lucian - facultatea de matematica iasimaticiuc/didactic/curs viii, ix, x_forme patratice.pdf ·...

Capitolul IV: Forme biliniare. Forme patratice Lect. dr. Lucian Maticiuc

Facultatea de Electronica, Telecomunicatiisi Tehnologia InformatieiAlgebra, Semestrul I,Lector dr. Lucian MATICIUChttp://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/

CURS VIII – X

1 Forme biliniare si forme patratice

1.1 Forme bilinare. Definitii, proprietati generale

Fie V un K–spatiu vectorial n–dimensional.

Definitia 1 O aplicatie A : V × V → K se numeste forma biliniara pe V daca satisface conditiile:(i) A (α~x+ β~y, ~z) = αA (~x, ~z) + βA (~y, ~z), ∀α, β ∈ K, ∀~x, ~y, ~z ∈ V (i.e., A este operator liniar ınraport cu primul argument),(ii) A (~x, α~y + β~z) = αA (~x, ~y) + βA (~x, ~z), ∀α, β ∈ K, ∀~x, ~y, ~z ∈ V (i.e., A este operator liniar ınraport cu al doilea argument).

Vom nota cu L2 (V ) = {A : V × V → K : A este forma biliniara} .

Propozitia 2 Multimea L2 (V ) este un spatiu vectorial peste K, numit spatiul vectorial al formelor bili-niare definite pe K–spatiul vectorial V.

Fie B = {~e1, ~e2, ..., ~en} o baza ın V . Fie A ∈ L2 (V ) si ~x, ~y ∈ V cu descompunerea

~x = x1~e1 + · · ·+ xn~en =n∑

i=1

xi~ei, ~y = y1~e1 + · · ·+ yn~en =n∑

j=1

yj~ej .

Atunci vom obtine

A (~x, ~y) = A

n∑i=1

xi~ei,n∑

j=1

yj~ej

= (din liniaritate) =n∑

i=1

n∑j=1

xiyj A (~ei, ~ej) =n∑

i=1

n∑j=1

xiyj aij ,

(1)unde aij := A (~ei, ~ej).

Expresia (1) reprezinta expresia ın coordonate a formei biliniareA ın raport cu baza B. Vomnota cu A = (aij)i,j∈1,n ∈ Mn (K) numita matricea coordonatelor formei biliniare A ın raportcu baza B. Astfel, folosind (1), obtinem expresia matriceala a formei biliniare A ın raport cubaza B

A (~x, ~y) = Xt ·A · Y,

unde X,Y reprezinta matricile coloana ale vectorilor ~x si ~y ın baza B.

Corolarul 3 Se poate arata dimensiunea spatiului vectorial L2 (V ) este dimL2 (V ) = dimMn (K) =n2.

1

Lucia

n Mati

ciuc

http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/


Prezentam ın continuare cum se schimba matriceaA la o schimbare de baze. Fie B = {~f1, ..., ~fn}o noua baza ın V cu S = (sij)i,j∈1,n matricea schimbarii de baze, B S−−→ B. Atunci ~fj =∑n

i=1 sij~ei si, notand A = (aij)i,j∈1,n ∈Mn (K), unde aij = A(~fi, ~fj), obtinem

aij = A(~fi, ~fj) = A

(n∑

k=1

ski~ek,n∑

l=1

slj~el

)=

n∑k=1

n∑l=1

skisljA (~ek, ~el) =n∑

k=1

n∑l=1

skislj akl, i, j ∈ 1, n.

Deci, sub forma matriceala obtinem urmatoarea formula matriceala de schimbare a coordona-telor la schimbare de baze

A = St ·A · S. (2)

Prin definitie, rangul unei forme biliniare este rangul matricii sale ıntr-o baza oarecare a lui V(mentionam ca matricea S este nesingulara si, din relatia (2), deducem ca rangul matricei A esteegal cu rangul matricei A, deci rangul matricei formei este invariant la schimbari de baze).

Definitia 4 O forma biliniara se numeste nedegenerata daca rangul ei coincide cu dimensiunea n aspatiului V (si degenerata caz contrar).

Definitia 5 O forma biliniara A se numeste simetrica daca A (~x, ~y) = A (~y, ~x), pentru orice ~x, ~y ∈ V.

Se poate arata ca:

Propozitia 6 O forma biliniaraA este simetrica daca si numai daca exista o baza a lui V ın raport cu carematricea formei este simetrica.

1.2 Forme patratice. Definitii, proprietati generale


Definitia 7 O aplicatie Q : V → K se numeste forma patratica pe V daca exista o forma biliniarasimetrica A ∈ L2 (V ) astfel ıncat

Q (~x) = A (~x, ~x) , ∀~x ∈ V. (3)

Propozitia 8 Multimea tuturor formelor patratice Q : V → K este un spatiu vectorial peste K.

Propozitia 9 DacaQ este o forma patratica atunci forma biliniara simetricaA de la care provine este unicdetermintata.

Demonstratie. Din (3) obtinem

Q (~x+ ~y) = A (~x+ ~y, ~x+ ~y) = A (~x, ~x) +A (~x, ~y) +A (~y, ~x) +A (~y, ~y)

= A (~x, ~x) + 2A (~x, ~y) +A (~y, ~y) = Q (~x) +Q (~y) + 2A (~x, ~y) ,

deci A este unic determinata de egalitatea

A (~x, ~y) =1

2[Q (~x+ ~y)−Q (~x)−Q (~y)] , ∀~x, ~y ∈ V.

Fie B = {~e1, ~e2, ..., ~en} o baza ın V . Fie Q o forma patratica si ~x ∈ V dat de descompunerea~x = x1~e1 + · · ·+ xn~en =

∑ni=1 xi~ei. Atunci vom obtine

Q (~x) = A

n∑i=1

xi~ei,n∑

j=1

xj~ej

= (din liniaritate) (4)

=n∑

i=1

n∑j=1

xixj A (~ei, ~ej) =n∑

i=1

n∑j=1

xixj aij .

2

Lucia

n Mati

ciuc


Expresia (4) reprezinta expresia ın coordonate a formei patratice Q ın raport cu baza B.Folosind matricea A obtinem si expresia matriceala a formei patratice Q ın raport cu baza B

Q (~x) = Xt ·A ·X,

unde X reprezinta matricea coloana a vectorului ~x ın baza B.

