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PREFEITURA DA CIDADE DO RIO DE JANEIRO
SECRETARIA MUNICIPAL DE EDUCAO
SUBSECRETARIA DE ENSINO
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EDUARDO PAES
PREFEITURA DA CIDADE DO RIO DE JANEIRO
CLAUDIA COSTIN
SECRETARIA MUNICIPAL DE EDUCAO
REGINA HELENA DINIZ BOMENY
SUBSECRETARIA DE ENSINO
MARIA DE NAZARETH MACHADO DE BARROS VASCONCELLOS
COORDENADORIA DE EDUCAO
MARIA DE FTIMA CUNHA
SANDRA MARIA DE SOUZA MATEUS
COORDENADORIA TCNICA
LILIAN NASSER
CONSULTORIA
SILVIA MARIA SOARES COUTO
VANIA FONSECA MAIA
ELABORAO
CARLA DA ROCHA FARIA
LEILA CUNHA DE OLIVEIRA
SIMONE CARDOZO VITAL DA SILVA
REVISO
LETICIA CARVALHO MONTEIRO
MARIA PAULA SANTOS DE OLIVEIRA
DIAGRAMAO
BEATRIZ ALVES DOS SANTOS
MARIA DE FTIMA CUNHA
DESIGN GRFICO
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A ecologia chegou favela Uma ativista paranaense mostra como os cuidados ambientais ajudam os moradores da Brasilndia, um dos
bairros mais pobres de So Paulo.
Foi assim que Mnica trouxe para um dos bairros mais
pobres de So Paulo o movimento Transition Towns (ou
Cidades em Transio), criado pelo ingls Rob Hopkins.
Trata-se de uma iniciativa global para transformar os
ambientes urbanos em cidades sustentveis, sempre com
a ajuda da criatividade local. A inteno que esses
centros caminhem rumo a uma economia com menos
impactos ecolgicos. Que dependam menos de produtos
derivados do petrleo, como combustveis e plsticos. E
que sejam mais resistentes s grandes catstrofes, como
enchentes. Tudo motivado pelas mudanas climticas.
Em Brasilndia, as mudanas so notveis. Parte dos terrenos baldios do bairro, antes usados como lixo e
local para desovar cadveres, abriga agora hortas comunitrias. O reflorestamento e os cuidados com as
nascentes entraram no radar da populao. As mulheres esto se organizando em cooperativas de costura e
confeitaria, uma forma de gerar renda. Tambm passaram a frequentar aulas de reeducao alimentar, para
usar melhor as verduras e os legumes. o primeiro passo para que as crianas troquem o guaran e o
salgadinho por alimentos mais saudveis. Nas unidades de sade, os idosos tm aulas de lian gong (tcnica
chinesa para tratar dores), ioga e grupos de caminhada. Medidas importantes para reduzir o elevado nmero de
mortes por infarto. Adaptao do texto de Aline Ribeiro
http://revistaepoca.globo.com/Ciencia-e-tecnologia/noticia/2011/09/ecologia-chegou-favela.html Extrado em 18/10/11
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De acordo com a reportagem A ecologia chegou favela, responda:
a)O que o movimento Transition Towns?
_______________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________
b) Pesquise o significado de cidades sustentveis. (www.cidadessustentaveis.org.br )
_______________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________
c) Qual o objetivo desse trabalho?
_______________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________
d) Forme um grupo com seus colegas e monte um projeto parecido para sua comunidade, sua rua, seu bairro..
Seu/Sua Professor/a vai auxili-lo. 3
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Motivados pelo artigo A ecologia chegou favela, alguns jovens resolveram desenvolver um projeto parecido com o que Mnica fez em Brasilndia.
Podemos propor um
projeto semelhante na
nossa comunidade...
Seria legal! Naquele terreno, que
vive cheio de lixo, poderamos
fazer uma horta e um pomar...
Juntamos a galera e fazemos um mutiro para
reciclar o lixo.
Naquele galpo, que est cheio
de coisas velhas, pode haver
cursos de artesanato, costura e
dana.
Minha me poderia ensinar
cestaria nos fins de semana.
Mas vamos precisar de
grana para isso.
Onde vamos arrumar?
Parte do lixo pode ser vendida,
como papel, metal...
Eu sei fazer bancos, mesas e
cadeiras com garrafas pet, em dois
tamanhos, infantil e adulto.
Podemos mobiliar o galpo e
vender.
Mame ganhou peas de lona nas cores:
azul e vermelho.
Tenho certeza de que poderemos us-las
para forrar o material confeccionado com
as garrafas pet.
Ento, quantos tipos de
mobilirio diferentes poderemos
fazer?
Fcil! s montar uma rvore de
possibilidades.
jesussite.com.br
jesussite.com.br
jesussite.com.br
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.br
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Como montamos
uma rvore de
possibilidades?
Combinamos todos os
dados que temos. Veja!
MOBLIA Banco Cadeira Mesa
TAMANHO INFANTIL ADULTO INFANTIL ADULTO INFANTIL ADULTO
CORES A V A V A V A V A V A V
N de TIPOS 1 2 3 ____ 5 6 ___ ____ _____ ____ _____ _____
Eles podero fazer ______ tipos de moblia diferentes.
So ________ formas de moblia, em ______ tamanhos.
Temos 3 x _____ = ________.
Cada uma dessas moblias pode ser feita em ________ cores diferentes.
Logo, podem ser feitas: 3 x 2 x ______ = _______ tipos de moblia.
Esse o Processo Multiplicativo, uma das ideias da Multiplicao.
Nossa! Montando a rvore das
possibilidades, vemos que basta
________________ os dados para
obter todas as combinaes.
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Bruno e Patrcia desejam comprar um novo celular.
tranquila
o.c
om
Escolha seu novo Celular
nas verses:
ps-pago;
pr-pago.
Todos esses modelos
E nas cores: branco, vermelho e preto.
patriciaassispires.blogspot.com
Os preos destes
celulares esto
timos.
Quantas opes de
escolha ns temos?
Fcil! Podemos fazer uma rvore
com todas as possibilidades ou
simplesmente calcular.
Celulares
VERSO
CORES
N de tipos
Bruno e Patrcia tm __________ escolhas de celulares.
Ou
______ x _______ x _____ = _______
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O HOMEM QUE BOTOU UM OVO - conto popular - adaptado
Pois agora eu vou contar uma histria pra vocs verem como esse negcio de fofoca perigoso. Era
uma vez um homem, chamado Osvaldo, que queria provar que sua mulher era a maior fofoqueira do
pedao. Ele pegou um ovo na geladeira e colocou dentro de uma meia sem a mulher ver. Quando
foram dormir ele arrumou um jeito de deixar o ovo bem pertinho dele. E, no dia seguinte, o homem se
fez de espantado e falou pra mulher:
- Olha, Maria, eu quero te contar uma coisa, mas voc tem que me prometer que no vai contar nada
para ningum.
- Conta! Eu juro que no falo nada para ningum! Voc sabe que minha boca um tmulo! Daqui no sai nada! - T bom, Maria, eu vou contar: Eu pus um ovo!
- O que? Um ovo? Mas como?
O Osvaldo mostrou o ovo ainda quentinho. A mulher arregalou os olhos e o marido continuou:
- Mas voc jurou que no vai contar pra ningum, lembra? Olha l, Maria! Depois o povo pode at me botar apelido!
- Claro, Osvaldo! No se preocupe! disse a mulher, tranquilizando o marido. D. Maria encontrou a prima Margarida. Afobada, a mulher de Osvaldo falou:
- Prima Margarida, eu tenho uma coisa para contar, mas voc promete que no conta pra ningum? Se no o meu marido
me mata...
