Logic symbols 6Wikipedia

Contents

1 Absorption (logic) 11.1 Formal notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Proof by truth table . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4 Formal proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Admissible rule 32.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3 Decidability and reduced rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.4 Projectivity and unication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.5 Bases of admissible rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.5.1 Examples of bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.6 Semantics for admissible rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.7 Structural completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.8 Variants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.9 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.10 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3 Arming a disjunct 133.1 Explanation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.2 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.4 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4 Arming the consequent 154.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

5 Algebraic normal form 175.1 Common uses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175.2 Performing operations within algebraic normal form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

i

ii CONTENTS

5.3 Converting to algebraic normal form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185.4 Formal representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

5.4.1 Recursively deriving multiargument Boolean functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

6 Distributive property 206.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206.2 Meaning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

6.3.1 Real numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216.3.2 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226.3.3 Other examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

6.4 Propositional logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226.4.1 Rule of replacement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226.4.2 Truth functional connectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

6.5 Distributivity and rounding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236.6 Distributivity in rings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236.7 Generalizations of distributivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

6.7.1 Notions of antidistributivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246.8 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256.10 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

7 Associative property 267.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267.2 Generalized associative law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277.4 Propositional logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

7.4.1 Rule of replacement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307.4.2 Truth functional connectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

7.5 Non-associativity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307.5.1 Nonassociativity of oating point calculation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317.5.2 Notation for non-associative operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

7.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

8 Atomic formula 348.1 Atomic formula in rst-order logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358.4 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

CONTENTS iii

9 Atomic sentence 369.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

9.1.1 Assumptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369.1.2 Atomic sentences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369.1.3 Atomic formulae . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379.1.4 Compound sentences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379.1.5 Compound formulae . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

9.2 Interpretations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379.3 Translating sentences from a natural language into an articial language . . . . . . . . . . . . . . . 389.4 Philosophical signicance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

10 Head normal form 4010.1 Beta reduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4010.2 Reduction strategies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4010.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4110.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

11 Biconditional elimination 4211.1 Formal notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4211.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4311.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

12 Biconditional introduction 4412.1 Formal notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4412.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

13 Blake canonical form 4513.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4513.2 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

14 Categorical proposition 4614.1 Translating statements into standard form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4714.2 Properties of categorical propositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

14.2.1 Quantity and quality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4714.2.2 Distributivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

14.3 Operations on categorical statements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4814.3.1 Conversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4814.3.2 Obversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4814.3.3 Contraposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

14.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4914.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

iv CONTENTS

14.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4914.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

15 Clause (logic) 5015.1 Empty clauses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5015.2 Implicative form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5015.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5015.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5115.5 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

16 Commutative property 5216.1 Common uses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5216.2 Mathematical denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5316.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

16.3.1 Commutative operations in everyday life . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5316.3.2 Commutative operations in mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5316.3.3 Noncommutative operations in everyday life . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5416.3.4 Noncommutative operations in mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

16.4 History and etymology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5516.5 Propositional logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

16.5.1 Rule of replacement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5616.5.2 Truth functional connectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

16.6 Set theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5616.7 Mathematical structures and commutativity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5716.8 Related properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

16.8.1 Associativity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5716.8.2 Symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

16.9 Non-commuting operators in quantum mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5716.10See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5816.11Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5916.12References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

16.12.1 Books . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5916.12.2 Articles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6016.12.3 Online resources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

17 Commutativity of conjunction 6117.1 Formal notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6117.2 Generalized principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6217.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

18 Conditioned disjunction 6318.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

CONTENTS v

19 Conjunction elimination 6419.1 Formal notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6419.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

20 Conjunction introduction 6620.1 Formal notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6620.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

21 Conjunctive normal form 6721.1 Examples and Non-Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6721.2 Conversion into CNF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6821.3 First-order logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6821.4 Computational complexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6821.5 Converting from rst-order logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6921.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6921.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7021.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7021.9 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

22 Constructive dilemma 7122.1 Formal notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7122.2 Variable English . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7122.3 Natural language example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7122.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

23 Contingency (philosophy) 7323.1 Contingency and relativism in rhetoric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7323.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7423.3 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

24 Contradiction 7524.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7524.2 Contradiction in formal logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

24.2.1 Proof by contradiction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7624.2.2 Symbolic representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7724.2.3 The notion of contradiction in an axiomatic system and a proof of its consistency . . . . . . 77

24.3 Contradictions and philosophy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7824.3.1 Pragmatic contradictions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7824.3.2 Dialectical materialism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