Definitia 10 Matricea unei forme patraticeQ este prin definitie matricea A a formei biliniare asociate iarrangul unei forme patratice este rangul acestei matrice.

Definitia 11 O forma patratica se numeste nedegenerata daca rangul ei coincide cu dimensiunea n aspatiului V .

Exercitiul 12 Fie forma patratica Q (~x) = Q (x1, x2, x3) = (x1)2

+ (x2)2

+ 2x1x2 + 4x1x3 + 6x2x3.Forma biliniara asociata lui Q se obtine prin dedublare. Mai precis, urmam urmatoarele asocieri:

(xi)2

= xixi xiyi,

xixj =1

2xixj +

1

2xixj

1

2xiyj +

1

2xjyi.

(5)

Deci avem

Q (~x) = Q (x1, x2, x3) = (x1)2

+ (x2)2

+ 2x1x2 + 2 · 2x1x3 + 3 · 2x2x3

si prin dedublare obtinem

A (~x, ~y) = A (x1, x2, x3, y1, y2, y3) = x1y1 + x2y2 + x1y2 + y1x2 + 2x1y3 + 2y1x3 + 3x2y3 + 3y2x3

= x1y1 + x2y2 + x1y2 + x2y1 + 2x1y3 + 2x3y1 + 3x2y3 + 3x3y2.

Se vor calcula A (~ei, ~ej) si vom obtinea matricea A a coordonatelor lui Q ın raport cu baza canonica

A =

1 1 21 1 32 3 0

Se va determina rangul matricii si se va obtine rangQ = rangA = 3.

1.3 Forma canonica a unei forme patratice


Definitia 13 Spunem ca forma patratica Q este redusa la forma canonica, daca s-a gasit o baza B =

{~f1, ..., ~fn} a lui V , ın raport cu care expresia ın coordonate a lui Q este

Q (~x) = λ1 (y1)2

+ λ2 (y2)2

+ · · ·+ λn (yn)2, (6)

unde λ1, ..., λn ∈ K nu sunt, ın mod necesar, toti nenuli iar

~x = x1~e1 + x2~e2 + · · ·+ xn~en (descompunerea ın baza B)= y1f1 + y2f2 + · · ·+ ynfn (descompunerea ın baza B).

Definitia 14 O forma patraticaQ se numeste pozitiv definita daca toti cei n coeficienti sunt strict pozitivi.Forma patratica Q se numeste negativ definita daca toti cei n coeficienti sunt strict negativi.Forma patratica Q se numeste nedefinita daca exista si coeficienti strict pozitivi si coeficienti strict

negativi.

3

Lucia

n Mati

ciuc


Problema este daca exista baze B ın raport cu care expresia unei forme patratice sa fie deforma canonica (6).

Raspunsul este dat de urmatoarele trei metode: metoda lui Gauss, metoda lui Jacobi si me-toda transformarilor ortogonale. Prezentam, fara demonstratie, aceste rezultate, metodele fiindaplicate ın cateva exemple ulterioare.

Teorema 15 (Metoda lui Gauss) Fie Q o forma patratica. Atunci exista cel putin o baza B a lui V sicorespunzator acesteia exista scalarii λ1, ..., λn, ın raport cu care expresia ın coordonate a lui Q are formacanonica (6).

Remarca 16 Demonstratia teoremei lui Gauss ne ofera si algoritmul practic de reducere la forma canonicaa unei forme patratice Q, precum si modul de determinare al bazei B. Astfel, conform demonstratieiteoremei, avem urmatoarele situatii:1. daca forma patratica contine cel putin un patrat (xi)

2, atunci grupam toti termenii care contin termenulxi si formam un patrat perfect folosind identitatea (a± b)2 = a2 ± 2ab+ b2;2. daca forma patratica nu contine nici un patrat dar apare termenul xixj , atunci facem schimbarea devariabila

xi = yi − yjxj = yi + yj

xk = yk, ∀k 6= i, j.

Prin ınlocuirea ın forma patratica, vor aparea patratele (yi)2 si (yj)

2, deci suntem ın primul caz.

Exercitiul 17 Se da forma patratica

Q : R3 → R, Q (~x) = 5 (x1)2

+ 6 (x2)2

+ 4 (x3)2 − 4x1x2 − 4x1x3,∀~x ∈ R3.

Sa se scrie forma biliniara simetrica din care provine Q si sa se determine matricea formei patratice ınraport cu baza canonica si sa se calculeze rangul formei.

De asemenea, sa se aduca forma patratica la forma canonica prin metoda lui Gauss.

Rezolvare:

Forma biliniara asociata se scrie folosind tehnica de dedublare (vezi (5)) si obtinem

A (~x, ~y) = 5x1y1 + 6x2y2 + 4x3y3 − 41

2(x1y2 + x2y1)− 4

1

2(x1y3 + x3y1)

= 5x1y1 + 6x2y2 + 4x3y3 − 2x1y2 − 2x2y1 − 2x1y3 − 2x3y1, ∀~x, ~y ∈ R3.

Prin definitie,Q (~x) = Xt ·A ·X,

unde X este matricea coloana a coordonatelor lui ~x, iar A este matricea formei biliniare simetrice cores-punzatoare A.

Calculand aij = A (~ei, ~ej) obtinem matricea

A =

5 −2 −2−2 6 0−2 0 4

deci

Q (~x) = Xt ·A ·X =[x1 x2 x3

]·

5 −2 −2−2 6 0−2 0 4

· y1y2y3

.Rangul formei va fi atunci rangQ =rangA = rangA = 3, adica forma biliniara (si cea patratica) estenedegenerata.

