Capitolo 1

L’oscillatore armonico nellameccanica

Tratto da L. Pauling, E.B. Wilson, Introduzione alla Meccanica Quantistica,Piccin Editore.

1.1 Risoluzione dell’equazione d’onda

Come primo esempio della risoluzione dell’equazione d’onda di Schrodinger perun sistema dinamico sceglieremo l’oscillatore armonico monodimensionale, nonsolo perche tale sistema fornisce una buona illustrazione dei metodi usati nell’ap-plicazione dell’equazione d’onda, ma anche perche esso e di notevole importanzain applicazioni che saranno discusse in seguito, come il calcolo dell’energia vi-brazionale delle molecole.L’energia potenziale puo essere scritta, nella forma V (x) = 1/2kx2 = 1/2mω2x2 =2π2mν20x

2 dove x e lo spostamento della particella di massa m dalla sua po-sizione di equilibrio x = 0. Introducendo questa funzione energia potenzialenell’equazione d’onda generale per un sistema monodimensionale

− h2

8π2m

d2ψ

dx2+ V (x)ψ = Wψ (1.1)

si ottiene l’equazione

d2ψ

dx2+

8π2m

h2(W − 2π2mν20x

2)ψ = 0 (1.2)

che, ponendo per comodita

λ = 8π2mW/h2 (1.3)

e

α = 4π2mν0/h (1.4)

diviened2ψ

dx2+ (λ− α2x2)ψ = 0 (1.5)

1

2 CAPITOLO 1. L’OSCILLATORE ARMONICO NELLA MECCANICA

Vogliamo ora trovare le funzioni ψ(x) che soddisfino tale equazione per tutti ivalori di x fra -∞ e +∞ e che siano funzioni d’onda accettabili, e cioe continue,univoche e finite ovunque. Un metodo di risoluzione diretto e l’impiego di unosviluppo di ψ in serie di potenze di x, i cui coefficienti vengono determinatimediante sostituzione della serie rappresentativa di ψ nell’equazione d’onda.Esiste tuttavia un procedimento molto utile, che puo essere utilizzato in questoed in altri problemi, e che consiste nel determinare la forma di ψ nelle regionidei valori elevati, positivi e negativi, di x, e nel discutere poi il comportamentodi ψ per |x| piccolo introducendo un fattore sotto forma di una serie di potenze(che si riduce poi ad un polinomio). Questo procedimento puo essere chiamatoil metodo polinomiale.Il primo stadio consiste nella risoluzione asintotica dell’equazione d’onda per |x|molto grande. Per qualsiasi valore della costante W si puo trovare un valore di|x| tale che per valori di |x| eguali o maggiori di tale valore, λ sia trascurabilenei confronti di α2x2. La forma asintotica dell’equazione d’onda diviene quindi

d2ψ

dx2= α2x2ψ (1.6)

Questa equazione e soddisfatta asintoticamente dalle funzioni esponenziali

ψ = e±α2 x

2

in quanto le derivate di ψ hanno come valore

dψ

dx= ±αxe±α2 x

2

ed2ψ

dx2= α2x2e±

α2 x

2

± αe±α2 x2

e il secondo addendo di d2ψdx2 e trascurabile rispetto al primo nella regione consi-

derata.Delle due soluzioni asintotiche e−

α2 x

2

e e+α2 x

2

, la seconda non e una funzioned’onda soddisfacente dato che tende rapidamente ad infinito al crescere di |x|:la prima invece consente una trattazione soddisfacente del problema.Per ottenere una soluzione esatta dell’equazione d’onda basata sulla soluzio-ne asintotica e valida nell’intero spazio delle configurazioni (−∞ < x < +∞)introduciamo ora come fattore una serie di potenze di x e determiniamone icoefficienti introducendo la funzione cosı ottenuta nell’equazione d’onda.Sia ψ = e−

α2 x

2

f(x). Allora

d2ψ

dx2= e−

α2 x

2

{α2x2f − αf − 2αxf ′ + f ′′}

dove f ′ e f ′′ rappresentano rispettivamente dfdx e d2f

dx2 . Sostituendo in 1.5 e

dividendo per e−α2 x

2

, si ottiene

f ′′ − 2αxf ′ + (λ− α)f = 0 (1.7)

