m edimentaciÓn en embalses: deltas y...

RIOS 2005: Principios y Aplicaciones en Hidráulica de Ríos. H. D. Farias, J. D. Brea y R. Cazeneuve (Editores). ISBN 987-20109-4-3 (CD-ROM) &987-20109-5-1 (libro). Segundo Simposio Regional sobre Hidráulica de Ríos, Neuquén, Argentina, 2-4 nov. 2005.

1

MODELO DE SEDIMENTACIÓN EN EMBALSES: DELTAS Y CORRIENTES DE

TURBIDEZ

Javier González S.1, Aldo Tamburrino T.2, y Yarko Niño C.3

1Programa de Magister en Recursos y Medio Ambiente Hídrico, Departamento de Ingeniería Civil, Universidad de Chile.Av. Blanco Encalada 2002, 56-2-6784400

[email protected]

2Proofesor Asociado, Departamento de Ingeniería Civil, Universidad de Chile.Av. Blanco Encalada 2002, 56-2-6784376

[email protected]

2Proofesor Asociado, Departamento de Ingeniería Civil, Universidad de Chile.Av. Blanco Encalada 2002, 56-2-6784645

[email protected]

RESUMEN

Se presenta un modelo matemático y numérico que simula el flujo y la depositación de sedimentos en unembalse. La evolución de los sedimentos gruesos se modela utilizando distintas fórmulas disponibles paraevaluar el gasto sólido de fondo, dos de las cuales incorporan el tratamiento de granulometrías extendidas y losefectos del escondimiento de partículas. El transporte y depositación de los sedimentos finos se incorporamediante la modelación de una corriente de turbidez, utilizando ecuaciones recientes que permiten el desarrollode resaltos hidráulicos internos. Para el flujo, se utiliza un esquema numérico de volúmenes finitos explícito,capaz de modelar flujos de régimen mixto y transcríticos. En el caso de la corriente de turbidez se utiliza unesquema de diferencias finitas tipo MacCormack, mientras que el sedimento grueso se resuelve utilizando unesquema de diferencias finitas que incorpora la variación longitudinal de la topografía. Se aplica el modelo a unembalse tipo con un canal de geometría trapecial variable en la dirección longitudinal. Los resultados muestranque el modelo es capaz de reproducir la evolución conjunta de ambos tipos de sedimento, y la importancia de lautilización de una fórmula de gasto sólido adecuada a las condiciones locales.

ABSTRACT

A mathematical-numerical model that simulates the flow and sediment deposition in a reservoir is presented.Evolution of coarse sediment deposits is accounted for using different available bedload relationships, two ofthem including sediment grading and hiding effects. Fine sediment transport and deposition is accomplished bythe modeling of a turbidity current, in which recent equations, allowing development of internal hydraulicjumps, are used. In the flow solution an explicit finite volume scheme is used. This scheme is capable to dealwith mixed-regimes and transcritical flows. The turbidity current is solved using a MacCormack finitedifference scheme. The bed evolution, as a consequence of bedload transport, is computed using a finitedifference scheme that incorporates longitudinal topographic variations. The model is applied to a hypotheticalreservoir with trapezoidal cross-sections varying in the longitudinal direction. Results show that the model isable to reproduce the co-evolution of both fine and coarse sediments, and reflects the importance of adequatelychoosing the bedload relationship based on local conditions.

INTRODUCCIÓN

La construcción de un embalse representa una alteración en el equilibrio natural del transportede sedimentos de un cauce fluvial. Las bajas velocidades que desarrolla el flujo influenciadopor el muro de contención, favorecen la depositación de las partículas de sedimento y suconsecuente acumulación al interior del embalse. En el largo plazo, la principal consecuenciade la acumulación de sedimentos en un embalse corresponde a la pérdida de su capacidad de


2

almacenamiento. Comúnmente medida en términos del porcentaje de capacidad perdidoanualmente, este fenómeno puede alcanzar valores críticos, llegando a inutilizar el embalse enpoco tiempo. Ya en la década de los ochenta se estimaba que a nivel mundial los embalsesperdían su capacidad de almacenamiento a una tasa promedio del 1% anual (Mahmood, 1987).En la década de los noventa, China con más de 82000 embalses, presentaba la tasa de pérdidamás alta del mundo, con un promedio de 2,3% anual (Zhou, 1993).

Reemplazar esta pérdida mediante la construcción de nuevos embalses es una alternativa cadadía más difícil de ejecutar, debido a las nuevas restricciones que surgen de los interesesecológicos, políticos y económicos de la sociedad actual. De este modo, es necesario unmanejo planificado de los sedimentos, basado en la comprensión de los procesoshidrodinámicos involucrados, y apoyado por herramientas de modelación que permitan unaadecuada predicción y cuantificación de ellos.

Procesos de Sedimentación en Embalses

El sedimento transportado por un cauce fluvial puede, en la mayoría de los casos, clasificarseen dos grandes grupos: gruesos y finos. Al confluir con un cuerpo de agua en reposo, el caucepierde capacidad de arrastre, debido a la disminución en las velocidades de escurrimiento y delesfuerzo de corte en el fondo. De esta manera, las partículas más grandes arrastradas por elfondo, comienzan a depositar dando origen a lo que se conoce como un delta (Figura 1). Estedepósito, con forma de abanico y un frente abrupto, avanza hacia aguas profundas mediante lasavalanchas de sedimento que continuamente aporta el cauce, y que se intensifican durante lascrecidas. Por su parte, el sedimento fino es transportado en suspensión. Su depositación en elcauce se inhibe como consecuencia de la baja velocidad de sedimentación que poseen laspartículas y la alta turbulencia que se desarrolla en esta zona. Si la carga de sedimento fino enel cauce es suficientemente alta, de modo que la densidad de la mezcla resultante es mayor quela del cuerpo de agua en reposo, se genera lo que se conoce como una corriente de turbidez. Elcauce cargado de sedimentos presiona al cuerpo de agua en reposo hasta el punto donde lasfuerzas gravitacionales superan a las inerciales, produciéndose el fenómeno de inmersión(Figura 1). Generalmente la carga de sedimento fino de los ríos durante las crecidas es alta, yse ha encontrado que una pequeña diferencia de densidades entre el afluente y el embalse bastapara que ocurra la inmersión (De Cesare et al, 2001).

