luyỆn thi ĐẠi hỌc chuyÊn ĐỀ: hỆ phƯƠng trÌnh · luyỆn thi ĐẠi hỌc chuyÊn...

LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHUYÊN ĐỀ: HỆ PHƯƠNG TRÌNH

GV. ĐỖ VĂN THỌ

(Biên Soạn Lần 1)

Năm 2012

Luyện Thi Đại Học Hệ Phương Trình GV. Đỗ Văn Thọ

2

Chuyên Đề: Hệ Phương Trình

I. Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương: * Dạng 1: Trong hệ có một phương trình bậc nhất với ẩn x hoặc y khi đó ta tìm cách rút y theo x hoặc ngược lại Ví dụ: Giải hệ phương trình

2 2

2

1 1 3 4 1 1

1 2

x y x y x x

xy x x

Giải:

Ta thấy 0x không là nghiệm của (2) nên từ (2) ta có 2 11 xyx

thay vào (1) ta được

2 2

2 2 2 21 1 3 4 1 1 2 1 1 3 1x xx x x x x x x xx x

3 2 3 21 2 2 1 1 3 1 1 2 2 4 0x x x x x x x x x x

10

2

xxx

với 0x loại

Suy ra nghiệm của hệ là 1; 1 và 52;2

* Dạng 2: Một phương trình trong hệ có thể đưa về dạng tích của các phương trình bậc nhất hai ẩn Ví dụ: Giải hệ phương trình

2 22 1

2 1 2 2 2

xy x y x y

x y y x x y


3

Giải:

Điều kiện: 1; 0x y 2 21 2 0 2 0x xy y x y x y x y x y Từ điều kiện ta có 0x y

2 1 0 2 1x y x y thay vào (2) ta được: 2 2 2 2 1 2 2 0y x y y y y (do 0y )

2 5y x * Dạng 3: Đưa một phương trình trong hệ về dạng phương trình bậc hai của một ẩn, ẩn còn lại là tham số Ví dụ: Giải hệ phương trình

2

2 2

5 4 4 1

5 4 16 8 16 0 2

y x x

y x xy x y

Giải: Biến đổi phương trình (2) về dạng 2 24 8 5 16 16 0y x y x x . Xem phương trình (2) là phương trình ẩn y tham số là x ta có 2' 9x từ

đó ta được nghiệm

5 4 3

4 4

y x

y x

Thay (3) vào (1) ta được 24 0

5 4 5 4 4 50 4

x yx x x

x y

Thay (4) vào (1) ta được 2 4 04 5 4 4

0 4x y

x x xx y

Vậy nghiệm của hệ là 40;4 ; 4;0 ; ;05


4

II. Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ: Điểm quan trọng trong hệ dạng này là phát hiện ẩn phụ

; ; ;u f x y v g x y có ngay trong từng phương trình hoặc xuất hiện sau một phép biến đổi hằng đẳng thức cơ bản hoặc phép chia một biểu thức khác 0 Ví dụ:

2

2

1 4 1

1 2 2

x y y x y

x y x y

Giải Ta có 0y không thỏa mãn (1) nên ta có

2

2

1 4

1 2 1

x y xy

x y xy

Đặt 2 21; 2 1

1a bxa b y x a baby

. Từ đó ta có hệ

2 13

x yx y

. Giải tiếp

Ví dụ: Giải hệ phương trình

2 22

34 4 7

12 3

xy x yx y

xx y

Giải Điều kiện 0x y


5

2 22

33 7

1 3

x y x yx y

HPTx y x y

x y

Đặt 1 ; 2a x y ax y

và b x y . Khi đó ta được hệ phương

trình

2 23 13 1

3 2

a b

a b

. Giải hệ ta được 2; 1a b (do 2a ) từ đó

ta có 1 2 1 1

1 01

x y x y xx y

x y yx y

III. Hệ sử dụng phương pháp hàm số:

Hệ loại này ta gặp nhiều ở dạng ; 0

f x f y

f x y

; f là hàm đơn điệu trên

tập D và x, y thuộc D. Nhiều khi ta cần phải đánh giá ẩn x, y thuộc tập mà hàm f đơn điệu * Dạng 1: Một phương trình trong hệ có dạng f x f y , phương trình còn lại giúp ta giới hạn x, y thuộc tập D để trên đó hàm f đơn điệu Ví dụ:

Giải hệ phương trình

3 3

8 4

5 5 1

1 2

x x y y

x y

Giải

Rõ ràng ta thấy hệ trên thuộc dạng ; 0

f x f y

f x y


6

Ta sẽ giới hạn ;x y từ phương trình (2) 8 41; 1 1; 1x y x y Xét hàm số 3 5f t t t với 1;1t có

