1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài Khoa học nghiên cứu về xác suất là một phát triển trong thời kỳ

cận đại. Việc chơi cờ bạc (gambling) cho chúng ta thấy rằng các ý niệm về xác suất đã có từ trước đây hàng nghìn năm, tuy nhiên các ý niệm đó được mô tả bởi toán học và sử dụng trong thực tế thì có muộn hơn rất nhiều. Ảnh hưởng chính của lý thuyết xác suất trong cuộc sống hằng ngày đó là việc xác định rủi ro và trong buôn bán hàng hóa.

Hai nhà toán học Pierre de Fermat và Blaise Pascal là những người đầu tiên đặt nền móng cho học thuyết về xác suất vào năm (1654). Christiaan Huygens (1657) được biết đến như là người đầu tiên có công trong việc đưa xác suất thành một vấn đề nghiên cứu khoa học. Ngày nay lý thuyết xác suất trở thành một ngành vô cùng quan trọng của toán học và các ngành khoa học khác.

Với sự phát triển của khoa học công nghệ, ngày nay máy tính giúp cho việc tính toán các vấn đề xác suất thống kê ngày càng trở nên dễ dàng, một khi đã có các số liệu đúng đắn và mô hình hợp lý. Thế nhưng, bản thân máy tính không biết mô hình nào là hợp lý. Đấy là vấn đề của người sử dụng: cần phải hiểu được bản chất của các khái niệm và mô hình xác suất thống kê, thì mới có thể dùng được chúng.

Xuất phát từ nhu cầu phát triển và tính thời sự của việc nghiên cứu xác suất cơ sở, chúng tôi quyết định chọn đề tài với tên gọi: Xác suất cơ sở qua các ví dụ để tiến hành nghiên cứu. Chúng tôi hy vọng tạo được một tài liệu tham khảo tốt cho những người muốn tìm hiểu

2 về các kết quả rời rạc và liên tục của lý thuyết xác suất cùng với ứng dụng chúng trong nhiều lĩnh vực khác nhau. 2. Mục đích nghiên cứu

Mục tiêu của đề tài là nhằm giúp người đọc hiểu đúng bản chất của những khái niệm và phương pháp cơ bản nhất của xác suất cơ sở. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là lý thuyết xác suất và thống kê. Phạm vi nghiên cứu của đề tài là xác suất cơ sở và các ứng dụng. 4. Phương pháp nghiên cứu:

Thu thập các tài liệu của các tác giả nghiên cứu liên quan đến Xác suất cơ sở.

Tham gia các buổi seminar của thầy hướng dẫn để trao đổi các kết quả đang nghiên cứu. 5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Tổng quan các kết quả của các tác giả đã nghiên cứu liên quan đến xác suất cơ sở và các ứng dụng thực tế qua các ví dụ minh họa, nhằm xây dựng một tài liệu tham khảo cho những ai muốn nghiên cứu về Lý thuyết xác suất và các ứng dụng. 6. Cấu trúc của luận văn

Nội dung của luận văn được chia thành 2 chương Chương 1 giới thiệu các khái niệm và kết quả về xác suất cơ sở

liên quan đến phần rời rạc. Chương 2 trình bày các khái niệm và kết quả về xác suất cơ sở

liên quan đến phần liên tục. Trong mỗi phần sẽ đưa vào các ví dụ minh họa với mức độ khác

nhau.

3

CHƯƠNG 1 CÁC KẾT QUẢ RỜI RẠC

1.1. PHÂN PHỐI ĐỀU Định nghĩa 1.1.1. Phân phối đều (Uniform distribution)

Có m kết quả đồng khả năng xảy ra (thường được gọi là kết quả) và mỗi kết quả có cùng một xác suất 1/m. Mỗi kết quả này được gọi là một biến cố sơ cấp (hay sự kiện sơ cấp). Một tập hợp A gồm k kết quả xảy ra, với k ≤ m được gọi là một biến cố (hay sự kiện) và xác suất của nó ℙ(A) được tính bằng k/m:

ℙ(A) =SốkếtquảxảyracủasựkiệnA

Tổngsốkếtquảxảyra(1.1)

Ví dụ 1.1.1. Ví dụ 1.1.2. 1.2. XÁC SUẤT ĐIỀU KIỆN. ĐỊNH LÝ BAYES. PHÉP THỬ ĐỘC LẬP Định nghĩa 1.2.1. Xác suất điều kiện

Với hai sự kiện A và B với ℙ(퐵) > 0, xác suất điều kiện ℙ(퐴|퐵) của A khi B đã xảy ra được định nghĩa là :

ℙ(퐴|퐵) = ℙ(퐴 ∩ 퐵)ℙ(퐵)

(1.2)

Mệnh đề 1.2.1. Công thức xác suất đầy đủ Nếu B1, …, Bn là các sự kiện xung khắc từng đôi một, là một phân

hoạch của , tức là có Bi ∩ Bj = ∅ với 1 ≤ i < j ≤ n và B1 ∪ B2 ∪ · · · ∪ Bn = , và ngoài ra ℙ(Bi) > 0 cho 1 ≤ i ≤ n, khi đó với bất kỳ sự kiện A, ta có : ℙ(퐴) = ℙ(퐴|퐵 )ℙ(퐵 ) + ℙ(퐴|퐵 )ℙ(퐵 ) +⋯+ ℙ(퐴|퐵 )ℙ(퐵 )