(i termini in α2x2f si elidono). Conviene ora introdurre una nuova variabile ξ,legata a x dall’equazione

ξ =√αx (1.8)

1.1. RISOLUZIONE DELL’EQUAZIONE D’ONDA 3

e rappresentare la funzione f(√αx) con il simbolo H(ξ). L’equazione differen-

ziale 1.7 diviene allora

d2H

dξ2− 2ξ

dH

dξ+

(λ

α− 1

)H = 0 (1.9)

Rappresentiamo ora H(ξ) come una serie di potenze e calcoliamone le derivate

H(ξ) =∑ν

aνξν = a0 + a1ξ + a2ξ

2 + a3ξ3 + ...

dH

dξ=∑ν

νaνξν−1 = a1 + 2a2ξ + 3a3ξ

2 + ...

d2H

dξ2=∑ν

ν(ν − 1)aνξν−2 = 1 · 2a2 + 2 · 3a3ξ + ...

Sostituendo queste espressioni, l’equazione 1.9 assume la forma

1 · 2a2 + 2 · 3a3ξ + 3 · 4a4ξ2 + 4 · 5a5ξ3 + ...

−2a1ξ − 2 · 2a2ξ2 − 2 · 3a3ξ3 − ....

+

(λ

α− 1

)a0 +

(λ

α− 1

)a1ξ +

(λ

α− 1

)a2ξ

2 +

(λ

α− 1

)a3ξ

3 + .... = 0

Perche questa serie si annulli per tutti i valori di ξ, cioe perche H(ξ) siauna soluzione di 1.9, i coefficienti di ciascuna potenza di ξ devono annullarsiseparatamente:

1 · 2a2 +

(λ

α− 1

)a0 = 0,

2 · 3a3 +

(λ

α− 1− 2

)a1 = 0,

3 · 4a4 +

(λ

α− 1− 2 · 2

)a2 = 0,

4 · 5a5 +

(λ

α− 1− 2 · 3

)a3 = 0,

o, in generale, per il coefficiente di ξν ,

(ν + 1)(ν + 2)aν+2 +

(λ

α− 1− 2ν

)aν = 0

o anche

aν+2 = −(λα − 2ν − 1

)(ν + 1)(ν + 2)

aν (1.10)

Questa espressione e una formula ricorrente che permette di calcolare succes-sivamente i coefficienti a2, a3, a4, ... in funzione di a0 e a1, che sono arbitrari. Sesi pone a0 eguale a zero, compaiono solo potenze dispari: con a1 eguale a zero,solo potenze pari.Per valori arbitrari del parametreo λ le serie cosı trovate contengono un numeroinfinito di termini e non corrispondono a funzioni d’onda soddisfacenti perche,

4 CAPITOLO 1. L’OSCILLATORE ARMONICO NELLA MECCANICA

Figura 1.1: Livelli energetici per l’oscillatore armonico secondo la meccanicaondulatoria.

come vedremo, il valore delle serie cresce troppo rapidamente con x e quindi lafunzione completa, pur contenendo come fattore l’esponenziale negativo, cresceoltre ogni limite al crescere di x. Per dimostrare questa affermazione si confrontila serie che rappresenta H con quella per eξ

2

,

eξ2

= 1 + ξ2 +ξ4

2!+ξ6

3!+ ...+

ξν(ν2

)!

+ξν+2(ν2 + 1

)!

+ ... (1.11)

Per valori di ξ elevati i primi termini delle due serie sono trascurabili. Indichiamocon c il rapporto fra i coefficienti del termine ν-esimo nello sviluppo di H(ξ) e

dell’analogo termine ξν nello sviluppo di eξ2

, cioe aν/bν = c. Per valori di νabbastanza grandi da 1.10 e 1.11 si ottengono le relazioni asintotiche

aν+2 =2

νaν e bν+2 =

2

νbν

cosiccheaν+2

bν+2=aνbν

= c

se ν e abbastanza grande. Pertanto i termini superiori dello sviluppo in seriedi H differiscono da quelli dello sviluppo di eξ

