lärobok i militärteknik, vol. 1:...
TRANSCRIPT
Lärobok i Militärteknik, vol. 1: Grunder
Lärobok i Militärteknik, vol. 1Grunder
Kurt AnderssonKristian ArtmanMagnus AstellStefan AxbergHans LiwångAnders LundbergMartin NorsellLars Tornérhielm
Lärobok i Militärteknik, vol. 1: GrunderFörfattare: Kurt Andersson, Kristian Artman, Magnus Astell, Stefan Axberg, Hans Liwång, Anders Lundberg, Martin Norsell och Lars Tornérhielm
Lärobok i Militärteknik nr. 1
© Försvarshögskolan och författarna 2007Mångfaldigandet av innehållet i denna bok och/eller kopiering av den medföljande cd-skivan är enligt lagen om upphovsrätt förbjudet utan medgivande av Försvarshögskolan.
Bokens innehåll har granskats och godkänts av Militärvetenskapliga institutionens publikationsråd.
Serieredaktör: Stefan AxbergProjektledare: Per EliassonRedaktör: Lars TornérhielmGrafisk form och teknisk redigering: Elsa JohannessonTryck: Elanders, Vällingby 2007
Första upplagan, första tryckningen, juni 2007
ISSN 1654-4838ISBN 978-91-85401-72-7
För mer information om Försvarshögskolans publikationer, kontakta oss på telefon-nummer 08-553 42 500 eller besök vår hemsida www.fhs.se/publikationer.
Innehållsförteckning
Förord 9
1. Inledning 111.1 Allmänt 111.2 Övrigt 12
2. Vadärvetenskap? 132.1 Teknikochvetenskap 132.2 Tro,övertygelse,vetande 142.3 Vetenskapensomprocess 152.4 Hypoteser 162.5 Faktaochteorier 18
3. Omstatistik 213.1 Stickprovsundersökningar 213.2 Beskrivandestatistik 223.3 Lägesmått 243.4 Spridningsmått 273.5 Statistiskhypotesprövning 28
4. Omsannolikhet 314.1 Träffsannolikhetvidfleraskott 314.2 Slumpmässigaförsök 324.3 Sannolikhet 334.4 Utfallsrum 354.5 Likformigsannolikhetsfördelning 364.6 Oberoendehändelser 374.7 Stokastiskavariabler 39
5. Modellochverklighet 455.1 Mentalamodeller 455.2 Fysiskamodeller 465.3 Matematiskamodeller 46
5.3.1 Boyleslag 465.3.2 Frittfall 475.3.3 Lanchestermodeller 47
5.4 Dynamiskamodellerochsimuleringar 485.5 Ytterligareexempel 49
6. Någramatematiskaverktyg 516.1 Naturligatal 516.2 Mätningavfysikaliskastorheter 536.3 Proportioner 536.4 Reellatal,tallinjenochkoordinatsystem 556.5 Relationerochfunktioner 566.6 Rationellafunktioner 586.7 Rätalinjerochriktningskoefficient 606.8 Derivata 616.9 Potensfunktioner 636.10 Exponential-ochlogaritmfunktioner 646.11 Trigonometiskafunktioner 676.12 Enhetscirkeln,utvidgningavsinusochcosinus,radianer 686.13 Sinussomrepresentationavsvängningar 726.14 Kortomintegraler 73
7. Mekanik 777.1 Allmänbakgrund 777.2 Begreppochstorheter 787.3 Koordinatsystemimekaniken–tröghet 797.4 Tyngdpunktensrörelse–translation 79
7.4.1 Sträcka,hastighetochacceleration 807.4.2 Krafter 817.4.3 Tyngdpunkt–masscentrum 837.4.4 Newtonslagar 847.4.5 Rätlinjigrörelse 857.4.6 Kroklinjigrörelse 887.4.7 Friktion 897.4.8 Fjädrar–dämpare 90
7.5 Rörelsekringtyngdpunkten–rotation 917.5.1 Moment 917.5.2 Tröghetsmoment 927.5.3 Rotationsacceleration,rotationshastighet ochvinkel 937.5.4 Rotationsrörelse 93
7.5.5 Omgyron 947.5.6 Torsionsfjädrar 95
7.6 Arbete–energi–effekt 95
8. Hållfasthet 998.1 Allmäntomhållfasthet 998.2 Hookeslag 1008.3 Dragbrott 1018.4 Böjning 1018.5 Beräkningsmetoder 1028.6 Konstruktionsmaterial 102
9. Aerodynamik 1059.1 Olikahastighetermedolikakrav 1059.2 Under-ochöverljudsströmning 1079.3 Huruppkommerlyftkraftochluftmotstånd? 1079.4 Skillnadermellanendeltavingeochenvanligvinge 1109.5 Lyftkraftscentrumochliteomstabilitet 1119.6 Luftmotstånd 1119.7 Laminärochturbulentströmning 1139.8 Stealthochaerodynamik 113
10. Vågutbredningochdesstillämpningar 11510.1 Uppkomstavelektromagnetiskstrålning 116
10.1.1 Utbredningshastighet 11710.1.2 Frekvens 11810.1.3 Våglängd 11810.1.4 Sambandetmellanvåglängdochfrekvens 119
10.2 Vågutbredning 12010.3 Antenner 123
10.3.1 Riktantenner 12310.3.2 Rundstrålandeantenner 12610.3.3 Gruppantenner 127
10.4 Fotonen 131
11. Atmosfärenspåverkanpåaerodynamikochvågutbredning 13311.1 Atmosfärenssammansättningochindelning 13311.2 Temperatur,lufttryckochdensitet 135
11.3 Vattenånga 13611.4 Atmosfärsdämpning 136
12. Hydroakustik 13912.1 Korthistorik 13912.2 Begrepp 14112.3 Ljudetsutbredningivatten 143
12.3.1 Allmänt 14312.3.2 Spridning 14412.3.3 Absorption 14512.3.4 Hastighet 14512.3.5 Dopplereffekt 14612.3.6 Ljudavböjning 14612.3.7 Sonarekvationerna 148
12.4 Exempel 14912.4.1 Passivasystem 14912.4.2 Aktivasystem 149
13. Laser 15313.1 Grunderförlaser 15313.2 Olikatyperavlasrar 156
13.2.1 Inkoherentlaser(direktdetektion) 15713.2.2 Koherentlaser 157
13.3 Strålutbredningförlaser 15813.4 Atmosfärspåverkan 15913.5 Lasersäkerhet 161
13.5.1 Allmäntomlasersäkerhet 16113.5.2 Äldrelaserklasser 16213.5.3 Denyalaserklasserna 163
Fördjupningslitteratur 165
Bilaga:Ommaterialetpåmedföljandecd 167
Ombokensförfattare 169
Serien”LärobokiMilitärteknik” 171
�
Förord
Vi lever ienföränderligvärlddärävenkrigetskaraktär förändras;desskon-sekvenserärdock likaohyggligasomtidigare.Hotenärnyaochoftadolda.Traditionellafronterförsvinner,nationalstaterärsedanlängeintedeendapar-ternavidkonflikter.Kunskapomochförståelseavdemilitäraarbetsredskapensfunktionochnyttjandeutgörenviktigframgångsfaktorfördagensochmor-gondagensofficer.Verktygenärtillheltövervägandedelavtekniskart.Dennanära koppling mellan teknik, taktik och operationer behöver betonas inomofficersutbildningen.DettaskergenomämnetMilitärteknik.Militärteknikärnämligendenvetenskapsombeskriverochförklararhurteknikeninverkarpåmilitär verksamhet på alla nivåer och hur officersprofessionen påverkar ochpåverkasavtekniken.Militärteknikenharsingrundifleraolikaämnenfrånskildadisciplinerochförenarsamhällsvetenskapensförståelseavdenmilitäraprofessionen med naturvetenskapens fundament och ingenjörsvetenskapenspåbyggnad och dynamik. Militärtekniken behandlar således tekniken i dessmilitärakontextochutifrånofficerensperspektiv.
Som följd avmilitärteknikens tvärvetenskaplighet studeras ochutvecklasämnetmedstödavbådenatur-,samhälls-ochingenjörsvetenskaper.Deme-todervilkatraditionellttillämpatsärfrämstkvantitativa.Matematik,statistik,tekniskaexperiment,modelleringochsimuleringärexempelpåsådanameto-der.Vidstudietavinteraktionenmellanteknikochtaktik,operationrespektivestrategikanävenkvalitativametoderbehövas.
Teknikenspåverkanfinnspåsåvälstridsteknisk,taktisk/operativsomstra-tegisknivå.Påverkanärmest tydligochmätbarpå lägrenivåer, t.ex.närettellerfleratekniskasystemavmotståndarensättsurspelgenomstörning,vilse-ledandeinformationetc.ochmangenomattanvändasigavenkombination
Lärobok i Militärteknik, vol. 1: Grunder
10
avtekniskochtaktiskkompetensgenomförerforderligtaktikanpassning.Medgodkunskapomverktygen,dvs.alltfrånvapenochplattformartillinforma-tions-ochledningssystemsamtprinciperförattbedrivastridpåolikanivåerkandenväpnadestridenförasframgångsriktpåallanivåer.Teknikenspåverkanökardockpåstrategisknivåochärdåoftaknutentillväsentligateknologiskautvecklingssteg.
FöreliggandeLärobok i Militärteknikäruppdeladifleradelar,avvilkadettaärdenförsta.Skildateknikområdenredovisasiseparatabokvolymerförattvidbehovsnabbtkunnareviderasutanatthelabokenfördendelenmåsteomarbe-tas.Likasåmöjliggördennastrukturattnyaochförofficersprofessionenviktigateknikområdensnabbtochenkeltkaningåilärobokengenomattadderanyavolymer.
Dennavolym,benämndGrunder, innehålleretturvalavmatematik,na-turvetenskapochtekniktillstödförvidaremilitärtekniskastudier.Studietavteknik förmilitärasyftengernödvändigteknisk förståelse liksomkunskaperinomrelevantaochaktuellateknikområden.Dettaskaparförutsättningarförattförståinteraktionenmellanteknikochmilitärverksamhet.
Militärteknikenutgör länkenmellandenrenateknikkunskapenochdesstillämpningarinomofficersprofessionenochjaghoppasattLärobok i Militär-teknikkommeratttillföradagensochmorgondagensofficerarekunskaperochintellektuellaredskaptillfrommaförsåvälkarriärsomförsvarsmakt.
Stockholm i januari 2007
Stefan Axberg, professor i Militärteknik
11
1. Inledning
1.1 Allmänt
Dennabokutgörvolym1avLärobok i Militärteknik.Skälettillattfleravoly-mergesutinomsammaserieärblandannatattböckernaskallvarahanterligtstoraochattdetunderlättarframtidabearbetningarförnyautgåvor.
• Vol.2behandlarsensorermedtillhörandeteknikområden.
• Vol.3behandlarledningmedtillhörandeteknikområden.
• Vol.4behandlarverkanavstridsdelarochskyddmotdessamedtillhörandeteknikområden.
• Vol.5behandlarplattformarmedtillhörandeteknikområden.
• Vol.6behandlarrelationenteknik,taktik,operationenochstrategi.
• Vol.7behandlarrymdteknik.
• Vol.8behandlarochexemplifierarmilitärtekniskaerfarenheter.
Föreliggandebokbehandlardegrunder somerfordras förattkunna till-godogörasigdemeravanceradedelarnaifrämstvol.2–5enligtovan.Utöverdennabokkrävsvissagrundläggandekunskapersärskiltinommatematikochfysik.BokenärframtagenavlärarevidFörsvarshögskolan(FHS).DennabokvändersigfrämsttilldesomvillhamöjlighetattkunnatillgodogörasigalltsombehandlasiLärobok i Militärteknik.Denärskrivenförofficerareochcivilasomverkarinomförsvaretochärtänktattvaraenlärobokviddeskolorsomharutbildninginommilitärtekniken.
12
Lärobok i Militärteknik, vol. 1: Grunder
1.2 Övrigt
• Textenstödsavdatorprogram,skrivnaiMatlab(<filnamn.m>).
• Idennabokanvändspunktsomdecimaltecken.
13
2. Vad är vetenskap?
2.1 Teknik och vetenskap
Viförknippargärnateknikmednaturvetenskap.Ivårtidärdettaheltbefogat.Modernnaturvetenskapkanintebedrivasutanenhögtutveckladteknik,ochdenmodernateknikenskulleintevaramöjligutanengedigennaturvetenskap-liggrund.Mendennakopplingäravsentdatum.Medannaturvetenskapen,sådanvinukännerden,baraharnågrahundraårpånacken,harmänniskannyttjat teknik i olika former alltsedan hon började tillverka saker och ting,alltsåihundratusentalsår.
Dentekniskakunskapenharförtsvidarefrångenerationtillgenerationiolikahantverkstraditioner,ochdenvisadesigiatthantverketfungeradeidetpraktiskautövandet.Detmestaavsådankunskapviladepåbetydligtsäkraregrundänåtskilligavdagensvetenskapligakunskap.Varförbetraktarvidåintedennatekniskakunskapsomvetenskaplig?
Dennunämnda,tekniskakunskapenhörnärmasttilldetvikallarbeprövad erfarenhet.Den skapasoch förmedlaspå etthelt annat sätt än vetenskapen.Densomlärsigetthantverkfårsjälvgörasammaerfarenhetersomläromäs-tarenengånggjorde.Denbeprövadeerfarenhetentillväxerochförnyasytterstlångsamt,oftagenomtillfälligheternasspel.
Dettaliggerisakensnatur,tyteknikutövasförmateriellproduktion,varvidkunskapenblirenbiprodukt.Vetenskapligforskningärdäremotettsystema-tisktkunskapssökande.Iempirisk–erfarenhetsbaserad–forskningkanförlop-petseutsåhär:Forskarenväljerettproblem(somhan/honsjälvellernågonannanharställt).Däreftersamlarhan/honfaktasomväntasbelysaproblemet.Detkanskegenomobservationer,studieravhistorisktkällmaterial,intervju-undersökningaretc.Urdeterhållnamaterialetförsökerforskarendraslutsatser,
14
Lärobok i Militärteknik, vol. 1: Grunder
somibästafallgerettsvarpådenställdafrågan.Heladennaprocedurdoku-menterasochpubliceras.
Medan den beprövade erfarenheten förmedlas från mästare till lärjunge,förmedlasvetenskapligaresultatgenomattdepubliceras.Andraförmedlings-former–kongresser,seminarier,lektionerm.m.–kansessomkomplementtilldetrycktaskrifterna.
Avdettaföljerattvetenskapligochtekniskkunskapäravdelvisolikaslag.Vetenskapligkunskapärformuleradipåståenden,medantekniskkunskapvi-sarsigivadmänniskorförmårgöra.Teknikenlegitimerarsigsjälvgenomvaddenåstadkommer,medanettvetenskapligtresultatintekanlegitimeraspåan-natsättänattmanargumenterarfördet.
Hurgårsådanargumentationtill?Vilkatyperavargumentkananvändasförattstyrkaettvetenskapligtresultat?Hursäkerärvetenskapligkunskap?Ärdetnågonväsentligskillnadmellanvetenskapligkunskapochannankunskap?DettaärkärnfrågoridenfilosofiskadisciplinsomiSverigebrukarkallasveten-skapsteoriochsompåengelskabenämnsphilosophy of science.
2.2 Tro, övertygelse, vetande
Närdusägerattduvetnågot,såärduövertygadomattdetärsant.Iblandmisstardudigemellertid.Detdutroddevarsantvisadesigvarafel.Dåvardetisjälvaverketintenågotvetande.Vetandeärövertygelse,menmeränså.Detdutrormåstevarasant.Menräckerdet?
Tänkdigföljandesituationikrig:Härföraren,H,harskaffatsigenupp-fattningomdenfientligastyrkan,vardenbefinnersigochhurstordenär.Hananfallerochvinnerslaget.Efteråtkundehankonstateraatthansuppfattningomfiendensstyrkastämde.
DufrågarHhurhankundevetadettaiförväg.Hansvaradeatthanhadekonsulteratsinastrologochfåttuppgiftenavdenne.Hanlitadeheltochfulltpåsinastrolog.Skulledu idet lägetbetraktahansövertygelsesomvetande?Antagligeninte.Duskullenoganseattdetvarrenaturenattastrologensupp-giftstämde.
AntaattHiställetsvaradeatthanhadeskickligaspanare,somhaderekog-noserat bakom fiendens linjer. Underrättelseavdelningen hade sammanställtspanarnasuppgifterochfått framenbedömning, somdenvidarebefordradetillH.Hanlitadepåpersonalenskompetens.Hurskulledudåställadig?
IbäggefallenvisadeHtilltrotillmänniskor.Ibäggefallenvaruppgifternariktiga.Ärdetnågonväsentlig skillnadmellan att litapå astrologenochpåunderrättelsetjänsten?
Alltmänskligtsamarbetemåstebyggapåengrundläggandetillit.Detkanintevarafelisig.Ärdetnågonväsentligskillnadmellanensådantillitochdet
15
Vad är vetenskap?
vikallarauktoritetstro?Bådaordeninnebärjuattvitartillossochlitarpåvadenannanmänniskasäger.Astrologiochreligionharsinaauktoriteter,vetenska-penharsina.Vadärskillnaden?
Skillnadenvisarsigivadsomhändernärdufrågar:”Vadärgrundenfördittpåstående?”Inomvetenskapenärtvivletalltidaccepterat.Omdubetvivlarettvetenskapligtresultatkanduiprincipalltidspåraresultatetsursprung.Detkanvaramödosamt.Dumåstesökaidenlitteratursomhävdarresultatet,gåtillreferenserna,tillreferensernasreferensero.s.v.,ändatillsdufinnerettorigi-nalarbetedärresultatetpresenteras.Däroberopaskanskeenmängdfaktasomerhållitsgenomobservationer,såutförligtbeskrivnaattdusjälvskullekunnautförasammaslagsobservationer.Pådetsättetskulledusjälvkunnataställ-ningtillomresultatetärriktigt.
Ävenomdettaärmöjligtiprincip,finnsdetpraktiskasvårighetersomgörattduintesäkertkangenomföradebehövligaundersökningarna.Detkanblifördyrtfördig.Dumåstekanskeväntapåettastronomisktobservationstillfällesomintekommerattinträffaunderdinlivstid.Ellerdekvarlevor,sombeskrivs,ärbortplockadefrånfyndplatsen.
Vill dupåmotsvarande sätt undersöka sanningshalten i en religiös tros-satsellerenastrologiskprincip,kanduocksågåtillurkunderna.Mendukanaldrigkommalängreäntilldenallraförstaurkunden.Pådessauktoritetvilaralltsammans.Dukommeraldrigtillnågonursprungligobservation,somdusjälvskullekunnakontrollera.
Detsomärutmärkandeförvetenskapligverksamhetäralltsåreproducerbar-heten.Enundersökning,somenpersonhargjort,kanenannanupprepaellerkontrollera–n.b.attdetkankrävatidochresurser.Mendetäralltidtillåtet.Finnerduattduintelyckasreproduceraettpåståttresultat,såärdetettindi-ciumpåattresultatetärfelaktigt.Detdubörgöraidetlägetärattpubliceradinarönochenutförligbeskrivningavhurduhargåtttillväga.Dåföreliggertvåvarandramotsäganderesultat.Problemetärdåintelöst.Fortsattforskningbehövsinnandetenaellerandraresultatetbetraktassomsäkerställt.
2.3 Vetenskapen som process
Pådetsättetutvecklasvetenskapeniprocesser,somintealltidtycksgåframåt.Detberordelspåattenstakavetenskapligaobservationerärbehäftademedfel(tillfälligamätfelsåvälsomsystematiskafel),delsattdekanvarasvårtolkade.Ettpubliceratvetenskapligtresultatkandärförvarafelaktigt,ävenomdetbyg-gerpåomsorgsfulltgjordaundersökningar.Detvetenskapligaienforsknings-rapportbeståralltsåinteiattattresultatetsäkertärriktigt,utaniattarbetetärsåutförtochpresenteratattandrakankontrolleradet.
16
Lärobok i Militärteknik, vol. 1: Grunder
Denna synpå vetenskapen står i stark kontrastmot en ”naiv” syn, somtidigarekanhavaritvanlig.Enligtdennaiva synenbörjar forskningenmedinsamlingavfakta.Dessafaktaanvändsiettpusselläggande,varvidkunskapengradvisbyggsupp.Bitläggstillbitochbildenavdetfärdigapussletväxersuc-cessivtfram.
Attdennaivasynenintehållerkanbaradelvisförklarasavdetredansagda–observationsfelochfeltolkningar.Enannan,kanskeviktigare,delavförkla-ringenliggeriattdefaktasomframkommervidenundersökningärfragmen-tariska.Deutgörisjälvaverketenförsvinnandelitendelavdenverklighetmanvillundersöka.Skamanjämföramedpusselläggande,såmåstemanförutsättaattdeflestaavpusselbitarnahargåttförloradeochintekanåterfinnas.Iallrabästafallharmanpusslets”lock”tillhands,meniallmänhetfinnsivetenskap-ligforskningintenågotsomkanfyllalocketsfunktion.
Felaktiga observationer kan jämföras med att vissa av de återfunna pus-selbitarnaärillaåtgångna.Feltolkningarkanjämförasmedattmangissarpus-selbitensrättaplats,menmisstarsig.Ochävenomdeåterfunnabitarnaharplaceratsrätt;vadgörmannärflerbitarinteärtillgängliga?Villmanändåfåettfärdiglagtpussel,måstemanrekonstrueradesaknadebitarna.Detkanskepåbasisavdetsammanhangsomkanskönjas.Meniblandfinnsinteunderlagensförrekonstruktioner.Dåfårmansjälvskapaåterstoden,välmedvetenomattdennainteärmeränensegenskapelse.
Defåtillgängligapusselbitarnakanvijämföramedfakta.Detvisjälvakon-struerarellerrekonstruerarärjämförbartmedvetenskapligateorier.Osäkerhe-teniteoribildningenäruppenbar,menvivillhellrehaenrekonstrueradhelhetännågotsomliknarenruin.Närpussletärfärdiglagtåterstårmångaobesvaradefrågoromhurpussletkundehasettutistället.Vadgörmanomnågonhittaryt-terligareenpusselbit?Passardeninteinidetfärdigamönstret,måstehelabilden–teorin–revideras.Sådanthänderhelatidenundervetenskapensutveckling.
Rättförstådd,ärpusselliknelsenganskaträffande,menkanintegeenrik-tiguppfattningomforskarensvillkor.Hurtersigdetvetenskapligaarbetet iverkligheten?
2.4 Hypoteser
Dethörtillundantagenattenforskarebeträderheltnymark;gersigininågot,däringenkunskapallsfannstidigare.Deproblemensådanforskarestårinför,kanvilämnadärhän.
Vitänkerossdärförenforskare,somvaltettprobleminomettområde,därmycketärkäntförut.Genomsinbekantskapmedämnetharhan/honenhel-hetsbildavdenverklighethan/honstuderar,enbildsomdockärofullständigochsomforskarenvillbidratillattfyllaut.Dennahelhetsbildärvadvikallar
17
Vad är vetenskap?
enteori.Förattfyllautden,ochgörateorinmerfullständig,behövsflerfakta.Vadslagsnyafaktabehövs?Hurfårmantagidem?
Finnsdetnågonallmänstrategisomlämparsig iensådansituation?Envanlig,ochoftalämpligstrategiärattbildaenhypotes.Densomgersiginiettforskningfält,gördetväloftasttillföljdavintresseochfallenhetförämnet.Närmanmöterenobesvaradfråga,lederintuitionentillidéeromvadsvaretkanvara.Ensådanidéärvadvikallarenhypotes.
En väl fungerande intuition är en av förutsättningarna för framgångsrikforskning.Närenhypotesharformulerats,måstedentestas.Detkangåtillsåhär:Omhypotesenärsann,följerdäravattvissafaktamåsteföreligga.Visarenundersökningattdessafaktainteföreligger,såärhypotesenfalsifierad,dvs.bevisadvarafalsk.Omåandrasidandessafaktapåvisas,behöverhypotesenfördenskullintevarasann.Detkanhändaattsammafaktaskullekunnaförklarasavenalternativhypotes.Attvisaattenhypotesärsannkallasattverifieraden.Menvetenskapligahypoteser låter sigsällanverifieras.Hurkommerdetsig?Omenhypotesärfalsifierad,såärväldenmotsattahypotesenverifierad?Alltsåbordefalsifieringochverifieringbaravaratvåsidoravsammasak.
Låt oss belysa situationen med det välbekanta ”svanexemplet”: Alla ob-serveradesvanarharvisatsigvaravita.Hypotesen”Allasvanarärvita”liggerdärförnäratillhands.Såupptäckernågonensvartsvannågonstanspåsödrahalvklotet.Därmedärhypotesen falsifierad.Men samtidigt ärdenmotsattahypotesenverifierad,nämligen:”Detfinnssvanarsominteärvita.”
Mendenförstahypotesenochdenmotsattaäravheltolikaslag.Denförstaärfalsifieradsåsnartviharobserveratensvansominteärvit.Mendenmot-sattahypotesenkanintefalsifierasmedmindreänattviundersökerallasvanarsomfinns.Ochhurskavivetaattvifunnitallihop?
EnöverläggningidenhärriktningenleddevetenskapsteoretikernKarlPop-pertillståndpunkten,attförattenhypotesskagodtassomvetenskapligmåstedenvarafalsifierbar.Detmåstealltsåvaratänkbartattmankanfinnanågotfaktum,somfalsifierarden.Somenallmänstrategiförvetenskapligforskningföresloghanattmanformulerar”djärva”hypoteser,alltsåhypotesersommankantänkasig skullekunna falsifierasavvissa fakta.Sedanmanföreslagitenhypotes,görmanvadmankanförattfalsifieraden.Visardensigvarafalsk,försökermanenannanhypotes,ochlåterdengenomgåsammaskärseld.Enhypotes,sommanintelyckatsfalsifiera,ärnaturligtvisintefördenskullverifie-rad,menhardenmotståttmångafalsifieringsförsök,såhardenvunnitåtskil-ligtitrovärdighet.Ensådanhypotesär,iPoppersterminologi,korroborerad.
Kravetpåfalsifierbarhetkanocksåuttryckassomettkravpåprecision.Etttillräckligtvagt,ellermångtydigt,uttalandeäripraktikenomöjligtattfalsifie-ra.Tasomexempelhoroskopellerorakelspådomar.Deäravsiktligtutformadesåattdeharnågonsanningshalt,alldelesoavsettvadsominträffar.
18
Lärobok i Militärteknik, vol. 1: Grunder
Exempelpåhypotesermedstorprecisionärbrottsåtal.Åklagarenharattvisaattenvisspersonärskyldigtillettdåd.Ensådanhypotesärihöggradfalsifierbar.Etthållbartalibispräckerhypotesen.Åtskillighistoriskforskningkanidetavseendetjämförasmedbrottmålsutredning.
Vetenskapligforskninglederaldrigtillabsolutvisshetomnågonting.Mendenlederilångaloppettillökadkunskapiformavalltfleralltmerkorrobore-radehypoteser.
ManbörintetaPopperssynalltförbokstavligt.Denbordehellreuppfattassomenmodellellerettgrovtschemaförvetenskapligverksamhet,ettförsökattförstånågotavdesskärna.EnsaksomtyckssaknashosPopperärinsiktenomattallvårverklighetsbeskrivningskerviamerellermindregodamodeller(sekapitel5).Enmodellkanvarasämreänmanhadetrott,menbehöverfördenskullinteförkastashelt,utanböriställetförbättras.
EnannansaksomPoppertyckslämnaurräkningenärattåtskillighypotes-prövningäravstatistiskkaraktär.Istatistikentalarmanaldrigomattverifieraellerfalsifieraenhypotes,eftersomprövningenärbehäftadmedstatistiskosä-kerhet.Iställettalarmanomattgodtaellerförkasta,vilketärnågotannat.Semeromdetislutetavkapitel3.
2.5 Fakta och teorier
Omviskaåterknytatillpusselanalogin,kanvisägaattsjälvapusselbitarnaut-görfakta.Varenenskildbitskallläggaskanmanbildaenhypotesom,medandetfärdigapusslet,helheten,ärdenteorivisökerbyggaupp.Menvipåpekadeocksåattsjälvabitarnakanvaraillaåtgångna,varför”fakta”inteärsåoproble-matiskasommaniblandkundetro.
Såärdetocksåiverkligheten.Detsomkallasfaktautgörintealltidsåsäkerkunskapsomordetkanskeantyder.Isjälvaverketfinnsdetingenskarpgränsmellanfaktaochteorier.Vadsomärfaktaidagvarteorierigår.Fördigärdetförmodligenett faktumattvattenären föreningavväteochsyre.Menhurvetdudet?Duharlärtdigdetiskolan,ochduifrågasätterdetförmodligeninte.Menvetduvadväteegentligenär,ellersyre?Ibörjanav1700-taletfannsintedebegreppen. Syretupptäcktes av svenskenScheele och engelsmannenPriestleyoberoendeavvarandra.Till attbörjamed ingick syrebara somendel ienteoriomförbränning,utveckladavLavoisier (somavrättadesunderfranskarevolutionen).Långtsenareinrangeradesdetisystemetavgrundämnen–Mendelieffsschema,somocksåvarenansatstillenteori.
Mendefaktasomsamlasunderforskningsprocessen,vadhardemedteo-rierattgöra?Svaretär,attvadduänharförmetoderattsamlafakta,såärdinaprotokollförda fakta ”teoriladdade”.Dumäter enelektrisk spänning.Redandet avlästa värdet bygger på antaganden om bl.a. ditt synsinne. Och steget
1�
Vad är vetenskap?
därifråntilluppgiftenomdenavlästaspänningenbyggerpåenteori,utifrånvilkenvoltmeternärkonstruerad.Ochävenomdensåhärleddaspänningenärettfaktum,såärfråganomduharmättmellanrättpunkter.Osv.
Eller anta att du gör en intervjuundersökning för att kartlägga väljarespartisympatier.Duantecknarsvarpåettfrågeformulär.Självasvarenärkan-skeodiskutablafakta.Mennärduskaredovisaensammanfattningavsvaren,måstedutolkadem.Hurvetduattfolksvararsomdeiverklighetenkommerattrösta?
Faktaäralltsåbaraenaändanavenskalaavmerellermindresäkerställdahypoteserellerteorier.Närenhypotesärtillräckligtvälsäkerställd–korrobore-rad–placerarviindenblandfakta.Djupareänsåliggerinteskillnadenmellanfaktaochteorier.
Härharviömsomtalatomteorier,ömsomomhypoteser.Vadäregentligenskillnadenmellandebegreppen?Intehellerhärfinnsnågondjupareliggandeskillnad.Enhypoteskanvaraenenkelutsaga,menkanocksåbeståavettheltsystemavinbördesrelateradeutsagor.Detärensådansammansatthypotesvikallarförenteori.
21
3. Om statistik
3.1 Stickprovsundersökningar
Iempiriskvetenskapärmanoftasthänvisadtillattstuderaenmycketlitendelavdenverklighetmanvillundersöka.Fråndefaktamanfårframomdennadelsökermansedanrekonstruerahelheten.Sättenattväljautdelarnaärolikaförolikavetenskaper.Ettsättsomnyttjasidemestskildaundersökningaräratttastickprov.Denmetodenlämparsignärdenhelhet,somskaundersökas,beståravettantalindividuellaobjektsomärvälavgränsadefrånvarandra.Mängdenavalladessaobjektkallarmandåenpopulation.Stickprovetbeståravendel-mängdavpopulationen.Attbedrivastatistikärattundersökapopulationer.
Populationbetyderbefolkning.Statistikvarursprungligenstudietavenstatochdessbefolkning.Sedanharordetpopulationfåttenmergenerellinnebörd.Individernaienpopulationkanvaraavvadslagsomhelst.Villmanundersökaenpopulationkanmaniprincipundersökaallaindivider.Detkallasförento-talundersökning.Ärpopulationenstor,ochärmångaavdessindividersvåraattfåtagi,blirentotalundersökningdyrochopraktisk.Dåfårmannöjasigmedatttautettstickprov.Detkallasävenurval,eller(frånengelskan)sample.
Enstickprovsundersökningbestårdärföravföljandesteg:
1. Populationenavgränsasochettstickprovväljsut.
2. Frånvarjeindividistickprovethämtasdefaktasomefterfrågas.
3. Stickprovetbeskrivspåbasisavdessaundersökningar.
4. Frånbeskrivningenavstickprovetdrasslutsatseromhelapopulationen.
22
Lärobok i Militärteknik, vol. 1: Grunder
Steg 1, 3 och 4 hör till den egentliga statistiken, medan steg 2 hör tilldenspeciellavetenskapinomvilkenundersökningengörs.Viberörvarjestegikorthet:
1. Oftaärdetlångtifrånsjälvklartvilkenpopulationenbörvara.Antagt.ex.attduskaläggauppplanerföruniformeringenavsoldateriframtidafreds-bevarande operationer. Du vill veta vilka mått som ska ligga till grundförtillverkningen.Frånvilkenpopulationskadudraditt stickprov?Allasvenskavärnpliktiga?Knappast!Visänder intevilkasomhelstpåsådanauppdrag.Omdunuharkommitframtillvilkavärnpliktigasomhörtillpopulationen,hurskadåstickprovetdras?Omduväljerblanddemsommönstrariår,skadudåtaallihop?Annarsvilkaavdem?
Ienstatistiskundersökningmedvetenskapligaambitionergörsurvaletslump-mässigt,ochsåattmanvetvilkasannolikheterdeolikaindividernaipopula-tionenharattkommamedistickprovet.Detfinnsmångasättattgöradet.Vinämnerhärbaradet,urteoretisksynpunkt,enklasteförfarandet:obundet slumpmässigt urval,förkortatOSU.Detinnebärattallaindividerharlikastorsannolikhetattkommamedochattdeväljsutheltoberoendeavvarandra.Vigåridennabokinteinpåolikateknikerförattdrastickprov.
2. Faktahämtasgenomobservationer,mätningar, intervjuer etc.,där tekni-kerna är olika för olika vetenskaper. Dessa fakta protokollförs i form avsifferdataellerpåannatsätt.
3. Deterhållnaprotokolletutgörisigenbeskrivningavstickprovet.Mendeninhämtadeinformationenskaanvändaspånågotsättochmåstebearbetasfördetändamålet.Denbearbetningensyftartillattsåtillgängligtochöver-skådligt som möjligt sammanfatta resultaten i protokollet. Detta är denbeskrivandedelenavstatistiken.
4. Attbeskrivastickprovetärdockingetsjälvändamål.Undersökningensyftartilluttalandenomhelapopulationen.Säkraslutsatserompopulationenkanförståsintedrasfrånstickprovet,somiallmänhetbaraärenlitendelavhelapopulationen.Ärstickprovetdragetmedettslumpförfarande,kanslutsat-sernadockangesmedhjälpavsannolikheter.Hurdetkangåtillberörviikorthetikapitletssistaavsnitt.
3.2 Beskrivande statistik
Påvarje individ i stickprovetkanmångaolikaobservationerochmätningargöras.Vibegränsarosshärtillmätningaravenendastorhet.Protokolletinne-hållerdåenlistapåmätetal.
23
Om statistik
Somexempel tar vi ett (fingerat) stickprovpå1000värnpliktiga,där vinoteratderasskonummer.Enlistapådessanummerfinnsifilenskonr.mat.Dukanstuderadenmedelstprogrammetskostud.m.Listanärdenmestfull-ständiga beskrivning av materialet man kan åstadkomma. Men den sortensbeskrivningärföroöverskådligförattkunnaanvändas.Meröverskådligtblirmaterialetomvigrupperardetefternummerochräknarantalet,frekvensen,avvarjenummer.Inedanståendetabellangesocksåderelativa frekvenserna,vilkaerhållsgenomattdividerafrekvensernamedantaletelementistickprovet.Såhärserdenrepresentationenut,därrelativafrekvensenäruttrycktiprocent:
Nummer 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Frekvens 3 40 141 199 206 169 97 80 35 19 8 3
Rel. frekv. 0.3 4.0 14.1 19.9 20.6 16.9 9.7 8.0 3.5 1.9 0.8 0.3
Kum.rel.fr. 0.3 4.3 18.4 38.3 58.9 75.8 85.5 93.5 97.0 98.9 99.7 100
Sistaradeninnehållerdekumuleraderelativafrekvenserna,dvs.summanavderelativafrekvensernaupptillresp.nummer.Informationenuttrycksigrafiskformietts.k.stolpdiagram–sefigur3.1.
Gruppering av material lämpar sig om antalet olika värden är måttligt.Härvardetantalettolv.Nästaexempelärettfingeratmaterialom1000värn-pliktigast längd [mm]. Här är antalet olika värden betydligt större, ca 250.
39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 500
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
Figur 3.1. Relativa frekvensernas representation i form av stolpdiagram. (Källa: FHS)
24
Lärobok i Militärteknik, vol. 1: Grunder
Stolpdiagramöverdetgrupperadematerialetvisasidenövredelenavfigur3.2.Somsynesärdetmycketoöverskådligt–mångaavvärdenaförekommerbaraengång.Förattökaöverskådlighetengörmanens.k.klassindelning,dvs.mansammanförallavärdeninomettintervalltillenklassochräknarantaletelementiresp.klass.Denundredelenavfigur3.2visarengrafiskframställningavrelativafrekvensernainomdeolikaklasserna.Härharbreddenpåklasserna,klassbredden,valtstill20mm.Ensådanframställningavmaterialetkallasföretthistogram.
Omdukörprogrammetlngdstud.m,kanduexperimenteramedolikaklass-bredder.Ärklassbreddenlitenblirhistogrammetganskaliktettstolpdiagram.Ärklassbreddenstor,gåråtskilliginformationförlorad.Enrekommendationärattväljaklassbreddensåattantaletklasserblirnågotmellantioochtjugo.
Ifigur3.3ärdekumuleraderelativafrekvensernarepresenterade.Detövrediagrammetärettkumulerathistogram,detundreens.k.summapolygon.Idetsenareärderelativafrekvensernainterpoleradeinomklasserna,såattkurvanärsammansattavrätalinjer.
Minskarmanklassbredden,kommerdetkumuleradehistogrammetattblialltmerliktsummapolygonen.
Programmettresampler.minnehållertretänktastickprovfrånvarsinpopu-lation.Depresenterasdelsmedallaerhållnavärden(ordnadeefterstorlek),delsigrupperadformmedenlistapåfrekvensersamtgrafisktmedstolpdiagram.Körprogrammetochtittapådiagrammen.Hademframfördignärvinedandiskuterarläges-ochspridningsmått.Noterahurdetrestolpdiagrammenserut!Hurvilldubeskrivaderaslikheterocholikheter?Tittaocksåpåstolpdia-grammenfördekumuleraderelativafrekvenserna.
3.3 Lägesmått
Enredovisningavettgrupperatellerklassindelatmaterialkanmångagångerlämpasigsomdiskussionsunderlag.Menförmångaandraändamålinnehållerde åtskillig onödig information.Villmankarakterisera ettmaterialmed ettfåtalmått,användermaniförstahandläges-ochspridningsmått.Ettlägesmåttsägernågotomvarpåx-axelnmaterialetligger.Ettspridningsmåttsägernågotommaterialetsbredd.
Ettsättattangeettmaterialslägepåx-axelnärmedelstdetminstaochdetstörstavärdet.Devärdenasägerdockintesåmycket,eftersomvärdenlångtutiflankernaoftaharlågrelativfrekvens.
Omdumedettendamåttskulleangevarhuvuddelenavmaterialetbefin-nersig,såskulleduväljanågotvärdemellandetminstaochdetstörsta.Ettsådantvärdekallasettmedelvärde.Nufinns faktisktoändligtmånga sättattbildamedelvärden.Detgällerattväljanågotsomsomharenlätttolkad,ochrelevant,relationtillalladeolikavärdenaimaterialet.
25
Om statistik
1600 1650 1700 1750 1800 1850 1900 1950 20000
5
10
15
1600 1650 1700 1750 1800 1850 1900 1950 20000
0.05
0.1
0.15
0.2
Figur 3.2. Ett stolpdiagram och ett histogram över samma material. (Källa: FHS)
1600 1650 1700 1750 1800 1850 1900 1950 20000
0.25
0.5
0.75
1
1600 1650 1700 1750 1800 1850 1900 1950 20000
0.25
0.5
0.75
1
Figur 3.3. Det övre diagrammet är ett kumulerat histogram och det undre en s.k. summapolygon. (Källa: FHS)
26
Lärobok i Militärteknik, vol. 1: Grunder
Sägerman”medelvärdet”rättochslätt,utanytterligareprecisering,brukarman mena det aritmetiska medelvärdet. Det erhålls genom att man adderarsamtligavärdenochdividerarmedantalet.
Omenvektor (dvs.enuppsättning tal)medmaterialets samtligavärdenbetecknas(x1,x2,...,xn),brukarmedelvärdetbetecknasx .Detgälleralltså
∑=
=n
iix
nx
1
1 (1)
Summatecknet Σ är den grekiska bokstaven stora sigma. Det är oftabekvämt att använda, och du bör vänja dig vid denna symbol. Den an-vänds flitigt i matematisk text. Skriven utan summatecknet blir formeln
)...( 211
nn xxxx +++= .Är materialet grupperat, brukar man modifiera beteckningarna.Vektorn
(x1,x2,...,xm)fårdåbetydadeolika förekommandevärdena.Omvibeteck-nar motsvarande frekvenser med (f1,f2,...,fm) och relativa frekvenser med(r1,r2,...,xm),erhållervi
∑∑==
==m
iii
m
iii xrxf
nx
11
1 (2)
Avenformelförmedelvärdetsermanalltsådirektommaterialetärgrup-perat ellerogrupperat. (I formlerna (2) ärn fortfarande stickprovsstorleken,medanmärantaletolikavärden.)