(1.4)

4 Chú ý 1.2.1. Mệnh đề 1.2.2. Định lý Bayes

Nếu B1, …, Bn là các sự kiện xung khắc từng đôi một, là một phân hoạch của , tức là có Bi ∩ Bj = ∅ với 1 ≤ i < j ≤ n và B1 ∪ B2 ∪ · · · ∪ Bn = , và A là sự kiện ngẫu nhiên, với ℙ(퐴) > 0, thì xác suất điều kiện :

ℙ(퐵 |퐴) =ℙ(퐴|퐵 ).ℙ(퐵 )

∑ ℙ 퐴|퐵 .ℙ 퐵(1.5)

Công thức (1.5) được gọi là công thức Bayes * Chứng minh : Bằng cách ứng dụng trực tiếp định nghĩa và công thức xác suất đầy đủ, ta có:

ℙ(퐵 |퐴) =ℙ(퐴 ∩ 퐵 )ℙ(퐴)

=ℙ(퐴|퐵 ).ℙ(퐵 )

ℙ(퐴)=

ℙ(퐴|퐵 ).ℙ(퐵 )∑ ℙ 퐴|퐵 .ℙ 퐵

Ví dụ 1.2.1. Định nghĩa 1.2.2. Hai sự kiện A và B được gọi là độc lập với nhau nếu

ℙ(퐴 ∩ 퐵) = ℙ(퐴)ℙ(퐵) (1.6) Ví dụ 1.2.2. Định nghĩa 1.2.3. n sự kiện độc lập Chú ý 1.2.2. Ví dụ 1.2.3. Định nghĩa 1.2.4. Dãy các phép thử độc lập Mệnh đề 1.2.3. Một số tính chất của các sự kiện độc lập Ví dụ 1.2.4. Ví dụ 1.2.5. 1.3. CÔNG THỨC BÙ-TRỪ. BÀI TOÁN LÁ PHIẾU Mệnh đề 1.3.1. Công thức bù-trừ

5

Cho A1,…, An tập các sự kiện đôi một không xung khắc và A = A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An , khi đó : ℙ(퐴) = ℙ(퐴 ) + ⋯+ℙ(퐴 ) − ℙ(퐴 ∩ 퐴 ) − ℙ(퐴 ∩ 퐴 ) −⋯

−ℙ(퐴 ∩ 퐴 ) + ℙ(퐴 ∩ 퐴 ∩ 퐴 ) +⋯ +ℙ(퐴 ∩ 퐴 ∩ 퐴 ) +⋯+ (−1) 푃(퐴 ∩ …∩ 퐴 )

= (−1) ℙ 퐴⋯

.(1.10)

* Chứng minh : (Bằng quy nạp trong n) - Với n = 2 (n = 1 công thức là tầm thường). Đối với hai sự kiện A

và B ℙ(A ∪ B) = ℙ((A\(A∩B)) ∪(B \(A∩B)) ∪ (A∩B)) = ℙ(A\(A∩B)) + ℙ(B \(A∩B)) + ℙ(A∩B) = ℙ(A) - ℙ(A∩B) + ℙ(B) - ℙ(A∩B) + ℙ(A∩B) = ℙ(A) + ℙ(B) - ℙ(A∩B)

- Giả sử công thức đúng cho bất kỳ tập của n sự kiện (n > 2). Khi đó với bất kỳ tập A1, …, An+1 của n +1 sự kiện, xác suất ℙ(⋃ 퐴 ) bằng :

ℙ 퐴 ∪ 퐴

= ℙ 퐴 + ℙ(퐴 ) − ℙ 퐴 ∩ 퐴

= (−1) ℙ 퐴⋯

+ ℙ(퐴 )

− ℙ (퐴 ∩ 퐴 ) . Đối với số hạng cuối cùng chúng ta có, lặp lại giả thiết quy nạp :

6 −ℙ (퐴 ∩ 퐴 )

= (−1) ℙ 퐴 ∩ 퐴⋯

= (−1) ℙ 퐴 ∩ 퐴 .⋯

Chúng ta thấy rằng toàn bộ tổng trong khai triển ℙ(⋃ 퐴 ) bao gồm tất cả các số hạng có thể được xác định trên vế phải của công thức (1.10) cho n + 1, với các dấu chính xác. Điều này hoàn thành chứng minh mệnh đề. Ví dụ 1.3.1.

Bài toán lá phiếu. Nguyên bản của nó được phát biểu có hệ thống là: một cộng đồng cử tri gồm m người phe hữu và n người phe tả bỏ phiếu cho ứng cử viên của mình, trong đó m ≥ n. Xác suất mà trong quá trình đếm các lá phiếu bí mật các ứng cử viên phe hữu sẽ không thấp hơn phe tả là gì? Câu hỏi này đã xuất hiện trong nhiều hoàn cảnh.