2

solo per un fattore costante equindi per valori elevati di |ξ|, quando i primi termini sono trascurabili, H si

comportera come eξ2

e il prodotto e− ξ2

2 H si comportera in tale regione come

e+ ξ2

2 , dando quindi luogo a una funzione d’onda inaccettabile perche divergente.Dobbiamo quindi scegliere quei valori del parametro λ che fanno sı che lo svi-luppo di H si interrompa dopo un numero finito di termini, dando luogo adun polinomio. Si ottiene in questo modo una funzione d’onda soddisfacente

perche il fattore esponenziale negativo e− ξ2

2 fa tendere la funzione a zero pervalori di |ξ| elevati. Dall’equazione 1.10 risulta che il valore di λ che provocal’interruzione della serie dopo il termine n-esimo e

λ = (2n+ 1)α (1.12)

1.2. LE FUNZIONI D’ONDA PER L’OSCILLATORE ARMONICO 5

e inoltre necessario porre uguale a zero il valore di a0 o di a1, a seconda che nsia dispari o pari, dato che la scelta opportuna del valore di λ puo provocarel’interruzione della serie pari o dispari, ma non di entrambe. Le soluzioni sonoquindi o funzioni pari o funzioni dispari di ξ. Questa condizione e sufficientea garantire che l’equazione d’onda 1.5 abbia soluzioni soddisfacenti ed e ancheuna condizione necessaria: nessun altro valore di λ conduce a soluzioni soddi-sfacenti. Per ogni valore intero 0, 1, 2, 3,... di n, che possiamo chiamare ilnumero quantico del corrispondente stato dell’oscillatore, esiste una soluzionesoddisfacente dell’equazione d’onda. Il modo diretto nel quale il numero quan-tico compare nella trattazione dell’equazione d’onda, come grado di polinomioH(ξ), e particolarmente soddisfacente, mentre non lo e l’arbitraria introduzionedi multipli interi o semi-interi di h per l’integrale d’azione della vecchia teoriaquantistica.La condizione per l’esistenza della funzione d’onda n-esima diviene

W = Wn = (n+ 1/2)hν0, n = 0, 1, 2, ... (1.13)

se al posto di λ e di α si sostituiscono i rispettivi valori (vedi equazioni 1.3 e1.4). La sola differenza rispetto al risultato W = nhν0 ottenuto mediante lavecchia teoria quantistica consiste nel fatto che tutti i livelli energetici sono spo-stati verso l’alto, come mostrato in fig. 1.1, di una quantita pari alla meta dellaseparazione fra i livelli stessi, la cosiddetta energia del punto zero 1/2hν0.Si vede quindi che anche nel suo stato piu basso il sistema possiede un’ener-gia superiore a quella che avrebbe se si trovasse a riposo nella sua posizione diequilibrio. L’esistenza di un’energia del punto zero, che conduce ad un miglioraccordo con i dati sperimentali, e un aspetto importante della meccanica quan-tistica, e si presenta in numerosi problemi. Esattamente come nella trattazionedella vecchia teoria quantistica, la frequenza emessa o assorbita in una transi-zione fra livelli energetici adiacenti e uguale alla frequenza di vibrazione classicaν0.

1.2 Le funzioni d’onda per l’oscillatore armonicoe la loro interpretazione fisica

Per ognuno degli autovalori Wn dell’energia e possibile costruire mediante laformula ricorrente 1.10 una soluzione soddisfacente dell’equazione d’onda 1.2.I livelli energetici di questo tipo, ad ognuno dei quali corrisponde solo unafunzione d’onda indipendente, vengono detti non degeneri per distinguerlidai livelli energetici degeneri, ai quali corrisponde piu d’una funzione d’ondaindipendente. La soluzione dell’equazione 1.2 puo essere scritta nella formula

ψn(x) = Nne− ξ

2

2 Hn(ξ) (1.14)

dove ξ =√αx. Hn(ξ) e un polinomio di grado n nella variabile ξ e Nn e una

costante il cui valore viene scelto in modo da normalizzare la ψn, cioe in modotale che ψn soddisfi la relazione∫ +∞

−∞ψ∗n(x)ψn(x)dx = 1 (1.15)

