m - příprava na 3. čtvrtletní písemnou práci · - v tomto případě je druhá souřadnice...

M - Příprava na 3. čtvrtletnípísemnou práci

Určeno pro třídu 1ODK.

Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu doSystem - EduBase. Více informací o programu naleznete na www.dosli.cz.

VARIACE

1

M - Příprava na 3. čtvrtletní písemnou práci 1

Funkce - základní pojmy±

Funkce je přiřazení, které každému prvku nějaké zadané množiny M přiřazuje právě jedno reální číslo.

Množinu M nazýváme definiční obor - značíme D, případně D(f)

Reálná čísla, která jsou takto přiřazena, nám tvoří další množinu, kterou nazýváme obor hodnot funkce - značíme H, případně H(f).

Funkce může být zadána různými způsoby:• tabulkou

x 1 2 3 4 5 6 7 8y 8 12 14 16 20 4 8 24

• spojnicovým diagramem

• rovnicí

y = 2x + 5

• grafem

Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)2.4.2006 11:57:05 1 z 64


Zadání funkce - procvičovací příklady±

1. Určete, zda jde o graf funkce:

AnoVýsledek:

599


NeVýsledek:

601

3. Určete, zda jde o tabulku představující funkci:x * o # $y 1 3 3 2

AnoVýsledek:

593




NeVýsledek:

602


NeVýsledek:

600

6. Určete, zda jde o tabulku představující funkci:x * o # oy 1 3 3 2

NeVýsledek:

596

7. Určete, zda jde o zápis funkce:y = 2x

2 + 6

AnoVýsledek:

598



8. Určete, zda jde o tabulku představující funkci:x 2 6 2 8y 1 3 4 2

NeVýsledek:

594

9. Určete, zda jde o tabulku představující funkci:x 5 4 6 8y * o # $

NeVýsledek:

597

10. Určete, zda jde o tabulku představující funkci:x 2 6 7 8y 1 3 4 2

AnoVýsledek:

595

Definiční obor funkce±

Určování definičního oboru funkce je trochu podobná činnost jako určování podmínek řešitelnosti u lomených výrazů. Musíme tedy vždy určit, pro jaká čísla funkce nenabývá žádné funkční hodnoty - jinými slovy, pro jaké hodnoty nezávisle proměnné neexistuje odpovídající závisle proměnná.

Z uvedeného tedy vyplývá, že pokud má být definiční obor funkce jiný než celá množina reálných čísel, je to zpravidla tehdy, pokud se v rovnici, představující zápis funkce, vyskytuje proměnná ve jmenovateli, pod sudou odmocninou, za logaritmem, apod.

Definiční obor funkce f zapisujeme:D(f) = RD(f) = (-¥; 0>D(f) = {2; 6; 8}D(f) = R \ {0}Při zápisu tedy používáme označení číselných oborů, intervaly, případně množiny.

Definiční obor funkce - ukázkové příklady±

1. Určete definiční obor funkce f:

)3).(12( +-= xxyx Î (-¥; -3> È <0,5; +¥)Výsledek:

621

2. Určete definiční obor D(t) funkce f:

x

xy

56 -=

D(f) = <0; 6/5>Výsledek:

620



3. Určete definiční obor D(f) funkce f:

4 2xy =D(f) = RVýsledek:

618

4. Určete definiční obor D(f) funkce f:

)11(6 2 +-= xxyD(f) = { }Výsledek:

619

Definiční obor funkce - procvičovací příklady±

1.

Výsledek:

626

2.

Výsledek:

622

3.

Výsledek:

627

4.

Výsledek:

625

5.

Výsledek:

631

6.

Výsledek:

630



7.

Výsledek:

624

8.

Výsledek:

629

9.

22 33 xxy -+-=x Î {± Ö3} Výsledek:

623

10.

Výsledek:

628

Vlastnosti funkce±

1. Funkce rostoucí, klesající a konstantní

Funkce je rostoucí, jestliže pro vyšší hodnotu nezávisle proměnné z definičního oboru nabývá i vyšší funkční hodnoty. Jinými slovy plati:" (x2 > x1) Î D Þ f(x2) > f(x1)Příkladem rostoucí funkce je y = 2x + 5

Funkce je klesající, jestliže pro vyšší hodnotu nezávisle proměnné z definičního oboru nabývá nižší funkční hodnoty. Jinými slovy plati:" (x2 > x1) Î D Þ f(x2) < f(x1)Příkladem klesající funkce je y = -2x + 3

Funkce je konstantní, jestliže pro libovolné dvě hodnoty nezávisle proměnné z definičního oboru nabývá vždy stejné funkční hodnoty. Jinými slovy plati:" (x2 ¹ x1) Î D Þ f(x2) = f(x1)Příkladem konstantní funkce je y = 6

Pozn.: Graf funkce rostoucí jde "do kopce", graf funkce klesající "jde z kopce", graf funkce konstantní je přímka (nebo její část) rovnoběžná s osou x.

Pozn.: Funkce nerostoucí a funkce neklesající.

2. Funkce sudá a funkce lichá

Funkce je sudá, jestliže pro " x Î D platí, že f(x) = f(-x)



Graf funkce sudé je vždy osově souměrný podle osy y.Příklad sudé funkce: y = 2x

2

Funkce je lichá, jestliže pro " x Î D platí, že f(-x) = -f(x)Graf funkce liché je vždy středově souměrný podle počátku.Příklad liché funkce: y = 2x

3

3. Funkce periodická

Periodická je taková funkce, která ve svém definičním oboru nabývá pravidelně se opakující hodnoty.Příklad periodické funkce: y = sin x

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Průsečíky s osami u funkcí

Průsečíky se souřadnicovými osami určíme tak, že vždy řešíme příslušnou rovnici.

Příklad:Je dána funkce y = 2x - 3Určete průsečík X s osou x a průsečík Y s osou y.