Trong đề tài này, chúng tôi bắt đầu với một trường hợp cụ thể m = n. Có 2n ly rượu trong số đó n ly rượu thật và n ly rượu giả. Trong một trò chơi phổ biến tại địa phương, một người tham gia bịt mắt uống tất cả 2n ly tại một thời điểm, được lựa chọn một cách ngẫu nhiên. Người tham gia được tuyên bố là người chiến thắng nếu say với thể tích rượu thật uống luôn luôn là không nhiều hơn so với rượu giả. Chúng ta sẽ kiểm tra xem điều này xảy ra với xác suất 1/(n +1).

Xem xét di động ngẫu nhiên trên tập hợp- n, - n +1, …, n trong đó người tham gia sẽ di chuyển lên một bước nếu uống ly rượu giả và sẽ lùi một bước nếu uống rượu thật. Việc đi bộ bắt đầu từ gốc (lúc

7 chưa uống) và sau 2n bước luôn luôn trở về vị trí ban đầu (số lượng rượu thật = số lượng rượu giả).

Hình 1.1

Trên hình 1.1 bao gồm thời gian, bước đi X(t) của việc đi bộ bắt đầu từ điểm (0, 0) và kết thúc tại (2n, 0) và mỗi lần nhảy lên và sang phải hoặc xuống và sang phải. Chúng ta nhìn thấy xác suất mà các bước còn lại ở phía trên đường X = -1.

Tổng số các đường đi dẫn từ (0, 0) đến (2n, 0) là (2n)!/n!n!. Số lượng các đường đi ở trên đường thẳng cũng giống như tổng số các đường đi từ (1, 1) đến (2n, 0) là ít hơn tổng số các đường đi từ (1, -3) đến (2n, 0). Thật vậy, bước thứ nhất từ (0, 0) phải là bước lên. Tiếp theo, nếu một bước từ (0, 0) đến (2n, 0) tiếp xúc hoặc xuyên qua đường X = -1, thì chúng ta có thể phản xạ bit đầu tiên của nó và thu được một đường đi từ (1, -3) đến (2n, 0). Điều này đôi khi được gọi là nguyên lý phản xạ.

Do đó, xác suất chiến thắng là : (2푛 − 1)!푛! (푛 − 1)! −

(2푛 − 1)!(푛 + 1)! (푛 − 2)!

(2푛)!푛! 푛! =

12푛 푛 −

푛(푛 − 1)푛 + 1 =

1푛 + 1.

8

Bây giờ giả sử rằng số ly rượu giả là m, số ly rượu thật là n, m > n. Như trước, chiến thắng trò chơi có nghĩa là tại mỗi lần số lượng tiêu thụ rượu giả là không ít hơn so với rượu thật. Sau đó tổng số các đường dẫn từ (0, 0) đến (m + n, m - n) bằng (m + n)!/ m!n!. Một lần nữa, bước đầu tiên của đường chiến thắng là luôn đi lên. Tổng số các đường dẫn từ (1, 1) đến (m + n, m - n) bằng (m + n -1)!/(m - 1)!n!. Sử dụng nguyên lý phản xạ, chúng ta thấy rằng số lượng đường mất đi bằng với tổng số các đường dẫn từ (1, -3) đến (m + n, m - n), đó là (m + n -1)! / (m + 1)!(n - 2)!. Cuối cùng, xác suất chiến thắng là:

(푚 + 푛 − 1)!(푚 − 1)! 푛!

−(푚 + 푛 − 1)!

(푚 + 1)! (푛 − 2)!(푚 + 푛)!푚!푛!

=푚 − 푛 + 1푚 + 1

.

1.4. BIẾN NGẪU NHIÊN. KỲ VỌNG VÀ KỲ VỌNG ĐIỀU KIỆN. PHÂN PHỐI ĐỒNG THỜI Định nghĩa 1.4.1. Biến ngẫu nhiên

Biến ngẫu nhiên (BNN) là một hàm X trên tập hợp kết quả , X: 휔 ∈ ⟼ 푋(휔) (1.11)

với tập giá trị 푋(휔) là tập hữu hạn hoặc vô hạn đếm được gọi là tập giá trị có thể của BNN X. Ví dụ 1.4.1. Định nghĩa 1.4.2. Kỳ vọng của BNN

Kỳ vọng của một BNN X, lấy giá trị x1,…, xm với xác suất p1,…, pm được ký hiệu là 피(푋) và là tổng :

피(푋) = 푝 푥 = 푥 ℙ(푋 = 푥 )(1.12)

Ví dụ 1.4.2. Mệnh đề 1.4.1. Một số tính chất của kỳ vọng Định nghĩa 1.4.3. Phân bố xác suất đồng thời - Phân bố xác suất điều kiện

9

Cho 2 BNN X và Y, với các giá trị rời rạc X(휔) và Y(휔). Xét sự kiện X = xi, Y = yj (với bất kỳ cặp giá trị xi, yj của X, Y), phân bố xác suất đồng thời của cặp X, Y là ℙ(푋 = 푥 , 푌 = 푦 ).