Depósito de finos

Corriente de turbidez

Punto de inmersión

Delta

Figura 1.- Esquema de depositación de sedimentos en un embalse.


3

Si la corriente es capaz de alcanzar el muro del embalse, el condicionamiento desde el extremode aguas abajo forzará la formación de un resalto hidráulico interno en la corriente de turbidez.En la literatura existen numerosas evidencias de corrientes de turbidez sostenidas en el tiempoen lagos y embalses (Kostic y Parker, 2003a,b) que pueden alcanzar esta configuración.

Objetivos

Hasta la fecha, los modelos de sedimentación en embalses que se han desarrollado y queincorporan la formación de corrientes de turbidez en conjunto con la evolución de los gruesos,consideran una sección de escurrimiento rectangular y uniforme bajo un régimen de flujouniforme y subcrítico en toda la extensión del cauce, así como el desarrollo de corrientes deturbidez sin influencia desde aguas abajo (Parker, 1986; Kostic y Parker, 2003).

La aplicación práctica de estos modelos a la mayoría de los embalses se dificulta dado que escomún encontrar cauces con perfiles topográficos altamente variables, que no son bienrepresentados mediante la utilización de secciones uniformes, y en los cuales los fenómenos decrecidas son capaces de movilizar grandes cantidades de sedimentos. Además, es necesarioincluir el condicionamiento que ejerce el muro del embalse sobre la corriente de turbidez.

El objetivo de este trabajo consiste en la elaboración de un modelo que permita reproducir ladepositación y evolución conjunta de sedimentos gruesos y finos en un embalse, incorporandoel efecto de una topografía variable en el régimen de flujo, el cual puede ser subcrítico osupercrítico, o una combinación de ellos, dependiendo de la pendiente del cauce, así comotambién el desarrollo de una corriente de turbidez influenciada por la presencia del muro delembalse.

MODELO DE FLUJO

Formulación Teórica

El flujo unidimensional e impermanente en un cauce natural con topografía irregular puededescribirse mediante las ecuaciones de Saint-Venant. La forma conservativa de estasecuaciones corresponde a,

0=∂∂+

∂∂

x

Q

t

A(1)

( )fgAS

x

ZgA

x

AQ

t

Q −∂∂−=

∂∂+

∂∂ 2

(2)

donde A representa la sección de escurrimiento, Q el caudal, x es la coordenada longitudinal, tes el tiempo, g es la aceleración de gravedad, Z el nivel de la superficie libre medido desde unnivel de referencia horizontal y Sf es la pendiente de la línea de energía. Suponiendo que lasrelaciones de resistencia para flujo turbulento, uniforme y permanente siguen siendo válidas enel caso impermanente (Chow, 1988), se puede utilizar la relación de Manning para evaluar lapendiente de la línea de energía,


4

23/4

2

AR

QQnS

h

f = (3)

donde n es el coeficiente de rugosidad de Manning y Rh el radio hidráulico de la sección deescurrimiento.

Para simplificar la modelación se utilizarán secciones trapeciales para describir la geometría delcauce y del embalse. Aunque esta restricción puede eliminarse fácilmente, la eficienciacomputacional de modelaciones a largo plazo (del orden de decenas de años) indica que ésta esuna medida razonable para obtener resultados con buena precisión.

Esquema Numérico

El esquema numérico utilizado para resolver las ecuaciones de flujo fue desarrollado por Ying(2004), está basado en el método de los volúmenes finitos y utiliza una aproximación de tipoupwind unilateral para estimar los flujos en las interfaces. El término fuente que involucra algradiente de presiones y a la pendiente longitudinal se aproxima realizando una ponderacióndel gradiente de superficie libre de agua, aguas arriba y aguas abajo del nodo, determinada porel número de Courant local. Al esquema original de Ying se introducen modificacionesmenores que permiten un mejor comportamiento al modelar el flujo en un embalse, donde lamagnitud de las áreas de escurrimiento determina una fuerte dependencia y gran variabilidaddel caudal frente a pequeños cambios en la elevación de la superficie.

Las ecuaciones (1) a (3) pueden escribirse en notación vectorial de la siguiente forma,

( ) ( )USt

UF

t

U =∂

∂+∂

∂(4)

donde U, F(U) y S(U) son los vectores de las variables conservadas, los flujos y los términosfuente respectivamente, los cuales se definen como,

( ) ( )

−∂∂−

=

=

=

AR

QQng

x

ZgA

US

A

Q

Q

UF

Q

A

U

h3/4

22

0

;; (5)

El dominio se discretiza utilizado una grilla centrada en el nodo como la que muestra la Figura2. La grilla posee N nodos, N-1 interfaces interiores y 2 interfaces en los extremos. Lasvariables conservadas se definen en el centro de cada celda, es decir en los nodos, yrepresentan el valor promedio sobre cada una de ellas, mientras que los flujos se definen en lasinterfaces.