- Tudo bem! - Conto no, prima! Diga logo... vai....
- O Osvaldo, sabe? Ele colocou dois ovos hoje de manh!!
- O qu??? Dois ovos???
- sim, mas no conta pra ningum, t!!
- Claro, prima! Ento... int!
As duas se despediram. A prima Margarida encontrou com a Comadre Florzinha...
- Comadre, fiquei sabendo de uma coisa que minha prima me contou... que eu fiquei pasma. Vou contar, mas no conte
para ningum. Sabe o Osvaldo, marido da minha prima Maria, pois nessa manh ele botou quatro ovos!
Mas o que voc t me contando.... Quatro ovos?
- Foi. Mas no conte para ningum!
E a Comadre Florzinha contou para outro, que contou para outro, que contou para mais outro, que passou para mais um... e
antes de chegar 11 horas da manh j se falava no famoso Z GALINHA que todo dia botava ovos! Adaptao de Augusto Pessoa
Se a fofoca foi passada para 10 pessoas, incluindo Maria, e cada uma s falou com uma
pessoa, quantos ovos Osvaldo havia posto at as 11 horas da manh?
chefc
aip
ira.b
logspot.c
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Quando os fatores so todos iguais, existe uma forma diferente de fazer a representao dessa multiplicao: a potenciao.
expoente
2 . 2 . 2 . 2 . 2 = __________ multiplicao de fatores iguais. Podemos representar este clculo pela Potenciao 25 = __x __x __ x __x __ = __. 25 = 32 potncia
A ______sempre ser o fator que multiplicamos. base
O ____________ a quantidade de vezes que se repete o fator.
A ____________ o resultado do produto.
bomconselho.com.br
Osvaldo disse que havia
colocado 1ovo. Maria contou que
ele ps ____ ovos. Flor j disse
que ele ps _____ovos...
Cada pessoa dobra o nmero de ovos quando
conta.
Veja o esquema que fiz para descobrir o
nmero de ovos que dizem que Osvaldo
colocou nesse momento.
Pessoas Maria Mar-
garida Flor P 4 P 5 P 6 P 7 P 8 P 9 P 10
N de ovos 2 4
Vixe!!! A fofoca comeou com a 1 pessoa (Maria) contando que Osvaldo
ps 2 ovos e a 10 pessoa dizia que ele colocou _____ ovos!!!
Isso POTNCIA!
Observe!
Pessoas P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P 6 P 7 P 8 P 9 P 10
N de ovos 2 4
2 = 2 2 x 2 = 2 2 2__ 2__ 2__ 2__ 2__ 2___ 2__
chefcaipira.blogspot.com chefcaipira.blogspot.com
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Oi, Z! Estou precisando
dos 100 reais que te
emprestei!
Chico! Estou com
pouco dinheiro.
Em 8 dias lhe pago
tudo.
Que tal me pagar um
pouco cada dia?
Como assim?
Amanh, voc me paga 1 real. Depois de amanh,
voc me paga 2 reais. E , assim voc vai me
pagando a cada dia, o dobro do valor pago no dia
anterior, at completar 8 dias.
E assim, pago a
minha dvida?
Claro! Voc no
me dever mais
nada!
Obrigado! Voc um
amigo!
De nada!
De acordo com os quadrinhos acima, determine o que se pede.
a) Quanto Z devia a Chico? ____________________________________________________________________
b) Voc acha que a proposta de pagamento feita por Chico vantajosa para Z? ________. Por qu? ___________
________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
c) Justifique sua resposta ao item anterior, mostrando, matematicamente, como descobriu.
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Um palco ao ar livre est sendo construdo para um grande show de rock que acontecer no prximo fim de
semana. A iluminao ter um efeito especial.
Primeiro, um grande holofote se acende.
Um segundo aps, a partir deste holofote, trs outros se acendem.
Novamente, aps um segundo, trs holofotes se acendem, a partir de cada holofote que acabou de ser aceso.
E assim, vo se acendendo os holofotes at que, em 5 segundos, a iluminao esteja completa.
imoveis
.cultura
mix
.com
Quantos
holofotes sero
necessrios?
Responda pergunta do responsvel pela montagem da iluminao, registrando abaixo seu clculo.
reefforum.net
Aula n 1
Potenciao
(definio e propriedades)
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Adorei esses
problemas!
Que tal se fizssemos uma reviso das
propriedades das potncias?
Acho que ser legal! Vamos comear
por esses
exerccios!
1. Preencha os itens abaixo:
a) 52 = ___ x ___ = ____ b) 43 = ______ c) (-3)4 = _____ d) (-2)6 = ______
e) (-7)3 = _____ f) 25 = ______ g) (-3)3 = ______ h) (-2) 7 = ______
2. Observe e determine o que se pede nas sentenas abaixo:
a) As potncias cujas bases so positivas esto nos itens: ____, ____ e _____.
b) Os resultados das potncias citadas no item a so positivos ou negativos? ___________.
c) As potncias cujas bases so negativas esto nos itens: _____, ____, ____, ____ e ____.
d) Os resultados das potncias citadas no item c so sempre negativos? _____________.
e) Se a base negativa e o expoente par, o resultado um nmero _________________.
f) Se a base negativa e o expoente mpar, o resultado um nmero _______________.
De acordo com as
descobertas que
fizemos, vamos
completar o Fique Ligado!
Observamos que:
a) se a base for positiva, no importa se o expoente par ou mpar, a potncia ser
sempre ________________________________.
b) se a base for negativa e o expoente for par, ento a potncia ser _______________.
c) se a base for negativa e o expoente for mpar, ento a potncia ser _____________.
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Tenho uma dvida.
(-3)2 = -32 ?
Vamos pensar...
Em (-3), estamos elevando ao quadrado o nmero _____. Ento, (-3) = ( ___ ) x ( ___ ) = ___.
Em -3, estamos elevando ao quadrado apenas o ___. Ento, -3 = - ( ___ x ___ ) = - ____.
Neste caso, o sinal (-) indica
a negatividade do n 3.
Neste caso, o sinal (-) um sinal operatrio. Indica que o a
potncia 3 est sendo subtrada de algum outro valor.
Veja o que descobri! O resultado de 9 + (-5) = 9 + ___ = ___. J o
resultado de 9 5 = ___ ___ = ____.
Vamos, agora, fazer alguns exerccios.
1. Calcule o valor das expresses:
a) 26 5 = _____ b) 10 (-2) = _____ c) 32 + (-3) = _____ d) (-2)4 + (-4) = ______ e) (-2) + (-1)9 = _____
f) 7 (-3) + 1 = _____ g) (-8) - 2 1 = _____ h) (-1)7 - (-1)6 - (-1)5 = _____ i) 17 - (-1)5 + (-2)4 - (-2)4 = _______
2. Sabendo que A = (-3) e B = 2
a) A + B = _____ b) A B = _____ c) B A = _____ d) A . B = _____
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Vamos, agora, relembrar as propriedades
operatrias da potncia.
Essas propriedades nos ajudam
a descobrir potncias especiais.
Pensando...
a) 32 . 33 = 9 . ______ = ______
b) 32 . 33 = 3 . 3 . _____ . _____ . _____ = 3 __
= _____
Logo,
c) 32 + 3 = 35 = _____.
d) 23 . 24 = 8 . ______ = ______
e) 23 . 24 = ___ . ___ . ___ . ___ . ___ . ___ . __ = _____ = _____
Logo,
f) 2--- + ---- = 2 ----= _____.
Agora, vamos relembrar a propriedade
da diviso de potncias de mesma
base.
Clip
-art
Observamos que existe uma
propriedade da multiplicao
de potncias com a mesma
base.