Phân bố xác suất điều kiện của X = xi khi điều kiện Y = yj (cố định) xảy ra là :

ℙ 푋 = 푥 푌 = 푦 =ℙ(푋 = 푥 , 푌 = 푦 )

ℙ(푌 = 푦 ).(1.14)

Trong đó, các xác suất biên ℙ(X = xi) và ℙ(Y = yj) được tính bằng :

ℙ(푋 = 푥 ) = ℙ(푋 = 푥 , 푌 = 푦 ),

ℙ 푌 = 푦 = ℙ(푋 = 푥 , 푌 = 푦 ).(1.15)

Định nghĩa 1.4.4. Kỳ vọng điều kiện Nếu X và Y là hai BNN thì :

피(푌) = 피[피(푌|푋)] = ℙ 푋 = 푥 피 푌 푋 = 푥

= ℙ 푋 = 푥 푦 ℙ 푌 = 푦 푋 = 푥 (1.16)

với 푥 , 푦 các giá trị có thể của BNN X, Y. Chú ý 1.4.1. Ví dụ 1.4.3. Định nghĩa 1.4.5. BNN độc lập Định nghĩa 1.4.6. Chuỗi các BNN độc lập phân phối giống nhau Mệnh đề 1.4.2. Kỳ vọng của tích hai BNN độc lập Chú ý 1.4.2. Ví dụ 1.4.4. Định nghĩa 1.4.7. Phương sai của BNN

10

Phương sai của BNN rời rạc X có 피푋 = 휇 là một số được ký hiệu và xác định như sau :

Var푋 = 피(푋 − 휇) ; (1.20) Bằng cách sử dụng tính chất của kỳ vọng, chúng ta có

Var푋 = 피(푋 − 2푋휇 + 휇 ) = 피(푋 ) − 2휇피(푋) + 휇 = 피(푋 ) − 2휇 + 휇

= 피(푋 ) − [피(푋)] .(1.21) Định nghĩa 1.4.8. Hiệp phương sai của hai BNN Mệnh đề 1.4.3. Một số tính chất của phương sai Ví dụ 1.4.5. Ví dụ 1.4.6. Ví dụ 1.4.7. 1.5. PHÂN PHỐI NHỊ THỨC, POISSON VÀ HÌNH HỌC. HÀM SINH XÁC SUẤT, HÀM SINH MOMENT VÀ HÀM ĐẶC TRƯNG Định nghĩa 1.5.1. Phân phối nhị thức (Binomial distribution)

BNN X được gọi là có phân phối nhị thức với hai tham số n, p nếu X có phân bố xác suất ℙ(푋 = 푘) = 퐶 푝 푞 , (0 ≤ 푘 ≤ 푛, 0 < 푝 < 1)(1.24) Kí hiệu X ~ Bin(n, p).

Mệnh đề 1.5.1. Nếu X ~ Bin(n, p) thì :

피푋 = 푛피푌 = 푛푝, Var푋 = 푛Var푌 = 푛푝푞. (1.25) Ví dụ 1.5.1. Định nghĩa 1.5.2. Phân phối hình học (phân phối bội) (Geometric distribution)

11

Phân phối hình học với tham số q (0 ≤ q ≤ 1) là phân bố xác suất rời rạc tập trung tại tập hợp các số tự nhiên, cho bởi công thức sau:

ℙ(푋 = 푘) = 푝푞 , 푘 = 1, 2, … (1.26) Kí hiệu X ~ Geom(푞)

Nhận xét 1.5.1. Mệnh đề 1.5.2.

Nếu X ~ 퐺푒표푚(푞) thì :

피푋 =1푝, Var푋 =

푞푝.(1.27)

Ví dụ 1.5.2. Định nghĩa 1.5.3. Phân phối Poisson (Poisson distribution)

Một biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối Poisson với tham số λ, nếu như các giá trị của nó là các số nguyên không âm, và với mọi k ∈ Z+ ta có

ℙ(푋 = 푘) =휆푘!푒 ,푘 = 0, 1, 2, …(1.28)

Kí hiệu : X ~ Po (). Nhận xét 1.5.2. Mệnh đề 1.5.3. Nếu X ~ Po() thì :

피푋 = 휆,Var푋 = 휆.(1.29) Ví dụ 1.5.3. Mệnh đề 1.5.4. Liên hệ giữa phân phối nhị thức với phân phối Poisson. Nhận xét 1.5.3. Ví dụ 1.5.4. Định nghĩa 1.5.4. Hàm sinh xác suất (The probability generating function)

12

휙 (푠) = 피푠 = 푝 푠 = 푝(휔)푠 ( )

∈

; (1.32)

Chú ý 1.5.1 Mệnh đề 1.5.5. Một số tính chất của hàm sinh xác suất 휙 (푠) Định nghĩa 1.5.5. Hàm sinh moment (The moment generating function)

푀 (휃) = 피푒 (1.40) Chú ý 1.5.2. Định nghĩa 1.5.6. Hàm đặc trưng (The characteristic function)

휓 (푡) = 피푒 = 푝 푒 = 푝(휔)푒 ( )

∈

(1.41)

Mệnh đề 1.5.6. Một số tính chất của hàm sinh moment 푀 (휃) và hàm đặc trưng 휓 (푡) Ví dụ 1.5.5. Ví dụ 1.5.6. 1.6. BẤT ĐẲNG THỨC CHEBYSHEV VÀ MARKOV. BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN. LUẬT SỐ LỚN VÀ ĐỊNH LÝ DE MOIVRE-LAPLACE Mệnh đề 1.6.1. Bất đẳng thức Chebyshev