24.4 Contradiction outside formal logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7824.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7924.6 Footnotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8024.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

vi CONTENTS

24.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

25 Contraposition (traditional logic) 8125.1 Traditional logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8125.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8225.3 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8225.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

26 Converse implication 8326.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

26.1.1 Truth table . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8326.1.2 Venn diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

26.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8326.3 Symbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8326.4 Natural language . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8326.5 Boolean Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8426.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

27 Converse nonimplication 8527.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

27.1.1 Truth table . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8527.1.2 Venn diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

27.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8527.3 Symbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8527.4 Natural language . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

27.4.1 Grammatical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8627.4.2 Rhetorical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8627.4.3 Colloquial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

27.5 Boolean algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8627.5.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

27.6 Computer science . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8727.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8727.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

28 CornishFisher expansion 8828.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8828.2 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8828.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

29 Cut rule 9029.1 Formal notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9029.2 Elimination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

30 De Morgans laws 91

CONTENTS vii

30.1 Formal notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9130.1.1 Substitution form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9330.1.2 Set theory and Boolean algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9330.1.3 Engineering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9430.1.4 Text searching . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

30.2 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9430.3 Informal proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

30.3.1 Negation of a disjunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9530.3.2 Negation of a conjunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

30.4 Formal proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9630.5 Extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9630.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9730.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9830.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

31 Deductive closure 9931.1 Epistemic closure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9931.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

32 Denying the antecedent 10032.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10132.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10132.3 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

33 Destructive dilemma 10233.1 Formal notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10233.2 Natural language example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10233.3 Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10333.4 Example proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10333.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10333.6 Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10333.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

34 Disjunction elimination 10434.1 Formal notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10434.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10534.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

35 Disjunction introduction 10635.1 Formal notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10635.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

36 Disjunctive normal form 10736.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

viii CONTENTS

36.2 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

37 Disjunctive syllogism 10937.1 Formal notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10937.2 Natural language examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11037.3 Inclusive and exclusive disjunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11037.4 Related argument forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11037.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

38 Distributive property 11238.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11238.2 Meaning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11238.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

38.3.1 Real numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11338.3.2 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11438.3.3 Other examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

38.4 Propositional logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11438.4.1 Rule of replacement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11438.4.2 Truth functional connectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

38.5 Distributivity and rounding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11538.6 Distributivity in rings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11538.7 Generalizations of distributivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

38.7.1 Notions of antidistributivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11638.8 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11638.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11738.10External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

39 Double negation 11839.1 Double negative elimination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

39.1.1 Formal notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11939.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11939.3 Footnotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11939.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

40 Exclusive or 12140.1 Truth table . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12140.2 Equivalencies, elimination, and introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12140.3 Relation to modern algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12340.4 Exclusive or in English . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12340.5 Alternative symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12440.6 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12440.7 Computer science . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

40.7.1 Bitwise operation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

CONTENTS ix

40.8 Encodings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12740.9 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12740.10Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12740.11External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

41 Existential generalization 12841.1 Quine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12841.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12841.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

42 Existential instantiation 12942.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12942.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

43 Exportation (logic) 13043.1 Formal notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13043.2 Natural language . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

43.2.1 Truth values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13043.2.2 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

43.3 Relation to functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13143.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

44 Expression (mathematics) 13244.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13244.2 Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13244.3 Syntax versus semantics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

44.3.1 Syntax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13244.3.2 Semantics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13344.3.3 Formal languages and lambda calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

44.4 Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13344.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13444.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13444.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

45 False (logic) 13545.1 In classical logic and Boolean logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13545.2 False, negation and contradiction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13545.3 Consistency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13545.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13645.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

46 Formation rule 13746.1 Formal language . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13746.2 Formal systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

x CONTENTS

46.3 Propositional and predicate logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13746.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

47 Frege system 13947.1 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13947.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13947.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14047.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

47.4.1 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

48 Freges propositional calculus 14148.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14348.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

49 Functional completeness 14449.1 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14449.2 Informal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14449.3 Characterization of functional completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14549.4 Minimal functionally complete operator sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14549.5 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14649.6 In other domains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14649.7 Set theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14649.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14649.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

50 Ground expression 14850.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14850.2 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

50.2.1 Ground terms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14850.2.2 Ground atom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14950.2.3 Ground formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

50.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

51 Head normal form 15051.1 Beta reduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15051.2 Reduction strategies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15051.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15151.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

52 Herbrandization 15252.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15252.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

53 Herbrandization 154

CONTENTS xi

53.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15453.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

54 Horn clause 15654.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15654.2 Logic programming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15654.3 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15754.4 Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

