology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26979.5 Layout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

xviii CONTENTS

79.6 Lore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27179.7 Theorems in logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

79.7.1 Syntax and semantics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27279.7.2 Derivation of a theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27279.7.3 Interpretation of a formal theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27379.7.4 Theorems and theories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

79.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27379.9 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27379.10References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27479.11External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

80 Theory (mathematical logic) 27980.1 Theories expressed in formal language generally . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

80.1.1 Subtheories and extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27980.1.2 Deductive theories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27980.1.3 Consistency and completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27980.1.4 Interpretation of a theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28080.1.5 Theories associated with a structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

80.2 First-order theories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28080.2.1 Derivation in a rst order theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28080.2.2 Syntactic consequence in a rst order theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28180.2.3 Interpretation of a rst order theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28180.2.4 First order theories with identity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28180.2.5 Topics related to rst order theories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

80.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28180.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28280.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28280.6 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

81 Truth table 28381.1 Unary operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

81.1.1 Logical false . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28381.1.2 Logical identity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28381.1.3 Logical negation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28381.1.4 Logical true . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

81.2 Binary operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28381.2.1 Truth table for all binary logical operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28481.2.2 Logical conjunction (AND) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28481.2.3 Logical disjunction (OR) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28481.2.4 Logical implication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28481.2.5 Logical equality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28581.2.6 Exclusive disjunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

CONTENTS xix

81.2.7 Logical NAND . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28581.2.8 Logical NOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

81.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28581.3.1 Truth table for most commonly used logical operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28681.3.2 Condensed truth tables for binary operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28681.3.3 Truth tables in digital logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28681.3.4 Applications of truth tables in digital electronics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

81.4 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28781.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28781.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28781.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28881.8 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28881.9 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

82 Truth value 28982.1 Classical logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28982.2 Intuitionistic and constructive logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28982.3 Multi-valued logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29082.4 Algebraic semantics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29082.5 In other theories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29082.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29082.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29082.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

83 Truth-bearer 29283.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29283.2 Sentences in natural languages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29383.3 Sentences in languages of classical logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29583.4 Propositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29583.5 Statements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29683.6 Thoughts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29783.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29783.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29883.9 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

84 Unity of the proposition 30084.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30084.2 Russell, Frege, Wittgenstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30084.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30184.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30184.5 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

85 Universal quantication 302

xx CONTENTS

85.1 Basics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30285.1.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

85.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30385.2.1 Negation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30385.2.2 Other connectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30485.2.3 Rules of inference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30585.2.4 The empty set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

85.3 Universal closure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30585.4 As adjoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30685.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30685.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30685.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

86 Unsatisable core 30786.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

87 Well-formed formula 30887.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30987.2 Propositional calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30987.3 Predicate logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31087.4 Atomic and open formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31087.5 Closed formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31187.6 Properties applicable to formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31187.7 Usage of the terminology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31187.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31187.9 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31187.10References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31287.11External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

88 Wolfram axiom 31388.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31388.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31388.3 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314

89 Zeroth-order logic 31589.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31589.2 Text and image sources, contributors, and licenses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

89.2.1 Text . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31689.2.2 Images . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32489.2.3 Content license . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328

Chapter 1

Algebraic normal form

In Boolean algebra, the algebraic normal form (ANF), Zhegalkin normal form, or ReedMuller expansion is away of writing logical formulas in one of three subforms:

The entire formula is purely true or false:10

One or more variables are ANDed together into a term. One or more terms are XORed together into ANF.No NOTs are permitted:

a b ab abc

or in standard propositional logic symbols:

a Y b Y (a ^ b) Y (a ^ b ^ c)

The previous subform with a purely true term:1 a b ab abc

Formulas written in ANF are also known as Zhegalkin polynomials (Russian: ) and PositivePolarity (or Parity) ReedMuller expressions.

1.1 Common usesANF is a normal form, which means that two equivalent formulas will convert to the same ANF, easily showingwhether two formulas are equivalent for automated theorem proving. Unlike other normal forms, it can be representedas a simple list of lists of variable names. Conjunctive and disjunctive normal forms also require recording whethereach variable is negated or not. Negation normal form is unsuitable for that purpose, since it doesn't use equality asits equivalence relation: a a isn't reduced to the same thing as 1, even though they're equal.Putting a formula into ANF also makes it easy to identify linear functions (used, for example, in linear feedback shiftregisters): a linear function is one that is a sum of single literals. Properties of nonlinear feedback shift registers canalso be deduced from certain properties of the feedback function in ANF.