Ocksåförettklassindelatmaterialanvänds(2)förberäkningavmedelvärdet,mendåtolkasxisomklassmittenideni-teklassen.Detsättetatträknautmed-elvärdetärförståsinteexakt,mengervanligtvisettacceptabeltnärmevärde.
Ett annat ofta använt lägesmått är medianen. Om x-värdena är ordnadeefterstorlek,ochnärudda,såärmedianendetmellerstavärdet.Ärnjämnt,har de tvåmellersta värdena lika anspråkpå att varamedian.Dådefinierasmedianensomderasmedelvärde.
Nukanduberäknamedelvärdenaochmedianernafördetrestickprovenitresampler.m.Körprogrammet,beräknaellergissavärdenaochkollaomdinaresultatstämmermeddemsomvisasiprogrammet.
Förstickprov1såvälsomstickprov2ärmedianenungefärligenlikamedmedelvärdet.Förstickprov3ärmedelvärdetmärkbartstörreänmedianen.Gerstolpdiagrammensutseendennågonförklaringpådet?
Stickproven 1 och 2 är någorlunda symmetriska. För varje symmetrisktstickprovärmedelvärdetochmedianenexaktlika.Stickprov3visarenkraftigtsnedfördelning–positiv snedhet,eftersomdetfinnsenlång”svans”åthöger.Vidpositivtsnedafördelningarärmedelvärdetalltidstörreänmedianen.
Vilkeninformationomensnedfördelningerhållermanmedelstmedelvärdetresp.medianen?(Tänkt.ex.påinkomstfördelningeniettojämliktsamhälle.)
27
Om statistik
För ett klassindelat material kan medianen skattas medelst summapoly-gonen.Körlngdstud.mtillsdufåttframsummapolygonen.Medianenliggernäradenpunktdärpolygonenskär0.5-nivålinjen.Zoomainskärningspunk-tenmedfigurenszoom-in-verktygochjämförmedmedianvärdet1785,somerhållsmedelstmedian(v).
Zoomasedaninpolygonensskärningarmed0.25-och0.75-nivålinjen.Dex-värdensomdåkanavläsasärdes.k.kvartilerna.Denundrekvartilenbörlig-ganäravs(250)ochdenövrenäravs(750)idetinledandeexemplet.Stämmerdet?(Vektornvs,somtasframavprogrammet,innehållermaterialetsvärdenordnadeefterstorlek.)
Medanmedianbegreppetärväldefinierat,finnsdetintenågonlikanaturligdefinitionavkvartilernaförettstatistisktmaterial.Ärmaterialetstort,såhardenolägenheteningenpraktiskbetydelse.Villmankarakteriseraettmaterialmed flera lägesmått, kan man använda medianen och kvartilerna.Vill manangeytterligaretvåmått,kanmantaminstaochstörstavärdet.Omfrekven-sernaförettmaterialharetttydligtmaximivärdebrukardetkallasdenmättastorhetenstypvärde.
3.4 Spridningsmått
Ett tänkbart spridningsmått ärvariationsbredden – skillnadenmellan störstaochminstavärdet.Dettaärdockintelämpligtnärvärdenalängstutiflankernaärfå.Skillnadenmellankvartilernasägermer.Halvaskillnadenmellankvarti-lernakallaskvartilavvikelsenochärettspridningsmåttsomdåochdåanvändsförstoramaterial.
Vibehöverdockspridningsmåttsomäranvändbaraförbådestoraochsmåmaterial.Ennäratillhandsliggandeidéärattbildamedelvärdetavdeenskildavärdenasavståndfrånmedelvärdet,dvs.
||1
1xx
n
n
ii −∑
=
Faständettamåttverkarvettigt, användsdet inte ipraktiken.Detberorfrämst på att statistiska teorier, baserade på det måttet, skulle bli onödigtkomplicerade. Man får betydligt enklare teorier om man i stället använderdetkvadratiskamedelvärdetavdeenskildaavvikelserna.Detmåttetbenämnsstandardavvikelsen.Detbetecknasmeddengrekiskabokstavenσ (sigma),ochdefinierasgenomformeln
2
1)(1 xx
n
n
ii −= ∑
=
σ
(3)
28
Lärobok i Militärteknik, vol. 1: Grunder
Innebördenavdennaformelärkanskeintesålättattföreställasigintuitivt.Programmet stdgiss.mär till förattövaupp intuitionen.Dufår sematerialsomtasframslumpvis.Förvarjestolpdiagramkandumedögonmåttförsökabedömamedelvärdeochstandardavvikelse.EfterEnterfårdusesvaret.
Förstatistiskslutledninganvändsenmodifieradformavstandardavvikelse,s,därmandividerarmedn–1iställetförn.Denvariantenkanintemotiverasutifråndenbeskrivandestatistikensståndpunkt.
3.5 Statistisk hypotesprövning
Detfinnstvåhuvudtyperavstatistiskslutledning.Denenatypenkallasskatt-ning.Enskattninggårutpåattfinnaettapproximativtvärdepåenstorhetsomärkarakteristiskförenpopulation–ettmedelvärde,enproportione.d.–genomattutgåfrånmätningarpåettstickprov.Exempelviskanstickprovetsmedelvärde x tas som skattning av populationens medelvärde m. Vill manangeosäkerhetenidennaskattning,angermanettintervall,sommedvisssan-nolikhetinnehållerm.Ettsådantintervallkallaskonfidensintervall.
Denandratypenavslutledningsförfarandenärhypotesprövning.Viskahärendastpresenteradenstatistiskahypotesprövningensgrundidéer.Densomvilllärasigdetekniskadetaljernahänvisastilluniversitetskurseristatistik.
Envanligfrågeställningistatistiskaundersökningaräromtvåpopulatio-nerskiljersigåtinågotväsentligtavseende.Detkanrörasigomutprovningav läkemedel,därman jämfördemsomfåttmedletmeddemsominte fåttdet.Ellermanvilljämföranäringsvärdetitvågrödor,t.ex.tvåolikavetesorter.Hypotesenattdetvåpopulationernainteskiljersigåtkallasnollhypotesen(ef-tersomskillnadenmellanmedelvärdenafördetvåpopulationernadåärnoll).NollhypotesenbetecknasH0.Närdentestas,ställsdenemotenannanhypotes,sombenämnsmothypotesenochbetecknasH1.Vadmothypotesenutsägerberorpåsammanhanget.OmH0innebärattettvisstmedelvärdemärlikamednoll,kanH1varam ≠ 0,m>0ellerm<0,beroendepåvilkenkunskapmanharinnantestetutförs.
Somexempeltarvidensituationendomstolstårinför,närdenskadömaiettbrottmål.LåtossantaattåklagarensbevisningbaseraspåettDNA-prov,somstarktpekaririktningattdenåtaladeärskyldig,menattdetändåfinnsutrymmeförtvivel.H0äridettafallhypotesen”oskyldig”medanH1är”skyl-dig”.GodtasH0,frikännsdenåtalade.FörkastasH0,betyderdetattiställetH1godtas,dvs.domenblirfällande.BeroendepåomH0ärsannellerfalsk,ochberoendepåomH0godtasellerförkastas,fårviföljandefyramöjligheter:
2�
Om statistik
H0 sann H0falsk
H0godtas + –
H0förkastas – +
Attgodtanollhypotesomdenärsann,ochattförkastadenomdenärfalsk,ärvadmanönskar.Därförharviskrivit+ibådaderutorna.Deövrigarutornaärmarkerademed–.Deinnebärattbeslutsfattarenmisstagitsig.Vilketavdetvå felenärvimestangelägnaomattundvika: förkastaensannnollhypotesellergodtaenfalsk?
Attförkastaensannnollhypoteskallasfel av första slaget.Detärdensortensfelmaniförstahandvillundvika.Därförarrangerasenstatistiskhypotespröv-ningsåattsannolikhetenförfelavförstaslagetärlitet.Vilkensannolikhetsomäracceptabel,berorförståspåbeslutssitutationen.Ivårträttssamhälleönskarvienförsvinnandelitensannolikhetförattfällaenoskyldig.Iandratestsituatio-nerkanviaccepteraenstörrerisk.
Denstörstasannolikhetmedvilkenviaccepterarattförkastanollhypote-sen,omdenärsann,kallastestetssignifikansnivå(äv.risknivå).Ivetenskapligasammanhangär5%ennivåmanoftaväljer.Ommanförkastarnollhypotesenvidetttestmed5%signifikansnivå,brukarmansägaattresultatetärsignifi-kantpå5%-nivån.
Politiskaopinionsundersökningaråtföljs av statistiskahypotesprövningar.Opinionssiffrorna brukar publiceras med vissa mellanrum. Man iakttar dåupp-ochnergångarideolikapartiernasprocenttal.Oftaberorförändringarnapåslumpen,tystickprovenbrukarintevarastörreäntusentaletpersoner.Närenförändringsägsvarastatistisktsäkerställd,betyderdetattmantestatnoll-hypotesenattpartietharoförändradandelsympatisörer,ochförkastatdennapå5%-nivån.
Enhypoteskanaldrigverifierasellerfalsifierasmedelststatistiskhypotes-prövning.Vadinnebärdetdåiettvetenskapligtsammanhangattförkastaennollhypotes?Detkanmedföraattmanrapporterarenvissskillnadmellantvåpopulationer,faständetbararåkatblienslumpmässigskillnadmellanstick-proven.Ochsådantär inteallssällsynt, tytestarmanrutinmässigtpånivån5%,kommercaentjugondelavallasituationer,dåingenskillnadfinns,attledatillfalsklarm.
Efterettendastatistiskttestärettvetenskapligtresultataldrigsäkerställt.Tes-tetärbaraettsållningsinstrument.Närettresultatrapporterassomsignifikant,ärdetensignaltillandraforskareattundersökasammasak.Förstnärmångaforskareharnåttsammaresultat,kandetvinnavetenskapligterkännande.
30
Lärobok i Militärteknik, vol. 1: Grunder
Skulledenvedertagna signifikansnivån sänkas, så skulle vi få färre fel avförstaslaget,mentillprisetavattfleravdeeffektersomverkligenfinnsskulleundgåuppmärksamhet.Dettaärettdilemmasomvimåstelevamed.Innebör-deninseslättomviharneurosedynkatastrofenpåsextiotaletiåtanke.Statis-tikenöverfosterskadortyddepåenuppgångavenvisstypavmissbildningar.Närvardetdagsattslålarm?Hademanvaritalltförräddförfalsklarm,skulledet ha tagit längre tid innan man kunde identifiera den omständighet somhadeorsakatuppgången.
31
4. Om sannolikhet
4.1 Träffsannolikhet vid flera skott
Duhar lärtdigendelomsannolikhet igymnasiet,ochsomofficerhardumångagångertalatomträffsannolikhet.Vibörjardärförmedettdiagnostisktexempel:Duskjuterfleraskottmotettochsammamål.Viantarattförhål-landenaärlikartadeförvarjeskott,attduriktarpånyttvarjegångduskjuterochattskottendärförskjutsoberoendeavvarandra.Förvarjeskottärträff-sannolikheten0.3.Hurstorärsannolikhetenförattfåminstenträff,omduskjuter
• tvåskott?
• treskott?
• fyraskott?
Läsintevidareförränduharförslagtillsvarpådetrefrågorna.Lösningarnafinnerduiavsnitt4.6.Äralladinatresvarrätta,såkandutroligentillräckligtomsannolikhetfördinastudieriMilitärteknik.
DettaexempelhariblandanväntsförattintroducerasannolikhetpåkurservidFHS.Någrahardärvidsvarat0.6pådenförstafråganoch0.9pådenan-dra.Närdesedananväntsammaresonemangpådentredjefrågan,ochdåfåttsvaret1.2,hardeförståttattnågotärfel.Deharvetatattensannolikhetaldrigkanvarastörreän1.
Ambitionsnivånidettakapitelärattduskavetavadsannolikhetärochvadettuppgivetvärdepåensannolikhetinnebär,samtattduskakunnaberäknasannolikheterförsammansattahändelseravungefärsammakomplexitetsomi
32
Lärobok i Militärteknik, vol. 1: Grunder
dediagnostiskafrågorna.Idettaingårattkunnatolkadiagramsominnehållersannolikhetsinformation.
4.2 Slumpmässiga försök
Ettförsöksägsvaraslumpmässigtomdetkanutfallapåolikasättdåförsöketupprepas,ochdärkommandeutfallintemedsäkerhetkanförutsägas.Skjut-ning är ett exempel på slumpmässiga försök. Du kan i allmänhet inte vetasäkertomskottetkommeratt träffaellerbomma.Ettannatexempelär tär-ningskast.Närdukastarenvanligtärningkanduintepåförhandvetavilketögontalsomkommerattvisasig.
Närvinuintroducerarsannolikhetsläransbegrepp,kommerviattanvändaenklaexempelsåsomskjutning,tärningkastetc.somillustration.Omettför-sökutförsngångerochenvisshändelseAdärvidinträffarfgånger,sägsfvarafrekvensenförA.Kvotenf / nkallasfrekvenskvotenellerrelativafrekvensenförA.Dessabegreppintroduceradesikapitel3.
Programmetsymmtern.märtillförattsimulerakastseriermedensymme-trisktärning.Duväljerettantalkastochfårsedansestolpdiagrampåniokast-seriermeddetvaldaantaletkast.Diagrammenvisarderelativafrekvensernaförtärningenssexolikaögontal.EfterEnterfårdusenioseriertillosv.Villduändraantaletkastivarjeserie,matarduindetnyaantaletföreEnter.Däreftergällerdetantalettillsettnyttmatasin.
Börjamedkortakastserier, t.ex.påsexkast.Dufinnerattstolpdiagram-mensutseendenvarierarkraftigttillföljdavslumpen.Ökasedantill,förslags-vis,60kastperserie.Ävennufinnerduattdiagrammenvarierar,menintelikakraftigt. Ju större kastserier, desto mindre blir variationerna.Väljer du flerahundratusenkastellermer,kanmannästaninteseattdiagrammenärolika.Dessutomärstolparnaivarjediagramnästanlikahögavidstorakastserier.Dettyderpåattdensimuleradetärningenärsymmetrisk.
Prövanuprogrammetfalsktern.m.Ävenhärärdetsvårtattseskillnadmel-landiagrammenförstorakastserier.Menhärärstolparnaiettdiagramintelika,vilkettyderpåatttärningenärosymmetrisk.
Dessaexperimentillustrerarenföreteelsesomkallasrelativafrekvensernasstabilitet.Innebördenär,attsålängeenförsöksserieärkort,fluktuerarrelativafrekvensen för envisshändelsemärkbart,menallt eftersomantalet försök iserienökar,såminskardessafluktuationer,ochdenrelativafrekvensentycksstabiliserasignäranågotvisstvärde.
Slumpentycksalltsåipraktikenlydaensortslagellerprincip,somviut-tryckersomattderelativafrekvensernastabiliserarsigvidmångaförsök.Omduintekännerdigövertygad,såkanduocksåprövaprogrammetupprepn.m,
33
Om sannolikhet
somuppreparettvisstförsöktillsdusjälvavbryterochsommedvissamellan-rumvisardenrelativafrekvensenentänkthändelse.
4.3 Sannolikhet
Vibetraktarifortsättningenderelativafrekvensernasstabilitetsomettempi-risktfaktum.FörvarjehändelseA,somkaninträffavarjegångettvisstförsökupprepas,finnsdetdåetttalsådantattdenrelativafrekvensenförAsvängerinsigalltnärmaredettataljuflerförsöksomgörs.Dettatalkallarvisanno-likhetenförA.
Relativafrekvenserärnågotsomfinnsiverkligheteni likahöggradsomatthändelserinträffariverkligheten.MensannolikhetenförAärettteoretiskthjälpbegrepp.Görvienförsöksserieochprotokollfördenordentligt,harrela-tivafrekvensenförAviddenförsöksserienettalldelesbestämtvärdesomvikanange.MensannolikhetenförAkanaldrigbestämmasmedfullsäkerhet,ivarjefallinteexperimentellt.
RelativafrekvensenförAbetecknarvir (A)ochsannolikhetenP (A).Medanr (A)hänförsigtillenvissförsöksserie,hänförsigP (A)tillsjälvaförsöketska-raktärutanattvaraknutentillnågonvissförsöksserie.Relationenmellanr (A)ochP (A)kanuttryckassåhär:
• P (A)kantjänasomenförutsägelseavdetungefärligavärdetavr (A)videttstortantalförsök.
• r (A)kananvändassomenskattningP (A),somäralltsäkrarejuflerförsöksomgörs.
Dettanärasambandmellanrelativfrekvensochsannolikhetgörattnågraegenskaperhossannolikheterföljerdirektavmotsvarandeegenskaperhosrela-tivafrekvenser.Begrundaföljande:
1. FörvarjehändelseAgälleratt0≤P (A) ≤1.
2. OmAäromöjligärP (A)=0.OmAsäkertmåsteinträffaärP (A)=1.
3. Förtvåhändelsersomuteslutervarandra,gällerP (AellerB)=P (A)+P (B).
Kommentarer: Antag att ett försök, där A kan inträffa, utförs n gånger(under lika förutsättningar varje gång).Låt f (A)betyda absoluta frekvensenför A, dvs. antalet gånger A inträffat under försöksserien. Då gäller förstås0 ≤ f (A) ≤ n. Dividerar vi båda leden i båda olikheterna med n, får vi0≤r (A)≤1.Dettagällerförallaslagsförsök,allatänkbaraförsöksserieroch
34
Lärobok i Militärteknik, vol. 1: Grunder
allaslagshändelser.Eftersomr (A)kankommahurnäraP (A)somhelst,barangörstillräckligtstort,måsteäven0≤P (A)≤1.
OmAäromöjlig,dvs.A intekan inträffa, är f (A)=0 för allan.Alltsåär alltid r (A)=0, varförP (A)=0.Om tvärtomA säkertmåste inträffa, ärf (A)=n ,varavr (A)=n /n=1förallaförsöksserier.AlltsåärP (A)=1.
AttAochButeslutervarandra–AochBäruteslutande,sommanocksåsäger–betyderattintebådeAochBkaninträffaiettochsammaförsök.Vissahändelseruteslutervarandra,vissakaninträffasamtidigt.Exempel:Videtttär-ningskastkanögontalet inteblibådeuddaoch jämnt.Menhändelsernaattögontaletäruddaochattdetärstörreäntvåutesluterintevarandra.Blirdetentreaellerfemma,inträffarbådadenämndahändelserna.
Med”A ellerB”menar vi att antingenA ellerB inträffar.KanA ochBinte inträffa samtidigt, måste det antal gånger A eller B inträffar vara likamedsummanavantaletgångerAinträffarochantaletgångerBinträffar,dvs.f (AellerB)=f (A)+f (B).
Dividerarvimednfårvir (AellerB)=r (A)+r (B)ochalltsåmåstesammarelationgällaförsannolikheterna,dvs.P (AellerB)=P (A)+P (B).
Egenskaperna1–3äralltsåintesärskiltkonstiga.Mendeärgrundläggandeförallräkningmedsannolikheter.Detkantyckasattmanintekankommasålångtmeddem.Menmedrimligatilläggsantaganden,kanmanbyggauppenfruktbarsannolikhetskalkylutifråndessaegenskaper.
Dentredjeegenskapenlederomedelbarttilltvåresultatsomvihäruttryck-eriformavsatser.Denenasatsenhandlaromkomplementärahändelser.TillvarjehändelseAfinnsenhändelseA*sådanattAellerA*måsteinträffaochattdeuteslutervarandra.A*kallaskomplementettillA.SjälvfalletärocksåAkomplementettillA*.
Sats 1. För en godtycklig händelse A gäller P(A*) = 1 – P(A).
Bevis:EftersomAochA*äruteslutandegällerP(AellerA*)=P(A)+P(A*).MeneftersomAellerA*måsteinträffa,ärP(AellerA*)=1,varavsatsenföljer.
Denandrasatsenärengeneraliseringavegenskapen3tillettgodtyckligt(ändligt)antalhändelser:
Sats 2. För n godtyckliga händelser A1,A2, ...,An, som parvis utesluter varandra vid ett slumpmässigt försök, gäller
P (A1ellerA2eller...ellerAn)=P (A1)+P (A2)+...+P (An)
35
Om sannolikhet
Densistnämndasummankanocksåskrivas
∑=
n
iiAP
1)(
vilketoftakännsbekvämare.Omduintekommerihågsummatecknet,sågåtillbaksochläsomdetikapitel3isambandmedmedelvärde.
4.4 Utfallsrum
Hittillsharvibetraktatdetsombekantvadenhändelseärförnågot.Ordetärjuvälkäntfrånvardagsspråket,ochframtillförstahälftenav1900-taletföre-komingensträngdefinition.Denbristenleddeemellertidtillenradsvårighe-ter, sommanslapp ifrånnärbegreppetutfallsruminfördes (avKolmogoroff1930).
Exemplettärningskasträckerförattillustreraidén.Vidkastmedvanligtär-ninguppfattarviendastsexolikautfallsommöjliga.Varjesidapåtärningensvararmotettutfall.Atttärningenkanliggapåmångaolikasätt,närenvisssidaäruppåt,bryrviossinteom.Utfallenbetecknarvimedsiffrorna1–6.Mängdenavdessautfall,alltså{1,2,3,4,5,6},kallarvitärningskastetsutfallsrum.
Idettafallärutfallsrummetändligt.Detfinnsoändligautfallsrum,menvigårinteinpådensvårighetenhär.Förvarjeförsökärutfallsrummetmängdenavallautfallsomkanerhållas.Ifortsättningenbetecknarviettförsöksutfalls-rummedU.MedenhändelsemenarvidåendelmängdavU.
Dethärtycksiförstoneintestämmameddenvardagligauppfattningenavvadenhändelseär.Menomvitarnågraexempelpåhändelsersomkaninträffavidtärningskast,såserviattvarjehändelsesvararmotenvissdelmängdavutfalls-rummetU={1,2,3,4,5,6}.Tillvarjehändelseangerviocksådesskomplement.
Händelse formulerad i ord Mängd Komplement
Udda antal ögon {1,3,5} {2,4,6}
Minst tre {3,4,5,6} {1,2}
Högst tre {1,2,3} {4,5,6}
Två eller fyra {2,4} {1,3,5,6,7}
KomplementettillenhändelseAbeståralltsåavallaelementiutfallsrum-metsomintetillhörA.Fördensomkännertillmängdläranssymboliknämnerviocksåatt”eller”svararmotunionavmängder.Händelsen”uddaantalögonellertvåellerfyra”äralltså{1,3,5}∪ {2,4}=={1,2,3,4,5}.
36
Lärobok i Militärteknik, vol. 1: Grunder
Komplementet till U är tomma mängden, Ø, vilket är en omöjlig hän-delse,eftersomnågotavutfalleniutfallsrummetalltidinträffarvidettförsök.P (U)=1ochP (Ø)=0.
4.5 Likformig sannolikhetsfördelning
Sats2ovanskavi tillämpapåenviktig typavsituationerdärsannolikheterkanberäknasrentteoretiskt.Vianknyterånyotill tärningskast förattsedangeneralisera resonemanget. Vi antar att tärningen är symmetrisk och kastasså att alla utfallen 1–6 är lika sannolika. Då råder det som kallas likformig sannolikhetsfördelning.Tillämpar vi Sats 2 på hela utfallsrummet erhåller vi1=P (U)=P (1)+P (2)+P (3)+P (4)+P (5)+P (6).
Dåtärningenärsymmetriskäralladessasexsannolikheterlika.DärförärP (1) / P (2) / P (3) / P (4) / P (5) / P (6) = 6
1 . Därur kan vi räkna ut san-nolikheten för vilken händelse som helst i utfallsrummet. Exempelvis ärP (uddaantal)=P ({1,3,5})=P (1)+P (3)+P (5)= 6
1+ 6
1 + 61 += 6
3 .Dettaresultatgeneraliserarvinutillgodtyckligahändelseriettgodtyckligt
ändligtutfallsum:
Sats 3. Om U är ett ändligt utfallsrum med likformig sannolikhetsfördelning och A är en godtycklig händelse i U, så gäller
P (A )=antaletelementiAantaletelementiU
Avhistoriska skälkallasdenna formel förklassiska sannolikhetsdefinitio-nen.Förossärdettadockinteendefinitionutanettresultat.Mennärsan-nolikhetsläranföddespå1600-taletbetraktadesformelnsomdefinitionenpåsannolikhet.
FöratträknautsannolikhetenförenhändelseA iettändligtutfallsrumUmedlikformigsannolikhetsfördelningbehövervialltså”bara”räknaantaletelementiAochU.ÄvendåAochUinteärstörreänatträknandettarrimligtid,finnsensvårighet,nämligenatthållaredapåvilkaelementsomärräknade,såattmanintehopparövernågotellerräknarnågotmeränengång.NärAochUärsåstoraatträknandettarlångtid,behövermanmetoderattberäknaantaletelementiengivenändligmängd.Sådanametoderhörtillkombinatori-ken,vilkenviintegårinpåhär.Iställetvisarvinågraexempel,därräkningenantingenkanutförasmanuelltellermedhjälpavdatorn.
Exempel: Dukastar två symmetriska tärningar.Ange ett lämpligtutfalls-rum.Beräknasannolikhetenförattsummanavögontalenära)likamed7,b)minst9.Funderasjälvetttaginnanduläserigenomdiskussionen.
37
Om sannolikhet
Diskussion:Etttänkbartutfallsrumförbådafrågornaärmängdenavmöjligaögon-summor, dvs. {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}.Men sannolikhetsfördelningen på detutfallsrummet är inte likformig. För atträkna ut de olika utfallens sannolikhe-ter, måste man ändå återföra dem på ettutfallsrum med likformig fördelning.Ett sådant är mängden av alla ordnadepar (ö1,ö2) där ö1 är den ena tärningensögontalochö2denandras,dvs.mängdenU = {(1,1),(1,2),(1,3),...,(5,6),(6,6)}. För
atträknaantaletelementidesöktahändelsernamåstedudockskrivautallatrettiosexelementeniU.DetbliröverskådligareattangeUigrafiskform,t.ex.såhär,därvarjeprickrepresenterarettelementiU.
Vi kan låtaden vågräta axeln representeraden första tärningenochdenlodräta den andra. De utfall, för vilka ögonsumman är lika med 7, ligger idiagonalenfrån(1,6)till(6,1).Antaletelementidenhändelsenär6.AlltsåärP (ögonsumman=7)= 6
1366)7ögonsumman( P .
28,0)9ögonsumman( 185
3610 P .
= 61 .
De utfall, för vilka ögonsumman är minst 9, ligger i diagona-len från (3,6) till (6,3) eller däröver. Antalet av dessa är 10, varavP (ögonsumman≤7)=
61
366)7ögonsumman( P .
28,0)9ögonsumman( 185
3610 P .=
61
366)7ögonsumman( P .
28,0)9ögonsumman( 185
3610 P .≈0,28.
Ärantalet tärningar intemerän två,kanmanalltså lätt åskådliggöra si-tuationen.Menredanförtretärningarbörjardetblisvårt.Meddatornshjälpkanvidockräknaantaletelementihändelseravlikartadtyp.Körprogrammettcount.m–medhjälpfilerna tvotern.m, tretern.m, fyrtern.m, sextern.mochtiotern.m–ochundersök liknandefrågeställningar.för två, tre, fyra, sexochtiotärningar.
4.6 Oberoende händelser
AntaattvikännerP (A)ochP (B),därAochBärhändelsersomkaninträffavidettvisstförsök.Imångatillämpningarönskarmanbestämmasannolikhe-tenförattbådeAochBinträffar.
Somexempeltarviånyokastmedsymmetrisktärning.VäljA={1,2,3},B={2,3,4,5}.SättC=AochB,dvs.närCinträffarbetyderdetattbådeAochBinträffar.DåärC={2,3}.NärtärningenärsymmetriskerhållervimedelstSats3attP (A)= 6
3 =21 ,P (B)= 6
4= 3
2 ochP (C )= 62 =3
1 .IdettaexempelgälleralltsåP (AochB)=P (A)•P (B).
Dettasambandgällerförvissaparavhändelser,meninteföralla.VäljervisammaAsomnyss,menB={4,5,6},erhållerviP (A)•P (B)= 2
1 • 21 = 4
1 .Men
123456
123456
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
Figur 4.1. Ett utfallsrum vid kast med två tärningar. (Källa: FHS)
38
Lärobok i Militärteknik, vol. 1: Grunder
AochBharingetgemensamtelementochkandärförinteinträffasamtidigt.AlltsåäridettafallP (AochB)=0.Fråganäralltså:NärärP (AochB)likamedP (A)•P (B)?Viföredrarattgesvaretiföljandesats:
Sats 4.Om A och B är oberoende, så är P(A och B) = P (A) • P(B).
Detfinnsemellertidenhakehär.Vibehöverendefinitionav”oberoende”.Ideflesta framställningaravsannolikhetsläransägsAochBvaraoberoendejustomP (AochB)=P (A)•P (B).DetvikallatSats4ärdåinteensatsutanendefinition.Vibehöveremellertid intefördjupaoss idennasvårighet, ty ipraktikenbehandlarvitvåellerflerahändelsersomoberoendeomvikanantaattdeinteharnågotorsaksmässigtsamband.Sats4kanutvidgastillmeräntvåhändelserochblirdå
Sats 4′. Om händelserna A1, A2 ,..., An är oberoende, så är
P(A1 och A2 och ... och An) = P(A1) • P(A2) ... + P(An)
Anm:Medmängdläranssymbolikskriverman”A∩B”iställetför”AochB”.AttbådeAochBinträffarbetyderalltsåattskärningenmellandessahändelserinträffar.DåA={1,2,3}ochB={2,3,4,5}äralltsåA∩B = {2,3}.
Nuärviredoattlösaskjutproblemetikapitletsbörjan.Viantogattskottenavlossadesoberoendeavvarandra,vilketkanvararimligtommansiktarpånytteftervarjeskott.Dåärsåvälhändelserna”träff”som”bom”itvåolikaskottoberoende.LåtAi varahändelsen”träffiskottnri”,dåi=1,...4.Händelsen”bomiskottnri”betecknasdåAi*.EnligtantagandetärP (Ai)=0.3förvarjei.FrånSats1fårvidåP (Ai*)=1–P (Ai)=1–0.3=0.7.Genomattanvändasatserna1och4′fårvidärförföljande:
• Tvåskott:P (minstenträff)=1–P (bådabommar)=1–P (A1*ochA2*)==1–P (A1*)•P(A2*)=1–0.7•0.7=1–0.49=0.51
• Treskott:P (minstenträff)=1–P (allabommar)=1–P (A1*ochA2*ochA3*)==1–P (A1*)•P (A2*)•P (A3*)=1–0.73=1–0.343≈0.66
• Fyraskott:P (minst en träff) = 1 – P (alla bommar) = 1 – P (A1* och A2* och A3*
ochA4*)==1–P (A1*)•P (A2*)•P (A3*)•P (A4*)=1–0.74=1–0.2401≈0.76
3�
Om sannolikhet
4.7 Stokastiska variabler
Utfallavförsökbestårimångaviktigasammanhangavattstorheterantarvissavärden. En storhet, vars värde varierar slumpmässigt från försök till försök,kallasenstokastisk variabel (förk.s.v.).Ärantaletmöjligavärdenändligt(elleroändligtmenuppräkneligt)sägsvariabelnvaradiskret.Viharredansettnågraexempelpås.v.,nämligensummanavögontalenvidkastmedtärningar.Idettaavsnittnämnerviytterligaretvåviktigatyperavs.v.
Denförstatypenärdes.k.binomialfördeladevariablerna.Exempelpåenså-danfårviomvibetraktarenseriepånskottsomskjutsoberoendeavvarandra,vartochettmedträffsannolikhetenp.LåtXbetydaantaletträff.(Detärvanligtattbetecknastokastiskavariablermedstorabokstäver.)Dennas.v.variabelärbinomialfördelad.
Varfördessfördelningkallasså,gårviförbihär.Menvikanförståsbytautskottserienmotvilkentypavförsöksomhelst,somutförsfleragångerundersammabetingelser,ochdär envisshändelseAhar sammasannolikhetvarjegång.XfårdåbetydadetantalgångersomAinträffar.
OmP (A)=pochförsöketutförsngånger,betecknasdenfördelningavX,somdärviderhålls,Bin(n, p).DevärdenXkanantaär0,1,...,n.SannolikhetenP (X=k)ärenfunktionavk,somkallassannolikhetsfunktionenförX,oftabetecknadpX(k).
-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 180
0.05
0.1
0.15
0.2 Bin(n,p)n= 20p= 0.3m= 62.0494
-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 180
0.05
0.1
0.15
0.2
Figur 4.2. Stolpdiagram över en binomialfördelning och ett stickprov på denna av storlek 100. (Källa: FHS)
40
Lärobok i Militärteknik, vol. 1: Grunder
Denövrebildenifigur4.2påförgåendesidanärettstolpdiagramöversan-nolikhetsfunktionenförens.v.medfördelningenBin(20,0.3).Detkant.ex.varaantaletträffdåtjugoskottskjutsoberoendeavvarandra,vartochettmedträffsannolikheten0.3.Denundrebildenärettstolpdiagramöverettstickprovavstorleken100påsammafördelning.
Medprogrammetbinstolp.mochdesssubrutinbinstat.mkandufåframstolpdiagramövervalfriabinomialfördelningarochsedanexperimenteramedstickprovavolikastorlek,tagnapådessafördelningar.Justörrestickprovduväljer,destostörrebliriallmänhetöverensstämmelsenmellanbinomialfördel-ningenssannolikheterochstickprovensrelativafrekvenser.
Medelvärdetförettsådantstickproverhållsgenomatttillämpaformel(2)ikapitel3.Omrelativafrekvensenförutfalletkbetecknasr (k),blirstickprovetsmedelvärde
n
kkkr
0)(
n
kX kkp
0)(
Låter vi stickprovsstorleken växaobegränsat, kommer r (k) attnärma sigpx(k)ochmedelvärdetnärmarsig
n
kkkr
0)(
n
kX kkp
0)(
som kallas fördelningens väntevärde. På motsvarande sätt kan man bildastandardavvikelsen för en fördelning genom att i formeln för stickprovensstandardavvikelse(formel(3),kapitel3)bytautr (k)motpx(k).MankanvisaattomXärfördeladBin(n,p),såharXväntevärdetnpochstandardavvikelsen
)1( pnp .Denandratypavs.v.,somvihärnämner,ärdenormalfördelade.Dessahör
till gruppen kontinuerliga s.v. Sådana kan vanligen anta värden i ett helt in-tervall.OmXärenkontinuerligs.v.såärP(X=x)=0förvarjex.Därförkanfördelningenavenkontinuerligs.v.inteangesmedensannolikhetsfunktion.Iställetangermanförallaaochb,dära<b,sannolikhetenförattXliggeriinter-vallet]a,b],alltsåP(a<X≤b).Detkangörast.ex.medhjälpavdens.k.täthets-funktionenförX,betecknadfx.Kurvanifigur4.3visarhurfx kanvarabeskaffad.Förallaxärf(x)≥0.Areanmellankurvany=fx(x)ochx-axelnärlikamed1.
Areanmellanfunktionskurvanochx-axelnsamtlinjernax=aochx=b ärlikamedP (a<X≤b).Medelsttäthetsfunktionenkanmandärför,förvarjex,bestämmasannolikhetenFx(x)=P (X≤x).FunktionenFxkallas fördelnings-funktionenförX.
41
Om sannolikhet
Varjekontinuerligs.v.harettväntevärdeochenstandardavvikelse,somkanberäknasmedhjälpav täthetsfunktionen.Dessavärdenärungefär likamedmedelvärdetresp.standardavvikelsenförettstortstickprovpåX.
Normalfördeladsägsenkontinuerligs.v.Xvaraomdesstäthetsfunktionäravtypen
2
2
2)(exp
21)(
σπσmxxf X
−−= (1)
Parametrarnamochσ ärväntevärdetresp.standardavvikelsen.Självafor-melngeringenförklaringtillattenfördelningmedensådantäthetsfunktionbenämns”normal”.Detsomrättfärdigarbenämningenärattstokastiskavari-ablerigodamodelleravverklighetenoftaärnormalfördelade.Dettaberorpåensannolikhetslag,somkallascentrala gränsvärdessatsen,varsandemeningärattensummaavmångaoberoendes.v.undermycketallmännavillkorärungefärnormalfördelad.Dettaframkombl.a.vidstudietavtillfälligamätfel.Sådanauppståripraktikentillföljdavettstortantaloberoendefelkällor.
Dåx=m(=väntevärdet)harfunktionen(1)sittstörstavärde.Enföränd-ringavminnebärbaraenförflyttningavkurvanlängsx-axeln.Denövredelenavfigur4.4visartäthetsfunktionerförtreolikanormalfördelningar,allamedväntevärdet0,menmedolikastandardavvikelse:0.5,1resp.2.Deskiljersigåtendastgenomenskalningibådaaxelriktningarna.Ökarσ,såblirtäthetsfunk-tionenskurvabredareochplattare.
y : täthetsfunktionen för XXf
a b x
Figur 4.3. En möjlig täthetsfunktion för en kontinuerlig stokastisk variabel X. (Källa: FHS)
42
Lärobok i Militärteknik, vol. 1: Grunder
Denundredelenavfigur4.4visarmotsvarandefördelningsfunktioner.Justörreσ blir,destoflackarefördelningsfunktion.
Somsynesharkurvanöverennormaltäthetsfunktionnästanformenavenklocka.DenbrukarkallasGaussklockkurva–ävenGaussfelkurva–eftersinupptäckare.
Iprogrammetnostat.mstuderasstickprov,hämtadefrånnormalfördelningmedväntevärde0ochstandardavvikelse1.Därkandujämföratäthetsfunktio-nenmedstickprovetshistogramsamtfördelningsfunktionenmedmotsv.ku-muleradehistogram.Görjämförelsernaförolikavalavstickprovsstorlek.
Ens.v.XmedfördelningenBin(n,p)kanuppfattassomsummanavnobe-roendes.v.,varochenmedfördelningenBin(1,p).OmnärstortärXdärför,ochpga.centralagränsvärdessatsen,mycketnäranormalfördelad(underförut-sättningattpinteärnära0eller1).DetvisarsiggenomattstolparnastoppariettstolpdiagramöverBin(n,p)nästanöverensstämmermedtäthetsfunktionenförennormalfördelads.v.medsammaväntevärdeochstandardavvikelsesomX.Programmetbinorm.märavsettattillustreradetta.Figur4.5kommerfrånenkörningavbinorm.m,därn=100ochp=0.5.
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40
0.2
0.4
0.6
0.8
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Figur 4.4. Täthets- resp. fördelningsfunktioner för tre normalfördelade s.v. med olika standardavvikelser. (Källa: FHS)
43
Om sannolikhet
25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 750
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08Bin(n,p)n= 100p= 0.5m= 505
Figur 4.5. En binomialfördelning och en normalfördelning med samma väntevärde och standardavvikelse. (Källa: FHS)
45
5. Modell och verklighet
Ordet”modell”betyderiblandförebildellernågotliknande.Konstnärensmo-dellärnågotsomfinnsiverklighetenochsomdenneavbildar.Inomforskningochutredninganvändsordetpånästanmotsattsätt,intesombeteckningpåettstyckeverklighet(V),utanpåetthjälpmedelförattbeskrivaV.Verklighetenärkomplexellerpåannatsättsvårgripbar.Modellen(M)ärenklareochmertill-gängligförstudier.OmdetfinnsgodaskälatttroattMiväsentligaavseendenliknarV,såkankunskapomMocksåvaraettslagskunskapomV.
Dukännersäkert till situationerdärmodelleranvänds förverklighetsbe-skrivning.Dethärkapitletärtillförattmednågraexempelgeenuppfattningomhurmångavarierandeslagavmodellersomförekommer.Någonfullstän-digheteftersträvasinte.Närduharsettettantalexempelkommerdusjälvattinsemångfaldenavmöjligamodeller.
5.1 Mentala modeller
Allavåraföreställningaromverklighetenkanviuppfattasommodeller,somfinnsivårahjärnor.Medvårasinnenregistrerarvidelaravverklighetenochrekonstruerar sedan–medvetet elleromedvetet–det somkanhabetydelsemensomviintekanregistrera.Dennarekonstruktionkanvikallaförenmen-talmodell.
Närduhar lärtdighitta ienbyggnadharduskaffatdigen inrebildavlokaliteterna.Omdulederenstridharduförstskaffatdigenlägesuppfattningiformavenmentalmodellavegnaochfiendensstridskrafter.
Efterdessatvåexempelkandufortsättasjälvochmedvetandegöramentalamodellersomduanvänderiolikasammanhang.
46
Lärobok i militärteknik, vol. 1: Grunder
5.2 Fysiska modeller
Bilderochskulpturerärexempelpåfysiskamodeller,ävenomviintebenämnerdemså.Däremotanvändsordetoftaomminiatyreravbilar,järnvägar,flygplanm.m.Endockaärensortsmodellavenmänniska.
Sådanamodellerkananvändasiforskningssyfte.Dockorinaturligstorlek,gjordailämpligamaterialkant.ex.användasförattstuderahurmänniskorpå-verkasavbilkrockar.Skalenligamodelleravflygplananvändsivindtunnlarförattstuderaaerodynamiskaegenskaper.Påsammasättkanskalenligamodelleravfartyganvändasförattstuderaflyt-ochstabilitetsegenskaper.Sådanaförsökutförssystematisktföratttestakonstruktioner.
