15. goniometrické funkcegeorge11.eu/matematika/fce/fce15.pdfznáme hodnoty sin x a cos x pro i....

@157

15. Goniometrické funkce

Pravoúhlý trojúhelník

Ze základní školy znáte funkce sin a cos jako poměr odvěsen pravoúhlého trojúhelníka ku

přeponě.

pokračování

@160

Měření úhlů

Velikost úhlů se měří buď mírou stupňovou nebo mírou obloukovou

Stupňová míra - plný úhel rozdělíme na 360 dílků – stupně 1o ~ jeden stupeň

každý stupeň rozdělíme na 60 dílků – minuty 1’ ~ jedna minuta

každou minutu rozdělíme na 60 dílků – vteřiny 1“ ~ jedna vteřina

Oblouková míra - je to délka oblouku jednotkové kružnice příslušné danému úhlu. Je to

reálné číslo. Jednotkou je jeden radián. Plný úhel má 2 radiánů.

převodní tabulka, kterou byste měli znát více méně zpaměti (lze ji rychle odvodit)

stupně 0o 30

o 45

o 60

o 90

o 180

o 270

o 360

o

radiány 0 /6 /4 /3 /2 3/2 2

pokračování

zpět

@162

pokračování

zpět

@164a

pokračování

zpět

@164b

Goniometrické funkce obecně

pokračování

zpět

@164c

pokračování

zpět

@167

Známe hodnoty sin x a cos x pro I. kvadrant (významné hodnoty zpaměti, tabulky,

kalkulačka). Jak vypočteme hodnoty sin x a cos x pro úhly v II. kvadrantu?

cos 150o = - cos(180

o – 150

o) = - cos 30

o = - 3/2

pokračování

zpět

@170

Určete následující hodnoty

a) sin 150o = sin(180

o - 150

o) = sin 30

o = 1/2

b) cos 120o = - cos(180

o - 120

o) = - cos 60

o = - 1/2

c) sin 300o = - sin(360

o - 300

o) = - sin 60

o = - /2

d) cos 315o = cos(360

o - 315

o) = cos 45

o = 2/2

e) sin 225o = - sin(225

o - 180

o) = - sin 45

o = 2/2

f) cos 240o = - cos(240

o - 180

o) = - cos 60

o = - 1/2

Úkol: Znovu si připomeňte definici funkcí sin, cos, tg, cotg a určete definiční obory a obory

hodnot.

výsledek

zpět

@173

Určete následující funkční hodnoty

cos(270o) = 0 cos(1575

o) = - 2/2

sin(-2385o) = 2/2 cotg(-3030

o) = 3

sin(1380o) = - 3/2 cos(-1260

o) = - 1

Úkol: Pokuste se určit u funkcí sin, cos, tg, cotg, zda jsou sudé, liché nebo ani jedno ani

druhé.

výsledek

zpět

@176

průběh funkce tg a cotg

pokračování

zpět

@179

Mezi goniometrickými funkcemi existuje mnoho různých vztahů - identit, vzorců. Při

nejrůznějších příležitostech je nutné si umět poradit a převádět jeden výraz v druhý.

Příklad: Dokažte, že platí (cos x 0)

1 + tg2x = cos

-2x

Řešení: Identity se dokazují tak, že se vyjde z jedné strany a postupnými úpravami si dojde

ke straně druhé. Nebo se vyjde z obou stran nezávisle a dojde se ke stejnému (třetímu) výrazu.

Pxxx

xx

x

xxtgL

2

22

22

2

22

coscos

1

cos

sincos

cos

sin11

Příklad: Dokažte, že platí (cos t 0, sin t 1)

t

t

t

t

cos

sin1

sin1

cos

Řešení:

Pt

t

t

tt

t

tt

t

t

t

t

t

tL

cos

sin1

cos

)sin1(cos

sin1

)sin1(cos

sin1

sin1

sin1

cos

sin1

cos

2

2

Úkol: Dokažte, že platí (mají-li obě strany smysl)

a) (sin x + cos x)2 + (sin x - cos x)

2 = 2

b) cos4x - sin

4x = 2 cos

2x - 1

c) t2

2

2

sin21tcotg1

1tcotg

d) xxx 2

sin

2

cos1

1

cos1

1

e) tg2t . cos

2t + cos

2t = 1

výsledek

zpět

@182

Velmi důležité vztahy mezi goniometrickými funkcemi formuluje následující věta.

