lugar geometrico de las raices

CAPITULO

ANÁLISIS DEL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES

3.1 INTRODUCCIÓN La estabilidad relativa y la respuesta transitoria de un sistema de control en lazo cerrado están directamente relacionadas con la localización de los polos de dicha función de transferencia (o las raíces de la función característica) en el plano complejo, por tal razón es necesario analizar el comportamiento de los polos del sistema en lazo cerrado a la variación de los parámetros, en otras palabras, es importante el análisis del Lugar Geométrico de las Raíces del sistema en lazo cerrado. Este capitulo estudia la técnica para el trazado del Lugar Geométrico de las Raíces en forma manual y con ayuda de Matlab. 3.2 DEFINICIÓN DEL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES La técnica del Lugar Geométrico de las Raíces (LGR) es un método gráfico para dibujar la posición de los polos del sistema en el plano complejo a medida que varia un parámetro, la información que proporciona este método es utilizada para el análisis de la estabilidad y funcionamiento del sistema. En la figura 3.1 se muestra un sistema en lazo cerrado, en donde la constante k es el parámetro que se va a variar para trazar el LGR, la variación de k es desde cero hasta infinito (0≤ k<∞).

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Universidad del Cauca DEIC-FIET

Análisis del Lugar Geométrico de las Raíces

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Figura 3.1: Sistema Realimentado.

Un punto del plano s hace parte del LGR de G(s), si cumple con las condiciones de magnitud y ángulo. 3.2.1 Condición de Magnitud y Ángulo Dada la ecuación 3.1 o función característica del sistema. 1+ kG(s) = 0 (3.1) Despejando 3.1 kG(s) = -1 Escrito de otra forma: 1)( =skG (3.2)

∠kG(s) =1800± n3600 n∈{0, ±1, ±2,...} (3.3) Las ecuaciones 3.2 y 3.3 se denominan condición de Magnitud y Ángulo respectivamente, para que un punto del plano s sea parte del LGR de un sistema debe cumplir con estas dos condiciones. Ejemplo 3.1

Determinar si el punto s0 = -1+2j hace parte del LGR del sistema en lazo cerrado representado por la siguiente función de transferencia.

( )( )( )5421)( 2 +++

+=

sssssF

Los polos de F(s) son: 0, -5 y –2 ± 2j. Los ceros de F(s) son: -1. Para determinar si s0 hace parte del LGR se debe comprobar la condición de ángulo, para lo cual se ubican en el plano complejo los polos y ceros del sistema y luego se determina el aporte angular de estos con respecto al polo so.

Planta G(s)

+ _

R(s) C(s)

K



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La figura 3.2 muestra este procedimiento.

Figura 3.2: Medición de Fase de F(s).

Para determinar el aporte angular de cada polo y cero del sistema al punto s0, calculamos los ángulos ψn (aporte angular del cero) y φn, (aporte angular del polo) así: ∑ ceros - ∑ polos = ángulo de G(s) Luego, ∠G(s) = ψ1 - (φ1 + φ2 + φ3 +φ4) ∠G(s) = 900 – 116.60 – 00 – 760 – 26.60 ∠G(s) = - 129.20 Puesto que la fase de G(s) no es un múltiplo entero de ±1800, se concluye que el punto s0 no hace parte del LGR de G(s). En otras palabras, el punto s0 no cumple con la condición de ángulo, por tal motivo no hace parta del LGR.

3.3 TRAZADO DEL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES La ecuación característica del sistema proporciona información valiosa con respecto a la respuesta del sistema cuando se determina las raíces de la ecuación; para trazar el LGR del sistema primero se debe determinar la función características del sistema. 1+kG(s) = 0 Luego se factoriza G(s),

jw

σ

x

x

x o

so •

x

φ1

φ2=0

φ3

φ4 ψ1



38

( )

( )01

1

1 =+

++

∏

∏

=

=n

jj

m

ii

ps

zsk

Despejando

( ) ( ) 011

=+++ ∏∏==

m

ii

n

jj zskps (3.4)

Luego se ubica en el plano complejo los polos y ceros de la ecuación 3.4. recuerde que los polos se representan por una x y los ceros con una o. Para dibujar el LGR, sé varia k entre cero e infinito. De la ecuación 3.4 se puede deducir que: Sí k=0 entonces las raíces de la ecuación característica son los polos de G(s). Sí K⇒ ∞ entonces las raíces de la ecuación característica son los ceros de G(s). Por lo tanto el LGR inicia en los polos de G(s) y termina en los ceros de G(s) a medida que aumenta k de cero a infinito. Otra característica importante a tener en cuenta del LGR es que este gráfico es simétrico con respecto al eje real, ya que las raíces complejas de un polinomio deben aparecer en parejas (raíces complejas conjugadas). El número de segmentos que componen el LGR de un sistema es igual al número de polos en lazo abierto del proceso, ya que en sistemas dinámicos el número de polos es mayor que el número de ceros. N = np - nz (3.5) Donde N es el número de segmentos del LGR que terminan en polos en el infinito, nz el número de ceros del sistema y np el número de polos. N también determina el número de asíntotas del LGR. Como el número de polos es mayor que el de ceros, entonces en el gráfico del LGR del sistema habrá segmentos que terminen en ceros en infinito, y dichos segmentos tomaran la dirección que indiquen las asíntotas, el calculo de dichas asíntotas se muestra a continuación. 3.3.1 Calculo de número, Ángulos y Puntos de Corte de Asíntotas Una vez ubicados los polos y ceros del sistema en el plano complejo y haber determinado el número de segmentos que compone el LGR, el siguiente paso