55 Hypothetical syllogism 15955.1 Formal notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15955.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15955.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16055.4 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

56 Material equivalence 16156.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16156.2 Usage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

56.2.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16156.2.2 Proofs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16256.2.3 Origin of i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

56.3 Distinction from if and only if . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16256.4 More general usage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16356.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16356.6 Footnotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16356.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

57 Implicational propositional calculus 16457.1 Virtual completeness as an operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16457.2 Axiom system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16457.3 Basic properties of derivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16557.4 Completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

57.4.1 Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16557.5 The BernaysTarski axiom system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16757.6 Testing whether a formula of the implicational propositional calculus is a tautology . . . . . . . . . 16757.7 Adding an axiom schema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16857.8 An alternative axiomatization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16857.9 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17057.10References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

58 Indicative conditional 17158.1 Distinctions between the material conditional and the indicative conditional . . . . . . . . . . . . . 17158.2 Psychology and indicative conditionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

xii CONTENTS

58.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17158.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17258.5 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

59 Intermediate logic 17359.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17359.2 Properties and examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17359.3 Semantics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17459.4 Relation to modal logics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17459.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

60 List of logic systems 17660.1 Classical propositional calculus systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

60.1.1 Implication and negation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17660.1.2 Implication and falsum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17860.1.3 Negation and disjunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17960.1.4 Sheers stroke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

60.2 Implicational propositional calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18060.3 Intuitionistic and intermediate logics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18160.4 Positive implicational calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18260.5 Positive propositional calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18360.6 Equivalential calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18460.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

61 List of rules of inference 18761.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18761.2 Rules for classical sentential calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

61.2.1 Rules for negations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18761.2.2 Rules for conditionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18861.2.3 Rules for conjunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18861.2.4 Rules for disjunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18961.2.5 Rules for biconditionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

61.3 Rules of classical predicate calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19061.4 Table: Rules of Inference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

61.4.1 Example 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19161.4.2 Example 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

61.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

62 List of valid argument forms 19362.1 Valid syllogistic forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

62.1.1 Unconditionally valid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19362.1.2 Conditionally valid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

62.2 Valid propositional forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

CONTENTS xiii

62.2.1 Modus ponens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19362.2.2 Modus tollens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19462.2.3 Hypothetical syllogism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19462.2.4 Disjunctive syllogism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19462.2.5 Constructive dilemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

62.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

63 Literal (mathematical logic) 19663.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19663.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

64 Logical biconditional 19764.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

64.1.1 Truth table . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19864.1.2 Venn diagrams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

64.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19964.3 Rules of inference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

64.3.1 Biconditional introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20064.3.2 Biconditional elimination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

64.4 Colloquial usage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20064.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20064.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20164.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

65 Logical conjunction 20265.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20365.2 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

65.2.1 Truth table . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20465.3 Introduction and elimination rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20465.4 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20565.5 Applications in computer engineering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20665.6 Set-theoretic correspondence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20665.7 Natural language . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20665.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20765.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20765.10External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

66 Logical connective 20866.1 In language . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

66.1.1 Natural language . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20866.1.2 Formal languages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

66.2 Common logical connectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20966.2.1 List of common logical connectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

xiv CONTENTS

66.2.2 History of notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21066.2.3 Redundancy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

66.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21166.4 Order of precedence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21266.5 Computer science . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21266.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21266.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21266.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21366.9 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21366.10External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

67 Logical consequence 21467.1 Formal accounts of logical consequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21467.2 A priori property of logical consequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21567.3 Proofs and models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

67.3.1 Syntactic consequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21567.3.2 Semantic consequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

67.4 Modal accounts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21567.4.1 Modal-formal accounts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21667.4.2 Warrant-based accounts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21667.4.3 Non-monotonic logical consequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

67.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21667.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21667.7 Resources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21767.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

68 Logical disjunction 21968.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22068.2 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

68.2.1 Truth table . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22168.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22168.4 Symbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22268.5 Applications in computer science . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

68.5.1 Bitwise operation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22268.5.2 Logical operation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22368.5.3 Constructive disjunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

68.6 Union . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22368.7 Natural language . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22368.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22368.9 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22368.10External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22468.11References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

CONTENTS xv

69 Logical equality 22569.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22669.2 Alternative descriptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22669.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22669.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22769.5 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

70 Logical NOR 22870.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

70.1.1 Truth table . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22970.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22970.3 Introduction, elimination, and equivalencies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22970.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22970.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

71 Material conditional 23071.1 Denitions of the material conditional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

71.1.1 As a truth function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23171.1.2 As a formal connective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