Věta: Součtové vzorce

Pro každé a platí:

i) sin(+ ) = sin cos + sin cos

ii) sin(- ) = sin cos - sin cos

iii) cos(+ ) = cos cos - sin sin

iv) cos(- ) = cos cos + sin sin

důkaz

zpět

@185a

Ověření podle iv) a známých hodnot

cos(x - /2) = cos x cos /2 + sin x sin /2 =

= cos x . 0 + sin x . 1 = sin x

Zaveďme substituci = x + /2 tj. x = – /2

Z právě dokázaného plyne

sin x = sin( - /2) = cos(x - /2) = cos( - /2 - /2) = cos( - ) =

= cos cos + sin sin =

= cos . (-1) + sin . 0 = - cos

Úkol: Z platnosti cos(x - /2) = sin x a sin(x - /2) = - cos x dokažte platnost


výsledek

zpět

@185b

L = sin(+ ) = cos(+ - /2) = cos(+ (- /2)) =

= cos cos(- /2) - sin sin( - /2) =

= cos sin - sin (-cos ) =

= cos sin + sin cos = P

Tím je dokázána identita


Úkol: Zbývá dokázat poslední identitu. Dokažte identitu


výsledek

zpět

@189

Platí cos(x + /2) = -sinx ? Ano, platí!

L = cos(x + /2) = cosx cos(/2) – sinx sin(/2) = cosx . 0 – sinx . 1 = -sinx = P

Věta: Vzorce pro poloviční úhel

Pro každé platí

2

cos1|

2cos|

2

cos1|

2sin|

Důkaz:

Víme: pro každé x platí cos2x + sin

2x = 1 a cos

2x – sin

2x = cos2x

Použijeme substituci x = /2, abychom do vzorců dostali poloviční úhel

cos2(/2) + sin

2(/2) = 1

cos2(/2) – sin

2(/2) = cos

sečteme

2cos2(/2) = 1 + cos

odečteme

2sin2(/2) = 1 - cos

a nyní stačí vydělit 2 a odmocnit

Úkol: Proč je ve vzorcích absolutní hodnota?

výsledek

zpět

@193

Důkaz se provede prostou aplikací součtových vzorců

L = sin(+ ) + sin( ) = cos sin + sin cos + cos sin sin cos =

= 2 sin cos= P

ATD.

Zaveďme substituci x = + a y =

součtem a rozdílem substitučních vzorců dostaneme = (x+y)/2 a = (x-y)/2

Tedy předchozí identitu lze také psát takto:

2cos

2sin2sinsin

yxyxyx

Úkol: Přepište dle tohoto vzoru i zbývající identity a zformulujte do matematické věty.

výsledek

zpět

@196

Víte, že platí (; 3/2), (/2; ), cotg = 12/5 a sin = 15/17. Určete tg( - ).

Tedy úhel je ve III. kvadrantu a je ve II. kvadrantu (toto ovlivňuje znaménka).

Máme určit

tgtg

tgtgtgtg

1))(()( (změna znamének, tg je lichá)

Potřebujeme tedy určit tg a tg , k čemuž užijeme vztahy

tg = 1/cotg = 5/12 a tg = sin /cos .

sin b je zadáno a cos b musíme určit ze vztahu cos2 + sin

2 = 1

cos2= 1 – sin

2 = (1 - sin )(1 + sin ) = (1 - 15/17)(1 + 15/17) = 8

2/17

2

Pro správné odmocnění musíme uvážit, že je ve II. kvadrantu a tam je cos záporný, tedy

cos = -8/17 => tg = sin /cos = (15/17)/(-8/17) = -15/8

Nyní stačí jen dosadit to vzorce a zlomek upravit

tg( – ) = 220/21

Úkol: Víte, že platí (/2; ), (0; /2), sin = 3/5 a cotg = 8/15. Určete cos(- ).

výsledek

zpět

@158

Úkol: Dokažte, že platí sin2 + cos

2= 1 .

výsledek

zpět

@160a

Zde je ilustrace vztahu mezi obloukovou a stupňovou mírou v sadě obrázků, kružnice má, a

musí mít, poloměr 1 (slovy jedna).

pokračování

zpět

@160b

pokračování

zpět

@160c

pokračování

zpět

@160d

pokračování

zpět

@160e

pokračování

zpět

@160f

pokračování

zpět

@160g

pokračování

zpět

@160h

Číselnou osu můžeme klidně natáčet dále

pokračování

zpět

@163

Orientovaný úhel

Až dosud jste chápali úhel jako průnik či sjednocení dvou polorovin. Takový úhel se nazývá

neorinetovaný a jeho velikost může být pouze od 0o do 360

o stupňů včetně.