Para calcular o produto de
potncias de mesma base
basta ______ a base e
______ os expoentes.
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Essa tambm simples!
Preencha as lacunas:
a) 25 23 = 32 _____ = _____
b) 25 23 =
c) 2 5 3 = 2__ = _______
d) 34 33 = _____ _____ = _____
e)
f) 3 ---------- = 3-------- = ______
.....2222
..........222
..........2
....................2
.....34 3333
.....333
..........3
...............33:3
Observamos que existe uma
propriedade da diviso de
potncias com a mesma
base.
Para calcular o quociente de
potncias de mesma base
basta __________ a base e
__________ os expoentes.
Lembre-se...
Quociente o resultado da
_____________________.
E a potncia de potncia?
Preencha as lacunas e torne as sentenas matemticas verdadeiras.
a)( 3 3) 2 = ( ___ )2 = _____ b) 729 = 3--- c) 6 = 3 _____ 2
Logo: ( 3 3) 2 = 3---
d) ( 2 2) 4 = ( ___ )4 = _____ e) 256 = 2--- f) _____= 2_____ 4
Logo: ( 2 2) 4 = 2---
Observamos que existe uma
propriedade na potncia de
potncias.
Para calcular a potncia de
uma potncia basta ______
a base e _______________
os expoentes.
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?22 3232 aigualSer que
Vamos pensar...
Em (2), estamos elevando ao cubo a potncia ________.
Ento, (2) = ( 2 ) x ( _____ ) x (_____) = 2-----
Potncia de uma potncia
Em , estamos elevando ao cubo apenas o __________.
Ento, = 2----.
Expoente ao cubo
322
322
Descobrimos que:
a) quando h parnteses
entre os expoentes,
calculamos a potncia de
uma ________________.
b) quando no h
parnteses, elevamos a
base a uma potncia.
Nas atividades a seguir,
descubra coisas incrveis! .
1. Complete as lacunas abaixo.
a) 53 52 = 125 _____ = _____
Podemos afirmar que 51 = ___.
b) 53 52 = 5------
c) 104 103 = ____ ____ = ____
Podemos afirmar que 10---= ___.
d) 104 103 = 10---
Uma potncia de expoente 1 sempre
igual __________________.
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2. Complete as lacunas abaixo.
a) 73 73 = 343 _____= ____
Podemos afirmar que 70 = _____.
b) 73 73 = 7----
c) 102 102 = ____ ____ =____
Podemos afirmar que 10--- = ___.
d) 102 102 = 10---
Uma potncia de expoente 0 sempre
igual a _____________.
3. Complete as lacunas abaixo.
a) 22 23 = 4 ___ =
Podemos afirmar que 2-1 =
b) 22 23 = 2--- - --- = 2 ------
c) 102 104 = ____ _____ =
Podemos afirmar que 10----- =
d) 102 104 = 10-----
.....
......
.....
4
.Uma potncia de expoente negativo
sempre igual ao _______________,
com expoente positivo.
Descobrimos que:
a)um nmero elevado a ______________ sempre igual a esse nmero.
b)um nmero elevado a ____________ sempre igual a um.
c) um nmero elevado a um expoente negativo o mesmo que o inverso desse
nmero com o expoente ____________________.
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Existe alguma propriedade que posso
aplicar para resolver 2 . 3?
Claro! Veja! Os expoentes so
________________.
Pensando...
a) 2 = _____ e 3 = _____ Ento, 2 . 3 = ______.
b) (2 . 3 ) = _____ = ______
c) Logo, 2 . 3 = ( 2 . 3 )----
Descobrimos que:
a) o produto de potncias
com o mesmo expoente
equivale ao produto das
bases, elevado a esse
___________________;
b) o quociente de potncias
com o mesmo expoente
equivale ao quociente das
bases, elevado a esse
____________________.
Pensando...
a) 6 = _____ e 3 = _____ Ento, 6 : 3 = ______.
b) (6 : 3 ) = _____ = _____
c) Logo, 6 : 3 = ( 6 : 3 )----.
Vamos fazer a mesma experincia com 6:3?
Agora, complete o Fique Ligado com as descobertas que fizemos.
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Pensando...
a) ( 2 . 3 ) = ____ = ______
b) 2 = ____ , 3 = _____, ento 2 . 3 = ____ . ____ = ______.
c) Logo, ( 2 . 3 ) = ____ . ____ = ______.
Utilizando a mesma experincia em (2 . 3 . 5 )...
a) (2 . 3 . 5 ) = ____ = _____
b) 2 = ___, 3 = ____, 5 = ____, ento 2 . 3 . 5 = ____ . ___ . ____ = ___.
c) Logo, ( 2 . 3 . 5 ) = ___ . ___ . ___ = ____.
Descobrimos que:
a) a POTNCIA DE UM
PRODUTO equivale ao
produto dos fatores
elevados, cada um, a
esse _______________.
Essa a propriedade da
potncia de um produto;
b) a POTNCIA DE UM
QUOCIENTE equivale ao
quociente dos fatores
elevados, cada um, a
esse _______________.
Essa a propriedade da
potncia de um quociente.
Pensando...
a) ( 6 : 2 ) = ___ = ____
b) 6 = ____, 2 = ____, ento 6 : 2 = ____ : ____ = _____.
c) Logo, ( 6 : 2 ) = ______ : _____ = _____.
H uma forma prtica
de resolver (2 . 3) ? Vamos descobrir.
Vamos fazer a mesma experincia
com (6 :2)?
Agora, complete o Fique Ligado com as descobertas que fizemos.
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1. Podemos afirmar que _______________.
Pensando...
A afirmao de que ____________ porque
2. Qual a maior potncia
3. Complete com = ou .
a)150 ____ 15 b) 34 ____ 34 c) 7 x 7 ____ 75 d) 116 : 11 ___ 11 e) 4 ___ - 64
f) (-2) ___ -8 g) (-3) ___ 9 h) -5 ____ 25 i) (-3) ____ 27 j) (-7) ____ 49
k)
p)
19
8
125____
5
2)
9
1____)3()
2
1____2)
2
3____
3
2)
25
1___5
3
21
1
2
onml
729____3
1)
9
1____3)2_____2)2____2
32
12623623
srq
?22 632
.2___2,log22,____ 3 63____3222
oento
623 22 .22 923
?)3(ou3 3232
Que tal exercitar um pouco?
Esta voc far
sozinho.
Se tiver dvidas, consulte as
pginas anteriores.
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4. Uma planta aqutica circular, com 1 cm de dimetro, foi colocada em uma estufa at atingir o tamanho ideal para ser comercializada. Sabendo que seu dimetro dobra a cada dois meses e que a planta sair da estufa
daqui a um ano, quanto deve medir seu dimetro para que essa planta tenha a dimenso ideal para
comercializao?
Pensando...
a) Em um ano h _____ meses. Logo, h ______ grupos de dois meses em um ano.
b) Ao ser colocada na estufa, o dimetro da planta media ____cm e esta medida dobra a cada ____ meses.
c) Como h 6 grupos de dois meses num ano, para calcular a medida do dimetro dessa planta para ser
comercializada fazemos: 1. 2 . ____ . ____ . ____ . ____ . ____ = 2 ---- = _____.
d) Para ser comercializada, essa planta deve ter __________cm de dimetro.
5. Uma bactria se transforma em 3 a cada hora. Uma dessas bactrias foi colocada num recipiente.
Aps 4 horas no recipiente, havia ________________ bactrias.
cole
gio
web.c
om
.br
saude.c
ultura
mix
.com
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7. Qual o valor da expresso:
Pensando...
?
11
6
1
0
3
12527
____6
1)_____
3
1)____5)_____7)
1022
dcba
.____expressodestavalorO.....
