PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS

ENGENHARIA CIVIL

DISCIPLINA: ENG2033 – TEORIA DAS ESTRUTURAS II

Prof. Luiz Álvaro de Oliveira Júnior

AULA 3 – ESTRUTURAS HIPERGEOMÉTRICAS

Continuidade de deslocamentos

Em uma estrutura, não basta que exista o equilíbrio entre forças externas e internas. Também

é necessário que exista continuidade de deslocamentos, uma vez que as estruturas são

formadas por barras que se conectam por meio de nós umas às outras e aos apoios. Isso

significa que os deslocamentos nas barras devem ser tais que garantam que duas ou mais

barras que se conectam por meio de um nó, vão apresentar o mesmo deslocamento nesse nó

para que a estrutura se mantenha íntegra. A Figura 1 ilustra o conceito de continuidade de

deslocamentos.

Figura 1 – Continuidade de deslocamentos

Compatibilidade de deslocamentos

As condições de compatibilidade entre deslocamentos e deformações são condições

geométricas que devem ser satisfeitas para garantir que a estrutura, ao se deformar,

permaneça contínua (sem vazios ou sobreposição de pontos) e compatível com seus vínculos

externos.

Deve-se ressaltar que as condições de compatibilidade não têm relação alguma com as

propriedades de resistência dos materiais da estrutura (consideradas nas leis constitutivas

dos materiais, tratadas na seção a seguir). As condições de compatibilidade são expressas por

relações geométricas impostas no modelo estrutural para garantir a continuidade no domínio

da estrutura real. Essas relações consideram as hipóteses geométricas adotadas na concepção

do modelo.

As condições de compatibilidade podem ser divididas em dois grupos:

• Condições de compatibilidade externa: referem-se aos vínculos externos da estrutura e

garantem que os deslocamentos e deformações sejam compatíveis com as hipóteses

adotadas com respeito aos suportes ou ligações com outras estruturas.

• Condições de compatibilidade interna: garantem que a estrutura permaneça, ao se

deformar, contínua no interior dos elementos estruturais (barras) e nas fronteiras

entres os elementos estruturais, isto é, que as barras permaneçam ligadas pelos nós

que as conectam (incluindo ligação por rotação no caso de não haver articulação entre

barras).

Sistema hipergeométrico

Conforme vimos na aula anterior, as estruturas possuem deslocabilidades internas e externas.

Uma estrutura que tem todas as deslocabilidades bem definidas, isto é, com valores

conhecidos, é denominada de estrutura cinematicamente determinada. De maneira análoga,

uma estrutura cujas deslocabilidades não são conhecidas é chamada cinematicamente

indeterminada.

Pelo princípio da superposição dos efeitos, podemos considerar a configuração deformada de

uma estrutura qualquer como sendo uma superposição das configurações deformadas

básicas, isto é, configurações deformadas cinematicamente determinadas correspondentes a

cada uma das deslocabilidade. Ocorre que, quando adicionamos apoios fictícios à estrutura

original obtemos uma estrutura com nós totalmente engastados denominada de estrutura

hipergeométrica, ou sistema hipergeométrico (SH).

Pode parecer estranho criar uma estrutura (o SH) na qual todos os nós são completamente

engastados. Na verdade, o SH é utilizado para isolar as diversas componentes cinemáticas da

estrutura, isto é, isolar os efeitos de cada uma de suas deslocabilidades. Com base no SH, as

deslocabilidades são impostas

criação do SH, enquanto os outros apoios fictícios fixam as demais deslocabilidades.

Obs.: Diferentemente do procedimento de cálculo do número de deslocabilidades externas,

quando os apoios fictícios eram empregados para restringir ape

translacionais, na determinação do sistema hipergeométrico

para restringir TODAS as deslocabilidades, ou seja, deslocamentos

é feito para que os valores dessas deslocab

posteriormente quando estudarmos

Considerando o exposto, pode

sendo o número de graus de liberdade livres da estrutura, ist

excedentes das equações de compatibilidade

Para determinar o sistema hipergeométrico, adicionamos vínculos de primeiro gênero para

restringir deslocamentos translacionais

rígidos. Por exemplo, seja o pórtico da figura abaixo.