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es el de calcular y dibujar las asíntotas, recuerde que los segmentos del LGR del sistema inician en los polos y terminan en los ceros siguiendo las asíntotas. El punto del cual parten las asíntotas esta determinado por:

zp

n

j

m

i ij

zp nn

zp

nncerospolos

−

−=

−

−=

∑ ∑∑∑ = =1 1σ (3.6)

El ángulo de cada asíntota con respecto al eje real del plano complejo esta determinado por:

( ) 018012

zp nnq−+

=φ q= 0, 1, 2, ..., (np- nz -1) (3.7)

El valor de q varia de acuerdo al número de asíntotas del LGR (número de segmentos del LGR), por ejemplo si el número de asíntotas del LGR es 3, q tomará los valores de 0, 1 y 2. Ejemplo 3.2

Siguiendo el análisis del LGR del ejemplo 3.1, calcular el número de asíntotas, el ángulo de cada una, el punto de partida, luego de los cálculos dibujar en el plano complejo las asíntotas.

( )( )( ) sssss

sssssF

402891

5421)( 2342 +++

+=

++++

=

El número de asíntotas es: np - nz = 4 - 1= 3 Los ángulos de cada asíntota son:

Para q =0 ( ) 0001 60180

3118012

==−+

=zp nn

qφ

Para q =1 ( ) 002 18018012

=−+

=zp nn

qφ

Para q =2 ( ) 003 30018012

=−+

=zp nn

qφ



40

El punto de partida de las asíntotas es:

( ) ( ) 66.23

10222251 1 −=−−−+−−−−

=−

−=∑ ∑= = jj

nn

zp

zp

n

j

m

i ijσ

Una vez obtenido el punto de partida y la pendiente de las asíntotas se dibujan en el plano complejo.

Figura 3.3: Asíntotas de F(s). 3.3.2 Calculo del Punto de Ruptura del Lugar Geométrico de las Raíces Para determinar el punto de salida del LGR del eje real, se requiere despejar k de la ecuación características del sistema, como lo indica la ecuación 3.8.

P(s) = k (3.8) Para encontrar el punto de ruptura del LGR, se encuentra el máximo de P(s), lo se logra derivando P(s) con respecto a s e igualar a cero.

( ) 0==

dssdP

dsdk

(3.9)

La ecuación 3.9 es el método analítico de encontrar el punto de ruptura del LGR, como resultada se obtendrá una función de solo un orden menor que el orden del sistema, las raíces de esta función deben ser analizar para determinar cual es el o los puntos de ruptura del LGR, este análisis se realiza por medio de la condición de fase, para determinar cuales de las raíces de la ecuación 3.9 hace parte del LGR. Ejemplo 3.3

Teniendo en cuenta la figura 3.1, determinar el punto de ruptura del LGR.

jw

σ -2.6

1800 600

-600



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G(s) = 1/(s+3)(s+5) Entonces

( )( ) 053

1 =++

+ss

k ⇒ P(s) = -(s+3)(s+5)

Aplicando la ecuación 3.9

082)(=−−= s

dssdP ⇒ s = -4

Luego el punto de ruptura del LGR es (-4,0) del plano complejo.

3.3.3 Calculo del Punto de Corte del Lugar Geométrico de las Raíces

con el Eje Imaginario Si el LGR de un sistema de control esta en el semiplano derecho del plano s, indica que el sistema es inestable, lo cual se verifico con el criterio de Routh-Hurwitz. Si se calcula el arreglo de Routh-Hurwitz con k como el parámetro variable del sistema se puede determinar los valores de k para que el LGR pase del semiplano izquierdo al derecho del plano complejo, una ves hallado k, es fácil encontrar el valor de la frecuencia para la cual el sistema presenta sus polos sobre el eje imaginario. Ejemplo 3.4

Dada la siguiente función de característica, determinar el punto por el cual el LGR corta el eje imaginario.