Omräkningfrånenskalmodelltillnaturligstorlekkandockkrävaåtskilligtteoretisktkunnande.Detinsesomedelbartavattnågotsomfungerarbra,inteskullekunnafungerapåsammasättomalladessdimensionerförstoradesienvissskala.Detäringenslumpattenelefantärheltannorlundabyggdänenfluga.
Djuranvändsimedicinskforskningsommodelleravmänniskor.Oftaärmodellentillräckligtverklighetstrogenföratttillåtasäkraslutsatser.Mendetärvälkäntattdjurförsökiblandkanledaalldelesfel.Neurosedynkatastrofenärettextremtexempel.Heltoväntatvisadesigmänniskansfosterutvecklingiettkritisktskedevaraåtskilligtkänsligarefördenaktivasubstansenänhosnågonannanundersöktart.Detillustrerarviktenavatthelatidenvaramedvetenomattmodelleninteärverkligheten.
5.3 Matematiska modeller
Enmodellbehöver intehanågonyttre likhetmedsitt föremål.Vi talarommodellävenomdetbaraärenellerettfåtalaspekterpåföremåletsomåterfinnsimodellen.Enmatematiskformelkanuttryckaensådanaspekt.Vigerhärtreenklaexempel.Ideolikadelarnaavdennalärobokfinnerdumångaandrama-tematiskaformler.Hadåiåtankeattdeinteuttryckerverklighetensjälv,baramerellermindregodamodelleravverkligheten.
5.3.1 Boyleslag
OmmanharengasinneslutenienbehållareochvarierarbehållarensvolymV,underdetatttemperaturenhållskonstant,såvarierargasenstryckp.Boylefanngenomexperimentattsambandetungefärligenkanbeskrivasmedformeln
p= kV
därkärenkonstant(sombestämsavgassorten,gasensmassaochtemperaturen).
47
Modell och verklighet
Självaformelnkansägasvaraenmodellavgasen(ellermeregentligt,enmo-dellavsambandetmellantrycketochvolymen).Dennamodellharvidsträcktanvändning.Menmodellenkanbyggaspåsåattdenblirännumerverklig-hetstrogen,vilketskertillprisetattformelnblirmerkomplicerad.VanderVaalföreslogföljandemodell,somgällermedstörrenoggrannhetänBoyles:
p= k bV – a V 2
där a och b är konstanter. Genom a tar man hänsyn till volymen av självagasmolekylernamedandensistatermentarhänsyntillattattraktionenmellanmolekylerna ökar då deras genomsnittliga avstånd minskar. Det finns ännuexaktaregasmodeller,mendeärocksåmerkomplicerade.
5.3.2 Frittfall
Ommansläpperenkroppilufttomtrumochstuderarhurfallsträckansberoravfalltident,såfinnerman
s=gt2
2därgärtyngdaccelerationen.Dennamodellärmycketnoggrann.Mendenärinteheltexakt,delsberoendepåattgravitationsfältetinteärexakthomogent,delstillföljdavrelativistiskaeffekter(upptäcktaavEinstein).Finnsdetluftirummetblirnoggrannhetensämre.Modellersomtarhänsyntillluftmotstån-detärbetydligtmerkomplicerade.
5.3.3 Lanchestermodeller
FrederickWilliamLanchesterhargettnamnåtvissaenkla,analytiskamodelleravstrider,därmanihuvudsakbarabeaktardestridandeparternasnumerärer.Fråganärvilkenbetydelsenumerärernaharomallaandraegenskaperhosdestridandeantasvaralika.Vikant.ex.tänkaosstvåskyttekompanier,somsam-tidigtöppnareldmotvarandraochfortsätterskjutatillsdenenasidanärheltutplånad.
AntagattA-sidanhar100enheterochB-sidan80enhetervidstridensbör-jan.HurmångakommerdåA-sidanatthakvarnärallapåB-sidanärskjutna?Görenegenbedömninginnanduläservidare!
Härkommerförstenformel,därbegynnelsevärdenakanväljasgodtyckligt.KallaA-sidansstyrkaxochB-sidans y.Vidstridensbörjanär x=aochy=b.Understridensgångminskarbådexochy.Förderassambandkanmanhärledaformelnx2=y2+a2–b2.
48
Lärobok i militärteknik, vol. 1: Grunder
Den härleds med hjälp av den matematiska analysens metoder, var-förmodellensägsvaraanalytisk.Sättervi ina=100ochb=80,erhållervix2=y2+3600.
DåB-sidanärutplånadäry=0,vilketgerx=60.Hadedugissatnågotidenvägen?
Oavsettdittsvar,måsteviånyopåminnaomattmodelleninteärverklig-heten.Närmananvänder enmodellmåsteman, så gottmankan,bedömai vilka avseenden modellen skiljer sig från verkligheten. Ibland kan skillna-denvaraobetydlig, iblandärdeså storaattmodellen lederalldeles fel.Kandenna enkla Lanchestermodell användas i praktiken? Ger den någon anvis-ning för en taktiskdoktrin?KanskeSovjet engång tog intryckavden.En-ligtsovjetiskdoktrinskullemanundvikastridomdenegnastyrkanintevarminsttregångerfiendens.Antagatta=300ochb=100.Insättninggerdåx2=y2+3002–1002=y2+80000.NärB-sidanärutplånad,dvs.y=0,ärx= 80000 ≈283.EnligtmodellenharA-sidanalltsåkvardrygt94%avsinstyrkaefterdenstriden.
Sådanahärenklamodellerkangeenvissinsikt.Menmanfårintelitapåenmodellförrändenomsorgsfulltprövats.Lanchestersmodelltestarmanförståsinteiverkligaförsök.Ettannatsättatttestaenmodellärattkonstrueraandramodelleravsammatypavverklighetochprövadeolikamodellernasinbördesöverensstämmelse.
DennubeskrivnaLanchestermodellenskiljersigbl.a.iföljandetvåavseen-denfråndenverklighetdenavsesrepresentera:
1. Betraktelsesättetärkontinuerligt:A-ochB-sidansstyrkarepresenterasinteavantalutanavkontinuerligtvarierandestorheter.
2. Modellenärdeterministisk.Detbetyder,attmedettgivetutgångslägeblirslutresultatetalltiddetsamma.Men iverklighetenkommerresultatenattvarierafrånförsöktillförsöktillföljdavslumpen.Enmodellsomtarhän-syntillslumpensinverkankallasstokastisk.
Meddatorerärdetlättattskapastokastiskamodeller.ViskanedanrefereratillnågravarianterpåstokastiskaLanchestermodeller.
5.4 Dynamiska modeller och simuleringar
Enmodelldärtidfinnsinbyggd,ochdärtillståndetförändrasmedtiden,kanvikallaendynamisk modell.Omdärtillverklighetensförändringsmekanismerfinnsavbildadeimodellen,sägerviattskeendetimodellenärensimuleringavverklighetensskeende.Ensimuleringkanalltsåuppfattassomenmodellavetttidsförloppmeddessinbyggdamekanismer.
4�
Modell och verklighet
Ettförsökmedlevandedjur,därdjuretanvändssommodellavmänniskan,ärensimulering.Enarrangeradbilkrock,därendockaanvändssommodellavenmänniska,ärenannansimulering.Fysiska,dynamiskamodelleranvändsimångasammanhangförattåstadkommasimuleringar.
Datorerlämparsigocksåförsimuleringar.Ivåradagarärdigitaladatorerdevanligaste.Ensådanarbetarstegförsteg.Denhareninbyggdklocka,somgene-rerardessatidssteg.Förändringarnaidatornskeralltsåsprångvis,menomtids-stegenärtillräckligtsmå,dugerdatorngotttillattsimuleraverkligaförlopp.
Programmetlanch.märendatoriseradvariantavdenovanbeskrivnaLan-chestermodellen.Idatornrepresenterasnumerärernaxochyavheltal.Närdustartarprogrammetfårduförstväljaaochb.Sedanfårduocksåväljadebäggesidornasträffsannolikheter.Därefterfårduväljahurmångapartierduvillspelaienomgång.Datorngenomfördessapartierochlevererarsedanstatistiköverresultatet.
Körförstenomgångmeddeförvaldavärdena(a=100,b=80,träffsan-nolikheterna=0.5,antaletpartier=100).Stämmermedelvärdetavresultatennågorlundavälmedovanståendeanalytiskamodell?
Detkanräckamednågrahundrasimuleringarförattduskakunnamärkaenlitenskillnad.DatormodellengernågotlägreslutvärdenförA-sidanändenanalytiskamodellen.Ökarmanvärdenapå aochbmenbibehållerpropor-tionen100:80,blirskillnadenmellandebådamodellernamindre,ochmärksnästan intedåa ochb är åtskilliga tusen.Detta tyderpå attdenanalytiskamodellenskontinuerligabetraktelsesättgynnardenstarkaresidannågot.
Modellenlanch.märmycketprimitiv.Denbyggerpåantagandetattsanno-likhetenförattA-sidanskjuternästaskottärx/(x+y),mendentarintehänsyntillskyttarnasgruppering.Ienmodifieradmodell,lanchm.m,antasskyttarnaståpålinjeochskjutapådennärmastefiendesoldaten.Därmedkantvåellerflerapådenstarkaresidankommaattskjutapåsammasoldatpådensvagaresi-dan.Dennaoundvikligaöverlappningförsämrarytterligaredenstarkaresidansslutresultat,vilketmärkssärskilttydligtomträffsannolikhetenärhög.
Enmodell,somäruppbyggdmedelstdetreprogrammenlanset.m,langrp.mochlanskjut.m,tarännubättrehänsyntilldegeometriskaförhållandena.Detmöjliggörocksåattdenenasidangrupperarsigpådjupet.Dukanexperimen-teramedolikadjupochstuderahurdettapåverkarutfallet.Stämmerresultatetmeddinintuitivauppfattning?
5.5 Ytterligare exempel
För att ge eftertryck åt det faktum, att åtskillig (kanske egentligen all)beskrivningavverklighetengörsviamodeller,nämnervihärytterligarenågraexempel.
50
Lärobok i militärteknik, vol. 1: Grunder
Mekanismenienlottoapparatärtänktattgöraobundetslumpmässigturvalavkulor.AntagligenåstadkommerdenengodmodellavOSU(sekapitel3).
Endatorarbetardeterministisktochkandärför inteproduceraegentligaslumptal.Ens.k.slumptalsgeneratorkanbarasessomenmodellavslumpen.De erhållna talen är alltså deterministiskt genererade och kallas egentligenpseudoslumptal.
Ettstickprovkanuppfattassomenmodellavenpopulation.Ikapitletomsannolikhetanvändeviprogrammetsymmtern.msommo-
dellavensymmetrisktärning.Denstoravinstenmeddetärattvipånågrasekunderkangöraexperiment,somskulletamånaderattutföramedriktigatärningar.
Varjemodell,somskaanvändasförattdraslutsatseromverklighetenmåstetestas.Visardensigintehållamåttet,måstedenmodifierastilldessöverens-stämmelsenmedverklighetenbliracceptabel.Därvidsägermanattmodellenvalideras.
51
6. Några matematiska verktyg
Idethärkapitletpresenterasnågramatematiskahjälpmedel sombehövs fördelar av Militärtekniken. Framställningen bygger på vad du väntas ha meddigfrångymnasieskolanssamhällsvetenskapligaprogram.Dithörräkningmeddefyravanligaräknesätten,omformningavuttryckmeddessaräknesättochlösningavekvationeravförstagraden.Duförutsättsocksåvetaatttaloftabe-tecknasmedelstbokstäverochattvilkenbokstavsomhelstkanföreskrivasattbetecknavilkettalsomhelst.
Vidareförutsätterviattdukännertillpotenserochrötter,koordinatsystemochfunktioner,rätalinjensekvation,likformigatrianglarochPythagorassats,mendessasakerkommerviattrepeteraviikorthet.
Attmatematikenärettoumbärligthjälpmedelförfysikenberorbl.a.påattfysikaliskadataerhållsgenommätningar.Vadgörmannärmanmäter?Vadärdetsomframkommervidenmätning?Grundenförallmätningärräknandetavantal.Därförbörjarvidär.
6.1 Naturliga tal
Att räkna antal har väl varit ennödvändighet ända sedanmänniskorna fåttägodelaratthållaredapå.Antalenmåsteocksåkunnakommunicerastillandramänniskor.Medolikaknepkundemankommuniceraantallångtinnanräk-neordenutvecklades.
Denskriftligakommunikationenframtvingadeolikasymbolsystemförattrepresenteraantal.Vårtpositionssystem,medtiosombas,detdecimala(deka-diska)systemet,fördestillossfrånIndienviaaraberna,menkominteiallmäntbrukiSverigeförränrunt1600-talet.Idagärdetsåinförlivativårkulturattvi
52
Lärobok i militärteknik, vol. 1: Grunder
använderdetdagligenochstundligen,utanattvikanskereflekterarsåmycketöverdet.
Du förutsättsvara förtrogenmeddetdecimala systemet.Så t.ex.börduvetaatt53248ärettkomprimeratsättattskriva5•104+3•103+2•102+4•101+8•100.
Femmanitaletär,pågrundavsinposition,värd50000osv.(Attjaghärskrev101iställetför10och100iställetför1varenbartförattbelysasystema-tikenipositionssystemet.)
Ettpositionssystemkanbyggapåvilkenbassomhelst.Justörrebasenär,destoflerolikasiffersymbolerbehövs.Tvåärdenminstamöjligabasen.Posi-tionssystemetmedbasentvåkallasbinäratalsystemet.Imångatekniskasam-manhangärdetbinärasystemetattföredraframförsystemmedandrabaser.Deendasiffersymbolersombehövsidetbinärasystemetärettorochnollor.Internträknardatorermedbinärasystemet,beroendepåattettorochnollorärlättaattrepresenteraielektriskellermagnetiskform.
Attskrivaetttalibinärasystemetärattskrivadetsomensummaavtvå-potenser.Exempelvisbetyder101101001,tolkatsomettbinärtuttryck,talet1•28+0•27+1•26+1•25+0•24+1•23+0•22+0•21+1•20=256+64+32+8+1=361.
Detbinäratalsystemetärpåsättochvisdetenklaste.Attvi föredrardetdecimalasystemettillvardagsärbl.a.därförattdetintekräverlikalångasif-ferföljder.
Dukantestadinförståelseavdetbinärasystemetgenomattskrivaomdetdecimaltskrivnatalet53248tillbinärform.Sådanaomskrivningarkommerinteattkrävasavdig,menförfullständighetensskullgerjaghärenlösning:
Vibörjarmedattskrivauppallaheltalspotenseravtvåsomärmindreän53248.Dessaär:
327681638481924096204810245122561286432168421
Den första siffran (ettan) i den binära framställningen har därför värdet32768.Drarvidetfrån53248erhålls20480.Dettaärstörreän16384var-förnästabinärasiffrablirenetta,vilkenfårvärdet16384.Drasdetfrån20480erhålls4096.Detärmindreän8192,varförnästabinärasiffrablirennolla.Senfårvienetta,varsvärdeär4096.Restenärnollor.Viharalltsåfunnitatt5324810=11010000000000002.(Indexsiffrorna10och2markerardetdeci-malaresp.detbinärasystemet.)
Detal,sompådettasättbetecknasmedelstettpositionssystem,kallarvidenaturliga talen.Vilkenbas vi änväljer,kanvilketnaturligt tal somhelstrepresenterasmedelstensvitavsiffror.Tvåolikauppsättningarsiffror,utifrånenochsammabas,representeraralltidtvåolikatal.
53
Några matematiska verktyg
6.2 Mätning av fysikaliska storheter
Exempelpåfysikaliskastorheterärlängd,tid,massa,kraft,elektriskspänningochströmstyrka,belysningsstyrkaochvärmemängd.OmnågonfrågardighurlångtdetärfrånStockholmtillUppsala,svarardukanskeattdetärca7mil.Dåharduangettavståndetmedelstenhetenmil,varvidmätetaletblev7.Allafysikaliskastorheterangesmedenenhetochettmätetal.Attfinnamätetaletförenstorhet,utifrånengivenenhet,ärattmätadennastorhet.
Såhärkandetgåtilliprincip:Förstsermanefterhurmångagångerenhe-tengåridengivnastorheten?Omstorhetenär,låtsäga,meränfyraenheter,menmindreänfem,såärmätetalet4plusmätetaletavdenöverskjutandede-len.Dennajämförsnumedenlämpligbråkdelavenheten,vanligenentiondel.Låtsägaattdenrymmersextiondelsenheter,menintesju.Dåärmätetalet4.6plusmätetaletavdennuöverskjutandedelen.Påsammasätt fortsättermanmedhundradelar,tusendelarosv.avenheten.Hurlångtmangåriuppdelningavenhetenberorpåvilkennoggrannhetmanönskar(ochkan)uppnå.
Procedurenärisjälvaverketendivision.Attstorheten=mätetaletgångerenhetenkanuttryckasiformen
mätetalet=storhetenenheten
Låtossantaattenhetenär1tum=24mmochattstorhetenär112mm.Villduuttryckastorhetenitum,erhållerdumätetaletgenomattdividera112mmmed24mm,dvs.112med24.Omduställeruppdivisionenpåvanligtsätt,serduattförfarandetöverensstämmermeddetovanbeskrivna.
Viddemest förfinade fysikaliskamätningarmankan göra idag, uppnårmanungefärtiosiffrignoggrannhet.Imatematikenfinnsingensådanbegräns-ning.Endecimalföljdkanvarahurlångsomhelst,t.o.m.oändlig.Divisionen122/24kandudrivahur långtdu vill,menhadedet rört sig omkonkretafysikaliskaobjekt,såhadedunåttengränsdärduintekundeavgöravadnästadecimalskullebli.
6.3 Proportioner
Meddivisionsförfarandetiåtankeserviattvarjepositivttaluttryckerenpro-portion,dvs.detangerhur stortnågontingär i förhållande tillnågotannat.Denegenskapenhostalenärviktig,tyenkorrektuppfattningomproportio-nerbehövs förmånga av vårabeslut.För attbedömaproportioner försökerman konkretisera dem. Ofta handlar det om proportioner mellan noll ochettellermåttligtstörreänett.Ettbrasättkonkretiserasådanaproportionerärattuttryckademiprocent–%,hundradelar.Etthundraärettförmänniskan
54
Lärobok i militärteknik, vol. 1: Grunder
någorlundafattbartheltal,ochenjämförelsemedhundragerossengodföre-ställningomenproportion.
Avdenanledningenbördukunnaräknaomettgivetförhållandetillpro-cent: Du utför divisionen, multiplicerar kvoten med 100 och avrundar pålämpligtsätt(t.ex.tillnärmasteheltalellertilltvåvärdesiffror).Närdufårettprocenttalangivet,bördukunnaföreställadigvilketförhållandedetrepresen-terar.Omvänt:Omduiakttartvåstorheterbördukunnabedömapåettun-gefärhurmångaprocentdenenautgöravdenandra.Programmetprocent.märtillförattövauppdenförmågan.
Exempelpåproportionersombrukarangesiprocentärandelarochhaltersamtgradvisaökningarochminskningarsomt.ex.indexochräntor.
Procentangivelser lämpar sig dock inte för förhållanden som är avsevärtstörre än ett. För att konkretisera förhållanden somär åtskilliga tiopotenserstörreänett,ärdetintetillstorhjälpattvaresigangetaletmedsiffrordirektelleriprocent.Ettvanligtsättattangesådanaförhållandenärmeddecibel,dB.Viåterkommertilldettaiavsnitt7.10isambandmedlogaritmer.
Lutning:Enbackeslutning(stigning)ärettexempelpåproportioner.Medlutningenmenasförhållandet(kvoten)mellandenvertikalaochdenhorison-tellaprojektionenavbacken.Detresträckorna–backenochdetvåprojektio-nerna–utgörenrätvinkligtriangel.
Bokstävernaa,bochcbetecknarlängdernaavdenvertikalaochhorison-tellaprojektionen(kateternaidenrätvinkligatriangeln)ochbackensjälv(hy-potenusan). Backens lutning är a/b. Om t.ex. a = 76m och b = 143m ärlutningen=76/143≈0.51=51%.
Ocksåvinkelnvkananvändasförattangelutningen.Frångymnasietför-utsättsdukännatillnågravinkelmått.Dubörvetaattettvarv=360°(°=deg=grader),enrätvinkel=90°,attvarderaavdetvåövrigavinklarnaienrätvinkligtriangelärmindreän90°ochattsummanavvinklarnaiengodtyckligtriangelalltidär180°.Programmetlutning.märtillförattövauppkänslanförvinklarochlutningar.
Hur många grader bedömerduattvinkelnvifigur6.1är?Omtriangeln är skalenligt ritad, samt a = 76m och b = 143m, så ärv≈28°.Vinkelnkanalltså räknasut om a/b är känd. Omvänt be-stäms a/b entydigt av v, dvs. förettgivetvärdepåvhara/bsammavärdeoberoendeavtriangelnsstor-lek.Kvotena/bkallastangensförv,
c a
vb
Figur 6.1. Rätvinklig triangel. Hypotenusans längd är c, kateternas a och b. (Källa: FHS)
55
Några matematiska verktyg
vilketkortareskrivsa/b =tanv.Backenslutningäralltsåtangensförvinkeln.(Meromtangensfinnsiavsnitt6.11.)
6.4 Reella tal, tallinjen och koordinatsystem
Utifråndivisionsförfarandetärdetlättattseatttalenkanrepresenterasmedpunkterpåenlinje,såsnartennollpunktochenenhetssträckaärbestämd.Pålinjennedanärpunkterna0,1och–1markerade.
11− 0 x
Förövrigapunkterpå linjenbestäms resp. talmedelstdivisionav sträckor.Varjepunktpådennalinje,somvinukallartallinjen,svararmotettochendastetttal.Varjesådanttalskrivsmedettändligtelleroändligtantaldecimaler.Dessatalkallarvidereellatalen.Varjereellttal,skiltfrånnoll,ärantingenpositivtellerne-gativt.Nollpunktenpåtallinjenbenämnsorigo.Pilspetsenmarkeraråtvilkethålltalenväxer,idettafallåthögervilketärdetvanligastedåtallinjenritasvågrätt.
Vidpilspetsenharhärangettsbokstavenx.Detärvanligtattpådetsättetangeenbenämningpådenstorhetsomrepresenteraspåengiventallinje.Mantänkersigattmätetaletfördennastorhetvarierarfråntidtilltid,ellerattvikanföreskrivaolikavärdenpådetsamma.Ensådanvariabelstorhetkallasrättochslättenvariabel.Ärdetenfysikaliskstorhetangermanocksågärnadenanvändaenheteninomklammer,[],vidpilspetsen.
Villmangrafisktvisasambandetmellantvåvariabler,ritarmanuttvåtal-linjer,envågrätkalladdenvågrätaaxeln,ochenlodrätkalladdenlodrätaaxeln.Axlarnabenämnsävenefterdevariablerderepresenterar.Variabelbeteckning-arnakanmanväljasommanvill.Detärdockvanligastattvariablerbetecknasmedbokstäverislutetavalfabetet(x ,y ,z , t ,u ,v , ...)ochkonstantermedbok-stäveribörjanavalfabetet(a ,b ,c ,d , ...).Ifigur6.2pånästasidaharvivaltdeallravanligastevariabelbeteckningarna,xochy,varvidx-axelnärdenvågrätaochy-axelndenlodräta.
Detvierhållitpådettasättkallas förettkoordinatsystem.Meddesshjälpkanviangepunkteriplanetmedhjälpavtalpar.Taleniettsådantparkallaspunktenskoordinater.Förstakoordinatenbetyderx-värdet,andrakoordinateny-värdet.Ifigur6.2harvimedelstkryssmarkerattvåpunkterochangivitde-raskoordinater.Punkten(2,3)skallbefinnasigmittovanför2påx-axelnochi jämnhöjdmed3påy-axeln.Kontrolleraattdetstämmer(inomramenförfigurensnoggrannhet).Kontrolleraävenpunkten(–3,–3).
Mycketoftaritarmanaxlarnasåattdeskärvarandraorigo,punkten(0,0).Figur6.2ärritadmedelstMatlab,som,oavsetthurskalornaärvalda,läggerdenvågrätaaxelnifigurensunderkantochdenlodrätalängsttillvänster.
56
Lärobok i militärteknik, vol. 1: Grunder
Näraxlarnaskärvarandraiorigoavskiljerdefyradelariplanetsombenämnskvadranter.Iförstakvadrantenärx>0ochy>0.Andra,tredjeochfjärdekva-drantengenomlöperviomvifrånförstakvadrantengårmotsolskringorigo.
6.5 Relationer och funktioner
Såsnartduharförståttidénmedkoordinatsystemkanduinseattvarjepunkt-mängdiettplan,därdetfinnsettkoordinatsystem,representerarenrelationmellanaxlarnasvariabler.Ifigur6.2finnstresådanarelationerutritade:kur-vornasommarkeratsmedA,B,ochC.TittaförstpåkurvanA.Väljettx-värdesomfinnsmediA.DuserattdetbarafinnsenpunktiAsomhardetx-värdet.Därmedfinnsdetbaraettenday-värdesomhörtilldet x-värdet.Närypådetsättetbestämsentydigtavxsägsyvaraenfunktionavx.MansägerocksåattAutgörenfunktionfrånxtilly.
TittasedanpåkurvanB.Tillvarjex,utomdetivänstraändpunkten,svarartvåolikay-värden,varförBinteärenfunktionfrånxtilly.DäremotärBenfunktionfrånytillx.KurvanCslutligen,ärvarkenenfunktionfrånxtillyellerfrånytillx.
Antagattfärenfunktionfrånxtilly.Dex-värdensomfinnsmedifutgördesss.k.definitionsmängd(ävendomän,eng.domain)ochbetecknasDf .Mot-svarandemängdavy-värdenkallasfunktionensvärdemängdochbetecknasoftaVf .
-6 -4 -2 0 2 4-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x
y
xx(2,3)
xx(-3,-3)
A
B
C
Figur 6.2. Punkter och relationer representerade i koordinatsystem. (Källa: FHS)
57
Några matematiska verktyg
Attfärenfunktionfrånxtilly brukarskrivasy=f (x)(uttal:yärlikamedfavx).Väljermanettvisstvärdex=x1,såbetyderf (x1)dettillx1hörandey-värdet.Denvariabel,varsvärdensättsiniparentesen,idettafallx,kallasdenoberoendevariabeln,medandenvariabelsomgenomlöperfunktionensvärde-mängd,idettafally,kallasdenberoendevariabeln.Mängdenavallapar(x ,y ),sådanaatty=f (x)kallasgrafentillfunktionenf.OmkurvanAifigur6.2ärgrafentillf,såärexempelvisf (4)=–3ochf (3)=f (5)=–1.
Dettarkantanågontidattsmältabegreppetfunktionochallahithörandebegreppochtermer.Menvarförärfunktionsbegreppetsåviktigt?Kanskedär-förattdethandlaromattfåettentydigt,ettbestämt,svarpåenfråga.Vadäry,dåx=x1?Aifigur6.2geralltidettentydigtsvar,meninteBellerC.Vivilloftahaettendasvarpåenställdfråga.Låty varaenstorhetsomvivillmäta,menintekanmätadirekt.Däremotkännervifunktionssambandety=f (x)ochvikanmätax.Därmedfårviettmåttocksåpåy.Sådanaförfarandenärutom-ordentligtvanliga.Medentermometerfårvitemperaturengenomattavläsahöjdenpåenkvicksilverpelare.Strömstyrkakanvimätaviadessmagnetiskaverkningarosv.
Funktioneranvändsideflestamatematiskamodelleravverkligheten.Iav-snitt5.3gervinågrasådanaexempel.Enlångradandraexempelgesiolikadelaravboken.
Närvianvänderenfunktionkanvivaraintresseradeavenskildafunktions-värden.Menoftaärvimerintresseradeavfunktionensomhelhet:ärfunktionenväxandeelleravtagande?,hardennågotmaximum?,varväxerdensnabbast?,hurärdessförloppförstorax?osv.Sådanakvalitativaegenskaperframträdertydligastvidgrafiskframställningsomt.ex.kurvorikoordinatsystem.
Enkurvapåettpappergerocksåenskildafunktionsvärden,menintesär-skiltnoggrant.Krävsstörrenoggrannhetkanmanpresenterafunktionenita-bellform. Före datorernas tid var böcker med tabeller över olika funktionerviktigahjälpmedel.Idaglagrastabellermedfördelidatorer.Mångafunktionersvärden,somförrslogsuppitabeller,gårdocksåsnabbtatträknautmedelstdatorerattdeintebehövertabelleras.
Studietavenbitverklighetkangåtill såattviutförenseriemätningar,somresulterarientabellöverenvissfunktion.Vikant.ex.tänkaossBoylessituation,dåhanstuderadesambandetmellantrycketochvolymenhosengas.Antagatthanfickframmätvärdensomifigur6.3,därdenvågrätaaxelnrepre-senterarvolymen(V )ochdenlodrätatrycket(p)ilämpligtvaldaenheter.Detförstadiagrammetvisarbaramätvärden.Deövrigatrevisarförsökattanpassadatatillformleravtypenp=k/Vmedolikavärdenpåk,somsattsutidiagram-men.Somsynesger ingetk-värdeenkurvasomanpassarsigväl till samtligapunkter.Iensådansituationfårmanväljamellanenenkelmodell,medmåttligtgodanpassning,ochenmerkompliceradmodellmedbättreanpassning.
58
Lärobok i militärteknik, vol. 1: Grunder
6.6 Rationella funktioner
Våravanligafyraräknesätträckeroftaförattgenereraformlersomgergodamodelleravverkligheten.Omviförstutesluterdivision,kanvimeddeåter-stående tre räknesätten få fram formler för funktioner av x, som utöver xbara innehåller konstanter. Om vi utgår från talet 1 och multiplicerar medx ett antal gånger, får vi potenser av x där exponenterna är naturliga tal:1x x2x3x4x5x6...(Observeraatt0ärettnaturligttalochattx0=1förallax≠0.)Tarviettändligtantalsådanapotenserochmultiplicerarmedkon-stanter,betecknadet.ex.a0, a1,a2,a3, ...,samtläggerihopdessaprodukter,såfårviettuttryckavtypen
p (x)=a0+a1x+a2x2+...+an xn (1)
Ett sådantuttryckkallas för ettpolynom ix.En funktionp, vars värdenberäknasmedelstettpolynomp (x)kallasförenpolynomfunktion.Oman≠0sägsnvarapolynometsgrad.
Merallmäntbetyder”polynom”uttryckmedfleratermer–”binom”ut-tryckmedtvåtermer.Sägerman”polynomix”,menarmanatttermernaärav
0 5 100
2
4
6
8
10x
x
xx
x x x x x
0 5 100
2
4
6
8
10
k=8.5
x
x
xx
x x x x x
0 5 100
2
4
6
8
10
k=8.0
x
x
xx
x x x x x
0 5 100
2
4
6
8
10
k=7.5
x
x
xx
x x x x x
Figur 6.3. Några försök att anpassa formler av typen p = k / v till sambandet mellan trycket och volymen hos en gas. (Källa: FHS)
5�
Några matematiska verktyg
typenaix idäri=0,1,2,...,dvs.naturligatal.Konstanternai(1)kallaspolyno-metskoefficienter.
Uttryckix,somerhållsmedelstkonstantersamtadditionochmultiplika-tion(ochsubtraktionommansåvill)kanförståsseutpåmångaandrasättän(1),menallasådanauttryckkanomformastillettuttryckavtypen(1).Mångagångerkanmandockföredraattdelaupp(1)ifaktorer.Denmestfullständigafaktoruppdelningav(1),somkanåstadkommas,ärdåallafaktoreräravförstagraden.Såuppdeladkan(1)skrivas
p (x)=an(x–α1)(x–α2)•...•(x–αn) (2)
där α1,α2, ...,αn är polynomets nollställen, dvs. de värden på x för vilkap (x)=0.
Exempel:Skriv i formen(1)polynometp (x)=x (x–1)(x+1)+ (x–1)(x–2)+x (x–2).Räknasedanutp (3).
Lösning:Multipliceraihopparenteserna:p (x)=x3–x+x2–3x+2+x2–2x.Samladärefterallatermermedsammagradtal,såerhållsp (x)=x3+2x2
–6x + 2.Hurmanräknarutp (x)förgivetvärdepåxberorpåvadmanharförräk-
nehjälpmedel.Användermandatornskalkylator,ärdetlämpligtattförstskrivaomp (x)såhär:p (x)=x (x (x+2)–6)+2.
Därefterläggerviin3ikalkylatornsminnemedsekvensen3M+.Dåfinns3iminnet.(KontrolleragenomattförstnollställamedC,däreftergöraMR.)Nuerhållsp (3)medelstsekvensenMR+2=× MR–6=× MR+2=.Rättsvarär29.
Polynomfunktionernautgörenså rik funktionsklassattvilkensomhelstkontinuerligfunktionmedvarjeönskadnoggrannhetkanapproximerasmedenpolynomfunktion.(Attfunktionenfärkontinuerligbetyderattenmycketlitenändringavx alltid resulterar i enmycket litenändringav f (x).)Dettainnebärdockinteattettpolynomalltidärenlämpligrepresentationsform.Detkankrävasmyckethögtgradtalförönskadnoggrannhet.
Enrikareklassavfunktionerfårviomvidessutomanvänderdivision.Ettsåerhålletuttryckixsägsvararationelltochkanalltidomformastillenkvotmellantvåpolynom:
nn
mm
xbxbxbbxaxaxaa
xr++++++++
=......
)( 2210
2210 (3)
Viseromedelbartattpolynomfunktionernahörtillderationellafunktio-nerna,eftersomnämnareni(3)kanvaraavgradnoll,dvs.konstant.
Blanddefunktionersomkanstuderasmedelstprogrammetfunk.mfinnsvissapolynomfunktionermedgivnanollställenochvissarationellafunktioner.
60
Lärobok i militärteknik, vol. 1: Grunder
6.7 Räta linjer och riktningskoefficient
Grafentillettförstagradspolynomäralltidenrätlinje.Omväntärvarjerätlin-je,sominteärparallellmedy-axeln,graftillnågotförstagradspolynom.Dettaärlättattvisamedhjälpavbasalkunskapomlikformigatrianglar.Somexem-peltarvidenrätalinjesomgårgenompunkterna(2,3)och(6.5).Låt(x,y)varaengodtyckligpunktpådennalinje.Situationenvisasifigur6.4.
Figuren innehåller två rätvinkliga trianglar.Densominnehållerpunkten(6,5)harbasen6–2=4ochhöjden5–3=2.Härurfårviattlinjenslutning=2/4= 2
1 (läsomlutningiavsnitt6.3).Triangelnmedpunkten(x,y)harbasenx–2ochhöjdeny–3,vilketgerattlinjenslutning=(y–3)(x–2).Sät-tervidessauttryckförlinjenslutninglikaochmultiplicerarbådaledenmedx–2,erhållervi
y–3= 21 (x–2) (4)
Dennaekvationärsatisfieradförallapunkterpådenangivnarätalinjen,meninteförnågonannanpunkt.Därförsägermanatt(4)ärekvationenfördennalinje.Lösermanutyur(4)ochförenklar,fårmany= 2
1 x+2.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1
2
3
4
5
6
7
8
x
x
x
(2,3)
(6,5)
(x,y)
Figur 6.4. Rita linjen genom punkterna (2,3) och (6,5). (Källa: FHS)
61
Några matematiska verktyg
Påmotsvarandesättkanmanförvilkenrätlinjesomhelst,sominteärpa-rallellmedy-axeln,finnakonstanterkochlsådanaattekvationen
y=kx+l (5)
satisfierasavpunkternapådenlinjenochinteavnågraandrapunkter.Taletkärlikamedlinjenslutning.Eftersomkärenkoefficientihögerledeti(5)kall-laskocksåförlinjensriktningskoefficient.Dessteckenbestämmeråtvilkethålllinjenlutar.
Riktningskoefficientengerbeskedomhuryförändrasdåxförändras.Dåk>0ärfunktionen(5)växande,dvs.yväxerdåx växer.Dåk<0ärfunktionenavtagande.
6.8 Derivata
Enrätlinjelutarlikamycketöverallt.Förandrafunktionerkanmananvändaräta linjer somjämförelseobjekt.Låt fvaraenfunktion, låtxochξvara tvågodtyckliga,menolika,punkterpådenvågrätaaxelnsamtantagatty=f (x)ochη=f (ξ).(Degrekiskabokstävernaξochηuttalasxiresp.eta).Ifigur6.5
0 2 4 6 8 100
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
(x,y)
Figur 6.5. En funktionskurva med inritad sekant. (Källa: FHS)
62
Lärobok i militärteknik, vol. 1: Grunder
harviritatutpunkterna(x,y)och(ξ,η)samtfunktionskurvanssekant(skär-ningslinje)genomdessatvåpunkter.Dessriktningskoefficient(η–y)/(ξ–x)ärettmåttpåmedellutningenhoskurvanmellandetvåpunkterna.
Nulåtervipunkten(ξ,η)rörasigmot(x,y).Punkternafårintesamman-falla, tydåblir linjenobestämd,mende fårkommahurnäravarandrasomhelst.Omsekantenharettgränsläge,då(ξ,η)kommergodtyckligtnära(x,y),sägsdenlinjenvarakurvanstangentipunkten(x,y).Körprogrammetderiv.momduvillseenillustrationavdennagränsprocess.
Omgrafen till fhar tangent i envisspunkt, sägs f varaderiverbar idenpunkten.Tangentensriktningskoefficientärettmåttpåfunktionskurvanslut-ningipunktenxochkallasderivatanavfidennapunkt.Omdumedögon-måttkanskattalutningenavenrätlinje,såkanduiprincipskattaenfunktionsderivataienpunkt.Programmetderiv.minnehållerenövningpådet.
Det finns många olika beteckningssätt för en och samma derivata. Omy=f (x)såkanvibetecknaderivatanavfipunktenxpåbl.a.följandeolikasätt:yy′(uttal:y-prim)f )(xf ′(x),Df (x)och
dydx
Den sistnämndabeteckningen serut somenkvotochkanuppfattas så.Nämnarenärendifferensix,täljarenmotsvarandedifferensiylängstangen-tentillkurvan.Differensernalängstangentenkallasdifferentialer.Dåy=f (x)äralltsådy=f dxxfdy )(′= (x)dx,somillustrerasavfigur6.6.
Mångagångerärdetlämpligtattframställaenkurvaiparameterform.Såvälxsomy uppfattasdåsomfunktioneraventredjevariabel,dens.k.parametern.Låtosskalladent.Villmaninteinföranågranyafunktionsbeteckningar,kanmanskrivax=x (t),y=y (t).Atthasammabeteckningarpåfunktionernasompåvariablernakanverkaoegentligtmenbrukarintevållanågramissförstånd.
y
dx x
y = f(x)
tangent
dy = f ′(x)dx
Figur 6.6. Differentialen av en funktion är differensen längs tangenten till dess graf. (Källa: FHS)
63
Några matematiska verktyg
Närdessafunktionerderiveras,börmanhanyabeteckningarförattundvikaförväxling.Manbrukaranvändaprickariställetförprim-tecken.Meddebe-teckningarnafårvi
dtdxtxx )( ,
dtdytyy )(
Förtydlighetensskullsägermanocksåatty y′ärderivatanavymed avseende på x,medany ärderivatanavymedavseendepåt.Differentialernadx,dyochdtkanmanräknamedsommedtal.Genomattförlänga
dydx
meddtfårvi
dtdx
dtdy
dxdt
dtdy
dxdy : , d.v.s.
xyy
,dvs.
dtdx
dtdy
dxdt
dtdy
dxdy : , d.v.s.
xyy
f )(xf ′(x)bestämsentydigtavxochäralltsåenfunktionavx.Omdutittarpågrafentillenfunktionf,såkanskedukanföreställadigungefärhurgrafentillff ′serut.Enövningpådetgesocksåavprogrammetderiv.m.Närdukördendelenavprogrammet,slumpardetutenfunktionsomduskaförsökaföreställadigderivatantill.Senfårdusegrafentillderivatanosv.
Idenmatematiskaanalysenärderivatanettoumbärligthjälpmedelförattundersökaenfunktion.Derivatangerbeskedomvarfunktionenväxerresp.avtarochvarev.maximi-ochminimipunkterfinns.Genomattstuderaderi-vatansderivataetc.(derivatoravhögreordning)kanmanhärledametoderattberäknafunktionersvärdenmeddennoggrannhetmanönskar.
Ifysikenharderivatanotaligaanvändningar.Viktigatillämpningarärnärmanstuderartidsförlopp.Närnågotförändrasmedtidenärderivatanettmåttpåhursnabbtförändringensker.Deriverarmanentidsberoendesträckamedavseendepåtidenerhållermanhastigheten.Derivatanavhastighetäraccelera-tion.Tillförsenergitillettsystem,ochmanderiverardentillfördaenergimäng-denmedavseendepåtiden,erhållermaneffekten.
Dubehöverintenödvändigtvisläradigattutföraderivationer,menförattförståfysikmåsteduförståderivatansinnebörd.
