lower partial moments in mean-varianz-portefeuilles
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LEO SCHUBERT*
© Schweizerische Gesellschaft fur Finanzmarktforschung (pp. 496-509)
Lower Partial Moments
in Mean- Varianz-Portefeuilles
1. Einleitung
"Neue Informationen bringen die Menschen viel
eher dazu, Gefahren hoher, aber seltener dazu, sie
niedriger einzuschatzen'{ij Wendet man diese
Aussage auf Finanzinvestitionen an, so erklart sich
in Informationsgesellschaften das zunehmende
Interesse an Risikosteuerungsinstrumenten wie sie
z.B. die Portefeuille- Theorie bietet.
Die zunehmende Orientierung am Verlustrisiko
hat bereits zu ersten Anwendungen entsprechen-der RisikomaBe gefiihrt. So bieten fiihrende
Portefeuille-Software- Hersteller wie BARRA
(London)[2] und SSI (New York) in neuerer Zeit
Software an, die als RisikomaB die Semivarianz
verwendet.
Vor dem Hintergrund des zunehmenden Risiko-
bewuBtseins und der verstarkten Anwendung der
Portefeuilletechniken wird im folgenden versucht,
Beziehungen zwischen den klassischen Porte-
feuilles nach MARKOWITZ[3] und denen auf derBasis anderer RisikomaBe, insbesondere in der
Form von Lower-Partial-Momente aufzuzeigen.
* Der Autor dankt einem anonymen Gutachter sowie Priv.
Doz. Dr. Franz Baur von der Universitat Augsburg fur
wertvolle Anregungen. L. Schubert, Fachhochschule Kon-
stanz, Brauneggerstr. 55, 78462 Konstanz, Tel.: 0049 -7531- 206429,Fax.: 0049- 7531- 206427,EMail: [email protected].
2. Shortfall-Risk
Um Risiken von Portefeuilles bzw. assets zu me
sen wird das klassische Volatilitatsmaf der Sta
dardabweichung bzw. der Varianz verwende
Bereits 1952, ein paar Monate nach Veroffentl
chung der Arbeit zum klassischen Mean-Varianz
Portefeuille durch MARKOWITZ [4] schl
ROY[5] einen anderen MaBstab in der Form ein
target-shortfall-risks zur Risikomessung vor. MA
KOWITZ[6] selbst erschien die Betrachtung andrer RisikomaBe mathematisch unhandlich.
Will man bei der Auswahl eines Portefeuill
eine bestimmte zu erzielende Mindestrendi
(target r E IR) die maximal mit der Wahrschei
lichkeit a unterschritten werden solI, beriicksic
tigen, so kann die durch die shortfall probability
peR < r) ~a,mit ° < a< 1 (
ausgedriickt werden. R stellt dabei die Renditezfallsvariable dar. Ist R - N(~f' or) verteilt, so ka
diese wie folgt standardisiert werden, so daB d
shortfall-probability durch
(
mit za.: Fraktilswert der N(O,l)-Verteilung zu a
beschrieben werden kann.
496 Finanzmarkt und Portfolio Management -10. Jahrgang 1996- N
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L. Schubert: Lower Partial Moments in Mean-Varianz-Portefeuilles
(3)
dung 1 eingezeichneten Geraden liegen, besitzen
eine Wahrscheinlichkeit von a eine Rendite klei-
ner als die Mindestrendite r zu erreichen. Porte-
feuilles mit dariiber liegenden Renditeerwar-
tungswerten ~r beinhalten eine entsprechend ge-
ringere Wahrscheinlichkeit die Mindestrendite zuunterschreiten.
Fur die Auswahl eines effizienten Portefeuilles
unter target-shortfall-Restriktionen wurden 3 Mog-
lichkeiten vorgeschlagen.
Lost man die obige Ungleichung nach u, auf, soerhalt man
Mitt
und a bzw. za ist die shortfall probabilitydurch eine Gerade - wie in Abbildung 1 - dar-
stellbar.
Alle Portefeuilles, deren Renditeerwartungswerte
~ und Standardabweichungen o, auf der in Abbil-
Abbildung 1: Klassische Portefeuilledarstellung mit down-side-risk-Restriktion
II = 't - Z c rt"'r a r
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TELSER[7] regte an, Po in Abbildung 1 auszu-
wahlen, d.h. das Portefeuille mit der hochsten
Rendite u, unter Einhaltung der target-shortfall-
Restriktion; dabei ist die Mindestrendite 't und die
shortfall-probability a. vorgegeben:
maximiere J lr mit peR < r) ::;;..
KATAOKA[8] schlug vor, die Mindestrendite 't
unter Einhaltung der vorgegebenen shortfall-
probability a. zu maximieren:
maximiere tmit peR < 't) ::;;a..