5

1 i+1 N i-1 i 2

1 i+1/2 N-1/2 i-3/2 i-1/2 2 N+1/2

Figura 2.- Esquema de definición de la grilla

Integrando la ecuación (4) en la i-ésima celda de largo ∆xi y aplicando el teorema de Green seobtiene la discretización utilizada en el esquema,

( ) in

in

ii

ni

ni tSFF

x

tUU ∆+−

∆∆−= −+

+2/12/1

1(6)

donde Fi+1/2 es el flujo en la interfaz i+1/2, calculado como,

( )

=

+

+

+

+

nki

nki

nki

ni

A

Q

Q

F2

2/1 (7)

donde k=0 si Qi y Qi+1 son mayores que cero, k=1 si ambos son menores que cero. En el casode existir caudales de signo contrario en los nodos i e i+1, el flujo en la interfaz i+1/2 seevalúa a partir de la siguiente expresión,

( )

−−

∆−+

=

=

+

+

++

+

+

+

ni

ni

ii

ni

nin

i

ni

ni

ni

ni

ni

A

F

xx

ZZtgA

QQ

F

F

F2

1,2/1

1

11

2,2/1

1,2/1

2/1

3

2

6

(8)

La expresión para evaluar el caudal en la interfaz puede interpretarse como una ponderaciónentre el promedio de los caudales de los nodos vecinos y un término corrector basado en elgradiente de la cota de la superficie libre.

El término fuente de la ecuación (4) se evalúa a partir de la ecuación (10). Para determinar losgradientes de superficie libre y los ponderadores w1 y w2, la dirección del flujo se definelocalmente de acuerdo al valor del caudal en el nodo i. De esta forma se define un nuevosubíndice k de modo que,

≤≥

=01

00

i

i

Qsi

Qsik (9)


6

( )

−

∂∂+

∂∂−

=

+

ni

n

ih

ni

ni

updown

ni

i

AR

QQng

x

Zw

x

ZwgA

S

3/4

2

211

0

(10)

Con esta modificación al esquema original, los gradientes de superficie libre, aguas arriba yaguas abajo, se obtienen a partir de,

kiki

nki

nki

upkiki

nki

nki

down xx

ZZ

x

Z

xx

ZZ

x

Z

+−+

++−

++

−−+

+−

+−+

−−

=

∂∂

−−

=

∂∂

1

11

1

1

111 ; (11)

mientras que los ponderadores w1 y w2 se calculan a partir del número de Courant de la celda,

upr

downr cwcw =−= 21 ;1 (12)

donde,

2;

21

1

1

1

nki

nki

kiki

upr

nki

nki

kiki

downr

VV

xx

tc

VV

xx

tc +−+

+−+

−−+

−−+

−−∆=−

−∆= (13)

ni

nii AQV /= (14)

Se debe notar que el esquema numérico funciona en dos etapas. En primer lugar se resuelve laecuación de continuidad obteniendo el área de escurrimiento y los niveles de la superficie parael instante de tiempo n+1, para luego resolver la ecuación de momentum y obtener el caudalrespectivo. Ambas ecuaciones se resuelven explícitamente, por lo que el intervalo de tiempoconsiderado está sujeto a la condición de estabilidad de Courant-Friedrichs-Levy,

( ) NiBgAVx

tMaxN iii

iCFL ≤≤≤

+

∆∆= 11/ (15)

donde Bi es el ancho superficial de la sección de escurrimiento.

Las condiciones de borde se implementan con la introducción de dos nodos fantasma a la grilladefinida en la Figura 2. En estos nodos se especifican las variables conservadas y susgradientes. Para el caso de un afluente subcrítico se especifica el caudal en el nodo fantasma deaguas arriba, mientras que el nivel de la superficie se obtiene mediante una extrapolación linealbasada en los valores de los dos nodos interiores adyacentes. Si el afluente es supercrítico seespecifica el caudal y el nivel de la superficie en el mismo nodo. Si el efluente no tienerestricciones tanto el caudal como el nivel de superficie del nodo fantasma de aguas abajo seobtienen mediante extrapolación de orden cero desde el nodo interior. Si el efluente tiene unnivel especificado, dicho nivel se utiliza como un valor constante en el nodo.


7

En el proceso de solución, las condiciones de borde de nivel de superficie se estableceninmediatamente después de resolver la ecuación de continuidad, mientras que las condicionesde borde de caudal se establecen después de resolver la ecuación de momentum.

MODELO DE SEDIMENTO GRUESO

Para describir la depositación de sedimento grueso en una sección de geometría trapecial seutiliza una variación de la ecuación Exner basada en el balance de masa sobre un volumen decontrol de modo que,

01

1 =−

+x

Q

t

A s

s

s

∂∂

λ∂∂

(16)

donde As es el área de sedimento depositado, Qs es el gasto sólido volumétrico total desedimento y λs es la porosidad de los depósitos.

Al integrar la ecuación (16) sobre un volumen de control definido por las secciones i-1 e i, y enun intervalo de tiempo ∆t, se obtiene,

( )11 1

1−

−

−−∆

−−= isis

siis QQ

t

xxA

λ (17)

bw

kr kl

1 1

∆ηAs

Figura 3.- Esquema de la sección transversal con depositación de sedimentos

En la ecuación (17), la barra superior en el caso de los gastos sólidos representa un promediotemporal y en el caso del área de sedimento depositado representa un promedio espacial.Considerando la hipótesis cuasi-estática, que establece que los cambios del lecho son muylentos comparados con los del flujo, es posible considerar que el promedio temporal del gastosólido está bien representado por su valor en el inicio del intervalo. Por otro lado, dado queespacialmente existen variaciones de la sección de escurrimiento, el promedio espacial del áreade sedimento depositado se calcula como,

ηη ∆+∆= wims bkA 2 (18)

2;

2;

211 −− +

=+

=+

= wiwiw

mimim

rlmi

bbb

kkk

kkk (19)


8

Obteniéndose finalmente,

01 1

12 =−−

⋅−∆+∆+∆

−

−

ii

isis

siwim xx

QQtbk

ληη (20)

La ecuación (20) es aplicable a partir del segundo nodo de la grilla. Para obtener la variaciónde la cota en el primer nodo, se realiza una extrapolación lineal del gasto sólido al nodofantasma definido en el esquema del flujo, utilizando los valores de Qs de los nodos 1 y 2, conel valor resultante es posible resolver la ecuación (20) para el caso i =1.