4

Lucia

n Mati

ciuc


Aducem acum forma patratica la forma canonica. In cazul nostru, apare patratul 5 (x1)2 si termenii

x1x2, x1x3. Apare si patratul 6 (x2)2 si apoi x1x2. Alegem, pentru simplitate, sa plecam de la termenul

x2 si deci grupam toti termenii care contin termenul x2 si formam un patrat perfect

Q (~x) =(

6 (x2)2 − 4x1x2

)+ 5 (x1)

2+ 4 (x3)

2 − 4x1x3

=1

6

((6x2)

2 − 24x1x2

)+ 5 (x1)

2+ 4 (x3)

2 − 4x1x3

=1

6(6x2 − 2x1)

2 − 1

6(2x1)

2+ 5 (x1)

2+ 4 (x3)

2 − 4x1x3

=1

6(6x2 − 2x1)

2+(

4 (x3)2 − 4x1x3

)+

13

3(x1)

2

= (putem pleca si de la13

3(x1)

2 , dar pentru simplitatea calculelor plecam de la 4 (x3)2 )

=1

6(6x2 − 2x1)

2+

1

4

((4x3)

2 − 16x1x3

)+

13

3(x1)

2

=1

6(6x2 − 2x1)

2+

1

4(4x3 − 2x1)

2 − 1

4(2x1)

2+

13

3(x1)

2

=1

6(6x2 − 2x1)

2+

1

4(4x3 − 2x1)

2+

10

3(x1)

2

=1

6(y1)

2+

1

4(y2)

2+

10

3(y3)

2,

unde y1 = −2x1 + 6x2

y2 = −2x1 + 4x3

y3 = x1.

(7)

Deoarece toti coeficientii 1/6, 3/13 si 40/13 sunt strict pozitivi, deducem ca forma patratica data estepozitiv definita.

Sa determinam ın continuare baza B ın raport cu care forma patratica Q are forma canonica de maisus.

Rezolvam sistemul de mai sus astfel ıncat sa determinam coordonatel xi ın raport de coordonatele yj .Vom obtine

x1 = y3

x2 =1

6y1 +

1

3y3

x3 =1

4y2 +

1

2y3 .

deciX = SY ⇔ Y = S−1X,

unde

S =

0 0 11/6 0 1/3

0 1/4 1/2

.Evident puteam citi si direct din (7) matricea S−1 =

−2 6 0−2 0 4

1 0 0

.

Dar, prin definitie, matricea S este matricea schimbarii de baze de la Bc la baza B ={~f1, ~f2, ~f3

}ın

raport cu care forma patratica Q are forma canonica Q (~x) = 16 (y1)

2+ 1

4 (y2)2

+ 103 (y3)

2.

5

Lucia

n Mati

ciuc


Deci citim coordonatele din matricea S si obtinem ~f1 = (0, 1/6, 0), ~f2 = (0, 0, 1/4), ~f3 = (1, 1/3, 1/2).Evident, din forma canonica, citim ca forma patratica are ın raport cu aceasta noua baza matricea

A =

λ1 0 00 λ2 00 0 λ3

. Intr-adevar, conform formulei de schimbare a matricei A la schimbare de baze,

A = StAS =

0 0 11/6 0 1/3

0 1/4 1/2

t 5 −2 −2−2 6 0−2 0 4

0 0 11/6 0 1/3

0 1/4 1/2

=

−1/3 1 0−1/2 0 110/3 0 0

0 0 11/6 0 1/3

0 1/4 1/2

=

1/6 0 00 1/4 00 0 10/3

.Teorema 18 (Metoda lui Jacobi) Fie Q o forma patratica astfel ıncat rangQ = n. Atunci exista o bazaB a lui V ın care determinantii

∆0 = 1, ∆1 = a11, ∆2 =

∣∣∣∣ a11 a12a21 a22

∣∣∣∣ , . . . , ∆n =

∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n· · · · · · · · · · · ·an1 an2 · · · ann

∣∣∣∣∣∣∣∣sunt toti nenuli, si exista o baza B = {~f1, ..., ~fn} a lui V ın raport cu care expresia ın coordonate a lui hare forma canonica

Q (~x) =∆0

∆1(y1)

2+

∆1

∆2(y2)

2+ · · ·+ ∆n−1

∆n(yn)

2,

unde ~x =n∑

i=1

yi ~fi.

Remarca 19 Prezentam ın continuare tehnica concreta de gasire a bazei B = {~f1, ~f2, ~f3} (am luat, pentrusimplitatea expunerii n = 3) ın raport cu care are loc scrierea canonica a lui Q. Vom considera ca relatiilede legatura dintre ~fi si ~ej sunt urmatoarele:

~f1 = c11~e1

~f2 = c21~e1 + c22~e2

~f3 = c31~e1 + c32~e2 + c33~e3 .

Calculul coeficientilor cij se face impunand conditiile suplimentare

A(~fi, ~ej) = δij :=

{1, daca i = j,

0, daca i 6= j

Obtinem astfel sistemele

A(~f1, ~e1) = 1⇔ A(c11~e1, ~e1) = c11A(~e1, ~e1) = c11a11 = 1, (8)

si {A(~f2, ~e1) = 0,

A(~f2, ~e2) = 1⇔

{A(c21~e1 + c22~e2, ~e1) = 0,

A(c21~e1 + c22~e2, ~e2) = 1⇔

{c21A(~e1, ~e1) + c22A(~e2, ~e1) = 0,

c21A(~e1, ~e2) + c22A(~e2, ~e2) = 1

⇔

{c21a11 + c22a21 = 0,

c21a12 + c22a22 = 1

(9)

6

Lucia

n Mati

ciuc


si respectivA(~f3, ~e1) = 0,

A(~f3, ~e2) = 0,

A(~f3, ~e3) = 1

⇔

A(c31~e1 + c32~e2 + c33~e3, ~e1) = 0,

A(c31~e1 + c32~e2 + c33~e3, ~e2) = 0,

A(c31~e1 + c32~e2 + c33~e3, ~e3) = 1

⇔

c31A(~e1, ~e1) + c32A(~e2, ~e1) + c33A(~e3, ~e1) = 0,

c31A(~e1, ~e2) + c32A(~e2, ~e2) + c33A(~e3, ~e2) = 0,

c31A(~e1, ~e3) + c32A(~e2, ~e3) + c33A(~e3, ~e3) = 1

⇔

c31a11 + c32a21 + c33a31 = 0,

c31a12 + c32a22 + c33a32 = 0,

c31a13 + c32a23 + c33a33 = 1(10)

unde

A =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

.Exercitiul 20 Se da forma patraticaQ de la Exercitiul 17. Sa se aduca forma patraticaQ la forma canonicaprin metoda lui Jacobi.

Rezolvare:

Matricea formei patratice este

A =

5 −2 −2−2 6 0−2 0 4

.Calculam determinantii

∆0 = 1, ∆1 = 5, ∆2 =

∣∣∣∣ 5 −2−2 6

∣∣∣∣ = 26, ∆3 =

∣∣∣∣∣∣5 −2 −2−2 6 0−2 0 4

∣∣∣∣∣∣ = 80.

