ma1101 m3-1 11-09-13
TRANSCRIPT
MA1101 MATEMATIKA 1AMA1101 MATEMATIKA 1A
Hendra GunawanSemester I, 2013/2014Semester I, 2013/201411 September 2013
Latihan (Kuliah yang Lalu)Latihan (Kuliah yang Lalu)
1 Buktikan bahwa (sdh dibahas)1)52(lim x1. Buktikan bahwa (sdh dibahas)
2. Buktikan bahwa
k ik b h b h k4li 2.2lim
4
x
x
.1)52(lim3
xx
3. Buktikan bahwa bahas sekarang.4lim 2
2
x
x
9/13/2013 (c) Hendra Gunawan 2
Bukti bahwa .4lim 2
2
x
x
Diberikan ε > 0 sembarang, kita harus mencariδ > 0 sehingga:δ > 0 sehingga:
jika 0 < |x – 2| < δ, maka |x2 – 4| < ε … (*)
k k b k d d b kUntuk itu, kita bekerja mundur dari bentuk
|x2 – 4|.
Perhatikan bahwa
|x2 – 4| = |x + 2||x – 2|≤ (|x|+2)|x – 2| (+)|x 4| = |x + 2||x 2|≤ (|x|+2)|x 2| … (+)
Jika kita bisa menaksir |x|, maka tugas kitaakan mudahakan mudah.9/13/2013 (c) Hendra Gunawan 3
Bukti bahwa .4lim 2
2
x
xKarena kita sedang berbicara ttg x di sekitar 2, mari kita asumsikan bahwa |x – 2| < 1.
Dalam hal ini, 1 < x < 3, sehingga |x| < 3. Kembali ke (+), kita dapatkan: ( ), p
|x2 – 4| < 5|x – 2|.
Jadi jika |x 2|< ε/5 maka |x2 4| < εJadi, jika |x – 2|< ε/5, maka |x2 – 4| < ε.
Dengan demikian ada dua hal yang menjamin| 2 4| it | 2| 1 d | 2| /5|x2 – 4| < ε, yaitu: |x – 2| < 1 dan |x – 2| < ε/5.
Karena itu, kita pilih δ = min { 1, ε/5}. Dengan δini, dapat diperiksa bahwa (*) benar. 9/13/2013 (c) Hendra Gunawan 4
Ilustrasi LimitIlustrasi Limit
L+ε
L
L–ε
c c+δc–δ
9/13/2013 (c) Hendra Gunawan 5
Sasaran Kuliah Hari IniSasaran Kuliah Hari Ini
1 3 Teorema‐Teorema Limit1.3 Teorema Teorema Limit
Menggunakan teorema‐teorema limit dalampenghitungan berbagai limit fungsi aljabarpenghitungan berbagai limit fungsi aljabar.
1.4 Limit Fungsi Trigonometri
Menghitung berbagai limit fungsi trigonometri.
9/13/2013 6(c) Hendra Gunawan
1.3 TEOREMA‐TEOREMA LIMITMA1101 MATEMATIKA 1A
1.3 TEOREMA TEOREMA LIMIT
9/13/2013 (c) Hendra Gunawan 7
Teorema Utama Limit Catatan. TeoremaTeorema Utama Limit
Misalkan k konstanta n є N f dan g
merupakan suatupernyataan yang dapat dibuktikanMisalkan k konstanta, n є N, f dan g
fungsi yang mempunyai limit di c.
1 lim kk
dapat dibuktikankebenarannya, dankemudian dapat
1.
2
.lim kkcx
digunakan sebagai“senjata” kita dlmpemecahanlim cx 2.
3. ).(lim)(lim xfkxkf
pmasalah terkait.
.lim cxcx
3.
4.
).(lim)(lim xfkxkfcxcx
).(lim)(lim)]()([lim xgxfxgxf
9/13/2013 (c) Hendra Gunawan 8
)()()]()([ gfgfcxcxcx
Teorema Utama LimitTeorema Utama Limit
5. ).(lim)(lim)()(lim xgxfxgxf
6.
)()()()( gfgfcxcxcx
),(lim/)(lim)(/)(lim xgxfxgxf .0)(lim xg
7.
cxcxcx cx
.)](lim[)]([lim nn xfxf
8. asalkan
cxcx
,)(lim)(lim ncx
ncx
xfxf
0)(lim
xfcx
untuk n genap.
Catatan. Teorema berlaku juga untuk limit sepihak
cxcx cx
Catatan. Teorema berlaku juga untuk limit sepihak(limit kanan dan limit kiri).9/13/2013 (c) Hendra Gunawan 9
Contoh Penggunaan Teorema LimitContoh Penggunaan Teorema Limit
1 7limlim5)(lim2)752(lim 33 xxxx1.
.071.51.2
7limlim5)(lim2)752(lim
3
1111
xxxx
xxxx
.07.5.