Relaciones de Gasto Sólido de Fondo

Para evaluar el gasto sólido de fondo se pueden utilizar cuatro relaciones distintas: Meyer-Peter y Müller (1948), Ackers y White (1973), Parker (1990), y Wilcock y Crowe (2003). Acontinuación se entregan las principales características y el método de utilización.

Relación de Meyer-Peter y Mülller (1948)La ecuación de Meyer-Peter y Müller utiliza el enfoque clásico de Bagnold, que indica que elvalor del gasto sólido de fondo es una función del exceso de esfuerzo de corte por sobre unvalor crítico, según la siguiente ecuación,

( )s

fhsws RD

SRRgDbQ =−= *

2/3*

3 ;047.08 ττ (21a,b)

donde R es la relación específica de densidades, con un valor aproximado de 1,65 parasedimentos naturales, Ds es el diámetro de las partículas de sedimento grueso y τ* representa elesfuerzo de corte adimensional actuando sobre el fondo. La fórmula de Meyer-Peter y Müllerfue desarrollada utilizando sedimento uniforme y mezclas de granulometría no muy extendida,recomendándose el uso del D50 como diámetro característico para la aplicación sobre esteúltimo tipo de sedimentos.

Relación de Ackers y White (1973)En la relación de Ackers y White se establece una dependencia adimensional entre el gastosólido de fondo y la movilidad de los sedimentos del lecho. La movilidad de los sedimentos sedescribe mediante un número adimensional, Fgr, que da cuenta del cuociente entre las fuerzasmotrices del flujo y las fuerzas resistentes originadas por el peso de los sedimentos. La relaciónde Acker y White está dada por la siguiente ecuación,

( )awaw

m

aw

graw

n

sgr A

FC

V

u

DR

XhG

−=

+= 1

1* (22)

donde Ggr es una tasa de arrastre adimensional, X es gasto sólido de fondo adimensionalexpresado como el cuociente entre flujo másico de sedimentos y flujo másico de agua, h es laaltura del flujo, y u* es la velocidad de corte. El número de movilidad esta dado por la siguienterelación,


9

( )awn

ss

n

grDh

V

RgD

uF

−

=

1

*

/10log32(23)

Caw, Aaw, maw y naw son números adimensionales que dependen del diámetro de las partículasexpresado adimensionalmente como Dgr,

3/1

2

=

νgR

DD sgr (24)

donde ν es la viscosidad cinemática del agua. Para mezclas de sedimento Ackers y Whiterecomiendan utilizar el D35 como diámetro característico. Las expresiones para estos númerosson,

( )

−−=

+=

+=

−=

≤≤

53.3loglog86.2log

34.166.9

14.023.0

log56.00.1

601

2grgraw

graw

gr

aw

graw

gr

DDC

Dm

DA

Dn

D (25)

====

025.0

5.1

17.0

0.0

60

aw

aw

aw

aw

gr

C

m

A

n

D (26)

El parámetro Aaw corresponde al valor de Fgr para el cual se inicia el movimiento de laspartículas. Finalmente, de la ecuación (22) se obtiene Ggr y de la definición de X, el gasto sólidovolumétrico de fondo puede ser escrito como

Qu

V

h

DGQ

Q

QX

n

sgrs

ss

=⇒=

*ρρ

(27)

Relación de Parker (1990)La fórmula de Parker fue desarrollada para cauces con granulometría extendida cuyo lechoesta compuesto principalmente por gravas donde los efectos de escondimiento ysobreexposición de las partículas son importantes. La metodología de Parker considera que elarrastre de fondo se genera a partir de la movilización de las partículas presentes en lasuperficie del lecho, es decir aquellas expuestas directamente a la acción del flujo, por lo que elvalor del gasto sólido de fondo total tiene una dependencia con la fracción granulométrica decada tamaño presente en la superficie del lecho. La tasa adimensional de arrastre se definecomo,


10

i

sisi fu

RgqW

3*

* = (28)

donde qsi es el gasto sólido volumétrico por unidad de ancho y fi es la fracción granulométricadel diámetro Dsi presente en la superficie del lecho. La tasa adimensional de arrastre estárelacionada a las condiciones del flujo mediante la siguiente expresión,

=

sg

siosgosi D

DgwGW φ00218.0* (29)

En esta expresión w corresponde una función de segregación, Dsg es el diámetro mediogeométrico del sedimento, go la función de escondimiento y φsgo una expresión del esfuerzo decorte adimensional. Cada uno de estos parámetros y funciones se detalla a continuación,

0386.0;; *2**

*

*

=== sgosg

sgsgo

sgsgo RgD

u ττττ

φ (30)

0951.0−

=

sg

si

sg

sio D

D

D

Dg (31)

( )11 −+= oo

wwφ

φ

σσ

(32)

( )( )∑

=

ii

sgsi fDD

2

2ln

/lnφσ (33)

( )

( )

( ) ( )[ ]

<

≤≤−−−

>−

=

1

59.11128.912.14exp

59.1/853.015474

2.14

2

5.4

ζζ

ζζζ

ζζ

ζG (34)

Los parámetros wo y σφo son funciones de φsgo y se encuentran tabulados en la Fig. 3 de Parkerand Sutherland (1990). La relación de Parker está definida para sedimentos de tamaño mayor a2 mm, por lo que sedimentos de diámetro menor deben ser excluidos de la curvagranulométrica y las fracciones fi redefinidas.

Relación de Wilcock y Crowe (2003)Wilcock y Crowe (2003) indican que el contenido de arenas en la distribución granulométricatiene un efecto altamente no lineal en el transporte de gravas. De este modo siguiendo la ideas


11

de Parker, desarrollan una metodología que permite incluir completamente la distribucióngranulométrica del sedimento en el transporte de fondo.