Deci forma canonica va fi

Q (~x) =1

5(y1)

2+

5

26(y2)

2+

13

40(y3)

2.

Pentru a determina baza B = {~f1, ~f2, ~f3} ın care are loc aceasta scriere canonica a lui Q, consideram carelatiile de legatura dintre ~fi si ~ej sunt urmatoarele:

~f1 = c11~e1

~f2 = c21~e1 + c22~e2

~f3 = c31~e1 + c32~e2 + c33~e3 .

Calculul coeficientilor cij se face impunand conditiile suplimentare

A(~fi, ~ej) = δij :=

{1, daca i = j,

0, daca i 6= j

In cazul nostru sistemel (8–10)de mai sus devin, ın particular,

5c11 = 1⇔ c11 = 1/5

si {5c21 − 2c22 = 0,

−2c21 + 6c22 = 1⇔ c21 = 1/13, c22 = 5/26

7

Lucia

n Mati

ciuc


si respectiv 5c31 − 2c32 − 2c33 = 0,

−2c31 + 6c32 = 0,

−2c31 + 4c33 = 1

⇔ c31 = 3/20, c32 = 1/20, c33 = 13/40.

Prin urmare noua baza ın raport cu care Q are forma canonica este

~f1 =1

5~e1

~f2 =1

13~e1 +

5

26~e2

~f3 =3

20~e1 +

1

20~e2 +

13

40~e3 .

Citim matricea schimbarii de baze

S =

1/5 1/13 3/200 5/26 1/200 0 13/40

.Calculam

S−1 =

5 −2 −20 26/5 −4/50 0 40/13

Deoarece legatura dintre cele doua tipuri de coordonate (ın functia de baza ın care se face descompunerea)este

X = SY ⇔ Y = S−1X,

deducem ca x1x2x3

=

1/5 1/13 3/200 5/26 1/200 0 13/40

y1y2y3

sau echivalent y1

y2y3

=

5 −2 −20 26/5 −4/50 0 40/13

x1x2x3

.Deci

x1 = 15y1 + 1

13y2 + 320y3

x2 = 526y2 + 1

20y3

x3 = 1340y3

sau echivalent y1 = 5x1 − 2x2 − 2x3

y2 = 265 x2 + 1

20y3

y3 = 1340y3

Remarca 21 Cea de a treia metoda este metoda transformarilor ortogonale (sau a valorilor proprii).Fie forma patraticaQ data deQ (u) = Xt ·A ·X . Fie transformarea liniara T care are drept matrice tot peA. Deoarece A este simetrica, se poate arata ca ea va avea valori proprii reale si simple (adica diferite ıntreele) iar vectorii proprii corespunzatori vor fi ortogonali doi cate doi. Normand acesti vectori vom obtinedeci niste versori (vectori de norma 1) ortogonali doi cate doi. Acestia vor forma o noua baza B si ın raport

8

Lucia

n Mati

ciuc


cu aceasa transformarea liniara T este diagonalizabila matricea noua fiind diagonala avand valorile propriipe diagonala principala, si deci Q va avea o forma canonica ın raport cu aceasta noua baza B.

Intr-adevar, daca are loc relatia X = SY unde B S−−→ B iar S se poate arata, folosind definitia bazei

B, ca este matrice ortogonala (i.e. S−1 = St) si X,Y reprezinta matricele coloana ale vectorului ~x ınraport cu baza B si respectiv B, atunci

Q (u) = Xt ·A ·X = (SY )t ·A ·(SY ) =

(Y tSt

)·A ·(SY ) = Y t ·

(St ·A · S

)·Y = Y t ·

(S−1 ·A · S

)·Y.

Dar T este diagonalizabila ın aceasta noua baza, deci noua matrice (obtinuta prin schimbarea bazelor) esteA = S−1 ·A · S si are forma diagonala. Deoarece

Q (u) = Y t · A · Y,

obtinem ca Q are deci forma canonica.

Exercitiul 22 Se da forma patraticaQ de la Exercitiul 17. Sa se aduca forma patraticaQ la forma canonicaprin metoda transformarilor ortogonale.

Rezolvare:

Matricea formei patratice este

A =

5 −2 −2−2 6 0−2 0 4

.Ecuatia caracteristica asociata matricei A este

p (λ) = det (A− λI3) = 0,

deci, efectuand calculele, obtinem∣∣∣∣∣∣5− λ −2 −2−2 6− λ 0−2 0 4− λ

∣∣∣∣∣∣ = 0⇔ −λ3 + 15λ2 − 66λ+ 80 = 0.

Se va obtine, cautand radacinile printre divizorii termenului liber si folosind schema lui Horner,

det (A− λI3) = − (λ− 2) (λ− 5) (λ− 8) = 0,

si deci radacinile sunt λ1 = 2, m1 = 1, λ2 = 5, m2 = 1, λ3 = 5, m3 = 1. Acestea fiind din campul descalari, obtinem ca sunt chiar valori proprii.

Vom calcula acum subspatiile proprii V (2), V (5) si V (8) corespunzatoare celor trei valori propriigasite. Avem

V (λ) := {X ∈M3,1 (K) : (A− λI3)X = 0} ,

deci trebuie rezolvat sistemul liniar si omogen (5− λ)x1 − 2x2 − 2x3 = 0−2x1 + (6− λ)x2 = 0−2x1 + (4− λ)x3 = 0.

(11)

Pentru determinarea lui V (2), rezolvam, prin urmare, sistemul liniar si omogen (11): 3x1 − 2x2 − 2x3 = 0−2x1 + 4x2 = 0−2x1 + 2x3 = 0.

Rangul matricii sistemului este 2, deci sistemul are doua necunoscute principale, x1, x2, si o necunoscutasecundara, x3 = α. Vom obtinem solutia X = α (2, 1, 2) , α ∈ R.

9

Lucia

n Mati

ciuc


DeciV (2) = {α (2, 1, 2) : α ∈ R} ,

adica V (2) este generat de vectorul ~f1 = (2, 1, 2) si prin urmare {~f1} este baza ın V (2) si deci dimV (2) =1 = m1.