6.9 Potensfunktioner
Funktioner av typen f (x) = xa kallas potensfunktioner. Om a är ett positivtheltal ärpotensenxa definieradgenomproduktenx •x • ... •x där antaletfaktorer=a.Dettagårbraförvarjereelltx.Ära=–ndärnärettpositivtheltal,definierarvixa=1/xn för alla talx≠0.Förövrigaa låtervidefini-tionenavxa vägledasavsambandenxm+n=xm •xnoch(xm)n=xmn,som
64
Lärobok i militärteknik, vol. 1: Grunder
kanutsträckastillattgällaförallamochn,intebaraheltal.Exempelvisgäller(x0.5)2=x2 •0.5=x.Detta förutsätter attx ≥0.Förx =0 ärx0.5=0.Förpositivaxdefinierarvix0.5somdetpositivatalvarskvadrat=x.Detbetyderattx0.5= x .
Iställetföratthärsystematisktgåigenomvadxaärförsortsfunktionerförolikaa-värdenlåtervifigur6.7illustreranioexempel.
6.10 Exponential- och logaritmfunktioner
Vihållernubasenförenpotenskonstantochlåterexponentenvariera.Dåfårviens.k.exponentialfunktion:f (x)=ax.Oma>0,vilketviifortsättningenantar,såbestårDfavallareellatalochVfavallapositivatal.Oma>1ärfväxande.Oma<1ärfavtagande.
Medhjälpavdatornskalkylatorkanduräknautax förvaldavärdenpåaochx.Förattfåt.ex.81/2knapparduinsekvensen8x^y.5=.Svaretärca2.828.(Somligakalkylatoreranvänderdecimalkommaiställetförpunkt.)
Exponentialfunktioner uppträder ofta i matematiska modeller varfördu bör känna till deras förlopp. Figur 6.8 visar fyra avsnitt av funktionenf (x)=10x,därxvarieraröverintervallavolikalängd.
-5 0 50
10
20
30a=2
-5 0 5-100
0
100a=3
-5 0 50
200
400
600a=4
0 50
1
2
3a=1/2
-5 0 5-2
0
2a=1/3
-5 0 50
1
2
3a=2/3
0 50
2
4
6a=-1/2
-5 0 5-5
0
5a=-1
-5 0 50
10
20
30a=-2
Figur 6.7. Nio kurvor för olika värden på a i funktionen xa. (Källa: FHS)
65
Några matematiska verktyg
Somsynesärdetintestoridéatthärväljaintervallpåx-axeln,somärbe-tydligtlängreäncaenenhet,tynäry-värdenaspännerövermångatiopotenserkanmanändåbaraöverblickaenlitendelavdem.Hurskamandåbärasigåtnärmanvilljämförastorhetersomskiljersigåtfleratiopotenserellergörasigenföreställningommycketstoraellersmåstorheter?
Följandeexempelärhämtat från”Knepigaklubben”:TänkdigattenavdinaförfädervidtidenförKristifödelsehadesattinenkronapåenbanksomgavfemprocentsränta(sammansatträntamedårligkapitalisering)ochattduvararvtagare tilldet förräntadekapitalet.Hurmycket skulledu i så fallägaidag,omvigjorde(detorimliga)antagandetattnågoninflationinteförekom?Omviavrundartidentill2000årblirsvaret1.052000kr.Uttrycktsomtiopo-tensblirdetca1043 kr.Hurmycketpengarärdet?Skulledukunnaköpauppalltguldpåjordenfördetbeloppet?Ja,mångagångerom.Skulledukunnaköpaetthelt jordklot fulltavguld? Ja,mångagångerom.Duskullekunnaköpaca1012(enbiljon=enmiljonmiljoner)guldklotavjordensstorlek
Exempletillustrerarhursnabbtexponentialfunktionerväxer,ävenomba-senbaraärnågotstörreän1.Vidaregerdetenantydanomatttiopotenserkanvaraettbrahjälpmedelförattuttryckamycketstoratal(ochmycketsmå,dvs.nära0).Dubördärförgöradigförtrogenmedanvändningenavtiopotenser.
0 0.5 10
2
4
6
8
10
0 1 2 3 40
2000
4000
6000
8000
10000
0 5 10 15 200
5
10x1015
0 20 40 60 800
5
10x1063
Figur 6.8. Fyra avsnitt av funktionen f (x) = 10x, där x varierar över intervall av olika längd. (Källa: FHS)
66
Lärobok i militärteknik, vol. 1: Grunder
Detärexponentenitiopotensensomangertaletsstorlek.Därförkanmanarbetamedexponenternasjälvautanattskrivautbasenvarjegång.LåtTvaraettgodtyckligtpositivttal.Låtxvaradenexponent,som10skaupphöjastillförattresultatetskabliT.DennaexponentkallaslogaritmenförTochskrivslogT.OmT=10xäralltsåx=logT.
Logaritmerkanbildasmedandrabaserän10,varförmanförtydlighetensskulloftasäger”tiologaritmen”närbasenär10.Iförkortadformhakarmandåpåtianpå”log”såattdetblir10log,log10e.d.
I tillämpningar där man systematiskt arbetar med tiopotenser uttryckermansiggärnailogaritmiskform.Härkommertvåexempelpådet.
Ljud-ochljussomvikanuppfattaspänneröverstyrkeintervallpååtskilligatiopotenser.LåtI0varaintensitetenpånättochjämnthörbartljud.EttmåttpåstyrkanhosettljudmedintensitetenIkandåvaraI/I0.Dennakvotvarierarinormalafallmellan1ochkanske1010ellermer.Sommåttpåljudnivånkanmananvändalog(I/I0).Manbrukardockanvändadecibeltalet,dB,definieratsom10•log(I/I0).Omljudnivånär100dB,såärI/I0=10100/10=1010,vilketbetyderattintensitetenärtiomiljardergångersåstarksomgränsenförhörbar-het.Dennivånliggerinärhetenavsmärtgränsen.
Ikeminuttrycksjonkoncentrationeroftailogaritmiskform,beroendepåattdenormalavariationernasträckersigöverfleratiopotenser.MandefinierarpH=–log[H+],där[H+]ärvätejonkoncentrationen(imol/liter).Förenneu-tralvattenlösningärpH=7.DåpH=1ärlösningenstarktsur,dåpH=13starktalkalisk.
Förattuttryckaenexponentialfunktionkanvilkenbassomhelstanvändas.Oftastföredrarmanattanvändabasene≈2.718.(Exaktdefinierasesomgräns-värdetför n
n )1( 1+ dångårmotoändligheten.)Detsomgörtaleteintressantisammanhangetärattfunktionenf (x)=exärsinegenderivata,dvs.omy=ex
såäryy′ =ex.Enalternativ(ochvanlig)beteckningpåexärexp(x).Oma är ett godtyckligt positivt tal, såfinns ett talk sådant atta = ek.
Detbetyder attk är logaritmen föramed e sombas,dvs. eloga.Envanligbeteckningärlna.(Mångaförfattareskriverdocklogibetydelsenelog .)Medk=lnagällerax =(ek)x=ekx.
Derivatan av ekx är kekx. Derivatans värde är alltså proportionellt motfunktionensvärde.Dettaärorsakentillattmångaiverklighetenförekomman-deprocesserärungefärligenexponentiella.Såfortnågottillväxer,elleravtar,ientaktsomärproportionellmotmängden,såblirmängdenenexponentiellfunktionavtiden.Dettakantillämpaspåradioaktivtsönderfall,bakterie-ochbefolkningstillväxt,urladdningavkondensatorerm.m.
67
Några matematiska verktyg
6.11 Trigonometiska funktioner
Titta tillbakspåfigur6.1.Omtvåav längderna ifigurenärkändakandentredjeräknasutmedelstPythagorassats,somutsägeratta2+b2=c2.Däravföljerattomkvotenmellantvåavdessalängderärkänd,kandeövrigasexkvo-ternaräknasut.Varjesådankvotbestämsentydigtavv,dvs.denärenfunktionavv.Iavsnitt6.3möttevitangensfunktionen.Härföljerbenämningarnapåsamtligadesexfunktionerna:
a/c kallas sinus förvochbetecknassinv b/c kallas cosinus förv ochbetecknascosv a/b kallas tangens förv ochbetecknastanv b/a kallas cotangens förv ochbetecknascotv c/b kallas sekanten förv ochbetecknasscv c/a kallas cosekanten förv ochbetecknascscv
Alladessa funktionerkallas trigonometriska (trigon=trehörning).Detvåsistaförekommerianglosaxisklitteratur,menjustinteisvensk.Detreförstaärviktigastattvaraförtrogenmed.
Vissaegenskaperhosdessafunktionerkanvisedirekturfigur6.1.Efter-som0≤a≤cär0≤sinv≤1.Idessaolikheterkanlikhetgälla,tyvigodtarextremfalletv=0,dåa=0ochdetmotsattaextremfalletv=90°,dåa=c.Iextremfallenärtriangeln”urartad”,meninnebördenärlättattse.Dåvväxerfrån0till90°växersinvfrån0till1.Påsammasättserviattcosvavtarfrån1till0dåvväxerfrån0till90°.
Tvåvinklar,varssummaär90°kallaskomplementvinklar.Avfigur6.1ochdefinitionernapåsinochcosframgårattcosinusförenvinkelärkomplement-vinkelns sinus, dvs. cos v = sin(90° – v). Av definitionerna följer vidare atttanv=sinv/cosv.Tangensfunktionenärväxandeochtan0=0.Förv=90°existerarintetanv,menviseratttanvväxeröverallagränserdåvnärmarsig90°.
Följandetabellexemplifierarnärmevärdenpåsin,cosochtan.
v [deg] 0 10 20 30 40 45 50 60 70 80 90
sin v 0 .17 .34 .50 .64 .71 .77 .87 .94 .98 1
cos v 1 .98 .94 .87 .77 .71 .64 .50 .34 .17 0
tan v 0 .18 .36 .58 .84 1 1.19 1.73 2.75 5.67 –
68
Lärobok i militärteknik, vol. 1: Grunder
Figur6.9visardetrefunktionernasgrafer.Eftersomtanvväxeröverallagränserdåv närmarsig90°måstegrafenförtanhuggasavenbitfrån90°.Härhargrafenavdetskäletpresenteratsitvåbilder.SkalornaivertikalledärvaldaavMatlabsystemet.Medelstprogrammetfunk.mkanduvarieradetintervalldärgrafenförtanvisasochstuderaeffektenavattlåtaintervalletshögraänd-punktnärmasig90°.
6.12 Enhetscirkeln, utvidgning av sinus och cosinus, radianer
Definitionen utifrån rätvinkliga trianglar, som i figur 6.1, förutsätter att0≤v≤90°.Mensinus-ochcosinusfunktionernasdefinitionerkanutvidgastillgodtyckligavinklar.Fördetsyftetplacerarvitriangelnietträtvinkligtkoor-dinatsystemmedvinkelspetseniorigoochdenvågrätakatetenlängspositivax-axeln.Väljifortsättningenc=1.Närvvarierarkommerhypotenusansandraändpunkt(x ,y)attrörasiglängsencirkelmedmedelpunktiorigoochradien1,dens.k.enhetscirkeln.Sålänge0<v<90°befinnerviossiförstakvadran-ten.Låtervivväxa,passerarviiturochordning2:a,3:eoch4:ekvadrantenförattsenbörjaomi1:akvadranten.Pådetsättetkanvifortsättavarveftervarv.Startarvividx-axelnmedv=0ochlåterpunkten(x ,y)rörasigmedsols,uppfattarvivsomnegativ.Tecknenpåxochyidefyrakvadranternaframgåravfigur6.10.
0 30 60 900
0.2
0.4
0.6
0.8
1
sin
0 30 60 900
0.2
0.4
0.6
0.8
1
cos
0 20 40 60 800
2
4
6
tan
80 85 89 900
50
100
150
tan
Figur 6.9. Grafer för sin, cos och tan. (Källa: FHS)
6�
Några matematiska verktyg
Videfinierarnuutifråndessaförutsättningar
sinv=y,cosv=x (6)
Dukanseattdedefinitionerna,sålängeviliggeri1:akvadranten,stämmermeddeföregåendedefinitionerna.Nuärsinochcosdefinieradeförallareellavinklar.PåenhetscirkelngällerenligtPythagorassatsx2+y2=1,varför
sin2v+cos2v=1 (7)
Dennarelationkallas”trigonometriskaettan”.(sin2v ärettkortareskrivsättför(sinv)2o.s.v.)
Härföljernågraandrarelationersomdirektkanutläsasurdefinitionerna.
sin(v+360°)=sinv,cos(v+360°)=cosv (8)
utsäger att funktionerna är periodiska med perioden 360°. Det betyder attfunktionernauppreparsinaförloppvarveftervarv.
-2 -1 0 1 2-2
-1
0
1
2
v
1:akvadrantenx>0,y>0
-2 -1 0 1 2-2
-1
0
1
2
v
2:akvadranten
x<0,y>0
-2 -1 0 1 2-2
-1
0
1
2
v
3:ekvadranten
x<0,y<0
-2 -1 0 1 2-2
-1
0
1
2
v
4:ekvadrantenx>0,y<0
Figur 6.10. Enhetscirkeln och kvadranterna. (Källa: FHS)
70
Lärobok i militärteknik, vol. 1: Grunder
Enfunktionfdärf (–x)=f (x)förallaxsägsvarajämn.Ärf (–x)=–f (x)förallaxsägsfvaraudda.Cosinusärenjämnfunktionmedansinusärudda,alltså
cos(–v)=cosv,sin(–v)=–sinv (9)
Att cosinus är komplementvinkelns sinus har vi redan sett. Detta gällerocksåfördenuutvidgadefunktionerna.Kombinerasdetmedattcosinusärjämn,erhållervi
sin(v+90°)=cosv (10)
Den relationenutsäger attde två funktionernaär lika sånär sompåattcosinusärvadmansägerfasförskjuten90°iförhållandetillsinus.
Närviskastuderaderivationavsinochcosärengradintenågonlämpligvinkelenhet.Vibehöverenenhetsomstårienenkelrelationtillsinusfunktio-nen.Vinkelbenenskäravenbågeavenhetscirkelnvarslängdärproportionellmotv.Vi låterdenna längdvaramåttetpåv.Densåerhållnavinkelenhetnkallas1radian(rad).Enhetscirkelnshelaomkretsär2π.Alltsåär2πradianer=360°,varav
1rad=180°π
≈57.3deg (11)
Närvinklarmätsiradbrukarradinteskrivasut,tyenvinkelenhetärdi-mensionslös,ochradärunderförståddomingenannanenhetsättsut.
Ärmanvanvidatttänkaigrader,krävsdetenmentalomställningattgåövertillradianer.Ifigur6.11harvinklarnairadianersattsutförnågravanligtförekommanderiktningar.Siffrornainomparentesärresp.vinkelsmåttideg(somintehellerskrivitsutidennafigur).
Figur6.12.visarsituationenförenlitenpositivvinkelv.Bågenslängdärmarkeradmedv,ochdenlodrätasträckanslängdärsinv.Jumindrevär,destomerlikablirsomsynesvochsinv.Mankanvisamedsträngamatematiskametoderatt=sinv
v gårmot1dåvgårmot0.Innebördenidetärattderivatanavsinvärlikamed1dåv=0.Enfortsatt
undersökningavsinus-ochcosinusfunktionenledertillrelationerna
Dsinv=cosvochDcosv=–sinv (12)
Ifältkanradianensegenskapavbågmåttutnyttjaspraktisktgenomattin-strumentgraderas inågot som liknarmilliradianer.En sträckaav1m, somiakttaspåettavståndav1km,upptarenvinkelpåcaenmilliradian.Antalet
71
Några matematiska verktyg
0
pi/6(30)
pi/4(45)
pi/3(60)pi/2(90)
3pi/4(135)
pi(180)
5pi/4(225)
-pi/2alt.3pi/2
-pi/4alt.7pi/4
IMatlabskrivermannormalt"pi"iställetför"".Vinklarnasomäruttrycktaipiärmättairadianer,vinklarnainomparentesigrader.
Varjeriktningsvararmotoändligtmångaalternativavinklar.Mankanläggatillellerdraifrånettgodtyckligtantalvarv.
Figur 6.11. Vinklar i radianer (resp. grader) för några vanligt förekommande riktningar. (Källa: FHS)
vsin v
Figur 6.12. En liten positiv vinkel och dess sinus. (Källa: FHS)
milliradianerpåettvarvär6283.2.Manmåstedärföravrundatillettheltal.Avrundarmantillnärmastehundratalfårmanenheten1streck =1/6300varv.Ennågotsämreapproxationär1mils =1/6400varv,somhardenfördelenattenkvadrantbeståravetthelthundratalmils,1600.Mendensämreapproxi-mationenkan i praktikenvara ennackdel vid skjutningmedhögprecision,särskiltinomluftvärnet.
72
Lärobok i militärteknik, vol. 1: Grunder
6.13 Sinus som representation av svängningar
Omvinklarnarepresenteraslängsdenvågrätaaxeln,samtsinus-ochcosinus-funktionernasvärdenlängsdenlodräta,kommerdessafunktionerattrepresen-terasavkurvorsomifigur6.13.
Medvinklarnairadianerharsinochcosperioden2πvilketsynspåattderasförloppuppreparsigmedettmellanrumavca6.28enheter.
Detförstadiagrammetvisary=sinx(därdenvågrätaaxelnärx-axelnochdenlodrätay-axeln).Detandradiagrammetvisary=cosx.Tittarmannärmarepåkurvornasermanattvarjepunktpåcosinuskurvan liggerca1.6enheterföremotsv.punktpåsinuskurvan(π/2≈1.57).Dettredjediagrammetvisarkurvany=sin(x+π/4).Kollaattdenliggerca0.8enheterföresinuskurvan–ix-ledmittemellansinus-ochcosinuskurvan.
Funktioneny=sin(x+φ)ärfasförskjutenvinkelnφ (phi)iförhållandetillfunktioneny=sin(x).Vinkelnφ kallasfasvinkeln.
Sinus och cosinus uppträder vanligen som tidsfunktioner. Vinkeln v ärdåproportionellmot tiden.En vanligbeteckning ärv =ω t. (Dengrekiskabokstavenω uttalas omega.)Ett fysikaliskt förlopp, somkanbeskrivasmedfunktioneny=sin(ω t+φ),däryärenfysikaliskstorhet–envariabelsträcka,spänning, strömstyrka, fältstyrka etc. – är en sinusformad svängning. Dess
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
-10
1y=sinx
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
-1
0
1y=cosx=sin(x+pi/2)
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
-1
0
1y=sin(x+pi/4)
Figur 6.13. Sinuskurvor med olika fasvinklar. (Källa: FHS)
73
Några matematiska verktyg
periodtidär2π/ω ochdessfrekvens,dvs.antaletperioderpersekund,ärω / 2π.Storhetenω kallassvängningensvinkelfrekvens.
Programmetsincos.märtillförattåskådliggöradenubehandladefunktio-nerna.Detbeståravfyradelar.Del1avserillustrerahursinochcosgenererasavenrörligpunktpåenhetscirkeln.
Del2visarhurenfasförskjutensinussvängningkanuppfattassomenbland-ningavsinochcosi lämpligaproportioner.Denbakomliggandeformelnärsin(ω t+φ)=sinω tcosφ+cosω t sinφ,somvidockintehärlederhär.
Idel3visasinterferens(överlagring)avtvåsinusvågormedolikafrekvens,somrörsigiförhållandetillvarandra.Dukanväljahurfrekvensernaskaför-hållasigtillvarandra.
Del 4 visar ett exempel på en viktig tillämpning av sinus- och cosinus-funktioner.Varjeperiodisktförloppmedvinkelfrekvensenω0 kantänkassam-mansatt av rena sinus- och cosinussvängningar, vars vinkelfrekvenser är ω0själv(grundtonen)ochheltalsmultipleravω0 (övertonerna).Dettafaktumäravstortekniskbetydelsevidsignalbehandling.Benämningarna”grund-”och”övertoner”ärhämtadefrånakustikenochärkanskevälkändafördemsomsysslarmedmusik.
6.14 Kort om integraler
Duharkanske förut sett ett integraltecken,”∫”.Detär ingen slumpattdetliknarett”S”.Enintegralärnämligenensortssumma.Fysikaliskastorheter,somkanuppfattassomsummoravettstortantalsmådelar,beräknasoftamedhjälpavintegraler.Somexempelnämnervidenelektriskafältstyrkaienpunkt,somorsakasavettstortantalelementarladdningaridessnärhet.
Desmådelar,somenintegralkanuppfattassomsummanav,kallasdifferen-tialer.Vimöttebegreppetisambandmedderivatan(avsnitt7.8)ochåterkny-tertilldetnu.Betraktaettintervall[a,b]påx-axeln.
Videlarinintervalletidelintervallmedlängddx(somkanhaolikavärdenförolikadelintervall).
a dx b x
Summanavdelintervallens längderärförstås längdenav[a,b]dvs.b–a(därvinuantaratta<b).Vibetecknardennasummamedelstintegraltecknet,varvidsträckansvänstraändpunkt,a,markerasnertillpåintegraltecknetochdenhögraändpunkten,b,markerasupptill.Meddetbeteckningssättetfårvialltså
74
Lärobok i militärteknik, vol. 1: Grunder
(13) abdx
b
a
(14) kakbdYkdxkb
ka
b
a
(15) )()()()(
)(
aFbFdYdxxfbF
aF
b
a
(13)
Vibenämnera denundre integrationsgränsenochbdenövre.Symbolen
(13) abdx
b
a
(14) kakbdYkdxkb
ka
b
a
(15) )()()()(
)(
aFbFdYdxxfbF
aF
b
a
uttalas”integralenfrånatillb”.Meningenmeddettaframgårförstnärmantillämpardetpåenfunktion
avx,Vibörjarmedenlinjärfunktion,Y=kx.Närxgenomlöperintervallet[a,b]påx-axeln,genomlöperYintervallet[ka,kb]påY-axeln.AvY=kx följerdY=kdx.Integrationsgränsernabestämsavvilkenvariabelviintegrerarmedavseendepå.Vifårdåföljandetvåuttryckförenochsammaintegral:
(13) abdxb
a
(14) kakbdYkdxkb
ka
b
a
(15) )()()()(
)(
aFbFdYdxxfbF
aF
b
a
(14)
NuersätterviY=kx medenfunktionY=F (x),somintenödvändigtvisärlinjär.OmvisätterFF ′(x)=f (x)erhållervidY=f (x)dx.(Sefigur6.6ochbytdärutfmotFochy mot Y.)ViersätterocksåkamedF (a)ochkbmedF (b),varvid(14)övergåri
(13) abdxb
a
(14) kakbdYkdxkb
ka
b
a
(15) )()()()(
)(
aFbFdYdxxfbF
aF
b
a
(15)
Integralensdefinitionärdock inte såenkel somjaghär framställt saken,eftersomdifferentialenavF(x)ärdifferensenlängskurvanstangent,intelängskurvansjälvannatändågrafentillFärenrätlinje.Förallmännarefunktionerdefinieras integralen medelst en gränsprocess, där differenserna i x går motnoll.
Integralens fysikaliska innebördberoravvadxoch f (x)är förslagsstor-heter.Låtförstxochf (x)varavanligalägeskoordinater.Omdxärlitet,varie-rar fendast litet i intervallet[x,x+dx].Strimlanmellanx-axelnochkurvany = f (x)idettaintervallkanvidåapproximeramedenrektangelmedbreddendxochhöjdenf (x).Summanavallasådanastrimlorsareorärhelaareanmellankurvanochx-axelniintervallet[a,b],dvs.integralen(15)ärlikameddennaarea.Integralenäralltsåenstorhetavsammaslagsomproduktenf (x)dx.Härkommerytterligaretreexempel:
75
Några matematiska verktyg
Omenpartikelflyttasunderinverkanavenkraftiförflyttningensriktningochmedabsolutbeloppet f (x), såbetyder f (x)dx detarbetesomuträttasvidförflyttningenfrånxtillx+dx.
b
a
dxxf )(
b
a
dttf )(
b
a
dttp )(
ärhelaarbetetvidförflyttningenfrånatillb.Omtärtidenochf (t)ärfartenhosnågotsomrörsig,såärf (t)dtdentill-
ryggalagdasträckanundertidsintervallet[t, t+dt].
b
a
dxxf )(
b
a
dttf )(
b
a
dttp )(
ärheladentillryggalagdasträckanundertidsintervallet[a,b].Omtärtidenochp (t)ärdeneffektenmotorutvecklar,såärp (t)dtdet
arbetemotornuträttarundertidsintervallet[t, t+dt].
b
a
dxxf )(
b
a
dttf )(
b
a
dttp )(
ärheladetuträttadearbetetundertidsintervallet[a,b].
77
7. Mekanik
7.1 Allmän bakgrund
Idettaavsnittskallvi,mycketöversiktligtochförenklat,avhandladenklassiskamekanikensomhuvudsakligenhärstammar frånNewton.*Dettaharvaritdemodeller(sekapitel5)somiprincipvaritgällandefråndetattdepubliceradestilltidigt1900-taldåAlbertEinsteinpresenteradesinarelativitetsteorierochdärNewtonsteoriertilldelarkomattmodifieras.Förvardaglig,praktiskverksamhetdugerdockNewtonsteoriermeränväl;detärförstnärmanarbetarmedhastig-heternäraljusets,somdeblirmindreanvändbara.Denklassiskamekanikenkansägasbehandlamateriellasystemivilaellerrörelseochdekraftersomdåärin-blandade.Studietavsystemivilakallasstatikochstudieravsystemirörelsekall-lasdynamik.Dynamikenkanisinturdelasin,någotsomvidockintegörhär.Imekanikenbehandlassystemavmycketvarierandestorlek,alltfrånmycketsmåsystem,dockintesåsmåsompåmolekylerelleratomer,upptillsystemavstjär-nor,planeterochandrahimlakroppar.Begreppetmateriella systemkan inne-fattamycket,någratyperärpartiklar,stelakroppar,deformerbarakroppar,ochfluider.Deformerbarakropparsmekanikkansägasvaradedelaravmekanikensomavhandlasinomhållfasthetsläranmedanfluidersmekanikbrukarbenämnasströmningslära,somärengrundförhydro-ochaerodynamik(sekapitlen9och12).Detvihärhuvudsakligenkommerattbehandlaärs.k.stelakroppar.
Detabsolutövervägandeantaletfallinommekanikeninvolverarvektorer.Dessaproblem lösespåolika sättbl.a.genomattkomposantuppdelavekto-rernaocharbetamedekvationssystemmeddeolikakomposanterna.Idennaframställninggörsingasådanaberäkningarutandeuttrycksomgeskansägasgällaförettendimensionelltfall,menkanlättutvecklastillflerdimensioner.* NewtonlevdeiEnglandåren1642–1727,sebl.a.Ny Teknik,Nr23,7juni2006.
78
Lärobok i militärteknik, vol. 1: Grunder
7.2 Begrepp och storheter
Med”partikel”avsesidenklassiskamekanikeninteenelementarpartikel,dvs.atom,molekylellermotsv.utanenkroppvilkensomhelst,menvarsstorleksaknarbetydelsefördetaktuellaproblemetslösande.*Oftabörjarmanmedattgöraberäkningarförenpartikelförattsedanförfinamodellen.Detärocksåoftastytterstlämpligtattgöradennaansatsvidöverslagsmässigaberäkningar.
Med”kropp”avsesiprincipvilketföremålsomhelst(ochinteenbartdetmankanskeförstkommeratttänkapå).Medstelkroppförståsenkroppdärvarjepunktikroppenhelatidenliggerisammalägeiförhållandetillallaövrigapunkter.Dettaärenapproximationavverkligheten(enmodell)vigör,föriverklighetenärjuingetföremålheltstelt.
Inomfysikenarbetarmanmedettenhetssystemmedsjugrundstorheter.Detfinnsettflertalandraenhetssystem,menvianvändernågotsomkallasSI-systemet(SystèmeInternationald´Unités),vilketocksåbörjarblidetivärldenheltdominerande.Degrundstorhetersomär(mest)aktuellainommekanikenär längd, tidochmassa,övriga storheter, somvikommer ikontaktmed,ärs.k.härleddastorheter,ochdenämnsdärdetäraktuellt.Förknippatmedvarjestorhetfinnsenenhet(jmf.avsnitt6.2),enligtnedanståendetabell.(AvövrigasystemärdetsomanvändsiUS,specielltilitetäldrelitteratur,detsomärmestvanligtförekommande.)FördelenmedattanvändaSI-systemetärattingaom-vandlingstaleller”onödiga”konstanterbehöveranvändas.
Grundstorhet Beteckning (vanligast förekommande)
Enhet Enhetens beteckning
I USA förekommande enheter och bet.
Längd l, L meter m slug
Tid t sekund s second (sec)
Massa m, M kilogram (kilo) kg pound (lb)
1 meter,1 m,definieradesursprungligenavinternationellameterprototy-peniParis,menärnumeradefinieratsomdensträckaljusetgårundertidsin-tervallet1/299792458s.
1 sekund,1 s,definieradesursprungligensom1/86400avettmedelsol-dygn men den moderna definitionen är att det är tiden för 9192631770perioderav ljusstrålningenavenvissvåglängdsomsändsutavcesium133,undervissaförhållanden
1 kilogram,1 kg,definierasavkilogramprototypeniParis.Massenhetenärdenendagrundenhetsominteharen”atomär”definitionidagensläge.
* Elementarpartiklarnasmekanikm.m.studerasiämnet”kvantfysik”,ochberörsinteallshär.
7�
Mekanik
Man talar iblandomviktoch tyngd.Viktkan sägas vara enäldre, ävenomdenanvändsflitigtänidag,benämningförmassa.Tyngdärdenkraft(seavsnitt7.4.2)medvilkenjordenpåverkarenvissmassa.(Uttrycket”tyngdlösttillstånd”användsoftanärdetgällerrymdflygningar,dettaäretttillstånddåt.ex.jordensdragningskraftbalanserasavandrakrafter.)
7.3 Koordinatsystem i mekaniken – tröghet
De”lagar”ochformler,somkommerattavhandlasimekanikenhär,gälleriettfast(fixt)koordinatsystem.Oftastanserviattettkoordinatsystemsom”sitterfast”ijordenkanbetraktassomfast.
Ettenkeltexempelpårörligtkoordinatsystemäromvit.ex.tänkerossetttåg,somgårmedkonstanthastighet,påenrakbana.Vikandåläggaettkoordi-natsystemsom”sitterfast”itåget.Omduskallgåfråndinplatstillrestaurang-vagnenärdujuiförstahandintresseradavvadsomhänderidetta”tågfasta”koordinatsystem.Sålängetågetrörsigraktframochmedkonstanthastighetärproblemettämligenenkelt.Omtågetbörjarbromsauppleverdudetsomenkraftsomvillslungadigframåtitåget.Dettakallasoftaför”tröghet”eller”tröghetskraft”.Detärdockingenkraft idenmeningvisenarekommerattbehandla,utanendastettuttryckförattdetkoordinatsystemsomdubetraktar,nämligendet”tågfasta”,retarderarochduvillfortsättamedoförändradhastig-het(seavsnitt7.4.5)idetfastakoordinatsystemet.Vivetjuallaattjordenrör*sig(roterarruntsinegenaxel,vandrarruntsolenosv.)vilketgörattförvissatillämpningar,t.ex.vidstudieravlångskjutandeartilleri,långskjutanderobotarm.m.måstemanbeaktaattettkoordinatsystemsomsitterfastijordenärettrörligtsystem,somharbådes.k.translationochrotation.Principerfinnsförhuromräkningmellanolikakoordinatsystemskallgöras.IdessasammanhangtalasoftaomCorioliskrafterochCoriolisacceleration.Dettaärdockinga”rik-tiga”krafter�elleraccelerationerutanfaktorersomkommeriniberäkningarnapga.attdetkoordinatsystemvistuderarrörelsenirörsigpåettellerflersätt.
7.4 Tyngdpunktens rörelse – translation
Närmanstuderarenkroppsrörelsedelarmanoftauppdennarörelseitvådelar:
1. Tyngdpunktensrörelse
2. Rörelsekringtyngdpunkten
* Vemsade”…ochändockrörhonsig…”,närochvarför?� Debenämsibland”skenbarakrafter”.
80
Lärobok i militärteknik, vol. 1: Grunder
Detförstadelproblemet,sommanoftastärintresseradav,ärhurettföre-mål,enkropp,rörsigistort,t.ex.hurenprojektilbanagårgenomlufthavetel-lerenrobotflygerfram.(Manantardåinledningsvisattdenkommermed”rättände”först.)Denansatsmangörärattkroppenärenpunktmedsammamassasomdetverkligaföremålethar.Pådennapunktverkarsedanolikakrafter,somkommerattbestämmahurkroppenrörsig.Ivarjekroppfinnsenpunktdärallmassakantänkaskoncentrerad(seavsnitt7.4.3)ochdennapunktkallastyngdpunktellermasscentrumochpunktensrörelsebenämnstranslationsrö-relse.Mantalarocksåemellanåtomenpunktmassaochdessrörelse,vilketärsammasak.
Ovansadesatt”manantogattprojektilenkommedrättändeföre”.Förattsäkerställaattsåärfalletbehövermanstuderahurkroppenroterar,rörel-senrunttyngdpunkten(seavsnitt7.5.4).Inledningsvisbetraktarvinuenbarttyngdpunktensrörelse.
7.4.1 Sträcka,hastighetochacceleration
Omettföremål,en”partikel”(se7.2),rörsiglängsenrätlinjemedkonstanthastighetkanmanbestämmadennahastighetgenomattmätatiden,t,föratttillryggaläggaenvisssträcka,s.Hastigheten,oftabetecknadmedVellerv,ärdenaktuellasträckandivideratmeddenuppmättatiden.Omväntkanalltsåtillryggalagdsträckaberäknassomhastighetmultipliceratmedtiden(medan-tagandenenligtvadsomsadesinledningsvisidettaavsnitt).
Enhetenförhastighetär1 m/s,ochdennastorhetärens.k.härleddstorhet(seavsnitt7.2).Omhastigheteninteärkonstantfåsmedenmätningpåbe-skrivetsättmedelhastigheten.Önskarmanenuppfattningomhurhastighetenförändrasutefterensträckafårman,iprincip,göramätningaröverettstortantalmycketsmåsträckor.
Hastighetenärenvektorvilket innebärattdenkännetecknasavsåvälenstorleksomenriktning.Grafisktillustrerasvektoreroftastmedpilar.
Förändring,ökning,avhastighetenkallasacceleration,ochnegativaccele-ration,alltsåminskningavhastigheten,kallasretardation.Påmotsvarandesättsombeskrevsovankanaccelerationen,omdenärkonstant,beräknasgenomattbestämmahastighetenvidtvåtidpunkterochsedandivideradenuppmättahastighetsförändringenmedtidenmellanmättillfällena.Omväntberäknashas-tighetsökninggenomattmultipliceraaccelerationen(antagenkonstant)medtiden.
Enhetenföracceleration,oftabetecknadmeda,är1 m/s2[=1(m/s)/s],vil-ketliksomhastighetenärenvektorochenhärleddstorhet.
Vidkonstantaccelerationkanhastigheten,V,beräknassomV=V0+at,därV0ärhastighetendåtident=0.
81
Mekanik
Hastighetenkanocksåberäknas somfunktionav sträckan,nämligenge-nomattanvändauttrycket V2 – V0
2 = 2 as,underförutsättningatthastighetenV=V0dåsträckans=0.
Sträckanberäknassoms = 0.5at2 +V0 tunderantagandetattsträckanbör-jarmätasdåtidenbörjarmätas(t=0)ochatthastighetendåärV0.
Merstringentochallmänt,utanantagandeomkonstanthastighetellerac-celeration,kandetnysssagdabeskrivasmedföljande:
V = ds
dts=
Hastigheten,V,ärtidsderivatanavsträckan,s,ochaccelerationen,a,defi-nierassomtidsderivatanavhastigheten(jmf.avsnitt6.8),
a = dV
dtd sdt
= V = s vilket också kan utvecklas till V dVds
2
2=
vilketocksåkanutvecklastill
a = dV
dtd sdt
= V = s vilket också kan utvecklas till V dVds
2
2=
Omväntgäller
V adt
V
V
0
= ∫
resp.
s Vdts
s
0
= ∫
7.4.2 Krafter
Kraftärettabstraktbegreppochsvårtattdefiniera.Inomfysikeniallmänhettalarmanomolikakraftersom”hållerihop”universumistortochismått.Avdessakrafterskallvihärbaradiskuteragravitationskraften.Lagenomgravita-tionskraftenställdesuppavNewtonochsägeratttvåkropparattraherar,drasmot,varandramedenvisskraft.Detärdettafenomensomvikallartyngd-kraftenochsomgörattallaföremålnärajorden”dras”motjordytan.Newtonsgravitationslagsägeratttvåkropparmedmassornam1ochm2ochpåavståndetrmellansigattraherarvarandramedenkraft,F,enl.
F G
m mr1 2
2=
därGärallmännagravitationskonstantensomharvärdet≈ 6.6710–11(Nm2/kg2),sefigur7.1.
82
Lärobok i militärteknik, vol. 1: Grunder
I mekaniken är det yttre krafter, dvs. kraf-tersomt.ex.fårettföremålattrörasigellerändrariktning,somäravintresse.Inoman-dra ämnesområden, t.ex. hållfasthetslära, ärinrekrafterocksåavintresse.Ävenomkraft-begreppetärabstraktharvinogallaengoduppfattningomvadkraftär,t.ex.denkraftsomkrävsförattlyftaettföremålellerdraettföremålöverettgolv.
EnhetenförkraftärNewton, 1 N,vilketärdenkraftsomgermassa1kgaccelerationen1m/s2.KraftenbetecknasoftamedbokstavenF, sorten ellerdimensionenpåNär[kg•m/s2].
EndirekteffektavNewtonsgravitationslagärattvarjeföremålpåellernärajordytanpåverkasavenkraft,riktadmotjordklotetscentrum,somär9.81mN,därmärföremåletsmassa.Värdet9.81,somärettallmäntanväntmedel-värdeochsomoftabetecknasmed”g”,kommerbl.a.avgravitationskonstantenenl.ovan,jordensmassasamtavståndettilljordensmedelpunkt.
Värdet9.81är,somredannämnts,ettmedelvärdesomoftastanvänds.Vär-detvarierarfrån9.83vidpolernatill9.78videkvatornvilketisinturberordelspåavståndtill jordenscentrumdelspå”centrifugalkraften”på jordytan(senedan).Dessutomavtarvärdetpågmedhöjden.Tillyttermeravissofinnslokalavariationer,omänsmå.
Kraftenär,liksomhastighetochaccelerationenvektor,ochharalltsåbådeenstorlekochenriktning.Kraftertillskrivsocksåoftaenangreppspunkt,dvs.enpunktdärkraftenkantänkasangripa.Krafteradderassomvektoreriall-mänhet,vilketkanillustrerasmeddetenklafalletifigur7.2medtvåkraftersomangriperisammapunkt.
m1
F m2
F
Figur 7.1. Två kroppar påverkar varandra med kraften F. (Källa: FHS)
F1
F2
F1
R
F2
Figur 7.2. Två krafter som angriper samma punkt. (Källa: FHS)
Figur 7.3. Resultanten av två krafter. (Källa: FHS)
83
Mekanik
Summanavdessatvåkrafterfåssomdiagonalenidenparallellogramsomkanritasmeddetvåkrafternasomsidor.Summankallasresultantochbeteck-nasiblandmedR(sefigur7.3).
Påmotsvarandesättkankrafteradderas i tredimensioner likvälsomflerkrafterkanadderastillenresultant.
Tidigarehartalatsomkoordinatsystemimekaniken.Enkraft,likvälsomhastighetochacceleration,delasoftastuppikomposanteridetkoordinatsys-temmanvaltattarbetai(sefigur7.4).
En kraft härstammar ofta från en utbredd last, som vattentrycket på endammlucka.Dennautbreddalastomräknasdockimångafall,förmekaniskaberäkningar,tillenkraftsomangriperienvisspunkt.
7.4.3 Tyngdpunkt–masscentrum
Tyngdpunkten,ävenkallatmasscentrum,förenkroppärentänktpunktdärkroppenshelamassaärkoncentrerad.Attanvändadennamodellavenkropphar visat sig ytterst användbart, speciellt när det gäller att beräkna rörelser,energim.m.
Omvisomexempeltänkerossentunnhomogen,jämntjockrektangulärskivaavnågotämne,attvigörettytterstlitethåldärdiagonalernaskärvaran-draochsedanhängeruppskivanpåen”nål”genomdettahålpåenvertikalväggsåattskivanlättkanrotera,finnerviattmankanställaskivanivilketlägesomhelstutanattdenvridersig.
y
Fy F
xFx
Figur 7.4. En kraft F uppdelat i sina komposanter. (Källa: FHS)
Figur 7.5. Tyngdpunkten för en rektangel. (Källa: FHS)
84
Lärobok i militärteknik, vol. 1: Grunder
Tyngdpunkten för denna skivaligger där diagonalerna skär var-andra.
Om vi däremot hänger uppskivan,fortfarandesåattdenlättkanvridasig,kringnågonannanpunktkommerdenalltidattvridasigsåatt tyngdpunktenkommeratt ligga rakt under upphäng-ningspunkten. (Ett undantag
finnsochdetärnärtyngdpunktenliggerraktöverupphängningspunkten,menvidallraminstalillastörningkommerskivanattsnurrasåatttyngdpunktentillslutliggerraktunderupphängningspunktenigen.)Tyngdkraften(jordensdrag-ningskraft)kanalltsåtänkasverkaienendapunkt,nämligentyngdpunkten.
Hurtyngdpunktenberäknasberörsintehär,utanvinöjerossmedatthän-visatillattför”enkla”geometrierfinnsformlerförvartyngdpunktenliggeritabellverkavtypenTEFYMA.*Därfinnsocksådegenerellauttryckenförberäk-ningavtyngdpunktenförmerkompliceradekropparellersystemavkroppar.
