logika - kuantifikasi

7/23/2019 LOGIKA - KUANTIFIKASI

http://slidepdf.com/reader/full/logika-kuantifikasi 1/37

KUANTIFIKASI

Nur Insani, M.Sc

Logika & Himpunan 2013

Nur Insani - [email protected] Universitas Negeri Yogyakarta



Pada validitas :Banyak a rgumen va l i d , n am

validitasnya tak dapat diuji deng

a l a t u j i v a l i d i t a s y a n g a d

Logika & Himpunan



Bagaimana Validitas Argumen

Semua kucing adalah hewan menyusu

Pussy adalah seekor kucing Jadi, Pussy adalah hewan menyusui

Validitas argumen tersebut tergantu pada tafsiran pernyataan tunggalnya

Apakah Pussy nama seekor kucing ?

Logika & Himpunan



Cara lain adalah validitas yang dida

pada hubungan kalimat (kaitan s u b y e k d a n p r e d i k Contoh :

Puppy adalah seekor kucing Puppy - Subyek

Seekor kucing - Predikat

Hubungan antara subyek dan predikmemberikan tafsiran terhadap

i d k k l i

Logika & Himpunan



Untuk memudahkan analisis, dibuat

kalimat tunggal yang memuat koms u b y e k - p r e d i k

Pussy adalah seekor kucing

Pussy adalah hewan menyusui

S P

PS

Logika & Himpunan



Bila :

Pussy disimbolkan dengan ………………. Seekor kucing disimbolkan dengan… Hewan menyusui disimbolkan dengan

Bila : Predikat disimbolkan dengan huruf bSubyek disimbolkan dengan huruf ke

Maka : Pussy adalah seekor kucing

Logika & Himpunan



Contoh lain : Yusuf = y Ali = a

Umar = u

Manusia = M

Yusuf adalah manusia MyAli adalah manusia MaUmar adalah manusia Mu

Logika & Himpunan



My,Ma,Mu adalah merupakan kalimat dekla

M x B u k a n m e r u p a k a n p e r n y a

M x d i se b ut s e ba g ai f u ng s i p r op

Fungsi proposisi Mx akan menjadi pernybila variabel individualnya (x) diganti/disud e n g a n k o n s t a n t a i n d i v i d

I ns t an t ia s i : adal ah suat u c a ra

Logika & Himpunan



Mx dikenal juga sebagai kalimat tung

Lawan dari kalimat tunggal adalah kaumum.

Kalimat umum adalah generalisasi.

Ciri dari kalimat yang general adalahmenggunakan kata : semua, untuk set

Kalimat general disebut dengan KuanKuantor Umum / Universal

Logika & Himpunan



Contoh Kalimat tunggal

Manusia adalah fana = Fm Contoh kalimat general

Semua manusia adalah fana

Untuk setiap manusia, maka manusia adalah fana

Ada manusia yang fana

K u a n

K u a n t o

Logika & Himpunan



Pendahuluan

• Dumbo adalah seekor gajah.

dapat ditulis : G(d)

Notasi diatas dibaca : “gajah Dumbo”.• Disebut fungsi proposional.

• Badu seorang mahasiswa.

dapat ditulis : M(b)• Perlu diingat: predikat ditulis dengan huruf

besar, variabel atau konstanta atau objek

ditulis huruf kecil.





• Persoalan muncul pada variabel-variabel

yang sering atau kadang-kadang muncul,

atau bersifat umum serta yang tidak bersifat

khusus, seperti “manusia”, “binatang” dsb.Contoh :

1. Semua gajah mempunyai belalai.

2. Beberapa mahasiswa mengambil mata kuliah

logika matematika.3. Setiap mahasiswa harus belajar dari buku teks.

4. Ada penduduk kota Jayakarta yang terkena Flu

Burung.





Kuantor Universal

Definisi:

Jika A suatu ekspresi logika dan x adalah

variabel, maka jika ingin menentukan bahwa

A adalah bernilai benar untuk semua nilaiyang dimungkinkan untuk x akan ditulis

( x)A. Disini x disebut kuantor universal,

dengan A adalah scope dari kuantor.

Variabel x disebut terikat (bound) dengankuantor. Simbol menggantikan kata “untuk

semua”.