6 CAPITOLO 1. L’OSCILLATORE ARMONICO NELLA MECCANICA

Figura 1.2: La funzione d’onda ψ0(ξ) per lo stato fondamentale dell’oscilla-tore armonico (a sinistra) e la funzione d’onda di distribuzione della probabi-lita |ψ0(ξ)|2 (a destra). La funzione di distribuzione classica per un oscillatorearmonico avente la stessa energia totale e data dalla curva tratteggiata.

dove ψ∗n e la complessa coniugata di ψn(in questo caso identica a ψn). Nel pros-simo paragrafo discuteremo piu particolareggiatamente la natura e le proprietadi queste soluzioni ψn. La prima soluzione, che corrisponde allo stato di minimaenergia per il sistema, e

ψ0(x) =(απ

) 14

e−ξ2

2 =(απ

) 14

e−α2 x

2

(1.16)

ed e rappresentata in fig. 1.2. In base al postulato discusso in precedenza,ψ∗0ψ0 = ψ2

0 , anche questa rappresentata in fig. 1.2, e costituisce la funzionedi distribuzione della probabilita per la coordinata x. In altre parole la quan-tita ψ2

0(x)dx in un qualsiasi punto x da la probabilita di trovare la particellanell’intorno dx di quel punto. Si vede dalla figura che in questo caso il risul-tato della meccanica quantistica e in completo disaccordo con la distribuzionedi propabilita che si calcola secondo la meccanica classica per un oscillatore ar-monico avente la medesima energia. Dal punto di vista classico e piu probabiletrovare la particella ai punti estremi del suo moto (dove la particella rallenta,si ferma, riprende il suo moto in senso inverso), che sono punti esattamentedefiniti (la distribuzione di probabilita classica e data dalla linea tratteggiata infig. 1.2), mentre ψ2

0 possiede un massimo nell’origine delle x e inoltre si ha unaprobabilita rapidamente decrescente ma finita di trovare la particella al di fuoridella regione consentita classicamente. Questo sorprendente risultato, e cioe lapossibilita di una particella di penetrare in una regione in cui la sua energiatotale e inferiore all’energia potenziale, e strettamente connesso col principio diindeterminazione di Heisenberg, che conduce alla conclusione che non e possibi-le misurare esattamente tanto la posizione quanto la velocita di una particellanel medesimo istante. Si puo tuttavia dire fin d’ora che il fatto che la funzionedi distribuzione della probabilita si estenda nella regione delle energie cinetichenegative non comporta l’abbandono della legge della conservazione dell’energia.La forma di ψn per valori di n piu elevati e mostrata in fig. 1.3. Dato che Hn eun polinomio di grado n, ψn avra n zeri (punti in cui ψn attraversa l’asse delleascisse). La probabilita di trovare la paticella in tali punti e nulla. Dall’esamedella fig. 1.3 si vede che tutte le soluzioni rappresentate hanno un compor-tamento generale: all’interno della regione del moto consentita classicamente(nella quale V (x) e minore di Wn) la funzione d’onda oscilla e possiede n zeri,mentre al di fuori di tale regione la funzione d’onda tende rapidamente a zero

1.2. LE FUNZIONI D’ONDA PER L’OSCILLATORE ARMONICO 7

Figura 1.3: funzione d’onda ψn(ξ), n = 1 ÷ 6 per l’oscillatore armonico. Lalinea orizzontale a tratto grosso indica in ciascun caso la regione percorsa da unoscillatore armonico classico avente la stessa energia totale.

in modo esponenziale e non possiede zeri. In questo esempio si vede anche l’il-lustrazione di un altro principio generale: quanto piu il valore di n e elevato,tanto piu strettamente la funzione di distribuzione della probabilita data dallameccanica ondulatoria si approssima all’espressione classica per una particellacon la medesima energia. La fig. 1.4 confronta ψ2(x) per lo stato con n = 10con la curva di probabilita classica per l’oscillatore armonico avente il medesimovalore 21