Seinem Vorschlag entsprechend wilrde in Abbil-
dung 1 das Portfeuille Pk
ausgewahlt,
ROY[9] minimierte die shortfall-probability a. unt
Einhaltung der vorgegebenen Mindestrendite 't:
minimiere e x . mit peR < r) ::;;x . d.h.
minimiere peR < r).
Nach dem ROY-Kriterium ware das in Abbildun
2 mit LPMoMVP bezeichnete Portefeuille optim
Dieser Punkt wurde mit LPMo bezeichnet, da d
shortfall probability gleichbedeutend [ s f mit deLower Partial Moment der Ordnung 0 (siehe fo
gendes Kapitel).
Unter target-shortfall-Restriktionen stellt d
Auswahlkriterium nach TELSER das risik
freudigste und das von ROY das risikoscheues
dar.
Abbildung 2: Portefeuille mit minimaler shortfall-probability: LPMoMVP
Jlr a= 5%
a= 10%sinkende
a= 15%target -shortfall
a=25% probability
JlMVP
- - - - - - - a = 50%
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Eine Erweiterung der 3 Ansatze auf n target-
shortfall- Restriktionen
falls 'ti > 'ti' wurde in der Literatur bislang nichtdiskutiert, obgleich sich dazu sinnvolle Anwen-
dungsbeispiele fur die Praxis finden lassen; z.B.
eine Mindestrendite, die den Wohlstands-status-
quo garantiert und eine, die das Existenzminimum
betrifft. Denkbar ware auch eine Erganzung der
.safty-firsr-Mindestrendite (mit 'tl < )lMVP) durch
eine "chance"-Mindestrendite (mit 't2 > )lMVP).
Grundsatzlich kann die Betrachtung von Shortfall-
Restriktionen einerseits als Beschrankung der ef-
fizienten Portefeuilles im Mean-Varianz- Ansatzbenutzt werden. Kombiniert mit einem Auswahl-
kriterium (z.B.: von TELSER, KATAOKA oder
ROY) erhalt man das jeweils optimale Porte-
feuille.
Eine andere Art der Beschrankung der effizienten
Portefeuilles zeigt LEIBOWITZ und HENRIKS-
SON[lO]. Sie orientieren sich nicht an einer festenMindestrendite t, sondem an der Rendite eines
Benchmark-Portefeuilles wie z.B. eines Aktienin-
dex. Die Rendite des Index sei die Zufallsvariable
Rx. Diese Rendite darf als target maximal urn 'txProzentpunkte unterschritten werden. Als target
wird nicht die Mindestrendite, sondem der Ab-
stand zur Benchmark verwendet. Die entspre-
chende shortfall-probability ist dabei
(4)
Abbildung 3: Il/a.-Darstellung zur u/o-Darstellung der Abbildung 2
)lr
oLPMMVP
)lMVP
~----------------------------------------------~5% 10% 15% 25% 50%
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L. Schubert: Lower Partial Moments in Mean-Varianz-Portefeuilles
Abbildung 4: Effiziente u/o-Portefeullles und Portefeuille mit minimalem shortfall-risik z.B. aus Tabelle 1
I l r
11,71
14
13
12
11
10
9
• Deereo
LPMOMVp
o
oo
o
o
o
MVPo• Chase Manhatten
8
Steigung: 0.298
/- (za=-0.298 bzw.
a=0.3828)
7
't' = 6
5
• Caterpillar
19.16
o 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 or
Andererseits wurde der Shortfall-Ansatz auch
genutzt, statt der klassischen u/o-Darstellung eine
J.lla-Darstellung und eine r/n-Darstellung zu
entwickeln. Dadurch wird die target-shortfall-
probability nicht als Restriktion, sondem anstelle
der Varianz bzw. Standardabweichung als Risiko-
kriterium verwendet.
In der J.lla-Darstellung wird die Targetrendite 't
fixiert und die Steigung der shortfall-Restriktionen
J.lr~ 't - za crr fur unterschiedliche a bzw. za
betrachtet. Das Portefeuille mit dem minimalen a
ist in Abbildung 2 mit LPMoMVP bezeichnet. Die
im LPMoMVP beginnenden effizienten Portefeuilles
werden u/u-efficient frontier genannt. Vergleicht
man dazu den Punkt Pu mit Po in Abbildung 1, so
sieht man, daB beim selben Risiko a das Porte-
feuille Po eine hohere Rendite als Pu erwarten la
Pu ist also ein u/n-ineffizientes Portefeuille.
In Abbildung 3 wurde versucht, zur u/
Darstellung der Abbildung 2 eine u/o-Darstellun
zu skizzieren. Die a- Werte befinden sich nun a
der Abszisse.