Härkanviocksåpåminnaomattettföremålstårstabiltsålängelodlinjengenomtyngdpunktenfallerinnanförstödytan,menstjälperdåsåinteärfallet(sefigur7.6).
7.4.4 Newtonslagar
Allmänt talar man om Newtons tre lagar i mekaniken. Dessa är enligt föl-jande.
• Första lagen: Tröghetslagen
Enkroppförblirivilaellerlikformigrörelsesålängeingayttrekrafterverkarpåkroppenellersummanavallayttrekrafterärnoll.Dennalagsägeralltsåattdetkrävsenkraftförattändraenkroppshastighetoch/ellerrörelseriktning.
• Andra lagen: Accelerationslagen
Ändringenpertidsenhetavenkroppsrörelsemängdärproportionellmotdenverkandekraftenochliggeridennasriktning.
Förstmåstevidefiniera”rörelsemängd”.Medrörelsemängdavsesproduk-tenavenkroppsmassaochhastighet,mV.Inästanallaintressantafallstuderarvi kroppar med konstant massa varvid lagen kan formuleras som kraften =produktenavmassaochacceleration=(massa)•(acceleration),F = ma.Denna
* EttannatexempelärCarlNordlingandJonnyÖsterman,Physics Handbook for Science and Engineering (Lund:Studentlitteratur,2006).
StårstabiltFaller
Figur 7.6. Stabilitet. (Källa: FHS)
85
Mekanik
formelärtroligendenmestgrundläggandeavallasambandinomdynamiken.Urdettafåsattaccelerationenärkraftendivideratmedmassan,a = F/m.Detallmännamatematiskauttrycketlyderenl.följande
F d(mV)
dt=
därmVsåledesärrörelsemängden.Dådetvanligastefalletärattmärkonstantbliruttrycketovan
F m
dVdt
ma= =
Ändringenavrörelsemängdkallasimpuls.Impulsen,I,kan,vidkonstantkraft,beräknassomproduktenavkraftochtid,I = Ft,ellerallmäntsom
I Fdt
o
t
= ∫EnhetenförimpulsärNewtonsekunder, Ns.
Ettfalldärmassanintekanbetraktassomkonstantärvidstudietavraketmo-torerochrobotarmedraketmotorer,därjubränsleförbrännsochtotalamassanminskar.Därfinnsocksåbegreppetimpuls,mendettaberörsintemerhär.*
• Tredje lagen: Lagen om verkan och motverkan
Motvarjekraftsvararenlikastorochmotriktadkraft,reaktionskraft,såattdeömsesidigtmellantvåkropparverkandekrafternaalltidärlikastoraochmot-sattriktade.Dettainnebärt.ex.attdådustårpågolvetpåverkardugolvetmeddintyngd,mg,därmärdinmassaochg≈9.81(enl.ovan)somärriktadnedåt,ochsamtidigtpåverkargolvetdigmedenlikastorkraftsomärriktaduppåt.
7.4.5 Rätlinjigrörelse
Vitänkerosshärattviförenkelhetsskullbararörossutefterenrätlinje.Detsomdågällerförsträcka,hastighetochaccelerationharredogjortsförunder7.4.1.Detsomnuhartillkommitärattvienl.Newtonsandralagkanberäknaaccelerationensstorlek.
Ovanbetecknadessträckanmed”s”.Dåmanoftaarbetarmedkoordinat-systemmedx-,y-ochz-axlarkanvinut.ex. tänkaossattvi rörossutefterendastenavdessaaxlarförslagsvisx-axeln.Detsomdåkommerattgällaär:
a F
mdVdt
V d xdt
x V dVds
2
2= = = = = =
* Isambandmedtryck-ochstötvågsbelastningaravkonstruktionselementförståsmedimpulsoftaprodukten(integralen)avtryckochtid.
86
Lärobok i militärteknik, vol. 1: Grunder
Problem: En JAS 39 står vid banänden. Den väger 12 ton och motornlämnar 80.5 kN dragkraft med tänd efterbrännkammare (ebk). Vilken bliraccelerationen inledningsvis?Hur långrullsträckabehövs förattuppnå lätt-ningshastigheten,Vlätt, somvi antar är250km/timochomvibortser frånluftmotståndetochantarattaccelerationenärkonstant?
Lösning:AccelerationärF/m=80500/12000=6.7[m/s2].FörhastighetengällerV2=2as(förutsattattV0=0)vilketkangörasomtills=V2/2avilketmedinsättning ger (250km/s≈70m/s): s=702/2•6.7≈366[m]. Startsträckanblirsåledesca366m.Viddennahastighetkanmaninteheltbortsefrånluft-motståndet, varför den verkliga startsträckan blir längre. På FMV:s hemsidauppgesstartsträckantill400m,docksägsingetommotsvarandestartvikt.
• Fallrörelse
Ettexempelpårätlinjigrörelsemedkonstantaccelerationärfrittfall.Accele-rationärhäralltidg,som,enl.ovan,antasvara9.81m/s2närajordytan,omvibortserfrånluftmotståndet.
Problem: Manvillvetahurlångtnerdetärtillvattenytaniendjupbrunn.Förattfåenuppskattningavdettasläppermanenstenochmätertidentilldessattmanhörnedslaget.Vibortserviddennaförstauppskattningfrånluftmot-ståndetsinverkanpåfallhastighetenochantarattljudetgåroändligtsnabbtiluften.Tidenmätstill2s.(Kalladenvertikalakoordinatenförz.)
Lösning: z=0.5at2+V0tmeda=9.81 ochV0=0 fås z=0.5•9.81•4≈20[m].Brunnenäralltsåca20mdjup.
• Av varandra oberoende rörelsekomposanter
Denrätlinjigarörelsenenl.ovankansynasutgöraettfåtalspecialfall.Detgårdockattvisaattmångamerkompliceradefallkan lösasgenomattmanbe-traktarrörelsensombeståendeavtvåellerfleravvarandraoberoendelinjärarörelser.Ettexempelkanvaraettflygplansomflygerpåkonstanthöjdmedkonstantfart.Omviantarattplanetvidettvisstögonblickfällerenbombkanbombensrörelsebeskrivassomenrörelseframåt(x-riktningen)medkonstanthastighetochenfallrörelsenedåt(z-riktningen)enligtföregåendeavsnitt,alltunderförutsättningattvibortserfrånluftmotståndet.
På motsvarande sätt kan kulbanan från ett eldrörsvapen beräknas, dockfortfarandeunderantagandetattingetluftmotståndfinns.Dåluftmotståndettasmediberäkningarnablirproblemetväsentligtmerkompliceratbl.a.genomattluftmotståndetsriktninghelatidenvarierar.
Problem: Ettflygplanflygerpå40mhöjdmedhastigheten250m/s.Upp-skattahurlångtföretänktträffpunkten500kgbombskallfällas?
Lösning: Falltidenfrån40märca2.9s,förutsattattbegynnelsehastighetennedåtär0m/s.Massanharingenbetydelseomvibortserfrånluftmotståndet.
87
Mekanik
Alltsåskallbombenfällasca710mföretänktträffpunkt.Ifigur7.7visasentabellöver”fallet”ochvärdenafråntabellenävengrafiskt.
Tid (s) Fallhastighet (m/s) Fallsträcka (m) Höjd (m) Horisontell sträcka (m)
Total hastighet (m/s)
0 0 0 40 0 250
0.4 4 1 39 100 250
0.8 8 3 37 200 250
1.2 12 7 33 300 250
1.6 16 13 27 400 250
2 20 20 20 500 251
2.4 24 28 12 600 251
2.65 26 34 6 662.,5 251
2.75 27 37 3 687.5 251
2.8 27 38 2 700 252
2.85 28 40 0 712.5 252
0 100 200 300 400 500 600 700 8000
10
20
30
40
Höj
d(m
)
Avståndfrånfällningspunkten(m)
0 100 200 300 400 500 600 700 800
0
2
4
Tid
Höjd
Tid
från
fälln
ing
(s)
Figur 7.7. Tabell över fritt fall för en bomb och graf visande den fallande bombens bana och tid. (Källa: FHS)
88
Lärobok i militärteknik, vol. 1: Grunder
7.4.6 Kroklinjigrörelse
Denenklastekroklinjigarörelsenärmåhändacirkeln,låtossdärförstuderaenrencirkelrörelse.EnligtNewtonsförstalagfortsätterenkropp,sominteutsättsförnågrakrafter,ienrätlinjemedkonstanthastighet.Förattfåenkroklinjigrörelsekrävsalltsåenkraft.
Dennakraft,F,ärriktadmotcirkelnscen-trumochkallas centripetalkraft.Låtosstänkaossattdennacirkelrörelseåstadkomsavt.ex.ensläggkastare.”Snöret”manhålleripåver-kardåsläggan/kulanmedkraftenF.SlägganshastighetärV.Vihöroftatalasomcentrifu-galkraft,vilketkansägasvaradenkraftsomslägganpåverkar”snöret”med.
OmFupphörfortsätterslägganicirkel-tangentens,alltsåhastighetens,riktning.(Ettfenomensomkandrabbaävenenvanbilfö-rarevidförstasnöfallet.)
Storleken på kraften F kan beräknas uruttrycketF = mV2/Rdärmärkroppensmassa,VhastighetenochRärradienpåcirkelnsomkroppenrörsigi.
Eftersomkroppenpåverkasavenkraftutsättsdenocksåförenacceleration,idettafallhelatidenriktadmotcirkelnscentrum.dennaaccelerationkallascentripitalacceleration,vilkendåkanberäknassoma = F/m = V2/R.
I sambandmedflygplansoch robotarsprestanda talasoftaomdet antal”g”,lastfaktorn,n,somrobotenellerflygplanetkansvängamed.Dettalsomdånämns är centripitalaccelerationen, somvi justdiskuterat,divideratmedg=9.81,alltsån = V2/Rg.
Sammaformlersomovangällerävenomkroppeninterörsigiencirkelutaninågonannankurvagenomattvarjelitendelavbanankantänkasutgörasavencirkelbågemedenvissradie,R.
Problem: AntagattenJAS39kansvängamed9g.Hurgörpilotensnab-basten180osväng?Skallhan/honhahögellerlåghastighet?Viförutsätteratthan/honhållersammalastfaktorgenomhelasvängensamtbortserfråndentiddetskulletaattaccelereraellerretarderaföresvängen.Ledning:OmkretsenpåenhalvcirkelärπR.
Lösning: Tiden,t,förattsvängaetthalvtvarvärπR/V;samtidigtgällerattn=V2/Rg=9,vilketgert.ex.R=V2/9g.Omdettauttrycksättsinisamban-detförtidenfåst = πV/9g [s].
Avdettaframgårattmanbörhållasålåghastighetsommöjligt(dockgällerdettaunderdenågotkonstladeförutsättningarna).
F
Figur 7.8. Cirkelrörelse hos en kropp. (Källa: FHS)
8�
Mekanik
7.4.7 Friktion
Förattt.ex.draettföremålöverettgolvkrävsenvisskraft.Skälettilldettaärattmellangolvetochföremåletverkarenfriktionskraftimotsattriktningmotrörelsen.
Vitänkerossattvidrarenkroppmedkonstanthastighetöverenplan,ho-risontellyta.Fråganärhurstorkraft,F,krävs.Låtossförstantaattkroppenharmassan=m.Dettainnebärenl.tidigareattkroppenpåverkarytanmedkraftenmg(g=9.81)ochytanpåverkarkroppenmedenkraft,normalkraften,N,somärlikastor.DenkraftsomdåkrävsärF = µN = µmg.
µkallasfriktionskoefficientenochberorpåvilkamaterial,kroppochytabeståravsamtytornasbeskaffenhet.Attmärkaärattkontaktytansstorlekintepåverkarvilkenkraftsomkrävsochejhellermedvilkenhastighetföremåletdras!Däremotkanmankonstateraattförattrörelsenöverhuvudtagetskallbörjakrävsenstörrekraftänvadsomsedanbehövsföratthållakonstanthas-tighet.Avdettaskältalarmanomtvå”olika”friktionskoefficienter,nämligenden”ivila”,oftabetecknadmedµs(sförstatisk),alltsådensombestämmervilkenkraftsomkrävsförattrörelsenskallstarta,ochdenfriktionskoefficientsområdervidrörelse,µk(kförkinetisk).Förfriktionskraftenmellanettfastföremålochenvätskaellergasgällerandraformler.
Härnågraexempelpåfriktionskoefficienter(ettantalfaktorergörattvär-denakanvariera):
Typ av ytor µs µk
Stål mot stål, torrt 0.6 0.4
Stål mot stål, oljigt 0.1 0.05
Stål mot teflon 0.04 0.04
Gummi mot asfalt, torrt 0.9 0.8
Metall mot is 0.02
N=mg
mg
F Ffrikt
Figur 7.9. Friktion mellan golvet och föremålet. (Källa: FHS)
�0
Lärobok i militärteknik, vol. 1: Grunder
Problem: IettproblemovanfrågadesefteraccelerationendåenJAS39star-tade.Frågannuär:Kanpilotendrapåfullgasochtändefterbrännkammare(ebk)utanattplanetbörjarglidapåbanan?Antagµmellangummiochasfaltär0.9(enl.tabellenovan).
Lösning: Ffrikt*≤mgµs=12000•9.81•0.9=105950[N]. Eftersomdragkraftenmedtändebkär80500Növervinnsintefriktionskraften!(Omplanetdäremotintevoresåtungtlastat,sägt.ex.attmaninförenuppvisningpåhemmabasenbarahartankatdelaravvadsomkantassamtinteharnågrayttrelaster.Planetvägerdåca8tonochfriktionskraftenblirmaximaltca70600N.Idettafallskullemotordragkraftenövervinnafriktionskraften.)
7.4.8 Fjädrar–dämpare
Många mekaniska system innehåller fjädrar eller elastiska element som kanbetraktassomfjädrar.Ettgammaltpraktisktinstrumentsombyggerpåfjäderärjufjädervågen.Viantarattviharenmassaupphängdienfjäder.
Denkraftsomkrävsförattflyttamassanavståndet∆LbrukarberäknassomF = k ∆Ldärkärdensk.fjäder-konstantensomberorheltavhurfjä-dern är uppbyggd. Vid beräkningarantasoftastatt”k”ärlikastorobero-ende av omdrar i eller trycker ihopfjädern.Omvibetraktarfjädernovaninnanvihängtditmassanochsedandåmassanhängerdär,dockutanatt
viläggerpånågonytterligarekraft,kommerföljandeattgälla:mg = k ∆LFjädernsförlängningärsåledesproportionellmotmassan.(Omviförmed
ossenfjädervågochettvisstföremåltillmånen,visardåfjädervågenlikastormassapåjordensompåmånen?)�
Fjäderkraftenäralltidriktadimotsattriktningmotfjädernslängdföränd-ring.Ommaniettfallsomovandragitutenfjädermedenmassaochsläpperdensammauppstårensvängningsrörelsekringjämnviktspunkten.Frekvensenpådennasvängningkallasegenfrekvensenochbestämsavmassansstorlekochfjäderkonstanten. Om upphängningspunkten påförs en rörelse med sammafrekvens, om än aldrig så liten, som fjädersvängningen har, uppstår en s.k.egensvängning som teoretiskt slutarmedoändligt stor amplitud. (Antag att
* Friktionskraftenäraldrigstörreändenkraftsomdenmotverkar,dvs.omingenkraftfinnssomförsökerdraovannämndakroppövergolvetfinnshelleringenfriktionskraft.
� Fjädervågen visar egentligen inte massan utan tyngden, som på månen är mindre än påjorden.
∆L
Figur 7.10. Fjädrar. (Källa: FHS)
�1
Mekanik
massanochfjädernärupphängditaket.Ivåningenovanförbörjarmandansajenka.Detgällerdåatttakteninteöverensstämmermedegenfrekvensen.*Det-taärocksåskälettillatttruppaldrigskallmarscheraitaktöverenbro!)
Genomattutgå frånde sambandvi talatom tidigarekanmanbeskrivakroppenspositionochrörelse.Underantagandeattfjäderndragitsutlängdenxipositivx-riktningerhålles
F = ma = mx = -kx därxsedankanlösasutochkroppenssvängningsrörelsebeskrivsav
x b sin( k
mt )= + α
därb ochα är valfria konstanter.Urdetta kandå för den s.k. harmoniskasvängningenvinkelhastighetenbestämmassom√k/m,frekvensenblirdärav
f 1
2km
och perioden T = 2 mk
=π
π
Iett idealfall skulleen svängning,orsakadavattenfjäderbelastadmassaförtsursittjämviktsläge,pågåialloändlighet.Iverklighetenfinnsalltidens.k.dämpning,oftaavsiktligtinförd(jmf.stötdämparepåbil).Dämpkraftenver-karalltidimotsattriktningmotrörelsen/hastighetenochärproportionellmothastigheten,tillskillnadfrånfjäderkraftensomärproportionellmotläget.
7.5 Rörelse kring tyngdpunkten – rotation
Om vi betraktar fallet ovan, när tyngdpunkt diskuterades och där vi på envertikalvägghängdeuppenskivagenomsintyngdpunktochdåfannattski-vankundeintavilketlägesomhelstochförblidär,ochiställettänkerossattvihängerdeninågonannanpunkt.Denkommerdåatt,somnämndesredantidigare,attroteraförattintaett jämviktsläge.Hurdennarotationskerochvadsombestämmerhurdenroterar skallvinu(mycketkortochförenklat)beskriva.
7.5.1 Moment
Vitänkerossenkraft,F,ochenpunkt,O,isidansplan.KraftenFgenererarnuettmoment,M,runtpunktenO.Momentetsstor-
lekär M = Fr därrärdetvinkelrättaavståndet(=minsta)frånkraftensriktningtillpunktenO.
* ”…klockanärlångteftertolv…dåslårdetmigplötsligtattmitttakärnågonannansgolv”,AlfHenriksson.
�2
Lärobok i militärteknik, vol. 1: Grunder
EnhetenförmomentärNewtonmeter, Nm,ochmomentetär,liksomkraf-ten,envektor,varsriktningidettafallärvinkelrättmotplanetsomkraftenochpunktenliggeri,idettafallsidansplanochriktadinåt(”korkskruvsregeln”).
7.5.2 Tröghetsmoment
Förattkunnaberäknarotationsrörelsenbehöverkroppenbeskrivasmedmeränenbartmassa,vilketärvadvigjorthittills.Manbehöverhärocksåpånågotsättbeskrivahurkroppensmassafördelas.Dettagörsgenomdets.k.tröghets-momentet,vanligenbetecknatmedIellerJ.Oftastberäknaströghetsmomentetrunttremotvarandravinkelrätaaxlar,varvidt.ex.beteckningarnaIx,IyochIzanvänds.Härgesendastettmycketenkeltexempelpåhurtröghetsmomentetberäknasförentänktkonfigurationbeståendeavtvåmasspunktermedvarderamassanmochpåavståndet2rfrånvarandra.
Tröghetsmomentet, I, runt den streckadelinjen, som går genom tyngdpunkten, blirI = 2 mr2.Tröghetsmomentetbeskriversåledesnågotomhurmassanärfördelad.Här,liksomi fallet tyngdpunkten, hänvisas till tabellverkavtypenTEFYMAförattdärfinnavärdenpåtröghetsmomentförvissaenklaregeometriskakonfigurationer samt vissa beräkningsregler.
AllmäntgällerattI = ∫r2dmdärrärvinkelrätaavståndet fråndenaxel,kringvilkentröghetsmomentetstuderas,tillettlitetmasselement,dm.
Iblandtalarmanomtröghetsradie,r,vilkendefinierassom I = r2mvilketkanutvecklastill
I r m vilket kan utvecklas till r = I
m2=
Intesällantalarmanomhuvudtröghetsaxlarochhuvudtröghetsmoment.Fördetfallviharenkroppmedenellerflerasymmetriaxlarutgördessahuvud-tröghetsaxlar,ochtröghetsmomentenkringdessaärhuvudtröghetsmoment.
F
OM
r
Figur 7.11. Moment. (Källa: FHS)
r
m m
Figur 7.12. Tröghetsmoment. (Källa: FHS)
�3
Mekanik
7.5.3 Rotationsacceleration,rotationshastighetochvinkel
Dåenkropproterarkringenaxelhardenenvissvinkelhastighet,betecknadt.ex.medω.Omvinkelhastighetenbetecknasmedω såbetecknasvinkelac-celerationenmedω.Beteckningarförvinkelvarierarmycketsomt.ex.α,β,δ,ϕ och θ.Vinkelhastigheterna kan då betecknas med aktuell variabel medenpunktöverochvinkelaccelerationernamedtvåpunkteröver.Enhetenförvinkel är1 radian, 1 rad (jmfavsnitt6.12), enheten förvinkelhastighet är1 rad/s,eller1/s,ochenhetenförvinkelaccelerationärföljaktligen1 rad/s2,el-ler1/s2.Såvälvinkelhastighetensomvinkelaccelerationenärvektorstorheter.
Analogt med vad som gällde för acceleration, hastighet och sträcka vidtranslationsrörelse(seavsnitt7.4.1)gällerhärsammasakerförvinkelhastighetochvinkel.
Vinkelmåttet1rad(radian)definierasavattettvarvär2πradianer.(Mått-tetärmåhändamerkäntsommilliradianerellerstreck,alltså0.001radianer.ISverigeharmantidigareräknatmedattpåettvarvgår6300streckmedanmaniNato-länderräknatmed6400streckpåettvarv.)
7.5.4 Rotationsrörelse
Storalikheterrådervadgällerekvatio-nerförvinkelrörelseochtranslationsrö-relse,vilketvisasnedan.Låtossinled-ningsvis ta ett enkelt exempel. Antagattviharettsvänghjulsomskalldrasigång. Detta görs genom att en kraftanbringas vid hjulets periferi , t.ex.startsnörettillengräsklipparmotor.
Kraften, F, ger ett moment kringsvänghjuletsaxel, somantasvaravin-kelrätt mot papprets plan. Vi tänkeross att svänghjulets tröghetsmomentrunt samma axel är I. Då kraften F
läggspåbörjarhjuletrotera.Rotationsaccelerationenkandåberäknassom:
M=Idωdt
=Iώ
eller
ώ= MI
underförutsättningattIärkonstant,vilketärdetipraktikenvanligastföre-kommandefallet.
M
F
Figur 7.13. Kraft som ger upphov till ett moment. (Källa: FHS)
�4
Lärobok i militärteknik, vol. 1: Grunder
OmdessutomMärkonstantochalltsåvinkelaccelerationenkonstant,fåsvinkelhastigheten somω = ώt och vinkel, kalla den i detta fall för ϕ, somϕ=ωt.
Ovanstående formler härleds från det allmänna uttrycket för sambandetmellanmomentochrörelsemängdsmomentnämligen
M d(I )
dt=
ω
därsåledesproduktenavtröghetsmomentochvinkelhastighet,Iω,kallasrörel-semängdsmoment.UnderförutsättningattIärkonstantbliruttrycket
M I d( )
dt= =
ωωI
OmmomentetM = 0kommerrörelsemängdsmomentetattvarakonstant,såomt.ex.tröghetsmomentetminskarökarrotationshastigheten.Dettavisastydligtav”skridskoprinsessan”sommedutsträcktaarmarharenvissrotations-hastighetpåisen.Närhonsedandrarinarmarnaochpåsåsättminskartrög-hetsmomentetökarrotationshastigheten!
7.5.5 Omgyron
Ett (tungt) gyro är en kropp som kännetecknas av att tröghetsmomentetkringen(huvudtröghets)axelärmycketstörreänruntdetvåandra(huvud-tröghets)axlarna.Dennakroppgesenmyckethögrotationshastighetruntdenhuvudtröghetsaxelsomharstörsttröghetsmoment.
Ettgyrovillalltidförblimedrotationsaxelnisammariktning.Dettaan-vänds för att bygga plattformar som vinkelmässigt ”ligger stilla” då t.ex. enfarkostdesitterirörsig.
Gyronhardessutomdenegenskapenatt,omvi tänkeross ett gyro somroterarkringenvertikalaxel,enl.figur7.14,ochsompåförsettmoment,M,runtenaxelvinkelrättmotrotationsaxelnochriktadiniparetsplansåkom-mer inte gyrots rotationsaxel att vrida sig kring denna axel utan strävar attvridasigkringenaxel(A – Aifiguren)vinkelrättmotdessabådaaxlar.Detta
MA A
Figur 7.14. Princip för ett gyro. (Källa: FHS)
�5
Mekanik
fenomenkananvändasförattbyggaplattformarsomärskrovfasta.Genomattmätademomentsomuppkommerdågyrottvingasvridasigkanmanberäknahuren”rymdfastplattform”skullehaståttochpåsåsättfåsammainformationsommedenrörligplattform.
Attvitalarom”tungtgyro”berorpåattidagenslägefinnsandratyperavgyronsomt.ex.lasergyron,mendet”tungagyrot”ärursprunget.
7.5.6 Torsionsfjädrar
Tidigarehar talats omfjädrarochdå avsågs främstfjädrar av typen ”spiral-fjädrar”.En stav somvridskring sin längdaxel, kanocksåbetraktas somenfjäderochmantalardåom”torsionsfjäder”.
Fördennatypavfjädrargälleriprincipsammasomförspiralfjädermenmeddenskillnadenattiställetför”fjäderförlängningen”∆xbetraktarmanen”vinkelförändring”,t.ex.∆ϕ.
7.6 Arbete – energi – effekt
Låtossförstgöraenlitenutvikninggenomattcitera”termodynamikensförstahuvudsats”somsäger:”Energikanvarkenskapasellerförstöras.”*
Energin förstörs alltså inteutanomvandlasmellanolika typeravenergi.Inommekanikenkommerviidetföljandeattberöraettpartyperavenergisomärintimtförknippademeddetsomvihittillstalatom.Utöverdettafinnsett stort antal energiformer som t.ex. elektrisk energi, värmeenergi, kemisktbundenenergim.m.
Omettföremålskallförflyttaskrävsiallmänhetettarbeteförattgöradet-ta.Låtosstatvåexempel.Omvidrarettföremålövergolvetmedkonstanthastighetmåstevidramedenvisskonstantkraft,F,somexaktkompenserarfriktionskraften.
Antagattviförflyttatkroppensträckans.DetarbetesomvidåutförtärFs.AlltsåarbetetW,definierassomW = Fseller”arbetetärproduktenavkraftens
* Dettagälldeändatillsmanbörjademedt.ex.kärnklyvningardåmassaomvandlastillenergienligt formlersomredovisatsavEinstein.Såförpraktiskt”vardagsbruk”gäller fortfarandedennaförstahuvudsats.
s
F
Figur 7.15. En kropp rör sig längs ett golv. (Källa: FHS)
�6
Lärobok i militärteknik, vol. 1: Grunder
projektionpåvägenochtillryggalagdsträcka”.Dettainnebärattomvisläparettföremålöverettgolviettrepärdetbaradendelavkraftensomärparallellmedgolvet,Fx,som”bidrar”tillarbetet,detärjubaradennakomposantsomövervinnerfriktionskraften.
Allmänt gäller attW = Fds.Låtoss tänkaoss attman lyfter ett föremål,varsmassa ärmkg, sträckanhm.Denkraft somkrävs fördetta ärmg N,vilketinnebärattdetarbetesomkrävsfåssomW = mgh.Enhetenförarbeteär1 Joule, 1 J,(=Nm[Newtonmeter]).*EnvanligbeteckningförarbeteärW.Arbeteärenformavenergi.
Mankandåit.ex.detsenarefalletfrågasigivilkenformenerginomvandlatsdåmanlyfterettföremål.Svaretärattdetnedlagdaarbetetåterfinnssompo-tentiellenergiellerlägesenergihoskroppen.Denpotentiellaenerginharaldrignågotabsolutbelopputanangesalltidförhållandetillnågotreferensplan.Ifalletdärvitänkerossattvilyfterettföremålfrånettgolvärdetlogiskt,menintenödvändigt,atthagolvetsomreferensplanochattdärmedärdenpotentiellaenergindär= 0.(Dettainnebärocksåattpotentiellenergikanvaranegativ.)
Omvitänkerossattvisläpperkroppenvilyft.Denkommerdåattbörjafallaenligtvadsomavhandlatstidigare.Nuomvandlasdenpotentiellaenergintillkinetiskenergieller rörelseenergi.Förattvaraexaktbörmöjligendennaformavrörelseenergibetecknassomtranslationsenergi,eftersomdenärdirektförknippadmedtyngdpunktensrörelse,translationen.DenkinetiskaenerginbetecknasoftamedTochenhetenärsomförallaenergiformerJoule.
Hur beräknas då translationsenergin? Det går att visa att den ärWtransl = ½mV2där,somtidigare,Värtyngdpunktenshastighetochmkrop-pensmassa.
Omviåtergårtilldettänktafalletdåviförstlyfterettföremålsträckanh(t.ex.överettgolv)ochsedansläpperdetsamma,såskallallpotentiellenergihaomvandlatstillrörelseenergidåföremåletåternårgolvet,alltså½mV2 = mgh.UrdettakanhastighetendåföremåletnårgolvetberäknassomV = √2gh.(Omkroppenfallerenlängresträckaänavståndettillgolvet,t.ex.genomattmangårframtillettfönsterochsläpperden,ärhdetavståndsomkroppenfallit.)
* Tidigarevarenhetenförvärmeenergikalorier(kilokalorier)varvidenomräkningsfaktormåsteinförasvidövergångfrånellertillvärmeenergi.GenomattkonsekventanvändaSI-systemetbehövsingasådanaomräkningstal!
s
FW=FxsFx
Figur 7.16. Kraften F uppdelat på en komposant. (Källa: FHS)
�7
Mekanik
Problem: Tidigarehadeviettproblemmedattmätadjupetpåenbrunn.Beräknapåtvåsätthastighetensomstenendusläpperhardådennårvatteny-tanunderantagandeavattluftmotståndetkanförsummas.
Lösning:Idettidigareexempletsadesattfalltidenvar2 sochbrunnensdjupca20 m.DettagerV = V0 + atmenV0 = 0alltsåV = 9.81 • 2 = 19.6 [m/s]el-lerV = √2gh = √2 • 9.81 • 20 = 19.8 [m/s](brunnenvarinteexakt20 m!).
Vihartidigarekortdiskuteratfjäderkrafter.Underantagandeavenidealfjäderkanmanocksåberäknadenenergi somlagras ifjäderndådentrycksihopellerdrasut!DennaenergiblirWfjäder = ½kx2underantagandetattfjä-derntrycktsihop/drasutsträckanxfrånett”viloläge”.
Förentorsionsfjädergällermotsvarandemenmedenvinkelsomersätterförändringenilängdsamtdendåaktuellafjäderkonstanten.
Enroterandekropp,t.ex.engyrosnurraellerenroterandegranat,harocksåenrotationsenergi.DennaenergiberäknassomWrot = ½Iω2därIärtröghets-momentetruntrotationsaxelnochωrotationshastighetenruntsammaaxel.
Denenergisomutvecklaspertidsenhetkallaseffekt.Enhetenföreffektär1 watt, 1 W (= 1 J/s = 1 Nm/s).EffektenbetecknasoftamedPochkanbe-räknassomP = FVdärFärkraftenochVärhastigheten.VidkonstanteffektgällerW = Pt.
Detallmännauttrycketärannars
P= dWdt
eller
W Pdt= ∫
��
8. Hållfasthet
8.1 Allmänt om hållfasthet
Mekanikenbehandlaroftastkropparsomstelaochbeskriverdärmedintevadsomhänderinutikropparnanärdeutsättsförkrafterellermoment.Mångaavdekropparsomåterfinnsimekanikexempelärinteheltstela,t.ex.enbiländrarform,ellerdeformeras,underettaccelerationsförlopp.Förattkunnastuderahurochhurmycketbilenändrarformochomdetinnebärattdenriskerarattgåsöndersåbehövskunskapihållfasthet.Hållfasthetbeskrivernämligenhurenkropp,ellerkonstruktion,betersignärdenbelastas.Frågorsomhållfast-hetsberäkningaroftasvararpåär:
• Hurkommerkonstruktionenattdeformeras?
• Kommerdeformationenattkvarstå?
• Kommerkonstruktionenattgåsönder?
• Varkommerkonstruktionenattgåsönder?
Enförutsättning förattkunnasvarapådessa frågorärattmanvetvilkakrafterkonstruktionenkommerattutsättasför.Dettarmanoftastredapåmedhjälpavmätningarochstatistik,ellermedhjälpavberäkningarpåtillexempelaccelerationerelleromgivandetryck.
Förattkunnabestämmavadsomhändermedkonstruktionenmåstemanvetavadsomhändermedrespektivedelochdärmedmåstemanvetavadsomhänderinutit.ex.plåtenellerbalken.
100
Lärobok i militärteknik, vol. 1: Grunder
8.2 Hookes lag
Tvåcentralabegrepp för attbeskrivavad somhänder inuti ettmaterialnärdetutsättsförkrafterärnormalspänningochtöjning.Normalspänningenkanantingen vara i drag eller tryck och beskriver hur kraften fördelar sig inutikroppen.
Normalspänningbetecknasmeddengrekiskabokstavenσ(sigma)ochharenhetenN/m2.Figur8.1visarattienstångsomutsättsförendragkraftFsåblirdetdragspänningenσ=F/Ainuti.EnhetenförnormalspänningärPascal(Pa),detvillsägasammaenhetsomtrycksomocksåärkraftperytenhet.Ifalletovanärdetenkeltattberäknanormalspänningenochdenärlikastoröveralltistången.Ideflestafallsåvarierardocknormalspänningenavsevärtberoendepåvilkenpunktifigurersomäraktuell.Tillexempelomstångenskullehaensmalaremidjadärtvärsnittsareanskullevara5gångermindresåskullenormal-spänningenimidjanvara5gångerstörre.
Töjningbeskriverhurmycketmaterialetdeformeras:omtöjningenärposi-tivsåförlängsmaterialetochomtöjningenärnegativsåblirdetkortare.
OmstångenvarLlånginnankraftenlaspåsåblirstångennågotlängrenärdenutsättsförkraftenF.Töjningenεkandåberäknasgenomattdelalängdför-ändringen(x–L)meddenursprungligalängden.ε=(x–L)/L(sefigur8.2).
Hookes lagbeskriverhurnormalspänningochtöjningberoravvarandraförettspecifiktmaterial:E = σ / ε
E,elasticitetsmodulen,ärenmaterialparameter,somt.ex.kanslåsuppienmaterialtabell.Dvs.attommanvetvilketmaterialdetärochvilkentöjning
a) FF
b) F =F/A
Tvärsnittsarea=A
Figur 8.1. En stång som utsätts för en dragkraft F. (Källa: FHS)
c) FFTvärsnittsarea=A
x
Figur 8.2. En stång utsätts för kraften F. (Källa: FHS)
101
Hållfasthet
Vidlåganormalspänningar,detvill sägasvagadragkrafter,är töjningenidetelastiskaområdet.Detinnebäratttöjningengårtillbakaommantarbortkraften.Närkraftenökaskommertöjningenattövergåtillplastisktöjningochdärmedkvarståävenomkraftentasbort.Närnormalspänningennårsträck-gränsenkommertöjningenatthastigtöka.Maximalnormalspänningsomma-terialettålkallasbrottgräns.
Lutningenpålinjenbestämsavelasticitetsmoduleninomdetelastiskaom-rådet.Normaltkonstruerarmantillexempelettfordonsåattnormalspänning-enaldrigkommernärasträckgränsenochattalldeformationskeridetelastiskaområdet.Ävenomkonstruktionenfortfarandehållerihopvidsträckgränsensåkommerdeninteattfungerapåsammasättsominnan.
8.4 Böjning
Deflestakonstruktionerinnehållernågontypavbalkarsomutsättsförmo-mentochdärmedböjsnågot.T.ex.hardeflestasetthurenflygplansvinge,somhållfasthetsmässigtärenbalk,böjsuppåtnärfartenökarinnanstart.Ocksåpå
Elastisktområde
Plastisktområde
Brottgräns
Sträckgräns
Figur 8.3. Förhållandet mellan normalspänning och töjning. (Källa: FHS)
detärsåkanmanberäknanormalspänningenellerberäknatöjningenommaniställetkännernormalspänningen.Elasticitetsmodulenförstålär211GPa.
8.3 Dragbrott
Ommandrarienstålstavenligtfigur8.2kommerdenattslutligengåsönder.Figur8.3beskriver förhållandetmellannormalspänningoch töjning viddetförloppet.
102
Lärobok i militärteknik, vol. 1: Grunder
Närenbalkpågrundavkrafterellermomentböjstvingaslängdenpåöver-ochunderdelenavbalkenattändralängd.
Ombalkenböjsnerpåmittenkommerdenövredelenblinågotkortareochdenundrenågot längre.Dvs.attvi får tryckspänningar iöverdelenochdragspänningariunderdelen.Hurstoradessanormalspänningarochhurut-böjningenblirberorpåhurstorkraftenär,menocksåpåhurbalkenserut.
8.5 Beräkningsmetoder
Deflestakonstruktionersomtasframidagärkompliceradeochdekraftersomdeutsättsförkanvaramånga.Dettainnebärattdetsällanärmöjligtattberäk-nadettaförhand.Konstruktionenmåstebeskrivasmycketdetaljeratinågontypavberäkningsprogram.Sedanmåsteävendeaktuellakrafternabeskrivasiprogrammetförattprogrammetsedanskallkunnaberäknaderesulterandepåfrestningarnaochdeformationerna.
Detärrelativt lättatt fåut färggladabilderurdessaberäkningsprogram,mendetkrävsmycketkunskapförattgörabeskrivningenavkonstruktionernaochkrafternatillräckligtbra.
8.6 Konstruktionsmaterial
Detvanligastekonstruktionsmaterialetärolikatyperavmetalliskalegeringarsåsomt.ex.stålochmässing.Dessalegeringarblandasolikaberoendepåvilkahållfasthetsegenskapermanvillhaut.T.ex.skallettstålsomanvändsifjädrarhaettstortelastisktområde,dvs.deskalltålastoradeformationermenändåfjädratillbaka.Däremotanvändermanenmjukmetalltillgördlarpågranater;gördelntätarmellangranatochrörmenmåstetillåtaattröretsbommargörspårimaterialet.Gördlartillverkasdärföroftaikopparsombådeharenlågsträckgränsoch lågelasticitetsmodulochdärmed tidigtdeformerasavbom-marnautanattförstöraröret.
F
Figur 8.4. Böjning av en balk. (Källa: FHS)
fartygochfordonfinnsdetmångabådestoraochsmåbalkar.Broarärandrabraexempelpåbalkar.
103
Hållfasthet
Kerameräroftastenhögelasticitetsmodul,dvs.deärstyvaochdetkrävshöganormalspänningarförattuppnåmycketsmådeformationer.Kerameran-vändsdärföroftaiskyddsapplikationer.
Idaganvändsävenmångaolikatyperavplaster.Dessakanhamycketvarie-randehållfasthetsegenskaperochdärmedverkligenskapasförettspecifiktsyfte.Kompositerinnebärattmanblandarolikatyperavmaterialförattuppnånyamaterialegenskaper.Detfinnsdärförmångaolika typer avkompositer, t.ex.kompositersominnehållerbådekeramerochmetaller.Detvanligasteärdockattmanmenarenkompositsombeståravnågontypavfiberochenpolymer,polymerafiberkompositer.Glasfiberarmeradplastärenpolymerfiberkompositdärglasfiberomslutsavhärdplastenpolyester.Fördelenmeddessapolymerafi-berkompositerärattfiberärmycketdragstyvochmandåkanläggadessafibreridenriktningdärmanförväntarsigstoradragspänningar.
Detfinnsävenandrafaktorersompåverkarmaterialochderashållfasthet;denviktigasteärtemperatursomdrastisktkanpåverkamaterialetsfunktion.Mångamaterialblirsprödavidlågatemperaturerochmjuknarvidhöga.
105
9. Aerodynamik
Aerobetyderluftochdynamikrörelsesåidettakapitelskallvitittanärmarepåhurluftensrörelsepåverkarolikafarkoster.Aerostater,dvs.farkostersomärlättareänluft,kommerviinteattbehandlaingåendeidennabok.Förutomfastförankradeaerostater,såkalladespärrballonger,kanmankonstateraattut-vecklingeninomdettaområde(2006)gårmotluftskeppsomskallkunnaliggapåmyckethöghöjd(12–20km,dvs.ovanförvanligttrafikflyg)underlångtid.Dettalasomtiderpåupptill5årigeostationärposition,ochdessaskulleisåfallbliettalternativtillsatelliter.Detpågårocksåforskningpåhybridfarkostersomfårca80%avsinlyftkraftsomenaerostatochresterandedelavrörelsesometttraditionelltflygplan.
Förattunderlättaframställningenkommernågraantagandeattgöras.Detförstaärattluftenärettkontinuum,dvs.attviintetittarpåenskildaluftmole-kylerutananserluftenvarahomogen.Dettaärnormaltenbraapproximationsålängemanintetittarpåfysisktmycketsmåsakersomgasturbinersomärimillimeterstorlek.Detfungerarintehellerpåhöghöjdvidgränsentillrymdendärdetärlångtmellanluftmolekylernaochdeträffarenfarkostslumpmässigt.