Nếu X là một biến ngẫu nhiên với kỳ vọng và phương sai hữu hạn thì ∀휖 > 0:

ℙ(|푋 − 피푋| ≥ 휖) ≤1휖Var푋(1.44)

* Chứng minh :

Var푋 = 피(푋 − 피푋) ≥ 피[(푋 − 피푋) 퐼((푋 − 피푋) ≥ 휖 )]

≥ 휖 피퐼((푋 − 피푋) ≥ 휖 )

= 휖 ℙ((푋 − 피푋) ≥ 휖 ) = 휖 ℙ(|푋 − 피푋| ≥ 휖).

Ví dụ 1.6.1.

13 Mệnh đề 1.6.2. Bất đẳng thức Markov

Cho bất kỳ biến ngẫu nhiên X không âm với kỳ vọng hữu hạn, với 휖 > 0 bất kỳ cho trước, ta luôn có :

ℙ(푋 ≥ 휖) ≤1휖피푋(1.45)

Ví dụ 1.6.2. Mệnh đề 1.6.3. Bất đẳng thức Jensen

Cho X là một BNN với các giá trị trong một khoảng (mở, nửa mở hoặc đóng) J ⊆ ℝ, với một kỳ vọng hữu hạn 피푋 và 푔:퐽 → ℝ là một hàm lồi (lõm) có giá trị thực sao cho kỳ vọng 피푔(푋)là hữu hạn. Khi đó :

피푔(푋) ≥ 푔(피푋) tương ứng là 피푔(푋) ≤ 푔(피푋) (1.46) Nói cách khác, ∀ x1, …, xn ∈ (a, b) và xác suất p1, …, pn (với p1,

…, pn ≥ 0 và p1+ …+ pn = 1):

g 푝 푥 ≤ 푝 g(푥 ),

tươngứnglàg 푝 푥 ≥ 푝 g(푥 ).(1.47)

Ví dụ 1.6.3. Mệnh đề 1.6.4. Luật số lớn Chú ý 1.6.1. Ánh xạ

Φ: 푥 ∈ ℝ ⟼1

√2휋푒 / 푑푦(1.49)

xác định gọi là phân phối chuẩn tắc hoặc N(0, 1) ; Φ(푥)được gọi là hàm phân phối xác suất và cũng được gọi là hàm phân phối Gauss.

Một số tính chất của hàm Φ(푥):

14 (1) lim

→Φ(푥) = 0, lim

→Φ(푥) = 1

(2) Φ(푥) = 1 −Φ(−푥)∀푥 ∈ ℝ, kéo theo rằng

Φ(0) =1

√2휋푒 푑푦 =

12

vàΦ (푥) =1

√2휋푒 / 푑푦 = Φ(푥) −

12.

(3) 1

√2휋푦푒 / 푑푦 = 0

(có nghĩa là giá trị trung bình của phân phối chuẩn tắc là 0)

(4) 1

√2휋푦 푒 / 푑푦 = 1

(có nghĩa là phương sai của phân phối chuẩn tắc là 1).

(5) Φ(푥) là hàm không giảm và liên tục trong x.

Mệnh đề 1.6.5. Định lý De Moivre – Laplace địa phương (The local De Moivre–Laplace Theorem) * Ý nghĩa của định lý De Moivre – Laplace địa phương: Nếu X là BNN có phân phối nhị thức với tham số n, p thì khi n khá lớn ta có công thức tính gần đúng

ℙ(푋 = 푘) = ℙ (푘) ≈1

2휋푛푝(1 − 푝)푒

( )( )(1.51)

Mệnh đề 1.6.6. Định lý De Moivre – Laplace * Ý nghĩa của định lý De Moivre – Laplace: Cho công thức tính gần đúng xác suất để BNN X có phân phối nhị thức với tham số n, p nhận giá trị trên [α, β] khi n lớn :

15 ℙ(훼 ≤ 푋 ≤ 훽) = ℙ

훼 − 푛푝푛푝(1 − 푝)

≤푋 − 푛푝푛푝(1 − 푝)

≤훽 − 푛푝푛푝(1 − 푝)

≈ Φ훽 − 푛푝푛푝(1 − 푝)

−Φ훼 − 푛푝푛푝(1 − 푝)

(1.54)

Ví dụ 1.6.4. 1.7. QUÁ TRÌNH PHÂN NHÁNH

Mô hình dẫn đến một quá trình phân nhánh là đơn giản. Ban đầu, ta có một mục (một hạt hay một sinh vật sinh học) sản xuất ngẫu nhiên một số 'con', mỗi con trong số đó tạo ra ngẫu nhiên một số con cái và cứ như vậy. Điều này tạo ra một cấu trúc "cây giống" trong đó có một liên kết với bố mẹ và một số liên kết với con cái riêng của mình.