Řešení:1. Průsečík s osou x. Jedná se vlastně o bod ležící na ose x, tedy o bod, který má souřadnici y rovnu 0.Proto 2x - 3 = 0 a po vyřešení rovnice dostáváme x = 1,5Bod X[1,5; 0]2. Průsečík s osou y. Jedná se vlastně o bod ležící na ose y, tedy o bod, který má souřadnici x rovnu 0.Proto y = 2.0 - 3 = -3Bod Y[0; -3]

Vlastnosti funkce - procvičovací příklady±

1.

Výsledek:

634

2.

Výsledek:

639

3.

Výsledek:

638

4.

Výsledek:

642



5.

Výsledek:

633

6.

Výsledek:

640

7.

Výsledek:

635

8.

Výsledek:

632

9.

Výsledek:

636

10.

Výsledek:

641

11.

Výsledek:

637

Lineární funkce±

Lineární funkce je funkce, která je dána rovnicí y = ax + b, kde a, b jsou reálná čísla.

Grafem lineární funkce je přímka (nebo její část).



Definičním oborem každé lineární funkce jsou všechna reálná čísla.Oborem hodnot každé lineární funkce jsou všechna reálná čísla.

Průsečíky grafu lineární funkce s osami:1. s osou x:- v tomto případě je druhá souřadnice bodů rovna nule, proto do rovnice funkce dosadíme za y = 0 a vypočteme první souřadnici průsečíku s osou x.Příklad:Určete průsečík funkce y = 2x - 1 s osou x.

Řešení:Hledaný bod X[x; y]Dosadíme za y = 0, proto 0 = 2x - 1Vyřešíme vzniklou rovnici a dostáváme x = 0,5

Závěr: Hledaný průsečík je X[0.5; 0].

2. s osou y:- v tomto případě je první souřadnice bodů rovna nule, proto do rovnice funkce dosadíme za x = 0 a vypočteme druhou souřadnici průsečíků s osou y.Příklad:Určete průsečík funkce y = 2x - 1 s osou y.

Řešení:Hledaný bod Y[x;y]Dosadíme za x = 0, proto y = 2.0 - 1Vyřešíme vzniklou rovnici a dostáváme y = -1

Závěr: Hledaný průsečík je Y[0; -1].

Zvláštní případy lineární funkce:1. Je-li v rovnici lineární funkce číslo a = 0, pak y = 0. x + b, neboli y = b

- jedná se o tzv. konstantní funkci- grafem je přímka, která je rovnoběžná s osou x



2. Je-li v rovnici lineární funkce číslo b = 0, pak y = ax + 0, neboli y = ax- jedná se o přímou úměrnost- grafem je přímka (nebo její část), která vždy prochází počátkem souřadného systému

Vlastnosti lineární funkce:

1. Lineární funkce je rostoucí, je-li a > 0.2. Lineární funkce je klesající, je-li a < 0.Číslo a se také někdy nazývá směrnice přímky.

Pozn.: Je-li a = 0, je funkce konstantní, tedy nerostoucí i neklesající.

Určení rovnice lineární funkce ze zadaných bodů

Vzhledem k tomu, že víme, že grafem lineární funkce je přímka, a přímka je vždy jednoznačně určena dvěma body, stačí nám pro zadání lineární funkce její dva body. Jedním z těchto bodů může být klidně některý z průsečíků s osami, případně i počátek souřadného systému.

Příklad:Určete rovnici lineární funkce, jejíž graf prochází body A[2; 3], B[-1; 2]

Řešení:Obecná rovnice je y = ax + b. Dosadíme do ní postupně souřadnice obou bodů:3 = 2a + b2 = -a + b------------------Dostali jsme soustavu rovnic, kterou vyřešíme sčítací nebo dosazovací metodou.Já použiji např. sčítací:První rovnici opíšu, druhou vynásobím dvěma:



3 = 2a + b4 = -2a + 2b------------------Obě rovnice sečtu:7 = 3bb = 7/3Vrátím se k původním rovnicím a tentokráte opět první rovnici opíšu a druhou vynásobím (-1):3 = 2a + b-2 = a - b------------------Opět obě rovnice sečtu:1 = 3aa = 1/3Dosadíme zpět do původní obecné rovnice lineární funkce a dostaneme:

3

7

3

1+= xy

Tím jsme stanovili rovnici lineární funkce, která oběma body prochází.

Grafické řešení soustavy lineárních rovnic

Obě rovnice převedeme do tvaru y = ax + b a sestrojíme grafy obou nově vzniklých funkcí. Souřadnice průsečíku těchto funkcí představují řešení původní soustavy lineárních rovnic.

Lineární funkce - procvičovací příklady±

1.

Výsledek:

676

2.

Výsledek:

682



3.

Výsledek:

675

4.

Výsledek:

677

5.

Výsledek:

668

6.

Výsledek:

679



7.

Výsledek:

673

8.

Výsledek:

678

9.

Výsledek:

680

10.

Výsledek:

674

11.

Výsledek:

671



12.

Výsledek:

669

13.

Výsledek:

667



14.

Výsledek:

670

15.

Výsledek:

672

16.

Výsledek:

681

Kvadratická funkce±

Kvadratická funkce je funkce, která je dána rovnicí y = ax2 + bx + c, kde a, b, c jsou reálná čísla a číslo a ¹

0.

Grafem kvadratické funkce je parabola (nebo její část).



Graf kvadratické funkce

-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5x

y

Definičním oborem kvadratické funkce jsou všechna reálná čísla.

Je-li číslo a > 0, pak má funkce minimum (viz horní obrázek), je-li a < 0, pak má funkce maximum.

Graf kvadratické funkce

-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5

xy

Názvy členů funkce:

ax2 ... kvadratický člen

bx ... lineární členc ... absolutní člen

I. Kvadratická funkce bez lineárního a bez absolutního členu

- jedná se o funkci, která je dána rovnicí y = ax2

- definičním oborem jsou všechna reálná čísla- oborem hodnot je interval <0; +¥ ), je-li a > 0 a interval (-¥; 0> je-li a < 0 - souřadnice maxima (resp. minima): M[0; 0]- graf tedy protíná obě osy v počátku souřadného systému- čím je absolutní hodnota čísla a větší, tím je graf užší, sevřenější.

