lyk-mous-laris.lar.sch.grlyk-mous-laris.lar.sch.gr/arxeia/fysikh/reysta.docx · web viewή...

1

Ρευστομηχανική Γ΄ Λυκείου – από το Υπουργείο Παιδείας

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΡΕΥΣΤΑ ΣΕ ΚΙΝΗΣΗΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΙΣΑΓΩΓΗ - ΥΓΡΑ ΣΕ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ

Οι μαθητές πρέπει να είναι ικανοί:o να διατυπώνουν τους ορισμούς του ρευστού, του

συμπιεστού και του ασυμπίεστου ρευστού. o να διατυπώνουν τον ορισμό της υδροστατικής πίεσης. o να διατυπώνουν και να εφαρμόζουν τον θεμελιώδη νόμο

της υδροστατικής πίεσης και την αρχή του Pascal.

Εισαγωγικές γνώσεις Πυκνότητα, ρ, ενός υλικού ονομάζουμε τη μάζα του υλικού ανά μονάδα όγκου: ρ = m/V με μονάδα στο S.I. το 1Kg/m3.

Πίεση, p, ονομάζουμε το φυσικό μονόμετρο μέγεθος που έχει μέτρο το πηλίκο της δύναμης dF που ασκείται κάθετα σε μια μικρή επιφάνεια, προς το εμβαδό dA της επιφάνειας αυτής: p = dF/dA Αν η πίεση είναι ίδια σε όλα τα σημεία μιας επιφάνειας εμβαδού Α τότε ισχύει p = F/A. Η μονάδα της πίεσης στο S.I. είναι το 1N/m2 = 1 Pascal = 1 Pa.

Ρευστά ονομάζουμε τα σώματα που έχουν την δυνατότητα να ρέουν. Αυτό συμβαίνει επειδή τα μόρια τους βρίσκονται σε διαρκή τυχαία κίνηση αλλάζοντας συνεχώς θέσεις. Την ιδιότητα αυτή έχουν τα υγρά και τα αέρια. Η ροή στα ρευστά γίνεται από τα σημεία με υψηλή πίεση προς τα σημεία με χαμηλότερη πίεση.

Τα υγρά είναι πρακτικά ασυμπίεστα, γιατί όταν τους εφαρμοστεί εξωτερική πίεση δεν μεταβάλλονται οι αποστάσεις των μορίων τους (που είναι πολύ μικρές), ενώ τα αέρια είναι συμπιεστά δηλαδή μεταβάλλουν τον όγκο τους με μεταβολή της πίεσης τους. Τα υγρά παίρνουν το σχήμα του δοχείου στο οποίο περιέχονται, έχουν όμως σταθερό όγκο για σταθερή θερμοκρασία. Τα αέρια δεν έχουν ούτε σχήμα ούτε σταθερό όγκο αλλά καταλαμβάνουν όλο τον όγκο του δοχείου στον οποίο βρίσκονται.

Υγρά σε ισορροπία Η πίεση στα υγρά Η πίεση στα διάφορα σημεία του χώρου που καταλαμβάνει ένα υγρό οφείλεται στο βάρος του υγρού και σε κάποιο εξωτερικό αίτιο. Παραδείγματα εξωτερικών αιτίων είναι η ατμοσφαιρική πίεση και η πίεση που προκαλείται μέσω ενός εμβόλου.

Το υγρό ασκεί δύναμη κάθετη σε κάθε επιφάνεια που έρχεται σε επαφή με αυτό, δηλαδή στα τοιχώματα του δοχείου που το περιέχει και στην επιφάνεια ενός σώματος που είναι βυθισμένο στο υγρό.

2


Ένα υγρό σε ηρεμία, προκαλεί την ίδια πίεση προς όλες τις κατευθύνσεις σε ορισμένο βάθος. Η παρατήρηση αυτή μας οδηγεί στην αρχή των συγκοινωνούντων δοχείων, σύμφωνα με την οποία:

Δύο σημεία ενός υγρού που ισορροπεί, όταν βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο, έχουν την ίδια ολική πίεση.

Υδροστατική πίεση

Η πίεση που επικρατεί σε ένα υγρό λόγω του βάρους του ονομάζεται υδροστατική πίεση και υπολογίζεται ως εξής: έστω ένα σημείο σε βάθος h κάτω από την επιφάνεια του υγρού. Θεωρούμε μία οριζόντια επιφάνεια εμβαδού A στο βάθος h, οπότε η πίεση εξαιτίας του υγρού οφείλεται στο βάρος w της στήλης του υγρού πάνω από την επιφάνεια. Από τον ορισμό της πίεσης έχουμε:

ή (1)

Βλέπουμε λοιπόν ότι η υδροστατική πίεση, p, που επικρατεί σε ένα υγρό αυξάνεται γραμμικά με το βάθος, h. Αυτός είναι ο λόγος που τα φράγματα είναι πλατιά στη βάση τους και πιο στενά στη κορυφή τους.Είναι προφανές ότι αν το ρευστό βρεθεί εκτός πεδίου βαρύτητας, η υδροστατική πίεση μηδενίζεται.Σημειώνουμε ότι η σχέση μας δίνει μόνο την υδροστατική πίεση σε βάθος h. Καλύτερα να έχουμε κατά νου ότι η παραπάνω σχέση υπολογίζει τη διαφορά πίεσης δύο σημείων του υγρού που απέχουν μεταξύ τους κατακόρυφα κατά h.

Έτσι, σε ανοιχτό δοχείο, που περιέχει υγρό, η ελεύθερη επιφάνεια του επικοινωνεί με την ατμόσφαιρα και η ολική πίεση σε βάθος h είναι:

3


(2)

Αρχή του Pascal

Βασικός νόμος της υδροστατικής είναι ο νόμος ή η αρχή του Pascal σύμφωνα με την οποία:

η πίεση που δημιουργεί ένα εξωτερικό αίτιο σε κάποιο σημείο του υγρού μεταφέρεται αναλλοίωτη σε όλα τα σημεία του και στα τοιχώματα του δοχείου που το περιέχει.Στο σχήμα δείχνεται ένα κλειστό δοχείο που περιέχει υγρό. Η πρόσθετη πίεση που προκαλείται μέσω του

εμβόλου, , μεταφέρεται αναλλοίωτη σε όλα τα σημεία του υγρού.

Συνέπειες της αρχής του PascalΗ αρχή του Pascal μας επιτρέπει να υπολογίσουμε την ολική πίεση που επικρατεί σε ένα υγρό είτε αυτό βρίσκεται σε κλειστό είτε σε ανοικτό δοχείο.Έτσι, στο ανοιχτό δοχείο του διπλανού σχήματος η εξωτερική πίεση του εμβόλου δεν μεταδίδεται. Το έμβολο λειτουργεί απλά ως τμήμα του πλευρικού τοιχώματος του δοχείου και η εξωτερική δύναμη F1 εξισορροπεί τη δύναμη που ασκεί το υγρό στο έμβολο. Όμως η ατμοσφαιρική πίεση μέσω της ελεύθερης επιφάνειας του υγρού μεταφέρεται σε όλα τα σημεία του υγρού με αποτέλεσμα η πίεση στα σημεία Α και Β να είναι:

και με .Στη περίπτωση που το δοχείο βρεθεί εκτός πεδίου βαρύτητας, η πίεση σε όλα τα σημεία του θα είναι . Στο διπλανό σχήμα δείχνεται το προηγούμενο δοχείο ερμητικά κλειστό. Αν F είναι η εφαρμοζόμενη δύναμη στο έμβολο εμβαδού Α, δημιουργείται

πρόσθετη πίεση και η ολική πίεση στα σημεία Α

και Β είναι αντίστοιχα: και

με

4


Στη περίπτωση που το δοχείο βρεθεί εκτός πεδίου βαρύτητας, η

πίεση σε όλα τα σημεία του θα είναι: .

Εφαρμογές της αρχής του PascalΗ λειτουργία ενός υδραυλικού ανυψωτή, στηρίζεται στην αρχή του Pascal. Ένα έμβολο με μικρή διατομή Α1 ασκεί μία πρόσθετη δύναμη F1 στην επιφάνεια του υγρού. Η δημιουργούμενη πρόσθετη

εφαρμοζόμενη πίεση, , μεταδίδεται σε όλα τα σημεία του υγρού, άρα και στο έμβολο διατομής

Α2 δηλαδή, . Η πρόσθετη δύναμη F2 που ασκείται στο μεγάλο έμβολο από το υγρό επομένως

είναι . Άρα ο υδραυλικός ανυψωτής πολλαπλασιάζει τη δύναμη κατά παράγοντα ίσο με το λόγο των εμβαδών των δύο εμβόλων.

Άλλες εφαρμογές που χρησιμοποιούν την αρχή του Pascal είναι ο υδραυλικός ανελκυστήρας, η οδοντιατρική πολυθρόνα, ο υδραυλικός γρύλλος και το σύστημα φρεναρίσματος ενός αυτοκινήτου, που περιγράφεται στη συνέχεια (βλ. διπλανό σχήμα). Όταν ο οδηγός πιέζει το πεντάλ, η πίεση στον κύριο κύλινδρο αυξάνεται. Αυτή η αύξηση της πίεσης μεταφέρεται στο υγρό των φρένων σύμφωνα με την αρχή του Pascal, ωθώντας τελικά τα τακάκια στους δίσκους που είναι συνδεδεμένοι στους τροχούς του αυτοκινήτου, με αποτέλεσμα την επιβράδυνση του οχήματος.

ΕΡΩΤΗΣΗ 1Στο σχήμα φαίνεται ένα κλειστό δοχείο που είναι σχεδόν γεμάτο με νερό. Με pο συμβολίζουμε την πίεση που επικρατεί στον ατμοσφαιρικό αέρα εκτός δοχείου κοντά στην οπή και με p την πίεση που επικρατεί στον παγιδευμένο αέρα μέσα στο δοχείο. Στο πλευρικό τοίχωμα του δοχείου και σε

5


βάθος h από την ελεύθερη επιφάνεια του νερού ανοίγουμε μία μικρή οπή, απ’ όπου αρχίζει να τρέχει νερό. Δεδομένου ότι δεν εισέρχεται αέρας από την οπή στο δοχείο, το νερό θα τρέχει από την οπή μέχρις ότου:α) συμβεί .β) συμβεί , όπου ρ η πυκνότητα του νερού.γ) οι πιέσεις και γίνουν ίσες.Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας.

Λύση Σωστή είναι η πρόταση β.Η πίεση του νερού αριστερά της οπής είναι , ενώ δεξιά της είναι . Αφού τα ρευστά ρέουν από μεγαλύτερη προς μικρότερη πίεση και το νερό εξέρχεται από την οπή ισχύει

(1).Καθώς το νερό βγαίνει από τη οπή, το h μειώνεται, ο όγκος του παγιδευμένου αέρα αυξάνεται με συνέπεια να μειώνεται η πίεση P. Έτσι έχουμε μείωση της υδροστατικής πίεσης και μείωση της πίεσης p, με αποτέλεσμα το πρώτο μέλος της σχέσης (1) να μειώνεται. Όταν εξισωθούν τα δύο μέλη της σχέσης (1) η ροή του νερού θα σταματήσει.

ΕΡΩΤΗΣΗ 2Ο σούπερμαν της διπλανής εικόνας θα μπορούσε να ρουφήξει τη πορτοκαλάδα του από ένα δοχείο με κατακόρυφο καλαμάκι οσοδήποτε μεγάλου μήκους;α) Ναι, γιατί ο σούπερμαν μπορεί να ρουφήξει με απεριόριστη δύναμη.β) Ναι, γιατί το ίδιο μπορεί να κάνει και κάθε κοινός άνθρωπος. γ) Όχι, γιατί η ατμοσφαιρική πίεση έχει ορισμένη πεπερασμένη τιμή με αποτέλεσμα να ανυψώνει το υγρό μέχρι ένα ορισμένο ύψος.Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας.

Λύση Σωστή είναι η πρόταση γ.Ο σούπερμαν πρέπει να ρουφήξει αρχικά όλον τον αέρα που βρίσκεται μέσα στο καλαμάκι. Έτσι, η επιφάνεια του υγρού μέσα στο καλαμάκι έχει μηδενική πίεση και έξω από αυτό ίση με την ατμοσφαιρική. Η δημιουργούμενη διαφορά πίεσης σπρώχνει την πορτοκαλάδα που βρίσκεται μέσα στο καλαμάκι προς τα πάνω και δημιουργείται στήλη ύψους h, μέχρι να εξισωθούν οι δύο πιέσεις. Αυτό θα συμβεί όταν

6


.

Αυτό είναι το μέγιστο ύψος που μπορεί να έχει η στήλη της πορτοκαλάδας μέσα στο καλαμάκι, δηλαδή το μέγιστο ύψος της στήλης δεν εξαρτάται από τις ικανότητες του σούπερμαν αλλά από την τιμή της ατμοσφαιρικής πίεσης.

Ασκήσεις - Θέμα ΓΣτον κατακόρυφο σωλήνα του σχήματος έχει αφαιρεθεί όλος ο αέρας και το δοχείο περιέχει νερό πυκνότηταςρ=1 g/cm3. Να βρεθεί το ύψος της στήλης νερού που μπορεί να «σηκώσει» η ατμοσφαιρική πίεση,p0=1,013•105 N/m2. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g=9,81 m/sec2.

ΛύσηΣτη βάση της στήλης του νερού του σωλήνα που έχει ύψος h, η υδροστατική πίεση είναι ίση με και επειδή δεν υπάρχει αέρας στο πάνω μέρος του σωλήνα (p=0) είναι και η συνολική πίεση. Στην επιφάνεια του νερού του δοχείου επικρατεί πίεση ίση με την ατμοσφαιρική . Τα δύο σημεία βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο υγρού που ισορροπεί, άρα έχουν την ίδια ολική πίεση. Έχουμε λοιπόν

ή

ΑΣΚΗΣΗ 2Στο διπλανό δοχείο σχήματος U ρίχνουμε υδράργυρο όπως φαίνεται στο σχήμα (α). Οι διατομές των δύο σκελών του δοχείου έχουν εμβαδά Α1= 10 cm2 και Α2= 5 cm2 (αριστερό και δεξιό αντίστοιχα). Στη συνέχεια ρίχνουμε 100 g νερού στο δεξιό σκέλος του σωλήνα όπως φαίνεται στο σχήμα. Τα δύο υγρά δεν αναμειγνύονται.

Α) Να υπολογιστεί το ύψος της στήλης του νερού που δημιουργήθηκε.Β) Να υπολογιστεί η ανύψωση h, της ελεύθερης επιφάνειας του υδραργύρου στο αριστερό σκέλος του σωλήνα.Δίνονται: η πυκνότητα του υδραργύρου ρ1=13,6 g/cm3 και η πυκνότητα του νερού ρ2=1 g/cm3.

7


ΛύσηΑ) Για τις πράξεις συμφέρει να μείνουν τα μεγέθη με τις μονάδες που δίνονται στην εκφώνηση (το παλιό σύστημα C.G.S).Για τη μάζα του νερού ύψους h2 στο δεξιό σκέλος του σωλήνα έχουμε

.Β) Ο όγκος του υδραργύρου που έφυγε από το δεξιό σκέλος είναι ίσος με αυτόν που προστέθηκε στο αριστερό. Αν ο υδράργυρος στο δεξιό σκέλος του σωλήνα κατέβηκε κατά x και στο αριστερό ανέβηκε κατά h ισχύει:

(1)Οι συνολικές πιέσεις στα δύο σκέλη του σωλήνα και στο οριζόντιο επίπεδο που διέρχεται από τη βάση της στήλης του νερού είναι ίσες και επομένως ισχύει

ΑΣΚΗΣΗ 3Ένα δοχείο σχήματος ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου που η βάση του είναι τετράγωνο πλευράς α, περιέχει υγρό πυκνότητας ρ και ύψους Η. Αν η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g, να βρεθεί η συνολική δύναμη που δέχεται μία πλευρική επιφάνεια του δοχείου από το νερό σε συνάρτηση με τα ρ, g, Η και α.

ΛύσηΘεωρούμε μία στοιχειώδη οριζόντια λωρίδα της πλευρικής επιφάνειας ύψους dy που βρίσκεται σε βάθος y. Η δύναμη που ασκείται στην επιφάνεια αυτή έχει μέτρο . Θεωρούμε επίσης την συμμετρική ως προς το μέσον του Η, στοιχειώδη οριζόντια λωρίδα, που απέχει επίσης y αλλά από το πυθμένα του δοχείου. Η δύναμη που δέχεται η επιφάνεια αυτή έχει μέτρο .Επομένως η συνισταμένη δύναμη που δέχονται και οι δύο στοιχειώδεις επιφάνειες (λωρίδες) έχει μέτρο

.

8


Χωρίζοντας την πλευρική επιφάνεια σε πολλά ζεύγη στοιχειωδών οριζόντιων λωρίδων συμμετρικών μεταξύ τους ως προς το μέσον του Η, βρίσκουμε ότι η συνολική δύναμη που δέχεται η πλευρική επιφάνεια είναι ίση το άθροισμα των παραπάνω στοιχειωδών δυνάμεων, δηλαδή

ή

.Ερωτήσεις θεωρίας

Θέμα Α1. Ένας άνθρωπος στέκεται όρθιος πάνω σε οριζόντιο έδαφος. Αν ο άνθρωπος σταθεί όρθιος μόνο στο ένα πόδι του θα:a. διπλασιαστεί η δύναμη που ασκείται στο έδαφος και θα παραμείνει σταθερή η πίεση.β. διπλασιαστούν και η δύναμη που ασκείται στο έδαφος και η πίεση.γ. διπλασιαστεί η πίεση στο έδαφος και θα παραμείνει σταθερή η δύναμη.δ. παραμείνουν σταθερές και η δύναμη και η πίεση στο έδαφος.

2. Επειδή τα υγρά είναι ασυμπίεστα δεν μεταβάλλουνΕπιλογή μίας απάντησης. a. τον όγκο τους. β. το σχήμα τους. γ. την πίεσή τους. δ. τη μάζα τους

3. Στο σχήμα φαίνεται ένα κλειστό διαφανές δοχείο που είναι σχεδόν γεμάτο με νερό. Με pο συμβολίζουμε την πίεση που επικρατεί στον ατμοσφαιρικό αέρα εκτός δοχείου κοντά στην οπή και με p την πίεση που επικρατεί στον παγιδευμένο αέρα μέσα στο δοχείο. Στο πλευρικό τοίχωμα του δοχείου και σε βάθος h από την ελεύθερη επιφάνεια του νερού ανοίγουμε μία μικρή τρύπα, οπότε παρατηρούμε ότι το νερό δεν εξέρχεται και η στάθμη του νερού στο δοχείο παραμένει ακίνητη. Αυτό συμβαίνει διότι ισχύει:a. β. γ. δ.

4. Στο διπλανό σχήμα φαίνεται ένα υδραυλικό πιεστήριο. Στο αριστερό έμβολο μικρής διατομής Α1 ασκούμε μια δύναμη F1, οπότε το δεξιό έμβολο μεγάλης

9


διατομής Α2 δέχεται δύναμη F2 και ανυψώνεται. Ποια από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστή;a. Οι δυνάμεις F1 και F2 έχουν ίσα μέτρα.β. Η δύναμη F1 μεταφέρεται αναλλοίωτη σε όλα τα σημεία του ρευστού, άρα και στο έμβολο μεγάλης διατομής.γ. Οι πιέσεις που επικρατούν στο υγρό που βρίσκεται σε επαφή με τα δύο έμβολα του σχήματος είναι ίσες. δ. Η επιπλέον πίεση που δημιουργεί η δύναμη F1 μεταδίδεται και στο έμβολο διατομής Α2. 5. Στο σχήμα φαίνονται τρία δοχεία με πυθμένες της ίδιας επιφάνειας που περιέχουν το ίδιο υγρό. Το υγρό και στα τρία δοχεία έχει το ίδιο ύψος h. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές; Επιλέξτε τουλάχιστον μία απάντηση. a. Η πίεση στην επιφάνεια του υγρού στο δοχείο (α) είναι μεγαλύτερη, λόγω μεγαλύτερης επιφάνειας.β. Η πίεση στο πυθμένα του δοχείου (α) είναι μεγαλύτερη, γιατί το βάρος του υπερκείμενου υγρού είναι μεγαλύτερο.γ. Η δύναμη στο πυθμένα του δοχείου (α) είναι μεγαλύτερη, γιατί το βάρος του υπερκείμενου υγρού είναι μεγαλύτερο.δ. Η πίεση στο πυθμένα και των τριών δοχείων είναι ίδια.ε. Το βάρος του υγρού στο δοχείο (β) είναι το μικρότερο.

Ερωτήσεις θεωρίαςΘέμα Β

ΕΡΩΤΗΣΗ 1 Στο διπλανό σχήμα το έμβολο έχει βάρος Β, διατομή Α και ισορροπεί. Η δύναμη που ασκείται από το υγρό στο έμβολο είναια.β. γ.

ΛύσηΣωστή είναι η πρόταση γ. Το υγρό που ακουμπά στο έμβολο βρίσκεται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο με το υγρό που βρίσκεται στο δοχείο σε βάθος h, άρα έχουν την ίδια ολική πίεση. Η πίεση στο βάθος h είναι Άρα, η δύναμη που ασκεί το υγρό στο έμβολο είναι

ή .

ΕΡΩΤΗΣΗ 2 Στο διπλανό υδραυλικό πιεστήριο τα δύο έμβολα αρχικά βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο. Πιέζουμε το αριστερό έμβολο με μία δύναμη F1 προκαλώντας μία μικρή μετατόπιση Δx1, οπότε το δεξιό έμβολο

10


δέχεται μία δύναμη F2 και μετακινείται κατά Δx2. Για τα έργα των δύο δυνάμεων ισχύεια) W1 = W 2, β) W1 < W2, γ) W1 > W2.Επιλέξτε τη σωστή απάντηση δικαιολογώντας την επιλογή σας.

ΛύσηΣωστή είναι η πρόταση α.Επειδή τα υγρά είναι ασυμπίεστα, ο όγκος του υγρού που εκτοπίστηκε από το αριστερό σκέλος είναι ίσος με τον όγκο του υγρού που προστέθηκε στο δεξιό σκέλος. Έχουμε λοιπόν

(1)Η πρόσθετη πίεση Δp που προκάλεσε η δύναμη F1, σύμφωνα με την αρχή του Pascal, μεταφέρθηκε αναλλοίωτη στο έμβολο του δεξιού σκέλους.

ΕΡΩΤΗΣΗ 3 Κατά την διεξαγωγή ενός πειράματος, ο Pascal τοποθέτησε ένα στενό κατακόρυφο σωλήνα μεγάλου μήκους μέσα σε ένα ξύλινο βαρέλι κρασιού. Όταν γέμισε το βαρέλι και το σωλήνα με νερό, το βαρέλι εξερράγη. Αυτό συνέβη διότι το νερό του κατακόρυφου σωλήνα αύξησε πολύ:α) τον όγκο του νερού του βαρελιού.β) την πίεση στα τοιχώματα του βαρελιού.γ) μόνο την κατακόρυφη δύναμη που ασκείται στον πυθμένα του βαρελιού.Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας.

ΛύσηΣωστή είναι η πρόταση β.Το νερό στον κατακόρυφο σωλήνα μεγάλου μήκους προκάλεσε μεγάλη υδροστατική πίεση στη βάση του, η οποία μεταδόθηκε σύμφωνα με τη αρχή του Pascal σε όλα τα σημεία του νερού του βαρελιού. Έτσι, στην εσωτερική επιφάνεια όλου του βαρελιού ασκήθηκε πολύ μεγάλη δύναμη, , που προκάλεσε την έκρηξή του.

ΕΡΩΤΗΣΗ 4 Βάζουμε ένα καλαμάκι σε ένα ψηλό ποτήρι με νερό. Εφαρμόζουμε το δάκτυλο μας στο πάνω μέρος από το καλαμάκι, παγιδεύοντας μια ποσότητα αέρα πάνω από το νερό, χωρίς να επιτρέψουμε να εισέλθει ή να εξέλθει επιπλέον αέρας. Στη συνέχεια σηκώνουμε το καλαμάκι από το νερό. Παρατηρούμε ότι το καλαμάκι συγκρατεί το μεγαλύτερο μέρος της αρχικής ποσότητας του νερού και πάνω από το νερό υπάρχει αέρας. Αυτό συμβαίνει διότι τελικά η

11


πίεση του αέρα μέσα στο καλαμάκι γίνεταια) ίση με την ατμοσφαιρική πίεσηβ) μικρότερη από την ατμοσφαιρική πίεσηγ) μεγαλύτερη από την ατμοσφαιρική πίεσηΝα επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας.

ΛύσηΣωστή είναι η πρόταση β.Όταν ανασηκώσουμε το καλαμάκι από το νερό, μία μικρή ποσότητα νερού διαφεύγει από το κάτω μέρος του, αυξάνοντας τον όγκο του παγιδευμένου αέρα, με αποτέλεσμα τη μείωση της πίεσης σε τιμή κάτω από την ατμοσφαιρική. Έτσι η κατακόρυφη προς τα κάτω δύναμη που δέχεται η στήλη νερού από τον παγιδευμένο αέρα στο καλαμάκι, είναι μικρότερη από την προς τα πάνω δύναμη που δέχεται από την ατμοσφαιρική πίεση. Η διαφορά των δύο δυνάμεων είναι ίση με το βάρος του νερού στο καλαμάκι.

ΕΡΩΤΗΣΗ 5 Τα δύο ανοιχτά σκέλη του δοχείου του παρακάτω σχήματος γεμίζονται με υγρό πυκνότητας ρ, μέχρι τα σημεία Α και Β αντίστοιχα, ενώ η βαλβίδα είναι κλειστή. Το δεξιό σκέλος του δοχείου είναι κεκλιμένο με γωνία κλίσης φ, όπως φαίνεται στο σχήμα. Αν p0 η ατμοσφαιρική πίεσηα) η πίεση στο κάτω μέρος της βαλβίδας είναι

.β) οι πιέσεις στο πάνω και στο κάτω μέρος της βαλβίδας είναι ίσες.γ) η πίεση στο πάνω μέρος της βαλβίδας είναι .ΛύσηΣωστή είναι η πρόταση α.Η πίεση στο πάνω μέρος της βαλβίδας είναι και δεν είναι ίση με την πίεση στο κάτω μέρος της βαλβίδας γιατί τα υγρά δεν επικοινωνούν λόγω της κλειστής βαλβίδας. Η πίεση του υγρού στο κάτω μέρος της βαλβίδας είναι ίση με τη πίεση στη βάση του δεξιού σωλήνα του δοχείου και επομένως έχει τη τιμή

.

ΑσκήσειςΘέμα Γ

ΑΣΚΗΣΗ 1 Ένα δωμάτιο έχει διαστάσεις 4m x 5m x 3m (μήκος x πλάτος x ύψος) και περιέχει αέρα πυκνότητας ρ=1,2Kg/m3. Αν η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g=9,81m/sec2 να βρεθούν:α) η μάζα και το βάρος του αέρα του δωματίου καιβ) η δύναμη που ασκεί η ατμόσφαιρα πάνω στο δάπεδο. γ) Γιατί το δάπεδο δεν καταρρέει;

12


Λύσηα) Ο όγκος του δωματίου είναι V=4m x 5m x 3m =60 m3. Η μάζα

του περιεχόμενου αέρα είναι

και το βάρος του

β) Από τον ορισμό της πίεσης έχουμε:

ή γ) Η δύναμη αυτή είναι περίπου 200 τόνοι, αρκετά μεγάλη για να καταρρεύσει το δάπεδο. Αυτό όμως δεν συμβαίνει γιατί στην κάτω πλευρά του πατώματος, η ατμοσφαιρική πίεση ασκεί μία ίσου μέτρου δύναμη με φορά προς τα πάνω.

ΑΣΚΗΣΗ 2 Μία δεξαμενή αποθήκευσης νερού έχει ύψος 10m και ο πυθμένας της βρίσκεται σε ύψος 30m από το έδαφος. Η δεξαμενή τροφοδοτεί μία αγροικία που η βρύση βρίσκεται σε ύψος 1m πάνω από το έδαφος.α) Πόση είναι η διαφορά της πίεσης του νερού μεταξύ βρύσης και επιφάνειας νερού στη δεξαμενή; β) Πόση είναι η διαφορά της πίεσης του νερού μεταξύ βρύσης και πυθμένα δεξαμενής;Δίνονται g=10 m/sec2 και πυκνότητα νερού ρ=1 g/cm3.

Λύσηα) Η επιφάνεια της δεξαμενής βρίσκεται σε ύψος Δh=10+30-1=39 m πάνω από τη βρύση.

Άρα β) Όμοια ο πυθμένας της δεξαμενής βρίσκεται σε ύψος Δh=30-1=29 m πάνω από τη βρύση. Άρα

ΑΣΚΗΣΗ 3 Στο διπλανό σχήμα φαίνεται η σχηματική παράσταση του συστήματος πέδησης ενός οχήματος. Το έμβολο του κύριου κυλίνδρου έχει διατομή εμβαδού Α1=2 cm2 ενώ το έμβολο του κυλίνδρου των φρένων Α2=6,5 cm2. O δίσκος στον οποίο εφαρμόζεται η δύναμη από τα τακάκια παρουσιάζει με τα τακάκια συντελεστή τριβής ολίσθησης μ=0,5. Αν ο οδηγός πατήσει το πεντάλ του φρένου με δύναμη μέτρου F1=40 Ν, να βρεθούν:

13


α) η πρόσθετη πίεση που προκαλείται στο υγρό του κύριου κυλίνδρου.β) το μέτρο της δύναμης που ασκείται στο μεγάλο έμβολο.γ) το μέτρο της εφαρμοζόμενης δύναμης τριβής στο δίσκο του τροχού.

Λύσηα) Η πρόσθετη πίεση που προκαλείται στο υγρό του κύριου κυλίνδρου είναι

.β) Η πίεση αυτή σύμφωνα με την αρχή του Pascal διαδίδεται και στο έμβολο του κυλίνδρου των φρένων με αποτέλεσμα αυτό να δέχεται δύναμη

.γ) Επομένως η τριβή που θα ασκηθεί στο δίσκο από το τακάκι είναι

.

ΑΣΚΗΣΗ 4 Στο διπλανό σχήμα φαίνονται δύο συγκοινωνούντα δοχεία που περιέχουν νερό και κλείνονται με έμβολα εμβαδών Α1=4 cm2 και Α2=40 cm2

που ισορροπούν στο ίδιο ύψος. Το αριστερό έμβολο έχει βάρος W1=10 Ν.α) Ποιο είναι το βάρος του δεξιού εμβόλου; β) Ασκώντας κατάλληλη δύναμη μέτρου Fα μετακινούμε κατά Δx1=20 cm προς τα κάτω το αριστερό έμβολο και το ακινητοποιούμε στη νέα θέση. Πόση είναι τώρα η υψομετρική διαφορά των δύο εμβόλων;γ) Πόσο είναι το μέτρο της δύναμης Fα;δ) Να βρείτε τα μέτρα των δυνάμεων που δέχονται τα δύο έμβολα στη νέα θέση τους από το νερό. Δίνονται pατμ=105 Pa, η πυκνότητα του νερού ρ=103 Kg/m3 και η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10 m/s2.

Λύση α) Αν συμβολίσουμε p1 και p2 τις πιέσεις ακριβώς κάτω από τα δύο έμβολα, από τη συνθήκη ισορροπίας για το κάθε έμβολο έχουμε:

(1)

14


(2)Οι πιέσεις όμως p1 και p2 είναι ίσες γιατί τα σημεία που αναφέρονται βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο ενός υγρού που ισορροπεί (βλέπε σχήμα εκφώνησης). Εξισώνοντας επομένως τα πρώτα μέλη των σχέσεων (1) και (2) υπολογίζουμε το βάρος W2 του δεξιού εμβόλου.

β) Έστω Δx2 η μετατόπιση του δεξιού εμβόλου προς τα πάνω. Εξισώνουμε τους όγκους του νερού που μετακινήθηκαν από το αριστερό στο δεξιό δοχείο για να υπολογίσουμε την ανύψωση του δεξιού εμβόλου.

Επομένως η υψομετρική διαφορά των δύο εμβόλων είναι .

γ) Στη νέα θέση των εμβόλων η συνθήκη ισορροπίας για το αριστερό έμβολο γράφεται

(3)Η πίεση κάτω από το δεξιό έμβολο δεν άλλαξε, αλλά παρέμεινε p2. Οι πιέσεις και όμως συνδέονται με τη σχέση

δ) Από τη σχέση (3) μπορούμε τώρα να υπολογίσουμε την πίεση

Άρα, το νερό ασκεί στο αριστερό έμβολο δύναμη μέτρου

15


Με τη βοήθεια της σχέσης (2) βρίσκουμε το μέτρο της δύναμης που ασκείται στο δεξιό έμβολο.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΡΕΥΣΤΑ ΣΕ ΚΙΝΗΣΗΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΡΕΥΣΤΑ ΣΕ ΚΙΝΗΣΗ - ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΥΛΗΣ ΚΑΙ

ΕΞΙΣΩΣΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑΣ Οι μαθητές πρέπει να είναι ικανοί:

o να διατυπώνουν τους ορισμούς της στρωτής και της τυρβώδους ροής.

o να διατυπώνουν τους ορισμούς της ρευματικής γραμμής, της φλέβας και της παροχής.

o να διατυπώνουν τη σχέση μεταξύ της ταχύτητας υγρού και παροχής.

o να διατυπώνουν και να εφαρμόζουν την εξίσωση συνεχείας.

Ρευστά σε κίνηση

Ιδανικό ρευστό - Στρωτή, τυρβώδης ροή

Η ροή ενός ρευστού μπορεί να είναι εξαιρετικά πολύπλοκη, όπως φαίνεται από τα ρεύματα ενός πλημμυρισμένου ποταμού, ή τις στροβιλιζόμενες φλόγες μιας φωτιάς. Παρόλα αυτά μερικές καταστάσεις μπορούν να εξηγηθούν με απλά εξιδανικευμένα μοντέλα.

Ιδανικό ρευστό ονομάζουμε εκείνο το ρευστό που εκπληρώνει τις παρακάτω τρεις προϋποθέσεις: α) είναι τελείως ασυμπίεστο β) είναι απαλλαγμένο δυνάμεων μεταξύ των μορίων τους (εσωτερική τριβή) και γ) είναι απαλλαγμένο δυνάμεων μεταξύ αυτού και των τοιχωμάτων του σωλήνα μέσα στον οποίο ρέει (δυνάμεις συνάφειας).

Για να διακρίνουμε τα υπαρκτά ρευστά από τα ιδανικά θα τα ονομάζουμε πραγματικά ρευστά. Τα πραγματικά ρευστά διαφέρουν λίγο ή πολύ από τη συμπεριφορά των ιδανικών ρευστών.

Διακρίνουμε δύο είδη ροής ρευστών, την τυρβώδη και την στρωτή ροή. Στη τυρβώδη ροή δεν έχουμε εικόνα μόνιμης κατάστασης αλλά δημιουργία δινών (δινορεύματα = ακανόνιστοι κύκλοι) που απορροφούν μεγάλο μέρος της ενέργειας του ρευστού.

16


Στην τυρβώδη ροή, η ροή διαρκώς αλλάζει. Τυρβώδη ροή παρατηρούμε π.χ. στους καταρράκτες μετά την πτώση του νερού στη λίμνη υποδοχής, στις φλόγες μιας πυρκαγιάς κ.λπ. Αν η ροή είναι ομαλή, δηλαδή χωρίς τη δημιουργία δινών και σταθερή με το χρόνο, την ονομάζουμε στρωτή ροή. Στρωτή ροή παρατηρούμε στη στήλη νερού που σχηματίζεται στη βρύση της κουζίνας μας, όταν είναι ανοιγμένη λίγο. Στα ιδανικά ρευστά συναντάμε μόνο στρωτή ροή. Στα πραγματικά ρευστά έχουμε στρωτή ροή όταν οι δυνάμεις εσωτερικής τριβής και οι δυνάμεις συνάφειας έχουν τιμές μικρότερες από κάποιο όριο. Όταν ξεπεραστεί αυτό το όριο η ροή μεταπίπτει σε τυρβώδη. Όλα όσα ακολουθούν αφορούν τη στρωτή ροή.

Ρευματική γραμμή – Φλέβα Ονομάζουμε ρευματική γραμμή, τη γραμμή που ορίζεται από το σύνολο των θέσεων (τροχιά) από τις οποίες περνά ένα μόριο του ρευστού στη διάρκεια της κίνησης του. Στη στρωτή ροή που αποτελεί το αντικείμενο της μελέτης μας, κάθε μόριο του ρευστού που διέρχεται από κάποιο σημείο ακολουθεί την ίδια ρευματική γραμμή. Αυτό σημαίνει ότι όταν ένα μόριο του ρευστού διέρχεται από ένα συγκεκριμένο σημείο, έχει την ίδια ταχύτητα που είχε κάθε άλλο μόριο που πέρασε προηγουμένως καθώς και κάθε επόμενο που θα περάσει από το σημείο αυτό. Η διεύθυνση της ταχύτητας κάθε σημείου του ρευστού είναι εφαπτόμενη της ρευματικής γραμμής. Επομένως δύο ρευματικές γραμμές δεν μπορεί να τέμνονται γιατί αλλιώς στο σημείο τομής, το μόριο του ρευστού θα είχε δύο ταχύτητες (καθεμιά εφαπτόμενη της αντίστοιχης γραμμής).Οι ρευματικές γραμμές που περνούν από το περίγραμμα μιας φανταστικής επιφάνειας Α κάθετης στις ρευματικές γραμμές (βλ. διπλανό σχήμα) σχηματίζουν έναν νοητό σωλήνα που ονομάζεται φλέβα ή σωλήνας ροής. Από τον ορισμό της ρευματικής γραμμής προκύπτει ότι το ρευστό που κυλάει σε μια φλέβα δεν μπορεί να διασχίσει τα πλευρικά της τοιχώματα και επομένως δεν μπορεί να γίνει ανάμιξη των ρευστών που περιέχονται σε γειτονικές φλέβες

Παροχή φλέβαςΤο διπλανό σχήμα δείχνει τη ροή ενός ρευστού μέσα από κάποιο σωλήνα. Σε κάποια θέση ο σωλήνας έχει διατομή Α και το ρευστό ρέει με ταχύτητα υ. Έτσι, στο στοιχειώδες χρονικό διάστημα Δt, το ρευστό διανύει απόσταση Δl=υΔt και

17


από τη διατομή διέρχεται όγκος ρευστού ίσος με ΔV=AΔl=ΑυΔt.

Ορίζουμε ως παροχή της φλέβας ή του σωλήνα, Π, το φυσικό μέγεθος που ισούται με το πηλίκο του όγκου του ρευστού που διέρχεται από μια διατομή προς το αντίστοιχο χρονικό διάστημα, δηλαδή

ή με μονάδα στο S.I. το 1m3/s.

Διατήρηση ύλης – Εξίσωση συνέχειαςΤο σχήμα δείχνει τμήμα μιας φλέβας μεταξύ δύο σταθερών διατομών με εμβαδά Α1 και Α2 (Α1 > Α2). Ο ρυθμός ροής μάζας ισούται με τη μάζα Δm του ρευστού που διέρχεται από μία διατομή, δια του

αντίστοιχου χρόνου Δt. (1)

Ο όγκος του ρευστού που διέρχεται από τη διατομή Α1 σε χρονικό διάστημα Δt είναι Α1Δl1, όπου Δl1 η απόσταση που διανύει το ρευστό

στο χρόνο Δt. Επειδή η ταχύτητα του ρευστού είναι , ο ρυθμός ροής της μάζας από την διατομή Α1 γίνεται:

(2)

Στο εσωτερικό της φλέβας δεν υπάρχουν ούτε πηγές που να παράγουν ρευστό, ούτε καταβόθρες που να απορροφούν ρευστό. Άρα, η μάζα ρευστού που διέρχεται από τη διατομή Α1 σε χρονικό διάστημα Δt είναι ίση με τη μάζα που εκρέει από τη διατομή Α2 στον ίδιο χρονικό διάστημα, δηλαδή ισχύει η αρχή διατήρησης της ύλης.

Άρα, σύμφωνα με την αρχή διατήρησης της ύλης μπορούμε να γράψουμε:

(3)

Αν το ρευστό είναι ιδανικό, είναι ασυμπίεστο, οπότε ισχύει ρ1=ρ2 και η σχέση (3) παίρνει τη μορφή ή (4)

Η τελευταία σχέση ονομάζεται εξίσωση της συνέχειας είναι άμεση συνέπεια της αρχής διατήρησης της ύλης και διατυπώνεται ως εξής:

18


Κατά μήκος μιας φλέβας ή ενός σωλήνα η παροχή διατηρείται σταθερή.

Η εξίσωση (4) υποδεικνύει ότι αν η επιφάνεια διατομής είναι μεγάλη, η ταχύτητα ροής είναι μικρή και αντίστροφα, όταν η επιφάνεια είναι μικρή η ταχύτητα είναι μεγάλη. Σαν παράδειγμα μπορούμε να αναλογιστούμε την κατακόρυφη στήλη νερού που δημιουργείται στην βρύση της κουζίνας μας όταν έχουμε στρωτή ροή (βλέπε σχήματα). Καθώς το νερό εξέρχεται επιταχύνεται λόγω βαρύτητας με συνέπεια να αυξάνεται διαρκώς η ταχύτητα ροής του. Για να διατηρείται η παροχή σταθερή κατά μήκος της στήλης νερού που σχηματίζεται, ελαττώνεται διαρκώς η κάθετη διατομή της. Έτσι η διατομή της στήλης στο σημείο Β του σχήματος είναι μικρότερη από ότι στο Α γιατί το νερό εκεί κινείται με μεγαλύτερη ταχύτητα.

Ένα άλλο παράδειγμα είναι η ροή ενός ποταμού σταθερού πλάτους και μεταβλητού βάθους. Όταν το ποτάμι βαθαίνει αυξάνεται η εγκάρσια διατομή του Α με συνέπεια η ροή του να είναι αργή, ενώ όταν το ποτάμι γίνεται ρηχό ελαττώνεται η εγκάρσια διατομή του Α με συνέπεια η ροή του να γίνεται γρήγορη.Από τα παραπάνω, παραστατικά μπορούμε να πούμε ότι: όπου πυκνώνουν οι ρευματικές γραμμές η ταχύτητα ροής είναι πιο μεγάλη.


ΕΡΩΤΗΣΗ 1 Όταν ποτίζουμε τα λουλούδια με το λάστιχο κήπου, για να πάει το νερό μακρύτερα μειώνουμε την επιφάνεια του στομίου. Αυτό το κάνουμε για να αυξήσουμεα) την πίεση στο νερό του σωλήνα.β) την παροχή του σωλήνα.γ) την ταχύτητα ροής στο στόμιο του σωλήνα.Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας.

ΛύσηΣωστή είναι η γ.Από την αρχή διατήρησης της ύλης προκύπτει ότι η παροχή νερού στο λάστιχο είναι σταθερή.Μειώνοντας την επιφάνεια Α του στομίου του σωλήνα, σύμφωνα με την εξίσωση της συνέχειας Π=Αυ, αυξάνουμε τη ταχύτητα ροής του νερού.

ΕΡΩΤΗΣΗ 2 Το εμβαδόν διατομής του σωλήνα στην περιοχή Α είναι τριπλάσιο της διατομής του στην περιοχή Β.

19


Η ταχύτητα υ2 του υγρού στην περιοχή Β είναι 9 cm/s. Η ταχύτητα στην περιοχή Α είναι

α) υ1= 3 cm/s β) υ1 = 9 cm/s γ) υ1= 27 cm/s.Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας.

ΛύσηΣωστή είναι η απάντηση α.Εφόσον το εμβαδόν διατομής του σωλήνα στην περιοχή Α είναι τριπλάσιο της διατομής του στην περιοχή Β θα είναι Α1=3Α2.Από την εξίσωση της συνέχειας έχουμε σταθερή παροχή:

ΕΡΩΤΗΣΗ 3Στο σχήμα δείχνεται ένα τμήμα οριζόντιου σωλήνα ύδρευσης εμβαδού διατομής Α1, στον οποίο το νερό (που θεωρείται ιδανικό ρευστό) ρέει με ταχύτητα υ1. Σε κάποιο σημείο ο σωλήνας διακλαδίζεται σε δύο μικρότερους σωλήνες διατομών Α2 και Α3, στους οποίους το νερό ρέει με ταχύτητες υ2 και υ3 αντίστοιχα. Ισχύει η σχέση:α) β) γ) Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας.

ΛύσηΣωστή είναι η β.Από την αρχή διατήρησης της ύλης προκύπτει ότι όσο νερό περνά από μία διατομή του μεγάλου σωλήνα σε χρονικό διάστημα Δt, εξέρχεται και από τους δύο μικρότερους σωλήνες στον ίδιο χρονικό διάστημα. Άρα

ή

ΕΡΩΤΗΣΗ 4 Στο διπλανό σχήμα φαίνεται ένα τμήμα ενός οριζόντιου σωλήνα μέσα στον οποίο έχουμε στρωτή ροή ενός ιδανικού ρευστού σταθερής παροχής. Καθώς μια στοιχειώδης μάζα του ρευστού μετατοπίζεται από το Α στο Β.α) επιβραδύνεται β) μειώνεται η κινητική της ενέργεια.γ) δέχεται ενέργεια με τη μορφή έργου από το περιβάλλον ρευστό.

20


Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας

ΛύσηΣωστή είναι η γ.Από την εξίσωση της συνέχειας Π=Αυ=σταθερό, προκύπτει ότι καθώς το ρευστό προωθείται σε περιοχή με μικρότερη διατομή αυξάνεται η ταχύτητά του με συνέπεια να αυξάνεται και η κινητική ενέργεια της στοιχειώδους μάζας. Από το θεώρημα έργου-ενέργειας (Κτελ-Καρχ=W) προκύπτει ότι, αφού αυξάνεται η κινητική ενέργεια της Δm το περιβάλλον της προσφέρει ενέργεια με τη μορφή έργου.

ΕΡΩΤΗΣΗ 5 Στο διπλανό σχήμα φαίνεται ένα κατακόρυφο δοχείο που περιέχει λάδι και νερό (που δεν αναμειγνύονται) και ισορροπούν το ένα πάνω στο άλλο. Κοντά στη βάση του δοχείου υπάρχει μία μικρή τρύπα η οποία είναι κλειστή με τη βοήθεια μιας τάπας. Ανοίγουμε την τάπα. Αν με υλ συμβολίσουμε την ταχύτητα με την οποία κατέρχεται η επιφάνεια του λαδιού και υν τη ταχύτητα που κατέρχεται η επιφάνεια του νερού, ισχύει α) , β) , γ) Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας

ΛύσηΣωστή είναι η α.Το δοχείο είναι σταθερής διατομής. Συμβολίζουμε με Α1, Α3 τα εμβαδά των διατομών αντίστοιχα του δοχείου και της οπής.Η εξίσωση της συνέχειας για την επιφάνεια του λαδιού και την επιφάνεια της οπής γράφεται: (1)Η εξίσωση της συνέχειας για την επιφάνεια του νερού και την επιφάνεια της οπής γράφεται: (2) Από τις (1) και (2) προκύπτει


ΑΣΚΗΣΗ 1 Ένας αεραγωγός θέρμανσης ανανεώνει πλήρως τον αέρα ενός δωματίου όγκου 300 m3 κάθε 10 λεπτά. Ο αέρας στο εσωτερικό του αγωγού κινείται με ταχύτητα 2 m/s. Υποθέστε ότι η πυκνότητα του αέρα παραμένει συνεχώς σταθερή.α) Να βρεθεί η παροχή του αγωγού.β) Να βρεθεί η επιφάνεια της εγκάρσιας διατομής του αεραγωγού θέρμανσης.Να θεωρήσετε ότι ο αέρας έχει τις ιδιότητες του ιδανικού ρευστού.

21


Λύσηα) Σύμφωνα με την εκφώνηση, ο αεραγωγός πρέπει να ανανεώνει όγκο 300 m3 κάθε 10 λεπτά. Από τον ορισμό της παροχής έχουμε:

β) Από τον μαθηματικό τύπο της παροχής έχουμε:

ΑΣΚΗΣΗ 2 Μια βρύση με παροχή 30 L/min είναι συνδεδεμένη με λάστιχο ποτίσματος διατομής Α1. Στην άκρη του λάστιχου προσαρμόζουμε ένα στενό στόμιο διατομής Α2, με Α2= Α1/5. Το στόμιο βρίσκεται σε ύψος h=1,8 m από το έδαφος και το νερό που εκτοξεύεται από αυτό οριζόντια φτάνει στο έδαφος σε οριζόντια απόσταση s=6 m. Να βρεθούν:α) το χρονικό διάστημα που θέλει το νερό για να φθάσει το νερό από το στόμιο στο έδαφος.β) η ταχύτητα εκροής του νερού από το στόμιο.γ) το εμβαδό διατομής του στομίου εκτόξευσης του νερού. δ) την ταχύτητα του νερού στο λάστιχο ποτίσματος.Να θεωρήσετε ότι η ροή του νερού έχει τις ιδιότητες του ιδανικού ρευστού.Δίνεται g=10 m/sec2.

Λύσηα) Το νερό εκτελεί οριζόντια βολή και ο χρόνος πτώσης του στο έδαφος είναι:

β) Στον οριζόντιο άξονα το νερό εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση και επομένως ισχύει:

γ) Η παροχή του νερού της βρύσης διατηρείται σταθερή σε όλη τη διαδρομή του μέσα στο λάστιχο, άρα και τη στιγμή της εξόδου από το στόμιο. Επομένως:

δ) Σύμφωνα με την εξίσωση της συνέχειας στο λάστιχο και στο

22


στόμιο έχουμε:

ΑΣΚΗΣΗ 3 Στους ανθρώπους, το αίμα ρέει από την καρδιά στην αορτή και στη συνέχεια εισέρχεται στις κύριες αρτηρίες. Αυτές διακλαδίζονται σε μικρότερες αρτηρίες, οι οποίες με τη σειρά τους διακλαδίζονται σε δισεκατομμύρια λεπτά τριχοειδή. Το αίμα επιστρέφει πίσω στην καρδιά μέσω των φλεβών. Η διάμετρος μιας αορτής είναι περίπου Δ=1,2 cm και το αίμα που κυκλοφορεί σε αυτήν έχει ταχύτητα περίπου υ1=40 cm/s. Ένα τυπικό τριχοειδές αγγείο έχει ακτίνα r=2•10-4 cm, και το αίμα που κυκλοφορεί σε αυτό τρέχει με υ2=0,05 cm/s περίπου. Εκτιμήστε την τάξη μεγέθους του πλήθους των τριχοειδών αγγείων που βρίσκονται στο ανθρώπινο σώμα.Να θεωρήσετε ότι η ροή του αίματος έχει τις ιδιότητες του ιδανικού ρευστού.

ΛύσηΈστω Α1 το εμβαδό διατομής της αρτηρίας και Α2 το άθροισμα των εμβαδών όλων των διατομών των τριχοειδών αγγείων μέσω των οποίων ρέει το αίμα. Αν με Ν συμβολίσουμε το πλήθος των τριχοειδών αγγείων, τότε . Από την εξίσωση της συνέχειας, έχουμε:

Επομένως το πλήθος των τριχοειδών αγγείων είναι της τάξης των 5-10 δισεκατομμυρίων.

Ερωτήσεις θεωρίαςΘέμα Α

1. Ένα ρευστό χαρακτηρίζεται ως πραγματικό όταν:a. κατά τη ροή του δεν παρουσιάζει εσωτερικές τριβές.β. κατά τη ροή του δεν παρουσιάζονται τριβές με τα τοιχώματα του σωλήνα μέσα στον οποίο ρέει.γ. είναι ασυμπίεστο.δ. παρουσιάζει τυρβώδη ροή.

2. Ως δυνάμεις συνάφειας χαρακτηρίζονται οι δυνάμεις που αναπτύσσονται μεταξύ των μορίων ενός:β. πραγματικού ρευστού και των τοιχωμάτων του σωλήνα μέσα στον οποίο πραγματοποιείται η ροή.

23


γ. πραγματικού ρευστού και των μορίων του αέρα.δ. ιδανικού ρευστού και των τοιχωμάτων του σωλήνα μέσα στον οποίο πραγματοποιείται η ροή.

Οι ρευματικές γραμμές:α. είναι οι γραμμές που ορίζουν τα τοιχώματα του σωλήνα όπου ρέει ένα ρευστό.β. στα σημεία που είναι πιο πυκνές δείχνουν ότι η ταχύτητα ροής του ρευστού είναι πιο μεγάλη.γ. είναι δυνατόν να τέμνονται μεταξύ τους.δ. είναι κάθετες στις ταχύτητες των μορίων του ρευστού.

4. Η παροχή ενός σωλήνα ή μιας φλέβας όπου ρέει κάποιο ρευστό:α. εκφράζει το ρυθμό διέλευσης της μάζας του ρευστού από μια διατομή του σωλήνα ή της φλέβας.β. παραμένει σταθερή ως συνέπεια της αρχής διατήρησης της ενέργειας.γ. εκφράζει το χρονικό ρυθμό διέλευσης του όγκου του ρευστού από μια διατομή του σωλήνα ή της φλέβας.δ. ισούται με το πηλίκο του εμβαδού διατομής προς την ταχύτητα ροής.

5. Η εξίσωση συνέχειας:α. είναι συνέπεια της αρχής διατήρησης της ύλης.β. αναφέρει ότι η παροχή ενός σωλήνα αυξάνεται όταν αυτός είναι κατηφορικός.γ. εξηγεί γιατί οι ρευματικές γραμμές πυκνώνουν όταν μειώνεται η ταχύτητα ροής ενός ρευστού.δ. είναι συνέπεια της αρχής διατήρησης της ενέργειας.

6. Ένα υγρό ρέει στο σωλήνα του διπλανού σχήματος. Από τις παρακάτω προτάσεις σωστές είναι οι:α. Η ροή είναι στρωτή, επειδή οι ρευματικές γραμμές δεν τέμνονται.β. Η παροχή στη διατομή Α1 είναι μεγαλύτερη από τη παροχή στη διατομή Α2.γ. Για να είναι η παροχή της διατομής Α1 ίση με την παροχή της διατομής Α2 πρέπει να μην υπάρχουν εσωτερικές τριβές καθώς και τριβές μεταξύ υγρού και σωλήνα.δ. Η ταχύτητα του ρευστού στην διατομή Α1 είναι μικρότερη από τη ταχύτητα του ρευστού στην διατομή Α2.ε. πυκνότητα του υγρού στη στένωση του σωλήνα είναι μεγαλύτερη.


24


ΕΡΩΤΗΣΗ 1 Η ταχύτητα με την οποία ρέουν τα νερά ενός ποταμού, σταθερού πλάτους d, σε ένα σημείο όπου το μέσο βάθος είναι h1=2 m, είναι υ1. Σε ένα άλλο σημείο του ποταμού όπου τα νερά ρέουν με ταχύτητα υ2=2 υ1, το μέσο βάθος του ποταμού είναι h2 που είναι ίσο με: α. 2 m. β. 1 m. γ. 4 m.Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας.

ΛύσηΣωστή είναι η απάντηση β.Από την εξίσωση της συνέχειας έχουμε σταθερή παροχή:

ή (1)Το εμβαδό Α της διατομής του ποταμού είναι . Εφόσον το πλάτος του ποταμού, d, είναι σταθερό, το εμβαδό είναι ανάλογο του βάθους h. Έτσι, η σχέση (1) γίνεται:

ΕΡΩΤΗΣΗ 2 Το εμβαδόν διατομής του σωλήνα στην περιοχή Α είναι τριπλάσιο της διατομής του στην περιοχή Β. Σε δύο δευτερόλεπτα από τη διατομή Α διέρχονται 6 cm3

νερού. Σε ένα δευτερόλεπτο από τη διατομή Β διέρχονται α. 6 cm3 νερού. β. 3 cm3 νερού. γ. 18 cm3 νερού.Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας.

ΛύσηΣωστή είναι η απάντηση β.Από την εξίσωση της συνέχειας έχουμε σταθερή παροχή:

νερού.

ΕΡΩΤΗΣΗ 3 Ένας σωλήνας έχει διατομή εμβαδού Α και στο εσωτερικό του ρέει υγρό πυκνότητας ρ, με ταχύτητα υ. Το υγρό εξερχόμενο από το σωλήνα πέφτει κάθετα πάνω σε μια ακίνητη επιφάνεια εμβαδού Α και απομακρύνεται από αυτή ρέοντας πάνω σε αυτή. Δηλαδή μετά την πρόσπτωση, στην αρχική διεύθυνση κίνησης οι μάζες δεν έχουν ταχύτητα. Η κάθετη δύναμη που ασκεί η επιφάνεια στο υγρό δίνεται από τη σχέση:α. . β. . γ. .

ΛύσηΣωστή είναι η α.Έστω ότι σε χρονικό διάστημα Δt πάνω στη επιφάνεια πέφτει μάζα υγρού Δm. Η μεταβολή της ορμής της μάζας Δm στον άξονα που

25


είναι κάθετος στην επιφάνεια είναι με μέτρο .

Σύμφωνα με το 2ο νόμο του Νεύτωνα στη γενικότερη έκφραση του η μάζα Δm θα δέχεται από την επιφάνεια δύναμη μέτρου

και θα ασκεί στην επιφάνεια μία αντίθετη δύναμη.

ΕΡΩΤΗΣΗ 4 Η διάμετρος της διατομής του σωλήνα στην περιοχή Α είναι δ1 = 2 cm, ενώ η διάμετρος της διατομής του στην περιοχή Β είναι δ2 =1 cm.Η ταχύτητα υ1 του υγρού στην περιοχή Α είναι 2 cm/s. Η ταχύτητα στην περιοχή Β είναι:α. , β. , γ. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας.

ΛύσηΣωστή είναι η απάντηση γ.Από την εξίσωση της συνέχειας έχουμε σταθερή παροχή:

ΕΡΩΤΗΣΗ 5 Μια δεξαμενή έχει χωρητικότητα 10 m3. Η παροχή νερού ενός κυλινδρικού σωλήνα που γεμίζει τη δεξαμενή είναι Π1=2 m3 /min και γεμίζει τη δεξαμενή σε χρόνο t1. Για να γεμίσει η δεξαμενή σε πέντε λεπτά περισσότερο η παροχή του νερού πρέπει να γίνει:α. . β. . γ. .Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας.

ΛύσηΣωστή είναι η απάντηση γ.Η δεξαμενή αρχικά γεμίζει σε χρόνο t1 που είναι ίσος με:

.Για να γεμίσει η δεξαμενή σε πέντε λεπτά περισσότερο θα χρειαστεί

26


χρόνο t2=10 min.Η καινούρια παροχή θα είναι


ΑΣΚΗΣΗ 1 Η φλέβα του νερού μιας βρύσης γίνεται στενότερη καθώς το νερό πέφτει. Η ακτίνα της διατομής της φλέβας στη θέση 1, όταν εξέρχεται από τη βρύση είναι r1 = 2cm και γίνεται r2 = 1cm σε απόσταση h πιο κάτω (θέση 2). Το νερό στη θέση 1 έχει ταχύτητα υ1 = 1m/s. Να υπολογίσετε:α) την παροχή της βρύσης. β) την ταχύτητα του νερού στη θέση 2. γ) την απόσταση h. δ) το χρόνο που χρειάζεται για να γεμίσει μια δεξαμενή χωρητικότητας 4m3.Να θεωρήσετε το νερό ιδανικό ρευστό. Δίνεται g=10m/s2

Λύσηα) Η παροχή της βρύσης είναι:

ή β) Από την εξίσωση της συνέχειας προκύπτει ότι μεταξύ των θέσεων 1 και 2 έχουμε σταθερή παροχή:

Άρα η ταχύτητα του νερού στη θέση 2 είναι .γ) Εφαρμόζουμε την αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας για μια στοιχειώδη μάζα Δm που κινείται από τη θέση 1 στη θέση 2, έχουμε:

δ) Η παροχή ισούται με , άρα ο χρόνος που χρειάζεται για να γεμίσει η δεξαμενή είναι:

27


ΑΣΚΗΣΗ 2 Ένας σωλήνας αποτελείται από δύο κυλινδρικά μέρη διαφορετικής ακτίνας και μέσα σε αυτόν ρέει λάδι. Το πρώτο μέρος του σωλήνα ακτίνας r1=2cm μεταφέρει στο δεύτερο λάδι μάζας m=4kg σε χρονικό διάστημα t=5s. Η ταχύτητα του λαδιού στο δεύτερο και στενότερο

κυλινδρικό μέρος είναι m/s. Να υπολογίσετε:α) πόσος όγκος λαδιού μεταφέρθηκε στο δεύτερο σωλήνα σε χρονικό διάστημα t=5s.β) την παροχή λαδιού στο δεύτερο σωλήνα. γ) την ταχύτητα ροής στον πρώτο σωλήνα. δ) την ακτίνα του δεύτερου σωλήνα. Να θεωρήσετε το λάδι ιδανικό ρευστό. Δίνεται η πυκνότητα του λαδιού ρ=0,8 g/cm3.

ΕκφώνησηΛύση α) Ο όγκος λαδιού που μεταφέρθηκε στο δεύτερο σωλήνα σε χρονικό διάστημα t=5s βρίσκεται από τη σχέση ορισμού της πυκνότητας:

ή

β) Από τη σχέση ορισμού της παροχής στο δεύτερο σωλήνα έχουμε:

.γ) Από την εξίσωση της συνέχειας μεταξύ του πρώτου και δεύτερου σωλήνα βρίσκουμε την ταχύτητα ροής στον πρώτο σωλήνα:

.δ. Από τη σχέση της παροχής στο δεύτερο σωλήνα βρίσκουμε την ακτίνα του.

ΑΣΚΗΣΗ 3 Οριζόντιος σωλήνας εκτοξεύει νερό από κάποιο ύψος h. Το νερό εξέρχεται του σωλήνα με ταχύτητα υ0 = 5 m/s και φτάνει στο έδαφος σε χρόνο t=1s από τη στιγμή της εξόδου του από το σωλήνα. Η παροχή του σωλήνα είναι Π =0,6 m3/min.Να υπολογίστε α) το ύψος που βρίσκεται ο οριζόντιος σωλήνας.β) την απόσταση του σημείου που χτυπάει το νερό στο έδαφος από την έξοδο του σωλήνα.γ) τη μάζα του νερού που βρίσκεται κάθε στιγμή στον αέρα.δ) την ακτίνα του σωλήνα. Δίνoνται: g=10m/s2, ρ=1 g/cm3.

28


Λύση

α) Το νερό κάνει οριζόντια βολή και στον κατακόρυφο άξονα εκτελεί ελεύθερη πτώση. Έτσι, το ύψος που βρίσκεται η έξοδος του

οριζόντιου σωλήνας βρίσκεται από τη σχέση: ή .

β) Οριζόντια το νερό μετατοπίζεται κατά και η απόσταση d του σημείου που χτυπάει το νερό στο έδαφος από το σημείο εκτόξευσης είναι:

γ) H μάζα του νερού που βρίσκεται κάθε στιγμή στον αέρα ισούται με τη μάζα που εξέρχεται στο χρονικό διάστημα του 1s. Από τη σχέση της παροχής βρίσκουμε τον όγκο του νερού που εξέρχεται σε 1s και από τη σχέση της πυκνότητας την αντίστοιχη μάζα.

και

δ) Η ακτίνα του σωλήνα βρίσκεται από τη σχέση της παροχής.

. ΑΣΚΗΣΗ 4 Ένας σωλήνας που μεταφέρει νερό έχει ακτίνα

και διακλαδίζεται σε δύο μικρότερους σωλήνες ακτίνας . Η παροχή στον κεντρικό σωλήνα είναι Π=1 m3/min. Ένας από τους δύο μικρότερους σωλήνες καταλήγει σε μια μικρή δεξαμενή που χωράει 100kg νερό. Να υπολογίστε:α) την ταχύτητα ροής στον κεντρικό σωλήνα. β) την παροχή νερού σε έναν από τους δύο μικρότερους σωλήνες.γ) την ταχύτητα ροής στους δύο μικρότερους σωλήνες.δ) το χρόνο που χρειάζεται για να γεμίσει η μικρή δεξαμενή.Να θεωρήσετε το νερό ιδανικό ρευστό. Δίνονται η πυκνότητα του νερού ρ =1 g/cm3 και .

Λύσηα) Η ταχύτητα ροής στον κεντρικό σωλήνα βρίσκεται από τη σχέση της παροχής, είναι:

29


β) Επειδή οι δύο μικρότεροι σωλήνες είναι όμοιοι, οι παροχές τους είναι ίσες, Π1=Π2. Άρα η παροχή νερού στους δύο μικρότερους σωλήνες είναι:

.γ) Η ταχύτητα ροής στους δύο μικρότερους σωλήνες

.δ) Ο όγκος του νερού που απαιτείται για να γεμίσει η μικρή δεξαμενή είναι:

Ο χρόνος που χρειάζεται για να γεμίσει η μικρή δεξαμενή βρίσκεται από τον τύπο της παροχής.

ΠροβλήματαΘέμα Δ

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1Η οπή εκτόξευσης του νερού ενός νεροπίστολου έχει εμβαδό Α2=1mm2 και το εμβαδόν του εμβόλου που πιέζει το νερό Α1=70mm2. Ένα παιδί κρατάει το νεροπίστολο σε ύψος h=0,8 m από το έδαφος και πιέζει τη σκανδάλη του. Η σκανδάλη στη συνέχεια πιέζει το έμβολο της μικρής δεξαμενής αποθήκευσης του νερού με δύναμη F=10Ν και το νερό εξέρχεται με ταχύτητα υ2. Να βρεθούν:α) η σχέση που συνδέει την ταχύτητα εκτόξευσης του νερού με την ταχύτητα κίνησης του εμβόλου.β) η ταχύτητα εκτόξευσης υ2 του νερού.γ) η οριζόντια απόσταση που φτάνει το νερό όταν πέφτει στο έδαφος.Να θεωρήσετε ότι η ροή του νερού έχει τις ιδιότητες του ιδανικού ρευστού.Η πυκνότητα του νερού είναι ρ=103kg/m3, g = 10 m/s2.

Θεωρείστε ,

30


Λύσηα) Από την εξίσωση της συνέχειας βρίσκουμε σχέση που συνδέει την ταχύτητα υ1 που κινείται το έμβολο με τη ταχύτητα υ2 με την οποία

εκτοξεύεται το νερό .β) Θα εφαρμόσουμε το θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας για μια στοιχειώδη μάζα νερού καθώς αυτή προωθείται από το δοχείο στην έξοδο.Σε χρονική διάρκεια Δt, έστω ότι το έμβολο μετατοπίζεται κατά

. Η μάζα νερού που προωθήθηκε είναι ή (1)

Κατά την προώθηση αυτή το νερό δέχεται από το περιβάλλον του δύο δυνάμεις. Από το έμβολο δέχεται τη δύναμη και από την ανοικτή ατμόσφαιρα τη δύναμη .Τα έργα των δύο δυνάμεων είναι αντίστοιχα:

(2)(3)

Το συνολικό έργο είναι

Αλλά λόγω της (1) με αποτέλεσμα

ΘΜΚΕ για τη μάζα νερού (4)

γ) Το νερό εκτελεί οριζόντια βολή και επομένως ο χρόνος πτώσης του στο έδαφος είναι:

Άρα, η οριζόντια απόσταση που θα φθάσει το νερό είναι s = υ2t = 6,76m.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΡΕΥΣΤΑ ΣΕ ΚΙΝΗΣΗΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΚΑΙ Η ΕΞΙΣΩΣΗ

BERNOULLIΟι μαθητές πρέπει να είναι ικανοί:

31


o να εξηγούν πως η εξίσωση Bernoulli είναι αποτέλεσμα της διατήρησης της ενέργειας.

o να περιγράφουν και να εφαρμόζουν την εξίσωση Bernoulli.

Εισαγωγικές γνώσεις - Η μηχανική ενέργεια στα ρευστά

Για να περιγράψουμε ενεργειακά τα ρευστά εισάγουμε τα φυσικά μεγέθη: δυναμική ενέργεια ανά μονάδα όγκου του ρευστού, κινητική ενέργεια ανά μονάδα όγκου του ρευστού, μηχανική ενέργεια ανά μονάδα όγκου του ρευστού και έργο δύναμης ανά μονάδα όγκου του ρευστού. Δυναμική ενέργεια ανά μονάδα όγκου του ρευστού:

Κινητική ενέργεια ανά μονάδα όγκου του ρευστού:

Έργο δύναμης ανά μονάδα όγκου του ρευστού:

H εξίσωση του BernoulliΓνωρίζουμε ότι η πίεση σε ένα ρευστό που ρέει σε σωλήνα συνήθως δεν είναι ίδια σε δύο σημεία του όταν αυτά βρίσκονται σε διαφορετικό ύψος. Η πίεση για παράδειγμα στους σωλήνες των υψηλότερων ορόφων σε μια πολυκατοικία είναι μικρότερη αυτής του ισογείου. Γνωρίζουμε επίσης, από το νόμο της συνέχειας, ότι η ταχύτητα του ρευστού μεταβάλλεται ανάλογα με τη διατομή του σωλήνα στον οποίο ρέει. Το 1738 ο Daniel Bernoulli βρήκε τη σχέση που συνδυάζει την πίεση σε ένα σημείο του υγρού με την ταχύτητά του και το ύψος. Η εξίσωση του Bernoulli είναι μια συνέπεια της αρχής διατήρησης της ενέργειας στα ρευστά και διατυπώνεται ως εξής:Το άθροισμα της πίεσης p, της κινητικής ενέργειας ανά

μονάδα όγκου και της δυναμικής ενέργειας ανά μονάδα όγκου του ρευστού , έχει την ίδια σταθερή τιμή σε

32


οποιοδήποτε σημείο μιας ρευματικής φλέβας.

ΑπόδειξηΘεωρούμε ένα ιδανικό (ασυμπίεστο) ρευστό το οποίο ρέει σε πλάγιο σωλήνα μεταβλητής διατομής. Διαλέγουμε δύο σημεία Β και Γ που είναι σημεία της ίδιας ρευματικής γραμμής τα οποία βρίσκονται σε ύψη h1 και h2 από το έδαφος αντίστοιχα. Η πίεση στο Β είναι p1 και στο σημείο αυτό η διατομή του σωλήνα είναι Α1 ενώ στο Γ, p2 και Α2 (Α2< Α1) αντίστοιχα. Θεωρούμε σαν σύστημα το τμήμα του ρευστού μεταξύ των Β και Γ και ότι αυτό ρέει από το Β προς το Γ. Επειδή η διατομή του σωλήνα από το Β προς το Γ μειώνεται, σύμφωνα με το νόμο της συνέχειας η ταχύτητα του ρευστού αυξάνεται, άρα το ρευστό επιταχύνεται με τη βοήθεια μιας δύναμης που ασκείται σε αυτό από το περιβάλλον του. Σε χρονικό διάστημα Δt ένα στοιχειώδες τμήμα μάζας Δm του ρευστού μετατοπίζεται από το Β προς το Γ. Εφαρμόζουμε για το Δm το θεώρημα έργου ενέργειας (ΘΕΕ).

Όπου WFεξ είναι το έργο που προσφέρεται στο τμήμα του ρευστού που περιέχεται μεταξύ των διατομών Α1 και Α2. Στο τμήμα του ρευστού μεταξύ των διατομών Α1 και Α2 ασκούνται δύο δυνάμεις από το περιβάλλον ρευστό. Στη διατομή Α1 ασκείται η δύναμη F1 της οποίας το έργο είναι θετικό και στη διατομή Α2 ασκείται η δύναμη F2 της οποίας το έργο είναι αρνητικό, δηλαδή

ή

Επειδή το ρευστό είναι ασυμπίεστο, ΔV1=ΔV2=ΔVΚαι η παραπάνω σχέση γίνεται To έργο του βάρους είναι

και είναι αρνητικό αφού η στοιχειώδης μάζα Δm κατά τη μετακίνησή της από το Β στο Γ ανεβαίνει.Αντικαθιστώντας στην (1) παίρνουμε

33


Επομένως για οποιοδήποτε σημείο ενός ιδανικού ρευστού ισχύει

που αποτελεί την εξίσωση του Bernoulli.Η παραπάνω εξίσωση όπως είδαμε αποτελεί μια έκφραση της αρχής διατήρησης της ενέργειας στα ρευστά. Η εξίσωση του Bernoulli ισχύει κάτω από τις εξής προϋποθέσεις:

Το ρευστό είναι ασυμπίεστο, Οι τριβές μεταξύ του ρευστού και των τοιχωμάτων του

σωλήνα είναι αμελητέες, Η ροή είναι στρωτή.

Η εξίσωση Bernoulli σε οριζόντιο σωλήνα.Σε οριζόντιο σωλήνα, έστω και αν υπάρχουν στενώσεις, κατά τη μετακίνηση του ρευστού θεωρούμε ότι δεν υπάρχει έργο βάρους και η εξίσωση παίρνει τη μορφή:

Το παραπάνω μας δείχνει ότι όπου η ταχύτητα του ρευστού αυξάνεται (στένωση σωλήνα και αύξηση πυκνότητας ρευματικών γραμμών) , η πίεση ελαττώνεται και αντίστροφα. Στο σχήμα, παρατηρούμε ότι εφόσον A1>A2, έχουμε υ1<υ2 και p1>p2.

Σχόλια για την εφαρμογή του νόμου του BERNOULLI Σε ένα ακίνητο ρευστό οι προϋποθέσεις εφαρμογής του νόμου

του Bernoulli ισχύουν, άρα ο νόμος εφαρμόζεται και σε ακίνητα ρευστά.

Σε μια οριζόντια φλέβα ανεξάρτητα από στενώσεις θεωρούμε ότι η δυναμική ενέργεια του ρευστού δεν μεταβάλλεται, οπότε ο όρος ρgh παραμένει σταθερός.

Στον όρο ρgh, το h εκφράζει το ύψος της στοιχειώδους μάζας από το επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας, ενώ στον τύπο της υδροστατικής πίεσης, p=ρgh, το h δηλώνει βάθος από την ελεύθερη επιφάνεια του υγρού.

Ένα ρευστό που ρέει σε σωλήνα, μόλις εξέλθει στην ατμόσφαιρα θεωρούμε ότι έχει πίεση ίση με την ατμοσφαιρική, pατμ.

Ο νόμος του Βernoulli εφαρμόζεται και στα αέρια. Τα φαινόμενα ροής γύρω από ένα σώμα είναι ίδια είτε το

σώμα κινείται και το ρευστό ηρεμεί, είτε το σώμα ηρεμεί και το ρευστό κινείται με αντίθετη ταχύτητα. Κατά την εφαρμογή της εξίσωσης Bernoulli, όταν έχουμε εμπόδιο που κινείται μέσα σε ακίνητο ρευστό (π.χ. αεροπλάνο), η ταχύτητα που υπεισέρχεται στον τύπο είναι η σχετική ταχύτητα του ρευστού ως προς το εμπόδιο. Δηλαδή, την

34


εξίσωση του Bernoulli την γράφει ο παρατηρητής που βρίσκεται πάνω στο εμπόδιο.

Εφαρμογές της εξίσωσης Bernoulli.

ΨεκαστήραςΜε τη βοήθεια της ελαστικής κάψας διοχετεύουμε αέρα στον οριζόντιο σωλήνα ο οποίος εξέρχεται από το άκρο του 1. Σύμφωνα με τον Bernoulli, στο σημείο 1 της ρευματικής φλέβας που το ρευστό (αέρας) έχει μεγάλη ταχύτητα, η πίεση είναι μικρότερη από το σημείο 2, που είναι ίση με την pατμ όση και στην επιφάνεια του υγρού. Έτσι, το υγρό του δοχείου ανέρχεται τον κατακόρυφο σωλήνα και παρασυρόμενο από το οριζόντιο ρεύμα του αέρα εκτοξεύεται υπό μορφή σταγονιδίων.

Αναρπαγή στέγηςΌταν φυσάει άνεμος οριζόντια με μεγάλη ταχύτητα υπάρχει κίνδυνος αρπαγής μιας στέγης. Καθώς ο άνεμος περνά από το υψηλότερο σημείο της στέγης (σημείο 2 στο σχήμα), υπάρχει στένωση των ρευματικών γραμμών, δηλαδή αύξηση ταχύτητας και σύμφωνα με τον Bernoulli ελάττωση της πίεσης . Στο εσωτερικό του σπιτιού (σημείο 3) η πίεση είναι ίση με την ατμοσφαιρική, δηλαδή ακόμα μεγαλύτερη από την . Έτσι, λόγω της διαφοράς πίεσης μεταξύ του εσωτερικού και εξωτερικού της στέγης αναπτύσσονται δυνάμεις κάθετες στην επιφάνεια της, με φορά προς τα πάνω, που ξεπερνώντας κάποιο όριο μπορούν να την ξεκολλήσουν.

Δυναμική άνωση και ανύψωση του αεροπλάνου.Η κίνηση ενός αεροπλάνου είναι η περίπτωση ενός εμποδίου που τρέχει μέσα σε ακίνητο ρευστό. Τα φτερά του αεροπλάνου έχουν τέτοια τομή ώστε όπως αυτό κινείται, να υπάρχει πύκνωση των ρευματικών γραμμών του αέρα στο πάνω μέρος και αραίωση στο κάτω. Η διαφοροποίηση αυτή δημιουργεί διαφοράς πίεσης μεταξύ του κάτω και πάνω μέρους του αεροπλάνου. Η διαφορά πίεσης προκαλεί την άσκηση δύναμης F, (αεροδύναμη), κάθετης στην επιφάνεια των φτερών. Όταν η κατακόρυφη συνιστώσα της δύναμης, Fα (δυναμική άνωση) είναι μεγαλύτερη από το βάρος του αεροπλάνου, αυτό ανέρχεται.

35


Θεώρημα Τorricelli.Ένα ανοικτό δοχείο περιέχει υγρό. Σε βάθος h από την ελεύθερη επιφάνεια του υγρού υπάρχει μικρή τρύπα από την οποία το υγρό βγαίνει με ταχύτητα υ. Με εφαρμογή της εξίσωσης του Bernoulli μεταξύ του σημείου Α της ελεύθερης επιφάνειας και του σημείου Β , που ανήκουν στην ίδια ρευματική φλέβα, υπολογίζεται η ταχύτητα εκροής υ από το σημείο Β. Βρίσκεται ότι είναι ίση με αυτήν που θα είχε αν αφηνόταν να πέσει ελεύθερα από το ίδιο ύψος, δηλαδή

. Το συμπέρασμα αυτό είναι γνωστό ως θεώρημα Τorricelli.

Ερωτήσεις ΘεωρίαςΘέμα Β

ΕΡΩΤΗΣΗ 1 Στον οριζόντιο σωλήνα του διπλανού σχήματος ρέει ιδανικό υγρό. Με τον οριζόντιο σωλήνα επικοινωνούν δύο κατακόρυφοι σωλήνες, Β και Γ. Για τα ύψη της στήλης του υγρού στο σωλήνα Β, hB, και στο σωλήνα Γ, hΓ, ισχύει Α. hΒ > hΓ, Β. hΒ < hΓ, Γ. hΒ = hΓ.Να διαλέξεις τη σωστή απάντηση και να τη δικαιολογήσεις.

Λύση Σωστή είναι η πρόταση Α.Εφαρμόζουμε την εξίσωση Bernoulli για τα σημεία 1 και 2 της οριζόντιας φλέβας του υγρού.

Σύμφωνα με το νόμο της συνέχειας, όπου υπάρχει στένωση του σωλήνα η ταχύτητα μεγαλώνει, δηλαδή υ2>υ1. Από τη σχέση (1) προκύπτει p2 < p1. Το υγρό στις στήλες είναι ακίνητο. Αφού μεταξύ του κάτω μέρους της στήλης του υγρού και του πάνω μέρους του οριζόντιου σωλήνα το υγρό δεν κινείται οι πιέσεις είναι ίσες. Έτσι, στο κάτω μέρος της στήλης του σωλήνα Β επικρατεί συνολική πίεση pB που είναι ίση με p1.

ή Αντίστοιχα για το σωλήνα Γ ισχύει:

ή Από τη σύγκριση των (2) και (3) προκύπτει hΒ> hΓ.

ΕΡΩΤΗΣΗ 2Ο σωλήνας του διπλανού σχήματος έχει σταθερή διατομή και το υγρό ρέει με φορά από το Α προς το Γ. Τα σημεία Α και Γ απέχουν κατακόρυφα κατά h. Για τις ταχύτητες ροής

36


στα Α και Γ ισχύειΑ. υΑ = υΓ, B. , Γ. .Να διαλέξεις τη σωστή απάντηση και να τη δικαιολογήσεις.

Λύση Σωστή είναι η πρόταση Α.Εφόσον η παροχή διατηρείται χρονικά σταθερή και έχουμε σωλήνα σταθερής διατομής, η ταχύτητα του υγρού στο σωλήνα θα είναι σταθερή σε κάθε σημείο του.

ΕΡΩΤΗΣΗ 3Τα δύο ίδια δοχεία του σχήματος περιέχουν υγρά με πυκνότητες ρ1 και ρ2 όπου ρ1=2ρ2. Οι τρύπες που υπάρχουν σε βάθος h από την ελεύθερη επιφάνεια κάθε υγρού έχουν διατομές Α1 και Α2 όπου Α2=2Α1. Θεωρούμε ότι η διατομή κάθε τρύπας είναι πολύ μικρότερη από αυτήν της ελεύθερης επιφάνειας του υγρού και ότι η πίεση γύρω από το δοχείο είναι ίση με την ατμοσφαιρική. Για τις παροχές των ρευστών που ρέουν από τις τρύπες 1 και 2 ισχύειΑ. Π1=Π2, Β. Π1=2Π2, Γ. Π2=2Π1. Να διαλέξεις τη σωστή απάντηση και να τη δικαιολογήσεις.

Λύση Σωστή είναι η πρόταση Γ.Η παροχή Π δίνεται από τη σχέση Π=Αυ.Σύμφωνα με το θεώρημα Toriccelli, η ταχύτητα εκροής υ είναι ίση με αυτήν που θα είχε το υγρό αν έπεφτε ελεύθερα από ύψος h και δεν εξαρτάται από την πυκνότητα του υγρού. Επομένως, επειδή οι τρύπες βρίσκονται στο ίδιο βάθος, η ταχύτητα εκροής είναι ίδια και στα δύο δοχεία. ΆραΠ1=Α1υ και Π2=Α2υ=2Α1υ ή Π2=2Π1.

ΕΡΩΤΗΣΗ 4Σε μια υδραυλική εγκατάσταση, λίγο πριν τη βρύση, είναι τοποθετημένος ένας κατακόρυφος σωλήνας ο οποίος είναι κλειστός στο επάνω μέρος του και περιέχει αέρα. Ο σωλήνας αυτός τοποθετείται ώστε να προστατεύεται ο οριζόντιος σωλήνας από την απότομη αύξηση της πίεσης όταν: Α. κλείνουμε τη βρύση.Β. ανοίγουμε τη βρύσηΝα διαλέξεις τη σωστή απάντηση και να τη δικαιολογήσεις.

Λύση Σωστή είναι η πρόταση Α.Σύμφωνα με την εξίσωση του Bernoulli, σε μια οριζόντια φλέβα

37


υγρού, όπου η ταχύτητα μεγαλώνει, η πίεση μικραίνει και αντίστροφα. Με το κλείσιμο της βρύσης, η ταχύτητα του νερού στο σημείο της βρύσης μηδενίζεται απότομα με αποτέλεσμα τη δημιουργία στιγμιαία μεγάλης πίεσης (υπερπίεση) στην περιοχή που θέτει σε κίνδυνο την όλη εγκατάσταση. Η αυξημένη πίεση συμπιέζει τον εγκλωβισμένο αέρα στον κατακόρυφο σωλήνα ο οποίος λειτουργώντας ως αμορτισέρ απορροφά την αύξηση της πίεσης.

ΕΡΩΤΗΣΗ 5Τα δύο δοχεία του σχήματος έχουν το ίδιο εμβαδό βάσης, περιέχουν νερό και σε βάθος h υπάρχει τρύπα εμβαδού πολύ μικρότερου από αυτό της ελεύθερης επιφάνειας. Το νερό μετά την έξοδό του από την τρύπα κάθε δοχείου φθάνειΑ. σε μεγαλύτερο ύψος στο δοχείο Α Β. σε μεγαλύτερο ύψος στο δοχείο Β.Γ. στο ίδιο ύψοςΝα διαλέξεις τη σωστή απάντηση και να τη δικαιολογήσεις

Λύση Σωστή είναι η πρόταση Γ.Εφαρμόζουμε στο δοχείο Β το θεώρημα του Bernoulli για μια φλέβα του υγρού στα σημεία Α (σημείο της ελεύθερης επιφάνειας) και Β που είναι το υψηλότερο σημείο. Θεωρούμε επίπεδο αναφοράς για τη δυναμική ενέργεια του ρευστού, το οριζόντιο επίπεδο που διέρχεται από το Α.

Στο Α έχουμε pA=patm και υΑ=0. Στο Β έχουμε pΒ=patm και υΒ=0. Επομένως η παραπάνω σχέση γίνεται

Στο ίδιο συμπέρασμα καταλήγουμε εφαρμόζοντας την εξίσωση Bernoulli στο δοχείο Α. Tο παραπάνω συμπέρασμα είναι συνέπεια της αρχής διατήρησης της ενέργειας.

ΕΡΩΤΗΣΗ 6Σε μια μάζα ιδανικού ρευστού που ρέει σε σωλήνα, προσφέρεται ποσόν ενέργειας ανά μονάδα όγκου E και η μάζα αυτή αυξάνει την κινητική της ενέργεια ανά μονάδα όγκου κατά Ε΄>Ε. Το ρευστό ρέειΑ. σε σωλήνα που ανέρχεται και στενεύειΒ. σε σωλήνα που κατέρχεται και στενεύειΓ. σε οριζόντιο σωλήνα σταθερής διατομήςΝα διαλέξεις τη σωστή απάντηση και να τη δικαιολογήσεις.

38


Λύση Σωστή είναι η πρόταση Β.Εφόσον η μάζα αυξάνει την κινητική της ενέργεια, η ταχύτητά της αυξάνεται. Αφού η παροχή διατηρείται σταθερή από το νόμο της συνέχειας προκύπτει ότι ο σωλήνας στενεύει. Α’ τρόποςΣύμφωνα με την αρχή διατήρησης της ενέργειας (εξίσωση Bernoulli) Ε=Ε΄+(U/ΔV) όπου (U/ΔV) είναι η μεταβολή της δυναμικής ενέργειας της μάζας ανά μονάδα όγκου. Ε΄>Ε, άρα (U/ΔV)<0 και συνεπώς η μάζα κατέρχεται.

Β’ τρόποςΤο ΘΜΚΕ για μια στοιχειώδη μάζα του ρευστού γράφεται:

ή (1)

Όμως και .

H (1) γίνεται:

Επειδή , το . Αφού το έργο του βάρους είναι θετικό, ο σωλήνας κατέρχεται.


1. Ένα ιδανικό ρευστό ρέει σε σωλήνα μεταβλητής διατομής.α. H παροχή του ρευστού μειώνεται όταν η διατομή του σωλήνα αυξάνεται.β. Οι μάζες του ρευστού δεν έχουν την ίδια ταχύτητα σε όλα τα σημεία του σωλήνα.γ. H πίεση του ρευστού είναι ίδια σε όλα τα σημεία του σωλήνα.δ. Η μηχανική ενέργεια του ρευστού μεταβάλλεται.

2. Σε έναν οριζόντιο σωλήνα που ρέει ιδανικό ρευστό, όταν:α. αυξάνεται το εμβαδόν διατομής μειώνεται η πίεση.β. αυξάνεται η ταχύτητα ροής του ρευστού αυξάνεται η πίεση.γ. μειώνεται το εμβαδόν διατομής αυξάνεται η ταχύτητα ροής.δ. μειώνεται η ταχύτητα ροής μειώνεται και η παροχή.

3. Σύμφωνα με την εξίσωση του Bernoulli, για όλα τα σημεία που ανήκουν στην ίδια ρευματική φλέβα ισχύει:α. β. γ.

39


δ.

4. Η εξίσωση του Bernoulli μπορεί να εφαρμοστεί μόνο μεταξύ δύο θέσεων ενός ιδανικού ρευστού:α. που βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο.β. που κινείται.γ. που ανήκουν σε δύο τυχαίες ρευματικές φλέβες.δ. που ανήκουν στην ίδια ρευματική φλέβα.

5. Σύμφωνα με το θεώρημα Torricelli, η ταχύτητα εκροής ενός υγρού από ένα σημείο που βρίσκεται σε πλευρικό τοίχωμα ενός δοχείου:α. εξαρτάται από την πυκνότητα του υγρού.β. εξαρτάται από τη μάζα του υγρού.γ. εξαρτάται από το εμβαδό βάσης του δοχείου στο οποίο βρίσκεται το υγρό.δ. είναι ίση με αυτήν που θα είχε αν αφηνόταν να πέσει ελεύθερα από το ίδιο ύψος.

6. Ένα αεροπλάνο βάρους w που πετάει οριζόντια με σταθερή ταχύτητα μέτρου υ σε ύψος h από το έδαφος δέχεται δυναμική άνωση Α. Από το ίδιο σημείο πετάει οριζόντια ένα δεύτερο αεροπλάνο βάρους w/2 με ταχύτητα 2υ. Aυτό δέχεται δυναμική άνωση μέτρου:α. Α, β. 2Α, γ. Α/2, δ. 4Α.

7. Η εξίσωση του Bernoulli για τα ρευστά είναι συνέπεια της αρχής διατήρησης της:α. ύλης, β. ενέργειας, γ. παροχής, δ. μηχανικής ενέργειας.

8. Σε μια ποσότητα ιδανικού ρευστού που κατέρχεται σε σωλήνα, προσφέρεται λόγω διαφοράς πίεσης 120J/L και έχουμε μεταβολή της δυναμικής ενέργειας της ποσότητας αυτής κατά 80J/L.α. Η κινητική ενέργεια της ποσότητας του ρευστού αυξήθηκε κατά 40J/L.β. Η κινητική ενέργεια της ποσότητας του ρευστού αυξήθηκε κατά 200J/L.γ. Η ολική ενέργεια της ποσότητας του ρευστού αυξήθηκε κατά 200J/L.δ. Η μηχανική ενέργεια της ποσότητας του ρευστού διατηρήθηκε.

9. Ο σωλήνας του διπλανού σχήματος περιέχει ιδανικό υγρό που ρέει προς τα δεξιά. Οι κατακόρυφοι σωλήνες Β και Γ είναι ανοικτοί στο πάνω μέρος τους.α. Η παροχή του υγρού στη θέση 1 είναι μεγαλύτερη απ’ ότι στη θέση 2.

40


β. Η ταχύτητα του υγρού στη θέση 1 είναι μεγαλύτερη απ’ ότι στη θέση 2.γ. Η πίεση του υγρού στη θέση 1 είναι μεγαλύτερη απ’ ότι στη θέση 2.δ. Η στάθμη του υγρού στον σωλήνα Β είναι υψηλότερα απ’ ότι στον Γ.ε. Από το σημείο 1 μέχρι το σημείο 2 το υγρό επιταχύνθηκε.


ΕΡΩΤΗΣΗ 1Μια δεξαμενή τροφοδοτείται με νερό από μια βρύση, έτσι ώστε το ύψος του νερού στη δεξαμενή να παραμένει σταθερό και ίσο με . Στην κάτω επιφάνεια της δεξαμενής υπάρχει μια οπή εμβαδού . Η παροχή από την οπή δίνεται από τη σχέση α) β) γ) Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας.

ΛύσηΣωστή είναι η απάντηση α.Για να παραμένει σταθερό το ύψος του νερού στο δοχείο, θα πρέπει να υπάρχει ισορροπία μεταξύ της παροχής Π της βρύσης που φέρνει νερό στη δεξαμενή και της παροχής Π' με την οποία το νερό εξέρχεται από τη δεξαμενή, δηλαδή: ή

όπου u η ταχύτητα με την οποία το νερό εξέρχεται από την οπή.Εφαρμόζουμε την εξίσωση του Bernoulli μεταξύ ενός σημείου Β της ελεύθερης επιφάνειας του νερού και του σημείου Γ στο οποίο βρίσκεται η οπή, θεωρώντας σαν επίπεδο αναφοράς για τη δυναμική ενέργεια του ρευστού, το οριζόντιο επίπεδο που διέρχεται από το σημείο Γ:

Η ελεύθερη επιφάνεια του υγρού παραμένει διαρκώς στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο, δηλαδή . Επίσης, η πίεση στα σημεία Β και Γ είναι ίση με την ατμοσφαιρική, .Έτσι, η παραπάνω σχέση (1) γίνεται:

41


ή (πράγμα αναμενόμενο, σύμφωνα με το θεώρημα Torricelli).Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (3) βρίσκουμε: .

ΕΡΩΤΗΣΗ 2Μια οριζόντια σύριγγα περιέχει νερό, το οποίο θεωρείται ιδανικό ρευστό. Το έμβολο της σύριγγας μπορεί να κινείται χωρίς τριβές κι έχει εμβαδό , ενώ το νερό εξέρχεται στην

ατμόσφαιρα από μια τρύπα εμβαδού . Ασκούμε στο έμβολο της σύριγγας μια οριζόντια δύναμη μέτρου . Το μέτρο της ταχύτητας με την οποία το νερό εξέρχεται από την τρύπα είναι ίσο με

α) , β) , γ) .Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας.

ΛύσηΣωστή είναι η απάντηση α.Εφαρμόζοντας την εξίσωση του Bernoulli για μια οριζόντια φλέβα νερού μεταξύ των σημείων Α και Β, όπου το σημείο Β είναι ένα σημείο αμέσως μετά την έξοδο του νερού από τη σύριγγα, έχουμε:

Η πίεση στο σημείο Α είναι

. Το νερό στο σημείο Β βρίσκεται σε επαφή με την ανοιχτή ατμόσφαιρα, οπότε δέχεται πίεση ίση με την ατμοσφαιρική, δηλαδή .Η εξίσωση της συνέχειας μεταξύ των θέσεων Α και Β δίνει:

ή ή ή . Αντικαθιστώντας στη σχέση (1) έχουμε:

ή ή

.

42


ΕΡΩΤΗΣΗ 3Ένα δοχείο περιέχει νερό πυκνότητας μέχρι ύψος από τον πυθμένα του. Πάνω από το νερό υπάρχει στρώμα λαδιού πυκνότητας , μέχρι ύψος πάνω από τη στάθμη του νερού. Σε ένα σημείο 1 του πυθμένα του δοχείου υπάρχει μια οπή. Η ταχύτητα με την οποία το νερό εξέρχεται από την τρύπα έχει μέτρο:

α) , β) , γ)

.

Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας.

ΛύσηΣωστή είναι η απάντηση γ. Οι δύο επιφάνειες των υγρών κατέρχονται πολύ αργά. Άρα, από την υδροστατική, για την πίεση στη διαχωριστική επιφάνεια των δύο υγρών ισχύει: Εφαρμόζουμε την εξίσωση του Bernoulli για μια φλέβα που διέρχεται από τα σημεία 1 και 2, θεωρώντας επίπεδο αναφοράς για τη δυναμική ενέργεια, το οριζόντιο επίπεδο που διέρχεται από το σημείο 1:

Έχουμε όμως ότι , αφού το υγρό εξέρχεται στην ατμόσφαιρα και . Έτσι η σχέση (2) γίνεται:

Με αντικατάσταση της (1) στην (3), προκύπτει:

ή

ΕΡΩΤΗΣΗ 4Το σχήμα δείχνει έναν οριζόντιο σωλήνα, μέσα στον οποίο ρέει νερό, το οποίο θεωρούμε ιδανικό ρευστό, με μόνιμη και στρωτή ροή. Η διατομή του αριστερού τμήματος του σωλήνα είναι τριπλάσια από τη διατομή του δεξιού του τμήματος. Δίνεται ότι η πίεση στο σημείο 2 του

43


σχήματος είναι ίση με p2 και στο σημείο 1 ίση με p1. Η ταχύτητα με την οποία ρέει το νερό στο αριστερό τμήμα του σωλήνα είναι ίση με . Η διαφορά πίεσης είναι ίση με: α) , β) , γ) .Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας.

ΛύσηΣωστή είναι η απάντηση α.Εφαρμόζουμε την εξίσωση του Bernoulli για μια φλέβα υγρού, μεταξύ του σημείου 1 και του σημείου 2.

Η εξίσωση της συνέχειας μεταξύ των σημείων 1 και 2 δίνει:ή ή ή (2)

Από τη σχέση (1) με τη βοήθεια της (2) παίρνουμε:

ή

ΕΡΩΤΗΣΗ 5Το σχήμα δείχνει έναν οριζόντιο σωλήνα, μέσα στον οποίο ρέει νερό, το οποίο θεωρούμε ιδανικό ρευστό, με μόνιμη και στρωτή ροή. Στον οριζόντιο σωλήνα έχουμε προσαρμόσει έναν κατακόρυφο ανοικτό σωλήνα, μέσα στον οποίο το ύψος του νερού είναι ίσο με .Η ταχύτητα με την οποία ρέει το νερό στο αριστερό τμήμα του σωλήνα είναι ίση με

και στο δεξιό ίση με . Αν είναι γνωστά, η επιτάχυνση της βαρύτητας , και η πυκνότητα του νερού ρ, τότε η πίεση στο σημείο 2 του σχήματος, p2 είναι ίση με:

α) , β) ,

γ) .Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας.

ΛύσηΣωστή είναι η απάντηση γ.Εφαρμόζουμε την εξίσωση του Bernoulli για μια φλέβα υγρού, μεταξύ του σημείου 1 και του σημείου 2.

44


Το νερό στον κατακόρυφο σωλήνα είναι ακίνητο, οπότε στη βάση του επικρατεί πίεση Από τη σχέση (1) με τη βοήθεια της (2) παίρνουμε:

ή

ΕΡΩΤΗΣΗ 6Ο σωλήνας του σχήματος είναι γεμάτος με ιδανικό υγρό. Το οριζόντιο τμήμα ΚΛ του σωλήνα έχει σταθερή διατομή , ενώ το οριζόντιο τμήμα ΜΝ του σωλήνα έχει σταθερή διατομή

. Οι δύο οριζόντιοι σωλήνες απέχουν μεταξύ τους κατακόρυφα κατά h και στο σημείο Ν υπάρχει στρόφιγγα.Όταν η στρόφιγγα είναι κλειστή η διαφορά πιέσεων μεταξύ των σημείων Α και Γ είναι ίση με .Όταν η στρόφιγγα είναι ανοικτή και το υγρό ρέει με στρωτή και μόνιμη ροή από το σημείο Α προς το σημείο Γ, η διαφορά πιέσεων μεταξύ των σημείων Α και Γ είναι ίση με . Για τις δύο διαφορές πιέσεων ισχύει:α) , β) , γ) .Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας.

ΛύσηΣωστή είναι η απάντηση γ.Όταν το υγρό βρίσκεται σε ισορροπία, θα έχουμε:

ή ή Όταν το υγρό ρέει από το Α προς το Γ, από την εξίσωση συνέχειας έχουμε:

ή κι αφού , βρίσκουμε .

Εφαρμόζουμε την εξίσωση του Bernoulli για μια φλέβα υγρού μεταξύ των σημείων Α και Γ:

ή

ή Από τις σχέσεις (1) και (2) έχουμε:

45


κι αφού προκύπτει:

ΕΡΩΤΗΣΗ 7Στο διπλανό σχήμα φαίνεται μια σήραγγα (τούνελ), φτιαγμένη από χαρτόνι. Ένα ρεύμα αέρα, περνά μέσα από τη σήραγγα, με κατεύθυνση παράλληλη στον άξονά της. Όταν η ταχύτητα του ρεύματος αυξηθεί, το πιθανότερο να συμβεί είναι η σήραγγαα) να λυγίσει προς τα κάτω.β) να ανασηκωθεί.γ) να μετατοπιστεί προς τα αριστερά της κατεύθυνσης του ρεύματος του αέρα.Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας.

ΛύσηΣωστή είναι η απάντηση α.πό την εξίσωση του Bernoulli μεταξύ ενός σημείου στο άπειρο κι ενός σημείου Α που βρίσκεται μέσα στη σήραγγα, έχουμε:

Στο άπειρο η ρευματική ταχύτητα είναι μηδέν () και η πίεση ίση με την ατμοσφαιρική ( ), οπότε

η παραπάνω σχέση μας δίνει:

Η πίεση που επικρατεί σε ένα σημείο Β που βρίσκεται ακριβώς πάνω από τη σήραγγα είναι ίση με την ατμοσφαιρική, δηλαδή:

Από τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουμε: Δηλαδή, η πίεση μέσα στη σήραγγα είναι μικρότερη από την πίεση πάνω από τη σήραγγα. Η διαφορά πιέσεων έχει σαν αποτέλεσμα να ασκείται μια δύναμη στη σήραγγα με φορά προς τα κάτω, η οποία είναι ανάλογη της διαφοράς πιέσεων και μεγαλώνει όσο μεγαλύτερη είναι η ταχύτητα του ρεύματος αέρα.


ΑΣΚΗΣΗ 1Ένα ανοικτό κυλινδρικό δοχείο περιέχει νερό. Στην πλευρική επιφάνεια του δοχείου και σε βάθος h=0,45m από

46


την ελεύθερη επιφάνεια, υπάρχει μια μικρή στρογγυλή τρύπα διαμέτρου δ=2cm από την οποία εκρέει το νερό. Η επιφάνεια της οπής θεωρείται πολύ μικρότερη από την ελεύθερη επιφάνεια του δοχείου. Α. Να βρείτε:1. την ταχύτητα εκροής.2. την παροχή της οπής.Β. Στην ελεύθερη επιφάνεια του δοχείου προσαρμόζεται ένα έμβολο με αποτέλεσμα το νερό να εκρέει από την τρύπα με ταχύτητα υ1=4m/s. Να βρείτε την πρόσθετη πίεση (υπερπίεση) που προκαλείται από το έμβολο στο νερό.Δίνονται ρν=1000kg/m3, g=10m/s2.

ΛύσηΑ1. Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bernoulli για μια φλέβα υγρού μεταξύ των σημείων Α και Β. Θεωρούμε ως επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας αυτό που διέρχεται από το σημείο Β.

Όταν το υγρό εκρέει από την τρύπα έχει ταχύτητα υΒ=υ και η πίεσή του γίνεται ίση με την ατμοσφαιρική, επομένως pA=pB=patm. Επειδή το εμβαδόν της ελεύθερης επιφάνειας είναι συγκριτικά πολύ μεγαλύτερο από αυτό της οπής, μπορούμε να υποθέσουμε ότι υΑ=0. Έτσι η παραπάνω σχέση γίνεται

A2. Η παροχή της φλέβας του υγρού είναι

Β. H πίεση στο σημείο Α είναι p και η ταχύτητα εκροής στο Β είναι υ1. Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bernoulli για τη φλέβα υγρού που διέρχεται από τα σημεία Α και Β.

47


ΑΣΚΗΣΗ 2Η στέγη ενός μικρού σπιτιού αποτελείται από δύο επίπεδα κομμάτια εμβαδού 5 επί 4 τετραγωνικών μέτρων το καθένα τα οποία σχηματίζουν μεταξύ τους μικρή γωνία. Όταν φυσάει οριζόντιος άνεμος, λόγω της στένωσης των ρευματικών γραμμών πάνω από τη στέγη, έχουμε αύξηση της ταχύτητας του ανέμου κατά 20% . Η μέγιστη επιτρεπόμενη κάθετη στη στέγη δύναμη που μπορεί να αναπτυχθεί σε κάθε τμήμα της στέγης, χωρίς αυτή να αποκολληθεί, είναι Fmax=18.300N. Επίσης, δεχόμαστε ότι πολύ μακριά από το σπίτι, λόγω της ταχύτητας του ανέμου η πίεση είναι λίγο μικρότερη

της ατμοσφαιρικής και ίση με .Α. Να βρείτε τη συνάρτηση που περιγράφει τη διαφορά πίεσης μεταξύ του κάτω και πάνω μέρους της στέγης σε συνάρτηση με την ταχύτητα του ανέμου.Β. Να γίνει γραφική παράσταση της συνάρτησης του ερωτήματος Α στην οποία να φαίνεται ένα ζεύγος τιμών. Γ. Να βρείτε τη μέγιστη οριζόντια ταχύτητα ανέμου για την οποία δεν έχουμε αναρπαγή της στέγης. Δίνoνται: ραέρα=1,3 kg/m3,

ΛύσηΑ. Θεωρούμε ένα σημείο πολύ μακριά από τη στέγη ( ) όπου και το σημείο 1 που είναι λίγο πάνω από τη στέγη και εφαρμόζουμε το θεώρημα Bernoulli.

Λόγω της στένωσης των ρευματικών γραμμών έχουμε 20% μεγαλύτερη ταχύτητα στο σημείο 1 επομένως υ1=1,2 . Η σχέση (1) γράφεται

Στο κάτω μέρος της στέγης δεν φυσά άνεμος, οπότε θεωρούμε ότι είναι Άρα, η δημιουργούμενη διαφορά πίεσης μεταξύ του κάτω και πάνω μέρους της στέγης είναι:

48


ή

Β. Η υπερπίεση σε

συνάρτηση με την ταχύτητα του ανέμου είναι συνάρτηση 2ου βαθμού και η γραφική παράσταση φαίνεται στο διπλανό σχήμα.

Γ. Στο εσωτερικό του σπιτιού (σημείο 2), η πίεση είναι ίση με την ατμοσφαιρική και η πίεση στο σημείο 1 είναι μικρότερη της ατμοσφαιρικής. Επομένως, η διαφορά πίεσης (p2-p1) έχει ως συνέπεια την εμφάνιση κάθετης δύναμης στην επιφάνεια της στέγης που έχει μέτρο Για να μην έχουμε αναρπαγή της στέγης θα πρέπει F< Fmax ή F < 18.300N.Από την σχέση (3) παίρνουμε:

Για αυτή τη διαφορά πίεσης, από τη σχέση (2) προκύπτει ότι η ταχύτητα του ανέμου είναι

ΑΣΚΗΣΗ 3Η δεξαμενή του σχήματος έχει σχήμα κυλίνδρου με εμβαδό βάσης Α=8m2 και είναι γεμάτη με νερό ενώ η πάνω βάση της είναι ανοικτή επικοινωνώντας με την ατμόσφαιρα. Στην κάτω βάση υπάρχει κατακόρυφος σωλήνας ο οποίος συνδέεται μέσω των οριζόντιων σωληνώσεων ΒΒ1 και ΓΓ1 με βρύσες. Οι οριζόντιες σωληνώσεις απέχουν h1=0,3m και h2=1,5m αντίστοιχα από την κάτω βάση της δεξαμενής και έχουν διάμετρο

. Α. Οι δύο βρύσες είναι κλειστές και η πίεση που επικρατεί στη βρύση Γ1 είναι pΓ=1,2·105Ν/m2. Να βρείτε:i. τη χωρητικότητα της δεξαμενήςii. Την πίεση που επικρατεί στη βρύση Β1.Β. Οι δύο βρύσες είναι ανοικτές. Να βρείτε:i. την ταχύτητα εκροής του νερού από τη βρύση Γ1.ii. τον όγκο του νερού που φεύγει από τη βρύση Β1 σε χρονικό διάστημα 1min.

49


Θεωρείστε ότι στη διάρκεια του 1 min η στάθμη του νερού στη δεξαμενή δεν έχει μεταβληθεί. Δίνονται: g=10m/s2, ρν=1000kg/m3 και pατμ=105N/m2.

ΛύσηΑi. Oι βρύσες είναι κλειστές και το νερό δεν ρέει στις σωληνώσεις. Η πίεση στο σημείο Γ1 είναι ίση με αυτή στο σημείο Γ.

Επομένως, η χωρητικότητα (όγκος) της δεξαμενής είναι

ii.

Βi. Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bernoulli για μια φλέβα νερού, μεταξύ του σημείου Α που βρίσκεται στην ελεύθερη επιφάνεια του υγρού του δοχείου και του σημείου Γ1:

pA=pΓ1=patm και υΑ=0, επομένως

ii. Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bernoulli για μια φλέβα νερού, μεταξύ του σημείου Α που βρίσκεται στην ελεύθερη επιφάνεια του υγρού

50


του δοχείου και του σημείου B1:

pA=pB1=patm και υΑ=0, επομένως

H παροχή του νερού στη βρύση Β1 είναι Επομένως, o όγκος του νερού που φεύγει από τη βρύση είναι

ΑΣΚΗΣΗ 4Το σύστημα των σωλήνων του σχήματος ονομάζεται βεντουρίμετρο και χρησιμοποιείται για τη μέτρηση της ταχύτητας ροής ενός ρευστού σε ένα σωλήνα. Στον οριζόντιο σωλήνα του σχήματος ρέει φυσικό αέριο, η επιφάνεια Α1 είναι διπλάσια της Α2 με Α1=12cm2. Στον υοειδή σωλήνα υπάρχει νερό και οι δύο στήλες έχουν διαφορά ύψους h=6,75 cm. Nα βρείτεΑ. Τη διαφορά πίεσης μεταξύ των σημείων 1 και 2 που βρίσκονται στις ελεύθερες επιφάνειες του νερού.Β. Την ταχύτητα του αερίου στο σημείο 1.Γ. Την παροχή του αερίου στον οριζόντιο σωλήνα.Δ. τον όγκο του αερίου που διέρχεται από μια διατομή του σωλήνα σε χρόνο 1min.Δίνονται: η επιτάχυνση βαρύτητας g=10m/s2, η πυκνότητα του αερίου ρa=0,5kg/m3, η πυκνότητα του νερού ρν=1000kg/m3.

ΛύσηΑ. Τα σημεία 1 και 3 βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο και το νερό είναι σε ισορροπία, άρα p1=p3. Όμως από την υδροστατική

51


B. Οι πιέσεις που επικρατούν στις ελεύθερες επιφάνειες του νερού είναι ίδιες με αυτές που επικρατούν στις επιφάνειες Α1, Α2 αντίστοιχα. Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bernoulli για μια οριζόντια φλέβα αερίου, μεταξύ των σημείων 1 και 2 του οριζόντιου σωλήνα:

Από την εξίσωση της συνέχειας για τα σημεία 1 και 2 παίρνουμε Α1υ1=Α2υ2 ή 2Α2υ1=Α2υ2 ή υ2=2υ1Αντικαθιστώντας στη σχέση (1) παίρνουμε

Γ. Η παροχή του αερίου στο σωλήνα είναι

Δ. H παροχή του αερίου στο σωλήνα Επομένως, o όγκος του αερίου που διέρχεται από το σωλήνα είναι

ΑΣΚΗΣΗ 5

Το δοχείο του σχήματος είναι ανοικτό, περιέχει νερό και ο καμπυλωτός σωλήνας (σίφωνας) είναι σταθερής διατομής. Για τις αποστάσεις του σχήματος ισχύουν h1=0,3m, h2=0,45m.Να βρείτε:Α. την ταχύτητα εκροής του νερού από το σημείο Γ.β. την πίεση στο σημείο Β.γ. το μέγιστο ύψος h1΄ για το οποίο έχουμε ροή νερού μέσα από το σίφωνα αν το άκρο Γ βρίσκεται σε ύψος h2=0,45m κάτω από την ελεύθερη επιφάνεια του νερού

52


του δοχείου.Δίνονται: patm=105N/m2, g=10m/s2 και ρν=1.000kg/m3.

ΛύσηΑ. Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bernoulli για μια φλέβα νερού που διέρχεται από τα σημεία Α (ελεύθερη επιφάνεια) και Γ (σημείο εξόδου). Θεωρούμε επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας αυτό που διέρχεται από την ελεύθερη επιφάνεια του νερού.

pA=pΓ=patm και υΑ=0 οπότε η παραπάνω σχέση γίνεται,

B. Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bernoulli για μια φλέβα νερού που διέρχεται από τα σημεία Α (ελεύθερη επιφάνεια) και B. pA=patm και υΑ=0. Επειδή η διάμετρος του σωλήνα είναι σταθερή, σύμφωνα με την εξίσωση της συνέχειας, η ταχύτητα των μαζών του νερού θα είναι ίδια σε κάθε σημείο του σωλήνα, άρα υΒ=υΓ, οπότε η παραπάνω σχέση γίνεται:

(1)Με αριθμητική αντικατάσταση στην (1) παίρνουμε:

Γ. Για την πίεση στο σημείο Β ισχύει pΒ >0 Από τη σχέση (1) με μαθηματική επεξεργασία και αριθμητική αντικατάσταση παίρνουμε:

. To μέγιστο ύψος είναι 9,55m.

ΑΣΚΗΣΗ 6Α. Η δεξαμενή του σχήματος περιέχει νερό και είναι ανοικτή στην ατμόσφαιρα. Το νερό διοχετεύεται

53


μέσω του οριζόντιου σωλήνα μεταβλητής διατομής με Α1=3Α2=120cm2 στο σημείο εξόδου Γ. Ο κατακόρυφος σωλήνας Β είναι τοποθετημένος σε σημείο του οριζόντιου σωλήνα με εμβαδόν Α1. Το ύψος της στήλης του νερού στη δεξαμενή είναι h=1,8m και θεωρούμε ότι κατά την εκροή του νερού από το Γ το ύψος h δεν μεταβάλλεται. Nα βρείτε:α. την ταχύτητα εκροής από το σημείο Γ.β. την πίεση p1 στο εσωτερικό του σωλήνα με διατομή Α1. γ. το ύψος h1 της στήλης του νερού στον κατακόρυφο σωλήνα Β.Δίνονται: patm=105Ν/m2, g=10m/s2 και ρν=1.000kg/m3.

Λύσηα. Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bernoulli για μια φλέβα νερού που διέρχεται από τα σημεία Α και Γ.

Επειδή pA=pΓ=patm και υΑ=0, η παραπάνω σχέση γίνεται

β. Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bernoulli για την φλέβα νερού από το Α μέχρι το σημείο 1 που η πίεση είναι p1.

Έχουμε: pA=Patm και υΑ=0.Επίσης, από το νόμο της συνέχειας μεταξύ των διατομών Α1 και Α2 παίρνουμε:Π1=Π2 ή Α1υ1=Α2υΓ ή υ1=2m/s.H σχέση (1) γίνεται

γ. Για την πίεση στο σημείο 1 από την υδροστατική έχουμε:

ΑΣΚΗΣΗ 7

54


Το δοχείο του σχήματος περιέχει νερό και είναι κολλημένο σταθερά στο αμαξίδιο. Η στάθμη του νερού φτάνει μέχρι ύψος h=0,5m και σε απόσταση h1=5cm από τη βάση του δοχείου υπάρχει οπή εμβαδού Α=40mm2 η οποία φράσσεται με πώμα. Τη χρονική στιγμή t=0 αφαιρούμε το πώμα και νερό εκρέει από την οπή. Να βρείτε τη χρονική στιγμή t=0:Α. την ταχύτητα εκροής.Β. τη μέση δύναμη που ασκεί μια στοιχειώδης εκρέουσα μάζα Δm του νερού στο δοχείο.Γ. την επιτάχυνση του συστήματος δοχείο –νερό – αμαξίδιο, αν η συνολική μάζα του είναι m=10kg.Δίνονται g=10m/s2, ρν=1000kg/m3.

ΛύσηΑ. Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bernoulli για μια φλέβα υγρού που διέρχεται από τα σημεία Α και Β. Θεωρούμε επίπεδο αναφοράς αυτό που διέρχεται από το σημείο Β.

Όταν το υγρό εκρέει από την οπή έχει ταχύτητα υΒ=υ και η πίεσή του γίνεται ίση με την ατμοσφαιρική, επομένως pA=pB=patm. Επειδή το εμβαδόν της ελεύθερης επιφάνειας είναι συγκριτικά πολύ μεγαλύτερο από αυτό της οπής, υΑ=0 και η παραπάνω σχέση γίνεται

Β. Η ορμή μιας στοιχειώδους μάζας Δm που εξέρχεται από την οπή μεταβάλλεται κατά .Εφαρμόζουμε το δεύτερο νόμο του Newton σε μια στοιχειώδη μάζα Δm του νερού.

Σύμφωνα με τον 3ο νόμο του Newton και η στοιχειώδης μάζα ασκεί δύναμη στο ρευστό του δοχείου ίδιου μέτρου και αντίθετης κατεύθυνσης, άρα .Γ. Η επιτάχυνση που αποκτά το σύστημα δοχείο με νερό-αμαξίδιο είναι

55


ΑΣΚΗΣΗ 8Ένα δοχείο περιέχει νερό, μέχρι ορισμένο ύψος. Από κάποια βρύση διατομής Α2 που βρίσκεται στον πυθμένα του δοχείου, στη θέση Β, χύνεται το νερό. Η επιφάνεια του δοχείου έχει εμβαδό διατομής Α1 με Α1 = 10Α2. Σε κάποια χρονική στιγμή η ταχύτητα εκροής του νερού είναι υ2 = 10 m/s, ενώ την ίδια στιγμή η ταχύτητα πτώσης της ελεύθερης επιφάνειας του νερού έχει μέτρο υ1. Να υπολογίσετε:α. την ταχύτητα με την οποία κατέρχεται η ελεύθερη επιφάνεια του υγρού.β. το ύψος h1 του νερού στο δοχείο κατά τη στιγμή αυτή.γ. όταν η επιφάνεια του νερού στο δοχείο κατέβει κατά Δh = 3,75m σε σχέση με την προηγούμενη στάθμη (h1), ανοίγουμε μία δεύτερη βρύση που βρίσκεται στο ίδιο ύψος με την πρώτη, θέση Γ και έχει την ίδια διατομή. Να βρεθεί η ταχύτητα με την οποία κατεβαίνει η ελεύθερη επιφάνεια στο δοχείο.Δίνεται g = 10m/s2.

Λύσηα. Από την εξίσωση της συνέχειας έχουμε:

β. Εφαρμόζουμε του νόμου του Bernoulli για τα σημεία Α (επιφάνεια του νερού) και το σημείο Β (σημείο εκροής του νερού) έχουμε:

αλλά p1 = p2 = pατ έτσι η (1) γίνεται:

γ. Όταν η στάθμη έχει κατέβει κατά Δh θα έχουμε: Από την εξίσωση συνέχειας έχουμε:

Εφαρμόζουμε του νόμου του Bernoulli για τα σημεία Α (επιφάνεια του νερού, pA = pατ) και το σημείο Β(pΒ = pατ, σημείο εκροής του νερού) έχουμε:

56


ΑΣΚΗΣΗ 9Οριζόντιος σωλήνας κυκλικής διατομής Α1 έχει διάμετρο δ1 = δ. Σε κάποιο σημείο ο σωλήνας χωρίζεται σε δύο άλλους οριζόντιους σωλήνες

κυκλικών διατομών Α2, Α3 με διαμέτρους και αντίστοιχα. Το υγρό στο σωλήνα με κυκλική

διατομή Α2 εξέρχεται στην ατμόσφαιρα. Στο σωλήνα με κυκλική διατομή Α1 το υγρό κινείται με ταχύτητα μέτρου υ1 = 5m/s, ενώ στο σωλήνα με κυκλική διατομή Α2 το υγρό κινείται με ταχύτητα μέτρου υ2 = 25m/s. Να υπολογιστεί: α. η πίεση στο σημείο Α.β. το μέτρο της ταχύτητας .γ. η πίεση στη θέση Γ. Το υγρό εξέρχεται στην ατμόσφαιρα ή ακόμη βρίσκεται μέσα σε σωλήνα;

Δίνεται ο τύπος για το εμβαδόν κυκλικής διατομής , η ατμοσφαιρική πίεση pατ = 105N/m2 και η πυκνότητα του υγρού ρ = 103kg/m3. Θεωρούμε το υγρό ιδανικό, την ροή στρωτή και τις τριβές αμελητέες.

Λύσηα. Εφαρμόζουμε την εξίσωση του Bernoulli για την ρευματική γραμμή ΑΒ με pB = pατ και έχουμε:

β. Το υγρό που κινείται στο σύστημα των σωλήνων είναι ασυμπίεστο επομένως η παροχή σε αυτούς είναι σταθερή. Αν Π1, Π2 και Π3 οι παροχές στους αντίστοιχους σωλήνες, τότε ισχύει:

57


γ. Εφαρμόζουμε την εξίσωση του Bernoulli για την ρευματική γραμμή ΑΓ και έχουμε:

Επειδή στο σημείο Γ, pΓ > pατμ το υγρό δεν έχει συναντήσει ακόμα την ατμόσφαιρα.

ΠροβλήματαΘέμα Δ

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1Το δοχείο του σχήματος περιέχει δύο υγρά που δεν αναμιγνύονται. Το υγρό που είναι σε επαφή με τον πυθμένα του δοχείου είναι νερό πυκνότητας ρ1=1000kg/m3 και πάνω σε αυτό υπάρχει λάδι πυκνότητας ρ2=800kg/m3. Τα ύψη των υγρών είναι h1=1,4m και h2=0,5m αντίστοιχα. Το δοχείο είναι ανοικτό στην ατμόσφαιρα και στον πυθμένα του υπάρχει μία κλειστή κυκλική οπή μικρού εμβαδού συγκριτικά με το εμβαδόν βάσης του δοχείου. Ανοίγουμε την οπή. Να βρείτε:Α. την πίεση στη διαχωριστική επιφάνεια λαδιού-νερού.Β. την ταχύτητα εκροής από το σημείο Γ της οπής.Γ. την παροχή της οπής αν η διάμετρός της είναι δ=2cm.Δ. τη διάμετρο της υδάτινης στήλης σε απόσταση h3=1,4m κάτω από το σημείο εκροής Γ.Δίνονται: g=10m/s2 και patm=105N/m2.

ΛύσηΑ. Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bernoulli για μια φλέβα λαδιού μεταξύ των σημείων A και B. Θεωρούμε επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας αυτό που διέρχεται από το σημείο Β.

Επειδή η οπή εκροής έχει μικρό εμβαδόν σε σχέση με την ελεύθερη επιφάνεια του λαδιού στο δοχείο, η ταχύτητα του λαδιού στα σημεία Α και Β είναι μηδενική. Επίσης pA=patm. H σχέση (1) γίνεται

58


Β. Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bernoulli για μια φλέβα νερού, μεταξύ των σημείων B και Γ. Θεωρούμε επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας αυτό που διέρχεται από το σημείο Γ.