∀ ∀

∀





Semua gajah mempunyai belalai.

Dapat ditulis: G(x)→B(x)

Dibaca: “Jika x adalah gajah, maka x

mempunyai belalai ”

Selanjutnya, ditulis:

( x)(G(x) → B(x))

Dibaca: “Untuk semua x, jika x adalah gajah,

maka x mempunyai belalai ”

∀





Notasi Kuantor Contoh

Semua manusia adalah fanaUntuk setiap obyek, maka obyek itu a

fana

Untuk setiap x maka x adalah fanaUntuk setiap x, Fx

( x), Fx

Untuk setiap x, maka x mempunyai si

A

Logika & Himpunan



Simbol adalah kuantor yang menggunakan

kata “semua” atau kata apa saja yang artinya

sama dengan “semua”, misalnya “setiap”.

disebut kuantor universal (universal

quantifier ).

Kuantor universal mengindikasikan bahwa

sesuatu bernilai benar untuk semua individual-

individualnya.

∀

∀





7

Setiap mahasiswa harus belajar dari buku

teks.


( x)(M(x) → B(x))

Dibaca: “Untuk semua x, jika x adalah

mahasiswa, maka x harus belajar dari buku

teks ”

∀





8

Setiap bilangan prima adalah ganjil.


( x)(P(x) → O(x))

Dimana P mengganti “bilangan prima”,

sedangkan O mengganti ganjil (odd).

Dibaca: “Untuk semua x, jika x adalah

bilangan prima, maka x adalah ganjil”

∀





9

Langkah untuk melakukan

pengkuantoran universal :

• Perhatikan pernyataan berikut ini :

“ Semua mahasiswa harus rajin belajar”

• Untuk melakukan pengkuantoran universal pada

pernyataan tersebut maka dilakukan langkah-langkah seperti berikut :

1. Carilah lingkup (scope) dari kuantor universalnya,

yaitu :“ Jika x adalah mahasiswa, maka x harus rajin

belajar” .

Selanjutnya akan ditulis :

mahasiswa(x) → harus rajin belajar(x)





10

2. Berilah kuantor universal di depannya

( x)(mahasiswa(x) → harus rajin belajar(x))

3. Ubahlah menjadi suatu fungsi :( x)(M(x) → B(x))

∀

∀





11

Contoh:

1. ” Semua tanaman hijau membutuhkan air untuk

tumbuh ” .

• Jika x adalah tanaman hijau, maka x membutuhkanair untuk tumbuh

Tanaman hijau(x) → membutuhkan air untuk

tumbuh(x)

• ( x) (Tanaman hijau(x) → membutuhkan air untuktumbuh(x))

• ( x)(T(x) → A(x))

∀

∀





12

2. ”Semua artis adalah cantik” .

• Jika x adalah artis, maka x cantik,

• Artis(x) → cantik(x).

• ( x)( Artis(x) → cantik(x))• ( x)(A(x) → C(x))

∀

∀





13

Kuantor Eksistensial

Definisi:

Jika A suatu ekspresi logika dan x adalah

variabel, maka jika ingin menentukan bahwa

A adalah bernilai benar untuk untuksekurang-kurangnya satu dari x, maka akanditulis (Ǝx)A. Disini Ǝx disebut kuantor

eksistensial, dengan A adalah scope dari

kuantor. Variabel x disebut terikat (bound)dengan kuantor. Simbol Ǝ menggantikan

kata “ada”, “beberapa” atau “tidak semua”.





14

Ada bilangan prima yang genap.


(Ǝx)(P(x) Λ E(x))

Dimana P mengganti “bilangan prima”,

sedangkan E mengganti genap (even).

Dibaca: “Ada x, yang x adalah

bilangan prima dan x adalah genap”





Contoh

Ada paling sedikit satu manusia yangAda paling sedikit satu x, sedemikian

sehingga Fx

( x), Fx

Logika & Himpunan



15

Ǝ adalah kuantor yang menggunakan

kata “ada” atau kata apa saja yang artinya

sama dengan “tidak semua” atau “beberapa”.

Ǝ disebut kuantor universal (universal

existential).

