managerial decision modeling

Managerial Decision Managerial Decision ModelingModeling

A Practical Introduction to A Practical Introduction to Management Science , 5ed Management Science , 5ed

by Cliff Ragsdaleby Cliff Ragsdale

Forecasting ModelsForecasting Models

LOG350 OperasjonsanalyseLOG350 Operasjonsanalyse 22Rasmus RasmussenRasmus Rasmussen

Chapter 11

Introduksjon til tidsserieanalyserIntroduksjon til tidsserieanalyser En En tidsserietidsserie er en samling av observasjonerer en samling av observasjoner for en for en

kvantifiserbar variabelkvantifiserbar variabel registrert i kronologisk registrert i kronologisk tidsrekkefølgetidsrekkefølge..

EksempelEksempel BørsindekserBørsindekser HistoriskeHistoriske data data over salgover salg, , lagerlager, , antall kundebesøkantall kundebesøk, ,

rentesatserrentesatser, , kostnaderkostnader, etc, etc.. Bedrifter er ofte interessert i å predikere tidsserie-Bedrifter er ofte interessert i å predikere tidsserie-

variabler.variabler. Ofte finnes ikke uavhengige variabler som kan benyttes Ofte finnes ikke uavhengige variabler som kan benyttes

i en regresjonsmodelli en regresjonsmodell for en tidsserievariabelfor en tidsserievariabel.. I tidsserieanalyser analyserer vi den historiske I tidsserieanalyser analyserer vi den historiske

utviklingen til en variabel for å kunne predikere dens utviklingen til en variabel for å kunne predikere dens framtidige utvikling. framtidige utvikling.


Prediksjoner basert på Prediksjoner basert på tidsserieanalysetidsserieanalyse

Som å kjøre en bil ved å se på veien via Som å kjøre en bil ved å se på veien via speilet bakover :speilet bakover :

Vi ser hvor veien har svingt tidligere, og Vi ser hvor veien har svingt tidligere, og forsøker å styre bilen deretter !forsøker å styre bilen deretter !


Noen tidsserieuttrykkNoen tidsserieuttrykk Stasjonære dataStasjonære data – – en tidsserievariabel en tidsserievariabel

som ikke viser noen signifikant trend opp som ikke viser noen signifikant trend opp eller ned over tid.eller ned over tid.

Ikke-stasjonære dataIkke-stasjonære data – – en tidsserie-en tidsserie-variabelvariabel som viser en tydelig trend opp som viser en tydelig trend opp eller ned over tideller ned over tid..

Sesong dataSesong data – – en tidsserievariabel som en tidsserievariabel som viser et repeterende mønster med jevne viser et repeterende mønster med jevne intervall over tid.intervall over tid.


Bruk avBruk av tidsserieanalysetidsserieanalyse Det finnes veldig, veldig mange forskjellige Det finnes veldig, veldig mange forskjellige

tidsserieanalysemetodertidsserieanalysemetoder.. Det er vanligvis umulig å vite hvilken Det er vanligvis umulig å vite hvilken

teknikk som vil passe best for et bestemt teknikk som vil passe best for et bestemt datasett.datasett.

Som regel prøves flere forskjellige Som regel prøves flere forskjellige teknikker, for å velge ut den som synes å teknikker, for å velge ut den som synes å passe best. passe best.

For å lage effektive tidsseriemodeller, må For å lage effektive tidsseriemodeller, må en ha flere forskjellige metoder i en ha flere forskjellige metoder i ”verktøyboksen”.”verktøyboksen”.


Forskjellige prediksjonsmodellerForskjellige prediksjonsmodellerDataData Modeller som tillater skift i nivå/trend/sesongModeller som tillater skift i nivå/trend/sesong

Stasjonære Stasjonære datadataKonstant nivå med Konstant nivå med tilfeldige variasjonertilfeldige variasjoner

Glidende gjennomsnittGlidende gjennomsnitt

Veid glidende gjennomsnittVeid glidende gjennomsnitt

Eksponensiell glattingEksponensiell glatting

Sesong Sesong Konstant nivå med Konstant nivå med sykliske variasjonersykliske variasjoner

Eksponensiell glatting / additiv sesongEksponensiell glatting / additiv sesong

Eksponensiell glatting / multiplikativ sesongEksponensiell glatting / multiplikativ sesong

TrendTrendLangsiktig generell Langsiktig generell endring i nivåendring i nivå

Dobbelt glidende gjennomsnittDobbelt glidende gjennomsnitt

Holt’s metode Holt’s metode (dobbel eksponensiell glatting)(dobbel eksponensiell glatting)