BAUMOL[ll] formulierte ein Effizienzkriterium
das der u/o-Bffizienz entspricht und zeigte, d
BAUMOL-Effizienz die Effizienz des klassisch
Portefeuilles impliziert, d.h. u/o-effizient ist.
Der Bereich zwischen PMVP und LPMoMVP in A
bildung 2 bzw. 3 ist bei gegebenem r nicht BA
MOL-Effizient.
RUDOLF[l2] verwendet eine u/rz-Portefeuill
Darstellung und zeigt, daB die zugehorige ef
ziente Linie einen Wendepunkt besitzt. Dies b
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deutet - im Gegensatz zum klassischen RisikomaB
0' - daB nach dem Wendepunkt das Grenzrisiko je
zusatzlicher Renditeeinheit abnimmt. Dies wurde
eine Empfehlung riskanterer Anlagen nahelegen.
Der Einbezug von risikolosen Anlagen durch
Ubertragung der Capital Market Line im Sinne
des CAPM von SHARPE-LINTNER-MOS-
SIN[13] fuhrt beim u/u-Portefeuille zum selben
Anlageverhalten wie bei u/o-Portefeuilles.
In der r/c-Darstcllung (vgl. JAEGER/RUDOLFI
ZIMMERMANN[14]) wird zu jeder moglichen
Mindestrendite 't nach dem ROY-Kriterium die
minimale shortfall-probability a bzw. das minimal
mogliche Risiko ermittelt. Die Mindestrendite r
darf nicht grofier als der Renditeerwartungswert
des Portefeuilles mit der minimalen Varianz PMVP
gewahlt werden[15]. Die 't/a-Kombinationen erhalt
man graphisch, indem man Tangenten an die Linie
der effizienten Portefeuilles in Abbildung 2 anlegt,
an den Ordinatenschnittpunkten das jeweilige 't
abliest und aus der jeweiligen Tangentensteigung
-za das a ermittelt.
Die "efficient shortfall frontier" oder ,,'t/a-efficient
frontier" stellt den Zusammenhang zwischen
shortfall probability a und dem Target 't, die dem
ROY-Kriterium geniigen, dar. Auf eine separate
r/c-Darstellung wird hier jedoch verzichtet.
In der Tabelle 1 sind die Covarianzen der Rendi-
ten von 3 Aktien (Deere, Caterpillar und Chase-
Manhattan) abgebildet[l6]. Als Mindestrendite 't
wurde 6% festgelegt. Die u/o-effizienten Porte-
feuilles wurden durch leere Punkte angedeutet.
Das nach dem ROY-Auswahl-Kriterium effiziente
Portefeuille LPMoMVP ergibt sich mit ~r = 11.71
und O 'r = 19.16 (vgl. Abbildung 4). Die Steigung
der Geraden betragt 0.298 = -za; mit diesem
Fraktilswert der N(O,I)-Verteilung HiBt sich die
optimale shortfall-probability a = 0.3828 ermit-
teln. Dies bedeutet, daB das Portefeuille LPMoMVP
eine Rendite von ~r = 11.71 erwarten HiBt und
daB das Unterschreiten der Mindestrendite von
6% mit einer Wahrscheinlichkeit von 38.28%
moglich ist.
3. Lower Partial Moment (LPM)
Die statistischen Momente der 1. und 2. Ordnung
spannen die klassische u/o-Portefeuilles-Darstel-
lung von MARKOWITZ[l7] und SHARPE[l8]
auf. In neuerer Zeit werden LPMs haufiger als
RisikomaBe fur Portefeuilles diskutiert[l9]. Die
LPMs stellen eine Ubertragung der statistischen
Momente auf Teilbereiche einer Verteilung dar.
1m Kontext von Finanzportefeuilles ist dies der
Bereich unterhalb der Mindestrendite 'to
Die Ordnung I (I = 0, 1, ...,00 ) des Lower Partial
Moments
t
LPM1(R,'t) = f (t-r)' fer) dr (5)
mit der Dichtefunktion fer) der Renditezufallsva-
riablen R
driickt aus, wie stark das AusmaB der Unter-
schreitung der Mindestrendite 't in das LPM ein-
geht.
1st die Ordnung I = 0, so wird das AusmaB der
Unterschreitung der Mindestrendite r nicht be-
rucksichtigt, Es bleibt lediglich der durch die
Dichtefunktion fer) gebildete Gewichtungsfaktor,
so daB die target-shortfall-probability
(6)
resultiert.
