MMatematičko modeliranje atematičko modeliranje kvadratnom funkcijomkvadratnom funkcijom

dr Duška Pešićdr Duška Pešić

Gimnazija Gimnazija “J.J.Zmaj”“J.J.Zmaj”

andpesicandpesic@@Eunet.yuEunet.yu

Proces matematičkog Proces matematičkog modeliranjamodeliranja

Problem iz svakodnevnog

života

Matematički model

Formulacija

Interpretacija

Koji broj nedostaje?

1 2 5 6 7 9

1 4 ? 36

49

81

15

21

25

16

Tačno!2y x

Odabrati rešenje:

Koji broj nedostaje?

1 3 5 7 8 9

0 8 ? 48

63

80

13

24

32

15

Tačno!2 1y x

Odabrati rešenje:

Koji broj nedostaje?

1 2 5 6 7 9

-2

1 ? 33

46

78

15

9 22

-4

Tačno!2 3y x

Odabrati rešenje:

Koji broj nedostaje?

1 2 4 6 7 8

4 9 ? 49

64

81

25

24

16

32

Tačno! 21y x

Odabrati rešenje:

Koji broj nedostaje?

1 2 3 4 5 6

2 8 ? 32

50

72

18

24

16

25

Tačno!22y x

Odabrati rešenje:

Koji broj nedostaje?

1 2 5 6 7 9

3 4 ? 28

39

67

15

21

19

10

Tačno!2( 1) 3y x

Odabrati rešenje:

Koji broj nedostaje?

1 2 4 5 6 7

-3

-1

? 29

47

69

22

9 15

-4

Tačno! 2

2 1 3y x

Odabrati rešenje:

Kvadratni obrazac

Naći vezu između broja kockica Naći vezu između broja kockica KK i i broja redova broja redova RR..

Razmotriti sledeću šemu kockica sa slike:

1 red 2 reda 3 reda 4 reda

Kvadratni obrazac

4 reda 4 reda 4 reda

2

2

1 3 5 ... 2 1

1 3 5 ... 2 1

K R

K R

R R

Veza između poluprečnika kruga Veza između poluprečnika kruga r ir ipovršine kruga površine kruga PP

Jednačina: Jednačina:

2P r

r

Veza između vremena u Veza između vremena u sekundama kada pada neki objekat sekundama kada pada neki objekat tt i rastojanja u metrima koje je taj i rastojanja u metrima koje je taj

objekat prešao objekat prešao dd

Jednačina: Jednačina:

24.9d t

Još jedan primer kvadratne veze Još jedan primer kvadratne veze veličinaveličina

Izračunati zapreminu kutije visine 9Izračunati zapreminu kutije visine 9cmcm, i , i dužine dva puta veće nego širine.dužine dva puta veće nego širine.

9

y

x

2

2

2

9

18

4.5

x y

V xy

V y

V x

Koordinatna šetnjaKoordinatna šetnja

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Grafik kvadratne funkcijeGrafik kvadratne funkcije

PARABOLA

2y x

23y x

21

2y x

Grafik kvadratne funkcijeGrafik kvadratne funkcije

Koordinate temena se ne menjajuKoordinate temena se ne menjaju

T(0,0)

2y ax

Kvadratni obrazac

Naći vezu između broja kvadratića Naći vezu između broja kvadratića KK i i faze faze FF..

Razmotri sledeću šemu kvadratića sa slike:

Faza 1 Faza 2 Faza 3 Faza 4

Kvadratni obrazacPrvi način:

F+1

F-1

2 2( 1)( 1) 2 1 2 1K F F F F

Kvadratni obrazacDrugi način:

21 1K F F F

F

F

Grafik ove kvadratne vezeGrafik ove kvadratne veze

2y x

2 1y x

Koordinate temena se menjajuKoordinate temena se menjaju2y x n

0n

T

0n

T(0,n)

Kvadratni obrazac

Naći vezu između broja kvadratića Naći vezu između broja kvadratića KK i i faze faze FF..

Razmotri sledeću šemu kvadratića sa slike:

Faza 2 Faza 3 Faza 4 Faza 5

Kvadratni obrazac

21 1 1K F F F

F-1

F-1

Faza 5

Grafik ove kvadratne vezeGrafik ove kvadratne veze

Koordinate temena se menjajuKoordinate temena se menjaju2( )y x m

0m

T

0m

T(m,0)

Spojiti svaki grafik sa Spojiti svaki grafik sa odgovarajućim funkcijamaodgovarajućim funkcijama

2y x

a) b) c)

e)d) f)

2 1y x

21y x

2y x

2y x2 1y x

21y x

Koliko dijagonala ima konveksan Koliko dijagonala ima konveksan nn-tougao-tougao

n=3 n=4 n=5 .... n=8 ...

22( 3) 3 1 3 9

2 2 2 2 2 8

n n n nd n

Koordinate temena se menjajuKoordinate temena se menjaju2( )y a x m n

0

0

n

m

0

0

n

m

T(m,n)

0

0

n

m

0

0

n

m

Kvadratna funkcijaKvadratna funkcija2

2 2 4

2 4

y ax bx c

b b acy a x

a a

2

1,2

2

4

2

4,

2 4

b b acx

a

b b acT

a a

Poveži funkcije sa njihovim Poveži funkcije sa njihovim grafikomgrafikom

2

2

2

2

4 4

4

y x

y x

y x x

y x

Koje još veličine imaju kvadratnu Koje još veličine imaju kvadratnu vezu?vezu?

Vreme i visina tela bačenog u vis

Broj godina vozača i broj

automobilskih udesa

Cena i ukupni prihod

Telo bačeno sa krivogTornja u Pizi

Vatromet

Strela

Telo bačeno u vis

Telo bačeno vertikalno uvis ima visinu gde je ubrzanje zemljine teže, početna brzina i početna visina.