Trend & Trend & SesongSesong

Holt-Winter med additiv sesongHolt-Winter med additiv sesong

Holt-Winter med multiplikativ sesongHolt-Winter med multiplikativ sesongRasmus RasmussenRasmus Rasmussen

LOG350 OperasjonsanalyseLOG350 Operasjonsanalyse 77

Mål på nøyaktighetMål på nøyaktighet Vi trenger et mål for å sammenligne hvordan forskjellige tidsseriemodeller passer til dataeneVi trenger et mål for å sammenligne hvordan forskjellige tidsseriemodeller passer til dataene.. Fire av de vanligste målene er:Fire av de vanligste målene er:

mean absolute deviation, mean absolute deviation,

mean absolute percent error, mean absolute percent error,

the mean square error, the mean square error,

root mean square error.root mean square error.


MAD = Y Yi i

i

n

n

1

MSE =

Y Yi i

i

n

n

2

1

MSERMSE

n

i i

ii

n 1 Y

YY100 = MAPE

Vi vil fokusere på MSE.Vi vil fokusere på MSE.

En kommentar til bruk av En kommentar til bruk av feilmålfeilmål En bør være på vakt når en sammenligner En bør være på vakt når en sammenligner

MSE MSE verdier for forskjelligeverdier for forskjellige prediksjonsteknikkerprediksjonsteknikker..

Den minsteDen minste MSE MSE kan være resultatet av kan være resultatet av en teknikk som en teknikk som passer gamle data meget passer gamle data meget godtgodt men gjenspeiler nye data dårlig.men gjenspeiler nye data dårlig.

Noen ganger er det klokt å beregne MSE Noen ganger er det klokt å beregne MSE kun for de seneste observasjonene.kun for de seneste observasjonene.

Sammenlign MSE for samme perioder.Sammenlign MSE for samme perioder. Bør bruke blindtest !Bør bruke blindtest !


Fornuftig bruk av feilmålFornuftig bruk av feilmål

Feilmålene brukes for å se hvor godt en Feilmålene brukes for å se hvor godt en metode tilpasser seg historiske data.metode tilpasser seg historiske data.

For å velge mellom ulike metoder, bør en For å velge mellom ulike metoder, bør en foreta en blindtest – lage prognoser for foreta en blindtest – lage prognoser for perioder der modellen ikke får se dataene.perioder der modellen ikke får se dataene.

En velger så den metoden som har minst En velger så den metoden som har minst feil i blindtesten.feil i blindtesten.


Oppdeling av dataserienOppdeling av dataserien

1.1. Initialserie.Initialserie.Første del av dataserien benyttes for å beregne Første del av dataserien benyttes for å beregne

startverdier for parametrene i modellen.startverdier for parametrene i modellen.

2.2. Tilpassingsserie.Tilpassingsserie.Andre del av dataserien benyttes for å tilbasse gode Andre del av dataserien benyttes for å tilbasse gode

verdier for parametrene – slik at feilene blir verdier for parametrene – slik at feilene blir minst mulig.minst mulig.

3.3. Testserie.Testserie.Siste del av dataserien benyttes til blindtest, der Siste del av dataserien benyttes til blindtest, der

man tester hvor god modellen er.man tester hvor god modellen er.


EkstrapoleringsmodellerEkstrapoleringsmodeller Ekstrapoleringsmodeller forsøker å ta hensyn Ekstrapoleringsmodeller forsøker å ta hensyn

til tidligere utvikling i en tidsserievariabel i et til tidligere utvikling i en tidsserievariabel i et forsøk på å predikere den framtidige forsøk på å predikere den framtidige utviklingen av den samme variabelenutviklingen av den samme variabelen. .


, , ,Y Y Y Yt t t tf 1 1 2

Vi skal først ta for oss forskjellige ekstrapoleringsteknikker som passer for stasjonære data.

TIDSSERIETIDSSERIE

VariabelYt

Tidt

Nå

Periodet 1 2 t-1 t….. t+1 t+2

Y1 Y2 Yt-1 Yt Yt+1? Yt+2 ?

OBSERVASJONSEROBSERVASJONSER PREDIKSJONERPREDIKSJONER

Basert på de historiske observasjonene skal vi forsøke å framskrive et datamønster for å lage prognoser for framtiden.