V matematice a aplikacích fyziky používáme ještě jiný mechanizmus vzniku úhlu. Vezmeme

dvě polopřímky s počátkem ve stejném bodě. Jednu polopřímku zafixujeme - počáteční

rameno, druhou polopřímkou pohybujeme - koncové rameno. Rozlišujeme i směr, jak úhel

vznikne otáčením polopřímky, i dovolujeme otočit polopřímkou několikrát kolem dokola.

Takový úhel se nazývá orientovaný.

Otočit ramenem lze i několikrát kolem dokola

pokračování

zpět

@165

V různých kvadrantech mají funkce sin, cos, tg, cotg různá znaménka. Je to dáno znaménky

souřadnic u a v.

Úkol: Doplňte znaménka do tabulky

kvadrant I. II. III. IV.

interval (0; /2) (/2; ) (3/2) (3/2; 2)

sin x

cos x

tg x

cotg x

výsledek

zpět

@168a

Známe hodnoty sin x a cos x pro I. kvadrant. Jak vypočteme hodnoty sin x a cos x pro úhly

v III. kvadrantu?

sin 200o = - sin(200

o – 180

o) = - sin 20

o

pokračování

zpět

@168b

Známe hodnoty sin x a cos x pro I. kvadrant. Jak vypočteme hodnoty sin x a cos x pro úhly

v IV. kvadrantu?

cos 300o = cos(360

o – 300

o) = cos 60

o = - 1/2

pokračování

zpět

@171

Funkce sin:

úhel může být libovolný => definiční obor R

2. souřadnice bodu na jednotkové kružnici může být od -1 do 1 => obor hodnot <-1,1>

Funkce cos:

úhel může být libovolný => definiční obor R

1. souřadnice bodu na jednotkové kružnici může být od -1 do 1 => obor hodnot <-1,1>

Funkce tg:

musíme vyloučit případy, kdy je cos roven 0, což je v lichých násobcích čísla /2

označme k zastupující libovolné celé číslo => definiční obor R\{(2k+1)/2, kC}

podíl, kdy čitatel je omezen a jmenovatel může nabývat hodnoty libovolně blízké 0,

může být jakékoli reálné číslo => obor hodnot R

Funkce cotg:

musíme vyloučit případy, kdy je sin roven 0, což je v sudých násobcích čísla /2 = celočíselné

násobky čísla

označme k zastupující libovolné celé číslo => definiční obor R\{k, kC}

podíl, kdy čitatel je omezen a jmenovatel může nabývat hodnoty libovolně blízké 0,

může být jakékoli reálné číslo => obor hodnot R

Poznámka: Funkce periodická je taková, která se pravidelně opakuje. To platí i o funkcích sin,

cos, tg, cotg. Jde jen o to, kolikrát otočíme číselnou osou kolem jednotkové kružnice.

Úkol: Vyslovte přesnou definici periodické funkce a určete periodu funkcí sin, cos, tg, cotg.

výsledek

zpět

$ 172 0 0 170

@174

pokračování

zpět

@177

Platí vztahy pro záměnu funkcí sin a cos mezi sebou

)2

cos(sin)2

sin(cos

xxxx

pokračování

zpět

@180

Dokažte, že platí

a) (sin x + cos x)2 + (sin x - cos x)

2 = 2

L = (sin x + cos x)2 + (sin x - cos x)