Das LPM der Ordnung I = 1 wird als target-
shortfall-mean bezeichnet. Er druckt den Erwar-
tungswert der Mindestrenditeunterschreitung aus;
d.h. in den Fallen, in denen die Mindestrendite
unterschritten wird, ist der Renditeerwartungswert
(7)
Das LPM der Ordnung I = 2 wird target -shortfall-varianz oder target-semi -varianz genannt. Ersetzt
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L. Schubert: Lower Partial Moments in Mean-Varianz-Portefeuilles
man im LPM der Ordnung 2 den target r durch
den Renditeerwartungswert J.lrso spricht man von
der sog. semi-varianz.
Auf LPM hoherer Momente lassen sich die Be-
zeichnungen der statistischen Momente tiber-
tragen, so daB sich eine target-shortfall skew-
ness (Ordnung 1 = 3), eine target-shortfall-kurtosis(Ordnung 1 = 4) etc. ergibt. Bei der Ordnung 1 = 00
kann vom target-shortfall-maximum gesprochen
werden.
1m vorigen Kapitel wurde einerseits die Beschran-
kung der u/o-Portefeuilles durch die target-
shortfall Restriktion in Kombination mit einem
Auswahlkriterium betrachtet und andererseits die
Moglichkeit, die shortfall-probability als Risiko-
maBstab in einer J.l/a-oder J.lILPMo-Darstellung zu
verwenden.
Bei LPMs (jeder Ordnung) hat sich dabei das
ROY-Kriterium als Auswahlkriterium durchge-
setzt. Deshalb wird unter einem LPM -Portefeuille
dasjenige verstanden, das bei gegebener Min-
destrendite r das kleinste LPM besitzt. Urn dieses
LPM-Portefeuille von den J.lILPM-effizienten
Portefeuilles abzuheben wird hier das LPM-
Portefeuille mit LPMMVP bezeichnet.
Die J.lILPM-Darstellungen lassen sich zu jeder
Ordnung analog zur Abbildung 3 bilden. Da nur
die Wahrscheinlichkeit der Unterschreitung der
Mindestrendite und nicht das AusmaB der Unter-
schreitung in das LPMo eingeht, wird es zur Erfas-
sung des Risikos als unzureichend kritisiert[20].
Dieser Mangel ist bei den LPMI (I > 0) nicht vor-
handen. Ferner bilden diese konvexe "J.lILPM-
efficient frontieres". Fur 1 = ° dagegen besitzt die
"J.lILPM-efficient frontieres" einen Wendepunkt,
wie im vorherigen Kapitel bereits erwahnt,
Die Annahmen bzgl. der Nutzenfunktionen u der
Investoren sind bei LPM allgemeiner - als beim
J.l/(j-Portefeuille - im Rahmen der "stochastischen
Dominanz" charakterisierbar. Die Ordnung des
LPM korrespondiert mit der Ordnung der
"stochastischen Dominanz"[21]. LPMo ist adaquat
fur Investoren, die den hoheren dem niedrigeren
Wohlstand vorziehen (u" > 0), LPM1entspricht
Investoren mit risikoaversen Nutzenfunktionen
(u > 0, UN < 0) und LPM2 bezieht zudem Schi
fenpraferenzen mit ein (u"> 0, UN < 0, U'N > 0).
Die Betrachtung der LPM wird i.d.R. auf d
Ordnung 1 = 0, 1, 2 beschrankt, Ohne Ordnung
beschrankung gilt folgende Beziehung zwische
J.lILPM-effizienten Portefeuilles und u/o-Porte
feuilles:
Satz:
Die Renditen von n Aktien R , (i = 1, ... , n) sei
multivariat normal verteilt. 1st ein Mean-LPMI(R,'
Portefeuille effizient mit (I E IN und 't E IR) od
(l = ° und 't ::;u), so ist es auch ein Mean-Varian
effizientes Portefeuille.
Dabei sei das l-te "Lower-Partial-Moment":
Beweis: (vgl. Anhang)
Unter der Annahme normalverteilter Rendite
bieten also die J.lILPM-Darstellung keine weit
ren effizienten Portefeuilles tiber die der u/
Darstellung hinaus. Trotzdem ermoglichen d
J.lILPM-Darstellungen evtl. zusatzliche Inform
tionen aus dem Verlauf der efficient frontier w
es im Kapitel zum shortfall-risk angedeutet wurd
Urn die Lage der LPMIMVP und damit die de
J.lILPMI-effizienten Portefeuilles im u/o-Konte
abzuschatzen wurden die LPM -Hohenlinien fu
't = 1 und 1 = 0, 1, ... , 5 im u/o-Raum mit d
Computer-Algebra-Software "Mathematic a" d
gestellt (vgl. Abbildung 5). Dabei wurden d
Abszissenachse o und der Ordinatenachse J.l z
geordnet. Von links oben nach rechts unten nim
dabei der Wert der Hohenlinien zu. Fur das LP
der Ordnung ° resultieren lineare Hohenlinien, w
bereits in Abbildung 2 dargestellt.
