Lógica Auto-epistémica

• Proposta por Moore (1985)

• Contempla reflecção sobre conhecimento próprio (auto-epistémico)

• Permite falar não só do mundo exterior, como também do conhecimento que tenho dele.

Sintaxe de AEL

• Lógica de 1ª ordem, mais operador L (aplicado a formúlas)

• L significa “sei ”

• Exemplos:

lugar → L lugar (ou L lugar → lugar)

jovem(X) L estuda (X) → estuda (X)

Significado de AEL

• O que é que sei?– Aquilo que consigo derivar (em todos os

modelos)

• E o que é que não sei?– Aquilo que não consigo derivar

• Mas aquilo que se deriva depende do que sei– Adiocinar conhecimento, e depois testar

Semântica AEL

• T* é expansão de teoria T sse

T* = Th(T{L : T* |= } {L : T* |≠ })

• Assumindo a regra de inferência /L :

T* = CnAEL(T {L : T* |≠ })

• Uma teoria AEL é sempre a dois valores em L, ou seja, para toda a expansão:

| L T* L T*

Conhecimento vs. Crenças

• Crenças é um conceito mais fraco– Para toda a fórmula, ou sei ou não sei– Podem haver fórmulas em que não acredito,

nem no seu contrário

• Lógica auto-epistémica de conhecimento e crenças (AELB), introduz também operador B – acredito em .

Exemplo AELB

• Alugo filme se acredito que nem vou ao baseball nem ao futebol

Bbaseball Bfutebol → alugar_filme• Não compro bilhetes se não sei que vou ao

baseball nem sei que vou ao futebol L baseball L futebol → comprar_bilhetes

• Vou ao futebol ou ao baseballbaseball futebol

• Não devo concluir que alugo filme, mas concluo que não compro bilhetes

Axiomas sobre crenças

• Axioma da consistência

B• Axioma de normalidade

B(F → G) → (B F → B G)

• Regra de necessitação

F

B F

Modelos minimais

• Em que é que eu acredito?– Naquilo que faz parte de todos os modelos preferidos

• Quais os modelos preferidos?– Os que para um mesmo conjunto de crenças, tem um

número mínimo de coisas verdadeiras

• Um modelo M é minimal sse não existe modelo menor N, coincidente com M em átomos B e L

• Se é verdadeiro em todos os modelos minimais de T, escrevo T |=min

Expansões AELB

• T* é expansão estática de T sse

T* = CnAELB(T {L : T* |≠ }

{B : T* |=min })

onde CnAELB denota o fecho usando os

axiomas de AELB mais a necessitação para

L

Caso particular de AEB

• Pelas suas propriedades, o caso de teorias sem operador de conhecimento é especialmente interessante.

• Nesse caso, a definição de expansão fica:

T* = (T*)

onde (T*) = CnAEB(T {B : T* |=min })

e CnAEB denota o fecho usando os axiomas

de AEB

Menor expansão

• Teorema: O operador é monotónico, i.e.

T T1 T2 → (T1) (T2)• Logo existe sempre uma expansão mínima

de T, que se pode obter por indução transfinita:– T0 = Cn(T)

– Ti+1 = (Ti)

– T = U T (para ordinais limite )

Consequências

• Toda a teoria AEB tem pelo menos uma expansão

• Se a teoria é afirmativa (i.e. todas as cláusulas têm pelo menos um literal positivo) então tem pelo menos uma expansão consistente.

• Há procedimento para calcular a semântica