Lopta je bačena u vis sa vrha tornja u Pizi, visine 58m sa prosečnom brzinom 30m/s. Odrediti posle koliko vremena će lopta dodirnuti zemlju. Rešenje

,)( 002

2 stvtts g 2/8.9 smg

0v 0s

2

2

1

( ) 4.9 30 58

0 4.9 30 58

1.54

s t t t

t t

t

2 7.67t

Visina na kojoj je lopta može se izraziti kao

0 1 2 3 4 5 6 7 80

20

40

60

80

100

x

ys

t

Putanja tela bačenog u vis

1. Odrediti maksimalnu visinu lopte. Nakon koliko vremena je lopta dostigla maksimalnu visinu? Rešenje

Maksimum date funkcije može se odrediti kao teme parabole:

,92.1032061.3,2061.38.9

30

st

0 1 2 3 4 5 6 7 80

20

40

60

80

100

x

ys

t

Putanja tela bačenog u vis

1. Kada je lopta bila na visini od 20m i u kom vremenu je lopta iznad te visine? Rešenje

Vrednost funkcije s=20 se uvrsti u jednačinu i dobija se:

1 1.0772t

2 7.1996t

0 1 2 3 4 5 6 7 80

20

40

60

80

100

x

ys

t

Putanja tela bačenog u vis

Ako se telo baci u vis istom brzinom ali sa zemlje, koliko i kada će ono biti najviše udaljeno od zemlje i kada će ono udariti zemlju? Rešenje

ttts 309.4)( 21 Matematički model ove pojave je

Teme parabole, je nule su t=0 i t=6.1224

*Ako se telo baci sa zemlje pod navedenim uslovima tada će dostići najveću visinu 45.918m za 3.0612 s (isto vreme kao i kod Pize), a pogodiće zemlju posle 6,1224 s.

),918.45,2061.3(

-1 0 1 2 3 4 5 6 7

10

20

30

40

x

ys1

t

Broj automobilskih udesa u zavisnosti od godina vozača

Broj udesa

Funkcija je matematički model broja saobraćajnih udesa na pređenih 200 hiljada kilometara u zavisnosti od godina vozača.

20.001 0.09 2.5f x x x

2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 0 . 0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 . 0 1 . 2 1 . 4

x

y

Broj udesa

U kojim godinama čovek ima najmanje udesa. Rešenje

2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 0 . 0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 . 0 1 . 2 1 . 4

x

y

Ispitati monotonost funkcije f i na osnovu toga dati odgovarajuće tumačenje. Rešenje

20.001 0.09 2.5f x x x

•Parabola ima minimum za što znači da ljudi sa 45 godina imaju najmanje saobraćajnih udesa.

0.090.002 45.0,x

•Data kvadratna funkcija opada kada a raste kada je x>45. Na osnovu toga može se reći da se broj udesa smanjuje sa povećanjem godina života od 18 do 45, a raste posle 45 godina.

18,45 ,x

VATROMET

Raketa je ispaljena sa zemlje.

• Visina rakete zavisi od početne brzine i vremena.

• Ako je početna brzina 40m/s, tada je visina rakete: 240 4.9h t t

0

20

40

60

80

100

2 4 6 8 10t

Maksimalna dobit

Mali biznis

Maksimalna dobit

Ako funkcija opisuje neku ekonomsku pojavu, ispitujući njene osobine i skicirajući grafik mogu se rešiti mnogi zadaci optimizacije poslovanja.

Primer:Neka je data funkcija tražnje

i funkcija prosečnih troškova .

Odrediti:

А) Optimalni obim prodaje za maksimalnu dobit;

B) Maksimalan ukupni prihod;

C) Interval rentabiliteta;

D) Grafike funkcija ukupnih prihoda, ukupnih troškova i dobiti.

400x p

19003C x x

x

Rešenje:

* Funkcija ukupnih prihoda P(x) se dobija množenjem cene p i tražnje x.

2( ) 400 400P x p x x x x x

Grafik funkcije ukupnog prihoda:

P(x)

4003002001000

•x

y

•x

Funkcija ukupnih troškova se dobija množenjem funkcije prosečnih troškova i tražnje:

Odatle je funkcija dobiti:

21900( ) ( ) 3 3 1900C x x C x x x x

x

2( ) ( ) ( ) 4 400 1900D x P x C x x x

P(x)

D(x)

C(x)

* Na osnovu dobijenih grafika mogu se rešiti svi postavljeni problemi.

4003002001000

x

y

P(x)

D(x)

C(x)

*Maksimalna dobit je maksimum funkcije dobiti x=50 i iznosi 9500 novčanih jedinica.

Maksimalna dobit

4003002001000

x

y

P(x)

D(x)

C(x)

*Maksimalan ukupni prihod je maksimum funkcije ukupnog prihoda: dostiže se za x=200 i iznosi 40000 novčanih jedinica.

Maksimalan ukupni prihod

4003002001000

x

y

P(x)

D(x)

C(x)

*Interval rentabilnosti je interval u kome je funkcija dobiti pozitivna: dostiže se između x=5 i x=95.

Interval rentabilnosti

4003002001000

x

y

Mali biznisMali biznis

Prodavnica sendvičaProdavnica sendviča

• Nedeljni profit ove prodavnice je u funkciji od cene njihovih sendviča. Veza između profita P (u 10000dinara) i cene c (u 100 dinara) je data jednačinom:

( 7)P c c c P

01234567

0

Problem: Fotograf je namestio

kameru da snima strelu koja je izbačena u vazduh na svakih pola sekunde.

Tačke na grafiku prikazuju visinu strele u metrima na svakih pola sekunde pošto je kamera počela da snima.

Tačke su spojene parabolom.