Die linke obere Ecke entspricht Portefeuilles, d
abgesichert sind mit einer Rendite, die gro l ser al
ist. Falls eine perfekte Absicherung (o = 0) vo
liegt, ist das LPM aufgrund des resultierende
Nenners (o = 0) problematisch zu handhaben.
502 Finanzmarkt und Portfolio Management -10. Jahrgang 1996 - N
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L.Schubert: Lower Partial Moments in Mean-Varianz-Portefeuilles
Abbildung 5: Hdhenlinlen der LPM-Funktion im u-o-Raum fiir 't= 1und I = 0,1,2,3,4 und 5
LPM-Ordnung 02r---~~--~--~ LPM-Ordnung 1 LPM-Ordnung 22~~--~--~~~
1
o
-1~------~~--~0.1
-1~~=-~~~~~2 0.12 2
LPM-Ordnung 4 LPM-Ordnung 5PM-Ordnung 3
1 1
o o
-1 L.....:~....L.....=::.:......!:.:..L.:..:::.::!::!l
0.1-1~~~~~--~0.12 1
Diese vermutete Ordnung wird durch ein ab-
schlieBendes Rechenbeispiel gesttitzt. Dazu wer-
den die in Tabelle 1 enthaltenen Daten verwendet.
In Abbildung 6 ist ein Ausschnitt aus Abbildung 4
zu sehen, in dem zusatzlich die LPM1MVPur l = 0,
1, ... ,5 eingezeichnet wurden.
Die rechts in Abbildung 6 angegebenen minimalen
LPM-Werte sind zum Teil schwer interpretierbar.
Lediglich das minimale LPM zur Ordnung
°und 1
lassen sich sinnvoll deuten. LPMoMVP= 0,39281
besagt, daB die Wahrscheinlichkeit eine Rendite
unter der Mindestrendite von 6% zu erreichen
0,39281 ist. LPM1MVP = 4,9218 druckt aus, daB
die Unterschreitung der Mindestrendite mit einem
Erwartungswert von 4,9218% geschieht. Falls das
Desaster der Unterschreitung also eintritt kann
eine Rendite von 6% - (4,9218% / 0,39281) =-6,5297217% erwartet werden (vgl. (7)).
J ede der Hohenlinien in Abbildung 2 konnte eine
Restriktion im u/o-Raum darstellen, die wie in
Abbildung 1 die u/o-effizienten Portefeuilles ein-
schrankt. Das LPMMVP ist jeweils - entsprechend
dem ROY-Kriterium - der Bertihrpunkt der (nicht
eingezeichneten) j.l/cr-effizienten Linie und der
Hohenlinie mit dem geringsten LPM.
Die Kriimmung der Hohenlinien laBt vermuten,
daB
und j.l1MVP bzw. j.lMVP: Renditeerwartungswert
der LPM1MVP bzw. des minimalen Varianz-
punktes.
503inanzmarkt und Portfolio Management - 10. Jahrgang 1996 - Nr.4
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L. Schubert: Lower Partial Moments in Mean-Varianz-Portefeuilles
Abbildung 6: LPM-Portefeuilles im Beispiel aus Tabelle 1
11.71
~r0
0LPM MVP
0
11 0
LPM1MVP
0
2LPM MVP
LPM3MVpo
LPM MVP
10 LPM vMVPc
MVPo
9
16 17 17.36 18 19 2017.2317 77 19.1617.16 .
10.86
10.39
10.19
10.07
10.00
17.13
Minimale LPM :
(8ei gegebenem Target = 6%)
LPMo
= 0,38281
LPM1
= 4,9218
LPM2
= 98,826
LPM3
= 2541,3
LPM4
= 77421
LPM5
= 26812 * 1d
4. Zusammenfassung
Bei normalverteilten Renditen bietet die Verwen-
dung von RisikomaBen in der Form von LPMs
keine ~ILPM-effizienten Portefeuilles, die nicht
auch ~/a-effizient sind. In diesem Sinne kann man
die Betrachtung von LPM als uberflussig bezeich-
nen. Da dagegen nicht jedes u/o-effiziente Porte-
feuille /-lILPM-effizient ist, macht der Einbezug
von LPMs dann Sinn, falls ein Investor unter Risi-
ko ein MaB im Sinne z.B. der target-shortfall-
probability oder des target-shortfall-mean ver-
steht. Dann ware z.B. die Auswahl des MVP fur
diesen Investor ineffizient.
