ma1101 m2-1 04-09-13
TRANSCRIPT
MA1101 MATEMATIKA 1AMA1101 MATEMATIKA 1A
Hendra GunawanSemester I, 2013/2014Semester I, 2013/20144 September 2013
Latihan (Kuliah yang Lalu)Latihan (Kuliah yang Lalu)
1 Tentukan daerah asal dan daerah nilai fungsi1. Tentukan daerah asal dan daerah nilai fungsif(x) = . sudah dijawab
2 Gambar grafik fungsi berikut dan tuliskan
21 x
2. Gambar grafik fungsi berikut dan tuliskanbeberapa karakteristiknya.
3 b h ka. y = x3. bahas sekarangb. y = x4.
4c. y = 1 – x4.
d. y = . bahas sekarang21 x
9/6/2013 2(c) Hendra Gunawan
Sasaran Kuliah Hari IniSasaran Kuliah Hari Ini
0 6 Operasi pada Fungsi0.6 Operasi pada Fungsi
Melakukan operasi pada fungsi danmenentu kan daerah asal fungsi yangmenentu‐kan daerah asal fungsi yang dihasilkan
0 7 B b F i Kh0.7 Beberapa Fungsi Khusus
Mengenal beberapa fungsi khusus, baikper‐samaan maupun sifat‐sifatnya
9/6/2013 3(c) Hendra Gunawan
0.6 OPERASI PADA FUNGSIMA1101 MATEMATIKA 1A
0.6 OPERASI PADA FUNGSI
9/6/2013 (c) Hendra Gunawan 4
Operasi Aljabar pada FungsiOperasi Aljabar pada Fungsi
Seperti pada bilangan kita dapat melakukanSeperti pada bilangan, kita dapat melakukanpenjumlahan, pengurangan, perkalian, danpembagian pada fungsi secara titik demi titikpembagian pada fungsi secara titik demi titik. Jika f terdefinisi pada Df dan g terdefinisi padaD makaDg, maka
(f + g)(x) := f(x) + g(x), x є Df Dg
(f )( ) f( ) ( ) D D
(f – g)(x) := f(x) – g(x), x є Df Dg
(fg)(x) := f(x)g(x), x є Df Dg
g
(f/g)(x) := f(x)/g(x), x є Df Dg , g(x) ≠ 0. 9/6/2013 (c) Hendra Gunawan 5
ContohContoh
Diketahui f(x) = x2 x є R dan g(x) = √x x ≥ 0Diketahui f(x) = x , x є R, dan g(x) = √x, x ≥ 0.
Maka
(f )( ) 2 √ 0a. (f + g)(x) = x2 + √x, x ≥ 0.
b. (f – g)(x) = x2 – √x, x ≥ 0.
c. (fg)(x) = x2√x, x ≥ 0.
d (f/g)(x) = x2/√x = x√x x > 0d. (f/g)(x) x /√x x√x, x > 0.
Catatan. Perhatikan bahwa daerah asal f/g tidakk 0 k li √ t d fi i i di 0mencakup x = 0, sekalipun x√x terdefinisi di x=0.
9/6/2013 (c) Hendra Gunawan 6
Pangkat dan AkarPangkat dan Akar
Kita juga dapat melakukan operasi pangkat danta juga dapat e a u a ope as pa g at daakar pada fungsi, selama memungkinkan. Untuk n = 1, 2, 3, …,
(fn)(x) := [f(x)]n, x є Df .(f–n)(x) := 1/[fn(x)], x є Df , f(x) ≠ 0.( )( ) /[ ( )], f , ( )
(f1/n)(x) := [f(x)]1/n, x є Df , f(x) ≥ 0 utk n genap.
Catatan 1 f‐1(x) = 1/f(x) namun lambang f‐1 kelakCatatan 1. f (x) 1/f(x), namun lambang f kelakakan dipakai untuk keperluan lain. Karena itu, untukf pangkat ‐1 kita akan menuliskannya sbg 1/f saja.