( ) ( )( )

≥−

<==

− 35.1894.0114

35.1002.0

;5.0

5.7

*

φφ

φφφφ GGWsi (35)

donde,

b

sg

si

rn

sg

D

D−

=

*

*

ττ

φ (36)

−+

=

sg

si

D

Db

5.1exp1

67.0

(37)

( )srn f20exp014.0021.0* −+=τ (38)

donde fs es la fracción de arenas en la superficie del lecho.

MODELO DE CORRIENTES DE TURBIDEZ

Formulación Teórica

Hasta ahora, todos los modelos de corrientes de turbidez, a excepción de uno aparentemente,han sido desarrollados sin considerar una influencia desde aguas abajo (Ej, Parker, 1986,Kostic y Parker 2003a). Sin embargo, aquellas corrientes que ocurren en embalses tienen altasposibilidades de alcanzar el muro y de desarrollar resaltos hidráulicos internos. Toniolo et al.(2002) han desarrollado un modelo matemático y numérico que describe la hidrodinámica deuna corriente de turbidez unidimensional, sin efectos de topografía, que puede cambiar derégimen en su trayecto. Las ecuaciones de conservación de volumen, masa y momentum parala mezcla de sedimento fino y agua son,

( ) scwccc vUe

x

hU

t

h δδ −−=∂

∂+∂∂

1 (39)

Cvx

ChU

t

Chs

ccc −=∂

∂+∂

∂(40)

222

2

1cfc

csc

cccc UCRgSChx

ChRgvU

x

hU

t

hU −+∂

∂−=+∂

∂+∂

∂ δ (41)

donde hc es la altura de la corriente de turbidez, Uc la velocidad longitudinal media integradaen la vertical, C es la concentración volumétrica integrada en la vertical, vs es la velocidad de


12

sedimentación de las partículas finas en un cuerpo de agua en reposo, cf es un coeficiente defricción, S es la pendiente longitudinal del fondo y δ es un parámetro que toma un valorunitario en régimen subcrítico y cero en régimen supercrítico. Este parámetro permiteincorporar en un solo conjunto de ecuaciones las diferencias existentes en ambos regímenes dela corriente. En el régimen supercrítico existe incorporación de fluido ambiente y la velocidadde sedimentación no tiene influencia en el descenso de la interfaz, mientras que en el régimensubcrítico, donde la turbulencia decae, la interfaz es distinguible, desciende a una velocidad vs yla incorporación de fluido ambiente se hace despreciable. Finalmente ew es el coeficiente deincorporación de agua a través de la interfaz, el cual depende del número de Richardson, Ri, yestá determinado por la siguiente expresión (Parker, 1986).

Riew +

=0204.0

00153.0(42)

2c

c

U

CgRhRi = (43)

Según Toniolo et al. (2002), el fenómeno de inmersión, que determina las condiciones de lacorriente en el extremo de aguas arriba, está íntimamente relacionado con el grado de mezclaexistente en la zona de confluencia. La razón entre la profundidad del flujo en el punto deinmersión, hp, y la profundidad del flujo sumergido de la corriente en el extremo de aguasarriba, hd (Figura 4), puede determinarse con la siguiente expresión,

Río

Punto de Inmersión

hp

hd

Corriente de Turbidez

Figura 4.- Esquema del punto de inmersión

( ) ( ) 011

11

22

22223

3 =−+

−+−+−

− χγ

γγγχγχ

χχ (44)

donde, γ es el coeficiente que indica el grado de mezcla en la zona de inmersión, con valoresentre 0 y 1. Además,

p

d

h

h=−= ϕϕχ ;1 (45)

( )( )3

3223

22

1;1

2

1

γϕϕ

γ +=−= d

pp

FrFrFr (46a,b)


13

2

1

FrRi = (47)

Frp es el número de Froude densimétrico en el punto de inmersión, Frd es el número de Froudedensimétrico en el flujo sumergido, inmediatamente después del punto de inmersión. La formade proceder es: especificando γ determinar ϕ a partir de (44) y (45), con ambos valoresdeterminar Frp y luego Frd a partir de (46a,b)

Modelo Numérico

Escribiendo el sistema (39) a (41) de forma vectorial se tiene,

( ) ( )ctctctctct US

t

UF

t

U=

∂∂

+∂

∂(48)

donde, de manera análoga a (4), Uct es el vector de variables conservadas de la corriente, Fct elde los Flujos y Sct el de los términos fuente, todos los cuales se definen a continuación,

( )

( )( )

−−−

−−=

+=

=

cscfc

s

scw

ctct

ccc

cc

cc

ctct

cc

c

c

ct

UvUcRgSCh

Cv

vUe

US

RgChhU

ChU

hU

UF

hU

Ch

U

U

δ

δδ

2

22

12

1

;

(49)

El predictor del método numérico utiliza diferencias finitas hacia delante, mientras que elcorrector utiliza diferencias finitas hacia atrás. Si se denotan con superíndices p y c a lospredictores y correctores respectivamente, el cálculo de la solución en el instante n+1 se realizade la siguiente forma,

( ) incti

ncti

nct

iii

nct

pct tSFF

xx

tUU ∆+−

−∆−= +

+1

1

(50)

( ) ip

ctip

ctip

ctii

ip

ctcct tSFF

xx

tUU ∆+−

−∆−= −

−1

1

(51)

21 i

ccti

nctn

ict

UUU

+=+ (52)

Para eliminar las oscilaciones que se presentan en torno a gradientes altos se utiliza unesquema de viscosidad artificial dado por Jameson et al. (1981). En primer lugar se calculanlos siguientes parámetros,


14

( )iii

icicic

icicic

i x

t

hhh

hhhεεκεε ,max;