AnalogV (5) := {X ∈M3,1 (K) : (A− 5I3)X = 0}

si sistemul liniar si omogen (A− 5I3)X = 0 este −2x2 − 2x3 = 0−2x1 + x2 = 0−2x1 − x3 = 0.

care are solutia X = α (1, 2,−2) , α ∈ R. Deci

V (5) = {α (1, 2,−2) : α ∈ R} ,

adica V (5) este generat de vectorul nenul ~f2 = (1, 2,−2) si prin urmare {~f2} este baza ın V (5) si decidimV (5) = 1 = m2.

Analog V (8) := {X ∈M3,1 (K) : (A− 8I3)X = 0} si sistemul liniar si omogen (A− 8I3)X = 0este −3x1 − 2x2 − 2x3 = 0

−2x1 − 2x2 = 0−2x1 − 4x3 = 0.

care are solutia X = α (2,−2,−1) , α ∈ R. Deci

V (8) = {α (2,−2,−1) : α ∈ R} ,

adica V (8) este generat de vectorul nenul ~f3 = (2,−2,−1) si prin urmare {~f3} este baza ın V (5) si decidimV (8) = 1 = m3.

Observam, mai ıntai ca, daca notam prin T endomorfismul care are drept matrice peA, atunci, conformteoremei de diagonalizare, endomorfismul T este diagonalizabil (radacinile caracterisitice sunt din campulde scalari, i.e. λi ∈ R, ∀i = 1, 3, si subspatiile proprii au dimensiunea egala cu multiplicitatea valoriiproprii, i.e. dimV (λi) = mi, ∀i = 1, 3).

Pe de alta parte, conform teoriei, deoarece valorile proprii sunt simple (au multiplicitatea 1) atuncivectorii proprii corespunzatori sunt ortogonali. Acestia mai trebuie doar normalizati. Mai precis dacaavem vectorul ~u = (u1, u2, u3), atunci versorul lui ~u este dat de formula

1

||~u||~u =

1√(u1)

2+ (u2)

2+ (u3)

2~u

Deci prin normalizare obtin baza ortonormata

B = {~e′1, ~e′2, ~e′3} =

{1

||~f1||~f1,

1

||~f2||~f2,

1

||~f3||~f3

}=

{1

3(2, 1, 2) ,

1

3(1, 2,−2) ,

1

3(2,−2,−1)

}.

Matricea schimbarii de baze BcS−−→ B este deci

S =1

3

2 1 21 2 −22 −2 −1

care este, conform teoriei, matrice ortogonala, adica S−1 = St.

10

Lucia

n Mati

ciuc


Verificam mai ıntai egalitatea de mai sus calculand transpusa St si apoi inversa

S−1 =1

detSS∗ =

1

−9

−6 −3 −6−3 −6 6−6 6 3

=1

3

2 1 21 2 −22 −2 −1

= S = St.

Matricea formei patratice ın raport cu noua baza va fi atunci data de formula (vezi (2))

A = St ·A · S = calcule tema =

2 0 00 5 00 0 8

Deci forma canonica a formei patratice va fi atunci

Q (~x) = 2 (y1)2

+ 5 (y2)2

+ 8 (y3)2,

unde yi, i = 1, 3 sunt coeficientii descompunerii lui ~x ın baza B, adica are loc descompunerea ın cele douabaze Bc si B data de:

~x = x1~e1 + x2~e2 + x3~e3 = y1~e′1 + y2~e

′2 + y3~e

′3.

Pentru a determina matricea coloana Y avem formulele

X = SY ⇔ Y = S−1X

Se va obtine

Y = S−1X = StX ⇔

y1y2y3

=1

3

2 1 21 2 −22 −2 −1

· x1x2x3

=1

3

2x1 + x2 + 2x3x1 + 2x2 − 2x32x1 − 2x2 − x3

deci

y1 =1

3(2x1 + x2 + 2x3)

y2 =1

3(x1 + 2x2 − 2x3)

y3 =1

3(2x1 − 2x2 − x3) .

11

Lucia

n Mati

ciuc


1.4 Exercitii

1. Sa se studieze daca aplicatiile de mai jos sunt forme biliniare. In caz afirmativ sa se pre-cizeze daca sunt simetrice sau nu si sa se determine matricea formei A ın raport cu bazacanonica.

(a) A : R3 × R3 → R, A (~x, ~y) = x1y2 − x2y1 + x1y3 − x3y1 + 1, ∀~x, ~y ∈ R3;

(b) A : R2 × R2 → R, A (~x, ~y) = x1y1 − x1y2 − x2y1 + 2x2y2, ∀~x, ~y ∈ R2;

(c) A : R4 × R4 → R, A (~x, ~y) = 2x1y1 + x2y1 + x2y2 + 3x3y3 + x4y1 + x4y4, ∀~x, ~y ∈ R4;

(d) A : R4 × R4 → R, A (~x, ~y) = x1y2 + x2y3 + x3y4 + x2y1 + x3y2 + x4y3, ∀~x, ~y ∈ R4.

Rezolvare:

(a) Folosind definitia, trebuie deci sa verificam conditiile

A (α~x+ β~y, ~z) = αA (~x, ~z) + βA (~y, ~z)

A (~x, α~y + β~z) = αA (~x, ~y) + βA (~x, ~z) , ∀α, β ∈ R, ∀~x, ~y, ~z ∈ R3.(12)

Deoarece α~x+ β~y = (αx1 + βy1, αx2 + βy2, αx3 + βy3), obtinem ca

A (α~x+ β~y, ~z) = (αx1 + βy1) z2 − (αx2 + βy2) z1 + (αx1 + βy1) z3 − (αx3 + βy3) z1 + 1

= αx1z2 + βy1z2 − αx2z1 − βy2z1 + αx1z3 + βy1z3 − αx3z1 − βy3z1 + 1

= α (x1z2 − x2z1 + x1z3 − x3z1) + β (y1z2 − y2z1 + y1z3 − y3z1) + 1.

Pe de alta parte,

αA (~x, ~z) + βA (~y, ~z) = α (x1z2 − x2z1 + x1z3 − x3z1 + 1) + β (y1z2 − y2z1 + y1z3 − y3z1 + 1)

= α (x1z2 − x2z1 + x1z3 − x3z1) + β (y1z2 − y2z1 + y1z3 − y3z1) + (α+ β) .

Deci A (α~x+ β~y, ~z) 6= αA (~x, ~z) + βA (~y, ~z), pentru orice α, β ∈ R astfel ıncat (α+ β) 6= 1.Aceasta ınseamna ca nu este satisfacuta prima conditie din (12) (de liniaritate ın raport cuprimul argument), prin urmare A nu este forma biliniara.

