PONTIFCIA UNIVERSIDADE CATLICA DE GOIS

ENGENHARIA CIVIL

DISCIPLINA: ENG2033 TEORIA DAS ESTRUTURAS II

Prof. Luiz lvaro de Oliveira Jnior

AULA 5 INTRODUO AO MTODO DOS DESLOCAMENTOS

Introduo

At agora, vimos como encontrar o grau de indeterminao cinemtica de estruturas

hiperestticas (nmero de deslocabilidades internas e externas), como obter os termos de

rigidez de elementos de barra do tipo viga, trelia e prtico e quais os valores que essas

rigidezes assumem quando impomos um recalque de apoio no elemento para considerar um

eventual deslocamento do apoio (translacional ou rotacional). Veremos nessa aula no que

consiste o mtodo dos deslocamentos e um roteiro de aplicao do mtodo.

Mtodo dos deslocamentos idia do mtodo.

O mtodo dos deslocamentos o mtodo dual do mtodo das foras, isto , tem a mesma

finalidade, mas a idia oposta a do mtodo das foras. Da mesma forma que no mtodo das

foras, o mtodo dos deslocamentos emprega trs condies bsicas da anlise estrutural:

equilbrio, compatibilidade e leis constitutivas dos materiais.

Por ser dual, o mtodo dos deslocamentos aborda o problema hiperesttico de maneira

inversa se comparado ao mtodo das foras. Enquanto no mtodo das foras primeiro se

escrevem as equaes de equilbrio, empregam-se as leis constitutivas dos materiais e se

restaura a compatibilidades de deslocamentos, no mtodo dos deslocamentos primeiro se

escrevem as equaes de compatibilidade que, apoiadas pelas leis constitutivas, permitem

que o equilbrio seja restaurado no final do problema.

A idia geral do mtodo, em funo da dualidade mencionada, consiste em somar uma srie de

solues bsicas (chamadas de casos bsicos) que satisfazem as condies de

compatibilidade, mas que no satisfazem as condies de equilbrio da estrutura original para

recompor o equilbrio da estrutura por meio da superposio dos efeitos.

Cada caso bsico satisfaz isoladamente as condies de compatibilidade (continuidade interna

e compatibilidade com respeito aos vnculos externos da estrutura). Entretanto, os casos

bsicos no satisfazem as condies de equilbrio da estrutura original, pois so necessrios

foras e momentos adicionais para manter o equilbrio. As condies de equilbrio da

estrutura ficam restabelecidas quando so superpostas todas as solues bsicas.

Comparao entre o mtodo das foras e o mtodo dos deslocamentos:

A seguir apresentado um paralelo entre os dois mtodos com nfase na idia do mtodo, na

metodologia empregada, nas incgnitas, no tipo de estrutura auxiliar e nas equaes finais

empregadas na soluo. A comparao deixa evidente a dualidade mencionada.

Mtodo das foras Mtodo dos deslocamentos

Idia bsica:

Determinar, dentro do conjunto de solues em

foras que satisfazem as condies de

equilbrio, qual a soluo que faz com que as

condies de compatibilidade tambm sejam

satisfeitas.

Idia bsica:

Determinar, dentro do conjunto de solues em

deslocamentos que satisfazem as condies de

compatibilidade, qual a soluo que faz com que

as condies de equilbrio tambm sejam

satisfeitas.

Metodologia:

Superpor uma srie de solues estaticamente

determinadas (isostticas) que satisfazem as

condies de equilbrio da estrutura para obter

uma soluo final que tambm satisfaz as

condies de compatibilidade.

Metodologia:

Superpor uma srie de solues

cinematicamente determinadas (configuraes

deformadas conhecidas) que satisfazem as

condies de compatibilidade da estrutura para

obter uma soluo final que tambm satisfaz as

condies de equilbrio.

Incgnitas:

Hiperestticos: foras e momentos associados a

vnculos excedentes determinao esttica da

estrutura.

Incgnitas:

Deslocabilidades: deslocamentos e rotaes

nodais que definem a configurao deformada

da estrutura.

Nmero de incgnitas:

o nmero de incgnitas excedentes das

equaes de equilbrio, denominado grau de

hiperestaticidade.

Nmero de incgnitas:

o nmero de incgnitas excedentes das

equaes de compatibilidade, denominado grau

de hipergeometria.

Estrutura auxiliar:

Sistema Principal (SP): estrutura estaticamente

determinada (isosttica) obtida da estrutura

original pela eliminao dos vnculos excedentes

associados aos hiperestticos. Essa estrutura

auxiliar viola condies de compatibilidade da

estrutura original.