2 hν0 per l’energia. Si vede che, a parte la rapida fluttuazione della curvadata dalla meccanica ondulatoria, l’accordo generale fra le due funzioni e buono.Questo accordo ci permette di visualizzare il moto della particella in un oscil-latore armonico quantomeccanico con un moto simile a quello classico, avanti eindietro, con una velocita che e massima al centro dell’orbita e che diminuisce amano a mano che questa si avvicina alla posizione di massimo scostamento dallaposizione di equilibrio. L’ampiezza dell’oscillazione non puo essere considera-ta costante, come per l’oscillatore classico; possiamo invece immaginarci che laparticella oscilli talora con ampiezza molto grande e talora con ampiezza moltopiccola, ma di solito con un’ampiezza prossima al valore classico per un oscil-latore avente la medesima energia. Anche altre proprieta dell’oscillatore sonocompatibili con questa rappresentazione; ad esempio il valore medio quadraticodel momento dato dalla meccanica ondulatoria e uguale al valore classico.Una rappresentazione di questo tipo e utile per sviluppare una visione intuitivadelle equazioni della meccanica ondulatoria ma non deve essere presa tropposul serio in quanto non e completamente soddisfacente. Ad esempio tale rap-presentazione non puo essere riconciliata con l’esistenza di zeri nella funzioned’onda per gli stati stazionari, che corrispondono a punti nei quali la funzionedi distribuzione della probabilita si annulla.

8 CAPITOLO 1. L’OSCILLATORE ARMONICO NELLA MECCANICA

Figura 1.4: Funzione di distribuizone della probabilita |ψ10(ξ)|2 per lo staton = 10 dell’oscillatore armonico. Si osservi che il valore medio della funzione emolto prossimo alla funzione di distribuzione della probabilita per l’oscillatorearmonico classico avente la stessa energia totale (curva tratteggiata).

1.3 Proprieta matematiche delle funzioni d’on-da per l’oscillatore armonico

I polinomi Hn(ξ) e le funzioni e−ξ2

2 Hn(ξ) ottenute nella risoluzione dell’equa-zione d’onda per l’oscillatore armonico non hanno avuto origine dal lavoro diSchrodinger ma erano ben note ai matematici in relazione ad altri problemi e leloro proprieta sono state studiate a fondo.Per il nostro scopo invece di sviluppare la teoria dei polinomi Hn(ξ), detti poli-nomi di Hermite, dalla relazione fra i coefficienti successivi data dall’equazione1.10, e piu conveniente definirli mediante un’altra relazione:

Hn(ξ) = (−1)neξ2 dne−ξ

2

dξn(1.17)

Dimostreremo nel seguito che questa definizione conduce alla medesima funzioneche si ricava dall’equazione 1.10. Una terza definizione comporta l’impiego diuna funzione generatrice, un metodo utile in molti calcoli e che e applicabilead altre funzioni. La funzione generatrice dei polinomi di Hermite e

S(ξ, s) ≡ eξ2−(s−ξ)2 ≡

∞∑n=0

Hn(ξ)

n!sn (1.18)

Questa identita nella variabile ausiliaria s significa che se la funzione eξ2−(s−ξ)2

viene sviluppata in serie di potenze di s, i coefficienti delle successive potenze dis sono proprio i polinomi di Hermite Hn(ξ) moltiplicati per 1/n!. Per mostrarel’equivalenza delle due definizioni 1.17 e 1.18 deriviamo n volte rispetto a s efacciamo quindi tendere a zero s usando una e poi l’altra espressione per S. I

1.3. PROPRIETA MATEMATICHE DELLE FUNZIONI D’ONDA 9

termini con ν < n si annullano nella derivazione e quelli con ν > n si annullanoper s→ 0 lasciando solo il termine con ν = n:(

∂nS

∂sn

)s→0

=

(∂n

∂sn

∑ν

Hν(ξ)sν

ν!

)s→0

= Hν(ξ)

e (∂nS

∂sn

)s→0

=

(∂neξ

2−(s−ξ)2

∂sn

)s→0

= eξ2

(∂ne−(s−ξ)

2

∂(s− ξ)n

)s→0

=

= eξ2

(−1)n

(∂ne−(s−ξ)

2

∂ξn

)s→0

= (−1)neξ2 dne−ξ

2

dξn

Confrontando queste due equazioni vediamo che si ottiene l’equazione 1.17: ledue definizioni di Hn(ξ) sono quindi equivalenti. L’equazione 1.17 e utile perottenere le singole funzioni mentre l’equazione 1.18 e spesso utile per ricavarele loro proprieta, come nel caso che discuteremo ora.Per dimostrare che le funzioni ora definite sono identiche a quelle usate nellarisoluzione del problema dell’oscillatore armonico cerchiamo l’equazione diffe-renziale soddisfatta dalle Hn(ξ). E’ conveniente innanzitutto ottenere alcunerelazioni tra i polinomi di Hermite successivi e le loro derivate. Si osservi che,essendo S = eξ

