LOGICA*

*Proposicin

Expresin de la que tiene sentido decir si es verdadera o falsa Una proposicin es una sentencia (oracin) correctamente formada que puede ser verdadera o falsaEs una sentencia declarativa.Representa un hecho de la realidad.Es una oracin del lenguaje que consta de un sujeto y un predicado, tiene un valor afirmativo.Las oraciones interrogativas, exclamativas, imperativas, no afirman nada y no pueden ser considerados enunciados.

*Ejemplos1 + 4 = 5 (Verdad)

La Pampa es una nacin. (Falso)8 + 23 (no es proposicin)Mara (dem anterior)Analiza si son o no proposiciones Lus y Marta van de pesca. Luis llam a Marta para salir. El autobs pasa a las seis Maana llover. sintate! cundo sale el autobs? fueron a pescar Luis y Marta finalmente?

*Proposicin AtmicaUna proposicin es simple o atmica si no puede ser descompuesta en proposiciones ms simples.Las proposiciones simples o atmicas son indicadas de manera afirmativa.Ejemplos:La casa es grande. (es atmica)La casa no es grande.( no es atmica)Hoy es viernes y tenemos clase. (no es atmica)

*Proposicin MolecularUna proposicin es compuesta o molecular si no es atmica, es decir, si puede ser descompuesta en proposiciones ms simples.Una proposicin compuesta o molecular se forma al unir proposiciones atmicas utilizando conectivos lgicos o trminos de enlace.

*Proposiciones MolecularesEjemplosVamos en bicicleta o vamos a pie.No es cierto que Juan lleg tempranoJuan no lleg tempranoLuis es arquitecto y Martn es mdico.La medalla no es de plata y el diploma parece falso.Matas aprob pero Lucas no.

*SimbolizacinSe utilizarn letras minsculas para simbolizar las proposiciones atmicas.Ejemplo:El Sr.Domnguez es el gerente.Si se considera p = El Sr.Domnguez es el gerenteesta proposicin puede ser simbolizada como p.

*SimbolizacinPara simbolizar un proposicinIdentificar las proposiciones simples o atmicasSimbolizar las proposiciones simples o atmicas encontradas.Utilizar los conectivos lgicos para relacionarlas.

*SimbolizacinEjemplosVamos en bicicleta o vamos a pie.p : Vamos en bicicleta.q : Vamos a pieSimbolizacin: p v qNo es cierto que Juan lleg tempranop = Juan lleg temprano.Simbolizacin : p

*SimbolizacinEjemploLa medalla no es de plata y el diploma parece falso.p : La medalla es de plata.q : El diploma parece falso

Simbolizacin: p ^ q

*SimbolizacinEjemploMatas aprob el examen pero Lucas no.r = Matas aprob el examen.s = Lucas aprob el examen

Simbolizacin : r ^ s

*La formalizacin es el proceso en el que se traducen proposiciones del lenguaje cotidiano al lenguaje formal o simblico.

Expresa las siguientes proposiciones usando p, q y los conectivos.Sean p: La temperatura est sobre los 17C q: Llueve

La temperatura est sobre los 17C pero llueve.Ni la temperatura supera los 17C ni llueve.No es cierto que llueva con la temperatura superior a los 17C.Llueve cuando la temperatura est sobre los 17C.Que la temperatura est sobre los 17C es suficiente para que no llueva.O bien llueve o bien la temperatura es superior a 17C.

*Tabla de VerdadLa tabla de verdad de una proposicin molecular muestra todas las posibles combinaciones de valores de verdad de las proposiciones atmicas que la componen.

*

*Negacin

Indique el valor de verdad de:El nmero 9 no es divisible por 3.No es cierto que los perros vuelan. p

p

((

p

p

V

F

F

V

*Conjuncin

Indique el valor de verdad de :6 es un nmero par y divisible por 3.( 2 + 5 = 7 ) y ( 2 * 3 = 9 )

p

q

p ^ q

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

F

*Disyuncin

Indique el valor de verdad de :2 es primo o es impar.(2 + 3 = 4 ) o (2 * 2 = 5)

p

q

p v q

V

V

V

V

F

V

F

V

V

F

F

F

*Construccin de tablas de verdadCuntas filas tiene la tabla?1 proposicin 2 valores (V o F)2 proposiciones4 valores de verdad3 proposiciones8 valores de verdad.........n proposiciones2n valores de verdad.