Evident daca nu ar aparea cosntanta 1 ın definitia lui A, atunci A ar fi forma biliniara.

(b) Deoarece α~x+ β~y = (αx1 + βy1, αx2 + βy2), obtinem ca

A (α~x+ β~y, ~z) = (αx1 + βy1) z1 − (αx1 + βy1) z2 − (αx2 + βy2) z1 + 2 (αx2 + βy2) z2

= αx1z1 + βy1z1 − αx1z2 − βy1z2 − αx2z1 − βy2z1 + 2αx2z2 + 2βy2z2

= α (x1z1 − x1z2 − x2z1 + 2x2z2) + β (y1z1 − y1z2 − y2z1 + 2y2z2)

= αA (~x, ~z) + βA (~y, ~z) ,

adica este satisfacuta prima conditie din (12) (de liniaritate ın raport cu primul argument).

Deoarece α~y + β~z = (αy1 + βz1, αy2 + βz2), obtinem ca

A (~x, α~y + β~z) = x1 (αy1 + βz1)− x1 (αy2 + βz2)− x2 (αy1 + βz1) + 2x2 (αy2 + βz2)

= αx1y1 + βx1z1 − αx1y2 − βx1z2 − αx2y1 − βx2z1 + 2αx2y2 + 2βx2z2

= α (x1y1 − x1y2 − x2y1 + 2x2y2) + β (x1z1 − x1z2 − x2z1 + 2x2z2)

= αA (~x, ~y) + βA (~x, ~z) ,

adica este satisfacuta a doua conditie din (12) (de liniaritate ın raport cu al doilea argument).

Prin urmare A este forma biliniara.

12

Lucia

n Mati

ciuc


EvidentA (~x, ~y) = x1y1 − x1y2 − x2y1 + 2x2y2 = A (~y, ~x) ,

ceea ce ınseamna ca forma biliniara A este simetrica.

Matricea formei biliniare A se scrie calculand aij := A (~ei, ~ej), i, j = 1, 2, unde Bc :={~e1, ~e2} este baza canonica din R2.

Obtinem ca a11 := A (~e1, ~e1) = 1, a22 := A (~e2, ~e2) = 2, a12 := A (~e1, ~e2) = −1, a21 :=A (~e2, ~e1) = −1, adica matricea formei biliniare este

A =

[1 −1−1 2

].

Observam de asemenea ca forma biliniara se scrie matriceal astfel:

A (~x, ~y) = Xt ·A · Y =[x1 x2

]·[

1 −1−1 2

]·[y1y2

],

unde X este matricea coloana a coordonatelor lui ~x iar Y este matricea coloana a coordona-telor lui ~y.

(c) Deoarece α~x+ β~y = (αx1 + βy1, αx2 + βy2), obtinem ca

A (α~x+ β~y, ~z) = 2 (αx1 + βy1) z1 + (αx2 + βy2) z1 + (αx2 + βy2) z2 + 3 (αx3 + βy3) z3

+ (αx4 + βy4) z1 + (αx4 + βy4) z4

= 2αx1z1 + 2βy1z1 + αx2z1 + βy2z1 + αx2z2 + βy2z2 + 3αx3z3 + 3βy3z3 + αx4z1 + βy4z1

+αx4z4 + βy4z4

= α (2x1z1 + x2z1 + x2z2 + 3x3z3 + x4z1 + x4z4) + β (2y1z1 + y2z1 + y2z2 + 3y3z3 + y4z1 + y4z4)

= αA (~x, ~z) + βA (~y, ~z) ,

adica este satisfacuta prima conditie din (12) (de liniaritate ın raport cu primul argument).

Scriind α~y + β~z = (αy1 + βz1, αy2 + βz2), obtinem ca ın mod similar ca A (~x, α~y + β~z) =αA (~x, ~y) + βA (~x, ~z), adica este satisfacuta a doua conditie din (12) (de liniaritate ın raportcu al doilea argument).

Prin urmare A este forma biliniara.

EvidentA (~x, ~y) = 2x1y1 + x2y1 + x2y2 + 3x3y3 + x4y1 + x4y4 6= A (~y, ~x) ,

ceea ce ınseamna ca forma biliniara A nu este simetrica.

Matricea formei biliniare A se scrie calculand aij := A (~ei, ~ej), i, j = 1, 4, unde Bc :={~e1, ~e2, ~e3, ~e4} este baza canonica din R4.

Obtinem ca:

a11 := A (~e1, ~e1) = 2, a22 := A (~e2, ~e2) = 1, a33 := A (~e3, ~e3) = 3, a44 := A (~e4, ~e4) = 1,

a12 := A (~e1, ~e2) = 0, a13 := A (~e1, ~e3) = 0, a14 := A (~e1, ~e4) = 0,

a21 := A (~e2, ~e1) = 1, a23 := A (~e2, ~e3) = 0, a24 := A (~e2, ~e4) = 0,

a31 := A (~e3, ~e1) = 0, a32 := A (~e3, ~e2) = 0, a34 := A (~e3, ~e4) = 0,

a41 := A (~e4, ~e1) = 1, a42 := A (~e4, ~e2) = 0, a43 := A (~e4, ~e3) = 0, adica matricea formeibiliniare este

A =

2 0 0 01 1 0 00 0 3 01 0 0 1

13

Lucia

n Mati

ciuc


2. Se da forma biliniaraA : R4×R4 → R,A (~x, ~y) = x1y2− x2y1 + x1y3− x3y1 + x1y4 + x2y3−x3y2 +x2y4−x4y2 +x3y4−x4y3, ∀~x, ~y ∈ R4. Sa se precizeze daca forma biliniaraA este saunu simetrica si sa se determine matricea formeiA ın raport cu baza canonica. De asemenea,sa se scrie matricea formei A ın baza formata de vectorii ~f1 = (1, 1, 0, 0), ~f2 = (0, 1, 1, 0),~f3 = (0, 1, 0, 1), ~f4 = (1, 0, 0, 1).

Rezolvare:

Matricea formei biliniare A se scrie calculand aij := A (~ei, ~ej), i, j = 1, 4, unde Bc :={~e1, ~e2, ~e3, ~e4} este baza canonica din R4.