II. Kvadratická funkce bez lineárního členu



- jedná se o funkci, která je dána rovnicí y = ax2 + c

- definičním oborem jsou opět všechna reálná čísla- oborem hodnot je interval: pro a > 0 ... <c; +¥) pro a < 0 ... (-¥; c>- souřadnice maxima (resp. minima): M[0; c]- graf tedy protíná osu y v bodě, který nazýváme maximum (resp. minimum)- je-li c > 0 a zároveň a < 0 nebo c < 0 a zároveň a > 0, pak graf protíná i osu x, a to ve dvou bodech,

které jsou osově souměrné podle osy y. Souřadnice průsečíků s osou x mají v tomto případě souřadnice:

úû

ùêë

é -0;1

a

cX

úû

ùêë

é -- 0;2

a

cX

III. Kvadratická funkce se všemi členy

- jedná se o funkci, která je dána rovnicí y = ax2 + bx + c

- definičním oborem jsou opět všechna reálná čísla

Příklad.: Je dána funkce y = 2x2 + 3x + 4. Určete, zda má funkce maximum nebo minimum, zjistěte jeho

souřadnice a určete souřadnice průsečíků s oběma osami.

Řešení: Zda má funkce maximum nebo minimum, to rozhodneme podle čísla a. Vzhledem k tomu, že a = 2, což je větší než nula, má funkce minimum. Jeho souřadnice určíme tzv. doplněním na čtverec. Postup:

1. Vytkneme číslo a ... y = 2.(x2 + 1,5x + 2)

2. Podíváme se, jaké znaménko je u lineárního členu a podle toho rozhodneme, zda použijeme vzorec (A+B)2

nebo (A-B)2. V tomto případě použijeme ten první.

3. Z kvadratického členu u trojčlenu v závorce určíme číslo A. V tomto případě je tedy x.4. Z lineárního členu u trojčlenu v závorce určíme číslo B. V tomto případě je tedy 0,755. Použijeme vzorec a dostaneme y = 2.[(x + 0,75)

2 - 0,75

2 + 2] Pozn. 0,75

2 odečítáme proto, aby nebyla

porušena rovnost, protože jsme to zahrnuli do závorky6. Odstraníme hranatou závorku roznásobením číslem a: y = 2.(x + 0,75)

2 + 2,875

7. Určíme souřadnice hledaného minima: M[-0,75; 2,875] Všimněme si, že první souřadnici určujeme vždy s opačným znaménkem než má člen v závorce a naopak u druhé souřadnice zůstává znaménko zachováno.

Určení průsečíků s osami:a) s osou x V tomto případě y = 0, dosadíme do rovnice funkce a vypočteme x 2x

2 + 3x + 4 = 0

Diskriminant D = 32 - 4.2.4 = 9 - 32 = -23

Vzhledem k tomu, že diskriminant vyšel záporný, nemá kvadratická rovnice řešení a neexistují tedy průsečíky s osou x.

b) s osou y V tomto případě x = 0, dosadíme do rovnice funkce a vypočteme y y = 2.0

2 + 3.0 + 4 = 4

Hledané souřadnice tedy jsou Y[0; 4]Pokud máme souřadnice průsečíků a souřadnice extrému (tj. minima nebo maxima), pak můžeme snadno určit průběh grafu a graf tedy načrtnout. Číslo 2 před závorkou nám ještě říká, že graf bude trochu užší.

Ačkoliv to nebylo úkolem, můžeme nyní i určit obor hodnot funkce zadané v předcházejícím příkladu. Je to jednoduché. Funkce má minimum, tedy hodnoty se nedostanou pod druhou souřadnici tohoto bodu. Oborem hodnot je tedy interval <2,875; +¥)

Kvadratická funkce - procvičovací příklady±



1.

Výsledek:

700

2.

Výsledek:

712

3.

Výsledek:

698



4.

Výsledek:

701

5.

Existuje - viz graf

Výsledek:

705

6.

Výsledek:

697



7.

Platí - viz graf

Výsledek:

706

8.

Neexistuje - viz graf

Výsledek:

704

9.

Výsledek:

713

10.

Výsledek:

707



11.

Výsledek:

715

12.

Výsledek:

703

13.

Výsledek:

699



14.

Výsledek:

710

15.

Výsledek:

711

16.

Výsledek:

702



17.

Výsledek:

709

18.

Výsledek:

708

19.

Výsledek:

714

Mocninné funkce±

Mocninné funkce

Mocninná funkce je taková funkce, ve které se vyskytuje obecně člen xn

A. Uvažujme, že n je přirozené číslo:

Nejjednodušším případem je funkce y = xn.

Vlastnosti mocninné funkce y = xn:

1. Pro n - sudé:• funkce je zdola omezená• definičním oborem jsou všechna reálná čísla• oborem hodnot je interval <0; +¥)• funkce je sudá• funkce je rostoucí v intervalu (0; +¥)• funkce je klesající v intervalu (-¥; 0)• graf funkce je souměrný podle osy y



• grafem je parabola

2. Pro n - liché (n ¹ 1):• funkce není ani zdola, ani shora omezená• definičním oborem jsou všechna reálná čísla• funkce je v celém definičním oboru rostoucí• oborem hodnot jsou všechna reálná čísla• graf funkce je středově souměrný podle počátku• grafem je kubická parabola

Bude-li mít mocninná funkce rovnici y = xn + c, pak je graf tvarově shodný s grafem funkce y = x

n, avšak je

posunutý ve směru osy y o hodnotu c.

Bude-li mít mocninná funkce rovnici y = (x - a)n, pak graf je tvarově shodný s grafem funkce y = x

n, avšak je

posunutý ve směru osy x o hodnotu a.

Pozn.: Logicky lze odvodit, že graf může být posunut současně ve směru obou os.