.....
......
1.....
.................
16
1
3
157
1
0
22
.....
.....
.....
221
32
...................................221..........21
.....3.....32.....2
33
3
232
33
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33132322232)3232)
3333)333)
...
debemsencontradovaloresosDividindo
dc
ba
Pensando
6. Qual o valor da expresso:
?22
2312
3233
Calculando por etapas,
fica fcil resolver a
expresso. O valor da expresso 3..... ou ________.
Substituindo pelos valores encontrados, temos:
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8. Calcule o valor da expresso .7233
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9. Quadro espelhado
No eixo vertical (coluna escura), esto os expoentes
e, no eixo horizontal (linha escura), esto as bases.
Cada quadrcula o encontro de uma base com um
expoente.
Voc dever preencher a quadrcula com o
resultado da base, elevada ao expoente
correspondente a ela.
Observe os modelos.
-8
9 -8
9
Expoente
Base
No esquea que expoentes pares e
mpares podem modificar os sinais das
potncias...
Expoente
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10. Qual o expoente?
a) 2 = 128 = _____ b) 10 = 10000 = ______ c) (-3) = -27 = ______
d) (-7) = 49 = _____ e) (-2) = = _______ f) (-3) = = ______ 2
1
9
1
11. A base da potncia 5 = 32 est indefinida. Qual o seu valor?
Pensando...
a) O nmero representado por est elevado a ________.
b) Que nmero elevado a 5 resulta em 32?
c) 32 = ____ 5, logo = ______.
12. Qual o valor da base ?
a)3 = 125 = _____ b) 4 = 81 = ____ ou ____. c) 1 = 9 = _____
d) 0 = 1 = ______ e) -1 = = _____ f) -3 = = _____ 4
1
64
1
13. Qual o valor da base a em a2 = -25? _______________________ Explique sua resposta.
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
Vamos fatorar o
nmero 32 em
fatores primos.
Agora, faa a atividade 12.
Fique atento/a s propriedades!
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Pensando...
a) a . b produto de potncias com o mesmo expoente.
b) Portanto, a . b = (____ . ____).
c) Sendo assim, ( a . b )-1 = [( ____ . ____ )] -1 = [ a . b ] -----
d) a-2 . a = a -1 produto de potncias com a mesma base.
e) Ento, (a-2 . a1) = (a -1) = _______
f) Utilizando as expresses encontradas em c e e, temos:
(a . b )-1 : (a-2 . a1) = [ a . b ]---- : a ----
g) Sabemos que [ a . b ]-2 = a ---- . b----
h) Ento, ( a . b )-1 : (a-2 . a1) = [ a . b ]-2 : a---- = a ----. . b ---- : a-----
i) Arrumando a expresso a---- : a---- . b---- = a---- . b ---- = 1 . b---- = b----
j) Logo, ( a . b )-1 : (a-2 . a1) = b----.
15. Simplifique a expresso
.pp
pmpm32
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14. Simplifique a expresso (a . b)-1 : (a-2 . a1).
Ateno!!!
(-2) (-2) = -2 + 2 = ____
pppp
pmpmd
ppppc
pmpmpmpmpmb
pmpmpma
)
)
.)
.)
32
2211
332
22211
2211
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16. Leia o artigo abaixo.
Foto extrada de amenito.com em 26/10/10. Texto copiado do livro Matemtica Projeto Ararib Ed Moderna 9 ano Pg. 16
Escrevendo um milho em potncia de 10.
Pensando...
a) 100 = ________
b) 10 = ________
c) 10 = ________
d) O nmero que representa 1 milho ____________________.
e) Ento, um milho em potncia de 10 : 1 000 000 = _______.
f) Logo, 196 milhes, escrito em potncia de 10 196 . ________.
Escreva em potncia de 10 o nmero que esta jovem deseja.
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
Em 16 de junho de 1950, foi inaugurado o estdio municipal do Maracan,
no Rio de Janeiro, para que o Brasil pudesse sediar a Copa do Mundo. Com
grande incentivo do jornalista Mrio Filho, que depois foi homenageado dando
seu nome ao estdio, a obra finalmente pde ser concretizada, contrariando a
opinio pblica e de polticos, que defendiam a aplicao do dinheiro na
construo de hospitais e escolas.
Para a realizao do Pan no Rio de Janeiro, de 13 a 29 de julho de 2007, foi
iniciada uma grandiosa reforma no estdio, no valor total de R$196 milhes.
Assim, a leitura mais rpida e mais precisa.
Outra forma abreviada de escrever esse valor
com potncias de 10. Veja!
Artigo interessante!
Voc reparou que o valor gasto
com a reforma do Maracan foi
escrito de forma abreviada?
Numa potncia de 10, o nmero de zeros
igual ao __________________.
Como posso escrever 35 bilhes
em potncia de 10?
www.suderj.rj.gov.br/maracana.asp
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A Copa do Mundo de Futebol, em 2 014, ser sediada no Brasil.
O Brasil est localizado na Amrica do Sul, com uma regio costeira que
ocupa cerca de 3,5 milhes de quilmetros quadrados, sendo banhada
pelo oceano Atlntico. Com uma extenso territorial de mais de 8 514 876
km, o pas o 5. maior do mundo em rea.
No mapa, esto assinaladas as cidades onde ocorrero os jogos. http://pt.fifa.com/worldcup/index.html
Vamos lembrar: 10 = 1 . 10 ; 100 = 1.10; 1000 = 1 .10---- 100 000 = 1 . 10 ----
O valor relativo do primeiro algarismo 8 no nmero 8 514 876 _________________.
Logo, 8 000 000 = 8 . 10----.
O nmero 8 514 876 , em notao cientfica, apresenta-se como: 8, 514 876 . 10 ----.
Notao cientfica, tambm conhecida como padro ou como notao em forma
exponencial (utilizando as potncias de 10), uma forma de escrever nmeros que
acomoda valores demasiado grandes ou extremamente pequenos.
Veja, abaixo, como escrever a extenso territorial do Brasil em notao cientfica.
A Copa do Mundo de 2 014 ser realizada no _______, cuja
extenso territorial de, aproximadamente, ________________km .
Voc sabe escrever esta medida em notao cientfica?
Notao
cientfica? O
que isso?
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Viu como fcil?
A populao da cidade do Rio de Janeiro, uma das cidades brasileiras que sediaro
a Copa de 2014, de 15.989.929 habitantes, que, em notao cientfica, pode ser
escrita assim: 1,5989929 . 107.
27
Entendi! O valor, em notao cientfica, apresenta-se em forma de nmero decimal, onde a
parte inteira tem um nico algarismo (para facilitar a comparao), a ordem de maior valor
relativo. Multiplicamos este nmero decimal por 10 elevado ao expoente que corresponde ao
nmero de casas decimais. Por exemplo:
35,74 = 3,574. 10
Escreva, em notao cientfica, os nmeros abaixo.
a) 3 745 = 3,745 . 10---- b) 21 609 = 2,1609 . 10---- c) 135 465 = __________ d) 9 342 625 = ____________
Mas como escrever, em notao cientfica, nmeros muito pequenos? Qual a utilidade?
Esta notao muito til para fsicos, qumicos, bilogos...
Veja, na prxima pgina, como representamos nmeros muito pequenos em
notao cientfica.
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Um "prton" uma partcula subatmica que faz parte do ncleo de todos os
elementos. Convencionou-se que o prton tem carga eltrica positiva.
uma das partculas, que junto com o nutron,
formam os ncleos atmicos.
O tamanho do prton de cerca de
0,000 000 000 000 001 metros.
Vamos escrever, em notao cientfica, o tamanho do prton.
0,000 000 000 000 001 = = .