Obtinem

A =

0 1 1 1−1 0 1 1−1 −1 0 1

0 −1 −1 0

si deci forma biliniara se scrie matriceal sub forma

A (~x, ~y) = Xt ·A · Y =[x1 x2 x3 x4

]·

0 1 1 1−1 0 1 1−1 −1 0 1

0 −1 −1 0

·y1y2y3y4

,unde X este matricea coloana a coordonatelor lui ~x iar Y este matricea coloana a coordona-telor lui ~y.

Se citeste matricea S a schimbarii de baze de la canonicaBc la noua baza B :={~f1, ~f2, ~f3, ~f4

}=

{(1, 1, 0, 0) , (0, 1, 1, 0) , (0, 1, 0, 1) , (1, 0, 0, 1)} :

S =

1 0 0 11 1 1 00 1 0 00 0 1 1

si vom nota Bc

S−−→ B.

Conform teoriei, matricea A ın raport cu noua baza B este data de formula

A = St ·A · S

deci

A =

1 0 0 11 1 1 00 1 0 00 0 1 1

t

·

0 1 1 1−1 0 1 1−1 −1 0 1

0 −1 −1 0

·

1 0 0 11 1 1 00 1 0 00 0 1 1

=

1 1 0 00 1 1 00 1 0 11 0 0 1

·

0 1 1 1−1 0 1 1−1 −1 0 1

0 −1 −1 0

·

1 0 0 11 1 1 00 1 0 00 0 1 1

=

−1 1 2 2−2 −1 1 2−1 −1 0 10 0 0 1

·

1 0 0 11 1 1 00 1 0 00 0 1 1

=

0 3 3 1−3 0 1 0−2 −1 0 00 0 1 1

14

Lucia

n Mati

ciuc


3. Se da forma patraticaQ : R3 → R,Q (~x) = (x1)2

+5

4(x2)

2+ 2 (x3)

2+ 2x1x3−x2x3, ∀~x ∈ R3.

(a) Sa se scrie forma biliniara simetrica din care provine Q si sa se determine matriceaformei patratice Q ın raport cu baza canonica si sa se calculeze rangul formei.

(b) De asemenea, sa se aduca la forma patratica la forma canonica prin metode cunoscute.

Rezolvare:

(a) Reamintim ca prin definitie, pentru forma patratica Q, exista o forma biliniara A astfelıncat Q (~x) := A (~x, ~x), ∀x ∈ R3.

Practic, forma biliniara simetrica din care provine Q se scrie prin procedeul de dedublareprin care ınlocuim ın modul urmator:

(xi)2 xiyi

xixj 1

2(xiyj + xjyi) , ∀i, j.

Astfel se obtine

A (~x, ~y) = x1y1 +5

4x2y2 + 2x3y3 + 2

1

2(x1y3 + x3y1)− 1

2(x2y3 + x3y2)

= x1y1 +5

4x2y2 + 2x3y3 + x1y3 + x3y1 −

1

2x2y3 −

1

2x3y2, ∀~x, ~y ∈ R3.


unde X este matricea coloana a coordonatelor lui ~x, iar A este matricea formei biliniaresimetrice corespunzatoare A.

Citim

A =

1 0 10 5/4 −1/21 −1/2 2

deci

Q (~x) = Xt ·A ·X =[x1 x2 x3

]·

1 0 10 5/4 −1/21 −1/2 2

· y1y2y3

.Se obtine rangA = 3 deci rangul formei Q este 3.

(b) Vom aduce forma patratica la forma canonica prin metoda lui Gauss.

Conform teoriei,

– daca forma patratica contine cel putin un patrat (xi)2, atunci grupam toti termenii care

contin termenul xi si formam un patrat perfect prin tehnica prezentata mai jos;

– daca forma patratica nu contine nici un patrat dar apare termenul xixj , atunci facemschimbarea de variabila

xi = yi − yjxj = yi + yj

xk = yk, ∀k 6= i, j.

15

Lucia

n Mati

ciuc


In cazul nostru, apare patratul (x1)2 si termenii x1x3 si deci grupam toti termenii care contin

termenul x1 si formam un patrat perfect

Q (~x) =(

(x1)2

+ 2x1x3

)+

5

4(x2)

2+ 2 (x3)

2 − x2x3 = (x1 + x3)2 − (x3)

2+

5

4(x2)

2+ 2 (x3)

2 − x2x3

= (x1 + x3)2

+ (x3)2

+5

4(x2)

2 − x2x3 = (x1 + x3)2

+(

(x3)2 − x2x3

)+

5

4(x2)

2

= (x1 + x3)2

+

(x3 −

1

2x2

)2

−(

1

2x2

)2

+5

4(x2)

2= (x1 + x3)

2+

(x3 −

1

2x2

)2

+ (x2)2

= (y1)2

+ (y2)2

+ (y3)2,

unde y1 = x1 + x3

y2 = x3 − 12x2

y3 = x2.

(13)

Sa determinam ın continuare baza B ın raport cu care forma patraticaQ are forma canonicade mai sus.

Rezolvam sistemul (13) astfel ıncat sa determinam coordonatel xi ın raport de coordonateleyj . Vom obtine

x1 = y1 − y2 − 12y3

x2 = y3

x3 = y2 + 12y3 .

deciX = SY ⇔ Y = S−1X,

unde

S =

1 −1 −1/20 0 10 1 1/2

.Evident puteam citi si direct din (13) matricea S−1 =

1 0 10 −1/2 10 1 0

.

Dar, prin definitie, matricea S este matricea schimbarii de baze de la Bc la baza B ={~f1, ~f2, ~f3

}ın raport cu care forma patratica Q are forma canonica Q (~x) = (y1)

2+ (y2)

2+

(y3)2.

Deci citim coordonatele din matricea S si obtinem ~f1 = (1, 0, 0), ~f2 = (−1, 0, 1), ~f3 =(−1/2, 1, 1/2).

Evident, din forma canonica, citim ca forma patratica are ın raport cu aceasta noua baza

matricea A =

1 0 00 1 00 0 1

.Deoarece toti coeficientii 1, 1 si 1 sunt strict pozitivi, deducem ca forma patratica data estepozitiv definita.

4. Se da forma patratica Q : R3 → R, Q (~x) = 5 (x1)2

+ 6 (x2)2

+ 4 (x3)2 − 4x1x2 − 4x1x3,

∀~x ∈ R3.