B. Nyní uvažujme, že číslo n je záporné celé číslo

Nejjednodušším případem je funkce y = x-n, kde n je přirozené číslo

Vlastnosti mocninné funkce y = x-n, kde n Î N

1. Pro n - sudé:• definičním oborem jsou všechna reálná čísla s výjimkou 0• oborem hodnot jsou všechna kladná reálná čísla• v záporné části definičního oboru je funkce rostoucí, v kladné části definičního oboru je funkce klesající• graf funkce je souměrný podle osy y

2. Pro n - liché:• definičním oborem jsou všechna reálná čísla s výjimkou 0• oborem hodnot jsou všechna reálná čísla s výjimkou 0• funkce je v celém definičním oboru klesající• graf funkce je souměrný podle počátku

Pozn.: I v tomto případě můžeme funkci různě modifikovat posouváním ve směru osy y, ve směru osy x, případně ve směru obou os.

Mocninné funkce - procvičovací příklady±

1. Načrtněte graf funkce y = (1 - x)3

Výsledek:

756



2. Načrtněte graf funkce y = x-3 - 1

Výsledek:

752

3. Načrtněte graf funkce y = (x - 1)-3

Výsledek:

753

4.

Výsledek:

751



5.

Výsledek:

755

6.

Výsledek:

754

Rovnice - ekvivalentní úpravy±

Co je rovnice

Rovnice je matematický zápis rovnosti dvou výrazů.

př.: 2x + 5 = 7x - 3

Písmeno zapsané v rovnici nazýváme neznámá. Pokud určíme hodnotu neznámé, získáváme tzv. řešení rovnice nebo též kořen rovnice.

Rovnice můžeme mít s jednou neznámou, se dvěma neznámými, s parametrem, s absolutní hodnotou; rovnice mohou být lineární, kvadratické, kubické, exponenciální, logaritmické, apod. Zabývat se budeme i řešením soustav rovnic, což je zápis dvou nebo více rovnic, zpravidla o dvou nebo více neznámých, přičemž všechny rovnice platí současně.



Ekvivalentní úpravy rovnic

1. ekvivalentní úprava

K oběma stranám rovnice můžeme přičíst (resp. odečíst) stejné číslo. př.: 2x + 3 = 7 - 3x /+3x 5x + 3 = 7Pozn.: V praxi se nejedná o nic jiného než o poznatek, který nám říká, že při převodu členu obsaženého v

součtu nebo v rozdílu z jedné strany rovnice na druhou měníme u tohoto členu znaménko.

2. ekvivalentní úprava

Obě strany rovnice můžeme vynásobit, případně vydělit stejným číslem různým od nuly. př.: 8x = 24 /:8 x = 3

Pozn.: Pokud se u rovnic vyskytuje neznámá ve jmenovateli, musíme před zahájením řešení stanovit podmínky řešitelnosti.

Pozn.: Zatím se budeme zabývat tzv. lineárními rovnicemi, což jsou takové rovnice, u nichž se neznámá vyskytuje pouze v první mocnině.

Pozn.: Pokud při řešení rovnice vyjde závěr, kterým je nepravdivá rovnost (nerovnost), pak daná rovnice nemá řešení. Pokud při řešení rovnice vyjde závěr, kterým je pravdivá rovnost, pak daná rovnice má nekonečně mnoho řešení; řešením jsou pak všechna reálná čísla, jedná-li se o rovnici bez neznámé ve jmenovateli anebo všechna reálná čísla s výjimkou těch, která odporují podmínce řešitelnosti, jedná-li se o rovnici s neznámou ve jmenovateli.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Řešení jednoduchých rovnic- ukázkové příklady

Příklad 1:

Řešení:

Příklad 2:

Řešení:



Příklad 3:

Řešení:

Příklad 4:

Řešení:

x = 9/7

Příklad 5:

Řešení:



Jednoduché lineární rovnice - procvičovací příklady±

1.

-1Výsledek:

806

2.

3Výsledek:

820

3.

-0,5Výsledek:

811

4.

-2,5Výsledek:

834

5.

3

1Výsledek:

825

6.

-5Výsledek:

846



7.

0,5Výsledek:

841

8.

11Výsledek:

836

9.

10Výsledek:

822

10.

4Výsledek:

835

11.

-1,2Výsledek:

823

12.

5Výsledek:

810

13.

2Výsledek:

814

14.

-10Výsledek:

812



15.

-5Výsledek:

832

16.

3

2Výsledek:

805

17.

-1Výsledek:

839

18.

3

1-

Výsledek:

845

19.

2Výsledek:

824

20.

0Výsledek:

843



21.

3Výsledek:

821

22.

87Výsledek:

838

23.

3

1-

Výsledek:

840

24.

13Výsledek:

829

25.

-1Výsledek:

844

26.

0,5Výsledek:

842



27.

1Výsledek:

816

28.

6

1-

Výsledek:

807

29.

13Výsledek:

830

30.

-1Výsledek:

813

31.

-4Výsledek:

831

32.

0,5Výsledek:

809



33.

3

4Výsledek:

828

34.

5Výsledek:

808

35.

-0,5Výsledek:

833

36.

0,5Výsledek:

815

37.

6Výsledek:

818

38.

-9Výsledek:

847

39.

0Výsledek:

850



40.

10Výsledek:

817

41.

Všechna reálná číslaVýsledek:

849

42.

-2Výsledek:

819

43.

-0,5Výsledek:

827

44.

12Výsledek:

837

45.

5Výsledek:

826



46.

0,1Výsledek:

848

Náročnější lineární rovnice - procvičovací příklady±

1.

-1Výsledek:

757

2.

2Výsledek:

762

3.

3Výsledek:

767

4. ( ) ( )xx

x

x

x 1112

2

3

3

=+

-+

-0,5Výsledek:

764

5. ( ) ( ) ( ) 11101123232

-+-=--- xxxx

1Výsledek:

760

6.

1,2Výsledek:

759



7.

-4Výsledek:

766

8.

Nemá řešeníVýsledek:

776

9.

-12Výsledek:

765

10.

5Výsledek:

758

11.


773

12.

Nemá smyslVýsledek:

769

13.


768



14.

4Výsledek:

777

15.

Výsledek:

770

16.

8Výsledek:

761

17.

Nekonečně mnoho řešeníVýsledek:

775

18.

-33Výsledek:

771

19.

14Výsledek:

772



20.