A frao o inverso de 10-15, logo: 0,0000000000000001 = 1 . 10 -15.
oquimiajuda.blogspot.com
0000000000000001
1 1
1510
1-------
Percebi! O expoente de 10 um nmero simtrico ou oposto
ao nmero de casas decimais, contando-se aps a vrgula,
andando para a direita.
Pensando...
a) O algarismo que ocupa a parte inteira o ____________________.
b) Para chegar at o 3, a vrgula anda ___________ casas decimais.
c) Logo, 0,000357, em notao cientfica, fica 3,57. 10-----.
Veja como podemos escrever 0,000357 em notao cientfica.
0
Complete o Fique Ligado com as descobertas que fizemos.
Descobrimos que um
nmero, em notao
cientfica, um produto de
um nmero racional por
uma potncia de _______.
Podemos transformar um
nmero racional em
notao cientfica, se ele
for:
a) maior ou igual a 1,
deslocamos a vrgula para
a esquerda e
multiplicamos por ___
com o expoente igual ao
nmero de algarismos que
a vrgula andou.
b) menor que 1,
andamos com a vrgula para a direita e
multiplicamos por ____
com o expoente igual ao
n de algarismos que a
vrgula andou, com o sinal negativo.
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1. O tamanho de uma bactria pode variar de 0,2 a 5,0 micrmetros.
Um micrmetro est definido como um milionsimo de metro, isto 1 10-6 m.
Logo,1 micrmetro = 1 . 10-6 m.
a) Se uma bactria mede 5 micrmetros de comprimento, podemos afirmar que, em metros, seu comprimento :
5 . 1 . 10----- = 5 . _______metros.
b) Uma bactria mede 0,2 micrmetros de comprimento.
lookfo
rdia
gnosis
.com
.
Escreva o tamanho dessa bactria em metros, utilizando a Notao Cientfica.
Vamos por etapas.
I) 0,2 = 2 . 0,1 = 2 . ______
II)Transformando 0,2 micrmetros em metros, tem-se:
2 . 10----- . ____ . = 2 . 10----- metros.
2. Escreva, em notao cientfica, os nmeros abaixo.
a) 0,35 = 3,5 . ______ b) 2 348 = 2, 348 . _____
c) 0,00271 = 2,71 . _____ d) 35 023 005 = __________ . ______
e) 0,00000007 = 7 . _____ f) 86 473,5 = _________ . _______
g) 0,00104 = ____ . _____ h) 235,37 = _______ . ________
i) 0,05689 = ______ . _____
610
Vamos treinar um pouco???
Aula n 2
Potncias de dez, notao cientfica
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Oi, Jorge! Para cercar esses
terrenos, preciso determinar a
medida de seus lados. Como
posso calcular? Fcil! s achar a raiz
quadrada da medida da rea
de cada terreno.
Marcos e Jorge so amigos. Marcos precisa cercar dois terrenos quadrados. As reas desses terrenos so:
144m, 900m.
Mas o que uma raiz
quadrada? Vou mandar para voc umas
anotaes que fiz. Acho que
elas vo ajud-lo.
Se elevamos 3 ao quadrado encontramos 9, pois 3 = 9.
Ento, se extramos a raiz quadrada de 9, encontramos 3:
_____________ 9
Entendi, Jorge! Extrair a
raiz quadrada de um
nmero encontrar o valor
que, ao quadrado, gera
esse nmero.
Compreendendo...
Preencha as lacunas abaixo.
a) b) c) 5 ,525 porque 27 ,749 porque 29 ,981 porque____ C
lip-a
rt
Clip
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____ ____
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Para calcular a raiz de 144 existe uma maneira
melhor. Basta fatorar o 144 e extrair o quadrado de
seus fatores. Depois, s multiplic-los. Veja o
restante das anotaes!
Fatorando o n 144, temos:
144 2
72 2 144 = 2 . 22 . 32
36 2
18 2
9 3
3 3 Ento:
1
322144
144 ____
1. Vamos ajudar Marcos a encontrar o lado do outro terreno.
A rea do terreno quadrado ao lado de 900cm. Qual a medida de seu lado? l
Pensando e calculando...
a) Para calcular a rea de um quadrado, multiplicamos a medida do seu lado (l) por ela mesma, isto , l . l = l 2
b) Ento, l = ________
c) Logo, l =
d) Registrando a fatorao, temos 900 = 2---- . ____ . ____
e) Extraindo os quadrados de cada fator, temos
f) A medida do lado desse terreno de __________cm.
Agora, s fatorar o 900. 900 2
450
900
900
___. ___. ___ = ____.
2. Se x um nmero inteiro positivo e x = 441, ento qual o valor de x?
3. correto afirmar que, se um nmero real, n pode ser um nmero
negativo? Por qu?
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
n
Descobrimos que:
a) para extrair a raiz
quadrada de um
nmero, basta extrair o
________ de cada fator.
b) se um nmero real ao
quadrado sempre
positivo, s existe raiz
quadrada real de um
nmero ____________.
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bo
nito
pa
nta
na
l.b
log
sp
ot.
co
m
Um grupo de amigos conversavam quando resolveram testar alguns conhecimentos em forma de jogo.
bo
nito
pa
nta
na
l.b
log
sp
ot.
co
m
Quem sabe qual o
nmero inteiro mais
prximo de ? 40
7 6
20
Beto
acertou!
Beto! Como descobriu?
Tinha certeza que
era 20...
40
Voc est
confundido
raiz
quadrada
com
metade.
O valor inteiro de o nmero que, elevado ao quadrado, resulte em 40 ou o mais prximo de 40. 40
verdade! 202 = _____ e no 40. Lembrando alguns quadrados perfeitos...
1 = ____, 2 = ____, 3 = ____, 4 = ____, 5 = ____, 6 = ____, 7 = ____
Vejam se descobrem esta!
O quadrado da idade de
minha neta um nmero
entre 200 e 230.
Quantos anos ela tem?
Os quadrados perfeitos a partir de 100 podem ser obtidos
assim: 10 = ___, 11 = ___, 12 = ___, 13 = __, 14 = ___,
15 = ___, 16 = ___, 17 = ___, 18 = ___, 19 = ___.
O quadrado perfeito entre 200 e 230 _________.
Como ____ ____ ao quadrado, sua neta tem ____ anos.
Mas 40 no
prximo de 49?
Por que no
pode ser 7?
O nmero 40 est
entre os quadrados
perfeitos: ___ e ___.
Temos:
O nmero mais prximo de 40 36 ou 49? ______.
____49_____36 e
Como o valor mais prximo de 40 _____,
logo, o inteiro mais prximo de _____. 40
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Como vimos na pgina anterior, fica entre e , mais prximo de . Ento, a localizao de
, aproximadamente, a que est indicada pela seta na reta numrica abaixo.
40 40
1. Observe a reta numrica abaixo e preencha os parnteses com a letra que indica a
provvel localizao de cada raiz quadrada.
25320102
36 49 36
Mas o nmero 40 no um quadrado perfeito.
Como podemos localiz-lo numa reta numrica?
Muito tranquilo. Observe
a reta numrica abaixo.
Vamos treinar um pouco? Existe um algoritmo
de clculo. E, ainda,
podemos usar
aproximaes.
(6,4)2 = 40,96 assim:
3,640
4,640
por
excesso
por falta
A aproximao pode
ser melhorada.
Aula n 3
Nmeros irracionais:
razes no-exatas
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Como encontro o
nmero que, ao cubo,
resulta em 216?
Fcil! s extrair a raiz cbica
de 216. Observe!