2

212/1

11

11++

−+

−+

∆∆=

+++−

= (53)

donde κ es un parámetro que regula la cantidad de viscosidad artificial que se introduce.Luego, las variables conservadas se modifican según la siguiente expresión,

( ) ( )11

12/1

1112/1

11 +−

+−

++++

++ −−−+= ni

nii

ni

nii

ni

ni ζζεζζεζζ (54)

Como todo esquema numérico explícito, la discretización espacio-temporal está sujeta a lacondición de Courant-Friedrichs-Levy, en este caso dada por,

( ) NighUx

tMaxN icctcCFL ≤≤≤

+∆∆= 11 (55)

Como condición inicial se fija una concentración pequeña (~10-3) en todo el dominio de lacorriente, mientras que el caudal por unidad de ancho en todo el dominio Uchc se iguala al queexiste en el extremo de aguas arriba determinado por el fenómeno de inmersión, para luegodeterminar las variables de manera independiente mediante la condición de crisis interna, esdecir Ri=1. Finalmente la modificación del lecho producto de la depositación de finos secalcula a partir de la siguiente expresión.

Cvt

smλ

η−∆=∆

1(56)

donde λm es la porosidad del depósito de finos.

APLICACIÓN Y RESULTADOS

Modelo de Sedimento Grueso

En primer lugar se aplicó el modelo de sedimento grueso sin incorporar el desarrollo de unacorriente de turbidez con el fin de evaluar el comportamiento de cada una de las relacionespresentadas para estimar el gasto sólido de fondo. Se utiliza un embalse hipotético cuyascaracterísticas permiten probar la capacidad de los esquemas numéricos utilizados, enparticular la capacidad del esquema de Ying para resolver flujos que presentan cambios derégimen o escurrimientos cercanos a la crisis.

La geometría del embalse se presenta en la Figura 5 donde se muestra el ancho basal y el anchoa una distancia de 20 m desde el fondo del cauce. El perfil longitudinal del lecho tiene unapendiente de 1% la cual permite el desarrollo de regímenes transcríticos o supercríticos. Semodela una extensión de 12 Km, con el dominio espacial dividido en tramos de 50 m lo queentrega un total de 241 nodos. El caudal se mantiene constante durante el período demodelación e igual a 60 m3/s, el coeficiente de Manning adoptado para el cauce es 0,03 s/m1/3,la elevación de la superficie libre, aguas arriba del muro es de 100 m, la porosidad de los


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depósitos de sedimento grueso se fija en 0.3 y se utiliza un número de Courant de 0.7 en elesquema del flujo. Con estas condiciones la situación inicial del embalse se muestra en laFigura 5 y Figura 6.

Figura 5.- Izquierda, vista en planta del embalse, fondo del cauce y ancho a una elevación de 20 m. Derecha, elevacionesiniciales del lecho y la superficie de agua

Figura 6.- Izquierda, acercamiento a las elevaciones del tramo inicial del cauce. Derecha, perfil longitudinal del cuadradodel número de Froude

Figura 7.- Izquierda, granulometría estero Oak Creek con y sin arenas. Derecha, contenido por rango según la Tabla 2


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Tabla 1.- Distribución granulométrica estero Oak creek

Con Arenas Sin ArenasDs [mm] % más fino Ds [mm] % más fino

203 100 203 100102 92.3 102 92.376 73.9 76 73.951 47.5 51 47.538 34.5 38 34.525 21.7 25 21.719 15 19 159.5 8.9 9.5 8.94.8 5.4 4.8 5.42.4 3.6 2.4 3.61.2 2.5 2 3.310.59 1.60.3 0.60.15 0.3

0.074 0.1

Tabla 2.- Fracciones por rango de la granulometría del estero Oak Creek

Con Arenas Sin ArenasRango [mm] Dsi [mm] fi Rango [mm] Dsi [mm] fi

203-102 143.90 7.7 203-102 143.90 8.0102-76 88.05 18.4 102-76 88.05 19.076-51 62.26 26.4 76-51 62.26 27.351-38 44.02 13 51-38 44.02 13.438-25 30.82 12.8 38-25 30.82 13.225-19 21.79 6.7 25-19 21.79 6.919-9.8 13.44 6.1 19-9.8 13.44 6.39.5-4.8 6.75 3.5 9.5-4.8 6.75 3.64.8-2.4 3.39 1.8 4.8-2.4 3.39 1.92.4-1.2 1.70 1.1 2.4-2.0 2.19 0.3

1.2-0.59 0.84 0.90.59-0.3 0.42 10.3-0.15 0.21 0.3

0.15-0.074 0.11 0.2<0.074 0.1

Para caracterizar el material de fondo se utilizó la curva granulométrica del estero Oak Creekextraída del trabajo de Parker (1990), ésta se detalla en la Figura 7, la Tabla 1 y la Tabla 2. Losdiámetros D50 y D35 corresponden a 52.3 mm y 38.4 mm respectivamente, mientras que eldiámetro medio geométrico con y sin arenas corresponde a 39.5 y 46.2 mm respectivamente.