1.2 Performing operations within algebraic normal formThere are straightforward ways to perform the standard boolean operations on ANF inputs in order to get ANF results.XOR (logical exclusive disjunction) is performed directly:

1

2 CHAPTER 1. ALGEBRAIC NORMAL FORM

(1 x) (1 x y)1 x 1 x y1 1 x x yy

NOT (logical negation) is XORing 1:[1]

(1 x y)1 (1 x y)1 1 x yx y

AND (logical conjunction) is distributed algebraically[2]

(1 x)(1 x y)1(1 x y) x(1 x y)(1 x y) (x x xy)1 x x x y xy1 x y xy

OR (logical disjunction) uses either 1 (1 a)(1 b)[3] (easier when both operands have purely true terms) or a b ab[4] (easier otherwise):

(1 x) + (1 x y)1 (1 1 x)(1 1 x y)1 x(x y)1 x xy

1.3 Converting to algebraic normal formEach variable in a formula is already in pure ANF, so you only need to perform the formulas boolean operations asshown above to get the entire formula into ANF. For example:

x + (y z)x + (y(1 z))x + (y yz)x (y yz) x(y yz)x y xy yz xyz

1.4 Formal representationANF is sometimes described in an equivalent way:

where a0; a1; : : : ; a1;2;:::;n 2 f0; 1g fully describes f .

1.5. SEE ALSO 3

1.4.1 Recursively deriving multiargument Boolean functionsThere are only four functions with one argument:

f(x) = 0 f(x) = 1 f(x) = x f(x) = 1 x

To represent a function with multiple arguments one can use the following equality:

f(x1; x2; : : : ; xn) = g(x2; : : : ; xn) x1h(x2; : : : ; xn) , where g(x2; : : : ; xn) = f(0; x2; : : : ; xn) h(x2; : : : ; xn) = f(0; x2; : : : ; xn) f(1; x2; : : : ; xn)

Indeed,

if x1 = 0 then x1h = 0 and so f(0; : : :) = f(0; : : :) if x1 = 1 then x1h = h and so f(1; : : :) = f(0; : : :) f(0; : : :) f(1; : : :)

Since both g and h have fewer arguments than f it follows that using this process recursively we will nish withfunctions with one variable. For example, let us construct ANF of f(x; y) = x _ y (logical or):

f(x; y) = f(0; y) x(f(0; y) f(1; y)) since f(0; y) = 0 _ y = y and f(1; y) = 1 _ y = 1 it follows that f(x; y) = y x(y 1) by distribution, we get the nal ANF: f(x; y) = y xy x = x y xy

1.5 See also Boolean function Logical graph Zhegalkin polynomial Negation normal form Conjunctive normal form Disjunctive normal form

1.6 References[1] WolframAlpha NOT-equivalence demonstration: a = 1 a

[2] WolframAlpha AND-equivalence demonstration: (a b)(c d) = ac ad bc bd

[3] From De Morgans laws

[4] WolframAlpha OR-equivalence demonstration: a + b = a b ab

Chapter 2

Atomic formula

In mathematical logic, an atomic formula (also known simply as an atom) is a formula with no deeper propositionalstructure, that is, a formula that contains no logical connectives or equivalently a formula that has no strict subformulas.Atoms are thus the simplest well-formed formulas of the logic. Compound formulas are formed by combining theatomic formulas using the logical connectives.The precise form of atomic formulas depends on the logic under consideration; for propositional logic, for example,the atomic formulas are the propositional variables. For predicate logic, the atoms are predicate symbols togetherwith their arguments, each argument being a term. In model theory, atomic formula are merely strings of symbolswith a given signature, which may or may not be satisable with respect to a given model.[1]

2.1 Atomic formula in rst-order logicThe well-formed terms and propositions of ordinary rst-order logic have the following syntax:Terms:

t c j x j f(t1; :::; tn) ,

that is, a term is recursively dened to be a constant c (a named object from the domain of discourse), or a variable x(ranging over the objects in the domain of discourse), or an n-ary function f whose arguments are terms tk. Functionsmap tuples of objects to objects.Propositions:

A;B; ::: P (t1; :::; tn) j A ^B j > j A _B j ? j A B j 8x: A j 9x: A ,

that is, a proposition is recursively dened to be an n-ary predicate P whose arguments are terms tk, or an expressioncomposed of logical connectives (and, or) and quantiers (for-all, there-exists) used with other propositions.An atomic formula or atom is simply a predicate applied to a tuple of terms; that is, an atomic formula is a formulaof the form P (t1, , tn) for P a predicate, and the tk terms.All other well-formed formulae are obtained by composing atoms with logical connectives and quantiers.For example, the formula x. P (x) y. Q (y, f (x)) z. R (z) contains the atoms

P (x) Q(y; f(x)) R(z)

When all of the terms in an atom are ground terms, then the atom is called a ground atom or ground predicate.

4

2.2. SEE ALSO 5

2.2 See also In model theory, structures assign an interpretation to the atomic formulas. In proof theory, polarity assignment for atomic formulas is an essential component of focusing. Atomic sentence

2.3 References[1] Wilfrid Hodges (1997). A Shorter Model Theory. Cambridge University Press. pp. 1114. ISBN 0-521-58713-1.