1Výsledek:

774

21.

8Výsledek:

763

Vyjádření neznámé ze vzorce±

Při vyjadřování neznámé ze vzorce postupujeme obdobně, jako kdybychom řešili rovnici, s tím, že za neznámou považujeme veličinu, kterou potřebujeme vyjádřit.

Základní pravidla:1. Pokud některý člen převádíme z jedné strany "rovnice" na druhou, měníme u tohoto členu znaménko

Příklad: Vyjadřujeme veličinu a ze zápisu 2a + 3b = 4mn, dostáváme 2a = 4mn - 3b

2. Pokud osamostatňujeme proměnnou, která je vázána v součinu, dělíme celou "rovnici" všemi činiteli, které se kromě osamostatňované proměnné v součinu vyskytují Příklad: Vyjadřujeme veličinu a ze zápisu 4abc

2 = 4mn, dostáváme a = (4mn) : (4bc

2)

3. Je-li proměnná, kterou chceme osamostatnit, zapsána ve druhé (resp. ve třetí mocnině), provedeme odmocnění (resp. třetí odmocnění) celé "rovnice". Příklad: Vyjadřujeme veličinu a ze zápisu a

2 = 4mn, dostáváme a = Ö(4mn)

Vyjádření neznámé ze vzorce - procvičovací příklady±

1. Ze vzorce pro výpočet povrchu rotačního kužele S = p . r . (r + s) vyjádřete stranu kužele s:

rr

Ss -=

.p

Výsledek:

726



2. Ze vzorce pro výpočet objemu pravidelného čtyřbokého jehlanu V = (1/3) . a2 . v

vyjádřete velikost a:

v

Va

3=

Výsledek:

727

3. Pro výsledný odpor paralelně zapojených rezistorů platí vzorec: 1/R = 1/R1 + 1/R2. Vyjádřete veličinu R:

21

21.

RR

RRR

+=

Výsledek:

724

4. Pro výpočet transformátoru platí vzorec N2/N1 = U2/U1. Vyjádřete sekundární napětí U2:

U2 = (N2 . U1)/N1Výsledek:

722

5. Pro výpočet tepla platí vzorec Q = m . c . (t2 - t1). Vyjádřete teplotu t2:

t2 = Q/(c . m) + t1Výsledek:

721

6.

Výsledek:

720

7. Ze vzorce S = 2 . p . r . (r + v) pro výpočet povrchu rotačního válce vyjádřete veličinu v:

r

rSv

..2

..2 2

p

p-=

Výsledek:

728

8. Pro efektivní proud platí vzorec I = Im . †2/2. Vyjádřete z něj amplitudu Im:

2IIm =Výsledek:

725

9.

Výsledek:

719

10. Elektrická práce se vypočítá podle vzorce W = R . I2 . t. Vyjádřete veličinu I:

Rt

WI =

Výsledek:

723



Soustavy lineárních rovnic±

Soustavy rovnic

Soustava rovnic je zápis dvou nebo více rovnic, které musí platit současně.

V soustavě rovnic se může vyskytovat různý počet neznámých. My se zaměříme na takové soustavy rovnic, kde počet neznámých odpovídá počtu rovnic v soustavě (tedy budeme řešit např. soustavu dvou rovnic o dvou neznámých nebo soustavu třech rovnic o třech neznámých, apod.)

Soustavy rovnic můžeme řešit různými metodami - např.:• metodou dosazovací• metodou sčítací• metodou, která kombinuje metodu sčítací a dosazovací• metodou grafickou• pomocí matic, resp. determinantů

Zatím se omezíme na první dvě z uvedených metod.

Řešení soustav rovnic metodou dosazovací

Tento způsob řešení je založen na postupu, kdy z jedné rovnice vyjádříme jednu neznámou a tu pak dosadíme do zbývajících rovnic soustavy. Pokud byla zadána soustava dvou rovnic, pak už nyní řešíme jednu rovnici o jedné neznámé. Pokud původní soustava obsahovala tři nebo více rovnic, postup vyjádření neznámé opakujeme.

Metoda dosazovací je vhodná tehdy, pokud u rovnic v základním tvaru (tj. u rovnic, které dostaneme po odstranění závorek a zlomků a následném sloučení členů) je alespoň u jedné neznámé v některé z rovnic koeficient 1 nebo (-1). Lze ji ale použít i jindy.Metota dosazovací se dále používá tehdy, je-li zadána soustava jedné lineární a jedné kvadratické rovnice. Takovými se ale budeme zabývat později.Metoda dosazovací se s úspěchem dá použít i při řešení soustav třech nebo více rovnic.

Ukázkové příklady:

Příklad 1:

Řešte soustavu rovnic:

x + y = 3x - y = -1x = 3 - y(3 - y) - y = -13 - y - y = -1-2y = -4y = 2

x = 3 - 2x = 1

Výsledek zapíšeme: [x; y] = [1; 2]

Zkouška:

L1 = 1 + 2 = 3P1 = 3



L2 = 1 - 2 = -1P2 = -1L1 = P1 L2 = P2

Příklad 2:


2 . (x + y) - 5 . (y - x) = 173 . (x + 2y) + 7 . (3x + 5y) = 7

Řešení:2 . (x + y) - 5 . (y - x) = 173 . (x + 2y) + 7 . (3x + 5y) = 72x + 2y - 5y + 5x = 173x + 6y + 21x + 35y = 77x - 3y = 1724x + 41y = 7

7

317 yx

+=

7417

317.24 =+

+y

y

7417

72408=+

+y

y

408 + 72y + 287y = 49359y = -359y = -1

x = 2

Výsledek zapíšeme [x; y] = [2; -1]

Zkouška:

L1 = 2 . [2 + (-1)] - 5 . (-1 - 2) = 2 - 5 . (-3) = 17P1 = 17L2 = 3 . [2 + 2.(-1)] + 7 . [3 . 2 + 5 . (-1)] = 3 . 0 + 7 . 1 = 7P2 = 7L1 = P1 L2 = P2

Příklad 3:

Řešte soustavu rovnic

x - y = 13x - 3y = 3x = 1 + y3 . (1 + y) - 3y = 33 + 3y - 3y = 30 = 0

Soustava má nekonečně mnoho řešení. Výsledek zapíšeme:[x; y] = [x; x - 1]

(v tomto obecném zápisu výsledku první neznámou volíme libovolně a druhou neznámou vyjádříme ze kterékoliv zadané rovnice)



Ověření správnosti řešení:

Pro x = 1 dostáváme [1; 0]L1 = 1 - 0 = 1P1 = 1L2 = 3 . 1 - 3 . 0 = 3P2 = 3L1 = P1 L2 = P2

Příklad 4:


21

3=

+

+

z

yx

21

3=

+

+

x

zy

21

3=

+

+

y

zx

--------------------Stanovíme podmínky řešitelnosti: z ¹ -1; x ¹ -1; y ¹ -1

3x + y = 2 . (z + 1)3y + z = 2 . (x + 1)3x + z = 2 . (y + 1)3x + y = 2z + 23y + z = 2x + 23x + z = 2y + 23x + y - 2z = 2-2x + 3y + z = 23x - 2y + z = 2Z první rovnice vyjádříme neznámou y:y = -3x + 2z + 2 (1)Dosadíme do zbývajících dvou rovnic:3 . (-3x + 2z + 2) + z = 2 . (x + 1)3x + z = 2 . (-3x + 2z + 2 + 1)-9x + 6z + 6 + z = 2x + 23x + z = -6x + 4z + 4 + 2-11x + 7z = -49x - 3z = 6Druhou rovnici vykrátíme třemi, poté z ní vyjádříme neznámou z:z = 3x - 2 (2)Dosadíme do první rovnice:-11x + 7 . (3x - 2) = -4-11x + 21x - 14 = -410x = 10x = 1Dosadíme do rovnice (2):z = 3 . 1 - 2 = 1Dosadíme do rovnice (1):y = -3 . 1 + 2 . 1 + 2 = 1Výsledky neodporují podmínkám řešitelnosti.Zapíšeme výsledek:[x; y; z] = [1; 1; 1]



Zkouška:

22

4

11

11.31 ==

+

+=L

P1 = 2L1 = P1

22

4

11

11.32 ==

+

+=L

P2 = 2L2 = P2

22

4

11

11.33 ==

+

+=L

P3 = 2L3 = P3

Shrnutí postupu řešení soustavy rovnic dosazovací metodou:1. Jsou-li ve jmenovateli neznámé, stanovíme podmínky řešitelnosti2. Rovnice upravíme do "základního" tvaru, tj. do tvaru, kdy na levé straně rovnice máme sloučené neznámé

(v pořadí podle abecedy) a na pravé straně máme číslo; používáme přitom běžného postupu řešení samostatných rovnic - tedy nejprve odstraňujeme závorky, pak zlomky, atd.

3. Z libovolné rovnice vyjádříme libovolnou neznámou (výhodné je volit tu, kde je koeficient 1).4. Tuto vyjádřenou neznámou dosadíme do zbývající rovnice (příp. do zbývajících rovnic, je-li jich více).5. Vyřešíme vzniklou rovnici o jedné neznámé běžným způsobem (platí tehdy, pokud byla zadána soustava

dvou rovnic o dvou neznámých; pokud rovnic bylo více, vznikla nám nyní soustava více rovnic a musíme dále opakovat kroky 2) - 4) ).

6. Vypočtenou neznámou dosadíme do rovnice, kde jsme vyjádřili první neznámou (krok 3) ) a vyřešíme druhou neznámou.

7. Provedeme zkoušku, a to tak, že dosazujeme do každé strany každé rovnice.8. Zapíšeme výsledek uspořádanou dvojicí.

Řešení soustav rovnic metodou sčítací

Sčítací metodu je výhodné použít tehdy, pokud je u všech neznámých v rovnicích upravených do "základního" tvaru koeficient jiný než číslo 1 nebo (-1). Lze ji s výhodou ale samozřejmě použít i v případě, že tam jednička je.Sčítací metodu používáme zpravidla u soustavy dvou rovnic o dvou neznámých. Je ji ale možno použít i pro více rovnic.


Příklad 5:


2 . (x - 3y) = 154x - y = -32x - 6y = 15 (1)4x - y = -3Rovnice upravíme tak, aby po jejich sečtení vypadla neznámá x. Znamená to, že první rovnici vynásobíme číslem (-2) a druhou necháme beze změn.Pozn.: Sečíst rovnice znamená sečíst jejich levé strany a jejich pravé strany.-4x + 12y = -304x - y = -3Rovnice sečteme-4x + 4x + 12y - y = -30 - 311y = -33



y = -3Vrátíme se k rovnicím v zápisu (1), tj. k rovnicím upraveným do "základního" tvaru. Nyní je upravíme tak, aby po jejich sečtení vypadla neznámá y. Stačí tedy první rovnici ponechat a druhou vynásobit číslem (-6):2x - 6y = 15-24x + 6y = 18Obě rovnice opět sečteme:2x - 24x - 6y + 6y = 15 + 18-22 x = 33x = -1,5

Zapíšeme výsledek: [x; y] = [-1,5; -3]

Zkouška se provádí stejným způsobem jako u dosazovací metody.

Pozn.: Někdy se soustava rovnic také řeší tak, že jednu neznámou vyřešíme sčítací metodou a vzniklý kořen pak dosadíme do některé ze zadaných rovnic. Vyřešením rovnice o jedné neznámé pak získáme kořen druhý. V tomto případě ale už nelze hovořit o sčítací metodě.

Pozn.: Pokud chceme řešit sčítací metodou soustavu více než dvou rovnic, pak postupujeme tak, že např. v soustavě třech rovnic, která je v "základním" tvaru, upravíme rovnice tak, aby po sečtení libovolných dvou rovnic vypadla jedna neznámá a při sečtení jiné libovolné dvojice vypadla tatáž neznámá. Tím získáme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých, kterou pak řešíme podle postupu v příkladu 5.

Jednoduché soustavy rovnic - procvičovací příklady±

1.