El periodo modelado, bajo las condiciones descritas, tiene una extensión de seis meses, al cabode los cuales el sedimento grueso se ha depositado según se muestra en la Figura 8 y la Figura9. En la Figura 10 se presenta la condición final del cuadrado del número de Froude en cadacaso. Se puede apreciar la variabilidad de los resultados y la dificultad de realizar una análisiscomparativo. Un análisis cuantitativo de la depositación es estrictamente aplicable a lascondiciones particulares de cada problema, es decir, es incorrecto concluir, a partir de la Figura9, que en general las relaciones de Meyer-Peter y Müller y la de Ackers y White entregan


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resultados similires Para ilustrar esto se realiza una modelación comparando la fórmula deMeyer-Peter y Müller con la de Ackers y White para una nueva distribución granulométricadetallada en la Figura 11. Para esta granulometría el D50 y el D35 corresponden a 78.6 mm y32.9 mm respectivamente. Los resultados se presentan en la Figura 12 donde se puede apreciarque en este caso la diferencia entre los resultados dados por ambas fórmulas es radicalmentedistinto. El origen de la diferencia es no es difícil de encontrar, y corresponde al cambio en laforma y el valor del D50 de ambas distribuciones granulométricas. El incremento del D50 en lagranulometría de la Figura 11 disminuye el arrastre de la fórmula de Meyer-Peter y Müller porcuanto el esfuerzo de corte adimensional es menor, lo cual se aprecia en la Figura 13(Izquierda). Por otro lado, aunque la variación del D35 es mínima (5 mm), el avance del deltaentregado por la fórmula de Ackers y White difiere en aproximadamente 250 m al utilizar lasdistintas distribuciones granulométricas (Figura 13, Derecha).

Figura 8.- Comparación de la evolución del sedimento grueso utilizando las distintas fórmulas de gasto sólido para unperiodo de modelación de seis meses

Figura 9.- Acercamiento al delta de la Figura 8.


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Figura 10.- Condición Final para el Fr2.

Figura 11.- Distribución granulométrica utilizada para comparar las relaciones de Meyer-Peter y Müller y Ackers y White.

Figura 12.- Comparación de resultados entre las relaciones de Meyer-Peter y Müller y Ackers y White utilizando ladistribución granulométrica de la Figura 11.


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Figura 13.- Comparación para cada una de las fórmulas utilizando las distribuciones granulométricas de la Figura 7 y laFigura 11. Izquierda, Fórmula de Meyer-Peter y Müller. Derecha, Fórmula de Ackers y White.

Modelo Completo

A continuación se presentan los resultados de la incorporación de la corriente de turbidez y ladepositación de los sedimentos finos en la evolución del lecho del embalse. Con el fin deidentificar el efecto de los sedimentos finos en el resultado final de la depositación, y deapreciar la interacción que existe con los sedimentos gruesos, se seleccionó la fórmula deMeyer-Peter y Müller para evaluar el gasto sólido de fondo, utilizando la granulometría de laFigura 7, es decir un D50 de 52.3 mm. Para la corriente de turbidez se utiliza una concentraciónde sedimento fino en el cauce afluente de 0.001, el factor de fricción utilizado, cf, es de 0.01.La porosidad de los depósitos de sedimento fino se iguala la de los sedimentos gruesos, esdecir 0.3, aun cuando para los depósitos de finos puede tomar un valor mayor. El coeficientede mezcla para el punto de inmersión, γ, se estima en 0.6, el número de Courant utilizado en elesquema numérico de la corriente es 0.7, y el factor de viscosidad artificial, κ, se fija en 0.1.

En la Figura 14 se presenta la depositación al final de cada mes, y la condición final para elflujo y la corriente de turbidez.

Figura 14.- Resultado de la depositación al final de cada mes. La línea continua azul corresponde la cota de superficielibre y la punteada a la interfaz entre la corriente de turbidez y el agua del embalse.


20

La Figura 14 indica al mismo tiempo, de manera aproximada, la evolución de la interfaz entrelos sedimentos gruesos y finos, y por otro lado la formación del resalto hidráulico interno y elembanque de la corriente. Toniolo (2002) demuestra teóricamente que la elevación de lainterfaz en la zona subcrítica de la corriente es horizontal y que la concentración de la corrientees constante en la dirección longitudinal. Ambos resultados son reproducidos con éxito por elmodelo. (Figura 15)

Figura 15.- Perfil de concentración de sedimento fino en la situación final.

En la Figura 16 se puede apreciar el efecto de la inclusión del transporte de sedimentos finossobre el depósito final en el embalse. Aunque en este caso el efecto sobre el avance del delta esmínimo, es posible apreciarlo en el acercamiento así como también la elevación de los nivelesdel lecho en la zona del cauce

Figura 16.- Efecto de los sedimentos finos sobre la depositación en el embalse


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CONCLUSIONES

El modelo numérico presentado permite simular la evolución conjunta de los procesos dedepositación de sedimentos gruesos y finos en un embalse. La evolución de ambos tipos desedimento es capturada de manera diferenciada, tomando en cuenta la forma de transporte decada uno de ellos en un cauce natural. Importantes observaciones pueden realizarse a partir delos resultados expuestos. En primer lugar, las bases de desarrollo de cada una de las relacionesde gasto sólido de fondo indican que, en ríos de alta montaña donde lecho está principalmentecompuesto de gravas y arenas y la distribución granulométrica presenta una extensiónconsiderable, las fórmulas de Meyer-Peter y Müller y Ackers y White omiten fenómenos deextrema importancia, como el escondimiento y sobreexposición de las partículas y el transportediferenciado de cada fracción granulométrica. Ambas utilizan un diámetro único paracaracterizar el sedimento. La fórmula de Meyer-Peter y Müller fue desarrollada utilizandodatos experimentales con distribuciones de sedimento uniforme o no muy extendidas. En elcaso de Ackers y White, los datos usados en la deducción de los parámetros adimensionalescorresponden a experimentos de laboratorio, en los cuales el tamaño de los sedimentos seubica principalmente en el rango 0.04 a 2.5 mm, el flujo es uniforme y con valores del númerode Froude menores a 0.8. Es explícitamente declarada por los autores la necesidad de mayorestudio para la aplicación de la fórmula a condiciones que difieren de las utilizadas en losexperimentos. Por otro lado, según Parker (1990), una relación de gasto sólido debe estarbasada en la composición de la superficie del lecho y debe ser capaz de identificar el transporteselectivo de los sedimentos en condiciones de desequilibrio. Estos argumentos podrían indicarque las relaciones de Parker y Wilcock y Crowe son más adecuadas a las condiciones que sepresentan en cauces de alta montaña. Sin embargo, es necesario recalcar que la utilización decualquier fórmula de gasto sólido debe estar apoyada por datos de terreno que permitan tomaruna decisión confiable.