Vamos calcular a raiz cbica de 216
Fatorando 216, tem-se: 216 = 2 . 3----
Extraindo a raiz cbica, tem-se: ___ . ___ = ___
3 216
3 216
216 2
108
Entendi! s retirar o expoente 3 de cada
fator.
Se for uma raiz quarta, s retirar o expoente
4 de cada fator e assim por diante...
No esquea que o ndice da raiz
indica o tipo de raiz que devemos
extrair.
______3753) ______16)________16) 34 cba
2. Calcule as razes abaixo.
3. O volume de um cubo de 1 728m. Qual a medida de sua aresta?
Pensando e calculando...
a) O cubo formado por quadrados iguais. Logo, suas arestas tm todas __________________ medida.
b) Para calcular o seu volume, basta multiplicar a medida de sua aresta a por ela mesma trs vezes, isto :
a . a . a = a.
c) Ento, a = _____________________
d) Logo, a =
e) Fatorando, 1 728 = ______ . ______ . ______ = _________
f) Portanto, ____ . ____ . ____ = ____ A aresta desse cubo mede ______ m.
aresta
aresta aresta
3 1728
3 7281
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Como calculo
?20
Vamos ajud-la!
20
20 2
10 2 20 = ____ . ____
5 5
1
Fatoramos o 20.
Repare! O fator ___
no est elevado ao
quadrado.
Deixamos o 5
dentro do radical.
Veja! 20 ___ 5
Entendi!!! Os fatores que
tiverem expoente menor que 2
ficam dentro do radical.
Mostre que entendeu este assunto calculando:
a) b) c) d) _______300 ________45 ________90 _______72
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Podemos fazer o
mesmo com
razes cbicas?
Vamos entender melhor esse dilogo.
1. Qual ser o valor de
a) Fatorando o 360, tem-se: 360 = 2---- . 3---- . 5----
b) O fator que est ao cubo o________________.
c) Como os outros fatores tm expoentes inferiores a 3, no podemos extra-los do radical. Portanto:
?3603
d) Os fatores __________ e _______permanecero no radical.
e) Portanto:
f) Conclumos que:
2. Ser
Vamos calcular
a) O expoente que nos interessa o ________________.
b) Utilizando a fatorao, feita na atividade anterior, temos: _____________________________.
c) S podemos extrair a raiz quadrada dos fatores __________ e __________.
?3603603
?360
360 2
33 23 ______2532360
__________._______.____360
360____3603
Claro! O ndice
referncia para que
possamos extrair a raiz.
Clip-art
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Na gincana do Colgio de Pedro, uma questo gerou polmica.
Ser 2?
1!
stoinacio.com.br
A resposta certa foi a de ______.
Qual a opo verdadeira?
1394)2
3694)1
Vamos verificar quem acertou.
1)
2)
____?636
_________94 ,._____36 ____9 ____,4
aigualA
Entoe
___5?aigual13A_________94 Ento,
.___e___inteiros osentreest13e____9 ,____4
Entendi!
Ento, me diga...
Isso funciona para todas as
multiplicaes com radicais?
Vamos realizar mais
multiplicaes e
verificar.
stoinacio.com.br stoinacio.com.br
-
Co
ord
en
ad
ori
a d
e E
du
cao
M
AT
EM
T
ICA
-
9
A
no
1
BIM
ES
TR
E / 2
012
38
Descobrimos que:
a) o produto de 2 razes de mesmo ndice igual raiz do _____________
desses nmeros.
b) a raiz de um produto de 2 ou mais nmeros igual ao _______________ das
razes desses nmeros.
Essa descoberta vai me ajudar!
Preciso achar . Como 900 = 9 . ____, ento posso fazer assim:
900 .________._________900
Eu queria saber como somar
nmeros com radicais. Para somar e subtrair, devemos
extrair as razes e depois calcular.
Vou te mostrar.
Sendo
Logo,
.____125 ____49 ____,121,,1254931212 33 eento
.____________________3____21254931212 3
3. Calcule os produtos abaixo.
________62516 ______827 _______254
_________62516) _________827) _________254)
4433
4433
cba
stoinacio.com.br
stoinacio.com.br
-
Co
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en
ad
ori
a d
e E
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cao
M
AT
EM
T
ICA
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BIM
ES
TR
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Vamos relembrar!
3x + 4x 2x = (3 + ___ - ___) x = ___ x. Portanto:
Como :
2x 3y + 4x = (___ + ___)x ____ y = ___ x - ___y Ento:
39
E quando as razes no forem
exatas?
Vou te mostrar!
.717
.______63 ___,___63
.______28 ___,___28
?76328
ento
ento
Fatorando
Mas como vou
operar com
eles?
Acompanha a
prxima atividade
que entender!
.______717372
771
_________73
______72
.
Logo
completeeObserve
Entendi! Operamos com os
fatores externos e repetimos o
radical.
Mas, se os radicais forem
diferentes?
Lembra das
adies
algbricas?
______5_________525453
7_________7___3______327235
Adies e subtraes com radicais.
a) Simplificamos os ___________.
b) Operamos com os fatores de
radicais iguais.
c) S possvel somar e subtrair
radicais com o mesmo ndice e o
mesmo radicando, que so
chamados radicais semelhantes.
sto
inacio
.com
.br
stoinacio.com.br
stoinacio.com.br
sto
inacio
.com
.br
-
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40
Para exercitar um pouco, faa as atividades a seguir.
1. Determine as adies abaixo:
______________________________18911256)
______________________________457512)
_____________________13562540)
____________812781)
______323437)
332333
333333
43
e
d
c
b
a
2. Determine o permetro do tringulo abaixo: Resolvendo...
75 32
27.______permetroO
______333532)
_____27)
______75)
c
b
a
3. Qual o maior:
?452ou180
______2452
.452___180,______45
______180
Logo
Resolvendo....
4. Sendo x = e y = , determine:
a) x + y =
b) x - y =
c) x . y =
532 253
-
Co
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en
ad
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a d
e E
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EM
T
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ES
TR
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41
5. Ser que
?169169
_______169)
_________169)
b
a
Logo, esta igualdade ______________________. (verdadeira/falsa)
6. Podemos afirmar que o permetro do tringulo equiltero abaixo ?29
cm82 cm82
cm82
7. Determine os produtos.
____________.___62.103,
_________.______60
_________.______.___62.103)
____________.___622:
______12
_________.______622)
_______________68)
Logo
ndoSimplifica
c
Ento
ndoSimplifica
b
a
Multiplicaes com radicais de mesmo ndice.
1) Simplificamos os _____________________________________.
2) Multiplicamos os radicandos (nmeros dentro das razes) e
registramos o produto dentro do radical.
3) Multiplicamos os fatores que acompanham as razes e registramos
o produto fora do radical.
4) Se for possvel, simplificamos a raiz do produto.
-
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ES
TR
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42
Preciso determinar o produto:
Como posso fazer?
2232 s aplicar a propriedade
distributiva.
3______2___32___323232
Calculando... Utilizamos a adio e a
multiplicao com radicais.
Como os radicais so diferentes,
no podemos som-los. Ns os
deixamos apenas indicados.
8. Complete as lacunas e determine o produto abaixo.
__________________
__________________1___1(___)3___32313
9. De acordo com as dimenses do retngulo abaixo, determine seu permetro e sua rea.
13
13
Seu permetro :
Que legal! E se usarmos a regra dos produtos
notveis do produto da soma pela diferena.
para calcular,
(a+b) . (a-b) = a - b? Lembram? Ficaria, ento:
Sua rea :
Clip-art
Clip-art
Clip-art
-
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EM
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43
O que voc est estudando? Estou tentando descobrir como se
determina a diviso de nmeros
com radicais.
Veja!