2 =

= sin2x +2sinxcosx +cos

2x +sin

2x -2sinxcosx +cos

2x =

= 2(sin2x + cos

2x) = 2 = P

b) cos4x - sin

4x = 2 cos

2x - 1

L = cos4x - sin

4x =

= (cos2x + sin

2x)(cos

2x - sin

2x) =

= 1.(cos2x - (1 - cos

2x)) = 2 cos

2x - 1 = P

c) t2

2

2

sin21tcotg1

1tcotg

pro cotg t ±1, sin x 0

Pt

tt

t

t

t

t

t

L

2

22

22

22

2

2

2

2

2

2

sin21

sint)sin1(tcossin

sintcos

sin

cos1

1sin

cos

tcotg1

1tcotg

d) xxx 2

sin

2

cos1

1

cos1

1

pro cos x ±1, sin x 0

Pxx

xx

xxL

22sin

2

cos1

cos1cos1

cos1

1

cos1

1

e) tg2t . cos

2t + cos

2t = 1 pro cos t 0

Ptt

ttt

tttttgL

1cossin

coscoscos

sincoscos.

22

22

2

2222

pokračování

zpět

@183

Důkaz provedeme postupně v opačném pořadí. Je to tak snazší, text věty je zase zvykem

uvádět tak, jak jsme to udělali i my.

V důkazu iv) se vychází s porovnání vzdálenosti bodů A,B a C,D viz obrázek.

Souřadnice bodů jsou A = [cos sin], B = [cos sin],

C = [cos(- ); sin(- )], D = [1; 0]

Je zřejmé, že vzdálenost bodů AB je stejná jako bodů CD. Abychom se nemuseli trápit

s odmocninou ve vzorci o vzdálenosti bodů, budeme pracovat s její druhou mocninou.

|AB|2 = |CD|

2

|AB|2 = (cos - cos)

2 + (sin - sin)

2 =

= cos2 - 2coscos + cos

2 + sin

2 - 2sinsin + sin

2 =

= (cos2 + sin

2) + (cos

2 + sin

2) - 2(coscos + sinsin) =

= 2[1 - (coscos + sinsin)]

|CD|2 = (cos(- ) - 1)

2 + sin

2(- ) = cos

2(- ) - 2cos(- ) + 1 + sin

2(- ) =

= (cos2(- ) + sin

2(- )) + 1 - 2cos(- ) = 2[1 - 2cos(- )]

Porovnáním těchto dvou výrazů dostáváme platnost identity iv)


Úkol: Použijte právě dokázanou identitu iv) a znalost o sudosti, lichosti goniometrických

funkcí a dokažte platnost


výsledek

zpět

@186

L = sin(- ) = sin(+(-)) = sin cos(-) + sin(-) cos =

= sin cos - sin cos = P



Zopakujme ještě jednou čtyři vzorce, které je žádoucí se naučit zpaměti:

Součtové vzorce Pro každé a platí:





Úkol: Pomocí součtových vzorců vyjádřete sin2 a cos2 pomocí sin a cos. Výsledek

zformulujte do matematické věty.

výsledek

zpět

@191

Protože pro každé xR platí ||02

xx a nikdy jinak.

Úkol: Vypočtěte pomocí dokázaných vzorců následující výrazy

a) cos(/6 – x) – cos(/6 + x)

b) sin(/4 + x) – sin(/4 – x)

c) sin 105o

d) cos (/12)

výsledek

zpět

@194

Věta: Vzorce pro součty

Pro každé x, y R platí

i) 2

cos2

sin2sinsinyxyx

yx

ii) 2

sin2

cos2sinsinyxyx

yx

iii) 2

cos2

cos2coscosyxyx

yx

iv) 2

sin2

sin2coscosyxyx

yx

Úkol: Mají-li obě strany smysl, dokažte, že platí

tgytgx

tgytgxyxtg

1)(

výsledek

zpět

@159

pokračování

zpět

@161

Ať se vám to líbí nebo nelíbí, ať máte kalkulačku nebo počítač vždy při ruce, některé hodnoty

je nutné znát zpaměti.

Následující tabulku se zpaměti naučte, nebudete litovat.

stupně 0

o 30

o 45

o 60

o 90

o

radiány 0 /6 /4 /3 /2

sin 0 2

1

2

2

2

3 1

cos 1 2

3

2

2

2

1 0

K zapamatování je to celkem snadné. Všimněte si, že jde o posloupnost zlomků, kde je ve

jmenovateli stále číslo 2 a v čitateli druhá odmocnina z čísel postupně 0, 1, 2, 3, 4.

sin 2

0

2

1

2

2

2

3

2

4

U funkce cos jsou to táž čísla jen čteno zprava doleva.

