DINÁMICA DE ROTACIÓN

Un cilindro de radio R = 0.1m y masa m = 4 Kg, es

obligada a rodar sin deslizarse sobre un plano

horizontal, por medio de una cuerda enrollada a él,

donde se aplica una fuerza horizontal F = 30N, como se

muestra en la figura. Determinar la aceleración del

centro de masa y el valor de la fuerza de rozamiento

existente. Considere ICM cilindro = .

SoluciónR = 0.1 m; m = 4 Kg.

F = 30N

C = F.2R = IC · = IC ·

F·2R = (ICM + mR2) ·

F·2R = · F32 = m· aCM

Acm = = = 10 m/s2 30 + f = 4 · 10

f = 10 N

V = EC; F·2R·C = · mR2 · 2 · C

acm = = 10 m/s2

Un carrete de masa m y momento de inercia I respecto de

un eje que pasa por P, está en reposo sobre un plano

horizontal y experimenta una fuerza aplicada en la

dirección que se muestra en la figura; además de una

fuerza de fricción f.

(a) Si = 0º y el carrete rueda sin desliza ¿en qué

sentido efectúa el rodamiento? ¿Qué aceleración

tiene?

(b) Repita la parte (a) si = /2

(c) ¿Para qué ángulo deslizará el carrete sin rodar a

velocidad constante?

Solución(a) Con respecto al centro instantáneo “C”

F(R-r) = (I `mR2)

aCM =

(b) F·r = (I + mR2)

aCM =

(c) P = 0; Fr = fR …(1)

Fhoriz = 0 (v = cte)

f = Fcos …(2)

(2) en (1)

F·r = f cos 3 R cosa =

En la figura se muestra una masa de 12 Kg suspendida de

2 cuerdas, una enrolada alrededor de un cilindro o

tambor de 0.1 m de radio y 0.05 Kg. m2 de momento de

inercia y la otra enrollada alrededor de un tambor de

0.15 m de radio y momento de inercia de 0.2 Kg. m2

(ambos tambores con ejes fijos). La masa se suelta

desde el reposo y desciende h = 6 m. Despreciando la

fricción determine: (a) la velocidad final de la masa

en descenso; (b) su aceleración lineal; (c) la

aceleración angular de ambos cilindros, (d) la tensión

en cada cuerda.

Solución:(a) Ei = Ef

mgh = ½ mv2 + ½ I1w12 + ½ I2w2

2

2mgh = mv2 + I1 + I2

v = v = 7.95 m/s

(b) Vf2 = vi2 + 2ah a = = 5.27 m/s2

(c) 2 = = = 35.1 rad7s2 · 1 = =

(d) 1 = = = 26.33 N

2 = = = 28.08 N

Para el sistema de cuerpos conectados que se puede

observar en la figura, la velocidad angular inicial de

la polea compuesta B es de 6 rad/s en sentido contrario

al de las manecillas del reloj, y el bloque d se está

desacelerando con una rapidez constante de 1.2 m/s2 ¿qué

distancia recorrerá el bloque A antes de llegar al

reposo?

Solución:Las poleas sólo rotan 8alrededor de un eje fijo)

S = r

SA = 0.9 B; SE = 0.6 B = 0.9 C

SD = 0.45 C

SA = 0.9 B = 0.9 · = = ·

SA = 0.9B = 1.35C = 3 SD

VA = 0.9 wB = 1.35 wC = 3 VD

aA = 0.9B = 1.35C = 3aD

viA = 0.9 wiB = 1.35 wiC = 3viD ; viA = 0.9 · 6 = 5.4 m/s

aA = 3aD = 3 · 1.2 = 3.6 m/s2 (desacelerando); vf2 = vi

2 2aS

Para a. 0 = (5.4)2 – 2 · 3.6 · SA SA = 4.05 m

La rueda compuesta mostrada en la figura rueda sin

resbalar. En la posición dada, la velocidad de A es 1.8

m/s y su aceleración es 6 m/s2 ambas hacia la derecha.

Calcule la aceleración de los puntos B y C.