Legal! Na diviso,
procedemos da mesma
forma que na multiplicao:
simplificamos e efetuamos
as operaes entre os
radicandos.
______27
216
____....
....
27
216
______464
_________464
33
3
3
_____464
33
3
.....
.....
27
216
Vamos treinar um pouco...
Efetue as multiplicaes e divises, simplificando os resultados, sempre que possvel.
______......
......
10
180)___5:20)
_________1313)
_____________________2125)
__________221625) ______48)
______315)______123)
333
3333555
hg
f
e
dc
ba
Clip
-art
Clip-art
-
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ES
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44
Vamos ajud-lo.
O nmero no denominador um complicador. Como podemos simplificar essa frao?
12
8
3
2)b
6
3
2
1)a
Complete as lacunas, de modo que se obtenham fraes equivalentes.
1) Na igualdade a, multiplicamos o numerador e o denominador por _______ e obtivemos a frao .
A frao equivale (tem o mesmo valor) a .
2) Na igualdade b, multiplicamos o numerador e o denominador por _______ e obtivemos a frao .
A frao equivale a .
2
1
3
2
Ao multiplicarmos o numerador e o denominador de uma frao pelo mesmo nmero, obtemos uma
frao _______________________________ primeira.
Em meus clculos, encontrei .
Como posso precisar esse valor?
2
3
6
3
6
3
12
8
12
8
Clip
-art
2
-
Co
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45
O denominador precisa ser um
nmero racional. Temos que
encontrar uma frao equivalente.
Que tal se multiplicarmos por
?2
Boa ideia! Se multiplicarmos
temos ,2por2 .24
No podemos esquecer de
multiplicar o numerador
tambm por .2
Vejamos:
2
3Uma frao equivalente a
O valor dela a metade de
23
2
3
.....
... .....
Claro! A frao com
denominador
racional bem mais
simples!
Isto se chama
racionalizar o
denominador.
Se uma frao possui uma raiz quadrada no denominador, para racionaliz-lo
devemos ______________________ o numerador e o denominador por essa raiz.
Ao racionalizar uma frao, com uma raiz no denominador, encontramos uma outra
frao mais fcil de localizar na reta numrica.
Clip
-art
-
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Incrvel!!! Podemos calcular usando uma das regras dos produtos
notveis, produto da soma pela diferena. Veja!
46
1. Racionalize os denominadores das fraes a seguir:
12
32)c
2
6)b
3
1)a Mas eu quero saber como
racionalizar uma frao do
tipo: ? 12
3
Ser que multiplicando o numerador e o denominador por , possvel racionalizar o denominador?
Experimente e escreva abaixo sua concluso.
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
2
E se utilizarmos como fator multiplicativo para racionalizar o denominador?
Escreva abaixo suas concluses.
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
12
Experimente multiplicar os termos da frao por .
Escreva o que descobriu.
_______________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________
12
_________121212 22
-
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47
Ol, Andr! Voc est
preparado para o desafio de
montar o Grmio?
Claro, Lo! J temos a planta do
salo. Eduarda e Lia cuidaro
dos comes e bebes e ns organizaremos o espao.
Lia, como podemos
saber o tamanho da
sala, se temos apenas a
planta?
Ah, Eduarda! S
precisamos saber em que
escala est o desenho, e
aplicar os conhecimentos
de proporcionalidade.
Base 9 cm
altura
6 cm
Glossrio:
escala linha graduada dividida em partes iguais, que indica a relao das dimenses ou distncias marcadas sobre um plano com as dimenses ou distncias reais. (fonte:
MiniAurlio Editora Positivo) mdemulher.abril.com.br
mdemulher.abril.com.br
A planta de um local uma
imagem reduzida de uma
determinada superfcie. Essa
reduo - feita com o uso da
escala - torna possvel a
manuteno da proporo do
espao representado.
Este um bom momento para
conversar com seu Professor(a)
de Geografia sobre o uso de
escalas, tambm, nos mapas.
-
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48
Como calcular a
quantidade exata?
Eduarda far um bolo para a
posse do Grmio. Ns
ajudaremos na compra dos
ingredientes.
Ora! Usamos a
proporcionalidade.
Cada receita do bolo d para 12 pessoas. Na inaugurao, haver 60 pessoas.
Ento, devemos fazer 5 receitas desse bolo.
A receita orienta que: para cada copo de leite, usar 3 ovos.
Quantos ovos sero necessrios para fazer o bolo?
Pensando e resolvendo...
a) A razo para essa composio :
b) Ento, para calcular a quantidade de ovos necessrios, utilizamos a igualdade:
c) Multiplicando meios e extremos temos:
d) Assim, encontramos: 1x = ______ x = _______.
e) Foram necessrios _________ ovos para fazer a receita para 60 pessoas.
x
5
3
1
ovos3
leite.c1
x
5
3
1
Quando comparamos duas
quantidades ou duas
medidas por meio de uma
diviso, o quociente
chamado de ____________.
Se a razo entre a e b
igual a razo entre c e d, isto
, ento a, b, c e d
so _______________ nesta
ordem. Sendo assim,
proporo a igualdade
entre 2 razes.
d
c
b
a
Lembrei! Se no usasse a proporo, o
bolo desandaria.
1 xcara de acar
100 gramas de manteiga
3 ovos
2 xcaras de farinha de trigo
1 colher (ch) de fermento em p
1 copo de leite
Glossrio:
desandar alterar-se. (fonte: MiniAurlio Editora Positivo)
-
Co
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49
Pensando e calculando...
a) Sabemos que 10% =
b) A razo para calcular o desconto em cada produto :
c) Vamos calcular o desconto, que est sendo dado ao aparelho de som:
d) Multiplicando meios e extremos temos: 10 . x = 1 . _______ x = _______ (= 10% de 860).
e) Para calcular o preo do aparelho de som vista fazemos: 860,00 - _____ = _____ (= 90% de 860).
f) O preo do aparelho de som vista ser R$______________.
g) Se o aparelho custasse R$1 200,00, o desconto seria de:
h) Multiplicando meios e extremos temos: ___. x = 1 ._____ x = ____(= 10% de 1 200).
i) Para calcular o preo do aparelho de som no valor de R$1 200,00, fazemos:
1200 - ______ = __________ (= 90% de 1 200).
j) O valor de 10% de 860 igual a 10% de 1 200? ________________________________________
___________________________________________________________________________________
Vamos calcular o preo do aparelho de som com desconto para pagamento vista.
10100
10preo
desconto
A porcentagem um
modo de comparar
nmeros, usando a
proporo direta, onde
uma das razes da
proporo uma frao
cujo denominador
100. Toda razo a/b na
qual b=100 chama-se
porcentagem.
Ah! Quanto pagaremos por esse aparelho,
se comprarmos vista?
mdemulher.abril.com.br
R$860,00 Em 10 vezes sem juros.
vista com 10% de desconto.
Som HI FI SYSTEM
Veja o aparelho de som que
vamos comprar para o Grmio.
10
1
860
x
10
1
1200
x
Se o desconto fosse igual para
qualquer valor, no seria
justo. S justo, o desconto
proporcional.
md
em
ulh
er.
ab
ril.co
m.b
r
-
Co
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EM
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50
1. A foto do grupo dos colegas de turma ser colocada em um painel da sala do Grmio. O painel ser feito com
medidas proporcionais s medidas da foto do grupo.
A foto do grupo, que ser colocada no painel, mede 15cm de comprimento e 6cm de largura.
Se o comprimento do painel de 3m, qual deve ser a largura desse painel?
Pensando...
a) A razo entre as medidas da foto
b) Considerando como x a medida da largura do painel, temos a proporo:
c) Multiplicando meios e extremos temos: _____ . x = ___ . ___ x = _____
d) A largura do painel da sala do Grmio deve ser de __________ m.