*EjemplosConstruir las tablas de verdad de las siguientes proposiciones p ^ q ( p v q ) ^ p (p ^ r ) v ( p ^ q)

*EjercicioSabiendo que p y q son proposiciones verdaderas y que r y s son proposiciones falsas, determinar el valor de verdad de las proposiciones moleculares siguientes: (p ^ q ) v (r ^ p ) v s(q v p) ^ (r v s ) v ( q ^ r )

*EjercicioSabiendo que

(p v q ) ^ ( p ^ s) es verdadera

indicar, de ser posible, el valor de verdad de las proposiciones atmicas que la componen

*EjercicioSabiendo que

( p ^ q ) v ( p v q ) es falsa

indicar, de ser posible, el valor de verdad de las proposiciones atmicas que la componen

*Proposiciones molecularesSegn su valor de verdad pueden serTautologaContradiccinContingencia

*TautologaUna proposicin compuesta o molecular es una tautologa si es cierta, cualesquiera sean los valores de verdad de las proposiciones atmicas que la componen.

Ejemplo: p v p

*ContradiccinUna proposicin compuesta o molecular es una contradiccin si es falsa, cualesquiera sean los valores de verdad de las proposiciones atmicas que la componen.

Ejemplo: p ^ p

*ContingenciaSe dice que una proposicin compuesta o molecular es una contingencia si al construir la tabla de verdad el resultado final que se obtiene, es una combinacin valores de verdad verdaderos y falsos.

Ejemplo: p ^ q

*Cules de estas proposiciones es una tautologa?Puedes construir una contradiccin a partir de alguna de ellas? Cul? EjerciciosFormaliza las siguientes proposiciones:No es cierto que no me guste bailarMe gusta bailar y leer libros de ciencia-ficcin.Si los gatos de mi hermana no soltaran tanto pelo me gustara acariciarlos.Si y slo si viera un marciano con mis propios ojos, creera que hay vida extraterrestre.Una de dos: o salgo a dar un paseo, o me pongo a estudiar como un energmeno.Si los elefantes volaran o supieran tocar el acorden, pensara que estoy como una regadera y dejara que me internaran en un psiquitrico.Prefiero ir de vacaciones o estar sin hacer nada si tengo tiempo para ello y no tengo que ir a trabajar.

*Equivalencia LgicaSe dice que dos formulas lgicas son equivalentes si poseen los mismos valores de verdad (para los mismos valores de verdad de sus variables)

Ejemplo: (p q) p q

*Ejemplo: (p q) p q

pqp v q (p q)VVVFVFVFFVVFFFFV

pq p q p qVVFFFVFFVFFVVFFFFVVV

*Leyes de De MorganLa negacin de una disyuncin es equivalente a la conjuncin de las negaciones de las proposiciones involucradas. (p q) p q

La negacin de una conjuncin es equivalente a la disyuncin de las negaciones de las proposiciones involucradas. (p q) p q

*Proposicin condicionalDadas dos proposiciones p y q, la proposicin "si p entonces q" se llama proposicin condicional y se escribe p q

donde p es llamada antecedente o hiptesis, y q consecuente o tesis.

*Proposicin condicionalEjemplo: Si resolvemos las guas de trabajos prcticos entonces aprenderemos matemticap = "resolvemos las guas de trabajos prcticos "q = "aprenderemos matemtica"Simbolizando: p q

*Proposicin condicionalEjemplo: Si vamos a la fiesta entonces no nos acostaremos tempranop = "vamos a la fiesta"q = "nos acostaremos temprano"Simbolizando: p q

*Tabla de verdad del condicional

La implicacin de p a q es falsa nicamente en el caso de que el antecedente p sea verdadero y que el consecuente q sea falso

pqp qVVVFVVVFFFFV

*Proposicin Condicional Existen distintas formas de leer un condicional:Si p entonces q. q es una condicin necesaria para p p es una condicin suficiente para q.

*Distintas formas de indicar una proposicin condicionalEjemplo:p : El entero x es mltiplo de 4 q : El entero x es parSi el entero x es mltiplo de 4, entonces es parQue el entero x sea mltiplo de 4 es suficiente para que sea parQue el entero x sea par es necesario para que sea mltiplo de 4.

*Proposicin condicionalLa contra positiva de la proposicin condicional p q es la proposicin q p

Muestre la equivalencia lgica: p q q p

*Proposicin bicondicionalObservando la tabla notamos que el bicondicional distingue si ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad, o valores de verdad distintos.

pqp qVVVVFFFVFFFV

*p q (p q) ^ (q p)

pqp qq p(p q) ^ (q p)

VVVVVVFFVFFVVFFFFVVV

* 1) Halla los valores de verdad de las proposiciones si sabes que p q es falsa. a) p q b) q p c) p p d) p q Piensa un rato y justifica tus respuestas 2) Halla los valores de verdad de p, q, r, s, t para que ( p q ) r ( s t ) sea falsa 3) Construye una tabla de verdad para cada una de las proposiciones a) ( p q ) q b) ( p q ) ( p q ) c) q ( p q)