Mỗi điểm (ngẫu nhiên) của cây nổi lên có một đường dẫn nối nó với tổ tiên xa xôi nhất (gọi là nguồn gốc, hoặc mục gốc của cây). Chiều dài của đường dẫn, tương đương với số lượng của các liên kết trong nó. Mỗi điểm đưa đến một cây con mọc từ nó (đối với một số điểm có thể không tiếp tục, khi số lượng con cái là số không).

Xét các BNN X0, X1, X2, … trong đó Xn cho kích thước của dân số trong thế hệ thứ n. Đó là :

X0 = 1, X1 = số con sau phân hạch 1, X2 = số con sau phân hạch thứ 2, v.v…

Các BNN Xn và Xn+1 có liên quan bởi phép đệ quy sau đây :

푋 = 푌( ) (1.55)

trong đó 푌( ) là số con cháu sản xuất bởi các thành viên thứ i của thế

16 hệ thứ n. Các BNN 푌( ) được cho là chuỗi các BNN độc lập phân phối giống nhau, và phân phối chung của chúng xác định quá trình phân nhánh.

Bằng cách sử dụng kỳ vọng có điều kiện, giá trị trung bình 피푋 (tức là kỳ vọng kích thước của thế hệ thứ n) bằng :

피푋 = 피[피(푋 |푋 )] = ℙ(푋 = 푚)피(푋 |푋 = 푚)

= ℙ(푋 = 푚)피 푌( ) = ℙ(푋 = 푚)푚피푌( )

= 피푌( ) ℙ(푋 = 푚)푚 = 피푌( )피푋 .(1.56)

Giá trị 피푌( ) không phụ thuộc vào k và i, và biểu thị bằng 피푌. Khi đó :

피푋 = 피푌, 피푋 = (피푌) , … , 피푋 = (피푌) ,…(1.57) Nhận xét 1.7.1.

Hàm sinh xác suất của các BNN 피푌( )(không phụ thuộc vào n và i): 휙(푠) = 피푠 . Nếu 휙 (푠) = 피푠 là hàm sinh xác suất kích thước của thế hệ thứ n, thì 휙 (푠) = 휙(푠) và bằng đệ quy,

휙 (푠) = 휙 휙(푠) , 푛 ≥ 1.(1.58) Xác suất bị tuyệt chủng

흅 ≔ ℙ(푋 = 0) = 휙 (0) = 휙 (0).(1.59) Do 흅 = 휙(흅 ), bằng trực giác ta sẽ kỳ vọng giới hạn

흅 = lim → 흅 = lim → 휙 (0) để được một điểm cố định của ánh xạ 푠 ⟼ 휙(푠), tức là một nghiệm của 퓏 = 휙(퓏).

Trong thực tế, giới hạn xác suất bị tuyệt chủng 흅 tồn tại và 흅 = nghiệm không âm nhỏ nhất thỏa 퓏 = 휙(퓏) (1.60)

Ví dụ 1.7.1. Ví dụ 1.7.2.

17

CHƯƠNG 2 CÁC KẾT QUẢ LIÊN TỤC

2.1. PHÂN PHỐI ĐỀU. HÀM MẬT ĐỘ XÁC SUẤT. BIẾN NGẪU NHIÊN. ĐỘC LẬP Định nghĩa 2.1.1. Phân phối đều (Uniform distribution)

Một sự kiện (nghĩa là một tập hợp con) A ⊆ 훺 có xác suất:

ℙ(퐴) =휐(퐴)휐(훺)

(2.1)

trong đó 휐(퐴) là độ đo (diện tích hoặc chiều dài) của A và 휐(훺) là độ đo của 훺, được gọi là phân phối đều trên 훺. Ví dụ 2.1.1. Ví dụ 2.1.2. Định nghĩa 2.1.2. Hàm mật độ xác suất (Probability density function)

Hàm f (x) ≥ 0 thỏa ∫ 푓(푥)푑푥 = 1và

ℙ(퐴) = 푓(푥)푑푥, 퐴 ⊆ Ω(2.2)

thì f (x) được gọi là hàm mật độ xác suất. Định nghĩa 2.1.3. Biến ngẫu nhiên (BNN)

Biến ngẫu nhiên là một hàm X trên tập hợp kết quả , X: 휔 ∈ ⟼ 푋(휔) (2.10)

với tập 푋(휔) là tập số thực gọi là tập giá trị của BNN X. Nhận xét 2.1.1. Định nghĩa 2.1.4. Hàm phân phối xác suất (Probability distribution function)

Hàm phân phối xác suất của BNN X nhận giá trị thực là hàm 퐹 (푥) được xác định:

18

푦 ∈ ℝ⟼ 퐹 (푥) = ℙ(푋 < 푥) (2.11) Chú ý 2.1.1. Định nghĩa 2.1.5. Hàm mật độ đồng thời - Hàm phân phối đồng thời (The joint density function - The joint distribution function)

Hàm phân phối đồng thời của hai BNN thực X, Y được kí hiệu 퐹 , (푥, 푦) và xác định : ∀ x, y ∈ℝ,

퐹 , (푥, 푦) = ℙ(푋 < 푥, 푌 < 푦) = 푓 , (푥, 푦)푑푥푑푦.(2.19)

và hàm mật độ đồng thời của chúng là 푓 , (푥, 푦), được xác định :