2' 3 5 0; 1;1f t t t , do đó f t nghịch biến trên khoảng 1;1 hay PT 1 x y thay vào PT (2) ta được 8 4 1 0x x . Đặt 4 0a x và giải phương trình ta được

41 5 1 52 2

a y x

* Dạng 2 Là dạng hệ đối xứng loại hai mà khi giải thường dẫn đến cả hai trường hợp (1) và (2)

Ví dụ: Giải hệ phương trình 2 1

2 1

2 2 3 1

2 2 3 1

y

x

x x x

y y y

Đặt 1; 1a x b y ta được hệ

2

2

1 3 1

1 3 2

b

a

a a

b b

Trừ vế theo vế hai phương trình ta được: 2 21 3 1 3 3a ba a b b

Xét hàm số 2

2

2

11 3 ; ' 3 ln31

t tt tf t t t f tt

Vì 2 2 21 1 0 ' 0,t t t t t f t t do đó hàm số f t đồng biến trên R nên phương trình (3) a b thay vào phương

trình (1) ta được 2 1 3 4aa a . Theo nhận xét trên thì 2 1 0a a nên phương trình (4) 2ln 1 ln3 0a a a (lấy

ln hai vế)


7

Xét hàm số 2ln 1 ln3g a a a a và

2

1' ln3 1 ln 3 0, R1

g a aa

hay hàm g a nghịch biến

trên R và do PT (4) có nghiệm 0a nên PT (4) có nghiệm duy nhất 0a . Từ đó ta được nghiệm của hệ ban đầu là 1x y

IV. Sử dụng phương pháp đánh giá: Với phương pháp này cần lưu ý phát hiện các biểu thức không âm và nắm vững cách vận dụng các bất đẳng thức cơ bản Ví dụ: Giải hệ phương trình

2

3 2

2

23

22 9

22 9

xyx x yx x

xyy y xy y

Giải Cộng vế với vế hai phương trình ta được

2 2

3 2 23

2 2 12 9 2 9xy xy x y

x x y y

Ta có

23 2 33 32 2

2 222 9 1 8 222 9 2 9

xy xyxyx x x xyx x x x

Tương tự 3 2

22 9xy xy

x x

mà theo bất đẳng thức côsi

2 2 2x y xy nên 1 1VT VP . Dấu bằng xảy ra khi 10

x yx y

thử

lại ta được nghiệm của hệ là 0;0 ; 1;1


8

Ví dụ: Giải hệ phương trình 3

3

3 42 6 2

y x xx y y

Giải

HPT

23

23

2 3 2 2 1 2 1

2 2 3 2 2 2 1 2 2

y x x y x x

x y y x y y

Nếu 2x từ (1) suy ra 2 0y điều này mâu thuẫn với PT (2) có 2x và 2y cùng dấu. Tương tự với 2x ta cũng suy ra điều vô lí. Vậy nghiệm của hệ là 2x y V. Phương pháp thế bằng một biểu thức của ẩn Ví dụ: Giải hệ phương trình

2 2

2

1 1 3 4 1 1

1 2

x y x y x x

xy x x

Giải Dễ thấy 0x không là nghiệm của hệ phương trình. Do đó

2 12 1 xyx

thay vào (1) 2 2

2 21 1 3 4 1x xx x x xx x

2 2

3 2

1 2 1 1 3 1

1 2 2 1 1 3 1

x x x x

x x x x x x

3 2

01 2 2 4 0 1 1

522

xx x x x x y

x y

Với 0x loại


9

Vậy nghiệm của hệ là 51; 1 ; 2;2


3 1

1 1 4 2

x y xy

x y

Giải

3

2 2 1 1 16

x y xyHPT

x y x y

Điều kiện 3; 0 0; 0x y xy x y

33

2 1 1 11 2 4 11

3 3

4 4 121 22 3 26 105 0

33533

x y xyx y xy

xy x y xy xy xy

x y xy x y xy

xy xy xy xy xy xy

x y xy

xy xy

Với 353

xy loại. Tự giải tiếp

Bài tập

Bài 1: 3 2

2

3 6 03

y y x x yx xy

ĐS: 3 3 3 3; ; ;

2 2 2 2

Bài 2: 4 3 2 2

2

2 2 92 6 6

x x y x y xx xy x

(Khối B - 2008). ĐS: 174;