Úkol: Dokažte z definice (tj. z pravoúhlého trojúhelníka), že platí

cos /4 = sin /4 = 2

2

výsledek

zpět

@164

pokračování

zpět

@166

kvadrant I. II. III. IV.

interval (0; /2) (/2; ) (3/2) (3/2; 2)

sin x + + - -

cos x + - - +

tg x + - + -

cotg x + - + -

pokračování

zpět

@169

Úkol: Určete následující hodnoty. Využijte právě získané vzorce.

a) sin 150o

b) cos 120o

c) sin 300o

d) cos 315o

e) sin 225o

f) cos 240o

výsledek

zpět

@172

Definice: Mějme funkci f, pro kterou je splněno tvrzení (její funkční hodnoty stále stejně

opakují)

p>0 xDf : f(x+p) = f(x)

Pokud lze ze všech takových čísel p nalézt minimum, tj. nalézt nejmenší kladné číslo p>0

splňující definiční vztah, funkce se nazývá periodická a číslo p se nazývá perioda.

Funkce sin a cos mají periodu 2 (360o)

sin = sin(+2k)

cos = cos(+2k)

Funkce tg a cotg mají periodu (180o),

tg = tg(+k)

cotg = cotg(+k)

Příklad: Určete hodnotu cos(1500o), tg(2400

o) , cotg(-750

o) .

Řešení: Nejprve se přesuneme do základního intervalu: přičítáním, odečítáním celočíselných

násobků periody:

pro sin a cos <0o; 360

o)

pro tg a cotg <0o; 180

o)

cos(1500o) = cos(1500

o – 4.360

o) = cos(60

o)

tg(2400o) = tg(2400

o – 13.180

o) = tg(60

o)

cotg(-750o) = cotg(-750

o + 5.180

o) = cotg(150

o)

Pak případně převedeme úhel do I.kvadrantu, tj. <0o; 90

o>, musíme již sledovat znaménka

cotg(150o) = - cotg(30

o)

Nakonec určíme hodnotu zpaměti, z tabulek, pomocí kalkulačky. Pomocí kalkulačky můžeme

hodnoty získat přímo. Těžko však poznáme, jaký úhel to asi je, a pak mnoho úloh těží

z přesných hodnot (viz tabulka), které z kalkulačky nedostaneme.

cos(1500o) = cos(60

o) = - 1/2

tg(2400o) = tg(60

o) = sin(60

o)/ cos(60

o) = (3/2)/(1/2) = 3

cotg(-750o) = - cotg(30

o) = - cos(30

o)/sin(30

o) = - (3/2)/(1/2) = -3

Úkol: Určete následující funkční hodnoty

cos(270o) cos(1575

o)

sin(-2385o) cotg(-3030

o)

sin(1380o) cos(-1260

o)

výsledek

zpět

@175

průběh funkce sin a cos

pokračování

zpět

@178

Vztahy (vzorce) mezi goniometrickými funkcemi

Definice: Funkce sin, cos, tg, cotg se nazývají goniometrické funkce.

Shrnutí: základní vztahy mezi goniometrickými funkcemi

x

xx

x

xtgx

sin

coscotg

cos

sin

sin2x + cos2x = 1

očividně platí

cotg x = 1/tg x = tg-1

x => tgx . cotgx = 1

)2

cos(sin)2

sin(cos

xxxx

nebo ve stupních

cos = sin( + 90o) sin = cos( - 90

o)

pokračování

zpět

@181

Součtové vzorce

Poznámka: Vzdálenost dvou bodů v soustavě souřadnic se vypočítá na základě Pythagorovy

věty.

222

211 )()(|| ababAB

pokračování

zpět

@184

Máme dokázáno pro každé a platí cos(- ) = cos cos + sin sin

a víme, že sinus je lichý sin(-x) = - sin x a cosinus je sudý cos(-x) = cos x

L = cos(+ ) = cos(- (-)) = cos cos(-) + sin sin(-) =

= cos cos - sin sin = P



Úkol: Již víme, že platí cos(x - /2) = sin x. Ověřte to podle iv) a dokažte, že také platí

sin(x - /2) = - cos x

výsledek

zpět

@187

Věta: dvojnásobný úhel

Pro každé a platí

i) sin2 = 2sincos

ii) cos2 = cos2 - sin

2

Řešení:

i) L = sin2 = sin(+ ) = sin cos + sin cos = 2sincos = P

ii) L = cos2 = cos(+ ) = cos cos - sin sin = cos2 - sin

2 = P

Úkol: Dokázali jsme, že pro každé x platí

xxxxxx sin)2

cos(cos)2

sin(cos)2

sin(

Platí také xx sin)2

cos(

?