( )[ ] 0164

1 2 =++

+ss

k donde k > 0

la función característica del sistema es s3 + 8s2 + 32s + k = 0 Aplicando el criterio de Routh-Hurwitz



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0

08

2568

321

0

1

2

3

ks

ksks

s

−

Del arreglo de Routh-Hurwitz se puede observar que puede haber un cambio de signo si k > 256, si k = 256, entonces los polos del sistema de control están ubicados sobre el eje imaginario. Para determinar la frecuencia a la que ocurre este corte con el eje imaginario, se hace el análisis de la segunda fila del arreglo (s2) 8s2 + k = 0 = 8(jw)2 + 256 como s = jw -8w2 + 256 = 0 ⇒ w = 656.532 ±= rad/seg Lo que quiere decir que el LGR corta al eje imaginario en ± j 5.656.

3.3.4 Ángulos de Salida (Polos) y llegada (Ceros) Sabemos que el LGR inicia en los polos y termina en los ceros del sistema en lazo abierto, para poder determinar con precisión la dirección de cada segmento del LGR es necesario calcular el ángulo de salida y llegada en cada polo y cero. Este calculo se realiza aplicando la condición de ángulo, la cual es aplicada para cada polo y cero del sistema en lazo abierto. En la figura 3.4 se muestra como se calcula el ángulo de salida de un segmento del LGR.

Figura 3.4: Calculo de Ángulo de Salida.

jw

σ

x

x

x

φ2

φ1

φ3



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Para encontrar el ángulo de salida en el polo –1 + 2j se toma una vecindad muy pequeña alrededor del polo, a la cual se le aplicará la condición de ángulo así: 1800 = φ1+ φ2 + φ3 (3.10) De 3.10 despejamos el ángulo φ3, φ3 =1800 - φ1 - φ2 El resultado indica el ángulo por el cual debe salir el segmento del LGR correspondiente al polo. Este proceso se aplica a cada polo y cero del sistema en lazo abierto. 3.3.5 Trazado del Lugar Geométrico de las Raíces Para el trazado de LGR, se retoman paso a paso los anteriores ítems, a continuación se realizará un ejemplo del trazado del LGR. Ejemplo 3.5

Dado el sistema de la figura 3.4, dibuje el LGR, determinando las asíntotas, punto de ruptura y corte con el eje imaginario.

Figura3.4: Sistema Realimentado

i) Marcar los polos y ceros en el plano s.

Figura 3.5: Ubicación de Polos y Ceros.

S+1 S2

+ _

R(s) C(s)

K

o x -1 σ

jw



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ii) Calcular número, ángulo y puntos de corte de las asíntotas.

N = 2 – 1 = 1 Luego se tiene una asíntota, el ángulo con respecto al eje real es:

( ) 00 18018012=

−+

=zp nn

qf para q = 0

No es necesario calcular puntos de corte ya que solo hay una asíntota. iii) Calcular el punto de ruptura. La función características es:

0)1(1 2 =+

+ssk ⇒

1)(

2

+−=

sssP

Luego se determina el máximo de P(s)

( ) ( )( )

0112

2

2

=+

−+−=

ssss

dssdP

Los valores de s para que se cumpla la anterior ecuación son: s = 0 y s = -2. Como el sistema tiene dos polos en cero es lógico pensar que s = 0 es un punto de ruptura, para saber si s = -2 es otro punto de ruptura es necesario aplicar la condición de ángulo en este punto, de la figura 3.5 ∠G(s) = ψ1 - φ1 = 1800 - 1800 - 1800 = - 1800 Como cumple la condición de ángulo s = -2 es punto de ruptura del LGR. iv) Corte con el eje imaginario. Para este punto se utiliza el criterio de Routh-Hurwitz, para lo cual se requiere la función característica del sistema, la cual es: s2 + ks + k = 0 Aplicando el criterio de Routh-Hurwitz



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00

1

0

1

2

ksks

ks Para que el LGR corte el eje imaginario k debe ser igual a cero.

v) Los ángulos de salida y de llagada se calculan para polos y ceros complejos

conjugados. vi) Para el trazado del LGR, se analizan los datos anteriormente obtenidos y se

trazan los segmentos del LGR. La figura 36 muestra el LGR.

Figura 3.6: LGR de G(s) = (s+1)/s2. 3.4 TRAZADO DEL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES CON MATLAB A continuación se presenta el programa en Matlab para dibujar el LGR. El sistema el cual se le va a trazar el LGR es:

( )ssss

ssF40289

1234 +++

+=

Los polos de F(s) son: s = 0, s = -5 y s = -2 ± j2. Los ceros de F(s) son: s = -1.

% Definición de la % Función de Transferencia Num=[1 1] Den=[1 9 28 40 0]; F=tf(Num,Den); % Graficación del LGR rlocus(F)

o x -1 -2 σ

jw



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Figura 3.6: Lugar Geométrico de las Raíces.

Como ejercicio el lector puede verificar por medio de Matlab el LGR del ejercicio 3.5.

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