5lim)lim(5lim5222 xx
2. 1limlim
5lim)lim(
)1(lim
5lim
15lim
22
22
2
22
2
xx
xx
x
x
x x
x
x
x
xx
.139
12522
222
xxx
9/13/2013 (c) Hendra Gunawan 10
312
Contoh Penggunaan Teorema LimitContoh Penggunaan Teorema Limit
3 Diketahui dan3)(lim xf 8)(lim xg3. Diketahui dan . Tentukan
3)(lim1
xfx
8)(lim1
xgx
.)()(lim 32
1xgxf
Jawab: Menggunakan Teorema 5, 7 dan 8,
1x
)(lim))(lim()()(lim 31
2
132
1
xgxfxgxf
xxx
.1883 32
9/13/2013 (c) Hendra Gunawan 11
Teorema SubstitusiTeorema Substitusi
Jika f adalah fungsi polinom atau fungsiJika f adalah fungsi polinom atau fungsirasional, maka
)()(lim cfxf
asalkan f(c) terdefinisi.
)()( ffcx
Contoh 1. .071.51.2)752(lim 33 xx
Contoh 2.
)(1x
.26222lim22
x
Contoh 2.
9/13/2013 (c) Hendra Gunawan 12
31212 xx
Teorema ApitTeorema Apit
Misalkan f, g, dan h fungsi yang memenuhiMisalkan f, g, dan h fungsi yang memenuhif(x) ≤ g(x) ≤ h(x)
untuk x di sekitar c Jikauntuk x di sekitar c. Jika
M k,)(lim)(lim Lxhxf
cxcx
Maka cxcx
.)(lim Lxgcx
Catatan. Teorema Apit berlaku pula untuk limit sepihak.9/13/2013 (c) Hendra Gunawan 13
Contoh Penggunaan Teorema ApitContoh Penggunaan Teorema Apit
Untuk x > 0 di dekat 0 berlakuUntuk x > 0 di dekat 0, berlaku
‐1 ≤ sin(1/x) ≤ 1.
il ki k lik k i d kBila kita kalikan ketiga ruas dengan x, maka
‐x ≤ x.sin(1/x) ≤ x.
Karena maka,0lim)(lim00
xx
xx
0sinlim 1x
Dengan cara serupa,
.0sinlim 1
0
xxx
.0sinlim 1 xDengan cara serupa,
9/13/2013 (c) Hendra Gunawan 14
.0sinlim0 xx
x
LatihanLatihan
1. Menggunakan teorema limit, hitunglah:gg , ga. . )4(lim 13
1 xxxx
4
b. .11lim 2
4
3
xx
x
Catatan. Sebutkan teorema yang anda pakai.
2. Buktikan bahwa .0coslim 12
0
xxx
9/13/2013 15(c) Hendra Gunawan
1.4 LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRIMA1101 MATEMATIKA 1A
1.4 LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI
9/13/2013 (c) Hendra Gunawan 16
Limit Fungsi TrigonometriLimit Fungsi Trigonometri
cxcx
sinsinlim.1
cxcx
coscoslim.2
cxcx
tantanlim.3
cxcx
cotcotlim.4 cx cx
cx secseclim.5 cx csccsclim.6 cx cx
9/13/2013 (c) Hendra Gunawan 17
Bukti bahwa cx sinsinlim Bukti bahwa
Untuk t > 0 berlaku 0<|BP|<|AP|
cxcx
sinsinlim
Untuk t > 0, berlaku 0<|BP|<|AP|.
Karena |BP| = sin t dan |AP| < t, maka 0 < sin t < t
P
1
maka 0 < sin t < t.
Dengan Teorema Apit,AO B
t
0ili tSerupa dengan itu,
.0sinlim0
tt
.0sinlim tp g ,
Jadi0t
.0sinlim0
tt
Dengan cara ser pa dapat dib ktikan 1coslim t9/13/2013 (c) Hendra Gunawan 18
Dengan cara serupa, dapat dibuktikan .1coslim0
tt
Bukti bahwa cx sinsinlim Bukti bahwa
Untuk menunjukkan bahwa
cxcx
sinsinlim
,sinsinlim ct j
misalkan k = t – c sehingga k → 0 ketika t → c. Jadi
,ct
Jadi)sin(limsinlim
0kct
kct
)sin.coscos.(sinlim0
kckck
.sin0).(cos1).(sin
ccc
9/13/2013 (c) Hendra Gunawan 19
.s
Limit Trigonometri KhususLimit Trigonometri Khusus
1sinlim1 t 0cos1lim2
t
Bukti (1) diperoleh dengan menunjukkan bahwa
.1lim.10
tt
.0lim.20
tt
Bukti (1) diperoleh dengan menunjukkan bahwauntuk t ≠ 0, berlaku
1sin t .
coscos
ttt
Karena , maka dengan Teorema Apitkita simpulkan bahwa
1coslim0
tt
1sinlim t
9/13/2013 (c) Hendra Gunawan 20
.1lim0
tt
LatihanLatihan
1 Menggunakan fakta bahwa 1sinlim t
1. Menggunakan fakta bahwahitunglah:
,1lim0 tt
xx 2 )2sin(a. b. tt
t2cot.sinlim
0 xxxx
x
20 2)2sin(lim
1 t2. Buktikan bahwa .0cos1lim
0
t
tt
9/13/2013 (c) Hendra Gunawan 21