Catatan 2. f1/2(x) = √f(x) terdefinisi jika f(x) ≥ 0.9/6/2013 (c) Hendra Gunawan 7
Menggambar Grafik Fungsi f + gMenggambar Grafik Fungsi f + g
Diketahui grafik fungsi f dan g bagaimana kitaDiketahui grafik fungsi f dan g, bagaimana kitadapat memperoleh grafik f + g? [titik demi titik]
y
+
+
x
+
+
9/6/2013 (c) Hendra Gunawan 8
Menggambar Grafik Fungsi f + gMenggambar Grafik Fungsi f + g
Diketahui grafik fungsi f dan g bagaimana kitaDiketahui grafik fungsi f dan g, bagaimana kitadapat memperoleh grafik f + g? [titik demi titik]
10
6
8
4
6
f(x)
g(x)
f(x)+g(x)
0
2
9/6/2013 (c) Hendra Gunawan 9‐2
‐3 ‐2 ‐1 0 1 2 3
Fungsi KomposisiFungsi Komposisi
Bila x dipetakan ke y = f(x) oleh f dan kemudianBila x dipetakan ke y = f(x) oleh f, dan kemudiany dipetakan ke z = g(y) oleh g, maka kita peroleh
z = g(f(x)) Dalam hal ini:z = g(f(x)). Dalam hal ini:
x y = f(x) z = g(f(x)).
Komposisi f dan g, yang dilambangkan dengang ◦ f, merupakan fungsi yang memetakan x ke z = g(f(x)), yakni
(g ◦ f)(x) := g(f(x)).(g )( ) g( ( ))
9/6/2013 (c) Hendra Gunawan 10
Daerah Asal Fungsi KomposisiDaerah Asal Fungsi Komposisi
Daerah asal g ◦ f adalah himpunan semua x є DfDaerah asal g f adalah himpunan semua x є Dfsedemikian sehingga f(x) є Dg , yakni
Dg ◦ f = { x є Df | f(x) є Dg }.Dg ◦ f { x є Df | f(x) є Dg }.Contoh: Diketahui f(x) = √x dan g(x) = x2. Maka
(g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(√x) = (√x)2 = x(g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(√x) = (√x) = x.Daerah asalnya adalah
D { [0 ) | √ R } [0 )Dg ◦ f = { x є [0,∞) | √x є R } = [0,∞). Perhatikan bahwa sekalipun g ◦ f memetakan x k d h l h [0 )ke x, daerah asalnya hanya [0,∞).9/6/2013 (c) Hendra Gunawan 11
CatatanCatatan
Komposisi dua fungsi tidak bersifat komutatifKomposisi dua fungsi tidak bersifat komutatif.
Untuk f dan g pada contoh sebelumnya, kitamempunyaimempunyai
(f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f(x2) = √(x2) = |x|.Daerah asalnya adalah
Df ◦ g = { x є R | x2 є [0,∞) } = R.f ◦ g { | [ , ) }
Jadi, tampak bahwa f ◦ g ≠ g ◦ f.
9/6/2013 (c) Hendra Gunawan 12
LatihanLatihan
1 Diketahui f(x) = x2 + 3 dan g(x) = 1/x1. Diketahui f(x) = x + 3 dan g(x) = 1/x. Tentukan f + g, f – g, fg, f/g, f2, dan√g beserta daerah asalnya√g, beserta daerah asalnya.
2. Diketahui f(x) = √x dan g(x) = 1/x. Tentukang ◦ f dan f ◦ g beserta daerah asalnyag ◦ f dan f ◦ g, beserta daerah asalnya.
9/6/2013 13(c) Hendra Gunawan
0.7 BEBERAPA FUNGSI KHUSUSMA1101 MATEMATIKA 1A
0.7 BEBERAPA FUNGSI KHUSUS
9/6/2013 (c) Hendra Gunawan 14
Fungsi PolinomFungsi Polinom
Fungi Konstan: f(x) = k (konstanta).u g o sta : ( ) ( o sta ta).Fungsi Identitas f(x) = x.Fungsi Linear: f(x) = mx + n.Fungsi Linear: f(x) mx + n.Fungsi Kuadrat: f(x) = ax2 + bx + c.