71.2 Formal properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23271.3 Philosophical problems with material conditional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23271.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

71.4.1 Conditionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23371.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23371.6 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23371.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

72 Material equivalence 23572.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23572.2 Usage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

72.2.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23572.2.2 Proofs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23672.2.3 Origin of i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

72.3 Distinction from if and only if . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23672.4 More general usage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23772.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23772.6 Footnotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23772.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

73 Material implication (rule of inference) 23873.1 Formal notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23873.2 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23873.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

xvi CONTENTS

74 Material nonimplication 24074.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

74.1.1 Truth table . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24174.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24174.3 Symbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24174.4 Natural language . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

74.4.1 Grammatical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24174.4.2 Rhetorical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24174.4.3 Colloquial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

74.5 Boolean algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24174.6 Computer science . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24174.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24174.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

75 Modal operator 24275.1 Modality interpreted . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

75.1.1 Alethic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24275.1.2 Deontic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24275.1.3 Axiological . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24275.1.4 Epistemic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24275.1.5 Doxastic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

76 Modus non excipiens 243

77 Modus ponendo tollens 24477.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

78 Modus ponens 24578.1 Formal notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24578.2 Explanation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24678.3 Justication via truth table . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24678.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24678.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24778.6 Sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24778.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

79 Modus tollens 24879.1 Formal notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24879.2 Explanation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24979.3 Relation to modus ponens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24979.4 Justication via truth table . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25079.5 Formal proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

79.5.1 Via disjunctive syllogism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

CONTENTS xvii

79.5.2 Via reductio ad absurdum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25079.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25079.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25079.8 External link . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

80 Negation 25180.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25180.2 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25180.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

80.3.1 Double negation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25280.3.2 Distributivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25280.3.3 Linearity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25280.3.4 Self dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

80.4 Rules of inference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25280.5 Programming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25280.6 Kripke semantics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25380.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25380.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25480.9 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25480.10External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

81 Negation as failure 25581.1 Planner semantics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25581.2 Prolog semantics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25581.3 Completion semantics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25581.4 Autoepistemic semantics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25681.5 Footnotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25781.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25781.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

82 Negation introduction 25882.1 Formal notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25882.2 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25882.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

83 Negation normal form 25983.1 Examples and counterexamples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25983.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26083.3 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

84 Nicods axiom 261

85 Normal form 26285.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

xviii CONTENTS

86 Open sentence 26386.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

87 Polish notation 26587.1 Arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26587.2 Computer programming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26687.3 Order of operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26687.4 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26787.5 Polish notation for logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26787.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26787.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26887.8 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

88 Predicate (mathematical logic) 26988.1 Simplied overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26988.2 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26988.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27088.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27088.5 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

89 Prenex normal form 27189.1 Conversion to prenex form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

89.1.1 Conjunction and disjunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27189.1.2 Negation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27289.1.3 Implication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27289.1.4 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27289.1.5 Intuitionistic logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

89.2 Use of prenex form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27389.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27489.4 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27489.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

90 Principle of distributivity 275

91 Probabilistic proposition 276

92 Proof by contrapositive 27792.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27792.2 Relation to proof by contradiction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27792.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27792.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

93 Proposition 27993.1 Historical usage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

CONTENTS xix

93.1.1 By Aristotle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27993.1.2 By the logical positivists . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27993.1.3 By Russell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

93.2 Relation to the mind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28093.3 Treatment in logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28093.4 Objections to propositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28093.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28193.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28193.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

94 Propositional calculus 28294.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28394.2 Terminology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28394.3 Basic concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

94.3.1 Closure under operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28594.3.2 Argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

94.4 Generic description of a propositional calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28694.5 Example 1. Simple axiom system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28794.6 Example 2. Natural deduction system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28894.7 Basic and derived argument forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28994.8 Proofs in propositional calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

94.8.1 Example of a proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28994.9 Soundness and completeness of the rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

94.9.1 Sketch of a soundness proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29094.9.2 Sketch of completeness proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29194.9.3 Another outline for a completeness proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

94.10Interpretation of a truth-functional propositional calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29294.10.1 Interpretation of a sentence of truth-functional propositional logic . . . . . . . . . . . . . . 292

94.11Alternative calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29394.11.1 Axioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29394.11.2 Inference rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29394.11.3 Meta-inference rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29394.11.4 Example of a proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

94.12Equivalence to equational logics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29594.13Graphical calculi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29694.14Other logical calculi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29694.15Solvers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29794.16See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

94.16.1 Higher logical levels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29794.16.2 Related topics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