4


10

Bài 3: 2 2

2 2

2 3 5

2 3 2

x y x y

x y x y

ĐS: 1 17 13;1 ; ;

2 20 20

Bài 4:

2 2 52

32

x y xy

x yy x

ĐS: 0 0 02 ; ; 0y y y

Bài 5:

2 2 41 1 2

x y x yx x y y y

ĐS: 2; 2 ; 2; 2 ; 1;2 ; 2; 1

Bài 6: 2

5 3

x y x y y

x y

ĐS: 41;

5

Bài 7: 2 2 4 2

2

1 32

x y y yxy x y

ĐS: 1;1 ; 1; 1

Bài 8: 2

2 2

2 2 0

yx yx

xy y x

ĐS: 2; 1

Bài 9:2 0

1 2 1 1

x y xy

x y

ĐS: 1 52; ; 10;

2 2

VI. Thế bằng hằng số


3 3

2 2 3

1 1

2 2 2

x y

x y xy y


11

Giải

2 2 2 2

22 2

1 1 3

2 2 2 4

x y x xy y x y x xy yHPT

y x xy y y y x

Thay (3) vào (4) ta được

2 2 2

2 2

2 2

4 2

2 0

2 3 0

y x y x y x xy y

x y y x y x xy y

x y x yx y

Như vậy

3 3

3 3

2 2

1

0

1

2 3 0

x yI

x yI

x yII

x xy y

Hệ (I) vô nghiệm

Hệ

2 2

3 3

2 3 0 lµ ph¬ng tr×nh bËc hai theo x

1

x xy yII

x y

3 3

2 0

1

x y x y

x y

. Tự giải tiếp

ĐS 3 3 3 3

1 1 1 1; ; ;2 2 9 9

Ví dụ: Giải hệ phương trình 3 3

2 2

8 2

3 3 1

x x y y

x y

Giải

3 33 3

2 2 2 2

3 6 4 12 4

3 6 3 6 2

x y x yx y x yHPT

x y x y


12

Thay (2) vào (1) ta có: 3 3 2 2 3 2 2

2 22 2

3 3 4 12 0

3 63 6

x y x y x y x x y xy

x yx y

2 2

2 2

12 0

3 6

x x xy y

x y

20 3 6

3 thay vµo (2) 3;1 ; 3; 1

6 6 6 64 thay vµo (2) 4 ; ; 4 ;

13 13 13 13

x y VN

x y

x y

Vậy nghiệm của hệ là 3;1 ; 3; 1 ; 6 6 6 6

4 ; ; 4 ;13 13 13 13

Bài tập:

Bài 1: 2 2

3 3

13

x y xyx y x y

. ĐS: 1;0 ; 1;0

Bài 2: 3 3 2

4 4

14 4

x y xyx y x y

ĐS: 3 3

3 10;1 ; 1;0 ; 1;1 ; ;25 25

Bài 3: 2 2 3 3

4

280

x y

x y x y ĐS: 1;3 ; 3;1

Bài 4: 2 2

2 2

12

12

x y x y

x y x ĐS: 3;5 ; 3;5 ; 4;5 ; 4;5


13

Bài 5: 5 5

9 9 4 4

1

x yx y x y

ĐS 0;1 ; 1;0

Bài 6: 2 2

3 3

2 12 2

y xx y y x

ĐS 1;1 1; 1

Bài 7: 3 2

2 2

2 12 08 12x xy yy x

ĐS 2;1 ; 2; 1

Bài 8: (Khối B - 2002) 3

2

x y x y

x y x y

. ĐS: 3 11;1 ; ;

2 2

Bài 9: (Dự bị - 2005)

2 2 41 1 2

x y x yx x y y y

ĐS:

2;1 ; 1; 2

Bài 10: (Dự bị - 2005) 2 1 1

3 2 4x y x y

x y

ĐS: 2; 1

Bài 11: (Dự bị 2006)

2

2

1 4

1 2

x y x y y

x x y y

,

Bài 12: (A - 2003) 3

1 1

2 1

x yx y

y x

ĐS:

Bài 13: (Dự bị 2006) 8 3

2 2

8 2

3 3 1

x x y y

x y


14

ĐS:

Bài 14: (B - 2003)

2

2

2

2

23

23

yyx

xxy

ĐS:

Bài 15: (Dự bị 2006)

2 2

22 2

3

7

x xy y x y

x xy y x y

ĐS:

Bài 16: (Dự bị 2006)

2 2

2 2

13

25

x y x y

x y x y

ĐS:

Bài 17: (D - 2009):