Solución:aCM = 6i m/s2

vA vCM = 1.8 m/s; aA = aCM = 6 m/s2; = = = 20 rad/s2

w = = = 6 rad/s w = -6k rad/s

= -20 k rad/s2

aB = aCM + · rB/cm + w · (w · rB/CM)

aB = 6i + (-20k) 3 (0.6i) + (-6k) · [(-6k) · (0.6i)] = 6i –

12j – 21.26i

aB = -15.6i – 12j m/s2 aB = 19.68 m/s2

aC = aCM + · rC/CM + w 3 (w x rC/CM)

aC = 6i + (-20k) · (-0.3j) + (-6k) · [(-6k) · (-0.3k)]

aC = 10.8j m/s2 aC = 10.98 m/s2

El sistema de la figura tiene las propiedades

indicadas. Suponiendo que el disco compuesto D rueda

sin resbalar, determinar después de qué el cuerpo B se

ha movido 3.6 m a partir del reposo:

(a) La rapidez (en m/s) del centro de masa del disco d

compuesto D

(b) La tensión T1 (en N)

(c) La fuerza de fricción estática (en N) que actúa

sobre el disco compuesto D.

Solución:wT + wR = EK

T + RKR (con respecto al centro instantáneo de

rotación)

mB ·g·SB – mD·g·sen 30 · 0.9 · D = ½·mB·vB2 + ½·Ipcm · wp

2 +

½·IDC · wD2

2g(mB · SB – mD · sen 30 · 0.9 · ) = mB (2.4 wD)2 + mp3RGp2

· (4wD)2 + [mD · Rgd2 + mD · 0.92] · wD

2

ST2 = SB = 0.6p = 3.6 p = 4DST1 = 0.3 p = 1.2·D wp = 4wD

2ST1 = 0.6 · p = SB = 2.4 D

D = ; vB = 2.4 wD

Reemplazando valores:

g = 9.8 m/s; mB = 96.6 Kg; SB = 3.6 m; mD = 161 Kg; mp =

80.5 Kg

RGp = 0.4242 m; RGd = 0.6 m

wD = 2.197 rad/s vDCM = 0.9 wD = 1.96 m/s

Del D.C.L. de D: wT+R = EkT+R

(1.2 T1 – mD·g· sen 30 · 0.9) · D = ½ (mD · RGD2 + mD · 0.92)

wD2; D =

Reemplazando valores: T1 = 843.624 N

Del D.C.L. de D: CM = ICM; wD2 = 0 + 2··D = 2 · ;

=

0.3 · T1 – 0.9 · F = (mD · RGD2) ·

Reemplazando valores: F = 177.38 N

La barra esbelta AB representada en la figura tiene

sección uniforme y pesa 250 N. Está unida por sus

extremos A y B a collares montados sobre varillas

lisas, una horizontal y otra vertical. Cuando la barra

se halla en la posición representada, el collar A lleva

una velocidad de 1.5 m7s hacia la derecha y se acelera

a razón de 1.2 m/s2. Determinar la fuerza F, la

velocidad angular w y la aceleración angular de la

barra y las fuerzas que sobre ella ejercen los

pasadores A y B.

Solución:xA = L sen

vA = xA = L cos = L w cos

aA = xA = L cos - L2 sen

aA = L cos - Lw2 sen

Datos w = mg = 250 N; L = 2.25 m

vA = 1.5 m/s; aA = 1.2 m/s2

w = = = 0.8333 rad/s

= = = .1875 rad/s2; sen =

0.6

cos =

0.8

aG/A = aG – aA aG = aA + aG/A

aGx = aAx + w2 sen - cos

aGy = aAy - w2 cos - sen

rG/A = - sen i + cos j

xG/A yG/A

vG/Ax = - cos ; aG/Ax = + w2 sen - cos

vG/Ay = - sen ; aG/Ay = - w2 cos - sen

aGx = 1.2 + (0.8333)2 · 0.6 - · 1.1875 · 0.8 = 0.6

m/s2

aGy = 0 - (0.1333)2 · 0.8 - · 1.1875 · 0.6 = -

1.247 m/s2

Fx = m aGx; Fy = m aGy; MGz = Ig< · ; IGz = mL2

F + Bx = m aGx

F + Bx = · 0.6

F + Bx = 15.291

Ay – w = m aGy

Ay – 250 = · (-1.247)

Ay = +197.7 N

F · 0.9 + Ay · 0.675 – Bx · 0.9 = · · 2.252

F – Bx = -134.11

Resolviendo:

F = -59.4 N

Bx = 74.70 N

Un tirador apunta hacia un blanco distante, pero yerra

el tiro por 6 cm. La velocidad de la bala de 10 g es de

600 m/s. Determinar el momento coagular de la bala con

respecto al blanco. (suponga que la bala permanece en

una trayectoria rectilínea)

Solución:L = rm v sen = r m v sen = mvh

L = 10 · 10-3 · 600 · 6 · 10-2 = 36 x 10-2 = 0.36

Dos masas iguales, cada una de 0.10 Kg se fijan en los

extremos de una varilla muy liviana de 1 m de longitud,

que está sostenida en el centro por una chumacera sin

fricción. El mecanismo interno de la varilla puede

mover las masas hacia el centro a lo largo de la

varilla. El sistema gira con una velocidad angular de 8

rad/s con las masas en los extremos de la varilla. Si

se pone a trabajar el mecanismo interno de la varilla y

las masas se mueven para que estén a 0.25 m del centro,

cada una ¿cuál será la velocidad angular del sistema y

cuáles serán los E cinética iniical y final de éste?