A foto da equipe foi uma tima escolha
para colocar no painel. Mas como
vamos calcular as medidas da moldura?
escoladegente.org.br
6
3
x6
Vamos usar a mesma relao
de proporcionalidade.
.....
.....
-
Co
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e E
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AT
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51
Os segmentos AB e BC so proporcionais aos segmentos DE e EF.
A
C B
D
F E
2. Sabendo que AB mede 6cm e que BC mede 9cm, determine o que se pede.
a) A razo entre os segmentos AB e BC :
3
........
BC
AB
9
........
BC
AB fraoandosimplifica
z
8
3
.....
EF
DE
BC
AB
b) Se DE mede 8cm, vamos determinar a medida de EF. Representando a medida de EF por z, temos:
c) Multiplicando meios e extremos, temos: ___ z = 3 . ___ z = ____
d) A medida de EF _____ cm.
Mas, no nosso caso, precisamos
usar as noes de geometria para
resolver.
Vamos ver os segmentos
proporcionais.
Este desenho do paralelogramo est representando a sala numa razo de isto , cada 200cm
da medida real esto representados, no desenho, por 1cm.
Vamos determinar as medidas reais dessa sala?
Base 9 cm
altura
6 cm
,200
1
-
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ord
en
ad
ori
a d
e E
du
cao
M
AT
EM
T
ICA
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no
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BIM
ES
TR
E / 2
012
52
Trace, agora, duas transversais
como no modelo ao lado.
A D
B E
C F
............................... EFDEBCAB
A razo dos segmentos : BCeAB.....
.....
BC
AB
A razo dos segmentos : EFeDE.....
.....
EF
DE
Legal! Se a razo a
mesma, eles so
proporcionais.
Tales de Mileto, filsofo
grego, defendia a tese de
que os raios solares que
chegavam Terra
estavam na posio
inclinada.
Utilizando uma folha de
papel quadriculado, trace
trs paralelas horizontais
com distncias diferentes.
Tales de Mileto era
um filsofo grego que
nasceu, em Mileto,
em 646 a.C. e
morreu em 546 a.C
O Teorema de Tales
estabelece que retas
paralelas que
interceptam retas
transversais
determinam, sobre
estas, segmentos
proporcionais.
www.biografiasyvidas.com
E, partindo desse princpio bsico
observado na natureza, relacionou com a
situao de proporcionalidade que aparece
entre paralelas e transversais.
D
A
B
C
Com o auxlio da rgua, mea
os segmentos e registre nas
igualdades abaixo.
-
Co
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ori
a d
e E
du
cao
M
AT
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ICA
-
9
A
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BIM
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TR
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53
A D
B E
C F
x
y
z
Com o auxlio do transferidor,
mea os ngulos x, y e z.
x = ..... y = ...... z = ......
A D
B E
C F
m
p
Observe a figura. O que pode dizer dos ngulos m e p?
Essa fcil! Os ngulos m e p tm medidas
_______. Eles tambm so ______________.
Descobrimos que se um
feixe de retas paralelas
cortado por duas retas
transversais, os segmentos
determinados sobre a
primeira transversal so
______________________
a seus correspondentes,
determinados sobre a
segunda transversal.
Na pgina anterior, verificamos o
Teorema de Tales. Complete o quadro ao
lado.
Voc reparou nos ngulos?
J estudamos no ano passado.
Os ngulos x, y e z tm medidas ______.
Claro! So ngulos correspondentes.
-
Co
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en
ad
ori
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e E
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M
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ICA
-
9
A
no
1
BIM
ES
TR
E / 2
012
54
A D
B E
C F
w s
k t Agora, fcil! Os ngulos w e _____ tm
medidas iguais, pois so correspondentes.
O mesmo acontece com os ngulos s e ___.
Treinando...
1. H trs lotes de terrenos entre as ruas A e B. Na figura abaixo, vemos as medidas, em metros, que esses
lotes ocupam nas ruas A e B.
2. Quais so as medidas de x e y?
a) Como os limites laterais dos lotes so paralelos, podemos afirmar que as frentes de cada lote para as ruas A e B
so _________________________.
b) A razo de semelhana pode ser determinada pelo 1 lote esquerda, isto ,
c) Para calcular x, temos:
d) Multiplicando meios e extremos, temos: ____ x = 6 . ____ x = _____.
e) Use o mesmo processo e determine o valor de y. ___ y = 6 . ___ y = ____.
Ento, temos x = ____ e y = _____.
.6
25
30
E os ngulos w, s, k e t?
Rua B
30 x
y
30 15 25
.........
6
15
x
.........
30
...
5
6
-
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-
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BIM
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TR
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55
c) Podemos armar a proporo:
d) Multiplicando meios e extremos temos: ___y = ___ y = ____.
e) A altura BE mede _____m.
y
4. Nos tringulos abaixo, determine as medidas x e y: 1,5
4,5 x
2
1,75
y
d) Sendo assim, a razo entre as medidas dos lados dos tringulos
e) A medida do lado do tringulo maior que corresponde ao lado de 1,75 _______. Logo, temos:
f) A medida do lado do tringulo maior que corresponde ao lado de 2 __________, logo temos
.1
60
155,1
yyy
75,11
a) As medidas do tringulo menor so 1,5 , ____ e _____.
b) As medidas do tringulo maior so 6, y, e x + ____.
c) A medida do tringulo maior que corresponde a 1,5 ____.
___2_________22
21
xxx
x
3. Complete de acordo com a representao da rampa.
a) Num deslocamento sobre a rampa de A at E, o carro atingir a altura de ___m e uma distncia horizontal de __m.
b) Num deslocamento sobre a rampa de A at F, o carro atingir a altura de ___ m e uma distncia horizontal de __m.
A B C 40 m
60 m
45 m
blo
gd
osa
lao
.co
m.b
r
y
...... ___ ____ ____
......
....... ......
...... ......
.....
-
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012
56
Complete o Fique Ligado com o que descobrimos.
Este conceito de semelhana se aplica
a outros polgonos?
Claro! Pratique, um pouco, nas
atividades a seguir.
Descobrimos que dois
trapzios so semelhantes
quando seus ___________
correspondentes so
congruentes (tm a mesma
medida) e seus
_________correspondentes
so proporcionais.
Posso ver mais um? O trapzio
ACFD. Verifique se este trapzio
semelhante aos outros dois.
Certo, meninas! Eles so semelhantes, pois as medidas dos seus
lados correspondentes so _______________ e as medidas dos
seus ngulos correspondentes tm ____________.
Observando a figura formada pelo feixe de paralelas
cortado pelas transversais, vejo que h mais de um
trapzio determinado por essas linhas.
5. Complete o dilogo:
Estou vendo o trapzio ABED e o
trapzio BCFE.
-
Co
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ori
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A
no
1
BIM
ES
TR
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012
57
7. Sabendo que a razo de semelhana entre dois quadrados e que o lado do maior desses
quadrados mede 16cm, podemos afirmar que o lado do menor quadrado mede ________cm.
4
3
6. As figuras abaixo so semelhantes. Sendo assim, determine as medidas x e y.
Relembrando:
Dois polgonos so semelhantes quando seus ngulos correspondentes so
__________________ e seus lados
correspondentes so ________________.
6cm
4cm
x
y
15cm 20cm
-
Co
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58
8. Verifique se os trapzios abaixo so semelhantes. Justifique sua resposta.
6cm
3cm
8cm
6cm
10cm
10cm
9. Trace, numa folha de papel quadriculado, dois tringulos retngulos conforme o modelo abaixo.
Mea seus lados e ngulos e verifique se so semelhantes.
A B