9.1 Olika hastigheter med olika krav
Ommanstickeruthandengenomsidorutanpåettfordonnärdettahargodfart kanmankänna att den aerodynamiska världen inte är linjär.Ommant.ex.provaratthållauthanden i30,60och90km/hkännermanattmot-ståndetinteökarlinjärt,dvs.attskillnadenmellan60och30km/hskullevaralikastorsomskillnadenmellan90och60km/h.Dettaförutsätternaturligt-visattduhållerhandenpåsammasättunderdittempiriskaförsöksamtatt
106
Lärobok i militärteknik, vol. 1: Grunder
eventuellvindintevarierarinågonstörreomfattning.Detvisarsigattskill-nadensnarareärkvadratiskt,dvs.motståndetärcirka4ggrhögrei60km/hjämförtmed30km/hochhela9ggrhögrevid90km/h.Dettakallasdetdy-namiskatrycket, ∞q ochdetkanmatematisktbeskrivasav
2
21 Vq ρ=∞
därρärluftensdensitet(ca1.23kg/m3vid15°Cochhavsnivå)ochVbeteck-nar(friströms-)hastigheten.HärärdetocksåpåplatsattpresenteradetsomkallasBernoullis ekvation (trots attdetvarLeonardEuler sompresenteradedenförst):
konstant
21 2 =+ Vp ρ
dvs. att summan av det statiska trycket, ρ och det dynamiska trycket, ∞q enligtovanärkonstant.
Dagsförnyaförsök.Ommankörimotorvägsfartochöppnarsidorutanhastigtkännermanattdetryckertillitrumhinnorna.Dettaberorliteförenklatpåattdetdynamiskatrycketutanförrutanärhögreäninutibilen(därV=0)tyluftströmmenutanförharenhastighetochdetstatiskatrycketmåstedärförminskaförattsummanskallförblikonstant.
Vidarebrukarmandelainaerodynamikiolikaområdenbaseratpådens.k.Machtalet,vilketdefinierassom
∞
=aVM
där ∞a är ljudhastigheten(ca340m/svid15°Cochhavsnivå).NoteraattMachtaletkanvarabådestörreochmindreänett.Detharnämligenvisatsigatt det är stora skillnader i vilka verktyg och matematiska modeller som ärlämpligavidolikaMachtal.Mycket förenklatkanmansägaattvidM<0.3så är det relativt enkelt att förutsäga aerodynamiska prestanda och man ta-lar om inkompressibel strömning,dvs. densiteten antas konstant.Detfinnsmycket experimentella data för detta område och fram till strax före andravärldskrigetvardettahastighetsområdetmanbefann sig imedflygande far-koster.Vid0.3<M<0.8ärdetsvårareattförutsägaluftströmningenochvid0.8<M<1.2ärdetriktigtbesvärligt.Dettafartområdekallasdettransoniskaområdet,dvs.omslagetmellanunder-ochöverljudsströmning.Någotförvå-nandevisardetsigsedanattvidsupersoniskströmning1.2<M<5såärdetrelativtenkeltattutföraberäkningar.Inomdettafartområdeärdestörstapro-blemen normalt uppvärmningen av flygkroppen. Vid så kallad hypersoniskströmning, M<5, börjar man få nya problemställningar, bland annat medmyckethögatemperaturer.HuruppnårmandåriktigthögaMachtal?Ettsätt
107
Aerodynamik
ärattflygamycketfortpålåghöjd,ettannatärattflygarelativtfortdärluftenärtunn,dvs.påhöghöjd,därljudhastighetenärlåg.Ettbraexempelutgörsavenrymdfärjasåterinträdeiatmosfären.LäsarenombedsdärförattkommaihågattMachtalärettrelativthastighetsbegreppochintedirektöversättningsbarttillkm/h.
9.2 Under- och överljudsströmning
Inledningsviskanmanfunderaövergripandevaddetärsomskiljerdessatvådisciplineråt.Försttänkerviossenstackarsluftmolekylsomhängerstillochfunderarmittidetoändligalufthavet.Luftmolekylerhargenerelltmycketdå-lig syn och kan inte tillgodogöra sig den elektrooptiska informationen somfärdasmedljusetshastighet.OmenprojektilnukommeråkandeiM<1,dvs.underljudströmning får luftmolekylen informationen via sina kollegor medljudetshastighetattnågotärpågångochhartidattmakapåsig.OmiställetprojektilenfärdasiM>1får luftmolekyleningenförvarningdåinformatio-nenintekanfärdassnabbareänljudhastighetenochsålunda”smällerdetbaratill”fördenintetontanandeluftmolekylen.Mycketförenklatkanmanocksåsägaattdetärpågrundavdettaenljudbanguppkommer.Dethänderväldigtmycketichockvågen,somtypisktärnågontiotusendelsmillimetertunn,dettabehandlasdockinteidennabok.
9.3 Hur uppkommer lyftkraft och luftmotstånd?
Detfinnsmångaolikateorierkringdetta,mendenenklasteärdensomba-seras på Newtons teorier. Först måste man inse att en vinge som genererarlyftkraftavlänkarflödetbakomsig.Därföraccelereras(luft-)flödetnedåtochenligtNewtonsandralaguppkommerenkraftsomärdirektproportionellmotaccelerationen(F = ma).BaseratpåNewtonstredjelagomkraftochmotkraft(seavsnitt7.4.4)uppkommernuenlikastorochmotriktadkraftpåvingensompressardenuppåt.Dennadelkallaslyftkraft.Ikorthetkanmansägaattomenvingesomavlänkarenluftströmmedenvisskraft,uppstårenlikastorochmotriktadkraftpåvingen.
Lyftkraftskoefficientenärettuttrycksomoftaanvändsförattkunnajäm-föralyftkraftvidolikahastigheterpåettenkeltsätt,dennadefinierassom
SqLCL∞
=
därSärnågonreferensytaföreträdesvisvingarean.Lyftkraften,Lharettganskasjälvbeskrivandenamnochdenges(inomrimligagränser)av αα,LCL = somberorpådensåkalladeanfallsvinkeln,α.
108
Lärobok i militärteknik, vol. 1: Grunder
Ifigur9.1kanmanselyftkraftskoefficientensomfunktionavanfallsvin-keln.Hurdettasamspelskerbeskrivsav α,LC somkanutläsassomlutningenpåkurvan.Förenoändligtlångvingeiidealströmningär α,LC =2π≈6.28ochomnågonpåstår sigkommanäraelleröverstigadettavärdebör läsarenkontakta expertis för att utredapåståendet.Vidare kanmanurfigur9.1 sehurenfarkosttapparlyftkraftnärmanpasserarettvisstvärdepåanfallsvinkel,dettakallasattvingenstallar(uttalas”stålar”).Omdettaskersnabbtharföra-reningenchansattkompenseraochflygplanettapparmyckethöjdpåkorttid.Dettaärnaturligtvisproblematisktommanbefinnersigpålåghöjd.Omdetskergradvisupplevsplanetsomsnällaredåförarenhartidattreagera.
Vadärdetdåsomorsakarstall?Enförenkladförklaringsynsifigur9.2.Ibildaharvianliggandeströmningochenanfallsvinkelpåca5graderochsomsynesavlänkasflödetnågotvilketgerupphovtilllyftkraft.Ibildbäranfallsvin-kelnförstorsåströmningenkaninteliggakvarutansläppervingprofilenoch
C
C
anfallsvinkel
”snällt” flygplan
”elakt” flygplan
L,max
L
Figur 9.1. Lyftkraftskoefficient som funktion av anfallsvinkel. (Källa: FHS)
(a) (b)
Figur 9.2. Anliggande och avlöst strömning. (Källa: FHS)
10�
Aerodynamik
därförblirdetingenordnadavlänkning.Resultatetblirdrastisktlägrelyftkraftochettkraftigtökatmotstånd.
Det somavhandlatshittillskallas tvådimensionell (2D) strömning förvihartittatpåvingarsomvarit”oändligt”långa.Vadhänderdåideverkligafal-lendärströmningenärtredimensionell(3D)?
Denstörstaskillnadenärettfenomensomuppstårfrånalla lyftproduce-randevingar,ändvirvlar,illustreratifigur9.3.Storaochtungaflygplanmedhögvingbelastninggerupphovtillännukraftigarevirvlar.Ommanvillprovasjälvkanmanvidpaddlingit.ex.enkajak,sedennavirvelbildningvidpad-delnommantarilite…Påsammasättuppkommervirvlarefterettstartandepassagerarflygplan.Detkansynasharmlöstmedliteluftsomsnurrarruntmenkrafteniensådanvirvelsomkommerfrånt.ex.ettstortplanmedenstartviktpårunt500ton,ärenorm,kraften ivarjevirvelmotsvararattmandrarsinpaddelmedmotsvarande250tonskraft.Normaltvandrardessavirvlarisid-ledochmattasavefterhandpågrundavfriktion.Omdetärvindstillaellerbarasvagasidovindarkanvirvlarnadockbliliggandeöverstartbanan.Detharhäntattflygplanheltsonikahamnatpåryggdådekört/flugitininågotannatflygplansändvirvlar.Dettaärocksåanledningentillattmanharenrelativlångtidssepareringmellanflygplansomskallstartapåvanligaflygplatser.Dennatidökasspecielltvidlugntväderochsvagsidovind.Virvlarnaupplösessnabbastistarkochturbulentvind.
Figur 9.3. Ändvirvlar efter ett litet jetflygplan. (Foto: © Steve Morris, Air Team Images, Airliners.net)
110
Lärobok i militärteknik, vol. 1: Grunder
Fåglarharhaftlitelängretidattutvecklasinteknologiochanvänderänd-virvlarna från framförvarande fågel ochflyger där kraften från virvlarna gåruppåtvilketgörattdetblirextra lyftkraft,ungefär somatt surfapåenvåg.Manbytersedanledareförattsparaenergiochdetärdärfördekarakteristiskafågelsträcken iV-formation uppträder. Det talas om energibesparingar runt50–70%ommanflygerpådettasätt.Dettalasvidareomattautomatiseradflygningiframtidenskallkunnautnyttjaeffekten.Kanskefårvisåsmåningomsetransport-ochpassagerarflygplaniformationöverAtlanten.
9.4 Skillnader mellan en deltavinge och en vanlig vinge
Namnetdeltavingekommerfråndetgrekiskatecknetdelta,∆sombeskriverutseendethosmångamilitäraflygplanpåettbrasätt.Envanligvingehargene-relltenganskautprägladstallgräns(uttalasstålgräns)somdiskuteratsovan,dvs.manfårejanliggandeströmningpåovansidan,vingentapparlyftkraftochmanfallernertillmanåterfåttanliggandeströmning.Endeltavingeklararhögrean-fallsvinklar,storleksordningen35–45graderattjämföramed10–18graderförentraditionellvinge.Vidsådanahögaanfallsvinklarblirmotståndetmyckethögt,mendettakannormaltkompenserasmedenstarkmotor.Mendenkan-skefrämstafördelenärattmanmedkortvingspannfårettplansomärbättreuthållfasthetssynpunkt.Ommanjämförmeddetextremasegelflygplanet,seifigur9.4,kanenstorutböjningkonstaterasredanvidrelativtlågbelastning;då
Figur 9.4. Foto på det moderna segelflygplanet Eta. (Foto: © Holger Weitzel, www.aufwind-luftbilder.de)
111
Aerodynamik
villmankanskeintetillåtaenbelastningsomär9till12g.Varförflygermandåmedenså”känslig”struktur?Jodetsåkalladeglidtalet,enkeltuttryckthurmångametermankommerframåtförvarjeförloradhöjdmeter, liggerpåca60–70förettextremtsegelflygplanmedansiffran10ärmerrepresentativförettvanligtflygplan.Dettaberorikorthetpåattjustörrevingspann,jumindreblirdetidigarediskuteradeändvirvlarna.Enoändligtlångvingeharingaänd-virvlarochsålundaförlorarmaningenlyftkraftdär.
9.5 Lyftkraftscentrum och lite om stabilitet
Dettakanverkalitekompliceratvidenförstaanblickmenenenkelregelförattkommaihågdethelaäratttänkapåendartpil.Deflestavetattendartpilharenstorviktframochvingytanlångtbak.Dettaförattfåensåstabil”far-kost”sommöjligt.Dettamedförsåledesattdenflygerstabilt.Denblirdockrelativtsvårmanövrerad,vilketisinturmedförattdenblirrelativtokänsligaföryttrestörningar,enbraegenskapit.ex.pubmiljö.Omdartpileniställetkastasbaklänges,dvs.medvingytanförst,vänderdeniluftensåfortdenpåverkasavminstastörning.
Dettaäreninstabilkonfigurationochommaninteharettdatoriseratstyr-systemsomstabiliserarsituationenslutardethelaikatastrof.Dettaäranled-ningentillattfolkoftafårsittalångtframiettickefullsattflygplan.Generelltär tyngdpunkten långt fram att föredra, men detta gör samtidigt flygplanet”trögare”attmanövrera.Såberoendepåinsatsområdebörenlämpligkompro-misssomärtillräckligtstabilochsamtidigttillräckligtmanövrerbarkonstru-eras.Vidmilitäratillämpningaranvändsiblanddatorstabiliseradeflygplanförattåstadkommaextremmanövreringsförmågamedbibehållenflygbarhet förpiloten.
Vid överljudsströmning flyttas lyftkraftscentrum bakåt, normalt från 25till50%avkordan (påenoändlig, rakvinge).Dettamedföratt stabilitets-marginalen(skillnadenmellan lyftkraftcentrumochtyngdpunkt)ökarhögstväsentligtochenfarkostsomärinstabilt iunderljudkansålundablistabil iöverljudshastighet.Dettagällerförmångasåkalladeinstabilaflygplan.
9.6 Luftmotstånd
Om man gör vissa förenklingar, så visar de aerodynamiska och hydrodyna-miskamodellernaattmotståndetbordevaranollommanintetarutnågonlyftkraft.År1744komd’Alembertframtilldettaochfenomenetärkäntsomd’Alembertsparadox.Haninsågattnågotsaknadesidenteorisomfannsviddennatidpunkt.Vadärdetdåsomorsakardettamotstånd?Jo,detärsammaprincipsomgördetjobbigtattdradennaläroboköverskrivbordet,friktion.
112
Lärobok i militärteknik, vol. 1: Grunder
Omvistuderarfigur9.5ochantarattluftenrörsigmedhastighetenV2åthö-gerochtittarpåhastighetsprofilennärmast”kroppen”serviattdenbörjarvidnoll.Luftenhakaralltsåfastochliggerstillnärmastkroppenochhastighetenökaruppåttilldessattmankommeruppifriströmshastigheten.Detuppstårnågotsomkallsförskjuvkraftermellandeolika”lagren”.Dessaskjuvkraftergerupphovtillmotståndet.
Motståndskoefficienten,Cddefinieras i likhetmed lyftkraftskoefficientensom
SqDCd∞
=
Om vi nu studerar motståndskoefficienten, Cd vid noll lyftkraft (det såkalladenollmotståndet,Cd,0) somfunktionavMachtal ifigur9.6kanvi se
V2
V1
Figur 9.5. Hastighetsprofil nära en kropp som rör sig i luft. (Källa: FHS)
Mach
Cd,0
1.0 1.300
Figur 9.6. Nollmotstånd som funktion av Machtal. (Källa: FHS)
113
Aerodynamik
attdetärrelativtkonstantupptilldetattmannärmarsigljudhastigheten.Dåskjutermotståndetkraftigtihöjden.Efterdetattmankommitigenomljudval-lenminskarmotståndskoefficienten.FöröverljudsplangörmanoftasåattmanstigermedMach0.9tillhöghöjdochsedandykermankraftigtförattsnabbtkommaigenomdettamotståndsområdeochuppiöverljudshastighet.Dettaärmereffektivtänattbara”gasa”sigigenomljudvallenpåkonstanthöjd.
Som ovan konstateras ökar motståndet Cd,0 kraftigt när M ≈ 1. För attminskadennaeffektkomNASApådensåkalladearearegeln.Denbetyderikorthetatttvärsnittsareanpåluftfarkostenskallhållaskonstantidess längd-riktning.Dettamedförattflygkroppengörssmalaredärvingarochstabilisatorärplacerade.AppliceringavdennaregelkanminskaCd,0tillungefärhälftennärmanpasserarljudvallen.
9.7 Laminär och turbulent strömning
Förattavslutadiskussionenommotståndskallvidiskuteraskillnadenmellanlaminär och turbulent strömning. Ett enkelt sätt att studera skillnaden kanmanfågenomattöppnaenvanligvattenkranliteförsiktigt.Längstupp,när-mastmynningenärdetlaminärt(ordnat)ochlängrener,innanvattnetnårvas-ken,ärdetturbulent(kaotiskt).Närmanserpåströmningenärdetintesvårtatt inse att laminär strömningnormalt ger lägremotstånd än turbulent.Påettmoderntsegelflygplanharmanlaminärströmningpå80–90%avvingenskordavidgynnsammaförhållanden.Menvarförharengolfbolldås.k.dimples(små gropar) som ”triggar” den laminära strömningen att bli turbulent? Påvissapassagerarflygplankanmanocksåhittasåkalladeturbulatorerommantittarpå vingarna, vad skall det varabra för?Det generella svaret är attdetiblandärviktigareattvetavarsjälvaomslagetskerochattdetärkonstant,änattminimeramotståndettilldensistadecimalen.Härkanmanocksågöraettenkeltempirisktförsökommanspelarvolleyboll(ellerännuhellreenplast-fotbollutansömmar).Ommanbaraslårtillbollenutanattskruvaden,kanmansehurdenvandraromkringliteiluften.Dettaberorpåattomslagspunk-tenmellanturbulentochlaminärströmningvandrarlite.Blandgolfspelareärdetta,avförklarligaskälingetpopulärtbeteende.
9.8 Stealth och aerodynamik
Mångagångerpresenterasaerodynamikochstealthsomettmotsatsförhållande,menoftaärproblemensnarareatthänföratilldåligkommunikationmellandeolikadisciplinerna.Renaytormedfåutstickandedelarärt.ex.eftersträvansvärtavbådeaerodynamikochstealth-konstruktörer.Storastrukturersomärlinje-radeärocksåenfördelurettelektromagnetisktperspektiv.
115
10. Vågutbredning och dess tillämpningar
Närenergiöverförsfrånensändare(t.ex.ettföremål)tillenmottagare(t.ex.ettöga)gerdetmöjlighetförmottagarenattupptäckasändaren.Visägerattdekommunicerar.
Energinöverförsvianågonformavvågrörelse,antingenelektromagnetiskeller mekanisk (t.ex. tryckvågor i en gas/vätska). Gemensamt för alla vågorärattdetransporterarenergiochintemateria.Vadärdetsomärgemensamtförögonen,vårkanskemestanvändasensor,ochandrasensorersomt.ex.ra-dar,värmekameraochbildförstärkare?Deärallakänsligaförelektromagnetiskstrålning(EM-strålning).VadärdåEM-strålningochvilkabegränsningarochmöjligheterharden?Dettakommeröversiktligtattbehandlasidettakapitel.
Vid trådlös kommunikation med t.ex. truppradio, radiolänk, laserlänk,trådlöstnätverk(WLAN),GSM,3Gosv.användselektromagnetiskstrålning.Sonarer utnyttjar istället hydroakustiska vågor som är en typ av mekaniskavågorsomutbredersigivatten.Ävenljudärmekaniskavågoriluften.Sensorerförattkunnadetekteraljudvågorkallarvimikrofoner.
Medstrålningenmenasattmanöverförenergimellant.ex.tvåpunkterAochB(sefigur10.1.apånästasida),vilketärfalletvidtrådlöskommunikationoch”registrering”avettföremålmedt.ex.envärmekameraellerpassivsonar.
Geometrinifiguren10.1.bpånästasidavisarettfalldärenerginfrånAreflekterasiBochåtervändertillAdärdenkandetekteras.Exempelärnärenradarsänderenpulssomsedanreflekterasavettmål.Sammasakgällerförenaktivsonarsomsänderljudvågorivattnetmotettmål.Ifigur10.1.cpånästasidavisasgeometrinfört.ex.ettöga,därt.ex.strålningenfrånsolenCreflekte-rasiföremåletBochsedanregistrerasavögatA.
116
Lärobok i militärteknik, vol. 1: Grunder
I det följandebeskrivs elektromagnetisk strålning, för vilken vi kommerattbehandlabegreppsomutbredningshastighet,frekvens,våglängdochsam-bandenmellandessa.Därefterbehandlasvågutbredningochantennersamtdeparametrarsomstyrutformningenavantenner.Kapitletavslutasmednågotomfotonen.
10.1 Uppkomst av elektromagnetisk strålning
Igrundochbottenhandlardettaomkraftermellanladdningar.Stillaståendeladdningargerupphovtilldetelektriskafältet(E).*Laddningarsomrörsigiförhållandetillvarandragenererardessutomettmagnetisktfält(H).Idennabokgesendastenmycketkortochförenkladbeskrivningavfenomenet.
Accelererarman laddningar kommer endel av energin att stråla ut frånbärarnaavladdningarna(elektronerna),pådettasättgenererasEM-strålning.Detärdettasomskerivåraantenner.Viförinstoramängderelektronerian-tennengenomattanslutadentillenspänningskälla(generator1),sefigur10.2.
* Fet stilindikerarattfältetärenvektorstorhet,dvs.fältetharbåderiktningochstorlek.
Sensor Mätobjekt
A B
Mätobjektet genererar egenstrålning
Sändareoch sensor
Mätobjekt
A BMätobjektet reflekterar strålningfrån sändaren A
Sensor Mätobjekt
A BMätobjektet reflekterar strålningfrån en annan källa C.
Källa C
a)
b)
c)
1
2
2
1
Figur 10.1. Några tänkbara geometrier för vågutbredning. (Källa: FHS)
Gen 1
Antenn 1
Mott
Antenn 2
Gen 2
Figur 10.2. Sändare och mottagare. (Källa: FHS)
117
Vågutbredning och dess tillämpningar
Mendåelektronernanårantennenbromsasdetvärtupp(jmfmedattspringain i en vägg), eftersom de inte kan lämna antennen. Föremål som bromsasuppförlorarenergi,endelavenerginstrålarutfrånantennenochendelblirvärme.
Befinnermansigpåenfixpunktmedenantennsåkommerdenattkännaavattdetelektriskaochmagnetiskafältetvarierarmedtiden.Dessaföränd-ringaravfältetkommerattaccelereradeladdningsbäraresomfinnsiantennen;ärdenisinturanslutentillenmottagarekommerdenattupplevadetsomattenspänningskällafinnsiantennen(generator2).Detfinameddettaärattgenerator2svänger”identiskt”medgenerator1.
10.1.1 Utbredningshastighet
EM-strålningkanbeskrivassomenvågrörelseianalogimedt.ex.ljud-ochvat-tenvågor.Mendetfinnsnågra stora skillnader,bl.a.utbredningshastigheten.EM-vågor utbreder sig med hastigheten 300000000m/s=300000km/s ivakuum;detta skadå jämförasmedblygsammaca340m/s för ljudet i luftvidhavsytanochca1500m/sförljudetivatten.YtterligareenskillnadärattEM-strålningkanutbredasigutanettmedium*tillskillnadmotljudvågorsombehöverluftellernågotannatmaterial.(Detgårinteattprataivakuum.)
UtbredningshastighetengårnernågotnärEM-strålningenutbreder sig inågotannatänvakuum.Kvotenmellanhastighetenivakuumochhastighetenidetaktuellamedietkallasbrytningsindex(n).Skillnadenihastighetledertillattstrålningenbryts��(ändrarriktning)igränsskiktetmellantvåmaterial(sefigur10.3).
Brytningsindex ändrar sig bl.a.närtemperaturochfrekvensändras.Det första leder bl.a. till hägringaroch ”värmedaller” ovanför t.ex. ettvarmtstridsfordon.Detandralederbl.a.tillregnbågen.
* Under1800-taletladesmycketmödanerpåattförsökagåruntdettafaktumattljus(sommaniochförsigintehadeinsettärEM-strålning)kundeutbredasigtillsynesutanettme-dium.Därförinfördemanbegreppet”etern”,somsadesintehanågonmassa,luktellerannanegenskap!Lustigtnogleverdettaordkvariuttrycketetermedia.
� Ordetrefraktionanvändsoftaiställetförbrytning.� Det finns ett matematiskt samband, kallad för Snells lag, som beskriver detta fenomen
n1sinα=n2sinβ.
n 1
n 2 > n 1
Figur 10.3. Brytning i gränsskiktet mellan två material med olika brytningsindex. (Källa: FHS)
118
Lärobok i militärteknik, vol. 1: Grunder
10.1.2 Frekvens
Hursnabbtenspänningskällasvängerkallarvifrekvens.Frekvensenharstorbetydelse förbl.a.utformningenavantennenochdämpningenavdenelek-tromagnetiskavågeniatmosfären.HursnabbtnågotsvängerbrukarvimätaiHertz[Hz]=antaletsvängningarpersekund.Antagattviharnågonfysiskstorhetsomsvängerruntettjämviktsläge(t.ex.enmassasomhängerienfjäderellerdetelektriskafältetivårEM-våg).Figur10.4visarhurdetelektriskafältetvarierarmedtidenpåettvisstavståndfrånantennen.Låtossbörjavidtident0däramplituden=0,därefterökaramplitudensuccessivtfrån0tillettmaximaltpositivtvärde+A.Sedanpasserarvi0igenföratthamnapåmaximaltnegativtvärde–Aochsedanåtertill0vidtident1.DåharvigenomlöptenperiodpåtidenT=t1–t0s.Antaletperioderpersekundäringetannanänfrekvensenf.AntagattperiodtidenT=0.1s,vilkenfrekvenssvängerfältetmeddå?Ja,detmåsteuppenbarligengå10perioderpå1sekund,frekvensenäralltså10Hz.
t [s]
E [V/m]
T
x =10m
t0 t1
+A
-A
Figur 10.4. Elektriska fältets variation med tiden på avståndet x = 10 m från källan. (Källa: FHS)
Dettakansammanfattassåhär:Frekvensenfärlikamed1divideratmedperiodtidenT.Ellerännuenklare:
Tf 1
=
Kortperiodtidäralltsåliktydigtmedhögfrekvens.
10.1.3 Våglängd
Vadmenasmedvåglängdλ [m]ochhurserkopplingentill frekvensut?Låtossgöraomovanståendeexperimentmenpåettlitetannorlundasätt.Iställetförattståstillapåettfixtställeochlåtatidengå,låtossfrysatidenochistället
11�
Vågutbredning och dess tillämpningar
förflyttaossivågensutbredningsriktningochmätafältstyrkan.Mätresultatetblirsnarliktdetförra,detendasomskiljerärattvifårsträcka[m]påx-axelniställetförtid[s],sefigur10.5.
x [m]
E [V/m]
λ
t =1s
x0 x1
+A
-A
Figur 10.5. Elektriska fältets variation utmed utbredningsriktningen x vid tiden t = 1 s. (Källa: FHS)
Påmotsvarandesättsomtidigarekanvibetraktaenperiodavsignalen.Idettafallmåsteviförflyttaossensträckaλförattåterkommatillursprungs-situationen.Dennasträckakallarviförvåglängdenochdenbetecknasvanligenmeddengrekiskabokstavenλ(lambda).
10.1.4 Sambandetmellanvåglängdochfrekvens
Sånutillfråganhurfrekvensochvåglängdhängerihop.Förattförklaradettamåsteviblanda inutbredningshastighetenv.Vetvi frekvensenfochutbred-ningshastighetenv,kanviräknautvåglängden.
• Exempel 1. Antagattvågenrörsigmedhastighetenv=100m/sochattfrek-vensenär10Hz.Vivetsåledesattvågenflyttarsig100meterpåensekundochattdenundersammatid(1s)hinnergenomlöpa10perioder.Rimligenmåstedåvarjeperiodvara10mlångochperiodenslängdärjuingetan-natänvåglängden.Förattfåframresultatetdivideradevihastighetenmedfrekvensen(antalfullbordadeperioderpå1sekund).
• Exempel 2. Antagsammafrekvenssomiexempel1menatthastighetenharökattill300000km/s(=ljushastigheten).Vadblirdåvåglängden?Denblir30000km!75%avjordensomkrets!Ovanståenderesonemangkansam-manfattasinedanståendeformel:
(1)[Hz] [m/s] [m]
λλλ vffv
fv
=⇔⋅=⇔= (1)
120
Lärobok i militärteknik, vol. 1: Grunder
Medhjälpavovanståendeformlersamttvåavdetreparametrarnakanninusjälvaräknautdenokända.Engenerellslutsatsurovanståendeformel(re-sonemang)ärattoavsettutbredningshastighetsågäller:Ökadfrekvensmedförkortarevåglängdochviceversa.
Nu har vi visat hur frekvens, våglängd och utbredningshastighet hängerihop.Varförärvidåsåintresseradeavdessaparametrar?Jo,detvisarsigatttransmissionenavEM-vågorärstarktberoendeavfrekvensenochfårsåledesstorinverkanpåhurmycketvågendämpasochhurdenutbredersig.Förattfåeffektivriktverkanavsinantennmåstemananpassastorlekentilldenaktuellafrekvensen.Imilitärasammanhangärdetoftatvärtom.Utrymmetförenra-darantennärbegränsatit.ex.enrobot,dåmåstemanväljaenlämpligvåglängdförbrariktverkaniantennen.
10.2 Vågutbredning
Deelektriskaochmagnetiskafältenärvinkelrätamotvarandraochävenmotutbredningsriktningen(sefigur10.6).Riktningenpådetelektriskafältet(E)anger strålningenspolarisation.Strålning från t.ex. solenochglödlampor ärheltopolariserat,dvs.polarisationenskiftarhelatidenpåettslumpmässigtsätt.Vissamaterialsåsomt.ex.vattenochsnöharegenskapenattvertikalpolariseratdämpaskraftigtvidreflektion.*DettakanutnyttjasisåkalladePolaroid-glasö-gonsomutnyttjarjustdennaeffekt.Genomatttillverkaglasögonensåattdeendastsläpperigenomvertikaltpolariseratljusdämpasbesvärligasolreflexerutpåettmycketbrasättutanattrestenavomgivningenocksåförsvinner.
* Videnvissvinkel,dens.k.Brewstervinkeln,försvinnerreflektionenheltochhållet.
E
E
3
E
2
1
λ
c
x
Figur 10.6. EM-vågens ”utseende” under utbredning längs x-axeln. (Källa: FHS)
121
Vågutbredning och dess tillämpningar
Mångaavvåravanligastemilitäraapplikationeranvändersigavpolariseradstrålning.Någraexempelärlaser,radarochradiokommunikation.Däremotut-nyttjasintepolarisationenibildförstärkareochvärmekameror,vanligenkalladeIRV-kameror(Infra Red Vision).
Vågutbredningenharettstarktfrekvensberoende.Vidlågafrekvenserkanstrålningenutbredasigmycketlångasträckor(iprincipjordenrunt)utmedjor-densytagenomattväxelverkamedmarken/vatten,s.k.ytvåg(sefigur10.7).
Ökarmanfrekvensenkommerytvågenattdämpasuttidigareochtidigare.Villmandåfortfarandekommalångtkanmanfåvågenattreflekterashögtuppiatmosfären,detskerijonosfären.*Dennavågkallasrymdvåg.Dettafungerarbraifrekvensområdet3–30MHz;gränsernavarierarkontinuerligtöverdygnetochåret.Ökarmanfrekvensenytterligarefinnsdetingenmöjlighetattbrytaavijonosfärenochmanblirheltberoendeavdirektvågenochdenreflekteradevågen.Dessatvåtillsammansbrukarkallasföratmosfärsvågen.Läggermantillytvågenfårmandetsombrukarkallasförmarkvåg.Vidytterligareökningavfrekvensenärdetendastdirektvågensom”överlever”.Villmankommalångtpådessafrekvenserärmanheltberoendeavfrisikt.�Ävenomdetintefinnsnågrahindersåsomt.ex.bergochbyggnadersågerjordenskrökningupphovtillenradio-/radar-/optiskräckviddfördirektvågen(sefigur10.8pånästasida).
AvståndetRmaxgesavnedanståendeformel:
(5)km][m][m][12.4 21max hhR
km][6.27374,31.491412.4max R
(2)
* I jonosfären (50–400kmupp)är trycket så lågt att fria elektronerochpositiva jonerkanöverlevaenickeförsumbartid.DetbildasolikaskiktijonosfärendärbrytningavEM-vågortillbakatilljordenägerrum.
� Dettaledertillattmanvillkommaupppåhöjdermedsinasensorerochradiolänkar.
S M
Direktvåg
Rymdvåg
Reflekterad vågYtvåg
Figur 10.7. Vågutbredning. (Källa: FHS)
122
Lärobok i militärteknik, vol. 1: Grunder
• Exempel 5.Ensjömålsrobotflygerpå9metershöjdanmotenkorvettavVisbytyp.Dessradarantennsitterpå14metershöjd.Vilketärdetstörstaavståndsomradarnkanupptäckarobotenpåommanendasttarhänsyntilljordenskrökning?Formel(2)gerosssvaret:
(5)km][m][m][12.4 21max hhR
km][6.27374,31.491412.4max R
• Exempel 6.Hurhögtuppmåsteenradarantennplacerasommanvillhamöjlighetattupptäckamålpå100metershöjd50milbort?Återigengerformel(2)svaretpåfrågan:
m12500
1121001.4
5001.4
km][m][m][12.4
1
2max
1
21max
h
hRh
hhR
(6)km][m][m][86.3 21max hhR
(7)km][m][m][57.3 21max hhR
15.1
m][m][57.3m][m][12.4
21
21
hhhh
Ganskahögt!Attsättaensensorienaerostatverkariallafallvaraenfung-erande lösning.Härbör läsarenobserveraatt formel (2)gäller framförallt imikrovågsområdet.Ioptiskaområdetgälleristället:
m12500
1121001.4
5001.4
km][m][m][12.4
1
2max
1
21max
h
hRh
hhR
(6)km][m][m][86.3 21max hhR
(7)km][m][m][57.3 21max hhR
15.1
m][m][57.3m][m][12.4
21
21
hhhh
(3)
Hurkommerdetsigattdenoptiskaräckviddenblirkortare?Detberorpåattvågenböjersigolikamycketpågrundavattbrytningsindexnärfrekvens-beroende.Vadhardåbrytningsindexmeddettaattgöra?Inormalatmosfärminskarbrytningsindexmedstigandehöjd.Ombrytningsindexminskarbrytsstrålningentillbakamotjorden.Faktumäratträckviddenskullevarabetydligtkortareomvågeninteböjdesigiatmosfären.Omviintetarhänsyntillbryt-ningenfårvidetsomkallasförgeometriskräckvidd:
m12500
1121001.4
5001.4
km][m][m][12.4
1
2max
1
21max
h
hRh
hhR
(6)km][m][m][86.3 21max hhR
(7)km][m][m][57.3 21max hhR
15.1
m][m][57.3m][m][12.4
21
21
hhhh
(4)
Figur 10.8. Radarräckvidd med hänsyn till jordens krökning och antennens resp. målets höjd. (Källa: FHS)
h1
h2Rmax
Syns
I skugga
123
Vågutbredning och dess tillämpningar
Kvotenmellan(2)och(4)blir
m12500
1121001.4
5001.4
km][m][m][12.4
1
2max
1
21max
h
hRh
hhR
(6)km][m][m][86.3 21max hhR
(7)km][m][m][57.3 21max hhR
15.1
m][m][57.3m][m][12.4
21
21
hhhh
Dvs.räckviddenökarmed15%pågrundavbrytningeniatmosfären.
10.3 Antenner
Storlekenochformenpåantennenbestämsihuvudsakavdetvåparametrarnavåglängden,λ [m]och användningsområdet.En indelning av användnings-områdeärattskiljapåapplikationerdärvivillkunnariktastrålningen(radar,radiolänk)ochdetrundstrålandefallet(truppradio,mobiltelefon).
10.3.1 Riktantenner
Ofta hör man talas om begreppet antennförstärkning, vad menas med det?Låtossbörjamedenljusanalogi.Tänkerenglödlampasomhängerfrittisinelkabel.Denskullevidefinierasomenisotroplampa.AlleffektP1somvima-tarinilampanspridersigsfärisktåtallahåll.Ljusetskullevaralikastarktvarviänbefinnerosspåentänktsfärcentreradkringlampan.Dennalampaharljusförstärkningen=1.
Dennatypav lampaverkar ingetvidaredåhuvuddelenav ljuset sprids ioönskade riktningar. Onekligen verkar det smartare att rikta ljuset mot detmanvillseistället!
Låtosssättaenreflektorruntlampansomriktarljuset.Utformningenavreflektornberorpåhurvivillattljusetskallspridasig.Tillenbilkanmant.ex.köpatillextra strålkastaremedolikaegenskaper.Detfinnsbl.a. s.k.flodljussomharenbredljuskäglasomärrelativtkortochfjärrljussomharensmalochlångljuskägla.FörengivenljuseffektP2krävsdetsåledesmindreströmtillglödlampanomdenharenreflektoränomdensaknarreflektor.FörhållandetmellaneffekternaP1ochP2somgersammaljusstyrkakanvikallaReflektor-förstärkning,RF.
)2(]ggr[
2
1
PP
RF
)4(25000
)3(60
max
vh
G
d
mm6.800000000035
000000300
fc
]mrad[22.1d
(5)
Värtattnämnahärärocksåettfenomensomvibrukarkallaförsidolober.Detvillsägaatthurvälviänkonstruerarvårreflektor,såkommerendelavlju-setspridasvidsidanomhuvudloben.Däremotärstyrkanisidolobernamycketlägreänihuvudloben.
Ett liknande resonemang somovankan föras förövrig elektromagnetiskstrålning.Skillnadenäratt”refektor”kallasförantennoch”reflektorförstärk-ning”blirantennförstärkningG.
124
Lärobok i militärteknik, vol. 1: Grunder
Låtoss studerafigur10.9 somvisar ett s.k. antenndiagram.DiagrammetvisarhurGvarie-rar i horisontalplanet för t.ex.enradarantenn.Figurenärinteskalenlig, oftast är antennför-stärkningen i huvudloben ca1000ggr(30dB)störreänditoi sido-/backlober. Det bästavore om vi inte hade någrasido-/backloberdådessagörosskänsligaförtelekrigåtgärder.*
I figur 10.10 har vi fört inlobbreddenθ(theta)somangerhursmalellerbredvårhuvudlobär.Detfinnsfleraolikadefini-tionerpålobbredd,häranvändsdenvanligastes.k.3dB-lobbred-den.Med3dBlobbreddmenasatt vinkelnmätsmellande tvåpunkteraochbdärantennför-stärkningennedgåtttillhälftenavGmax.
Med rimliga krav på sido-lobsnivå(ca–30dB=0.001ggr)såkannedanståendetvåformleranvändasföröverslagsberäkningar.
)2(]ggr[2
1
PP
RF
)4(25000
)3(60
max
vh
G
d
mm6.800000000035
000000300
fc
]mrad[22.1d
(6)
)2(]ggr[2
1
PP
RF
)4(25000
)3(60
max
vh
G
d
mm6.800000000035
000000300
fc
]mrad[22.1d
(7)
Låtosstittalitenärmarepåformel(6),vadbetyderdenegentligen?Tillattbörjamedkanvikonstateraattλstårovanförbråkstrecket,vilketmedförattomvåglängdenökar(frekvensenminskar)såökarocksålobbredden.Görvidä-remotantennenstörre(dökar)såminskarlobbredden.Slutsatser: Lobbreddenminskardåfrekvensenökaromdärkonstant,likasåomdökarochfrekvensenärkonstant.Ensmallob,somoftaeftersträvas,kräverenstorantennräknatiantalvåglängder.Låtosstittapånågraexempel:
* Sido/backlobermöjliggörförfiendenattsignalspanaochstöraossävenfastdenneintebefin-nersigivårhuvudlob.
Gmax
Backlob
Sidolob Huvudlob
Figur 10.9. Antenndiagram. (Källa: FHS)
Gmax
Gmax - 3dB Gmax - 3dB
d
a b
Figur 10.10. Ett antenndiagram från en antenn som är d m bred. (Källa: FHS)
125
Vågutbredning och dess tillämpningar
• Exempel 3. Enrimliglobbreddpåenrikt-antennär1grad.Hurstorantennbreddbe-hövsom frekvensenär3MHz (λ =100m)?Formel (1) ger oss lösningen, θ°=1 med-för att d måste vara 60λ bred. Alltsåd=60•100=6000m,bred!
• Exempel 4. Antag att man vill ha sammalobbredd som ovan för radarn i AH-64DLongbow.Hurstormåstedenantennenvara?Vi”vet”attantennenmåstevaraminst60λ.EnligtJane’s*ärfrekvensenf=35GHz.Dettamotsvararenvåglängd
)2(]ggr[2
1
PP
RF
)4(25000
)3(60
max
vh
G
d
mm6.800000000035
000000300
fc
]mrad[22.1d
vilketisinturgerantennstorlekendungefär50cm.
Påbildenavhelikopternifigur10.11serdetutsomomdenvorestörreän0.5m.Dettaberorförmodligenpåattmandelsharettmekanisktskydd(radom)samtattmanvillhaenlägresidolobsnivåänvåra–30dB.