Estrutura auxiliar:

Sistema Hipergeomtrico (SH): estrutura

cinematicamente determinada (estrutura com

configurao deformada conhecida) obtida da

estrutura original pela adio dos vnculos

necessrios para impedir as deslocabilidades.

Essa estrutura auxiliar viola condies de

equilbrio da estrutura original.

Equaes finais:

So equaes de compatibilidade expressas em

termos dos hiperestticos. Essas equaes

recompem as condies de compatibilidade

violadas nas solues bsicas.

Equaes finais:

So equaes de equilbrio expressas em termos

das deslocabilidades. Essas equaes

recompem as condies de equilbrio violadas

nas solues bsicas.

Termos de carga das equaes finais:

Deslocamentos e rotaes nos pontos dos

vnculos liberados no SP devidos solicitao

externa (carregamento).

Termos de carga das equaes finais:

Foras e momentos (reaes) nos vnculos

adicionados no SH devidos solicitao externa

(carregamento)

Coeficientes das equaes finais:

Coeficientes de flexibilidade: deslocamentos e

rotaes nos pontos dos vnculos liberados no

SP devidos a hiperestticos com valores

unitrios atuando isoladamente.

Coeficientes das equaes finais:

Coeficientes de rigidez: foras e momentos nos

vnculos adicionados no SH para impor

configuraes deformadas com deslocabilidades

isoladas com valores unitrios.

Roteiro de clculo

[1] Calcular o grau de hipergeometria da estrutura;

[2] Identificar as deslocabilidades desconhecidas;

[3] Montar o sistema hipergeomtrico;

[4] Aplicar o carregamento externo no sistema hipergeomtrico (caso 0);

[5] Aplicar a deslocabilidade D1 com valor unitrio no sistema hipergeomtrico (caso 1);

[6] Aplicar a deslocabilidade DN com valor unitrio no sistema hipergeomtrico (caso N);

[7] Equacionamento do problema e determinao das deslocabilidades;

[8] Restaurar o equilbrio da estrutura pela equao (3).

Comentrios sobre o roteiro:

Item [4]: O carregamento externo aplicado com TODAS as deslocabilidades nulas. Neste

item, emprega-se a tabela de momentos de engastamento perfeito para obter os esforos nos

ns das barras do SH. Os esforos que vo surgir no SH da aplicao das equaes dessa tabela

so chamados termos, ou fatores de carga [ ]. Um termo de carga formalmente definido

como reao no apoio fictcio associada deslocabilidade Di para equilibrar o SH quando atua

a solicitao externa isoladamente, isto , com deslocabilidades com valores nulos.

Itens [5] e [6]: Cada deslocabilidade unitria aplicada no SH de maneira isolada isto , uma

de cada vez. Disso so obtidos os valores dos momentos ou das foras que equilibram o SH

quando uma deslocabilidade unitria imposta. Esses valores so conhecidos como termos,

fatores, ou ainda coeficientes de rigidez.

Item [7]: O equacionamento do problema se baseia no princpio da superposio dos efeitos.

Para um sistema com grau de hipergeometria igual a trs, a equao (1) mostra como se

restaura o equilbrio usando o Princpio da Superposio dos Efeitos. A soluo do sistema de

equaes consiste em encontrar os valores das deslocabilidades .

(1)

A equao (1) pode ser escrita de forma matricial como segue:

(2)

Item [8]: A restaurao do equilbrio feita empregando a equao (3), que se vale do

princpio da superposio dos efeitos. Com ela qualquer efeito (esforos ou reaes, pode ser

obtido a partir dos coeficientes j encontrados anteriormente. Na equao (3), N o nmero

de deslocabilidades do problema. Por E, deve-se entender o esforo normal, momento fletor

ou esforo cortante atuante na estrutura.

(3)

Comentrios sobre as matrizes e os vetores

A matriz simtrica. A simetria garantida pelo Teorema de Betti (Teorema da Reciprocidade).

A dimenso das matrizes e dos vetores ser definida pelo nmero de deslocabilidades que queremos

determinar. Assim, para um problema com 7 deslocabilidades, a matriz [K] ter dimenso 7 x 7 e os

vetores tero dimenso 7. De maneira anloga, em um problema com 2 deslocabilidades,

essa matriz ser 2 x 2 e os vetores tero 2 termos cada. No caso particular de problemas com apenas

uma deslocabilidade a se determinar, a equao matricial se reduz a uma equao vetorial com

matrizes e vetores de dimenso 1.