Keempat fungsi di atas termasuk keluarga besarFungsi Polinom: f(x) = anxn + an‐1xn‐1 + … + a1x + a0,dengan a0, a1, … , an konstanta, dan an ≠ 0. Di sini, n є Nmerupakan derajat polinom tersebut.Catatan: Daerah asal fungsi polinom adalah R.9/6/2013 (c) Hendra Gunawan 15
Fungsi Rasional & Fungsi AljabarFungsi Rasional & Fungsi Aljabar
Fungsi f yang merupakan hasilbagi dua fungsiFungsi f yang merupakan hasilbagi dua fungsipolinom, yakni
f(x) = p(x)/q(x) dengan p dan q polinomf(x) = p(x)/q(x), dengan p dan q polinom,
disebut fungsi rasional. Sebagai contoh,
f(x) = x/(x2 + 1)
merupakan fungsi rasional.p g
Fungsi seperti g(x) = √x dan h(x) = x1/3 + 10 merupakan fungsi aljabarmerupakan fungsi aljabar.
9/6/2013 (c) Hendra Gunawan 16
CatatanCatatan
Fungsi Nilai Mutlak f(x) = |x| termasuk fungsiFungsi Nilai Mutlak f(x) = |x| termasuk fungsialjabar, mengingat |x| = √(x2). Dalam hal ini, jikay = |x| maka y memenuhi persamaan y2 = x2y = |x|, maka y memenuhi persamaan y = x .
Secara umum, y = f(x) merupakan fungsi aljabarjika y memenuhi suatu persamaan aljabarjika y memenuhi suatu persamaan aljabarseperti y2 = x2 atau y3 = 3x2 + 5x dan sejenisnya.
S b i h 1/3 10 d l h f iSebagai contoh, y = x1/3 + 10 adalah fungsialjabar; ia memenuhi persamaan (y – 10)3 = x.
9/6/2013 (c) Hendra Gunawan 17
Fungsi TrigonometriFungsi Trigonometri
Tidak semua fungsi merupakan fungsi aljabarTidak semua fungsi merupakan fungsi aljabar.
Salah satu kelompok fungsi yang tidak termasukfungsi aljabar adalah fungsi trigonometrifungsi aljabar adalah fungsi trigonometri.
Bayangkan titik P berputary Bayangkan titik P berputarpada lingkaran berjari‐jari 1 ygberpusat di O(0,0), lalu catat
t
bP
absis (a) dan ordinat (b) sbgfungsi dari sudut (t) antara OP d b i if
txO a
9/6/2013 (c) Hendra Gunawan 18
dan sumbu‐x positif. t dalam radian
Grafik Fungsi Cosinus dan SinusGrafik Fungsi Cosinus dan Sinus
1.5
1
0
0.5
cos t
‐0.5
0
‐6 ‐4 ‐2 0 2 4 6 8sin t
1 5
‐1
9/6/2013 (c) Hendra Gunawan 19
‐1.5
Fungsi Tan, Cot, Sec, dan CscFungsi Tan, Cot, Sec, dan Csc
Dari cos t dan sin t kita definisikanDari cos t dan sin t, kita definisikan
i /tan t = sin t/cos t
cot t = cos t/sin t
sec t = 1/cos t
csc t = 1/sin tcsc t 1/sin t
9/6/2013 (c) Hendra Gunawan 20
Beberapa Sifat Fungsi TrigonometriBeberapa Sifat Fungsi Trigonometri
cos(‐x) = cos x [yakni, y = cos x fungsi genap]( ) [y , y g g p]sin(‐x) = ‐sin x [yakni, y = sin x fungsi ganjil]
2 2cos2 x + sin2 x = 11 + tan2 x = sec2 x, 1 + cot2 x = csc2 x
… dan masihbanyakk
cos(a + b) = cos a cos b – sin a sin bsin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
kesamaantrigonometrilainnya!sin(a b) sin a cos b cos a sin b
cos 2x = cos2 x – sin2 x = 2cos2 x – 1 = 1 – 2sin2 x
y
sin 2x = 2cos x sin x9/6/2013 21(c) Hendra Gunawan
LatihanLatihan
1 Tentukan daerah asal fungsi rasional berikut:1. Tentukan daerah asal fungsi rasional berikut:a. f(x) = x/(x2 – 1).
b g(x) = 1/(x2 + x)b. g(x) = 1/(x2 + x).
2. Sketsalah grafik fungsi berikut:a. y = sin 2t, t є [‐2Π,2Π].
b. y = 1 – cos t, t є [0,2Π].
9/6/2013 (c) Hendra Gunawan 22