Trotzdem kann der Erkenntnisgewinn durch E
bezug von LPM bei normalverteilten Renditen
sehr gering bezeichnet werden im Gegensatz
dem bei log-normalverteilten- oder allgeme
asymmetrisch verteilten Renditen, die hier nic
einbezogen wurden. In diesen Hillen befinden si
die LPM-effizienten Portefeuilles nicht - wie
Abbildung 6 - ausschlieBlich auf der u/
effizienten Linie, sondem unterhalb; wie star
hangt von den Schiefen der Verteilungen abo
empirischen Untersuchungen wurden hauf
leichte Schiefen festgestellt. Neben der adaquat
Risikoerfassung ermoglichen LPM als Entsche
dungskriterien in diesen Fallen auch hohere durc
schnittliche Renditen[22].
504 Finanzmarkt und Portfolio Management - 10. Jahrgang 1996 - N
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L.Schubert: Lower Partial Moments in Mean-Varianz-Portefeuilles
Deere
281.62968
8.2139691
829.92391
Tabelle 1: Statistische Momente zu 3 Aktien und aus- Anhang
gewahlte effiziente Portefeuilles (unten)
Covarianz Caterpillar Chase-M. Deere
Caterpillar 467.13906
Chase-M. 150.96359
Deere 281.62968
150.96359
547.09210
8.2139691
Rendite Rendite
Erwartung Standardabw.
9.3922 16.9962
9.8151 17.06162
10.00 17.13
10.07 17.16
10.19 17.23
10.2379 17.2562
10.39 17.36
10.6608 17.575710.86 17.77
11.0836 18.0135
11.5065 18.5997
11.71 19.16
11.9293 20.0218
12.3521 22.3571
12.7750 25.3547
13.1978 28.8084
6.2523 21.6134
9.87435 23.3900
13.1978 28.8084
MVP:
LPM5MVP
LPM4MVP
LPM3MVP
LPM2MVP
LPM1MVP
LPMOMVP
Caterpillar
Chase-MDeere
Satz:Die Renditen von n Aktien R, (i = 1, ... , n)
seien multivariat norrnalverteilt. 1st ein Mean-
LPM1(R,'t)-Portefeuille effizient mit (l E IN und
't E IR) oder (l = 0 und 't ~ 1 1 ) , so ist es auch ein
Mean- Varianz effizientes Portefeuille.
Beweis zum Satz (1.Teil)
Annahme:
X - N(llx' o) und Y - N(lly' o) seien die Rendi-
ten zu Portefeuille Px bzw. Py mit u, > 1 1 ; die
zugehorigen Dichten seien f(x) bzw. fey). Z~dem
sei tE IR.
Behauptung:
Px ist ein Mean- LPM1-effizientes Portefeuille und
Pyineffizient bzw. LPM1(y,'t) > LPM1(X,'t - ()Il)
fu r lE INo , 't E IR und mit ()Il = Ilx - Ily.
Beweis:
a) LPMi (Y,'t) > LPMi (Y;t - ()Il):
LPM1(y,'t) HiBt sich durch 2 Teilintegrale aus-driicken und mit ()Il > 0 resultiert
~
LPM1(y,'t) = f (r - YY fey) dy
~-o~
= f ('t-yY f(y)dy
t
+ f (t - YY fey) dy (AI)
~-o~
~-o~
~ f ('t - ()Il - YYfey) dy
r
+ f ('t - YYfey) dy.
~-o~
(A2)
~
Da f (r - y i fey) dy > 0 ergibt sich aus (AI)
~-o~
und (A2)
Finanzmarkt und Portfolio Management -10. Jahrgang 1996 - Nr. 4 505
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t
LPMi(y,"C) = f ( " C - yY fey) dy
~-8~
> f ( " C - 81 1
- YYfey) dy = LPMi(y,"C- (1 1
) , (A3)
Substituiert man y durch
x = y + 81 1
( ¢ : : > Y = x - (1 1 ) in
~-8
=
1 /J2ita ( ( " C - 8
1 1- YYe - ( y - ~ S /2cr
2dy, (A4)
so erhalt man mit dx/dy = 1 und den Integralgrenzen
x = " C ( ¢ : : > Y= " C - (1 1
) bzw. x = -00 ( ¢ : : > y = -00)
Mit J .ly = J .lx - 81 1resuitiert
r
= 1 / J2ita f ( " C - xj'e -(x-~S /2cr2dx
Beweis zu Satz (2.Teil)
Annahme:
X - N ( J . l , ax) und Y - N ( J . l , ay) seien die Rendite
zu Portefeuille Px bzw. Py mit ax < ay; die zug
horigen Dichten seien f(x) bzw. fey).