Řešením je uspořádaná dvojice [3; 2]Výsledek:

908

2.

Řešením je uspořádaná dvojice [1; -1].Výsledek:

897

3.


891



4.


906

5.

Řešením je uspořádaná dvojice [1; -1]Výsledek:

893

6.


898

7.

Nemá řešení.Výsledek:

902

8.


894

9.


899



10.

Soustava nemá řešení.Výsledek:

895

11.


907

12.

Řešení je uspořádaná dvojice [1; 3]Výsledek:

900

13.

Výsledek:

892

14.


903

15.


904



16.


905

17.


901

18.


896

Složitější soustavy rovnic a soustavy o více neznámých±

1.

[5; 2; 0]Výsledek:

928

2.

[0; 0,5; 0]Výsledek:

934



3.

[3; 2; 1]Výsledek:

932

4.

[1; 6]Výsledek:

912

5.

[1; 1; 1; 1]Výsledek:

920

6.

[1; 2; -2]Výsledek:

922

7.


925

8.

[3; 2,5]Výsledek:

931



9.

[5; 5; 5]Výsledek:

923

10.


926

11.

[10; 1]Výsledek:

913

12.

[3; 4; 5]Výsledek:

910

13.

[4; 6; 8]Výsledek:

921



14.

[3; 4]Výsledek:

930

15.

[1; -1; 2]Výsledek:

917

16.

[15; 12; 10]Výsledek:

916

17.

[3; 2; 2; 3]Výsledek:

935

18.

[5; 4; 1; 2; 1]Výsledek:

909



19.

[0; 0; 0]Výsledek:

924

20.

úû

ùêë

é--

3

7;

3

4;

3

5;

3

5Výsledek:

929

21.

[20; 17; 5]Výsledek:

914

22.

[0,2; -1; 1]Výsledek:

927

23.

[-0,25; 3,75; 7,75; 0,25]Výsledek:

919



24.

[8; 5; 3]Výsledek:

915

25.

[1/3; 1/2]Výsledek:

911

26.

[4; 1; 2; 3]Výsledek:

918

27.


936

28.

[7; 5; -3]Výsledek:

933

Lineární rovnice s parametrem±

Rovnice s parametrem

Rovnice s parametrem obsahují kromě neznámé (značíme obvykle x, y, z, apod.) ještě další písmenko zvané parametr (značíme obvykle a, b, c, apod.).



Rovnice s parametrem řešíme obdobně jako rovnice klasické, s parametrem pracujeme tak, jako kdyby místo něj bylo zadáno nějaké reálné číslo. V závěru řešení rovnice musíme provést diskusi vzhledem k parametru.

Zkoušku u těchto rovnice, vzhledem k tomu, že budeme používat samé ekvivalentní úpravy, provádět nebudeme.


Příklad 1:

Řešte rovnici s reálným parametrem m a neznámou x.

m . (x - 1) = x + m

Řešení:

Nejprve se snažíme na levou stranu rovnice soustředit všechny členy obsahující neznámou a na pravou stranu všechny členy zbývající. Roznásobíme tedy nejdříve závorku:

mx - m = x + mmx - x = 2m

Na levé straně se snažíme osamostatnit neznámou x. Vytkneme ji tedy před závorku:x . (m - 1) = 2m

Celou rovnici nyní dělíme závorkou na levé straně. Vše ale můžeme pouze za podmínky, že m ¹ 1

1

2

-=

m

mx

Nyní provedeme diskusi vzhledem k parametru m:

Příklad 2:

Řešte rovnici s reálným parametrem m a neznámou y:

ym

-=-

52

3

Řešení:

Za podmínky m ¹ 2 můžeme odstarnit zlomek:3 = (5 - y) . (m - 2)Roznásobíme závorky:3 = 5m - 10 - my + 2yNa levou stranu soustředíme členy obsahující neznámou, na pravou všechny zbývající:my - 2y = 5m - 13Na levé straně rovnice vytkneme y:y . (m - 2) = 5m - 13Celou rovnici vydělíme závorkou na levé straně; vzhledem k platnosti podmínky uvedené v prvním kroku, to můžeme provést snadno:



2

135

-

-=

m

my

Provedeme diskusi vzhledem k parametru:

Příklad 3:

Řešte rovnici s reálným parametrem c a s neznámou x:(x + 3) . (x - c) = x

2 +3c - 18

Řešení:

x2 - cx + 3x - 3c = x

2 + 3c - 18

3x - cx = 6c - 18x . (3 - c) = 6 . (c - 3)Celou rovnici vydělíme (3 - c), avšak za předpokladu, že stanovíme podmínku c ¹ 3:x = -6Provedeme diskusi vzhledem k parametru:

Příklad 4:

Řešení:

Uvážíme-li m ¹ 0, pak můžeme odstranit zlomky:12y + 16y - 18y = 5m - 10my10y + 10my = 5mCelou rovnici vydělíme číslem 5:2y + 2my = m2y . (1 + m) = mUvážíme-li m ¹ -1, pak celou rovnici můžeme závorkou vydělit:

)1.(2 m

my

+=

Provedeme diskusi vzhledem k parametru:



Rovnice s parametrem - procvičovací příklady±

1.

Výsledek:

979

2.

Výsledek:

980

3.

Výsledek:

968

4.

Rovnice nemá smysl.Výsledek:

971



5.

Výsledek:

982

6.

Výsledek:

969

7.

Výsledek:

972

8.

Výsledek:

970



9.

Výsledek:

984

10.

Výsledek:

975

11.

Výsledek:

973

12.

( )1412

23+=- x

aax

Výsledek:

978



13.

Výsledek:

981

14.

Výsledek:

966

15.

Výsledek:

974

16.

Výsledek:

976



17.

Výsledek:

967

18.

Výsledek:

983

19.

Výsledek:

977

Lineární rovnice s absolutní hodnotou±

Rovnice s absolutní hodnotou je taková rovnice, která ve svém zadání obsahuje jednu nebo více absolutních hodnot. I v tomto případě se může jednat jak o rovnici lineární, tak o rovnici kvadratickou.