2.4 Further reading Hinman, P. (2005). Fundamentals of Mathematical Logic. A K Peters. ISBN 1-56881-262-0.

Chapter 3

Atomic sentence

In logic, an atomic sentence is a type of declarative sentence which is either true or false (may also be referred to asa proposition, statement or truthbearer) and which cannot be broken down into other simpler sentences. For exampleThe dog ran is an atomic sentence in natural language, whereas The dog ran and the cat hid. is a molecularsentence in natural language.From a logical analysis, the truth or falsity of sentences in general is determined by only two things: the logical formof the sentence and the truth or falsity of its simple sentences. This is to say, for example, that the truth of the sentenceJohn is Greek and John is happy is a function of the meaning of "and", and the truth values of the atomic sentencesJohn is Greek and John is happy. However, the truth or falsity of an atomic sentence is not a matter that is withinthe scope of logic itself, but rather whatever art or science the content of the atomic sentence happens to be talkingabout.[1]

Logic has developed articial languages, for example sentential calculus and predicate calculus partly with the purposeof revealing the underlying logic of natural languages statements, the surface grammar of which may conceal theunderlying logical structure; see Analytic Philosophy. In these articial languages an Atomic Sentence is a string ofsymbols which can represent an elementary sentence in a natural language, and it can be dened as follows.In a formal language, a well-formed formula (or w) is a string of symbols constituted in accordance with the rules ofsyntax of the language. A term is a variable, an individual constant or a n-place function letter followed by n terms.An atomic formula is a w consisting of either a sentential letter or an n-place predicate letter followed by n terms. Asentence is a w in which any variables are bound. An atomic sentence is an atomic formula containing no variables.It follows that an atomic sentence contains no logical connectives, variables or quantiers. A sentence consisting ofone or more sentences and a logical connective is a compound (or molecular sentence). See vocabulary in First-orderlogic

3.1 Examples

3.1.1 Assumptions

In the following examples:* let F, G, H be predicate letters; * let a, b, c be individual constants; * let x, y, z be variables.

3.1.2 Atomic sentences

These ws are atomic sentences; they contain no variables or conjunctions:

F(a)

H(b, a, c)

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3.2. INTERPRETATIONS 7

3.1.3 Atomic formulaeThese ws are atomic formulae, but are not sentences (atomic or otherwise) because they include free variables:

F(x) G(a, z) H(x, y, z)

3.1.4 Compound sentencesThese ws are compound sentences. They are sentences, but are not atomic sentences because they are not atomicformulae:

x (F(x)) z (G(a, z)) x y z (H(x, y, x)) x z (F(x) G(a, z)) x y z (G(a, z) H(x, y, z))

3.1.5 Compound formulaeThese ws are compound formulae. They are not atomic formulae but are built up from atomic formulae using logicalconnectives. They are also not sentences because they contain free variables:

F(x) G(a, z) G(a, z) H(x, y, z)

3.2 InterpretationsMain article: Interpretation (logic)

A sentence is either true or false under an interpretation which assigns values to the logical variables. We mightfor example make the following assignments:Individual Constants

a: Socrates b: Plato c: Aristotle

Predicates:

F: is sleeping G: hates H: made hit

Sentential variables:

8 CHAPTER 3. ATOMIC SENTENCE

p: It is raining.

Under this interpretation the sentences discussed above would represent the following English statements:

p: It is raining.

F(a): Socrates is sleeping.

H(b, a, c): Plato made Socrates hit Aristotle.

x (F(x)): Everybody is sleeping.

z (G(a, z)): Socrates hates somebody.

x y z (H(x, y, z)): Somebody made everybody hit somebody. (They may not have all hit the same personz, but they all did so because of the same person x.)

x z (F(x) G(a, z)): Everybody is sleeping and Socrates hates somebody.

x y z (G(a, z) H(x, y, z)): Either Socrates hates somebody or somebody made everybody hit somebody.

3.3 Translating sentences from a natural language into an articial lan-guage

Sentences in natural languages can be ambiguous, whereas the languages of the sentential logic and predicate logicsare precise. Translation can reveal such ambiguities and express precisely the intended meaning.For example take the English sentence Father Ted married Jack and Jill. Does this mean Jack married Jill? Intranslating we might make the following assignments: Individual Constants

a: Father Ted

b: Jack

c: Jill

Predicates:

M: ociated at the marriage of to

Using these assignments the sentence above could be translated as follows:

M(a, b, c): Father Ted ociated at the marriage of Jack and Jill.

x y (M(a, b, x) M(a, c, y)): Father Ted ociated at the marriage of Jack to somebody and Father Tedociated at the marriage of Jill to somebody.

x y (M(x, a, b) M(y, a, c)): Somebod