94.17References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29794.18Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

xx CONTENTS

94.18.1 Related works . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29894.19External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

95 Propositional formula 29995.1 Propositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

95.1.1 Relationship between propositional and predicate formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . 30095.1.2 Identity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

95.2 An algebra of propositions, the propositional calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30095.2.1 Usefulness of propositional formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30195.2.2 Propositional variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30195.2.3 Truth-value assignments, formula evaluations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

95.3 Propositional connectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30295.3.1 Connectives of rhetoric, philosophy and mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30295.3.2 Engineering connectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30295.3.3 CASE connective: IF ... THEN ... ELSE ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30295.3.4 IDENTITY and evaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

95.4 More complex formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30495.4.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30495.4.2 Axiom and denition schemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30595.4.3 Substitution versus replacement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

95.5 Inductive denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30595.6 Parsing formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

95.6.1 Connective seniority (symbol rank) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30695.6.2 Commutative and associative laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30795.6.3 Distributive laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30795.6.4 De Morgans laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30795.6.5 Laws of absorption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30895.6.6 Laws of evaluation: Identity, nullity, and complement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30895.6.7 Double negative (Involution) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

95.7 Well-formed formulas (ws) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30895.7.1 Ws versus valid formulas in inferences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

95.8 Reduced sets of connectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30995.8.1 The stroke (NAND) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30995.8.2 IF ... THEN ... ELSE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

95.9 Normal forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31195.9.1 Reduction to normal form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31195.9.2 Reduction by use of the map method (Veitch, Karnaugh) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

95.10Impredicative propositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31395.11Propositional formula with feedback . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314

95.11.1 Oscillation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31495.11.2 Memory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314

95.12Historical development . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

CONTENTS xxi

95.13Footnotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31795.14References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

96 Propositional function 32596.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

97 Propositional proof system 32697.1 Mathematical denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32697.2 Algorithmic interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32697.3 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32797.4 Relation with computational complexity theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32797.5 Examples of propositional proof systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32797.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32897.7 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32897.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

98 Propositional representation 33098.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33098.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

99 Propositional variable 33399.1 Uses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33399.2 In rst order logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33399.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33399.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

100Resolution (logic) 334100.1Resolution in propositional logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

100.1.1 Resolution rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334100.1.2 A resolution technique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

100.2A simple example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335100.3Resolution in rst order logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

100.3.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335100.3.2 Informal explanation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336

100.4Implementations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338100.5See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338100.6Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338100.7References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338100.8External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339

101Resolution inference 340101.1Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340101.2Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

xxii CONTENTS

102Rule of inference 342102.1The standard form of rules of inference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342102.2Axiom schemas and axioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343102.3Example: Hilbert systems for two propositional logics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343102.4Admissibility and derivability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344102.5See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344102.6References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345

103Rule of replacement 346103.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346

104Structural rule 347104.1Common structural rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347104.2See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347

105Second-order propositional logic 348105.1See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348105.2References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348

106Sentence (logic) 349106.1Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349106.2See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349106.3References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350

107Sequent 351107.1Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351

107.1.1 The form and semantics of sequents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351107.1.2 Syntax details . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352107.1.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352107.1.4 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353107.1.5 Rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353

107.2Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353107.2.1 History of the meaning of sequent assertions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353107.2.2 Intuitive meaning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354

107.3Variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354107.4Etymology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354107.5See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355107.6Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355107.7References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356107.8External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356

108Sheer stroke 357108.1Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358

108.1.1 Truth table . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358

CONTENTS xxiii

108.2History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358108.3Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358108.4Introduction, elimination, and equivalencies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358108.5Formal system based on the Sheer stroke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358

108.5.1 Symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358108.5.2 Syntax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359108.5.3 Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359108.5.4 Simplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359

108.6See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360108.7Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360108.8References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361108.9External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361

109Skolem normal form 362109.1How Skolemization works . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362109.2Uses of Skolemization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363109.3Skolem theories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363109.4See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363109.5Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364109.6References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364109.7External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364

110SLD resolution 365110.1The SLD inference rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365110.2The origin of the name SLD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365110.3The computational interpretation of SLD resolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366110.4SLD resolution strategies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366110.5Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366110.6SLDNF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367110.7See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367110.8References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367110.9External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367

111Strict conditional 368111.1Avoiding paradoxes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368111.2Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368111.3See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369111.4References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369111.5Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369

112Structural rule 371112.1Common structural rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371112.2See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371

xxiv CONTENTS

113Substitution (logic) 372113.1Propositional logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372

113.1.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372113.1.2 Tautologies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373

113.2First-order logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373113.3See also