Solución:0 = B I1w1 = I2w2 2 · 0.10 · 0.52 · 8 = 2 · 0.10 ·

0.252 · w2 w2 = 32 rad/s

Ecinicial = ½(2· 0.10 · 0.52) · 82 = 1.6 I Trabajo sobre

el sistema

Ecfinal = ½(2 · 0.10 · 0.252) · 322 = 6.4 J Fuerza

centrífuga

En la figura se muestra una masa de 12 kg suspendida de

2 cuerdas, una enrollada alrededor de un cilindro o

tambor de 0.1 m de radio y 0.05 Kg·m2 de momento de

inercia, y la otra enrollada alrededor de un tambor de

0.15 m de radio y momento de inercia de 0.12 Kg·m2

(ambos tambores con ejes fijos). La masa se suelta

desde el reposo y desciende h = 6 m. Despreciando la

fricción, determinar: 8ª) la velocidad final de la masa

en descenso; (b) su aceleración lineal; (c) la

aceleración angular de cada uno de los cilindros y; (d)

la tensión en cada cuerda.

SoluciónConservación de la energía: Ei = Ef mgh = ½ mv2 + ½ I1 ·

w12 + ½ I2 · w2

2;

Donde w =

v = = 7.95 m/s; pero vf2 = vi

2 + 2ah a = =

5.27 m/s2

1 = = 52.7 rad/s2 ; 2 = = 3.51 rad/s2;

T1 = = 26.33 N; T2 = = 28.08 N

La rueda de radio R = 22.9 cm con su cubo de radio r =

15.2 cm rígidamente unido, pesa 57.4 Kg y parte del

reposo sobre un plano inclinado 60º. La cuerda está

fuertemente enrollada alrededor del cubo y sujeta en el

punto fijo A. Calcular la velocidad del centro “0” 3 s

después de haberla soltado. Considerar que el radio de

firo del cubo y rueda, con respecto a “0” es R0 = 20.3

cm, y el coeficiente de rozamiento entre el plano

inclinado y la rueda es = 0.4.

Solución:W – E con respecto al centro instantáneo de rotación “c”:

wT = 0; EcT = 0; wR = (c) · = ½ Ic w2; donde w2 = 2·

· ; parte del reposo

[mg sen 60 · r - mg cos 60 · (R + r)] · = [1/2 ·(mR02 +

mr2)] · 2 ·

acn = = , por consiguiente:

vf =

vf =

vf = 3.852 m/s

La masa de una barra cilíndrica uniforme de 2 cm de

radio es igual a 4 Kg y tiene tres cuerdas enrolladas

alrededor del mismo. Los extremos de las cuerdas están

fijas al techo, como se muestra en la figura. Si la

barra se mantiene horizontal y luego se suelta desde el

reposo estando las cuerdas en posición vertical,

calcula la aceleración traslacional de la varilla a

medida que cae y la tensión en cada una de las cuerdas.

Solución:

Sabemos que en un cilindro I0 = = = 0.0008

0 = I0 3T·r = · 6T = ma…(1)

F = ma mg – 3T = ma …(2)

de (1) y (2) mg = 3T + 6T = 9T

T = = = 4.36 N a = = = 6.54 m/s2

t = 4.36 N a = 6.54 m/s2

El cilindro homogéneo (masa: mc, momento de inercia

respecto de su centro de masa I0 = ) y el tubo P

(masa: mp, momento de inercia respecto de su centro de

masa I0 = mp·R2), se encuentran en contacto y se dejan en

libertad a partir del reposo. Sabiendo que tanto el

cilindro como el tubo ruedan sin deslizar, calcular la

distancia que los separa al cabo de un tiempo “t”

(respecto de sus centros de masa, a lo largo del plano

inclinado), considere aceleración de la gravedad “g”.

Solución:Respecto del centro instantáneo de rotación:

wT+R = ECT+R

cilindro: mc · g· sen · R · c = ½ · ( + mCR2) 3 2 C

· C

C = aC =

tubo: mp g sen R p = ½ (mpR2 + mp R2) 2p p

p = ap = ;

sabemos que r = v0 t +

d = ec – ep = - = g sen t2

d =