Figura 1 – Sistema hipergeométrico

Para determinar o sistema hipergeométrico desse pórtico, seguimos o seguinte p

• Identificamos as deslocabilidades da estrutura hiperestática;

• Numeramos as deslocabilidades de cada nó;

• Substituímos as deslocabilidades translacionais por apoios de primeiro gênero;

• Substituímos as deslocabilidades rotacionais por chapas rígidas;

• Numeramos os vínculos fic

como “recalques” do correspondente apoio

outros apoios fictícios fixam as demais deslocabilidades.

Diferentemente do procedimento de cálculo do número de deslocabilidades externas,

quando os apoios fictícios eram empregados para restringir apenas os deslocamentos

nação do sistema hipergeométrico os apoios fictícios são empregados

TODAS as deslocabilidades, ou seja, deslocamentos translacionais

é feito para que os valores dessas deslocabilidades possam ser determinados, como veremos

mos o Método dos Deslocamentos.

pode-se definir o grau de hipergeometria de uma estrutura como

graus de liberdade livres da estrutura, isto é, o número de

excedentes das equações de compatibilidade.

Para determinar o sistema hipergeométrico, adicionamos vínculos de primeiro gênero para

translacionais e chapas para restringir a rotação dos nós internos

seja o pórtico da figura abaixo.

Sistema hipergeométrico de um pórtico com barras sem deformação axial.

Para determinar o sistema hipergeométrico desse pórtico, seguimos o seguinte p

deslocabilidades da estrutura hiperestática;

as deslocabilidades de cada nó;

as deslocabilidades translacionais por apoios de primeiro gênero;

as deslocabilidades rotacionais por chapas rígidas;

os vínculos fictícios da mesma maneira que as deslocabilidades.

do correspondente apoio fictício inserido na

outros apoios fictícios fixam as demais deslocabilidades.

Diferentemente do procedimento de cálculo do número de deslocabilidades externas,

nas os deslocamentos

fictícios são empregados

translacionais e rotações. Isso

ilidades possam ser determinados, como veremos

se definir o grau de hipergeometria de uma estrutura como

o é, o número de incógnitas

Para determinar o sistema hipergeométrico, adicionamos vínculos de primeiro gênero para

e chapas para restringir a rotação dos nós internos

de um pórtico com barras sem deformação axial.

Para determinar o sistema hipergeométrico desse pórtico, seguimos o seguinte procedimento:

as deslocabilidades translacionais por apoios de primeiro gênero;

tícios da mesma maneira que as deslocabilidades.

Obs.: A numeração das deslocabilidades e dos vínculos fictícios pode ser qualquer. No entanto,

recomenda-se que haja uma ordem definida nessa numeração

deslocabilidades no cálculo.

Exercícios

1) Determinar o sistema hipergeométrico

axial de cada barra é desprezível.

2) Determinar o grau de hipergeometria das estruturas do exercício anterior.

Solução:

a) 5; b) 3; c) 5;

g) 1; h) 3; i) 2

BIBLIOGRAFIA

SÜSSEKIND, J. C. Curso de análise estrutural. Rio de Janeiro, Editora Científica, 1983. V. 2

MARTHA, L. F. Métodos básicos de análise estrutural. Rio de Janeiro, Editora Elsevier, 2010.

A numeração das deslocabilidades e dos vínculos fictícios pode ser qualquer. No entanto,

se que haja uma ordem definida nessa numeração para evitar o uso incorreto das

sistema hipergeométrico das estruturas abaixo. Considere que a deformação

axial de cada barra é desprezível.

Determinar o grau de hipergeometria das estruturas do exercício anterior.

c) 5; d) 12; e) 8; f) 5;

i) 2

SÜSSEKIND, J. C. Curso de análise estrutural. Rio de Janeiro, Editora Científica, 1983. V. 2

MARTHA, L. F. Métodos básicos de análise estrutural. Rio de Janeiro, Editora Elsevier, 2010.

A numeração das deslocabilidades e dos vínculos fictícios pode ser qualquer. No entanto,

evitar o uso incorreto das

Considere que a deformação

Determinar o grau de hipergeometria das estruturas do exercício anterior.

f) 5;

SÜSSEKIND, J. C. Curso de análise estrutural. Rio de Janeiro, Editora Científica, 1983. V. 2

MARTHA, L. F. Métodos básicos de análise estrutural. Rio de Janeiro, Editora Elsevier, 2010.