Kuantor universal mengindikasikan bahwa

sesuatu kadang-kadang bernilai benar untuk

individual- invidualnya.





16

Langkah untuk melakukan

pengkuantoran eksistensial :

• Perhatikan pernyataan berikut ini :

“ Ada pelajar yang memperoleh beasiswa

berprestasi ”

• Untuk melakukan pengkuantoran eksistensial pada

pernyataan tersebut maka dilakukan langkah-

langkah seperti berikut :

1. Carilah lingkup (scope) dari kuantor eksistensialnya, yaitu :

“ Ada x yang adalah pelajar, dan x memperoleh

beasiswa berprestasi”.

Selanjutnya akan ditulis :

Pelajar(x) Λ memperoleh beasiswa berprestasi(x)





17

2. Berilah kuantor eksistensial di depannya

(Ǝx) (Pelajar(x) Λ memperoleh beasiswa

berprestasi(x))

3. Ubahlah menjadi suatu fungsi :

(Ǝx)(P(x) Λ B(x))





18

Contoh:

1. ”Beberapa orang rajin beribadah” .

• ”Ada x yang adalah orang, dan x rajin beribadah

• (Ǝx)(Orang(x) Λ rajin beribadah(x))

• (Ǝx)(O(x) Λ I(x))





19

2. ” Ada binatang yang t idak mempunyai kaki” .

• “Terdapat x yang adalah binatang, dan x tidak

mempunyai kaki”.

• (Ǝx)(binatang(x) Λ tidak mempunyai kaki(x))

• (Ǝx)(B(x) Λ ¬K(x))





20

Perlu diingat bahwa jangan mengabaikan

tanda kurung untuk fungsi dibelakang

kuantor karena mempengaruhi proses

manipulasinya.

Perhatikan dua contoh di bawah yang

kelihatannya sama tetapi berbeda:

( x)(M(x)→B(x))

( x)M(x) → B(x)

∀

∀





21

Dari berbagai contoh di sebelumnya, dapat

kita simpulkan bahwa :

• Jika pernyataan memakai kuantor universal ( ),maka digunakan perangkai implikasi (→), yaitu

“Jika semua......maka.....”

• Jika pernyataan memakai kuantor eksistensial(Ǝ), maka digunakan perangkai konjungsi (Λ),

yaitu “Ada...yang...dan....”.

∀





22

Negasi (Ingkaran) Kuantor

• Ingkaran kalimat ”semua x bersifat p(x)”

adalah ”Ada x yang tidak bersifat p(x)”

• Ingkaran kalimat ”Ada x yang bersifat q(x)”

adalah ”Semua x tidak bersifat q(x)”





23

Ingkaran Kuantor Universal

• Ingkaran dari kuantor universal adalah

kuantor ekstensial :

• Ingkaran dari “semua (setiap) ……..”

≡ ada (beberapa) …….yang tidak ……..

P(x)~x)(x)P(x)(~ ∃≡∀





24

Misalkan :

• p : semua bilangan bulat adalah positif

( x)(B(x)→P(x))

~p : ada bilangan bulat yang tidak positif(Ǝx)(B(x) Λ ~P(x))

• q : semua bilangan asli adalah positif

( x)(A(x)→P(x)) ~q : beberapa bilangan asli yang tidak positif

(Ǝx)(A(x) Λ ~P(x))

∀

∀





25

Ingkaran Kuantor Eksistensial

• Ingkaran dari kuantor ekstensial adalah

kuantor universal :

• Ingkaran dari “ada (beberapa / terdapat)

………”≡ semua (setiap) ….. tidak ……..

P(x)~x)(x)P(x)(~ ∀≡∃





26

Misalkan :• p : Ada bilangan prima adalah bilangan

genap

(Ǝx)(P(x) Λ G(x))

~p : semua bilangan prima bukan bilangangenap

( x)(P(x)→~G(x))

• q : Ada wanita yang menyukai sepak bola(Ǝx)(W(x) Λ B(x))

~q : semua wanita tidak menyukai sepak bola

( x)(W(x)→ ~B(x))∀

∀


Nur Insani - nurinsani@uny ac id Universitas Negeri Yogyakarta

logika - kuantifikasi

Documents