En cuanto a la corriente de turbidez, el modelo captura adecuadamente la hidrodinámicadescrita por las ecuaciones, reproduciendo las condiciones esperadas en la zona subcrítica.Mediciones de terreno que permitan calibrar ciertos parámetros como el coeficiente de mezclaγ, el factor de fricción cf, la velocidad de sedimentación de las partículas finas, vs, o laconcentración afluente de sedimento fino son preponderantes para una correcta modelación dela influencia del sedimento fino y los depósitos resultantes

Es necesario notar que hasta el momento no existe un software comercial que resuelvaconjuntamente la depositación de finos y gruesos en un embalse, ni que incorpore lamodelación de corrientes de turbidez. Muchos de los software que pueden tratar el problemade los sedimentos gruesos tienen serios problemas para representar regímenes supercríticos yno incorporan las fórmulas más recientes para el gasto sólido, todo lo cual es solucionado coneste modelo. Actualmente se trabaja en implementar el esquema de numérico de Ying (2004)para resolver la corriente de turbidez, ya que éste posee características conservativas, puedecapturar discontinuidades y es más eficiente en términos computacionales que el esquema deMacCormack.

Agradecimiento. Al Dr. Xinya Ying (NCCHE, Universidad de Mississippi) por su disposicióny constante colaboración con este trabajo y al Departamento de Ingeniería Civil de laUniversidad de Chile.


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LISTA DE SÍMBOLOS

A : área de escurrimiento del flujog : aceleración de gravedadn : coeficiente de rugosidad de ManningQ : caudal del flujoRh : radio Hidráulico del flujoSf : pendiente de la línea de energíat : tiempox : coordenada longitudinalZ : elevación de la superficie libre de aguaU : vector de variables conservadas para el flujo de aguaF(U) : vector de flujos de las variables conservadas para el flujo de aguaS(U) : vector de términos fuente para el flujo de agua∆t : discretización temporal∆xi : longitud de la celda en torno al nodo iFi+1/2 : flujo en la interfaz entre los nodos i e i+1w1,w2 : ponderadores de los gradientes de superficie libre´cr

down,up : número de Courant local, aguas abajo o aguas arribaV : velocidad media del flujoNCFL : valor del número de Courant para la condición de Courant-Friedrichs-LevyB : ancho superficial de la sección de escurrimientoAs : área de sedimento depositadoQs : gasto sólido volumétrico totalλs : porosidad del sedimento grueso

sA : promedio espacial del área de sedimento depositado en el intervalo ∆x

sQ : promedio temporal del gasto sólido en intervalo ∆t

kmi : promedio de los taludes izquierdo y derecho de la sección transversal i

mk : promedio entre kmi y kmi-1

bw : ancho basal de la sección

wb : promedio del ancho basal entre las secciones i e i-1

∆ηi : variación de la cota del lecho en la sección iτ∗ : esfuerzo de corte adimensionalGgr : tasa de arrastre adimensional en la fórmula de Ackers y WhiteX : gasto sólido de fondo adimensional (flujo másico de sedimento/flujo másico de

aguah : profundidad del flujou* : velocidad de corteR : relación especifica de densidadesFgr : número de movilidad de los sedimentos en la relación de Ackers y WhiteCaw : coeficiente de la fórmula de Ackers y Whitenaw : coeficiente de la fórmula de Ackers y WhiteAaw : valor critico de Fgr para el inicio del movimiento de las partículasmaw : coeficiente de la fórmula de Ackers y WhiteDgr : diámetro adimensional de las partículas en la formula de Ackers y White


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W*si : Tasa de transporte adimensional de la fracción i

qsi : gasto sólido de fondo volumétrico por unidad de anchofi : fracción de sedimento de diámetro i en la superficie del lechow : función de segregacióngo : función de escondiemientoDsg : diámetro medio geométricoφsgo : expresión del esfuerzo de corte adimensional en la relación de ParkerG : función de gasto sólido adimensionalτ*

sg : esfuerzo de corte adimensionalizado con Dsg

τ*sgo : valor de referencia del esfuerzo de corte adimensionalizado con Dsg

σφ : desviación estándar geométrica en escala lnζ : variable argumentofs : fracción de arenas en la superficie del lechoφ : expresión del esfuerzo de corte adimensional en la relación de Wilcock y Crowehc : profundidad de la corriente de turbidezUc : velocidad integrada en la vertical de la corriente de turbidezvs : velocidad de sedimentación de las partículas de sedimento finoδ : parámetro que indica el tipo de régimen de la corriente de turbidezew : coeficiente de incorporación de agua a la corriente de turbidezC : concentración volumétrica promediada en la vertical de la corriente de turbidezS : pendiente de fondocf : coeficiente de fricción para la corriente de turbidezRi : número de Richardsonγ : coeficiente de mezcla de la zona de inmersiónFrp : número de Froude densimétrico en el punto de inmersiónFrd : número de Froude densimétrico en el flujo sumergidohp : profundidad del flujo en el punto de inmersiónhd : la profundidad del flujo sumergido de la corriente en el extremo de aguas arribaUct : vector de variables conservadas en la corriente de turbidezFct : vector de flujos de las variables conservadas en la corriente de turbidezSct : vector de términos fuente para la corriente de turbidez(·)ct

p : predictor del vector en la corrientes de turbidez(·)ct

c : corrector del vector en la corriente de turbidezεi : parámetro de viscosidad artificialκ : parámetro regulador de la cantidad de viscosidad artificial aplicadaλm : porosidad del deposito de sedimentos finos

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