2−(s−ξ)2 , la sua derivata parziale rispetto a s e data dall’equazione

∂S

∂s= −2(s− ξ)S

derivando analogalmente la serie S =∑ Hn(ξ)

n! sn ed eguagliando le due diverseespressioni per ∂S/∂s , si ottiene l’equazione∑

n

Hn(ξ)

(n− 1)!sn−1 = −2(s− ξ)

∑n

Hn(ξ)

n!sn

o, raccogliendo i termini corrispondenti alla medesima potenza di s:∑n

{Hn+1(ξ)

n!+ 2

Hn−1(ξ)

(n− 1)!− 2ξ

Hn(ξ)

n!

}sn = 0

Dato che questa equazione e vera per tutti i valori di s, i coefficienti di ciascunapotenza di s devono essere zero; si ottiene cosı la seguente formula ricorrenteper i polinomi di Hermite

Hn+1(ξ)− 2ξHn(ξ) + 2nHn−1(ξ) = 0 (1.19)

Analogalmente, derivando rispetto a ξ, si ottiene l’equazione

∂S

∂ξ= 2sS

che da, esattamente nello stesso modo visto piu sopra, l’equazione∑n

{H ′n(ξ)

n!sn − 2

Hn(ξ)

n!sn+1

}= 0

10 CAPITOLO 1. L’OSCILLATORE ARMONICO NELLA MECCANICA

o anche

H ′n(ξ) =dHn(ξ)

dξ= 2nHn−1(ξ) (1.20)

che contiene la derivata prima dei polinomi di Hermite. Questa equazione puoessere ulteriormente derivata rispetto a ξ per ottenere espressioni contenentiderivate superiori.Le equazioni 1.19 ed 1.20 conducono all’equazione differenziale per Hn(ξ): dalla1.20 si ottiene infatti

H ′′n(ξ) = 2nH ′n−1(ξ) = 4n(n− 1)Hn−2(ξ) (1.21)

mentre la 1.19 puo essere trascritta nella forma

Hn(ξ)− 2(ξ)Hn−1(ξ) + 2(n− 1)Hn−2(ξ) = 0 (1.22)

che facendo uso delle equazioni 1.20 e 1.21, diviene

Hn(ξ)− 2ξ

2nH ′n(ξ) +

1

2nH ′′n(ξ) = 0

o ancheH ′′n(ξ)− 2ξH ′n(ξ) + 2nHn(ξ) = 0 (1.23)

Se si pone 2n al posto di λα − 1, come risulta dall’equazione 1.12, la 1.23 risulta

identica all’equazione 1.9 ottenuta nella trattazione del problema dell’oscillatorearmonico. Dato che questa equazione ha per ogni valore di n un’unica soluzioneche si comporta correttamente all’infinito, i polinomi Hn(ξ) sono proprio poli-nomi di Hermite.Le funzioni

Ψn(x) = Nn · e−ξ2

2 ·Hn(ξ), ξ =√αx (1.24)

sono chiamate funzioni ortogonali di Hermite; come si e visto esse sonole funzioni d’onda per l’oscillatore armonico. Il valore di Nn che fa sı che sia∫ +∞−∞ ψ2

n(x)dx = 1, cioe che normalizza ψn, e

Nn =

{(απ

)1/2 1

2nn!

}1/2

(1.25)

Le funzioni sono mutuamente ortogonali se l’integrale del prodotto di due qual-siasi di esse esteso all’intero spazio delle configurazioni si annulla:∫ +∞

−∞ψn(x)ψm(x)dx = 0 n 6= m (1.26)

Per dimostrare l’ortogonalita delle funzioni e per calcolare la costante di nor-malizzazione data dall’equazione 1.25, e conveniente considerare due funzionigeneratrici:

S(ξ, s) =∑n

Hn(ξ)

n!sn = eξ

2−(s−ξ)2

T (ξ, s) =∑m

Hm(ξ)

m!tm = eξ

2−(t−ξ)2

1.3. PROPRIETA MATEMATICHE DELLE FUNZIONI D’ONDA 11

Utilizzando tali funzioni si ottengo le relazioni∫ +∞

−∞STe−ξ

2

dξ =∑n

∑m

sntm∫ +∞

−∞

Hn(ξ)Hm(ξ)

n!m!e−ξ

2

dξ

∫ +∞

−∞e−s

2−t2+2sξ+2tξ−ξ2dξ = e2st∫ +∞

−∞e−(ξ−s−t)

2

d(ξ − s− t) =

√πe2st =

√π

(1 +

2st

1!+

22s2t2

2!+ ....+

2nsntn

n!+ .....

)considerando i coefficienti di sntm nei due sviluppi in serie equivalenti si vede che∫ +∞−∞ Hn(ξ)Hm(ξ)e−ξ

2

dξ si deve annullare per n 6= m e deve prendere il valore

2nn!√π per m = n; di conseguenza le funzioni sono ortogonali e la costante di

normalizzazione ha il valore prima visto.I primi polinomi di Hermite sono (provare a ricavarli dalla 1.17, o dalla 1.19ponendo H0(ξ) = 1):

H0(ξ) = 1

H1(ξ) = 2ξ

H2(ξ) = 4ξ2 − 2

H3(ξ) = 8ξ3 − 12ξ

H4(ξ) = 16ξ4 − 48ξ2 + 12

H5(ξ) = 32ξ5 − 160ξ3 + 120ξ (1.27)

H6(ξ) = 64ξ6 − 480ξ4 + 720ξ2 − 120

H7(ξ) = 128ξ7 − 1344ξ5 + 3360ξ3 − 1680ξ

H8(ξ) = 256ξ8 − 3584ξ6 + 13440ξ4 − 13440ξ2 + 1680

H9(ξ) = 512ξ9 − 9216ξ7 + 48384ξ5 − 80640ξ3 + 30240ξ

H10(ξ) = 1024ξ10 − 23040ξ8 + 161280ξ6 − 403200ξ4 + 302400ξ2 − 30240

La lista puo facilmente essere estesa facendo uso della formula ricorrente datadall’equazione 1.19. La fig. 1.3 mostra alcune delle prime funzioni d’onda, cioele funzioni date dall’equazione 1.24.Mediante le funzioni generatrici S e T possiamo calcolare alcuni importantiintegrali implicanti ψn. possiamo ad esempio studiare l’integrale che, come sivedra, determina la probabilita della transizione dallo stato n allo stato m. Taleintegrale e

xnm =

∫ +∞

−∞ψnψmxdx =

NnNmα

∫ +∞

−∞HnHme

−ξ2ξdξ (1.28)

Usando S e T si ottiene la relazione∫ +∞

−∞STe−ξ

2

ξdξ =∑n

∑m

1

n!m!sntm

∫ +∞

−∞HnHme

−ξ2ξdξ

= e2st∫ +∞

−∞e−(ξ−s−t)

2

ξdξ = e2st∫ +∞

−∞e−(ξ−s−t)

2

(ξ − s− t)d(ξ − s− t)

12 CAPITOLO 1. L’OSCILLATORE ARMONICO NELLA MECCANICA

+e2st(s+ t)

∫ +∞

−∞e−(ξ−s−t)

2

d(ξ − s− t)

Il primo integrale si annulla e il secondo vale√π. Sviluppando l’esponenziale si

ottiene

√π(s+ 2s2t +

22s3t2

2!+ ....+

2nsn+1tn

n!+ ....

+t+ 2st2 +22s2t3

2!+ .....+

2nsntn+1

n!+ ....

)(1.29)

Confrontando i coefficienti di sntm si vede quindi che xnm deve essere zero tranneche per m = n ± 1 (nella 1.29 compaiono solo termini con potenze m = n ± 1,questo significa che tutte le altre potenze con m 6= n ± 1 hanno coefficientenullo); in quest’ultimo caso il suo valore e

xn,n+1 =

√n+ 1

2α(1.30)

xn,n−1 =

√n

2α(1.31)

Si vedra nel seguito che questo risultato comporta che per l’oscillatore armonicosono possibili solo transizioni fra livelli energetici adiacenti.