Stasjonær dataStasjonær data


KONSTANTMODELLENKONSTANTMODELLENVariabelYt

Et

TidtNåLOG350 OperasjonsanalyseLOG350 Operasjonsanalyse 1515

Rasmus RasmussenRasmus Rasmussen

KONSTANTMODELLENKONSTANTMODELLEN

Observert verditY

ˆ Predikert verditY

Anslag på nivåtE

Tilfeldig støytu

1 1 1 Et t tY u ˆ Et k tY

Data-modell: Prognose-modell:

Yt

Et

Tidt


ANSLAG PÅ NIVÅ: ANSLAG PÅ NIVÅ: Naiv metodeNaiv metode

t tE Y Naiv metode: Yt

Et

Tidt

Bruker kun siste observasjon som anslag på nivået.

Prognose-modell:

ˆ Et k tY


ANSLAG PÅ NIVÅ: ANSLAG PÅ NIVÅ: Glidende gjennomsnittGlidende gjennomsnitt

Glidende gjennomsnitt:


t t-1 t- +1Y Y .... Y ktE

k

Det finnes ingen generell metode for å bestemme k.

Vi må forsøke med forskjellige verdier for k for å se hvilken som virker best.

Glidende gjennomsnitt veier alle tidligere Glidende gjennomsnitt veier alle tidligere observasjoner likt :observasjoner likt :


Veid glidende gjennomsnitt tillater at tidligere observasjoner vektlegges forskjellig.

Vi må bestemme verdier for k og alle wi

t t-1 t- -1

1 1 1E Y Y Yt kk k k

1 t 2 t-1 t- -1E Y Y Yt k kw w w

1 og 10der ii ww

ANSLAG PÅ NIVÅ: ANSLAG PÅ NIVÅ: Veid glidende gjennomsnittVeid glidende gjennomsnitt

ANSLAG PÅ NIVÅ:ANSLAG PÅ NIVÅ:Eksponentiell glattingEksponentiell glatting

0

1j

t t jj

E Y

a. Eksponentiell glattet gjennomsnitt:a. Eksponentiell glattet gjennomsnitt:

Kan betrakte eksponentiell glatting som et veid gjennomsnitt av alle observasjoner, der siste observasjon har størst vekt.

Prognose-modell: ˆ t k tY E

0 1


21 2Y (1 )Y (1 ) Y (1 ) Yn

t t t t t nE


0

1j

t t jj

E Y

b. Eksponentiell glattet gjennomsnitt:

Kan betrakte eksponentiell glatting som en veid sum av siste observasjon og forrige estimat.

11t t tE Y E

1 21 1t t tY Y E



c. Eksponentiell glattet gjennomsnitt:

Kan betrakte eksponentiell glatting som en forventet verdi, gitt siste observasjon.

11t t tE Y E

= sannsynlighet for at siste observasjon viser korrekt nivå

1 = sannsynlighet for at forrige estimat viser korrekt nivå

Gir samme funksjon som b (og a).



d. Eksponentiell glattet gjennomsnitt:

Kan betrakte eksponentiell glatting som en oppdatering basert på korreksjon av prediksjonsfeil.

1 1t t t tE E Y E

1ˆ ˆ ˆt t t tY Y Y Y

1 1ˆ 1t t t tY E Y E



Eksponentiell glattet gjennomsnitt:

Ulike måter å tolke eksponentiell glatting, men samme matematiske konklusjon!

1 1t t t tE E Y E

ˆ ˆt t t tE Y Y Y

11t t tE Y E


PrediksjonsprosessenPrediksjonsprosessen1.1. Del inn tidsserien:Del inn tidsserien:

1.1. InitialserieInitialserie2.2. TilpassingsserieTilpassingsserie3.3. Testserie (blindtest)Testserie (blindtest)

2.2. Beregn startverdier i initialserien.Beregn startverdier i initialserien.3.3. Foreta tilpassinger i tilpassingsserienForeta tilpassinger i tilpassingsserien

1.1. Finn gode verdier på modellparametreneFinn gode verdier på modellparametrene4.4. Foreta prognoser i testserien.Foreta prognoser i testserien.5.5. Velg den prognosemetode som er best i blindtesten:Velg den prognosemetode som er best i blindtesten:

1.1. Oppdater modellen (Tilpassingsserien inkluderer nå også Oppdater modellen (Tilpassingsserien inkluderer nå også det som var testserien.)det som var testserien.)

2.2. Finn nye gode verdier på modellparametrene.Finn nye gode verdier på modellparametrene.3.3. Lag prognose for den ukjente framtiden.Lag prognose for den ukjente framtiden.


Et eksempelEt eksempel Electra-City Electra-City er en detaljist som selger er en detaljist som selger audio audio

ogog video video utstyr for hjem og bilutstyr for hjem og bil. . Lederen må hver måned bestille varer fra et Lederen må hver måned bestille varer fra et

lager langt unnalager langt unna. . