lys matematik ii mf tm föy-03

Bu yayýnýn her hakký saklýdýr. Tüm haklarý bry Birey Eðitim Yayýncýlýk Pazarlama Ltd. Þti.’e aittir. Kýsmen de olsa alýntý yapýlamaz. Metin ve sorular, bu yayýný

yayýmlayan þirketin önceden izni olmaksýzýn elektronik, mekanik, fotokopi ya da herhangi bir kayýt sistemiyle çoðaltýlamaz, yayýmlanamaz.

B Ý R E Y D E R S H A N E L E R Ý S I N I F Ý Ç Ý D E R S A N L A T I M F Ö Y Ü

Konu Bölüm DAF No.

POLÝNOMLAR - I I I MF-TM 03

MATEMATÝK - II

03

D E R S H A N E L E R Ý

POLÝNOMLARDA BÖLME

der(P(x)) �der(Q(x)) ve Q(x) �0 olmak üzere,

P(x)=Q(x).B(x)+K(x)

der(K(x)) < der(Q(x))

Bölen

Bölüm

P(x)...

K(x)–

Q(x)B(x)

Bölünen

Kalan

MF

TM

2 2012-2013 - DAF - MATEMATÝK - II (MF-TM) - 03

Aþaðýdaki bölme iþlemlerini yapýnýz.

� ��

UYGULAMA 1

MF

TM


��

��

��

��

��

UYGULAMA 2

MF

TM


MF

TM

ÖRNEK 1

P(x)=x2+ax+b

polinomu (x – 3) ile bölündüðünde bölüm (x – 2) ve kalan

4 olduðuna göre, a+b toplamý kaçtýr?


MF

TM

ÖRNEK 2

(x – 2).P(x)=x2+x – 6

olduðuna göre, P(x) polinomunu bulunuz.


MF

TM

ÖRNEK 3

(x2– 1).P(x)=x

3+x

2– x – 1

olduðuna göre, P(x) polinomunu bulunuz.


KALAN BULMA

P(x) polinomunun (ax+b) ile bölümünden kalan:

ifadesinin deðeri kalana eþittir.b b

x – ise P –

a a

� ��

bax b 0 ise x –

a+ = =

0

P(x) (ax b).B(x) Kalan= + +��

P(x)...

ax+b

–

Kalan

B(x)


ÖRNEK 4

P(x)=(x – 6).B(x)+4

olduðuna göre, P(x+5) polinomunun kat sayýlar toplamý

kaçtýr?


ÖRNEK 5

x3– 3x

2– x – 4=(x+1).B(x)+K

olduðuna göre, K kaçtýr?


ÖRNEK 6

olduðuna göre, K kaçtýr?

K–

4 2x – x 2x – 3+ x – 2


��

��

��

��

UYGULAMA 3


ÖRNEK 7

P(x)=x3– 3x

2– ax+5

polinomunun çarpanlarýndan biri (x+1) olduðuna göre,

a kaçtýr?

P(x) polinomunun çarpanlarýndan biri (x – a) ise P(x) poli-

nomu (x – a) ile tam bölünür. Yani P(a)=0 dýr.


ÖRNEK 8

P(x)=x2– ax+5 polinomunun (x – 4) ile bölümünden ka-

lan 9 olduðuna göre, a kaçtýr?


ÖRNEK 9

x.P(x)=(a – 2)x+a+6

P(x) polinom olduðuna göre, a kaçtýr?


ÖRNEK 10

(x – 2).P(x)=x2– ax+8

olduðuna göre, a kaçtýr?


ÖRNEK 11

P(x) bir polinom ve

x3+ax – 8 =(x – 2) P(x)

olduðuna göre, P(2) nin deðeri kaçtýr?

A) 36 B) 32 C) 24 D) 12 E) 0

(2000/ÖSS)


ÖRNEK 12

P(x+2)=x2– 6x+3

olduðuna göre, P(x) polinomunun (x – 2) ile bölümünden

kalan kaçtýr?


1

2

Uyarı

P(x) polinomunun (x – a) ile bölümünden kalan: P(a)

P(x+b) polinomunun (x – a ) ile bölümünden kalan: P(a+b)

ÖRNEK 13

P(x – 3)=x2– mx – 7

P(x – 1) polinomunun (x+1) ile bölümünden kalan – 10

olduðuna göre, m kaçtýr?


ÖRNEK 14

P(x)=5x2– mx – 3

polinomu (x+1) ile tam bölünebildiðine göre, (x – 3) ile

bölümünden kalan kaçtýr?


ÖRNEK 15

P(x) polinomunun (x – 2) ile bölümünden kalan 5, Q(x) poli-

nomunun (x – 7) ile bölümünden kalan 6 dýr.

Buna göre, P(x – 2).Q(x+3) polinomunun (x – 4) ile bölü-

münden kalan kaçtýr?


ÖRNEK 16

P(x) ve Q(x) polinomlarý için

P(x+2)=(x3– 2x – 3).Q(x)+x

2+x+1

baðýntýsý saðlanmaktadýr.

Q(x) in sabit terimi 5 olduðuna göre, P(x) polinomu

(x – 2) ile bölündüðünde kalan kaçtýr?

A) – 16 B) – 15 C) – 14 D) 0 E) 1

(1999/ÖSS)


ÖRNEK 17

P(x) ve Q(x) polinomlarýnýn (x+2) ile bölümünden kalanlar

sýrasýyla ( – 2) ve (4) tür.

Buna göre, m nin hangi deðeri için m.P(x)+3.Q(x) poli-

nomu (x+2) ile tam bölünür?


ÖRNEK 18

P(x, y)=(x+y – 3)2+x

2+2xy+y

2– 4

polinomunun (x+y – 4) ile bölümünden kalan kaçtýr?


ÖRNEK 19

Baþ kat sayýsý 2 olan ikinci dereceden bir P(x) polinomunun

(x – 3) ve (x – 2) ile bölümünden kalanlar sýrasýyla 7 ve 2 dir.

Buna göre, P(x) polinomunun sabit terimi kaçtýr?


1.

ifadesinin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisidir?

A) x2– 2x – 1 B) x

2+2x – 9 C) x

2+2x+9

D) x2– 2x – 9 E) x

2– 2x+9

3x 5x 18

x 2

� ��


2. P(x)=x3+6x

2– 2x – 5

polinomu (x – 1) ile bölündüðünde elde edilen bölüm

polinomu aþaðýdakilerden hangisidir?

A) x2– 7 B) x

2– 5x+7 C) x

2+5x+7

D) x2+7x E) x

2+7x+5


3.

ifadesinin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisidir?

x 3A) B) x 3 C) x 3

x 3

x 3D) x 3 E)

x 3

� � ��

��

3 2

2

x 3x 3x 9

x 3

� � ��


4. P(x)=4x3– 2x+3

polinomunun (x – 2) ile bölümünden kalan kaçtýr?

A) 29 B) 30 C) 31 D) 32 E) 33


5. P(x)=x2– 2x – 35

polinomu aþaðýdakilerden hangisine tam olarak bölü-

nebilir?

A) x – 5 B) x+7 C) x – 7

D) x – 1 E) x – 2


6. Q(x)=x3+5x

2+px – 8 polinomunun çarpanlarýndan biri

(x – 2) olduðuna göre, p nin deðeri kaçtýr?

A) – 15 B) – 10 C) 5 D) 13 E) 16

(1997/ÖSS)


7. Q(3x)=18x+6

olduðuna göre, Q(x) polinomunun x – 5 ile bölümün-

den kalan kaçtýr?

A) 32 B) 36 C) 54 D) 86 E) 96

(1996/ÖSS)


8. P(x)=4x2– 6x+3

olduðuna göre, P(x – 3) polinomunun (x – 2) ile bölü-


A) 10 B) 11 C) 13 D) 15 E) 17


9. P(x+2)=x3– 4x

2+3x+1

olduðuna göre, P(x – 1) polinomunun (x – 1) ile bölü-


A) – 22 B) – 26 C) – 29 D) – 32 E) – 33


10. P(x)=5x4– 2x

2+1

polinomunun ile bölümünden kalan kaçtýr?

A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) 20

(x – 2)


11. P(x)=x2+7x+a

polinomunun (x – 1) ile bölümünden kalan 3 olduðuna

göre, (x+2) ile bölümünden kalan kaçtýr?

A) – 8 B) – 10 C) – 13 D) – 15 E) – 17


12. P(x)=(x – 4)2a+1

+(x – 2)a+x – 6

polinomunun (x – 6) ile bölümünden kalan 48 olduðu-

na göre, a kaçtýr?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5


13. P(x, y)=x2+y

2+2xy+(x+y – 1)

2

polinomunun (x+y – 3) ile bölümünden kalan kaçtýr?

A) 11 B) 13 C) 15 D) 17 E) 19


14. P(x), Q(x) gibi iki polinomun x – 5 ile bölümünden ka-

lan sýrasýyla 2 ve 3 ise, P(x).Q(x) çarpýmýnýn x – 5 ile

bölümünden kalan ne olur?

A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2

(1988/ÖYS)


15. P(x)=3x2– 2x+1

olduðuna göre, P(P(x+1)) polinomunun (x+1) ile bö-

lümünden kalan kaçtýr?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6


16. P(x) ve Q(x) birer polinomdur.

P(x) polinomunun (x – 3) ile bölümünden kalan 5 oldu-

ðuna göre, Q(x) polinomunun sabit terimi kaçtýr?

A) – 1 B) 0 C) 1 D) 2 E) 3

2

2P(x 2) x3x 2x 1

Q(x 1)

� � � � ��


17. (x – 2).P(x+1)+Q(2x – 3)=x3– 3x

2+x – 1

olduðuna göre, Q(x – 3) polinomunun (x – 4) ile bölü-


A) – 6 B) – 5 C) – 4 D) – 3 E) – 2


18. P(x) bir polinom olmak üzere,

P(x3)=3x

6– 4x

3+1

olduðuna göre, P(x – 2) polinomunun (x+1) ile bölü-


A) 36 B) 38 C) 40 D) 42 E) 44


19. x.P(x+4)=(x+3).Q(x+1) – x+2

baðýntýsý veriliyor.

Q(x+2) polinomunun sabit terimi 7 olduðuna göre,

P(x) polinomunun (x – 5) ile bölümünden kalan kaçtýr?

A) 29 B) 24 C) 21 D) 18 E) 15


20. P(x – 4)=2x2– 5x+1

olduðuna göre, (x – 1).P(x)+(x+2).P(x) polinomunun

(x+4) ile bölümünden kalan kaçtýr?

A) – 5 B) – 6 C) – 7 D) – 8 E) – 10


21. P(x) ve Q(x) polinomlarýnýn x – 1 ile bölümünden ka-

lanlar sýrasý ile – 4 ve 6 olduðuna göre, t nin hangi de-

ðeri için 3P(x)+tQ(x) polinomu x – 1 ile tam olarak bö-

lünür?

A) – 3 B) – 2 C) 1 D) 2 E) 3

(1990/ÖYS)


22. P(x+2) polinomunun (x+3) ile bölümünden kalan 2 dir.

Buna göre, aþaðýdakilerden hangisi (x+1) ile tam bö-

lünür?

A) P(x) – 4 B) P(x) – 1 C) P(x)+2

D) 2P(x) – 4 E) 2P(x)+4



x2.P(x)=ax

3+bx

2+(a – 1)x+b – 3

olduðuna göre, a+b toplamý kaçtýr?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6


24. (x – 1).P(x)=2x3+x

2+nx+4

olduðuna göre, P(x) polinomunun (x – 1) ile bölümün-

den kalan kaçtýr?

A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 8



olduðuna göre, P(x) polinomunun kat sayýlar toplamý

kaçtýr?

A) – 3 B) – 2 C) – 1 D) 2 E) 3

2

x m

P(x)

x 3

��


26. (x2– x).P(x)+P(x)=x

3+1

olduðuna göre, P(x) polinomu aþaðýdakilerden hangi-

sidir?

A) – x – 1 B) 2x+1 C) x+1

D) 2x+2 E) x – 2


27. P(x+1)=x3– x

2+ax+2

polinomunun (x – 2) ile bölümünden kalan K1, (x+2) ile

bölümünden kalan K2

dir.

K1– K

2=8 olduðuna göre, a kaçtýr?

A) – 4 B) – 2 C) 1 D) 2 E) 4


28. Baþ kat sayýsý 3 olan ikinci dereceden bir P(x) polinomu

(x – 2) ile tam bölünebilmektedir.

P(x – 1) polinomunun kat sayýlar toplamý ( – 18) oldu-

ðuna göre, P(x+1) polinomunun sabit terimi kaçtýr?

A) – 24 B) – 20 C) – 18 D) – 16 E) – 12


29. P(x+1) – P(x)=3

P(1)= – 1

olduðuna göre, P(x) polinomunun (x – 20) ile bölümün-

den kalan kaçtýr?

A) 48 B) 52 C) 56 D) 58 E) 61


30. P(x) ikinci dereceden bir polinom olmak üzere,

P( – 4)=P(3)=0

P(x) polinomunun (x – 1) ile bölümünden kalan 10 ol-

duðuna göre, P(x) polinomunun sabit terimi kaçtýr?

A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14


31. P(x, y)=(x+y)n– y

n – 2– x

n – 2

polinomu (x+y) ile tam bölünebildiðine göre, n için

aþaðýdakilerden hangisi doðrudur?

A) Pozitif tek tam sayýdýr.

B) Pozitif tam sayýdýr.

C) Negatif tam sayýdýr.

D) Negatif çift tam sayýdýr.

E) Pozitif çift tam sayýdýr.


32. P(x) polinomunun (x+1) ile bölümünden kalan ( – 6) dýr.

P(x) polinomunun kat sayýlar toplamý 12 olduðuna gö-

re, P(x) polinomunun tek dereceli terimlerinin kat sa-

yýlar toplamý kaçtýr?

A) 6 B) 8 C) 9 D) 12 E) 18


lys matematik ii mf tm föy-03

Documents