Hittillsharvibarabehandlatantennerinomradio-ochradarområdet,menfaktumärattdetärsammafenomensomgälleräveninomdetoptiskaområ-det.Låtosstittapåettexempel:
• Exempel 5.JämförelsemellanstorlekpålinsitermiskaIR-områdetochlinsförsynligstrålning.Förlinsergällerprecissomförriktantennerattlobvin-kelnθärberoendeavbådevåglängdenochstorlekenpålinsen.Förlinseranvändsoftadettaförhållande:
)2(]ggr[2
1
PP
RF
)4(25000
)3(60
max
vh
G
d
mm6.800000000035
000000300
fc
]mrad[22.1d
Dvs.sammaförhållandegällermellanvinkel,våglängdochstorleksomti-digare.AntagnuattvivillkunnaidentifieraettföremålpåsammaavståndmedantingenettvisuelltsikteelleretttermisktIR-sikte.Rimligtattantaärattförattkunnaidentifierapåsammaavståndsåmåstelobvinkelnvaradensammafördetvåsiktena.DettermiskaIR-bandetliggermellan8–12μmochdetvisuellaområdetär0.4–0.7μm.VåglängdenförtermiskIRäralltsåca20ggrlängreänvåglängdenförvisuellstrålning.Dettainnebäratten
* MartinStreetly(ed.),Jane’s Radar and Electronic Warfare Systems 2004–2005 (Surrey,Eng-land:Jane’sInformationGroup,2004),s.244.
Figur 10.11. AH-64 Longbow med radarantennen ovanför huvudrotorn. (Foto: US Department of Defense)
126
Lärobok i militärteknik, vol. 1: Grunder
IR-linsmåstevara20ggrstörreändenvisuellalinsenomsammaprestandaskaerhållas.
10.3.2 Rundstrålandeantenner
Ettexempelpårundstrålandeantennärhalvvågsdipolen,vilketärettledandesprötsomärenhalvvåglängdlångt(sefigur10.12).
Halvvågsdipolenstrålarmestvinkelrätmotsprötet.Ärsprötetvertikaltsåäralltsåstrålningensomintensivastihorisontellriktning.Denstrålarlikamycketåtallahållihorisontplanet,däravbeteckningenrundstrålande(sefi-gur10.13.a).Ivertikalriktningfinnsdetingenstrålningalls(sefigur10.13.b).
Måstedenverkligenvaraenhalvvåglängdlång?Detmåstedenintevara,mengörmandenkortarefårmanproblemmedverkningsgraden.Dvs.anten-nenblirvarmochdetblirsvårtattanpassaantennenelektriskttillsändtagaren.Görmanantennen längreärdetdessutom inte säkertattden strålarmest ihorisontellriktninglängre.
Förattfåhyggligverkningsgradmåsteantennenvaraavminstsammastor-leksordningsomvåglängden.*
Strålningen i vanlig stavantenn, enligt figur 10.12, är polariserad i sam-mariktningsomstaven.Ärantennenriktadvertikaltsåblirstrålningenock-så vertikalt polariserad. En horisontellt riktad antenn kan teoretiskt inte taemotstrålningfrånenvertikaltpolariseradsändarantenn.Teoretisktblirden
* Vidmottagningkanmantänkasigattanvändamindreantenner.Likasåt.ex.imobiltelefoni,dådetintevoresåroligtattgåruntmeddecimeterstoraantennerifickan!
a)Strålningsdiagram b)Uppskuretstrålningsdiagram
Figur 10.13. Strålningsdiagram för en halvvågs dipolantenn. (Källa: FHS)
/2
Figur 10.12. Halvvågs dipolantenn. (Källa: FHS)
127
Vågutbredning och dess tillämpningar
mottagnaeffektennoll,meniverklighetenkommerliteeffektin.Redanvid45gradersskillnadmellanantennernareduceraseffektenmed50%.
Strålningavolikapolarisationharolikaförmågorattträngagenomolikamaterial. Exempelvis svensk ”normalskog” dämpar horisontellt polariseradstrålningitruppradiobandetmindreänvertikaltpolariserad.*
10.3.3 Gruppantenner
Gruppantennerären typavantenndärmananvänderettflertalantennele-ment(sefigur10.14)ochslårihopsignalernaförattpåsåsättökaantennför-stärkningenG.Enfördelmedengruppantennärattmankan”flytta”lobenutanattrentmekanisktbehövavridaantennen.
Attmankanökaantennförstärkningengenomattanvändafleraantennerärganskarimligt.Antagattviendastharettantennelementsom”fångar”uppeffektenP0frånbörjan(sefigur10.15.apånästasida).
Tänknuiställetattvihartvåantennelementbredvidvarandraenligtfigur10.15.b,dåmåsterimligtvisbådaelementen”fånga”uppvarderaeffektenP0.Tillsammans fångar de således upp effekten 2P0.Vi har således fått någon
* Varföranvändervidåintehorisontellpolarisation?Jo,detärsvårtattbyggaenantennsomstrålarvarvetruntlikabra.(Manmåstedärmedvetaungefärvardensommanskallkom-municeramedbefinnersig.)
ϕ1 ϕ2 ϕNϕ3 ϕ4
∆φ2∆φ
3∆φN∆φPlan våg
Summator
Figur 10.14. Gruppantenn. (Källa: FHS)
128
Lärobok i militärteknik, vol. 1: Grunder
slagseffektförstärkning,menhurskavislåihopsignalernafråndetvåantenn-elementen?
DetsomelementenegentligenfångaruppärjudeelektromagnetiskafältenEochH. DessafältharbådeenamplitudAochettfaslägeθsåvidsammanslag-ningenmåstevitahänsyntilldessa!Vihartidigareantagitattbådaelementenfångaruppsammaeffekt;dettaärsammasaksomattsägaattamplitudernaärlika.Menförfaslägetgällerattdetmycketvälkanfinnasenskillnadmellandetvåelementen.Ifjärrzonen(långtfrånsändarantennen)gällerenligttidigareattvågfrontenärplan,dvs.påenlinjevinkelrätmotutbredningsriktningenärfasenkonstant. Iutbredningsriktningendäremotvarierar fasenmedavståndet frånsändaren.Läggermanihoptvåsignalermedsammaamplitudmenolikafaskansummanblialltmellan0och2A.Hurpåverkardettavårantennifigur10.16?
1
P0
1
P0
2
P0 ) b)a
Figur 10.15. Ett resp. två antennelement. (Källa: FHS)
1 2
P0, A, φ2
Våg 1
Våg 2
+
P0, A, φ1
P0, A0
Figur 10.16. Exempel på två olika vågfronter. (Källa: FHS)
12�
Vågutbredning och dess tillämpningar
Vistuderarförstvåg1somträffarbådaantennernasamtidigt.Eftersomvå-genärplan,fårbådasignalernasammafaslägeochkommerdärförattadderasifasmedvarandraochamplitudenA0blirdärmed2A,dvs.A0=2A.Våg2kom-merattträffaantenn1enstundinnandenträffarantenn2,medtidsdifferensen∆t.Dettamåsteocksåinnebäraattsignalenblirfasfördröjdenvissvinkel∆•,storlekenpåfasfördröjningenberoravbåde*tiden∆tochfrekvensenf.Såvidafasfördröjningenintemotsvararenmultipelav2π(360°)såkommeramplitu-denA0pådensammanslagnasignalenattvaramindreän2A,dvs.A0< 2A.
Slutsatsenblirattantennsystemetärmestkänsligt(Gstörst)förvåg1ochmindrekänsligtförvåg2.Viharsåledesfåttenriktantenn!
Egentligenärvimestintresseradeavvåg2.Dåuppstårfråganomdetfinnsnågotenkeltsättmodifieraantennsystemetsåvifårdennaegenskap.Detsombehövergörasärattvimåstesetillattvåg2frånantenn1resp.2adderasifas.Vivetattvåg2blirfasfördröjd∆φpågrundavtidsfördröjningen∆t.Omviinförenfasfördröjningϕ1=∆φävenpåsignalenfrånantenn1såkommersignal1och2attvaraifasigenochsummanA0=2A.Våg1kommerdäremotinte längre att vara i fasnärde summeraspå grund av fasfördröjningenϕ1vilketledertillattA0< 2A.OmvinubyggerossengruppantennbeståendeavNstyckenelementenligtfigur10.17medsammainbördesavståndmellanelementensåkanvilättsummeraihopallasignalernagenomatthaolikafas-fördröjningarϕnförrespektiveelement.
* Sambandetär∆φ =2πf∆t.
1 2 N3 4
t
Planvåg
Summator
22 t 33 t
NtN
Figur 10.17. Gruppantenn bestående av N st antennelement. (Källa: FHS)
130
Lärobok i militärteknik, vol. 1: Grunder
Storlekenpåfördröjningarnablir:
ϕϕ ∆−= )( nNn
Pådettasättkanvisåledessummeraifas,igodtyckligriktning.Fasfördröj-ningarna ifigur10.17kanbl.a. realiseras elektroniskt ellermekaniskt.Medelektroniskt avses att man på elektronisk väg kan variera fasfördröjningen,t.ex.genomattvarieraspänningenöverenkomponent.Pådettasättkanmanmycket snabbt (del av ms) ändra riktning på antennloben. Med mekanisktmenasattfasförskjutningenändrasgenomattmanmekanisktförskjutermat-ningenavarrayen.Detfinnsytterligareettsättattformaloben/loberna.Detskergenomattformalobernadigitaltvidmottagningen(sefigur10.18).
Signalen från antennelementen 1-N omvandlas från analoga signaler tilldigitalainnandegårvidaretillsignalbehandlingen.Därkansedansignalernat.ex.behandlasparallelltiflerakanaler.Ivarjekanalkansedanolikafasfördröj-ningaranvändas,vilketledertillattmankanskapafleraolikalobermedolikariktningar.Dettaärenmycketstorfördelförmodernaradarerochtelekom-utrustningar.
A/D A/D A/DA/D A/D
t
Planvåg
Signalbehandling
22 t 33 t
NtN
Figur 10.18. Digital lobformning. (Källa: FHS)
131
Vågutbredning och dess tillämpningar
10.4 Fotonen
HittillsharvibehandlatEM-strålningsomenvågrörelse.Tyvärrkanvi inteförklaraallafenomenmeddenmodellen.Ettavdessafenomenärdenfoto-elektriskaeffektensombeskrivsinästastycke.Ettannatärs.k.fotondetektorersomanvändsit.ex.värmekamerorochbildförstärkare.*
Närmanbelyserenmetallsålyckasmanibland”slå”lossenelektronfrånmetallen.Befinnersigdåmetallenivakuumrörsåkandenfrigjordaelektronenanvändastillattledaström.Detmärkligaärattommanbelyserenvissmetallmedblåttljus(högfrekvens)såledervakuumröretströmävenvidmycketlitenljusstyrka.Omviiställetbelysersammametallmedröttljus(lågfrekvens)sålederdeninteströmoavsetthurstorljusstyrkavihar!Voreljusetenvågrörelsesåskadetenligtallateorierslåslossenelektronbaraljusstyrkanärtillräckligtstor.Vid förra sekelskiftet fanns ingen förklaring på detta. Men 1905 komAlbertEinsteinpåenförklaringtilldettaproblem.�Hanslösningvarattener-ginintekomkontinuerligtienvågrörelse,utansomsmåpaket�(kvanta)ochenerginivarjepaketvarberoendeavfrekvensenförmotsvarandevågrörelse.EnerginivarjesådantpaketärE=h• f[J]därh=6.63• 10–34Js.Ljusäralltsåbådeenvågrörelseochenpartikel!
Inomradio-ochradarområdetanvändsuteslutandevågmodellen.DäremotinomIR-teknikenochdetvisuellaområdetmåstemananvändafotonmodellenförattförklarafunktionenhosbl.a.detektorer.
* Detfinnsenannantypavdetektorersomreagerarpåvärmeökningenisjälvadetektorn,s.k.bolometriskadetektorer.
� DetvarfördenfotoelektriskaeffektensomEinsteinfickNobelprisetifysik1921;hansrelati-vitetsteoriervarförkontroversiellaförNobelkommitén.
� Ordetfotonkomlångtsenare.
133
11. Atmosfärens påverkan på aerodynamik och vågutbredning
Idettakapitelstuderasdettunnaskiktsomomger jordenochkallasatmos-fär.Förstkommeratmosfärenssammansättningochtillståndattbeskrivasochslutligenkommeratmosfärenspåverkanpåtekniskasystemochvågutbredningattbeskrivas.
Istortbeståratmosfärenavgasernakväve(78%)ochsyre(21%),detvikallarluft,ochhållspåplatsavjordensgravitation.Detärvärtattnoteraattatmosfäreninteslutarpåenväldefinieradhöjdutanblirtunnareochtunnareinnandenövergårirymden.Ungefär75%avatmosfärensmassaåterfinnspåunder11kmhöjd.Förattfåkallasigastronaut,omläsarenharsådanaplaner,måstemanbefinnasigpåhögrehöjdän80km,åtminstonekortvarigt.
Atmosfären skyddar de olika livsformerna på jorden genom att dels ab-sorberaultraviolettstrålningochdelsgenomattjämnautdeannarsextrematemperaturskillnadernamellandagochnatt.Knappthälften (43%) avdensolenergisomnåratmosfärensytterstagränsnårnertilljordytan.Restenspridsiatmosfären(22%)ellerreflekterasutirymden(35%).Nästaningenupp-värmningavatmosfärenskernärenerginpasserarigenomdensamma,dvs.luftäryttersttransparentidessavåglängdsområden.Medeltemperaturenvidjordy-tanär14°C,beräknatpåhelajordklotet.
11.1 Atmosfärens sammansättning och indelning
Atmosfären indelas ihöjdledpågrundavsintemperaturfördelning(sefigur11.1).Detförstaskiktet,troposfären,harhämtatsittnamnfrånettgrekisktordsomkanöversättasmedattvridaellerblanda.Troposfärenharentjocklek
134
Lärobok i militärteknik, vol. 1: Grunder
påca7kmvidpolernaochca17kmvidekvatorn;påvårabreddgraderärdenca10km.Pågrundavsolensuppvärmningavjordytanstigervarmluftochkylsnermedökadhöjd,dettaikombinationmedjordensrotationorsakardetvikallarväder.Solenmedsin6000-gradigaytaärsåledesvädretsmotor.
I troposfären minskar temperaturen normalt med 0.65 °C/100m höjd.Detmedförmycket lågatemperaturervidhögrehöjder, jämförmednormalflyghöjd för trafikflyg, 10–12km. I vissa moderna passagerarflygplan angesyttertemperaturen.Denintresseradeläsarenuppmanasbedömarimlighetenidettapåståendegenomattnoterayttertemperaturochhöjdvidnästaflygresa.
Vidövergångenmellantroposfärenochstratosfären,tropopausen,ändrarsigtemperaturfördelningenochtemperaturenökarsedanmedökandehöjdistratosfären(sefigur11.1).Dettapågårändaupptilldensåkallademesopau-sen. Imesosfärenminskar temperaturen ånyo för att öka i jonosfären (ellerthermosfären).Attgöraenavgränsningtillattfrämsttittapåtroposfärenkantyckasinskränktmenenöverväldigandedelavmilitär(ochannan)verksamhetskermednödvändighetdär.
-90 -60 -30 0 +30
Tropopaus
Stratopaus
Temperatur, grader C
20
30
Höjd km
80
70
60
50
40
10
90
Stratosfär
Troposfär
Mesosfär
Jonosfär
Figur 11.1. Atmosfärens olika skikt och ungefärlig temperatur. (Källa: FHS)
135
Atmosfärens påverkan på aerodynamik och vågutbredning
11.2 Temperatur, lufttryck och densitet
Itroposfärenminskaralltsåtemperaturenmedca0.65°C/100mhöjdökning.På grund av olika väderbetingelser skiftar detta, men mer om detta nedan.Lufttrycketärendirektföljdavluftensegenmassa(vikt).Trycketvidjordytanär101325N/m2vilketmotsvarardrygt10metervattenpelare.Dettaärsäkertkänt av dykare som har ungefär dubbel luftförbrukning på 10meters djupjämförtmed sin förbrukning vid ytan.Lufttrycket sommotsvarar 10metervattenpelareärocksåanledningentillattmanaldrigkan”sugaupp”vattenmeränca10meter,däremotgårdetbraatttryckauppdetmyckethögre.
Lufttrycketminskar till ungefär hälften ommankommer upp på5 kmhöjd.Någotmanskallvaramedvetenomärattkroppensförmågaattutnytt-jahemoglobinförsyretransportberorpådeltrycketavsyreochredanvidca3000mhöjdminskarsyresättningsförmågan(hosickebergslevandepersoner)dramatiskt.För att vara fulltkapabel attutföra sinauppdragbör syrgas an-vändasfråndennahöjdochuppåt.Vidhöjderöver8000märdeltrycketfördåligtförgodsyresättningävenomrensyrgasinandas.
Densitetenpåluftärca1.225kg/m3vidjordytan.Varmluftharlägreden-sitetänkallluftochstigersåledes.Dettaärdetfenomensomvanligenanvändsavsegelflygare,dvs.varmluftsomvärmtsuppavsolinstrålningennärajordytanstigerfortareänflygplanettapparhöjdochnettoresultatetblirattman”lyftsupp” till en högre höjd. Ett annat konkret exempel består av varmluftsbal-longersomalstrarhelasinlyftkraftpådettasätt.
Prestandapåtekniskasystempåverkasiallmänhetmycketberoendepåden-sitetsskillnadenmedvarierandehöjd.Eftersomluftenblirtunnarefårt.ex.flyg-planförsämradestighastighets-ochstigvinkelprestanda.Tillsnyligen(2005)hadet.ex.ingenhelikopterlyckatslandapåvärldenshögstaberg,MountEve-rest.Tillgängligtsyre,ellersyretsdeltryck,förenmotorminskarmedhöjdenochävenpårimligahöjder(läs2–3000m)kanmanmärkauppenbartförsäm-radeprestandaförenvanligOttomotor.Åandrasidanminskarluftmotstån-detvidökadhöjd(färreluftmolekylerattkrockamed).Förflygplanärdärförjetmotorerattföredravidhögahöjder(ochhögahastigheter).
Varförminskardåljudhastighetenmedminskandedensitet?Ikorthetkanmansägaattdetberorpåattavståndetmellanluftmolekylernaärlängresånärmanpetartillendröjerdetlängreinnandenträffarnästaochinformationenspridsvidare.Ommantaretttätaremedium,t.ex.vatten,såökarljudhastighe-tendrygt4gångerpågrundavatt”informationsvägarna”ärkortare.
Förattmanskallkunnajämföraprestandapåettkorrektsättförolikabe-tingelserärdetviktigtattdetfinnsenstandardfördefysikaliskastorheternasomen funktionavhöjden.Eftersomden riktiga atmosfärenaldrig är stillamåste en modell användas. Modellen av atmosfären är känd som Standard
136
Lärobok i militärteknik, vol. 1: Grunder
Atmosfären.Luftenimodellenantasfrifrånsmuts,fuktighetochvattenånga.Dessutomantasattdetärvindstilla,dvs.ingenrörelseiförhållandetillJordenochingenturbulens.
Efter lite trevande försök (innan 1952) finns numera The International Standard Atmosphere (ISA) som tagits fram av International Civil AviationOrganization(ICAO).ISAäretttabellverkmedtryck,temperatur,densitet,ljudhastighetm.m.somfunktionavhöjden.Dessavärdenärbaseradepåtidigamätningarmedalltfrånraketertillväderballongerochkansägasutgöramed-elvärdenpådessamätningar.
Ettvanligvärdeärt.ex.International Standard Atmosphere(ISA)0vilketärenvanligdagmedenlufttemperaturav15°Cvidhavsytan.VidISA+5ärdet20°Cvidhavsytan,vidISA–10ärdet5°Cvidhavsytanosv.
11.3 Vattenånga
Vattenångaärenosynliggassomalltidförekommeritroposfärenochharstorinverkanpåmolnbildning,nederbördoch räckvidder för elektrooptiska sys-tem.Ettexempelärläsarenselektrooptiskaögasomfungerarmycketdåligtviddimma.Luftfuktighetenkan,somallakännertill,varierakraftigtdagtilldagochiblandfråntimmetilltimme.
Vattenångatillförsluftenfrämstgenomavdunstningfrånstörreochmindrevattendragsamtvegetationochfuktigmark.Luftenhardockengränsförhurmycketvattenångadenkaninnehålla,dens.k.mättnadsgränsen.Ommervat-tenångatillförssåkondenserasöverskottetidroppar(elleriskristaller).Luftensförmågatillattinnehållavattenångabestämsfrämstavtemperaturen.Eftersomvisedantidigarevetatttemperaturennormaltsjunkermedökandehöjdfinnsnuallaingredienserförattförklarauppkomstavmoln.Soluppvärmd,fuktigluft stigerochnär temperaturen sjunkerminskar förmåganatthålla vatten-ånganochmolnbildas.Dettaärsåkalladecumuluseller”vackertväder”-moln.Mångaandramekanismeralstrarmolnmendåtarennyvetenskapvid,meteo-rologi,sominteskallavhandlashär.
11.4 Atmosfärsdämpning
Elektromagnetisk strålning dämpas under utbredning i atmosfären. Dämp-ningenvarierarstarktmedfrekvensen.Istoradragärdetsåattjuhögrefrek-vensdestostörredämpning.Sefigur11.2,därmanocksåkanseendeltopparsomberorpåresonansivatten-ochsyremolekyler.
Dettaärmestadelsettbekymmerförvårasensorerochradiokommunika-tionssystem.Dettakanmanutnyttja imilitärasammanhang.T.ex.kanmantänkasigettradiosystemsomanvänder60GHz-områdetsstoradämpningför
137
Atmosfärens påverkan på aerodynamik och vågutbredning
Figur 11.2. Atmosfärsdämpning. (Källa: FHS)
30
10
3
1
0.1
0.01
1 10 50 100 300
0.001
0.100
0.501
0.794
0.977
0.998
Atmosfärsdämpning vid klar väderlek utmed havsytan
Frekvens GHz
Däm
pnin
g i d
B/k
m
And
el a
v si
gnal
ens
ener
gi s
om ä
r kva
r efte
r 1 k
matt implementeraensmygfunktion.Ettsådantsystemblir svårtattupptäckapålängreavstånd.Redanefter3kmharsignalstyrkanminskatmedenfaktor180000ggr(=52.5dB)!
Ytterligareenobservationärattvid35GHzfinnsettminimaidämpning-en.DetärsåledesingenslumpattradarniAH-64Longbowanvänderjustdenfrekvensen.Låt oss tittapå ett annat frekvensområde,nämligendet optiska.Hurserdämpningenutdär?Ifigur11.3pånästasidaärtransmissionen*upp-ritadsomfunktionavvåglängd.
Noteraattfrekvensenökartillvänsteribilden.(0.2µm=1.5• 1015Hz=1.5PHzsamt20µm=1.5• 1013Hz=15THz).Härgörvibaraenobserva-tionattdetfinnsvissafönsterdärtransmissionenärhög,bl.a.inomdetvisuellaområdetochtermiskaIR-området.
* Medtransmissionmenashurstordelavdenursprungligasignalensomärkvar.
138
Lärobok i militärteknik, vol. 1: Grunder
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,00,2 0,5 1 2 5 10 20
Våglängd [µm]
Transmission
O3
CO2
CO2
CO2
CO2
H O2 H O2
H O2
H O2 H O2
Figur 11.3. Transmissionen över 1 km, höjd 10 m, temp 15°C, sikt 23 km. (Källa: FHS, Illustration: Samuel Svärd)
13�
12. Hydroakustik
12.1 Kort historik
Historisktharsjövägarnavaritavgörandeförhandelochvarutransportliksomförupptäcktochpolitiskexpansion.Ävenidagtransporterashuvuddelenavhandelnsgodspåköl.Behovavattkunnamätavattendjupetpåannatsättängenomempiriskaförsök(grundstötningar)harsåledesfunnitslängeochskeddeändainpå1900-taletmedelsthandlodning–mansänktenedenblytyngdlinameddjupmarkeringarochavlästedjupet.Dåfartygenvarrelativtlångsamma(framdrevsmedhjälpavårorellersegel)fungerademetodenförvånansvärtbra.Allteftersomfartygenblevmaskindrivnaochdärmedgickfortareochkundegåpårakarekursmellanhamnarna,uppstodbehovavattmätavattendjupetpåannatsätt.Ävenden(nya)militäraanvändningenavdykbåtar(ubåtar)bi-drog tillutvecklingenavden tillämpadedisciplinenhydroakustikoch idesskölvatten(sic!)följdeenstormängduppfinningar/instrument.
Detförstaförsöketattmätaljudhastighetenivattengenomfördes1826iGenève-sjönavDanielColladon.Frånenbåtsombefannsig8distansminuterfrånstrandengenereradesettkraftigtljudivattnetsamtidigtsommantändeenfosforblixt.Colladonmättetidenfråndethannoteradeblixtentilldessatthanmottogljudetgenomenivattnetnedsänkttrattförseddmedettgummi-membran.Ljudhastighetensomuppmättes,1435m/s,ärförvånansvärtkor-rekt(utgör99.98%avdetvärdesomidaganvändsförliknandeförhållanden).Efterdessaförsökblevmanallmäntmedvetenomattljudkundetransporteraslångasträckorivattnetochstudieravhydroakustikpåbörjadesöverlag.
Ettproblemmantidigtidentifieradeärdetmänskligaöratsdåligaanpass-ningtillattuppfattaljudivatten.Öratär,fögaförvånande,anpassatförattuppfattaljudiluft.Därförutnyttjademaninitialtettivattnetnedsänktrördär
140
Lärobok i militärteknik, vol. 1: Grunder
nederdelenvar förseddmedettgummimembran.Röretmeddessmembranfungerarsomenimpedansanpassareförattmatchaöratsakustiskaegenskaper.Vid slutet av 1800-talet konstruerade SamuelGray,USA, en ljudmottagareförundervattensbrukgenomatt klä in sinuppfinningkol-mikrofonenmedgummiochkoppladentillettparhörlurar.Denutnyttjadesnufördjupbe-stämning,menvardockbegränsaddåtidtagningenskeddemanuellt.
Den kanadensiske ingenjören och uppfinnaren Fessendens elektromeka-niskaoscillatorvaromnidirektional,dvs.saknaderiktningsverkan,ochutnytt-jadesunderVK1somkommunikationssystemförallaamerikanskaubåtar.Vi-darevarFessendenssystemettavflerasomutveckladesförattupptäckaisbergefterTitanicsförlisning1912.Desslågasändarfrekvens(upptillettparkHz)gjordedendockintesärskiltlämpligsomdjupmätaregenomsindåligaupplös-ningochringariktningsverkan.
ITysklandutveckladesomkring1920endjupmätare,Behm-lodet,därlju-detgenereradesavsmåkrutpatronerochdemottagnaekonaregistreradespåfotografiskaplåtar som senare ersattes av en elektromagnetisk funktion somävenblockerademottagarenunderexplositionsögonblicket.Densenarefunk-tionenvarenavgörandefaktorförBehm-lodetsframgång,t.ex.inomsvenskamarinen.
Även försök med piezoelektriska svängare inleddes kring 1920 då frans-mannenLangevinupptäckte ett sätt att utnyttja denmekaniska resonanseniensandwich-konstruktionmellanstålochkvartskristaller.Påsåsättkundesåväl frekvens och effekt höjas betydligt och grunden var lagd för modernaekolod/sonarsystem.
Dagenssystemanvändersigihuvudsakavelektrostriktivaljudomvandlare,keramer som i tillverkningen polariserats, t.ex. bariumtitanit.Terfenol-D äretthögmagnetostriktivtmateriallämpadförlågfekventaljudomvandlaremedhögeffektochprimärtmilitäratillämpningar.Namnetkanhärledasfråndesshuvudkomponenter,terbium(Te),järn(Fe)ochdysprosium(Dy)samtvardetutvecklades,nämligenvidNavalOrdnanceLaboratoryNOL).
Parallelltmedutvecklingavhydroakustiskmätutrustningharforskningrö-randeljudutbredningenivattenskett.Detärfrämstförhållandenaidestoraoceanernasomröntettomfattandeintresse,medandebetydligtmerkomplexaförhållandenaigrundavatten(<200m)förstdesenaste2–3decenniernaharvaritföremålförintensivastudierochomfattandefältförsök.
Godkunskapomhydroakustikkannämligenhaenavgörandetaktisk,ope-rativochävenstrategiskbetydelse.EttbelysandeexempelfrånVK2ärdentyskamarinensbristandekunskapomdehydroakustiskaförhållandenaiAtlanten.Närdetyskaubåtarnablevutsattaförubåtsjaktsöktedesigregelmässigtnedpåmaximaltdykdjup.Detärnaturligtattförsökakommasålångtbortfrånenjagandemotståndaresommöjligt.Dåubåtarnaintekundedykadjupareän
141
Hydroakustik
omkring100meterbefanndesigdärmedpåettdjupdärdehydroakustiskaförhållandenagjordedetlättfördejagandeövervattensfartygenattupptäckademochhållakontakt.Medbättrekunskapomdehydroakustiskaförhållan-denahadeubåtschefernakunnatväljadetförtillfälletmestskyddandedjupetochdärmedökatöverlevnadschansenväsentligt.
12.2 Begrepp
Hydroakustikenär ingenexaktvetenskap idenbemärkelse attdenhar sinatillämpningarienmiljösomärutomordentligtbesvärligatthafullkontrollövervidexperimentochfältmätningar.Laboratorieresultatenharhärsvårtattfulltutkunnatillämpas.Denteorisomområdetvilarpå,ihuvudsakakustikenochelektricitetsläran,ärdockvälkändochditorenommerad.Mångabegreppanvändsochdeflesta termerharamerikansktursprung,varför (onödigtvis?)mångaakronymerstårförengelskaord.Nedanföljerenförteckningöverförframställningenrelevantabegreppmedförklaringar:
Absorption. Betecknasα ochorsakasavattfriktionuppstårvidrörelsemellanpartiklarvarvidendelavenerginomvandlas tillvärme.Absorptionenärberoendeavviskositetenµ, täthetenρ,ljudhastighetenc ochfrekvensenfenligtsambandetα = k(µ/ρ.c3)f 2därkärenkonstant.
Aktiv sonar.Ettsystemsomutsänderljudpulserivattnet.Dådessaljudpulserträffarettobjektreflekterasdelaravdenutsändaljudpulsenochtasemotavsystemet.Oftamedgerdettaläges-ochkaraktärsbestämningavobjektet.
Akustisk impedans.Betecknaszochutgörproduktenavmediets täthet, ρ,ochljudhastighetenc.
Asdic.FörkortningavAnti-SubmarineDetectionandInvestigationCommit-tee.Dentidigarebrittiskabeteckningenpåsonar.
Brus.Oregelbundnatryckförändringar.
Cylindrisk spridning. Ljudet utbreder sig i en skiva med konstant tjock-lek likamed vattendjupet. Detta förutsätter dock att vattenyta ochbot-ten är helt plana. Vid cylindrisk utbredning avtar ljudintensiteten med10 log r + αr.
DI. Direktivitetsindex, egentligen antennförstärkningen (eng. Directivity Index).
DT.Detekteringströskeln, signal/brus-förhållande somprecismedgerdetek-tion(eng.Detection Treshold).
142
Lärobok i militärteknik, vol. 1: Grunder
Haloklin.Ettsprångskiktmedenpåtagligvertikalsalthaltsförändringjämförtmedomgivandevatten.Bildasmellanvattenmassormedolikasalthalt(sa-linitet).Vattnetstäthetökarmedökandesalthalt.
Hydroakustik.Ordetharbildatsavhydro–vattenochakustik–ljudlära,dvs.dethandlaromljudivattenochdåiallmänhetomljudutbredningenochdesstillämpningariolikasensorsystem,oftabenämndasonarsystem.
Hydrofon. Tidigaresvenskbenämningpåsonar.Numeraavsesendastunder-vattensmikrofon,dvs.omvandlare frånakustisk energi i vattnet till elek-trisk.Engelskbeteckninghydrophone.
Hydrografi. Dendelavhavsforskningen somrörmätningenavhavensvat-tenstånd,djup,strömmarochvågrörelsersamthavsvattnetsfysikaliskaochkemiskaegenskaper.
Isotermi. Konstanttemperatur.Användsiallmänhetfördeförhållandensompräglarettvattenskiktmedkonstanttemperatur.
Isotropt brus.Brusetärlikastortiallariktningar.
Isoveli. Konstantljudhastighet.Användsiallmänhetfördeförhållandensompräglarettvattenskiktmedkonstantljudhastighet.
Ljud. Medljudmenasrörelsenhosmolekylernaiettelastisktmedium(t.ex.vattenellerluft).
Ljudhastighet.Betecknasmedc ochutgördenhastighetmedvilkenrörelsenhosmolekylernaiettelastisktmediumtransporterasgenommediet.
Ljudintensitet. Akustiskeffekt,betecknasmedI, utgördenenergimängdsompertidsenhetgenomströmmarenytenhetochutgörsavproduktenavljud-trycketpochpartikelhastighetenu.Ljudintensitetenkanocksåuttryckassomkvotenmellankvadratenpåljudtrycketochdenakustiskaimpedansen.
Ljudtryck.Betecknasmedp.Utgörproduktenavpartikelhastighetenimediet,u,ochdenakustiskaimpedansen.
Ljudutbredningsförluster.BetecknasisonarekvationernamedTL(transmis-sion losses). Orsakas av geometrisk spridning (sfärisk och cylindrisk), ab-sorption,temperatur-ochsalthaltsvariationer,bottenkaraktär,bottentopo-grafisamtavinhomogeniteterivattnetm.m.
NL. Brusnivån,dvs.nivåavoönskatbuller(eng.Ambient-Noise Level).
Passiv sonar.Ettsystemsomendastlyssnarochärlämpatförattregistreraochvidareförädlaljudsomalstratsivattenavt.ex.ubåtar.Oftamedgerdettariktnings-ochkaraktärsbestämningavobjektet.
143
Hydroakustik
Perifon.Tidigare tysk benämning på sonar. Ordet troligen bildat av ordenperiskop(utseendet)ochfon(ljudfunktionen).
Reverberation. Spridning,scattering,avljudetivatten.Ytreverberationupp-kommer från spridning vid ytor med olika akustisk impedans (bottnen,vattenytanetc.).Volymreverberationorsakasavinhomogeniteter(luftblåsor,planktonetc.)imediet.
Sfärisk spridning. Ljudet sprider sig likformigt i vattnet tills det träffar enytamedannanakustiskimpedanssomt.ex.vattenytanellerbottnen.Vidsfäriskutbredningavtarljudintensitetenmed20 log r + αr.
SL.Signalstyrkan,måletsbulleripassivafallet,egetutsäntljudidetaktivafal-let(eng.Source Level).
Sonar.FörkortningavSound Navigation and Ranging (jmfRadar).Amerikanskbeteckning,numerainternationellstandard,påakustiskasensorsystemförundervattensbruk.
Svängare. Omvandlarefrånelektriskenergitillakustiskenergiivattnet.Eng-elskbeteckningtransducer.
Termoklin. Ett språngskikt med en påtaglig vertikal temperaturförändringjämförtmedomgivandevatten.Bildasmellanvattenmassormedolikatem-peratur,oftasäsongsberoende.IÖstersjönkantemperatursprångsiktfinnaspåbaranågraellernågratiotalsmetersdjup,medanitropiskahavfinnsdepå300–400mdjup.
TL.Utbredningsförluster(eng.Transmission Losses).
Ton.Regelbundnatryckförändringar.Reverberationenkallasiblandpopulärtför”vattenton”.
TS. Styrkan på den del av utsänt ljud som målet reflekterar (eng. Target Strength).
12.3 Ljudets utbredning i vatten
12.3.1 Allmänt
Jordens yta är till 2/3 täckt av vatten.Medeldjupet i oceanerna är omkring3700m,medelsalthaltenärstraxunder35promilleochmedeltemperaturenärca3.5grader.Östersjönärspeciellochutgörettepikontinentalhav(innanhav)ochkännetecknasavettlitetvattendjup(medeldjupetär62m)samtkraftigtskiktadevattenmassor.Skiktningenberorpådensitetsskillnaderivattnetoch
144
Lärobok i militärteknik, vol. 1: Grunder
omdeärorsakadeavförändradesalthalterkallasdeförhaloklinermedandeskiktsomuppståttpga.skildatemperaturförhållandenbenämnestermokliner.VattnetiÖstersjönharenrelativtlågsalthaltsomväxlarfrån15promille(tu-sendelar)isödertill3promilleinorrochbrukarbetecknassombrackvatten.Saltvatten,somfinnsiKattegattochSkagerack,harhaltersomnormaltväxlarmellan20och30promille.Östersjönsbottenförhållanden,prägladeavdetidi-garerådandeglacialaförhållandena(inlandsisen),kännetecknasavstoraarealermed”hårda”bottnarvilketbidrartillbesvärandehydroakustiskaförhållanden.Enfördelärdockattabsorptionen,sompåverkartransmissionsförlusten,äriÖstersjönsvattenca1/3avvaddenärisaltvattnetpåvästkusten.
Vatten är ett utmärkt medium för utbredning av ljudvågor. Radarvågorpenetrerarvattendäremotendastiringaomfattningocht.ex.en(blå)grönlaseruppnårenpenetrationpåhögst50miklartvatten.Igrumligtvattennårdessavågor(λ ≅500nm)dockendastnågonmeter.
12.3.2 Spridning
Ljudvågorna förändras och sprids under sin fortplantning genom vattnet.Ljudintensitetenminskasochbrusnivåntilltar.Mantalaromtvåformerförspridning,nämligengeometrisk spridningochreverberationsspridning.
Dengeometriska spridningen sker enligt två idealamodeller: sfärisk ochcylindrisk spridning. I verkligheten så existerar inte ideala förhållanden utanmantillämparenerfarenhetsbaseradmixdememellanvidhydroakustiskabe-räkningar.
Närljudetspridersig likformigtivattnetkallasdetförsfäriskspridning.Denpågårtills ljudetträffarenytamedannanakustiskimpedans,t.ex.vat-tenytan eller bottnen. Vid sfärisk utbredning avtar ljudintensiteten med20 log r + αr. Manbrukarnyttjasfäriskspridningimodellerdärvattenvoly-menärstorelleroändlig.
Vid cylindrisk spridning utbreder sig ljudet i en tänkt skiva med kon-stanttjockleklikamedvattendjupetochförutsättergivetvisattvattenytaochbotten är helt plana. Vid cylindrisk utbredning avtar ljudintensiteten med10 log r + αr.Denpåverkasöveravståndetdåbottentopografinsvariationin-verkarstarkt.Reverberationensätteroftabegränsningenfördennaberäknings-modell.
Då ljudutbredningen i grundavattenärkomplexnyttjas för attberäknaljudutbredningensärskildamatematiskamodellerbaseradepåensfärisksprid-ning inärområdet somövergår i cylindrisk spridning.Modellernaärdock iallmänhetstarktförenkladeochharsvårtattberäknainverkanfrånvattenytanochbottentopografien.
145
Hydroakustik
Ytreverberationuppkommerfrånspridningvidytormedolikaakustiskim-pedans(bottnen,vattenytanetc.).Bottenbeskaffenhetenharhärvidstorbety-delse.Mantalaroftaomvattenytereverberationochbotttenreverberationdådeiallmänhetskiljersigtidenidetsvarsomerhållesfrånenutsändsonars-puls.Volymreverberationorsakasavinhomogeniteterivattnetsåsomplankton,fiskstim,gasbubblor,oorgansiskapartiklaretc.Reverberationigrundavattenärstarktkoherent.Vidavsaknadavenbramodellförberäkningavreverbera-tionenkanmanuppnåetthyfsatresultatgenomattgöraenstrålgångsanalysför att ungefärligt se när i tiden effekten av de olika reverberationskällorna(vattenytan,botten,inhomogeniteterivattnet)böråterfinnasidenmottagnasignalen.
Reverberationen utgör tillsammans med ljudavböjningen den viktigasteräckviddsbegränsande faktorn vid användningen av hydroakustiska system igrundavatten.
Förenklatkanytreverberationen(RLy)beräknasommankännerljudkällansnivå,pulslängd,lobbredd,avståndet,ljudhastighetensamtreverberationskoef-ficienten(Sy).Densenarestyrsihuvudsakavbottenbeskaffenhetenochvarie-rarungefärfrån–10dBförhårdbottentill–40dBförlerbotten.SandbottnarharenSypåca–25dB.Detekteringströskeln(DT)blirannorlundaidetfallensonarärreverberationsbegränsadjämförtmedomdenärbrusbegränsad,DTRrespektiveDTN(seavsnittetomsonarekvationerna).
12.3.3 Absorption
Äregentligenenvärmeförlust.Denorsakasgenomdenfriktionsomuppkom-mervidmolekylernasrörelsevarvidendelavljudenergienomvandlastillvärme.Absorptionentilltarmedökandesalthalt,liksommedstigandefrekvenshosdenutsändaljudsignalen.AktivahögfrekventasonarsystemiAtlantenärutsattaförmyckethögabsorptionα >40dB/km,medanettlågfrekvent(normaltfö-rekommande)harenabsorptionpåα <0.2dB/km.IÖstersjön,meddessbrackvatten,ärabsorptionenlåg,mendetringavattendjupetgörsystemenoftareverberationsbegränsade,varfördetärvanligtattnyttjahögfrekventasonarsystem,vilkadessutommedger enhögreupplösning.Absorptionenkanberäknasenligtsambandetα = k(µ/ρ.c3)f 2därk ärenkonstant,µ visko-siteten, ρ tätheten,cljudhastigheten ochf frekvensen.
12.3.4 Hastighet
Ljudhastighetenivattenärejkonstant.Denvarierarmed6%kringschablon-värdet1500m/s.Variationernaberorihuvudsakpåvattnetstemperaturochsalthalt. Vattentrycket påverkar även, men i mindre grad. Det finns många
146
Lärobok i militärteknik, vol. 1: Grunder
empirisktgrundadeformlerförattberäknaljudhastigheten.Detsomkänne-tecknardemallaärattdeärrelativtomfattandeochlämpadeförocean-förhål-landen.EttexempelpåenmeromfattandeformelkanhämtasfrånInstruktion för Stridstjänsten för Flottan(ubj):
c=1402.5+4.95t–0.0457t2–0.011tS+1.28S+0.016S2+0.017d
därcärljudhastighetenim/s,t=temperaturenioC,S=salinitetenipromilleochd=vattendjupetim.
HeltavgörandeinverkanpåljudhastighetenharsåledestemperaturenochförgrundavattenförhållandenmedlågasalthaltersomiÖstersjönerhållesoftatillräckligtbraljudhastighetgenomattnyttjadennastarktförenkladeformel:
c=1405+4t+S
därcärljudhastighetenim/s,t=temperaturenioCochS=salinitetenipro-mille.
12.3.5 Dopplereffekt
Ettekofrånettmålirörelseändrarfrekvensjämförtmeddenutsändaljudpul-sen.Dettaberorpådens.k.Dopplereffektensominnebärattenljudpulssomsändsfrånettobjektirörelsefårenfrekvensändringsomärproportionellmotsändarens rörelse. Frekvensändringen (∆f ) kan beräknas genom sambandet ∆f = 2vf/c därvärmåletshastighetrelativtsiktlinjenim/s,färdenutsändafrekvenseniHzochcljudhastighetenimediet.Ettmålsomgårvinkelrättmotsiktlinjengeringendopplereffektemedandetharenrelativhastighetpå0m/s.Gårdetmotmätandeenheterhållespositivdoppler(ökadfrekvens)ochgårdetfrånmätandeenhetregistrerasnegativdoppler(minskadfrekvens).
12.3.6 Ljudavböjning
En ljudstråle som träffar en diskontinuitetsyta (gränsytan mellan två medi-ermedolika ljudhastigheter)böjsav ienlighetmedSnell’s lagfrånoptiken,c1/ cosα1 = c2/ cosα2 = c3/ cosα3 etc. därcn=ljudhastigheten i skiktetnochαn= strålensinfallsvinkelmotdiskontinuitetsytan.Träffarstrålenettskiktmedlägreljudhastighetsåböjsstrålennedåt,motbottnen,ochviceversa.
SäsongsvariationernaavseendeljudutbredningäravsevärdaiÖstersjönochoftaärdebesvärande.Dessabestämsavomdetföreliggerennegativellerposi-tivvertikalljudhastighetsgradient.Ennegativgradientinnebärenminskandeljudhastighetivertikalledochuppstårdåvattnetstemperaturavtarfrånytan
147
Hydroakustik
motbottnen.Dessa förhållandenråderundersommarenochmanfårdåenkraftigljudavböjningmotbottnenochensonarräckviddpånågrahektometer.Underhöstenråderoftaisovelinedtill25–30mdjupvarunderdennegativavertikala gradienten kvarstår. Det medför att den räckviddsbegränsande av-böjningen, för en ytligt placerad ljudkälla, inte blir särskilt besvärande ochdenpraktiskaräckviddenflerfaldigasjämförtmedförhållandenatidigareundersommaren.Undervinterförhållanden,dådetråderenpositivgradientiÖst-ersjönmedisoveliidenundredelenavvattenmassan,måsteljudsändarenpla-cerasdjuptförattfålångaräckvidder;enytligtliggandeljudkällaunderdessaförhållandenharenbegränsadräckviddpågrundavattljudstrålarnaböjeravuppytanochenskuggzonbildas.Dockärförhållandenaavsevärtmergynn-sammaänundersommarendåalltutomnärområdetliggeriakustiskskugga.
IKattegattochSkagerrakärvattenvolymenoftast skiktad,medett skiktbrackvatten som strömmat ut frånÖstersjönöver ett skiktmed salt ocean-vatten.Enmycketkraftigochdistinkthaloklinäridessavattenområdenoftastförhanden.
Ien ljudkanal fortplantarsig ljudetmedsmåförluster.Enljudkanalkanuppståietthorisontelltutbrettvattenskiktmedlägreljudhastighetänomgi-vandevattenvarvidljudetreflekterasideomgivandegränsytornagenomlju-davböjning.Härvidkanlånga,anomala,räckvidderuppnås.Idestoraocea-nernaärsådanakanalervälkända.IÖstersjönuppstårlokalasådanaisynnerhetunderdendelavåretdåytvattnetharenhögretemperatur(ochdärmedhögreljudhastighet)änunderliggandevattenmassaochvattnetnärmastbottnenpga.högresalthaltharenhögreljudhastighetänvattnetovanför(inflödetiÖster-sjönavsaltarehavsvattenskermedbottenströmmarienmotsolsrörelse).
Laterala ljudhastighetsvariationer är vanliga (jmf badvattentemperaturen)ochäroftabesvärligaattbedömaförstoraavstånd.Deflestaljudutbrednings-modeller somfinnstillgängligasaknar förmågatillprognoseröver störreav-ståndutanärbaseradepåattmanmätertemperaturochsalthaltivertikalledpådenplatsdärmanbefinnersig.Delateralavariationernaorsakasavhydro-grafiska,meterologiskaochmaringeologiska förhållanden.Kyligt vattenkangenomströmmarsförsorgvällaupp,vindarkanmomentantförändraytvatten-temperaturen,stormarkanorsakaisoveliochyt-ochbottenströmmarnastyrsbl.a.avbottentopografien.
TransmissionsindexTI=20logp1/p2därp1ärljudtrycketinnanpassageavakustisktmediummedannanakustisktimpedans(t.ex.ett”akustisktfönster”)ochp2ärljudtrycketefterpassage.Kvotenp1/p2beräknasurföljandeformelhämtadfrånoptiken:
p1/p2 = 2/ 4cos2β + (χ +1/χ)2 sin2β
148
Lärobok i militärteknik, vol. 1: Grunder
där β = 2πd/λ, χ =ρ1c1/ρ2c2, d=tjockleken av det akustiska fönstret ochρ1c1/ρ2c2ärkvotenmellandenakustiskaimpedansenförresp.medium.Oftaärdetönskvärtattappliceraettakustisktfönster(endom)somblirakustiskttransparent,dvs.attljudetpasserargenomfönstretutannågondämpning.Ommaniovanståendeformelsätterdtillhalvavåglängden(iplattan)blirβ = π ochTIblirlikamednollochljudetpasserarutandämpning.
12.3.7 Sonarekvationerna
Sonarekvationerna,enföraktivasonarsystemochenförpassiva,utnyttjasförattberäknadettröskelvärdedåettmålkanupptäckas,detekterasavettspeci-fiktsonarsystem.Sonarekvationernatarhänsyntillsonarsystemetsegenskaper,måletskaraktärochuppträdandemiljö.Iekvationernarelaterasallaenhetertillgrundenheten1µPapåavståndet1mochiHz-bandochangesilogaritmiskform(dB).Referenssignalenhänförsigalltidtillenplanvågmedettljudtryckav1µPaeffektivvärde.
• Denpassivasonarekvationentecknas:DT=SL–TL–NL+DI.
• Denaktivasonarekvationentecknasnormaltochvidbrusbegränsandeför-hållanden:DTN=SL–2TL+TS–NL+DI
• Vidreverberationsbegränsandeförhållandenfårdenaktivasonarekvationenföljandeutseende:DTR=SL–2TL+TS–RL
Parametrar som styrs av...
Sonarsystemet Aktuellt medium Målet
• SL (Sändarens signal-styrka)
• NL (Egenbrus)• DI (Förstärkning av mot-
tagen signal i antennens riktning)
• DT (Detektionströskeln)
• TL (Utbredningsförlus-terna)
• RL (Reverberationsnivån)• NL (Sjöbrus, Regn- och
vindgenererat brus)
• SL (Målets utstrålade buller)
• TS (Målekostyrkan)
TS, målekostyrkan, kan vara besvärlig att beräkna. För ubåtar är den-na omgärdad av hög sekretess. Enligt definitionen tecknas målekostyrkansom kvoten mellan intensiteten av den reflekterade vågen på 1 m avståndfrån dess akustiska centrum och intensiteten hos den infallande ljudvågen: TS = 10 log (Ir /Ii )
Betydelsenavenlågmålekostyrkahosubåtarförattförsvåraellerförhin-draupptäckttordevarauppenbar.Målekostyrkanhosubåtarkandockvarierahögstavsevärt,måhändafrån–6dBtill35dBochärberoendeavgeometrisk
14�
Hydroakustik
formochytbeläggningensreflekteringsförmåga.Vidareärdenvinkelmedvil-ken den utsända signalen träffar (insonifieringsvinkeln) betydelsefull, varförubåtenstaktiskauppträdandeiförhållandetilldenspanandesonarenäravstorviktochförutsättergodahydroakustiskakunskaperhosubåtsofficeren.
12.4 Exempel
12.4.1 Passivasystem
• Bestämning av räckvidder för passiva system (vid sfärisk spridning)
Somgrundförräckviddsbestämningutnyttjasdenpassivasonarekvationen:
DT=SL–TL–NL+DI
Räckviddenringåriuttrycketförtransmissionsdämpningen(TL)enligt
TL=20log(r)+α r+60(dB)(ref.avstR0=1m)(α=absorptionskoefficientenuttrycktidB/km,r=räckviddenikm)
Ommankännermåletsspektralanivå(SL),sittegenbuller(NL),ev.an-tennförstärkning(DI)ochvärdetfördetekteringströskeln(DT)kanmanbe-räknaräckviddenrförolikamål(olikaSL)vidolikahydrografiskaförhållan-den(olikaα).Seföljandeexempel:
1. Måletsutstråladebullerär116dB.
2. Uppmättegenbullerär60dB.
3. Detektionerhållesvid0dB(s/n).
4. αiÖstersjönär2dB/km.
5. Beräkninggerdåenräckvidd på 560 m.
Detfinnsiallmänhetfärdiganomogramfördettasyfte.
12.4.2 Aktivasystem
• Bestämning av räckvidder för aktiva system (vid sfärisk spridning)
Bestämräckviddenmedhjälpavföljandeuppgifter:
150
Lärobok i militärteknik, vol. 1: Grunder
1. Givetär SL=210dB TS=12dB NL=70dB DI=15dB DTN=3dB α =10dB/km(sändarfrekvensca100kHz)
2. Söktärr(räckviddenikm).
Sonarenärejreverberationsbegränsad.
3. Somgrundförräckviddsbestämningutnyttjasdenaktivasonarekvationen
DTN=SL–2TL+TS–NL+DI
Vilkenger2TL=210+12–70+15–3
TL=82
4. Räckvidden(r)ingåriuttrycketförtransmissionsdämpningen(TL)enligt
TL=20log(r)+αr–60dB(ref.avstR0=1m)
Vilketger82=20log(r)+10r–60
r=12
Räckvidden blir ca 12 km.
• Bestämning av målekostyrka för olika geometriska former
1. Beräknamålekostyrkanhosensfärmedradien2m.Sfärenantasvaraenperfektochisotropreflektor,dvs.denreflekterarlikaiallariktningarochalleffektreflekteras.
Insonifieringseffektenblir Ii π a2där Ii=intensitetenhosden infallande
ljudvågenocha=radienhossfären.Dåhelaeffektenreflekterasblirdenreflekteradeintensitetenpåavståndet1mfrånsfärenIr = (πa2/4πr2) efter-somdenreflekteradeeffektenfördelasöverytan4πr2ochdära=radienhossfärenochr=avståndetfrånsfären.
IrkandåberäknasochblirIr = (πa2/4πr2)Ii ;Ir=(a2/4)Ii.
MålekostyrkanTSdefinieradsomTS = 10 log (Ir /Ii ) gerdåTSsfär = 10 log (a2/4).
Målekostyrkanhosdenidealasfärenmed2mradieblirdå0 dB.
Förenditosfärmedradien5mblirTS=8dB;medradien1mblirTS=–6dB.
151
Hydroakustik
Frekvensensaknarbetydelse i falletovanmedsfären, förutsattatt sfärensdiameterärmycketstoriförhållandetillvåglängdenhosdenutsändasig-nalen.Vidövrigageometriskaformeringårdockvåglängden.
2. TSförenidealcylinderkanberäknasursambandetTScyl = 10 log (aL2/2λ) däraärradien,Lärlängdenochλärvåglängden.Alltuttrycktim.
Bestämmålekostyrkanhosencylindermedradiena=1.5mochlängdenL=15m.
Deninsonifierandeljudkällansändermedenfrekvensav8kHz.
Ljudhastighetenivattnetsättstill1440m/s
Våglängdenberäknasursambandetλ =c/f
λ =1440/8000=0.18m
TScyl=10log(337.5/0.36) =29 dB
3. TSförettidealtplankanberäknasursambandetTSplan = 10 log (A/λ)2
därAärareanim2ochλärvåglängdenim.
Bestämmålekostyrkanhosettplanmedarean10m2ochdärinsonifierandeljudkällasändermedenfrekvensav30kHz.
Ljudhastighetenivattnetsättstill1500m/s.
λ =1500/30000=0.05m
TSplan=10log(10/0.05)2 =46 dB
• Dopplereffekt
Ettfartyggårraktmotsonarenisiktlinjen.Beräknamåletsfartiknop:
1. Utsändsignal(f )16kHz
2. Registreraddopplereffekt(∆f )115Hz
3. Ljudhastigheten(c)1440m/s
4. Måletsfart(v)sökt
5. Sambandet ∆f = 2vf/c ger 115 =2 • v • 16000/1440; v = 5.2 (m/s)v = 10 knop
152
Lärobok i militärteknik, vol. 1: Grunder
• Ytreverberation
Enaktivsonarharlobbredden12o,sänderutensignalpånivån205dBmedenpulslängdom33ms.Bottnenbeståravlera.Ljudhastighetenär1440m/s.BeräknaytreverberationenRLypåavståndet2500m:
1. DenbestråladeytanA=ΦrcT/2
därΦ = sonarensöppningsvinkeliradianer(1o=π/180rad)r=avståndetimc=ljudhastighetenim/sT=pulslängdenisekgerA=12•π/180•2500•1440•33•10−3/2;A =12440m2
2. SL=205dBr=2500m
ReverberationskoefficientenSy,(förlera)=–40dB(sand–25dBochberg–10dB)
3. Sambandet RLy=SL–40logr+Sy+10logAgerRLy=205–40log2500–40+10log12440RLy=205–136–40+41RLy = 70 dB
• Ljudintensitet
LjudintensitetenkanberäknasursambandetI=p2/z:
1. Antagettljudtryckppå1Pa(1N/m2).
2. Ljudhastighetenivattencantasvara1500m/s.
3. Vattnetstäthetρ sättstill1000kg/m3.
4. Sambandetz=ρcgerenakustiskimpedansz=1.5x106kg/m2s.
5. Ljudintensitetenblirdå:I=1/1.5•106I=6.5•10–7 W/m2
(Omvänt ger en ljudintensitet på 1 W/m2 upphov till ett ljudtryck(zI)=1.225kPa.)
153
13. Laser
LASERärenakronymförLight Amplification by Stimulated Emission of Ra-diation,vilketpåsvenskablir”ljusförstärkninggenomstimulerademissionavstrålning”.Idettakapitelbehandlasgrundernaförlaser,olikatyperavlasrar,strålutbredning,atmosfärspåverkanochlasersäkerhet.
13.1 Grunder för laser
Medlasermenasenapparatsomlevererarmonokromatisktljus,detvillsägaljusavprincipenendavåglängd,ochattljusetärkoherent,vilketinnebärattallt ljus,fotonerna,svängerifasmedvarandra.Lasernsgrundprincipbyggerpåförstärkningavljusgenomstimulerademissiondärförstastegetärattenyttreenergikällatillförenergiiettlasermaterialförattlyftaelektronerna,exci-tera,frånsingrundnivåtillenhögreenerginivå(sefigur13.1).Dettakallasattpumpalasern.
Elektronen har mycket kort livslängd på pumpnivån och faller snabbtnertillvadsomkallasdenövrelasernivån(sefigur13.1),därlivslängdenäravsevärt längre.Genomattkontinuerligtpumpa lasernkanenpopulations-inversionskapasmellandenövreochundrelasernivån.Populationsinversioninnebärattdetärflerelektroneridenövrelasernivånänidennaturligagrund-energinivån.
När en elektron rör sig fråndenövre lasernivån tillden lägre lasernivånemitterardenenfoton,detvillsägaljus.Dennaemissionavljus(fotoner)kall-lasspontanemission.
Energiskillnadenmellanövreochdenundrelasernivånbestämmerljusetsvåglängd.Närelektronenfaller frånpumpnivåntillövre lasernivårespektive
154
Lärobok i militärteknik, vol. 1: Grunder
frånnedre lasernivån till grundnivånemitteras ingen fotonutanblir iställetvärmeförluster.Detsomkrävsutöveryttreenergikällaochlasermaterialförattåstadkommaenlaserärspeglar,ävenkallatoptiskresonator.Speglarnaplaceraspåvarsinsidaomlasermaterialetriktadesåattdekanreflekteraljuset,dvs.fotonerna,mellanspeglarna(sefigur13.2).Enfotonsomreflekterasmellanspeglarnapasserarigenomlasermaterialetochomdendåträffarenexciteradelektronkommerdenattstimuleraemissionavytterligareenfotonmedsammafas,våglängdochriktningsomdeninfallandefotonen.DäravnamnetLASER(Light Amplifica-tion by Stimulated Emission of Radiation).
Enavspeglarnamåstevaradelvisgenomskinligsåattendelavfotonernakankommautförattbildaenlaserstråle.Sålängedenyttreenergikällantillförenergiilasermaterialetkommerlasernattlysa(sefigur13.3).
Tillförd energi
Pumpnivå
Grundnivå
Övre lasernivå
Nedre lasernivå
(värmeförlust)
(värmeförlust)
Ljus (Fotoner)
e
e
e
Figur 13.1. Pumpning av laser. (Källa: FHS)
Pumpnivå
Grundnivå
Övre lasernivå
Nedre lasernivå
Ljus (Fotoner)
spegel spegel
Figur 13.2. Hur en laserstråle produceras. (Källa: FHS)
155
Laser
Blixtlampa
Blixtlampa
Blixtlampa
Lasern är i sitt icke-lasrande tillstånd.
Blixtlampan lyser (tillför energi)in i rubinen och exciterar rubinensatomer.
Några av atomerna gör en spontanemission och emitterar atomer.
Några av fotonerna rör sig parallelltmed rubinstavens längdriktning ochstudsar fram och tillbaka mellanspeglarna. Under tiden träffar deandra exciterade atomer och stimu-lerar dem att emittera en foton (såkallad stimulerad emission).
Laserljus med samma frekvens,fas och riktning strömmar ut urden halvgenomsläppliga spegeln.
Spegel
Halvgenomsläpplig spegel
AtomerExciterade atomer
1
2
3
4
5
Blixtlampa
Figur 13.3. Hur laserljus skapas. (Källa: FHS, Illustration: Samuel Svärd)
156
Lärobok i militärteknik, vol. 1: Grunder
Enlaserkanhaolikalasermaterialochdelasinikategoriereftervilketma-terialsomanvändsförattskapalaserstrålen.Dessaär:
• Gaslaser
• Kemisklaser
• Färgämneslaser
• Halvledarlaser
• Fastatillståndslasrar
Somyttreenergikälla,pumpningavlasermaterialet,användselektriskellerkemiskenergialternativtoptiskstrålning.
Laserstrålenharföljandespeciellaegenskaper:
• Denärparallellochfårdärmedlågspridning(divergens).
• Denärkoherent,dvs.harsammafas.
• Denärmonokromatisk,vilketinnebärattdenliggerinomettsmaltvåg-längdsområde.
Dessaegenskapermedförattlasernärattraktivattnyttjaförmilitäratill-lämpningar,t.ex.föravståndsmätningochsomledstrålarförstyrningavt.ex.robotar.Ennackdelmedlaserärattdenharlågverkningsgrad.
13.2 Olika typer av lasrar
Ovanharendastkoherentlaserberörtsmendetfinnsävenlasrarsomärinko-herenta,dvs.fotonernaistrålenliggerinteifas(sefigur13.4).
Olika typer av laser
Koherent
(Fotonerna i strålen är i fas)
Inkoherent
(Fotonerna i strålen är inte i fas)
Figur 13.4. Skillnad på koherent och inkoherent laser. (Källa: FHS)
157
Laser
13.2.1 Inkoherentlaser(direktdetektion)
Ärmanendastintresseradavattfåettavståndtillettobjektgenomattmätagångtidenförenkraftiglaserpulsmedenlaseravståndsmätarekandirektdetek-tionanvändasmedeninkoherentlaser.Avståndeträknardenutgenomattmätatidendettarförlaserpulsenattfärdasfrånlaserntillmåletochtillbaksigen.Dåhastighetenipulsenärkänd(ljusetshastighet,ca300000km/s)kanavståndettillmåletberäknas.Viddirektdetektionmätsendastdenreflekteradestrålning-ensintensitet.Ennackdelmeddirektdetektionärattsignal-brusförhållandetinteärsåbra.Medhjälpavettsmalbandigtfilterdärendastdenintressantare-flekteradelaserstrålningensläppsigenomkanmycketavbakgrundsstrålningenfiltrerasbort.Eftersomdetektornbaramäterintensitetenkandopplerskiftintemätasochdärmederhållsingeninformationomhastighet.
Fördelar Nackdelar
• Enkelt• Billigt
• Bakgrundstrålning• Låg känslighet• Kan inte mäta hastighet
13.2.2 Koherentlaser
Medkoherentdetektion,vilketärettmerkompliceratsystem,kanocksåamp-litud-ochfasinformationendetekteras,vilketutökaranvändningsområdetförenlaser.Genomattkunnamätafasenpåinkommandestrålningfinnsmöjlig-hetattbl.a.mätahastighet.
Ettkoherentlasersystemsomärpulsatkräverenlokaloscillatorstrålesomgenereras internt i systemet.Pådetektornblandasdenmottagnastrålningenmedlokaloscillatorstrålen.Påsåsättkanfasändringarpga.dopplermätasidenmottagnastrålen,vilketmöjliggörmätningavhastighet.Systemetblirjämförtmedeninkoherentlaserrelativtkomplicerat,vilketökarkostnaden,ochefter-sommananvändertvålaserstrålarkrävsdetennoggrannupplinjeringavdessasåattdeärparallellaförattsystemetskallfungerapåavsettsätt.
Fördelar Nackdelar
• Okänslig för bakgrundsstrålning• Hög känslighet (ca 1 000 ggr högre än
inkoherent laser)• Kan mäta hastighet
• Komplicerat system• Dyrt• Höga krav på upplinjering
158
Lärobok i militärteknik, vol. 1: Grunder
13.3 Strålutbredning för laser
Enlaserstrålebeskrivsvanligensomenstrålemedgaussiskstrålprofil,dvs.denharnormalfördelad intensitetsfördelning.Fördelenmed att beskriva strålensutbredningsegenskaperpådettasättärattmankananvändaformlerhärleddafrånvågekvationen.Laserljusetärparallelltochhardärmedlågdivergens.Ävenomspridningenavstrålenärlågsåärdivergensenavsådanstorlekattdenpå-verkarsystemetsprestandaochdärmedviktigatthållasålitensommöjligt.
Viktigaparametrarförattbeskrivaenlaserstråle,ochdärmedsystemetpre-standa,ärstrålradie,divergensochdiffraktion.Radienförstrålenangessomstrålradienochdivergensenbeskriverhurstrålradienökarmedavståndetfrånlasern (se figur 13.5). En stor divergens innebär att strålradien ökar snabbtmedavståndet,vilketpåverkarsystemetsprestandanegativtsomt.ex.gersämreupplösningochlägreenergiperytenhet.Närenlaserstråle,vågor,passerarenapertursomharbegränsadöppninguppstårdiffraktion(strålenböjsaviyt-terkanterna).Detärdiffraktionensomprimärtpåverkarvilkenminstastråldi-vergenssomkanuppnås.Förhållandetmellanstråldivergensochdiffraktionärsådanattökasaperturstorlekensåreducerasdivergensen.Förattfåsåhögeffektperytenhet,dvs.litendivergens,sommöjligtpålångtavståndfrånsändarenmåsteaperturenvararelativtstor.Sambandetmellanstrålradieochstråldiver-gens.
r~s(km)*@(mrad) 2
Laser @r
s
r = strålradie@ = stråldivergenss = avståndet till objektet
Sambandet mellan strålradie och stråldivergens
s x @2
r ~
Figur 13.5. Sambandet mellan strålradie och stråldivergens. (Källa: FHS)
15�
Laser
13.4 Atmosfärspåverkan
Detärintebaradiffraktionsompåverkaregenskapernahosenlaserstråle.At-mosfärenpåverkarlaserstrålen,ochdärmedsystemetsprestanda,genom:
• Transmissionsdämpning
• Turbulens
• Termiskdistorsion
Transmissionsdämpning påverkar räckvidden för systemet och generelltkan sägas att ju längre våglängddestobättre räckvidd.Dendämpning i at-mosfärensompåverkartransmissionenärihuvudsakabsorption,vätske-ochstoftpartiklarsamtspridningigaser.
Atmosfärenstransmissionharuppmättsvidhavsnivå(sefigur13.6).Bildenvisaratttransmissionenärlåginomvissavåglängdsområdenmenattdetocksåfinnsområdenmedrelativthögtransmission,s.k.transmissionsfönster.Dessatransmissionsfönster som ligger inom våglängderna 300–1300nm, 1500–1700nm,2000–2500nm,3000–5000nmsamt8000–14000nmärdeområdensombästlämparsigförlasersystem.
Dendämpningsomorsakasavabsorbtionsamtvätske-ochstoftpartiklarberorfrämstpåhurmycketpartiklardetfinns,koncentrationen,ochpartikel-storleken.Dimma,dis,rökochdammgerhögredämpningvidkortarevåg-längdermedansnöochregngerenrelativtvåglängdsoberoendedämpning(sefigur13.7pånästasida).
Våglängd (m)
Tran
smitt
ans
(%)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
20
40
60
80
100
O2 H O2 CO2 H O2 CO2 O3 H O2 CO2 O3 CO2H O2 CO2
Figur 13.6. Transmissionen i atmosfären. (Källa: FOI)
160
Lärobok i militärteknik, vol. 1: Grunder
Turbulensmedförblandannatattlaserstrålensdivergensökarochattstrå-lensriktningändrasslumpmässigt.
Närföremålbetraktaspålångtavståndienkikareöveruppvärmdterrängkaninverkanavturbulensiakttasgenomattbildenfluktuerarikikaren.Or-sakentilldettaärdetlångaavståndetöverdenuppvärmdaterrängendärtem-peraturen slumpmässigt kommer att variera och blandas pga. vindar, vilketmedförattbrytningsindexkommerattvarieraslumpmässigt.Resultatetblirenflimrandebildikikaren.
Termiskdistorsionärprimärtettproblemsomuppstårförlasersystemsomskallbelysaettstillaståendeellernästanstillaståendeobjekt.Förettflygburetlasersystemellerettsystemsomskallbelysaettföremålmedhögvinkelhastig-hetblirproblemetmindreeftersomluftenhelatidensnabbtbytsut.Laserstrå-lens intensitetorsakaruppvärmningavdennärmsta liggande luftensomfårtillföljdattbrytningsindexvarierarvilketledertillattstrålradienökarpga.attstrålenböjs.Strålenböjsmestimitteneftersomluftenvärmsuppmestdär.
Sidvindpåverkarocksåettlasersystemsombelyserettstillaståendeobjekt.Luftenkommerattvarakallareilovartäniläomstrålendåluftenvärmsuppvidpassagegenomstrålen.Kallareluftharhögrebrytningsindexvarförstrålenkommerböjasavmotvindriktningen,dvs.lovart.Förlasersystemmedhögef-fektärdettafenomenmermärkbart.
10-1
100
10-2
10-3
10-4
10-5
10-6
10-7
10-8
102 103 104 105
Tran
smis
sion
Avstånd [m]
Våglängd 0.55 µm
100 km
10 km3 km1 km
Visuell sikt
Figur 13.7. Dämpning. (Källa: FOI)
161
Laser
13.5 Lasersäkerhet
13.5.1 Allmäntomlasersäkerhet
Beroendepåvilket lasermaterial somanvänds ien laserkommer laserstrålenhaolikavåglängd,frånca193nanometerupptilllitedrygt10600nanome-ter. Detta innebär att ögat ligger i riskzonen att utsättas för laserljus. Ögatärkänsligtförvåglängdermellan400–1400nanometereftersomhornhinnanochpupillen fokuserardessa våglängdermot gulafläcken, vilketmedför attäven låga lasereffekterkanvara skadliga (sefigur13.9pånästa sida).Liggerlaserstråleninomdetsynligaområdet400–770nm,somocksåkallassynligtljus,gerblinkreflexeniögatettvisstskyddeftersomviblundaromviexponerasförlaserljusinomdettavåglängdsområde.
Våglängder från ca700nmupp till 1400nmär särskilt farliga eftersomblinkreflexen inte fungerar inomdetta våglängdsområde.Ett exempelpå enfarliglaservåglängdärneodymlaserns,NdYAG,1060nmsomärvanligila-seravståndsmätare.Detärframföralltfastatillståndslasrar,laserdioderfärgäm-neslasrar som ligger inomhornhinnansochpupillens fokuseringsvåglängder(400–1400nm).
Utifrånhurfarligenlaserärförbl.a.ettoskyddatögaärlasrarnaindeladeilaserklasser.Indelningenavlasrariolikaklasserenligtdeninternationellastan-darden,ärettsättattberoendepåstrålningsegenskapernageengrovsorteringavlasrarmedolikagraderavskaderisker.Ensammanfattningavdessariskergesnedan.
Intensitet
Infallandestråle
Figur 13.8. Distortion. (Källa: FOI)
162
Lärobok i militärteknik, vol. 1: Grunder
13.5.2 Äldrelaserklasser
• Klass 1. Lasrariklassenärofarligaävenvidlångtidsexponering.Antingenärlasrarnasåsvagaattdeintekangenågraskaderiskeroavsetthurdehan-teras,ellerocksårördetsigomapparatersominnehållerlasrarsomisigkanvaraavenfarligareklassmensomärinbyggdaochförsegladesåattingenfarligstrålningkommerut.Denmaximalttillåtnastrålningseffektenellerpulsenerginförlasrariklassenärdirektkoppladtillexponeringsgränsvär-dena.Denövreklassgränsenärnaturligtvisrigoröstdefinierad,menlåtersigintebeskrivasenkelt.
Lins
Iris
Gula fläcken
Hornhinna
Lins
Iris
Gula fläcken
Hornhinna
Lins
Iris
Gula fläcken
Hornhinna
Våglängdsområde400 – 1400 nm
Våglängdsområde1400 nm – 1 mm
Våglängdsområde315 – 390 nm
Figur 13.9. Ögats brytning av ljus mot hornhinnan vid olika våglängder. (Källa: FHS, Illustration: Samuel Svärd)
163
Laser
• Klass 2.Klasseninnehållerbaralasrarsomavgersynligstrålningvarmedilaserstandardenmenasstrålninginomintervallet400–700nm.Exponeringavettoskyddatögagerupphovtillbländningochögonlocketslutsreflex-mässigt.Blinkreflexengördåattögatinteexponerasundertillräckligtlångtid för att skadas.För cw-lasrar,dvs. sådana somkan lysamedkonstantstrålningseffekt,ärdenövreklassgränsen1mW.
• Klass 3a.Lasrarinomdennaklassharrelativthögeffekt,mendådeninteärsärskiltkoncentreradskadardeninteögatominteförstärkandeoptik,t.ex.kikare,används.
• Klass 3b.Direktexponeringavögonellerhudkangeskador.Diffustreflek-teradstrålningärvanligtvisofarlig.
• Klass 4. Härkandetävenvarafarligtattoskyddadbetraktaenlaserbelystfläckpåenmattyta.Klass4-lasrarkanocksåvållabrand.Klassensaknarövregräns.
13.5.3 Denyalaserklasserna
• Klass 1.Äriprincipoförändradjämförtmedtidigare.
• Klass 1M.Lasrarvarstotalaeffektellerpulsenergiöverskridervadsomtillåtsiklass1(gällersåvälUV,synligtochIR),mendärstråleninteärsmalutanutbredd.Påsåsättkanexponeringsgränsvärdenaförettobeväpnatögaelleroskyddadhudinteöverskridas.Ommansamlarstrålknippett.ex.medenkikareellerbetraktarenfiberändamedenlupp,kandockofarlighetenintegaranteras.Mstårförmagnifier.
• Klass 2.Äroförändradjämförtmedtidigare.
• Klass 2M. Klassen omfattar bara lasrar som avger synlig strålning (400–700nm).Klass2-gränsenfåröverskridastotalt,omstrålknippetärutbrettenligtsammaprincipersomförklass1M.Omstrålknippetintesamlasmedhjälp av någon optik gäller samma riskbedömning som för klass 2, dvs.blinkreflexenskyddardetobeväpnadeögat.
• Klass 3R.Klassenomfattarlasrarsomavgerupptill5ggrklassgränsenförklass1vidmotsvarandevåglängderellerpulstider,omstrålningenärosyn-lig. För synlig strålning tillåts upp till 5ggr gränsen för klass 2. Gräns-värdenaförexponeringavoskyddadeögonkanalltsåöverskridas,mendeinnehållersådanasäkerhetsmarginalerattskadoripraktikeninteuppstår.Rstårförrestricted.
164
Lärobok i militärteknik, vol. 1: Grunder
• Klass 3B.Klasseninnehållerlasrarvarsstyrkaöverskriderklass3R.Iövrigtärdenoförändrad.
• Klass 4.Omfattarallalasrarsomärstarkareänklass3B.Klassenäroföränd-rad.
SÄKIharantagitdenyalaserklasserna.
165
Fördjupningslitteratur
Aerodynamik
Anderson, Jr., J. D., 1991: Fundamentals of Aerodynamics (Blacklick, Ohio:McGraw-HillCompany),ISBN0-07-001679-8.
Axelsson,R.ochDanewid,R.(red.),2002:Segelflyg: En lärobok(Skövde:Se-gelflygsportFörlagHB),ISSN91-973848-3-6.
Bertin,J.J.andSmith,M.L.,1997:Aerodynamics for Engineers. Third Edition(UpperSaddleRiver,NJ:PrenticeHall),ISBN0-13-576356-8.
Borglund,D.andEller,D.,2006:”AeroelasticityofSlenderWingStructuresinLow-SpeedAirflow:lecturenotes”,TRITA-AVE2006:11(Stockholm:KTH).
Klinker, O., 1995: ”Flygutprovningen av Sveriges första jetflygplan; SAAB21R”,Mekanisten,SvenskaMekanistersRiksförbund,3:17–30.
Vågutbredning och dess tillämpningar
Streetly, M. (ed.), 2004: Jane’s Radar and Electronic Warfare Systems 2004–2005 (Surrey, England: Jane’s Information Group), s. 244, ISBN-10:0710626363,ISBN-13:978-0710626363.
Hågård,A.:”Optisk transmission iatmosfären”,kurskompendium,RobustaOptroniksystemPreliminär,s.1,980408,FOA.
166
Lärobok i militärteknik, vol. 1: Grunder
Atmosfärens påverkan på aerodynamik och vågutbredning
Anderson, Jr., J. D., 1991: Fundamentals of Aerodynamics (Blacklick, Ohio:McGraw-HillCompany),ISBN0-07-001679-8.
Axelsson,R.ochDanewid,R.(red.),2002:Segelflyg: En lärobok(Skövde:Se-gelflygsportFörlagHB),ISSN91-973848-3-6.
Bertin,J.J.andSmith,M.L.,1997:Aerodynamics for Engineers. Third Edition(UpperSaddleRiver,NJ:PrenticeHall),ISBN0-13-576356-8.
Hydroakustik
Beranek, L. L., 1986: Acoustics (New York: American Institute of Physics),ISBN0-88318-494-X.
Bobber,R.J.,1988:Underwater Electroacoustic Measurements (LosAltos,CA:PeninsulaPubl.),ISBN0-932146-19-8.
Etter,P.C.,1991:Underwater Acoustic Modeling: Principles, Techniques and App-lications (NewYork:ElsevierScience&Technology),ISBN1851665285.
FMV, 1992: ”Sonarteknik”, kompendium (Stockholm: Försvarets Materi-elverk).
Jonsson,P.,1998:”Designandimplementationofaprogrammable,widebandsonar for sediment mapping”, Institutionen förTeknisk Geologi, LundsTekniskaHögskola.ISBN91-628-2903-3.
Medwin, H. & Clay, C. S., 1998:Fundamentals of Acoustical Oceanography(SanDiego,CA:AcademicPress),ISBN0-12-487570-X.
Pentelius,T.,1970:”Ljudabsorptionskoefficientenihavetförfrekvensområdet0.1–50kHzsomfunktionavtemperaturochsalthalt”,RapportC3620-57(Stockholm:Försvaretsforskningsanstalt).
Urick, R. J., 1983: Principles of Underwater Sound. 3rd edition (New York:McGraw-HillBookCompany),ISBN0-07-066087-5.
Urick,R.J.,1984:Ambient Noise in the Sea(LosAltos,CA:PeninsulaPubl.),ISBN0-932146-13-9.
167
Bilaga: Om materialet på medföljande cd
Förattköranedanståendefiler,kandematematiskaprogrammenMatlabellerOctaveanvändas.Octaveärtillgängliggratispå<http://www.octave.org>.
Sammanställning av Matlabfiler på cd:n
Filnamn Programmets användning
skostud.m Hämtar en vektor v, lagrad i filen skonr, utgörande ett fingerat material på 1 000 värnpliktigas skonummer. På materialet görs beskrivande statistik.
lngdstud.m Hämtar en vektor v, lagrad i filen vpllngd, utgörande ett fingerat material på 1 000 värnpliktigas längd [mm]. På materialet görs beskrivande statistik.
tresampler.m Visar beskrivande statistik på tre stickprov av något olika utseende.
stdgiss.m Visar stolpdiagram på slumpvis valda stickprov, varefter du med ögon-mått får skatta medelvärde och standardavvikelse.
symmtern.m Simulerar kastserier om valt antal kast med symmetrisk tärning. Använ-der programmet kastseriesymm.m som subrutin.
falsktern.m Simulerar kastserier om valt antal kast med en typ av osymmetrisk tärning. Använder programmet kastseriefalsk.m som subrutin.
upprepn.m Ett slumpmässigt försök upprepas under samma omständigheter till dess du avbryter. Vid försöket kan händelsen A inträffa. Du bestämmer inledningsvis P(A). Med vissa mellanrum redovisas relativa frekvensen för A.
tcount.m Räknar, vid kast med två, tre, fyra, sex eller tio tärningar, antal element i händelserna att erhålla ett givet antal ögon. Subrutiner: tvotern.m,tre-tern.m,fyrtern.m,sextern.m,tiotern.m. Svarar med resp. sannolikhet.
binstolp.m Stolpdiagram visas över en binomialfördelning, vars parametrar du får välja. Därefter genererar subrutinen binstat.m stickprov på fördelningen.
nostat.m Visar stickprov på en standardiserad normalfördelad s.v. (dvs. med väntevärdet 0 och standardavvikelsen 1). Histogrammet jämförs med fördelningens täthetsfunktion, och det kumulerade histogrammet med dess fördelningsfunktionen. Den senare beräknas med programmet Fi.m.
binorm.m Visar approximation av binomialfördelningens sannolikhetsfunktion med täthetsfunktionen för en normalfördelning med samma väntevärde och standardavvikelse.
168
Lärobok i Militärteknik, vol. 1: Grunder
lanch.m En enkel, datoriserad Lanchestermodell (ingen geometrisk representa-tion).
lanchm.m En modifiering avlanch.m med en ansats till geometrisk representation.
lanset.m Ger, i kombination med subrutinerna langrp.m,lanskjut.m, en Lanchester-variant med ännu mer geometrisk representation.
procent.m Övning på att med ögonmått skatta procenttal.
lutning.m Övning på att med ögonmått skatta lutningen hos en rät linje.
funk.m Visar kurvor över en rad elementära funktioner som du väljer ur menyer.
deriv.m Programmet är avsett att illustrera derivatans definition och innebörd. Använder programmet deriv2.m som subrutin.
sincos.m Avser att illustrera definitionerna och några egenskaper hos sinus- och cosinusfunktionen.
16�
Om bokens författare
BokenharskrivitsavlärarevidFörsvarshögskolan(FHS).Dessaharsomregellångerfarenhetfrånsittämnesområdeoch/ellerhardisputeratinomdetsamma.
kurt andersson,kapitel7.Anderssonärcivilingenjör.
kristian artman,kapitel13.Artmanäröverstelöjtnant iFlygvapnetochflygingenjör.
magnus astell,kapitel10–11.AstellärkapteniArménocharméingenjör.
stefan axberg,kapitel12.AxbergärprofessoriMilitärteknik.
hans liwång,kapitel8.Liwångärcivilingenjör.
anders lundberg,kapitel2–6.Lundbergärprofessoremeritusimatema-tik.
martin norsell,kapitel9och11.Norselläruniversitetslektor iMilitär-teknik.
lars tornérhielm,kapitel1.Tornérhielmärövltfrånarmén.
171
Serien ”Lärobok i Militärteknik”
Nr.1 KurtAndersson,KristianArtman,MagnusAstell,StefanAxberg,HansLiwång,AndersLundberg,MartinNorsellochLarsTornérhielm,Lä-robok i Militärteknik, vol. 1: Grunder (Stockholm:Försvarshögskolan,2007).ISSN1654-4838,ISBN978-91-85401-72-7.