16

Lucia

n Mati

ciuc



Rezolvare:

(a) Forma biliniara simetrica din care provine Q se scrie prin procedeul de dedublare si seobtine

A (~x, ~y) = 5x1y1 + 6x2y2 + 4x3y3 − 41

2(x1y2 + x2y1)− 4

1

2(x1y3 + x3y1)

= 5x1y1 + 6x2y2 + 4x3y3 − 2x1y2 − 2x2y1 − 2x1y3 − 2x3y1, ∀~x, ~y ∈ R3.



Citim

A =

5 −2 −2−2 6 0−2 0 4

deci

Q (~x) = Xt ·A ·X =[x1 x2 x3

]·

5 −2 −2−2 6 0−2 0 4

· y1y2y3


(b) Vom aduce forma patratica la forma canonica prin metoda lui Gauss

In cazul nostru, apare patratul 5 (x1)2 si termenii x1x2, x1x3. Apare si patratul 6 (x2)

2 si apoix1x2. Alegem, pentru simplitate, sa plecam de la termenul x2 si deci grupam toti termeniicare contin termenul x2 si formam un patrat perfect

Q (~x) =(

6 (x2)2 − 4x1x2

)+ 5 (x1)

2+ 4 (x3)

2 − 4x1x3

=1

6

((6x2)

2 − 24x1x2

)+ 5 (x1)

2+ 4 (x3)

2 − 4x1x3

=1

6(6x2 − 2x1)

2 − 1

6(2x1)

2+ 5 (x1)

2+ 4 (x3)

2 − 4x1x3

=1

6(6x2 − 2x1)

2+

13

3(x1)

2+ 4 (x3)

2 − 4x1x3

=1

6(6x2 − 2x1)

2+

(13

3(x1)

2 − 4x1x3

)+ 4 (x3)

2

=1

6(6x2 − 2x1)

2+

3

13

((13

3x1

)2

− 13

34x1x3

)+ 4 (x3)

2

=1

6(6x2 − 2x1)

2+

3

13

(13

3x1 − 2x3

)2

− 3

13(2x3)

2+ 4 (x3)

2

=1

6(6x2 − 2x1)

2+

3

13

(13

3x1 − 2x3

)2

+40

13(x3)

2

=1

6(y1)

2+

3

13(y2)

2+

40

13(y3)

2,

17

Lucia

n Mati

ciuc


unde y1 = 6x2 − 2x1

y2 =13

3x1 − 2x3

y3 = x3.

Deoarece toti coeficientii 1/6, 3/13 si 40/13 sunt strict pozitivi, deducem ca forma patraticadata este pozitiv definita.

5. Se da forma patratica Q : R3 → R, Q (~x) = 2x1x2 − 6x1x3 − 6x2x3, ∀~x ∈ R3.



Rezolvare:

(a) Forma biliniara simetrica din care provine Q se scrie prin procedeul de dedublare si seobtine

A (~x, ~y) = 21

2(x1y2 + x2y1)− 6

1

2(x1y3 + x3y1)− 6

1

2(x2y3 + x3y1)

= x1y2 + x2y1 − 3x1y3 − 3x3y1 − 3x2y3 − 3x3y1, ∀~x, ~y ∈ R3.

Prin definitie,Q (~x) = Xt ·A ·X.


Citim

A =

0 1 −31 0 −3−3 −3 0


(b) Vom aduce forma patratica la forma canonica prin metoda lui Gauss.

In cazul nostru, nu apare nici un patrat dar apare termenul x1x2, deci, conform teoriei,facem schimbarea de variabila

x1 = y1 − y2x2 = y1 + y2

x3 = y3.

(14)

Inlocuind obtinem

Q (~x) = 2 (y1 − y2) (y1 + y2)− 6 (y1 − y2) y3 − 6 (y1 + y2) y3

= 2 (y1)2 − 2 (y2)

2 − 6y1y3 + 6y2y3 − 6y1y3 − 6y2y3 =

= 2 (y1)2 − 2 (y2)

2 − 12y1y3

iar acum se aplica tehnica de formare de patrate. Vom obtine

Q (~x) = 2 (y1)2 − 2 (y2)

2 − 12y1y3 =(

2 (y1)2 − 12y1y3

)− 2 (y2)

2=

1

2

((2y1)

2 − 24y1y3

)− 2 (y2)

2

=1

2(2y1 − 6y3)

2 − 1

2(6y3)

2 − 2 (y2)2

=1

2(z1)

2 − 2 (z2)2 − 18 (z3)

2,

18

Lucia

n Mati

ciuc


unde z1 = 2y1 − 6y3

z2 = y2

z3 = y3 .

(15)

Sa determinam ın continuare baza B ın raport cu care forma patraticaQ are forma canonicade mai sus.

Rezolvam sistemul format din (14) si (15) astfel ıncat sa determinam coordonatel xi ın raportde coordonatele zj . Vom obtine

x1 =1

2(z1 + 6z3)− z2

x2 =1

2(z1 + 6z3) + z2

x3 = z3.

⇔

x1 =

1

2z1 − z2 + 3z3

x2 =1

2z1 + z2 + 3z3

x3 = z3.

deciX = SZ ⇔ Z = S−1X,

unde

S =

1/2 −1 31/2 1 3

0 0 1

.Dar, prin definitie, matricea S este matricea schimbarii de baze de la Bc la baza B ={~f1, ~f2, ~f3

}ın raport cu care forma patraticaQ are forma canonicaQ (~x) = 1

2 (z1)2−2 (z2)

2−18 (z3)

2.

Deci citim coordonatele din matricea S si obtinem ~f1 = (1/2, 1/2, 0), ~f2 = (−1, 1, 0), ~f3 =(3, 3, 1).

Evident, din forma canonica, citim direct ca forma patratica are ın raport cu aceasta noua

baza matricea A =

1/2 0 00 −2 00 0 −18

.Pe de alta parte avem formula

A = St ·A · S,

deci se poate face si proba, calculand produsul (St ·A) ·S si obtinand exact matricea diago-nala A de mai sus.

Deoarece nu toti coeficientii 1/2,−2 si −18 sunt fie strict pozitivi, fie strict negativi, dedu-cem ca forma patratica data este nedefinita.

19

Lucia

n Mati

ciuc

lucian - facultatea de matematica iasimaticiuc/didactic/curs viii, ix, x_forme patratice.pdf ·...

Documents