Behauptung:
Px ist ein Mean-Ll'Mi-effizientes Portefeuille un
Py ineffizient bzw. LPMi(y,"C)> LPMi(X,"C) f
(lE IN, " C E IR) oder (l= 0, " C ~ u),
Beweis:
Anhand der Zufallsvariablen Z - N ( J . l , a) m
konstantem J .l (ohne Beschrankung der Allg
meinheit wirdJ .l= ° gesetzt), variablem a un
der Dichte fez) wird gezeigt, daB d(LPMi
( Z , " C ) )
do » ° ist.Da die entsprechenden Voraussetzungen erfii
sind, kann vor dem Integrieren differenziert we
den.
Es ergibt sich fur d(LPMi(Z,"C))I do =
t
= d[I/J2ita f ( " C _ z Y e - z 2 / 2 c r 2 d z ] / d a =
t
=-I/J2ita2 f ("C_zie-z2/2cr2dz
r
(A6) +I/J2ita f ( " C _ z Y e - z 2 / 2 c r 2 ( _ ( z 2 / 2 ) ( _ 2 I a 3 ) ) d z =
Mit LPMi(y,"C) > LPMi(X,"C- (1 1
) = LPMi(X,"C)
besitzt Portefeuille Py das grofiere Risiko und mit
der vorausgesetzten geringeren Renditeerwartung
J .ly ist Pyim Vergleich zu Px ineffizient.
r
=I/J2ita2[ f ( " C - z Y ( z 2 / ~ ) e-z2/2cr2dz
r- f("C_zie-z2/2cr2dz]. (A7
Fiihrt man t = zk: ( ¢ : : > z = to) in (7) ein, so erh
man mit d z / d t = a und den Integralgrenzen
t = " C I a ( ¢ : : > z = " C ) bzw. t = -00 ( ¢ : : > z = -00)
~/cr
1/ J2ita 2 r ] ( " C - to)' ee-t2/2a dt
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~ / ( J- f (1'_toYe-t2/2
c dt ] .
k
(A8) - f (k - tie-t2
/2 dt} =
Mit k = 1'/0'(bzw. l'= ko) vereinfacht sich (8) zu
k
1 / J2it0' 2 t ] (k - tid t2 e_t2
/2 0' dt
k- f (k_tide-t2/2
o dt ] = (A9)
k
=0'1-1/ J2it t ] (k - t/ t2 e-t2
/2 dt
k- f (k_tYe-t2/2 dt].
k
= l O " ' -- 1 /J2it f (k-ttl (-t) e-t2/2dt=: H(l,k).
(AI2)
Unter der Beschrankung l = 0 resultiert aus (All)
k- f [(k - t)' 1] (_e-t2/2
) dt
k- f (k_tYe-t2/2
dt}
Durch partielle Integration und Verwendung von
u(t)=(k-tYt unddv(t)=te-t2
/
2
ergibtsich =O'-I/J2it{(-k) e-k2/2} =: H(O,k).
k k
=0"'--1/ J2it {u(t) vet) I - f vet) duet) dt
k
- f (k - tYe-t2/2 dt} (AlO)
k
=0'1-1 / J2it {(k - t)' t ( -e _t
2
/ 2 ) I
k- f [l (k - ttl (-1) t + (k - t)' 1] (_e-t2/2
) dt
k- f (k - tYe-t2/2 dt }. (All)
Da lim(k - t)' t (_e-t2/2
) = 0 wird (All) untert - - - > =
der Beschrankung l E IN zuk
d-I / J2it {O- f [l (k - ttl (-1) t +
(AI3)
Anhand von H (O,k) und H(l,k) wird nun folgende
Fallunterscheidung vorgenommen:
(Dabei ist t= ko (vgl. Zeile (A8) und (A9)) und
l'< 0, l'= 0, l'> 0 entspricht r < u, r = u, r > / . l )
a) I = 0, l'< 0 bzw. l'= 0 bzw. l'> 0
Mit k = 1'/0'ergibt sich aus (A13)
{
< 0 fur l'> 0
H(O,k) =OfUr1'=O> 0 fur l'< O. (AI4)
b)IEIN,1'~O
Mit t < k und k = 1'/0' ~ 0 ist t < O. Somit ist jederFaktor in Zeile (AI2) positiv und damit
H (l,k) > 0 fur l E IN mit k ~ 0 bzw. (mit k = 1'/0')
fur jedes l'~ . (AI5)
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c) 1 EIN, 't > 0
(AI2) kann durch zwei Integrale wie folgt ausge-
druckt werden:
-kH(l,k)= ld-l /
J2 i t r ](k - t)l-i (-t) e_t
2
/ 2 dt
kf (k + ttl te-t2
/2 dt
o
k
+ f (k - t)/-l ( -t) e-t2/2 dt
o
(A
k
+ f (k - ttl (-t) e-t2
/2 dt}.
