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Matemática Aplicada às
Ciências Sociais
MACS II2013/2014
Prof. António Paralta
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Livros escolares
2013 / 2014 MACS - Prof. António Paralta
Texto Editores
Elisabete Longo Isabel Branco
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Carga horária
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• Disciplina bienal de componente de formação específica com carga horária semanal distribuída por 3 aulas de 90 minutos cada, isto é, 6 (seis) aulas de 45 minutos.
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Alunos:
Respeitar as regras do código de conduta;
Respeitar as instruções dos professores e pessoal não docente;
Respeitar os colegas;
Estar com interesse nas aulas;
Promover um bom clima de trabalho e estudo;
Esforçar-se para atingir níveis de excelência;
Preservar os espaços e os equipamentos.
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Calculadora gráfica
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Exemplos de Calculadora gráfica
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Texas TI - NspireCasio FX – CG
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Critérios Específicos de Avaliação de Matemática (Secundário)
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Domínios Competências Instrumentos de avaliação Pesos
Cognitivo
Conceitos e procedimentos Raciocínio matemático Resolução de problemas Comunicação matemática
Testes globalizantes 80%
Questões-aula e/ ou Trabalhos de investigação,
com ou sem relatório e/ ou Trabalhos de pesquisa
(por exemplo, Webquests),individuais ou em grupo
15%
Comportamentos, atitudes e valores
Responsabilidade Sociabilidade Participação Autonomia Auto-avaliação
Observação directa (grelhas de registo)
5%
Departamento de Matemática e Ciências Experimentais
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1º Período Nº de aulas1. Modelos Matemáticos
1.1 Modelos de Grafos
Apresentação dos objetivos do capítuloO que é um grafo?Aplicações
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Trajeto e circuitos eulerianos 4
O problema do carteiro chinêsEulerização de grafos
8
Circuitos hamiltonianosO problema do caixeiro viajante
8
Árvores (árvore abrangente e o algoritmo de Kruskal) 8
Caminho crítico 4
1.2 Modelos populacionais
Conteúdos programáticos
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Tema 3 Modelos matemáticos – 60 aulas Capítulo 2 Modelos de grafos – 32 aulas
Desenvolver competências para determinar o essencial de uma determinada situação, de modo a desenhar esquemas apropriados a uma boa descrição.
Procurar modelos e esquemas que descrevam situações realistas de pequenas distribuições.
Tomar conhecimento de métodos matemáticos próprios para encontrar soluções de problemas de gestão.
Encontrar estratégias passo-a-passo para obter possíveis soluções.
Descobrir resultados gerais na abordagem de uma situação.
Para cada modelo, procurar esquemas combinatórios (árvores) que permitam calcular pesos totais de caminhos possíveis.
Encontrar algoritmos – decisões passo a passo para encontra resoluções satisfatórias.
Discutir sobre a utilidade e viabilidade económica (e não só) da procura das soluções ótimas. 2013 / 2014 MACS - Prof.
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Objetivos
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Grafos
Königsberg, por volta de 1735, cidade localizada na antiga Prússia (situada em território russo, atualmente tem o nome de Kaliningrado) era, e continua a ser, atravessada pelo rio Pregel.
Ali existiam sete pontes entre duas pequenas ilhas que as ligavam entre si e a cada uma das margens da cidade. As pontes apresentavam uma configuração como podemos observar na figura a seguir .
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Teoria de Grafos ( 1736)Leonhard Euler (1707 – 1783)
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O desafio dos habitantes de Königsberg :
Será possível fazer uma visita a toda a cidade e regressar ao ponto de partida, atravessando cada ponte uma única vez?
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Teoria de Grafos – Conceitos e Aplicações
Teoria que ajuda a modelar muitas situações da vida do dia a dia:
Ruas de uma cidade e seus respetivos cruzamentos; Ruas de sentido único e de dois sentidos; Percursos (ferroviários, aéreos, marítimos,
rodoviários, etc); Canalizações (água e gás); Linhas de telefone e internet.
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Noções básicas
Grafo – é uma representação esquemática constituída por conjuntos finitos de pontos, usualmente representados por V (vértices ou nós), e por segmentos, usualmente representados por A (arestas ou arcos), que unem os pontos.
Grafo conexo – se existe sempre uma sequência de arestas a unir quaisquer dois dos seus vértices.
Digrafo (ou grafo orientado) é um grafo em que as arestas têm orientações (sentidos) definidas.
Grafo completo – é um grafo em que cada um dos vértices é adjacente a todos os outros.
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Grafos
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Grafo conexo
Digrafos
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Noções básicas
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• Grau ou valência de um vértice é o número de arestas que nele concorrem.
Grau par - se nele concorre um número par de arestasGrau ímpar - se nele concorre um número ímpar de arestas
• Passeio – é uma sequência de vértices em que cada dois vértices consecutivos estão ligados por uma aresta, podendo haver repetição.
• Trajeto (trilho) – é um passeio em que as arestas são todas distintas.
• Caminho – é um passeio em que os vértices são todos distintos.
• Circuito ( ou ciclo)- é um caminho que começa e acaba no mesmo vértice (único que não se pode repetir).
• Trajeto de Euler ou euleriano – é um trajeto que percorre todas as arestas de um grafo uma única vez.
• Circuito de Euler ou euleriano – é um trajeto euleriano que começa e acaba no mesmo vértice.
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Noções básicas
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Regras para averiguar se um dado grafo tem um trajeto ou um circuito de Euler:
Regra 1 – num grafo conexo podemos encontrar um trajeto euleriano se e só se existirem no máximo dois vértices de grau ímpar.
Regra 2 - num grafo conexo admite um circuito euleriano se e só se todos os vértices tiverem grau par.
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Atividade 1 (pág.10)
Soluções possíveis:
Padaria – AJKONFGHIPSREDMLBCQ – Padaria
Padaria – ABLMNFEDCQRSGHOKJIP - Padaria
Padaria – QCBLMDERSPIHGFNOKJA - Padaria
Padaria – PIJKOHGSRQCDEFNMLBA - Padaria
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Atividade 2 (pág 11)