22

1 3 05 1 0

x x y

x yx

ĐS:

Bài 18: (Dự bị 2007) 4 3 2 2

3 2

11

x x y x yx y x xy

ĐS:

Bài 19: (A - 2010) 2

2 2

4 1 3 5 2 0

4 2 3 4 7

x x y y

x y x

ĐS:


15

Bài 20: (Dự bị 2007)

2

3 2

2

23

2

2 92

2 9

xyx x yx x

xyy y xy y

Bài 21: (A - 2008)

2 3 2

4 2

54

51 24

x y x y xy xy

x y xy x

ĐS:

Bài 22: (B - 2008) 4 3 2 2

2

2 2 92 6 6

x x y x y xx xy x

ĐS:

Bài 23: (D - 2008) 2 22

2 1 2 2

x y xy x y

x y y x x y

ĐS:

Bài 24: (B - 2009) 2 2 2

1 71 13

xy x yx y xy y

ĐS:

Bài 25:

2 2

2 2

2 3

10

y x y x

x x y y

ĐS:


16

Bài 26:

2 22 22 5 4 6 2 0

12 32

x y x y x y

x yx y

ĐS:

Bài 27:

22 4 1 52

32

x xyx y

xx y

ĐS:

Bài 28: 6 5

2

x y x yx y x yxy

ĐS:

Bài 29: 2 2

20

136

x y x y

x y

ĐS:

Bài 30: 2 1 1

3 2 4x y x y

x y

ĐS:

Bài 31: 2 2

6

20

x y y x

x y y x

ĐS:

Bài 32: 2 2 2 8 2

4

x y xy

x y

ĐS: 4;4

Bài 33: 2 2

3 2 162 4 33

xy x yx y x y


17

Bài 34: 2 2

2 2

3 4 13 2 9 8 3x y x yx y x y

Bài 35:

2 3

2

12

6

x xy y

xy xy

ĐS:

Bài 36: 2 2

2 2 2

61 5y xy x

x y x

ĐS:

Bài 37: 2 2

2 2

3 3

3 0

x yxx yy xy

x y

ĐS:

Bài 38: 3 2

2 2

2 12 08 12

x xy yx y

ĐS:

Bài 39:

2

2

12 102

2 32

x yx y

x y xx y

Bài 40:

1 32

42

xx y

xx y

ĐS:


18

Bài 41:

2 2 25 210

x y xyy x y

ĐS:

Bài 42:

22 2

2 2

19

7

x xy y x y

x xy y x y

Bài 43: 2 2

2 2

12

12

x y x y

y x y

ĐS:

Bài 44:

20

165

y x y x yxx x y x yy

ĐS:

Bài 45: 2 2

2 2

3 1 04 5 2 1 0x x yx x y

ĐS:

Bài 46:

2 2

2 2

3

15

x y x y

x y x y

ĐS:

Bài 47: 2 2

3 2 162 4 33

xy x yx y x y

Bài 48: 2 2

2 2

x y

x y

ĐS:

Bài 49: 6 2 3

6 2 3

x y

y x

ĐS:


19

Bài 50: 2 2

2 2

3 4 02 2 11 6 2 0

x xy y yx xy y x y

ĐS:

Bài 51

3 2 2

32

64

2 6

y x x y

x y

ĐS:

Bài 52: 2 2

2 2

1 1 3

1 1 3 27

xyx y

x yxyx y

Bài 53: 2 2 7

3 2 23x y x yx y

ĐS:

Bài 54: 2 2

2

4 3 02 1 3

x xy yx x y xy

ĐS:

Bài 55: 3 2 3

2

3 3 15

x x y xx xy y

ĐS:

Bài 56: 5 2 7

2 5 7

x y

x y

ĐS:

Bài 57: 5

5 5 8

x y

x y


20

Bài 58: 2 2 7

2 1 3 1 7

x y x y

x y

ĐS:

Bài 59:

14 2 32

14 42

xy x

yy x

ĐS: 3 1 1 1 1 1 1 13; 3 ; 3; 38 4 2 3 16 8 8 4

Bài 60:

2 22 2

11 5

11 49

x yxy

x yx y

ĐS:

Bài 61: 23 1

8 9

y x y

x y x y

ĐS:

Bài 62: 2 2

4 4 2 2

721

x y xyx y x y

Bài 63:

2 2 41 1 2

x y x yx x y y y

luyỆn thi ĐẠi hỌc chuyÊn ĐỀ: hỆ phƯƠng trÌnh · luyỆn thi ĐẠi hỌc chuyÊn...

Documents