푓 , (푥, 푦) =푑푑푥푑푦

퐹 , (푥, 푦).(2.20)

Chú ý 2.1.2. Các hàm mật độ biên 푓 , 푓 của BNN X, Y có hàm mật độ đồng thời 푓 , được xác định bằng phép lấy tích phân :

푓 (푥) = 푓 , (푥, 푦)푑푦ℝ

, 푓 (푦) = 푓 , (푥, 푦)푑푥ℝ

(2.22)

Chú ý 2.1.3. Định nghĩa 2.1.6. Hàm mật độ điều kiện 푓 | (푦|푥) của BNN Y có điều kiện trên 푋 = 푥

푓 | (푦|푥) =푓 , (푥, 푦)푓 (푥)

(2.24)

Định nghĩa 2.1.7. Hai BNN độc lập BNN X và Y trên cùng không gian kết quả Ω được gọi là độc lập

nếu ℙ(푋 < 푥, 푌 < 푦) = ℙ(푋 < 푥)ℙ(푌 < 푦),∀푥, 푦 ∈ ℝ(2.25)

hay nói cách khác, hàm phân phối đồng thời 퐹 , (푥, 푦) phân tích được thành tích 퐹 (푥). 퐹 (푦). Định nghĩa 2.1.8. n BNN độc lập Ví dụ 2.1.3. Ví dụ 2.1.4.

19 2.2. KỲ VỌNG, KỲ VỌNG ĐIỀU KIỆN. PHƯƠNG SAI. HÀM SINH. HÀM ĐẶC TRƯNG Định nghĩa 2.2.1.

Biến ngẫu nhiên X với hàm mật độ fX có kỳ vọng피푋 và phương sai 푉푎푟푋 được xác định bởi :

피푋 = 푥푓 (푥)푑푥 vàVar푋 = (푥 − 피푋) 푓 (푥)푑푥.(2.28)

Chú ý 2.2.1. Ví dụ 2.2.1. Chú ý 2.2.2. Mệnh đề 2.2.1. Một số tính chất của kỳ vọng Ví dụ 2.2.2. Định nghĩa 2.2.2. Kỳ vọng điều kiện của BNN Y với điều kiện X = x.

피(푌|푋 = 푥) = 푦푓 | (푦|푥)푑푥(2.35)

Chú ý 2.2.3. Ví dụ 2.2.3. Định nghĩa 2.2.3. Hiệp phương sai Cov (X, Y) Ví dụ 2.2.4. Định nghĩa 2.2.4. Hệ số tương quan Corr(푋, 푌)của hai BNN X, Y Chú ý 2.2.4. Định nghĩa 2.2.5. Hàm sinh xác suất 휙 (푠) và hàm sinh moment푀 (휃)

휙 (푠) = 피푠 = 푠 푓 (푥)푑푥 , 푠 > 0;(2.42)

푀 (휃) = 피푒 = 푒 푓 (푥)푑푥 = 휙 푒 ,휃 ∈ ℝ.(2.43)

Định nghĩa 2.2.6. Hàm đặc trưng 휓 (푡)

20

휓 (푡) = 피푒 = 푒 푓 (푥)푑푥 , 푡 ∈ ℝ.(2.44)

Chú ý 2.2.5. Mệnh đề 2.2.2. Một số tính chất của hàm sinh moment푀 (휃)và hàm đặc trưng 휓 (푡) Ví dụ 2.2.5. 2.3. PHÂN PHỐI CHUẨN. SỰ HỘI TỤ CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ PHÂN PHỐI. ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM Định nghĩa 2.3.1. Một biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối chuẩn (hoặc phân phối Gauss) với hai tham số µ và σ2, kí hiệu X ~N(µ, σ2), nếu hàm mật độ có dạng :

푓(푥) =1

√2휋휎푒 ( )

, 푥 ∈ ℝ(2.52)

Đặc biệt, nếu µ = 0, σ2 =1 ta có phân phối chuẩn chuẩn tắc, kí hiệu N (0, 1). Chú ý 2.3.1. Ví dụ 2.3.1. Mệnh đề 2.3.1. Một số tính chất của phân phối chuẩn Mệnh đề 2.3.2. Định lý giới hạn trung tâm đối với chuỗi BNN độc lập cùng phân phối

Giả sử X1, X2, … là chuỗi các BNN độc lập phân phối giống nhau, với trung bình hữu hạn 피Xj = a và phương sai Var Xj =2. Nếu Sn = X1 + · · · + Xn, với 피Sn = na, Var Sn = n2 thì ∀ y ∈ ℝ:

lim→

ℙ푆 − 피푆Var푆

< 푦 = Φ(푦)(2.57)

Mệnh đề 2.3.3. Ví dụ 2.3.2. Định nghĩa 2.3.2. Vectơ phân phối chuẩn n chiều

21

Vectơ 푿 =푋⋮푋

được gọi là có phân phối chuẩn n

chiều,푿~푁(흁, ∑), nếu hàm mật độ 푓푿(풙) có dạng :

푓퐗(퐱) =1

√2휋 (detΣ) /exp −

12⟨퐱 − 흁, Σ (퐱 − 흁)⟩ (2.60)

Trong đó:

퐱, 흁 là vectơ thực n chiều 퐱 =푥⋮푥

, 흁 =휇⋮휇

∈ ℝ풏,

∑ : là ma trận cấp 푛 × 푛đối xứng và xác định dương (ma trận tương quan), và det∑ = (det∑) . ⟨, ⟩ là viết tắt của các tích vô hướng trong ℝ

⟨퐱 − 흁, Σ (퐱 − 흁)⟩ = (푥 − 휇 )Σ 푥 − 휇,

Ví dụ 2.3.3. Xét vectơ chuẩn hai chiều gồm BNN X, Y. Hàm mật độ cho ở dạng (2.60) với n = 2. Ở đây, ma trận xác định dương Σ và Σ có thể được viết

Σ = 휎 휎 휎 푟휎 휎 푟휎

, Σ =1

1 − 푟1/휎 − 푟/(휎 휎 )−푟/(휎 휎 )1/휎

Trong đó 휎 , 휎 là số thực khác không (với 휎 ,휎 > 0) và r là số thực, với |r| < 1.

Phương trình (2.60) khi đó có dạng

푓 , (푥, 푦) =1

2휋휎 휎 √1− 푟exp

−12(1 − 푟 )

×(푥 − 휇 )

휎 − 2푟(푥 − 휇 )(푦 − 휇 )

휎 휎 +(푦 − 휇 )

휎

Kiểm tra xem rằng X ~ N(휇 , 휎 ) và Y ~ N(휇 , 휎 ), nghĩa là tính toán các hàm mật độ xác suất biên. Lời giải :

22 푓 (푥) =

12휋휎 휎 √1− 푟

exp−1

2(1 − 푟 )

×(푥 − 휇 )

휎 − 2푟(푥 − 휇 )(푦 − 휇 )

휎 휎 +(푦 − 휇 )

휎 푑푦

= 1

2휋휎 휎 √1− 푟exp

−12(1 − 푟 )

×(1 − 푟 )(푥 − 휇 )

휎 +푦 − 휇휎 − 푟

푥 − 휇휎 푑푦

=푒

( )

√2휋휎×

1√2휋휎 √1− 푟

exp −(푦 − 푣 )2휎 (1 − 푟 ) 푑푦 .

Trong đó 푦 = 푦 − 휇 , 푣 = 푟

휎휎(푥 − 휇 ).

Yếu tố cuối cùng trong dấu ngoặc bằng 1, và ta có được rằng

푓 (푥) =1

√2휋휎푒

( )

,

Tức là X ~ N(휇 , 휎 ). Tương tự Y ~ N(휇 , 휎 ) Mệnh đề 2.3.4. Một số tính chất của vectơ phân phối chuẩn n chiều Ví dụ 2.3.4. Ví dụ 2.3.5.

23

KẾT LUẬN

Qua một thời gian tìm hiểu, tiếp cận và nghiên cứu về Xác suất cơ sở qua các ví dụ, luận văn đã hoàn thành và đạt được mục tiêu nghiên cứu của đề tài với những kết quả cụ thể sau:

- Tổng quan và hệ thống một cách đầy đủ các công thức tính xác suất của một sự kiện, khái niệm về phân phối đều, định nghĩa và công thức xác định các tham số đặc trưng, các dạng hàm sinh của biến ngẫu nhiên liên quan đến phần rời rạc cũng như liên tục của xác suất cơ sở. Chúng tôi cũng đưa vào luận văn các dạng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên trong các trường hợp khác nhau và mở rộng hơn trong không gian n chiều.

- Trình bày rõ ràng, chi tiết về công thức, ý nghĩa vận dụng của các bất đẳng thức Chebyshev, bất đẳng thức Markov, bất đẳng thức Jensen và định lý De Moivre-Laplace trong lý thuyết xác suất. Chúng tôi cũng đã mở rộng tìm hiểu và đưa vào các bài toán về quá trình phân nhánh, nghiên cứu các vấn đề mang tính di truyền và kế thừa.

- Và đặc biệt nhiều ví dụ mang tính tổng quát hoặc cụ thể hơn so với các bài toán trong tài liệu tham khảo được đưa vào trong luận văn nhằm làm sáng tỏ vấn đề nghiên cứu.

Với những gì đã khảo sát được, luận văn sẽ là một tài liệu tham khảo hữu ích cho bản thân khi tiếp tục đi sâu nghiên cứu sau này và hy vọng cũng là nguồn tư liệu tốt cho những ai quan tâm nghiên cứu về các kết quả rời rạc và liên tục của lý thuyết xác suất, cùng với ứng dụng chúng trong nhiều lĩnh vực khác nhau.

Trong điều kiện thời gian và khuôn khổ của luận văn nên chúng tôi chưa đi sâu nghiên cứu ứng dụng thực tiễn của các phân phối liên tục. Đó như là hướng phát triển của luận văn.

24

Trong quá trình làm luận văn, mặc dù đã có rất nhiều cố gắng song do điều kiện khách quan và năng lực có hạn của bản thân nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận được những góp ý chân thành của quý thầy cô và bạn đọc để có thể tiếp tục tìm hiểu, nghiên cứu và phát triển luận văn sau này.