Připomeňme si:

Absolutní hodnota kladného čísla je kladné číslo. - př. ê5ê= 5Absolutní hodnota nuly je nula. - př.: ê0ê= 0Absolutní hodnota záporného čísla je kladné číslo. - př.: ê-6ê=+6Dále platí: êaê= a ... pro a > 0 êaê= -a ... pro a < 0 êaê= 0 ... pro a = 0

Postup při řešení lineárních rovnic s absolutní hodnotou:

1. Stanovíme tzv. nulové body, tj. určíme čísla, pro něž jsou zadané absolutní hodnoty nulové.2. Nulové body znázorníme na číselné ose.3. Z číselné osy vytvoříme - za pomoci zakreslených nulových bodů - intervaly, které užijeme v dalším řešení; mezní

bod je výhodnější vztahovat do "vyššího" intervalu.4. Vytvoříme si tabulku, kde sloupečky představují jednotlivé intervaly a řádky zadané absolutní hodnoty; do tabulky

vyznačíme, zda příslušná hodnota nabývá v daném intervalu kladné hodnoty nebo záporné hodnoty.



5. Řešíme rovnici pro jednotlivé typy intervalů, absolutní hodnoty odstraňujeme tak, že pokud nabývá v zadaném intervalu kladné hodnoty, přeměníme ji na závorku a pokud nabývá záporné hodnoty, též ji přeměníme na závorku, avšak změníme znaménka všech členů v závorce na opačná. Kořen rovnice vždy konzultujeme, zda vyhovuje zadanému intervalu; pokud ne, kořen je v tomto případě neplatný. Pokud v některém intervalu vyjde závěr "nekonečně mnoho řešení", pak řešením této části rovnice je zadaný interval, v němž jsme řešili.

6. Všechna vzniklá řešení sloučíme do množiny, případně intervalů.


Příklad 1:

Řešení:

Nulové body: -1; 0; 1; 2

xÎ (-¥; -1) xÎ <-1; 0) xÎ <0; 1) xÎ <1; 2) xÎ <2; +¥)êx+ 1ê - + + + +

êxê - - + + +êx - 1ê - - - + +êx - 2ê - - - - +

1. Řešení pro xÎ (-¥; -1)

(-x - 1) - (-x) + 3.(-x + 1) = 2.(-x + 2) + x + 2-x - 1 + x - 3x + 3 = -2x + 4 + x + 2-2x = 4x = -2 ... zadanému intervalu vyhovuje

2. Řešení pro xÎ <-1; 0)

(x + 1) - (-x) + 3.(-x + 1) = 2.(-x + 2) + x + 2x + 1 + x - 3x + 3 = -2x + 4 + x + 20 = 2 ... nemá řešení

3. Řešení pro xÎ <0; 1)

(x + 1) - (x) + 3.(-x + 1) = 2.(-x + 2) + x + 2x + 1 - x - 3x + 3 = -2x + 4 + x + 2-2x = 2x = -1 ... zadanému intervalu nevyhovuje

4. Řešení pro xÎ <1; 2)

(x + 1) - (x) + 3.(x - 1) = 2.(-x + 2) + x + 2x + 1 - x + 3x - 3 = -2x + 4 + x + 24x = 8x = 2 ... zadanému intervalu nevyhovuje

5. Řešení pro xÎ <2; +¥)

(x + 1) - (x) + 3.(x - 1) = 2.(x - 2) + x + 2x + 1 - x + 3x - 3 = 2x - 4 + x + 20 = 0 ... řešení xÎ <2; +¥)

Celkový závěr: x Î {-2} È <2; +¥)

Příklad 2:



Řešení:

Nulovým bodem je číslo 3.

1. Řešení pro xÎ (-¥; 3)

( )1

412

412=

-

-

a

a

12 - 4a = 12 - 4a0 = 0 ... řešením je xÎ (-¥; 3)

2. Řešení pro xÎ (3; +¥) (Interval je otevřený vzhledem k podmínce řešitelnosti)

( )1

412

412=

-

+-

a

a

-12 + 4a = 12 - 4a8a = 24a = 3 ... nevyhovuje zadanému intervalu

Celkový závěr: xÎ (-¥; 3)

Rovnice s absolutní hodnotou - procvičovací příklady±

1.

Výsledek:

855

2.

Výsledek:

852



3.

Výsledek:

861

4.

Výsledek:

858

5.

0,5Výsledek:

863

6.

Výsledek:

860

7.

Výsledek:

856

8.

Výsledek:

865

9.

Výsledek:

854

10.

-2Výsledek:

862



11.

Výsledek:

867

12.


851

13.

Výsledek:

866

14.


864

15.

Výsledek:

853

16.

Výsledek:

857

17.

Výsledek:

859


Obsah


Funkce - základní pojmy 1

Zadání funkce - procvičovací příklady 2

Definiční obor funkce 4

Definiční obor funkce - ukázkové příklady 4

Definiční obor funkce - procvičovací příklady 5

Vlastnosti funkce 6

Vlastnosti funkce - procvičovací příklady 7

Lineární funkce 8

Lineární funkce - procvičovací příklady 11

Kvadratická funkce 15

Kvadratická funkce - procvičovací příklady 17

Mocninné funkce 23

Mocninné funkce - procvičovací příklady 24

Rovnice - ekvivalentní úpravy 26

Jednoduché lineární rovnice - procvičovací příklady 29

Náročnější lineární rovnice - procvičovací příklady 36

Vyjádření neznámé ze vzorce 39

Vyjádření neznámé ze vzorce - procvičovací příklady 39

Soustavy lineárních rovnic 41

Jednoduché soustavy rovnic - procvičovací příklady 45

Složitější soustavy rovnic a soustavy o více neznámých 48

Lineární rovnice s parametrem 53

Rovnice s parametrem - procvičovací příklady 56

Lineární rovnice s absolutní hodnotou 60

Rovnice s absolutní hodnotou - procvičovací příklady 62

Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)2.4.2006 11:57:05

m - příprava na 3. čtvrtletní písemnou práci · - v tomto případě je druhá souřadnice...

Documents