Conveno de sinais do mtodo dos deslocamentos

As equaes finais do Mtodo dos Deslocamentos representam o equilbrio dos ns da

estrutura na direo de cada deslocabilidade. Por esse motivo, conveniente adotar uma

conveno de sinais para foras e momentos que facilite a definio das condies de

equilbrio. Isto significa que adotaremos uma conveno de sinais para esforos normais,

esforos cortantes e momentos fletores em prticos planos. A Tabela 1 resume a conveno

de sinais adotada no mtodo dos deslocamentos.

Tabela 1 Conveno de sinais do mtodo dos deslocamentos.

Deslocamentos horizontais

Deslocamentos verticais

Rotaes

Foras horizontais

Foras verticais

Momentos

Esforos normais em extremidade de barra

Esforos cortantes em extremidade de barra

Momentos fletores em extremidades de barra

Exemplo 1 Viga contnua

Encontre as reaes de apoio e trace o diagrama de momento fletor da viga da figura 1.

Considere que todas as barras possuem inrcia constante e so inextensveis. Para simplificar

os clculos, adote EI = 12.

Soluo:

a) Clculo do grau de hipergeometria

Obs.: Lembrar que: o nmero de ns internos rgidos excluindo os ns extremos

vinculados.

b) Sistema hipergeomtrico

Antes de definir o sistema hipergeomtrico, a estrutura pode ser modificada de forma a

eliminar o trecho em balano. Para isto, leva-se a carga concentrada e o momento por ela

provocado em relao quele apoio at o n do apoio.

O sistema hipergeomtrico obtido dessa estrutura mostrado abaixo:

Vamos admitir que a barra da esquerda a barra 1 e que a barra da direita a barra 2. Da

mesma forma, o n da esquerda ser o n A, o n do meio o n B e o n da direita o n C.

c) Caso 0: carregamento externo aplicado no sistema hipergeomtrico

Seguindo a numerao de barras e ns estabelecida no item anterior, obtemos da tabela de

momentos de engastamento perfeito para o carregamento tipo 1, os seguintes momentos

fletores e reaes:

Barra 1:

Reaes nas extremidades da barra 1:

Barra 2:

Temos ainda que considerar o efeito do balano. No n C da barra 2 temos um momento

aplicado igual a -8 kN.m (momento igual a 8 kN.m aplicado no sentido horrio). Da tabela de

momentos de engastamento perfeito, temos que o momento no n B da mesma barra vale:

Obs.: Atentar para o fato de que nessa tabela, os valores dos carregamentos externos devem ser

informados em mdulo, isto , em valores positivos. A conveno da tabela no necessariamente igual

nossa.

Os efeitos finais do carregamento externo no sistema hipergeomtrico so dados abaixo:

Assim, o momento total em B na barra 2 devido ao carregamento externo :

Reaes nas extremidades da barra 2:

Somando todos os efeitos dos carregamentos externos no n da chapa, encontramos o valor do termo

de carga

d) Caso 1: rotao unitria da chapa 1

Precisamos determinar os efeitos da rotao unitria no n B (n em que essa deslocabilidade

est restringida). Assim, temos para barras biengastadas (barra 1) e barras engastadas-

articuladas (barra 2) os seguintes momentos:

Barra 1:

Barra 2:

Assim, o valor de K11 a soma de KB da barra 1 e KB da barra 2.

E as reaes nas barras 1 e 2 so:

e) Soluo do equacionamento

f) Efeitos finais

Com o valor da deslocabilidade D1 conhecido, basta empregar a equao (3) para obter

qualquer efeito desejado na viga. A equao dos efeitos finais dada pela seguinte expresso:

Como j temos os valores dos momentos e das reaes nos casos 0 e 1, basta substitu-los nas

equaes dos efeitos finais para obt-los.

g) Reaes de apoio

h) Diagrama de momentos fletores

(caso 0)

(caso 1)

Para conhecer os momentos fletores nas sees ao longo do comprimento da barra, basta

pendurar a parbola pL2/8 nos vos em que uma carga distribuda estiver atuando. A outra

maneira de encontrar esses momentos utilizar as reaes de apoio para obter os momentos

fletores em outras sees das barras.

E, portanto, o diagrama final de momentos fletores ser:

Bibliografia

Martha, L. F., Mtodos bsicos de anlise estrutural. Rio de Janeiro, Elsevier, 2010.

Sssekind, J. C. Curso de Anlise Estrutural, V. 3, Rio de Janeiro, Ed. Globo, 1973.

Pinheiro, L. M. et al. Tabelas de Vigas: Deslocamentos e Momentos de Engastamento Perfeito,

Escola de Engenharia de So Carlos (EESC-USP), 2010, 10 p.