ano

ne

zpět

@192

Vypočtěte pomocí dokázaných vzorců následující výrazy

a) cos(/6 – x) – cos(/6 + x) = sin x - stačí použít součtové vzorce

L = [cos(/6) cosx + sin(/6) sinx] – [cos(/6) cosx - sin(/6) sinx] =

= 2 sin(/6) sin x = sinx = P

b) sin(/4 + x) – sin(/4 – x) = 2 sinx - stačí použít součtové vzorce

c) sin 105o = (6 + 2)/4 - rozložíme na známé hodnoty 105

o = 60

o + 45

o

L = sin 105o = sin(60

o + 45

o) = sin 60

o cos 45

o + sin 45

o cos 60

o =

= 3/2 . 2/2 + 2/2 . 1/2 = (6 + 2)/4

d) cos (/12) = (2 + 6)/4 - rozložíme na známé hodnoty /3 – /4 = /12

L = cos (/12) = cos(/3 – /4) = cos(/3) cos(/4) + sin(/3) sin(/4) =

= 1/2 . 2/2 + 3/2 . 2/2 = (2 + 6)/4 = P

NEBO použijeme vzorce pro poloviční úhel, neboť /12 = (/6)/2

a I. kvadrantu je cos(/12) > 0 a proto můžeme přidat absolutní hodnotu bez problémů

2

32

4

32

2

2

31

2

)6cos(1|)

12cos(|)

12cos(

L

Tím jsme mimoděk dokázali, že platí 4

62

2

32

Úkol: Dokažte, že pro každé a platí

i) sin(+ ) + sin( ) = 2 sin cos

ii) sin(+ ) sin( ) = 2 cos sin

iii) cos(+ ) + cos( ) = 2 cos cos

iv) cos(+ ) cos( ) = -2 sin sin

výsledek

zpět

@195

Máme dokázat, že platí tgytgx

tgytgxyxtg

1)( , pokud mají obě strany smysl (tzn. není-li

ve jmenovateli zlomku nula a hodnoty funkce tg jsou konečné).

Řešení: K úpravě použijeme součtové vzorce a vztahy mezi goniometrickými funkcemi

Ptgytgx

tgytgx

yx

yxyx

yx

xy

yx

yxyx

yxyx

xyyx

yx

yxyxtgL

1)

coscos

sinsin1(coscos

)coscos

cossin

coscos

cossin(coscos

sinsincoscos

cossincossin

)cos(

)sin()(

Úkol: Víte, že platí (; 3/2), (/2; ), cotg = 12/5 a sin = 15/17. Určete tg( - ).

výsledek

zpět

@197

Víte, že platí (/2; ), (0; /2), sin = 3/5 a cotg = 8/15. Určete cos(- ).

Tedy úhel je ve II. kvadrantu a je v I. kvadrantu (toto ovlivňuje znaménka).

Máme určit cos( - ) = cos cos + sin sin .

sin = 3/5 známe, zbývá určit cos sin a cos

cos2= 1 – sin

2 = (1 - sin )(1 + sin ) = (1 - 3/5)(1 + 3/5) = 4

2/5

2

Pro správné odmocnění musíme uvážit, že je ve II. kvadrantu a tam je cos záporný, tedy

cos = -4/5

Dále platí (na začátku této kapitoly jsme to dokázali) 1 + tg2x = cos

-2x, tedy

cos2 = 1/(1 + tg

2) = 1/(1 + 1/cotg

2) = 1/(1 + 15

2/8

2) = 8

2/17

2

a proto cos = 8/17

sin2 = 1 – cos

2 a je v I. kvadrantu => sin = 15/17

Už máme všechno a tak zbývá závěrečný výpočet

cos( – ) = 13/85

zpět

KONEC LEKCE

15. goniometrické funkcegeorge11.eu/matematika/fce/fce15.pdfznáme hodnoty sin x a cos x pro i....

Documents