-k
k
(AI6) = f {(k+ttl_(k-ttl} te-t2
/2 dt.
o
(A
Mit t < -k und k = 'tla > 0 ist t < O. Somit ist das
erste Integral in (AI6) positiv. Das zweite Integral
kf (k - ttl (-t) e-t2
/2
dt
-k
Mit 0 < t < k bzw. k = -ao > 0 ist jeder Fakto
(A21) positiv. Damit ist auch das zweite Integ
in (AI6) positiv, d.h.
(AI7) H (l,k) > 0 fur 1E IN mit k > 0 bzw. (mit k = '
ftir jedes 't > 0 . (A
HiBtsich wiederum in die zwei Integrale
of (k - ttl (-t) e-t2
/2 dt +
-k
k
+ f (k - ttl (-t) e-t2
/2 dt (AlS)
o
aufteilen. Ersetzt man t durch s = (-t) ( ¢ : : > t = -s)
so ergibt sich mit ds I dt = (-1) und den Integral-
grenzen s = k ( ¢ : : > t = -k) und s = 0 ( ¢ : : > t = 0)
of (k+stlse-S2
/2
(-l)ds
k
k
+ f (k - ttl (-t) e-t2
/2 dt.
o
(AI9)
b a
Da f hex) dx = - f hex) dx konnen die Inte-
b
gralgrenzen vertauscht werden.
Verwendet man wieder die ursprtingliche Be-
zeichnung t fur die 1. Integrationsvariable, erhalt
man
ZusammenJassung:
Mit (AI4), (AlS) und (A22) ist d(LPM1 (Z
do ~ 0 fur (l E IN, 't E IR) oder (l = 0, 't ::;11) .
In der Annahme zum 2. Teil des Beweises wu
fu r die Portefeuilles Px und Py ax < ayvoraus
setzt. Damit ist LPM/(y,'t) > LPM/(X,'t) bzw.
ein Mean-Ll'M'-effizientes Portefeuille.
Damit ist der Satz bewiesen.
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Fussnoten
[1] WILDARSKY (1993)
[2] KAHN (1992)
[3] MARKOWITZ (1952)
[4] MARKOWITZ (1952)
[5] ROY (1952)
[6] MARKOWITZ (1959)
[7] ELTON/GRUBER (1991)
[8] ELTON/GRUBER (1991)
[9] ROY (1952)
[10] LEIBOWITZ/HENRICKSON (1989)
[11] BAUMOL (1963), MARKOWITZ (1959)
[12] RUDOLF (1994)
[13] LINTNER (1965), MOSSIN (1966), SHARPE (1964)
[14] JAEGER! RUDOLF/ZIMMERMANN (1995)
[15] JAEGER! RUDOLF/ZIMMERMANN (1995)
[16] siehe Software zu HAUGEN (1989)
[17] MARKOWITZ (1952)
[18] SHARPE (1967)
[19] LEIBOWITZlHENRICKSON (1989)/
LEIBOWITZlKOGELMAN(1991 )
[20] HARLOW (1991)
[21] HARLOW (1991)
[22] HARLOW (1991)
Literatur
BAUMOL, W. J. (1963): "An Expected Gain-Confidence
Criterion for Portfolio Selection", Management Science.
ELTON, E. J. and M. J. GRUBER (1991): "Modern Port-
folio Theorie and Investment Analysis", Wiley, New York,
4th ed., p.p. 216ff.
HARLOW, W. V. (1991): "Asset Allocation in a Down-
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JAEGER, S., M. RUDOLF and H. ZIMMERMANN (1995):
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LEIBOWITZ, M. L. and S. KOGELMAN (1991): "Asset
allocation under shortfall constraints", The Journal of
Portfolio Management, pp. 18-23.
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the Selection of Risky Investments in Stock Portfolios and
Capital Budgets", Review of Economics and Statistics 47,
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MARKOWITZ, H. (1952): "Portfolio Selection", Journal
of Finance.
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SHARPE, W. F. (1964): "Capital Asset Prices: A Theorie
of Market Equilibriums under conditions of Risk", Journal
of Finance 19, pp. 425-442.
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Financial and Quantitative Ananlysis, June.
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zur Risikowahrnehmung: Ein Anfang", in: Bayerische
Ruck (Hrsg.), Risiko ist ein Konstrukt - Wahrnehmung
zur Risikowahrnehmung, Knesebeck, pp. 191-211.
509inanzmarkt und Portfolio Management -10. Jahrgang 1996 - Nr. 4