Επειδή υΒ=0 και pΓ=patm έχουμε

Γ. Η παροχή του νερού από την τρύπα είναι

Δ. To νερό εξέρχεται κατακόρυφα από την τρύπα και λόγω της βαρύτητας η ταχύτητα των μαζών αυξάνεται. Η παροχή διατηρείται σταθερή. Σύμφωνα με την εξίσωση της συνέχειας, η αύξηση της ταχύτητας ροής προκαλεί μείωση της διατομής της υδάτινης στήλης.Εφαρμόζουμε την διατήρηση της μηχανικής ενέργειας για μια στοιχειώδη μάζα μεταξύ των σημείων Γ και Δ.

59


Από την εξίσωση της συνέχειας μεταξύ των σημείων Γ και Δ η παίρνουμε:

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 2Το δοχείο του σχήματος είναι ανοικτό και περιέχει ιδανικό υγρό. Σε αποστάσεις y1=0,2m και y2=0,8m από την ελεύθερη επιφάνεια του υγρού και στην ίδια κατακόρυφο ανοίγουμε δύο μικρές οπές εμβαδού Α=0,1cm2 η κάθε μια. Το υγρό αρχίζει να χύνεται ταυτόχρονα και από τις δύο οπές. Α. Να βρείτε:1. τις ταχύτητες εκροής από τις δύο οπές.2. τη θέση του σημείου συνάντησης των δύο φλεβών νερού θεωρώντας ότι το δοχείο είναι αρκετά ψηλά σε σχέση με το έδαφος.Β. Πάνω από το δοχείο βρίσκεται μια βρύση από την οποία χύνεται το ίδιο υγρό με τέτοια ροή ώστε, παρόλο που το υγρό εκρέει από τις οπές, η στάθμη του στο δοχείο να παραμένει σταθερή. Να βρείτε την παροχή του υγρού από τη βρύση.Δίνεται g=10m/s2.

ΛύσηΑ1. Εφαρμόζοντας το θεώρημα Bernoulli για μια φλέβα υγρού στα σημεία Α και Β βρίσκουμε:

(Θεώρημα Torricelli).Ομοίως, για τα σημεία Α και Γ βρίσκουμε

Α2. Θεωρούμε ορθογώνιο σύστημα αξόνων με αρχή το σημείο Γ (κάτω οπή) και τα θετικά στον κατακόρυφο άξονα προς τα κάτω. Οι φλέβες νερού συναντιούνται στο σημείο Δ το οποίο βρίσκεται σε οριζόντια απόσταση x και κατακόρυφη απόσταση y από το σημείο Γ. H κίνηση κάθε φλέβας είναι οριζόντια βολή

60


(ευθύγραμμη ομαλή στον άξονα x και ελεύθερη πτώση στον άξονα y). Έστω τη χρονική στιγμή t=0 το υγρό εκρέει ταυτόχρονα και από τις δύο οπές. Oι φλέβες θα συναντηθούν στο Δ , όταν θα έχουν την ίδια οριζόντια μετατόπιση, x.

Δηλαδή το νερό της οπής 1 θέλει διπλάσιο χρόνο για να φθάσει στο Δ από ότι το νερό της οπής 2.Για τις κατακόρυφες μετατοπίσεις έχουμε:

Για την φλέβα 1 :

Για την φλέβα 2 : Συνδυάζοντας τις (1),(2),(3) παίρνουμε

Άρα, ,

B. Για να παραμένει η στάθμη του υγρού στο δοχείο σταθερή, θα πρέπει η παροχή του υγρού από τη βρύση να είναι ίση με αυτήν λόγω της εκροής από τις οπές του δοχείου.

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 3Στο σωλήνα του σχήματος (ροόμετρο Ventouri) κινείται νερό. Οι διατομές του σωλήνα στα σημεία Α, Β είναι Α1, Α2 με Α1 = 4Α2 και η διαφορά στάθμης στους δύο κατακόρυφους ανοικτούς σωλήνες στα αντίστοιχα σημεία είναι h = 12 cm, (βλέπε σχήμα). Να υπολογιστεί

α. η διαφορά πίεσης μεταξύ των σημείων που βρίσκονται στις βάσεις των δύο κατακόρυφων στηλών Α και Β.

61


β. το μέτρο της ταχύτητας του υγρού στο σωλήνα διατομής Α1.γ. ο όγκος του νερού που περνά από τον σωλήνα σε t = 2 h αν για την διατομή ισχύει Α1=200cm2. Δίνεται g = 10m/s2 και ρ = 103kg/m3.

Λύσηα. Από την υδροστατική, στις βάσεις των δύο κατακόρυφων στηλών Α και Β , για τις πιέσεις pA και pB αντίστοιχα ισχύει:

και

Οπότε

β. Έστω υ1 και υ2 τα μέτρα των ταχυτήτων στα σημεία Α και Β του σωλήνα και pΑ και pΒ οι αντίστοιχες πιέσεις. Με εφαρμογή του νόμου του Bernoulli για τη ρευματική γραμμή που διέρχεται από τα σημεία Α και Β έχουμε:

Από το νόμο της συνέχειας έχουμε:

Άρα από (1) και (2) έχουμε:

γ. Η παροχή δίνεται από τη σχέση:

62


ΠΡΟΒΛΗΜΑ 4Εντός κλειστού δοχείου μεγάλης διατομής υπάρχει νερό πυκνότητας ρ = 1000 kg/m3 μέχρι ύψους h = 5m. Πάνω από την ελεύθερη επιφάνεια του νερού υπάρχει αέρας με πίεση p = 3·105N/m2. Στο κάτω άκρο του δοχείου υπάρχει μικρή οπή κατάλληλα διαμορφωμένη ώστε το νερό να εκτοξεύεται κατακόρυφα, όπως στο σχήμα. Να υπολογιστεί:α. το ύψος της φλέβας του νερού που εκτοξεύεται από τη μικρή οπή. β. το μέτρο της ταχύτητας της φλέβας στο ισοϋψές σημείο με την επιφάνεια του νερού μέσα στο δοχείο.γ. η μεταβολή της πίεσης που πρέπει να υποστεί στο αέριο ώστε να διπλασιάσουμε το μέγιστο ύψος του πίδακα. δ. το ελάχιστο ύψος μιας όμοιας ανοιχτής δεξαμενής, ώστε η φλέβα να φτάσει στο ίδιο μέγιστο ύψος με αυτό της ερώτησης α, αν αντί για αέριο υπό πίεση είχαμε ανοικτή την πάνω επιφάνεια και συμπληρώναμε με λάδι πυκνότητας ρλ = 800 kg/m3

Δίνεται g = 10m/s2 και η ατμοσφαιρική πίεση pατ = 105N/m2. Το νερό θεωρείται ιδανικό ρευστό και η ροή είναι μόνιμη και στρωτή.

Λύσηα. Επειδή η διατομή του δοχείου είναι πολύ μεγάλη σε σχέση με τη διατομή της οπής, το ύψος της στάθμης του υγρού θεωρείται σταθερό. Θεωρούμε επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας το οριζόντιο επίπεδο που διέρχεται από τη βάση της δεξαμενής.Με εφαρμογή του νόμου του Bernoulli για τη ρευματική φλέβα που διέρχεται από τα σημεία Α και Β έχουμε:

Αλλά υΑ = 0, (θεωρούμε ότι η επιφάνεια μέσα στο δοχείο είναι αρκετά μεγάλη ώστε να κατεβαίνει πολύ αργά), pA = p και υΒ = 0 (βρισκόμαστε στο μέγιστο ύψος).

Έτσι η σχέση (1) γίνεται:

63


.

β. Εφαρμόζουμε την εξίσωση του Bernoulli για τη ρευματική φλέβα που διέρχεται από τα σημεία Α και Γ.

γ. Το νέο μέγιστο ύψος θα είναι: Η1 = 2Η = 50m.Έστω Δ το σημείο στο μέγιστο ύψος. Εφαρμόζω την εξίσωση του Bernoulli για τα σημεία Α και Δ.

Έτσι η μεταβολή της πσης είναι: .

δ. Για να πετύχουμε το ίδιο μέγιστο ύψος στην φλέβα θα πρέπει στο σημείο της νοητής επιφάνειας μεταξύ των δύο υγρών να έχουμε την ίδια πίεση με πριν (pA = 3∙105N/m2). Η υδροστατική πίεση που θα έχει το λάδι ύψους h1 δίνεται από την σχέση: Άρα για την πίεση στο σημείο Α θα ισχύει:

64


Έτσι η δεξαμενή θα πρέπει να έχει τουλάχιστον ύψος:

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 5Δεξαμενή μεγάλης διατομής με κατακόρυφα τοιχώματα είναι τοποθετημένη στο έδαφος και περιέχει νερό μέχρι ύψους Η = 2m. α. Να υπολογιστεί σε ποια απόσταση h από τον πυθμένα της δεξαμενής πρέπει να ανοίξουμε μικρή οπή, ώστε η φλέβα του νερού να συναντήσει το έδαφος σε οριζόντια απόσταση S = 1,2m από το τοίχωμα της δεξαμενής.β. Να δειχθεί ότι η μέγιστη απόσταση S είναι ίση με το ύψος Η του νερού στη δεξαμενή.γ. Να βρεθεί για ποια τιμή του h η απόσταση S γίνεται μέγιστη.

Λύση

α. Η ταχύτητα του νερού που εκτοξεύεται από την οπή που έχει ανοιχθεί σε απόσταση h από τη βάση της δεξαμενής σύμφωνα με το θεώρημα του Torricelli είναι: Η κίνηση κάθε μορίου της φλέβας του νερού είναι σύνθετη: Οριζόντιος άξονας:Ευθύγραμμη ομαλή με ταχύτητα υ, οπότε είναι S = υt (2) Κατακόρυφος άξονας:Ελεύθερη πτώση οπότε είναι:

Από (2) και (3) έχουμε:

Με αντικατάσταση των Η και S στην (4) παίρνουμε:

65


Η σχέση (5) είναι εξίσωση β′ βαθμού με Δ = 2,56 και έχει λύσεις h1 = 1,8m και h2 = 0,2m. Άρα υπάρχουν δύο θέσεις της οπής, που είναι συμμετρικές ως προς το μέσο της δεξαμενής, για τις οποίες έχουμε το ίδιο S.

β. Από την εξίσωση (4) προκύπτει ότι για να έχει λύση πρέπει:

άρα Smax = Η = 2m.

γ. Με αντικατάσταση στην σχέση (4) της μέγιστης τιμής του S παίρνουμε:

Άρα, η οπή πρέπει να ανοιχθεί στο μέσο του ύψους της δεξαμενής h = 1 m και η οριζόντια απόσταση που συναντά το έδαφος η φλέβα του νερού είναι S = Η = 2 m.

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 6

το σχήμα φαίνεται η αρχή λειτουργίας ενός ψεκαστήρα που στο δοχείο του υπάρχει υγρό ψεκασμού πυκνότητας ρυγ = 103 N/m3. Για να λειτουργεί ο ψεκαστήρας πρέπει το υγρό ψεκασμού να ανέρχεται από το δοχείο στον κατακόρυφο σωλήνα ως το χείλος αυτού, σημείο Β.Α. Να βρείτε με ποια ταχύτητα πρέπει να εξέρχεται ο αέρας από το ακροφύσιο του ψεκαστήρα αν το τμήμα του σωλήνα που βρίσκεται έξω από το υγρό έχει ύψος h1 = 10cm.Β. Όταν ο αέρας εξέρχεται από το ακροφύσιο με ταχύτητα μέτρου υ2 = 42m/s, πόσο μπορεί να είναι το μέγιστο ύψος h2 του σωλήνα που βρίσκεται έξω από το υγρό; Γ. Το συνολικό μήκος του σωλήνα είναι Η = 16,025cm, και τον σταθεροποιούμε σε θέση που να σχηματίζεται στήλη υγρού ύψους h3= 11,025cm όταν ψεκάζουμε με την κατάλληλη ταχύτητα. Ψεκάζουμε με σταθερό ρυθμό 40ψεκ./min. Μετά από πόσο χρόνο θα σταματήσει να λειτουργεί ο ψεκαστήρας; Δίνεται ότι ο μέσος όγκος των δημιουργούμενων σταγονιδίων είναι 60nL (nano L) και κάθε ψεκασμός "παρασύρει" 2000 σταγονίδια.

Δίνονται πυκνότητα αέρα ρα = 1,25 kg/m3, εμβαδόν της βάσης του δοχείου Α = 24cm2 και g = 10m/s2.

66


Λύσηα. Έστω η ταχύτητα που εξέρχεται ο αέρας από το ακροφύσιο του ψεκαστήρα, θέση (1). Αν p1 η πίεση που επικρατεί στη θέση (1), τότε η πίεση του αέρα στη θέση (2), που θεωρούμε ότι βρίσκεται μακριά από τη διάταξη, είναι ίση με την ατμοσφαιρική πίεση pατ, και η ταχύτητα του αέρα και των σταγονιδίων είναι υ2 = 0. Με εφαρμογή της εξίσωσης του Bernoulli για τις θέσεις (1) και (2) έχουμε:

αλλά p2 = pατ και υ2 = 0 οπότε η (1) γίνεται:

Στην επιφάνεια του υγρού του δοχείου ψεκασμού επικρατεί η ατμοσφαιρική πίεση. Επομένως στο σωλήνα που ανέρχεται το υγρό ψεκασμού η πίεση στη βάση του είναι: . Η (2) λόγω (3) δίνει:

β. Εφαρμόζουμε ανάλογη διαδικασία και λύνουμε ως προς το ύψος. Αφού φυσάμε με μεγαλύτερη ταχύτητα το μέγιστο ύψος h2 του σωλήνα που βρίσκεται έξω από το υγρό μπορεί να είναι μεγαλύτερο

67


από πριν, όπως στο σχήμα. Θα προκύψει:

γ. Ο όγκος του νερού που θα πρέπει να βγει από το δοχείο ώστε αυτό να μην λειτουργεί είναι:

Ο όγκος υγρού που αφαιρείται με κάθε ψεκασμό είναι:V1 = σταγόνες · όγκος σταγόνας = 200·60·10-9L ⇒ Συνεπώς οι ψεκασμοί είναι:

ψεκασμοί

Άρα σε κάθε 1min έχουμε 40 ψεκασμούς x 1000

Τελικά x = 25 min.

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 7Ανοικτή δεξαμενή νερού έχει στον πυθμένα βρύσες πανομοιότυπες που η κάθε μία έχει εμβαδό διατομής Α = 2cm2. Η δεξαμενή τροφοδοτείται από σωλήνα από τον οποίο τρέχει νερό στην ελεύθερη επιφάνεια της με σταθερή παροχή Π = 0,8L/s.α. Να υπολογίσετε σε ποιο ύψος η στάθμη του νερού παραμένει σταθερή στη δεξαμενή όταν έχουμε ανοιχτή μία βρύση.β. Να βρείτε την κινητική ενέργεια ανά μονάδα όγκου του νερού στην έξοδο.γ. Αν θέλουμε να ποτίσουμε τον κήπο μας με το παραπάνω σύστημα, πόσες βρύσες μπορούμε να ανοίξουμε ταυτόχρονα, δεδομένου ότι ικανοποιητική παροχή έχουμε όταν η στάθμη στη δεξαμενή δεν πέφτει κάτω από h2 = 0,2m.

68


Δίνεται g = 10m/s2 και η πυκνότητα του νερού ρ = 103kg/m3.Θεωρήστε τη ροή στρωτή, το νερό ιδανικό ρευστό και την ταχύτητα με την οποία πέφτει το νερό από τον σωλήνα στη δεξαμενή είναι περίπου μηδέν.

Λύσηα. Μετατρέπουμε τα μεγέθη σε μονάδες του S.I.Π = 0,8L/s = 8·10–1·10–3m3/s = 8·10–4m3/s και Α = 2cm2 = 2·10–4m2. Έστω h1 το ύψος του νερού όταν έχουμε ισορροπία στις παροχές, δηλαδή το ύψος h1 είναι αυτό που πρέπει να έχει το νερό στη δεξαμενή ώστε η παροχή νερού από το σωλήνα να είναι ίση με την παροχή εκροής του νερού από τη βρύση.Συνεπώς θα ισχύει: Εφαρμόζουμε το νόμο του Bernoulli για τα σημεία Α (επιφάνεια του νερού) και το σημείο Β (σημείο εκροής του νερού) έχουμε:

αλλά p1 = p2 = pατμ έτσι η (2) γίνεται:

Από τις (1) και (3) προκύπτει:

β. Από την σχέση (3) προκύπτει ότι

Η κινητική ενέργεια ανά μονάδα όγκου είναι:

γ. Από την σχέση (3) μπορούμε να υπολογίσουμε την ταχύτητα εκροής για το ελάχιστο ύψος στο δοχείο.

69


Αφού η στάθμη σταθεροποιηθεί στο ύψος h2 θα ισχύει:

βρύσες.

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 8Η δεξαμενή του σχήματος περιέχει νερό και φέρει ένα έμβολο ώστε να καλύπτει ολόκληρη την επιφάνεια του νερού. Το νερό διοχετεύεται μέσω του οριζόντιου σωλήνα μεταβλητής διατομής με Α1=3Α2=12cm2 στο σημείο εξόδου Γ από όπου εκρέει πέφτοντας στο δοχείο εμβαδού βάσης Α=0,288m2. Ο κατακόρυφος σωλήνας Β είναι τοποθετημένος σε σημείο του οριζόντιου σωλήνα με εμβαδόν Α1. Το ύψος της στήλης του νερού στη δεξαμενή είναι h=1,8m και θεωρούμε ότι κατά την εκροή του νερού από το Γ το ύψος h δεν μεταβάλλεται. Τη χρονική στιγμή t=0 πιέζουμε προς τα κάτω το έμβολο με αποτέλεσμα το νερό να εκρέει από το σημείο Γ με ταχύτητα 9m/s. Να βρείτε:α. την πίεση pεμβ μεταξύ εμβόλου και της επιφάνειας του νερού στη δεξαμενή.β. το ύψος h1 της στήλης του νερού στον κατακόρυφο σωλήνα Β.γ. την αύξηση του ύψους y του νερού στο δοχείο μετά από χρόνο 1 min. Δίνονται: patm=105Ν/m2, g=10m/s2 και ρν=1.000kg/m3.

Λύσηα. Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bernoulli για μια φλέβα νερού που διέρχεται από τα σημεία Α και Γ.

Επειδή pΓ=patm και υΑ=0, η παραπάνω σχέση γίνεται

70


β. Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bernoulli για την φλέβα νερού από το Α μέχρι το σημείο 1 που η πίεση είναι p1.

Από το νόμο της συνέχειας παίρνουμε Π1=Π2 ή Α1υ1=Α2υΓ ή υ1=3m/s.H σχέση (1) γίνεται

H πίεση στο σημείο 1 είναι

γ. H παροχή του νερού στο σωλήνα Επομένως, o όγκος του νερού που φεύγει από το σωλήνα είναι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΡΕΥΣΤΑ ΣΕ ΚΙΝΗΣΗΕΝΟΤΗΤΑ 4: Η ΤΡΙΒΗ ΣΤΑ ΡΕΥΣΤΑ

Οι μαθητές πρέπει να είναι ικανοί:o να εξηγούν που οφείλεται η τριβή στα ρευστά.

71


o να διατυπώνουν τον ορισμό του συντελεστού ιξώδους. o να διατυπώνουν και να εφαρμόζουν τη σχέση που περιγράφει

τη συνισταμένη των εσωτερικών τριβών που αναπτύσσονται σε ρευστό όταν η ροή είναι στρωτή.

Ιξώδες ενός ρευστού

Στις προηγούμενες παραγράφους θεωρήσαμε τα ρευστά ιδανικά, δηλαδή ότι δεν αναπτύσσονται δυνάμεις μεταξύ των γειτονικών μορίων τους ή μεταξύ αυτών και των τοιχωμάτων του σωλήνα ροής.

Στα πραγματικά ρευστά, όταν ένα τμήμα του ρευστού κινείται ως προς ένα άλλο τμήμα του, εμφανίζονται δυνάμεις που αντιτίθενται στην κίνησή του. Οι δυνάμεις αυτές της εσωτερικής τριβής ονομάζονται ιξώδες του ρευστού.Στο πείραμα του σχήματος, η πλάκα Π2 είναι ακλόνητη ενώ η Π1 μπορεί να κινείται μέσω μιας εξωτερικής δύναμης F. Μεταξύ των δύο πλακών τοποθετούμε ένα παχύρευστο υγρό, όπως π.χ. μέλι, πάχους . Όταν η πλάκα κινείται με σταθερή ταχύτητα, τότε η εξωτερική δύναμη F αντισταθμίζει τις τριβές (ιξώδες) που αναπτύσσονται μεταξύ των στρωμάτων του υγρού που κινούνται το ένα σε σχέση με το άλλο.Παρατηρούμε ότι το ανώτερο στρώμα του υγρού είναι προσκολλημένο στην Π1 και κινείται με ταχύτητα υ, ενώ το χαμηλότερο στρώμα είναι προσκολλημένο στην Π2 και παραμένει ακίνητο. Όλα τα ενδιάμεσα στρώματα κινούνται με ταχύτητες που αυξάνουν από 0 μέχρι υ.

Η εξωτερική δύναμη F που θα ασκήσουμε για να εξισορροπήσουμε τις εσωτερικές τριβές εξαρτάται απόo τη φύση του υγρού. Αν αντικαταστήσουμε το υγρό με άλλο

που είναι λιγότερο παχύρευστο, όπως το λάδι, για να διατηρήσουμε την ταχύτητα της πάνω πλάκας σταθερή πρέπει να εφαρμόσουμε δύναμη μικρότερου μέτρου.

o από το πάχος του ρευστού. Αν αυξήσουμε το πάχος, για να διατηρήσουμε την ταχύτητα της πάνω πλάκας σταθερή πρέπει να εφαρμόσουμε δύναμη μικρότερου μέτρου.

o από την επιφάνεια, Α, των πλακών. Για πλάκες μεγαλύτερης επιφάνειας, η εφαρμοζόμενη δύναμη είναι μεγαλύτερη.

o από την ταχύτητα μετακίνησης, υ*, της πάνω πλάκας. Για να την μετακινήσουμε με μεγαλύτερη ταχύτητα, πρέπει να εφαρμόσουμε δύναμη μεγαλύτερου μέτρου.

72


Τα παραπάνω συνοψίζονται από τη σχέση , (1)Το υ στη σχέση (1) δηλώνει τη διαφορά ταχυτήτων μεταξύ της κάτω και πάνω επιφάνειας.Όπου το n χαρακτηρίζει το ρευστό και ονομάζεται συντελεστής ιξώδους. Μονάδα μέτρησης του συντελεστή ιξώδους στο S.I. είναι το Ns/m2. Στην πράξη ο συντελεστής ιξώδους μετριέται σε poise (p). 1p =

0,1Pas = 0,1 .

Εφαρμογές της τριβής των ρευστών

Οι δυνάμεις εσωτερικής τριβής που εμφανίζονται στα ρευστά έχουν σημαντικές εφαρμογές, όπως για παράδειγμα στη λίπανση των τμημάτων μιας μηχανής που θα ήταν αδύνατη αν το λιπαντικό κατά τη ροή του δεν παρουσίαζε τέτοιες δυνάμεις. Η τιμή για το συντελεστή ιξώδους του νερού στους 20οC είναι nν = 10-3 Νs/m2, ενώ για το μηχανέλαιο nμηχ = 250·10-3 Νs/m2. Αυτό σημαίνει ότι το νερό είναι ακατάλληλο για τη λίπανση των τμημάτων μιας μηχανής καθώς δεν προσκολλάται στα μέταλλα, ενώ το μηχανέλαιο που έχει 250 φορές μεγαλύτερο συντελεστή ιξώδους προσκολλάται εύκολα στα κινητά μέρη της μηχανής.Σε ένα πραγματικό ρευστό που ρέει σε σωλήνα, η κατανομή των ταχυτήτων κατά μήκος μιας διαμέτρου του σωλήνα είναι όπως στο σχήμα. Τα μόρια του ρευστού που είναι σε επαφή με τα τοιχώματα, δεν κινούνται λόγω των δυνάμεων συνάφειας ενώ, τα μόρια που βρίσκονται πιο κοντά στον άξονα του σωλήνα έχουν μεγαλύτερες ταχύτητες. Έτσι για να εφαρμόσουμε τον τύπο της παροχής σε ένα πραγματικό ρευστό πρέπει να αντικαταστήσουμε την μέση ταχύτητα. .

Νευτώνεια ρευστά – η ιδιαιτερότητα του αίματος.

H σχέση δεν ισχύει για όλα τα ρευστά. Τα ρευστά που υπακούουν στη σχέση αυτή ονομάζονται Νευτώνεια ρευστά. Είναι αυτά στα οποία η εσωτερική τριβή είναι ανάλογη της ταχύτητας ροής τους.

Το αίμα δεν ανήκει στα Νευτώνεια ρευστά και παρουσιάζει την εξής ιδιαιτερότητα. Είναι ένα ρευστό που περιέχει πολλά στερεά σωματίδια τα οποία αιωρούνται μέσα σε υγρό. Όταν η ταχύτητα ροής του αίματος αυξάνεται, για να μην αυξηθούν υπέρμετρα οι εσωτερικές τριβές, τα σωματίδια παραμορφώνονται και

73


προσανατολίζονται έτσι ώστε να διευκολύνεται η ροή.

Μια τυπική τιμή για το συντελεστή ιξώδους του αίματος στους 37οC είναι nαιμ = 2,7·10-3 Νs/m2.

Ερωτήσεις θεωρίας

Θέμα Β

ΕΡΩΤΗΣΗ 1 Στη διπλανή διάταξη, η πλάκα Π2 είναι ακλόνητη, ενώ η Π1 μπορεί να κινείται μέσω μιας ασκούμενης σε αυτήν εξωτερικής οριζόντιας δύναμης F η οποία οφείλεται στο βάρος w του σώματος Σ. Μεταξύ των πλακών υπάρχει ένα παχύρευστο υγρό. Παρατηρούμε ότι μετά από λίγο, η Π1 κινείται προς τα δεξιά με σταθερή ταχύτητα υ. Α. Η ενέργεια που προσφέρεται από την δύναμη F αφαιρεί μηχανική ενέργεια από την πλάκα Π1 με συνέπεια την αύξηση της θερμοκρασίας του ρευστού.Β. Η μείωση της δυναμικής ενέργειας του σώματος Σ έχει ως συνέπεια τη μείωση της μηχανικής ενέργειας της πλάκας Π1.Γ. Η ενέργεια που προσφέρεται από την δύναμη F αναπληρώνει την ενέργεια που χάνεται λόγω του ιξώδους του ρευστού.Να διαλέξεις τη σωστή απάντηση και να τη δικαιολογήσεις.

Λύση Σωστή είναι η απάντηση Γ.Όταν το σώμα Σ κατέρχεται με σταθερή ταχύτητα, η μείωση της δυναμικής του ενέργειας μεταφέρεται μέσω της εξωτερικής δύναμης F στην πλάκα και μέσω του έργου της τριβής (ιξώδες του υγρού) μετατρέπεται όλη σε θερμότητα. Η μηχανική ενέργεια της πλάκας Π1 όμως διατηρείται σταθερή, αφού η πλάκα μετακινείται με σταθερή ταχύτητα. Έτσι, η μείωση της δυναμικής ενέργειας του σώματος Σ, μέσω του έργου της δύναμης F αναπληρώνει την ενέργεια που χάνεται σε θερμότητα λόγω των τριβών μεταξύ πλάκας και ρευστού.

ΕΡΩΤΗΣΗ 2Οι κατακόρυφοι σωλήνες του σχήματος είναι ίδιοι και ανοικτοί στο πάνω τμήμα τους. Στον οριζόντιο σωλήνα ρέει με φορά προς τα δεξιά ένα πραγματικό υγρό με σταθερή ταχύτητα. Τα ύψη στους

74


κατακόρυφους σωλήνες είναι σωστά σχεδιασμένα στο σχήμαΝα επιλέξεις τη σωστή απάντηση και να τη δικαιολογήσεις.

Λύση Σωστό είναι το διάγραμμα (ii).Σε ένα πραγματικό ρευστό αναπτύσσονται δυνάμεις τριβής. Για να διατηρηθεί κατά μήκος του οριζόντιου σωλήνα σταθερή η ταχύτητά τους, πρέπει να ασκηθούν στις στοιχειώδεις μάζες τους δυνάμεις (από το περιβάλλον ρευστό) που το έργο τους θα αναπληρώνει την απώλεια της μηχανικής ενέργειας. Το έργο της συνισταμένης των δυνάμεων που ασκούνται στο τμήμα του ρευστού που περιβάλλεται μεταξύ δύο διατομών είναι θετικό, W=(pαρχ-pτελ) ΔV.Επειδή W>0 είναι και pαρχ-pτελ>0 , δηλαδή στην κατεύθυνση ροής του υγρού η πίεση μειώνεται. Στη βάση των σωλήνων η πίεση είναι ίση με p=pατμ+ρgh.Άρα, στην κατεύθυνση ροής τα h μειώνονται. Αυτό συμβαίνει μόνο στο σχήμα (ii).


1. Ιξώδες ενός ρευστού ονομάζουμε:α. τις δυνάμεις που αντιτίθενται στην κίνησή του όταν αυτό είναι ιδανικό.β. τις δυνάμεις που αντιτίθενται στην κίνησή του όταν αυτό είναι πραγματικό.γ. τις εξωτερικές δυνάμεις που αναγκάζουν το πραγματικό ρευστό να κινηθεί.δ. το φυσικό μέγεθος που καθορίζει τη φύση του.

2. Ο συντελεστής ιξώδους ενός ρευστού:α. εξαρτάται από τη φύση του ρευστού.β. αυξάνεται όταν η ταχύτητα του ρευστού αυξάνεται.γ. δεν έχει διαστάσεις.δ. αναφέρεται μόνο στα Νευτώνεια ρευστά.

3. Τοποθετούμε ένα ρευστό με συντελεστή ιξώδους η ανάμεσα σε δύο οριζόντιες πλάκες εμβαδού Α οι οποίες απέχουν l μεταξύ τους, όπως στο σχήμα. Κατά την μετακίνηση της πάνω πλάκας με σταθερή ταχύτητα υ σε σχέση με την κάτω πλάκα, εμφανίζεται δύναμη τριβής Τ η οποία δίνεται από τη σχέση:

α. , β. , γ. , δ.

4. Νευτώνεια ρευστά ονομάζουμε αυτά που:α. υπακούν στο νόμο του Νεύτωνα.

75


β. υπάρχει γραμμική αναλογία μεταξύ της εσωτερικής τριβής και της ταχύτητας ροής τους.

γ. δεν υπακούν στη σχέση .δ. έχουν την ιδιαιτερότητα καθώς αυξάνεται η ταχύτητα ροής, τα σωματίδια του ρευστού να παραμορφώνονται ώστε να διευκολύνουν τη ροή. 5. Το αίμα:α. είναι ένα Νευτώνειο ρευστό.β. υπακούει στη σχέση .γ. έχει την ιδιαιτερότητα καθώς αυξάνεται η ταχύτητα ροής, τα σωματίδιά του να παραμορφώνονται ώστε να διευκολύνουν τη ροή.δ. έχει σταθερό συντελεστή ιξώδους.

6. Για τη λίπανση των μηχανών χρησιμοποιούμε:α. το νερό γιατί έχει μικρό συντελεστή ιξώδους.β. το μηχανέλαιο γιατί έχει μικρότερο συντελεστή ιξώδους από το νερό.γ. το μηχανέλαιο γιατί έχει μεγάλο συντελεστή ιξώδους.δ. ένα οποιοδήποτε Νευτώνειο ρευστό με μικρό συντελεστή ιξώδους.

7. Η εσωτερική τριβή μέσα σ’ ένα ρευστό ονομάζεται:α. τυρβώδης. β. δύναμη συνάφειας. γ. ιξώδες. δ. νευτώνεια.Επιλογή μίας απάντησης. 8. Στο σχήμα βλέπετε την κατανομή ταχυτήτων για δύο ρευστά που ρέουν στους κυλινδρικούς σωλήνες α και β.Επιλέξτε τουλάχιστον μία απάντηση.α. Το ρευστό του σωλήνα α είναι πραγματικό.β. Το ρευστό του σωλήνα β είναι ιδανικό.γ. Ο συντελεστής ιξώδους για το ρευστό α είναι μηδέν.δ. Για το ρευστό που ρέει στο σωλήνα β εμφανίζονται τριβές μόνο μεταξύ των μορίων του υγρού και του εσωτερικού τοιχώματος του σωλήνα.ε. Για το ρευστό που ρέει στο σωλήνα β εμφανίζονται τριβές και μεταξύ των μορίων του αλλά και μεταξύ των μορίων του και του εσωτερικού τοιχώματος του σωλήνα.

Ερωτήσεις ΘεωρίαςΘέμα Β

ΕΡΩΤΗΣΗ 1Ένα πραγματικό ρευστό ρέει σε οριζόντιο σωλήνα σταθερής

76


κυλινδρικής διατομής.Η μέση ταχύτητα του ρευστού στην κατεύθυνση ροής του δίνεται από το διάγραμμα

Να επιλέξεις τη σωστή απάντηση και να τη δικαιολογήσεις.

ΛύσηΣωστό είναι το διάγραμμα (i).Σε ένα πραγματικό ρευστό που ρέει σε κυλινδρικό σωλήνα οι ταχύτητες των μορίων του ρευστού παίρνουν τιμές από μηδέν έως μια μέγιστη τιμή. Έτσι ο τύπος της παροχής γράφεται . Από εξίσωση συνέχειας , προκύπτει ότι η παροχή είναι σταθερή και αφού

ισχύει και .

ΕΡΩΤΗΣΗ 2Ένα

πραγματικό ρευστό ρέει σε οριζόντιο σωλήνα σταθερής διατομής με σταθερή ταχύτητα. Η πίεση κατά μήκος του σωλήνα στην κατεύθυνση ροής του ρευστού μπορεί να δίνεται από το διάγραμμα.

Να επιλέξεις τη σωστή απάντηση και να τη δικαιολογήσεις.

ΛύσηΣωστό είναι το διάγραμμα (ii).

77


Το ρευστό είναι πραγματικό, επομένως αναπτύσσεται τριβή μεταξύ των μορίων του η οποία μετατρέπει μέρος της μηχανικής του ενέργεια σε θερμότητα. Εφόσον η ταχύτητα είναι σταθερή, η ενέργεια που χάνεται αναπληρώνεται μέσω του έργου της συνισταμένης των δυνάμεων που ασκούνται στο τμήμα του ρευστού που περιβάλλεται μεταξύ των δύο διατομών από το υπόλοιπο ρευστόW = Fαρχ Δx-Fτελ Δx = pαρχΑ· Δx –pτελΑ· Δx ή W = ( pαρχ-pτελ)ΔV Αφού W>0 θα είναι και pαρχ-pτελ>0 . Άρα στην κατεύθυνση ροής η πίεση μειώνεται.

ΕΡΩΤΗΣΗ 3Στη διπλανή διάταξη, η πλάκα Π2 είναι ακλόνητη, ενώ η Π1 μπορεί να κινείται μέσω μιας ασκούμενης σε αυτήν εξωτερικής οριζόντιας δύναμης F. Μεταξύ των πλακών υπάρχει ένα παχύρευστο υγρό. Τοποθετούμε βάρος w και παρατηρούμε ότι μετά από λίγο, η Π1 κινείται προς τα δεξιά με σταθερή ταχύτητα υ1. Επαναλαμβάνουμε το πείραμα χρησιμοποιώντας μεγαλύτερο βάρος:Α. Η πλάκα Π1 μετά από λίγο θα κινείται και πάλι με σταθερή ταχύτητα.Β. Η πλάκα θα επιταχύνεται συνεχώς.Γ. Θα μεγαλώσει ο συντελεστής ιξώδους του υγρού με αποτέλεσμα η πλάκα να αποκτήσει μετά από λίγο σταθερή ταχύτητα. Να διαλέξεις τη σωστή απάντηση και να τη δικαιολογήσεις.

ΛύσηΣωστή είναι η απάντηση Α. Όταν τοποθετήσουμε μεγαλύτερο βάρος, έχουμε στην αρχή επιταχυνόμενη κίνηση, άρα αύξηση της ταχύτητας και σύμφωνα με

τη σχέση αύξηση του μέτρου της τριβής. Όταν το μέτρο της τριβής γίνει ίσο με αυτό του νέου βάρους, η πλάκα θα σταματήσει να επιταχύνεται και θα κινείται πάλι με σταθερή ταχύτητα μεγαλύτερου μέτρου από το υ1.

ΕΡΩΤΗΣΗ 4Στη διπλανή διάταξη, η πλάκα Π2 είναι ακλόνητη, ενώ η Π1 μπορεί να κινείται μέσω μιας ασκούμενης σε αυτήν εξωτερικής οριζόντιας δύναμης F η οποία οφείλεται στο βάρος w του σώματος Σ. Μεταξύ των πλακών υπάρχει ένα παχύρευστο υγρό. Παρατηρούμε μετά από λίγο, η Π1 κινείται προς τα δεξιά με σταθερή ταχύτητα υ. Αντικαθιστούμε το σώμα Σ με ένα άλλο μεγαλύτερου βάρους. Για να κινηθεί η πλάκα Π1 πάλι προς τα δεξιά με σταθερή ταχύτητα υ πρέπει να:

78


Α. αυξήσουμε την απόσταση μεταξύ των πλακών και να διατηρήσουμε τα υπόλοιπα στοιχεία (ρευστό, εμβαδόν πλακών) σταθερά. Β. αυξήσουμε το εμβαδόν των πλακών και να διατηρήσουμε τα υπόλοιπα στοιχεία (ρευστό, απόσταση μεταξύ πλακών) σταθερά.Γ. αντικαταστήσουμε το ρευστό με άλλο που έχει μικρότερο συντελεστή ιξώδους και να διατηρήσουμε τα υπόλοιπα στοιχεία (εμβαδόν πλακών και απόσταση μεταξύ τους) σταθερά.Να διαλέξεις τη σωστή απάντηση και να τη δικαιολογήσεις

ΛύσηΣωστή είναι η απάντηση Β. Όταν η πλάκα κινείται με σταθερή ταχύτητα, η συνισταμένη των δυνάμεων σε αυτήν είναι μηδέν, επομένως η εξωτερική δύναμη F έχει ίδιο μέτρο με την τριβή. Όταν μεγαλώνουμε το βάρος του Σ, μεγαλώνει η δύναμη F, άρα όταν υ=σταθ μεγαλώνει και το μέτρο της τριβής Τ.

Σύμφωνα με τη σχέση , το μέτρο της τριβής αυξάνει όταν αυξήσουμε την ταχύτητα της πλάκας, ή όταν αυξήσουμε το εμβαδόν των πλακών ή τοποθετήσουμε ανάμεσα στις πλάκες ένα ρευστό μεγαλύτερου ιξώδους, η αν μειώσουμε την απόσταση μεταξύ των πλακών. Η μόνη πρόταση που ικανοποιεί τα παραπάνω είναι η Β.


ΑΣΚΗΣΗ 1Μια λεπτή πλάκα εμβαδού Α=25cm2 τοποθετείται πάνω σε σταθερή οριζόντια επιφάνεια. Μεταξύ της πλάκας και της επιφάνειας παρεμβάλλεται στρώμα γλυκερίνης πάχους l με συντελεστή ιξώδους nγ=800·10-3Νs/m2. Ασκούμε οριζόντια δύναμη F=20mN και παρατηρούμε ότι η πλάκα μετά από λίγο μετατοπίζεται με σταθερή ταχύτητα υ=10cm/s. Να βρείτε:Α. το πάχος του ρευστού που παρεμβάλλεται μεταξύ της πλάκας και της επιφάνειας.Β. Την ισχύ της δύναμης η οποία ασκείται για να υπερνικηθούν οι τριβές.Γ. Αφαιρούμε το ρευστό και τοποθετούμε νερό ίδιου πάχους με συντελεστή ιξώδους nν=10-3Νs/m2. Ασκούμε στην πλάκα την ίδια οριζόντια δύναμη και αυτή μετά από λίγο μετατοπίζεται πάλι με σταθερή ταχύτητα υ1. Να βρείτε το μέτρο της υ1.

ΛύσηΑ. Αφού η πλάκα μετατοπίζεται με σταθερή ταχύτητα, η δύναμη F έχει μέτρο ίσο με το μέτρο της τριβής ολίσθησης. Επομένως

79


Β.

Γ.

To αποτέλεσμα είναι αναμενόμενο. O συντελεστής ιξώδους του νερού είναι 800 φορές μικρότερο από αυτόν της γλυκερίνης. Επομένως για την ίδια άσκηση δύναμης, η πλάκα θα αποκτήσει ταχύτητα 800 φορές μεγαλύτερη.

lyk-mous-laris.lar.sch.grlyk-mous-laris.lar.sch.gr/arxeia/fysikh/reysta.docx · web viewή...

Documents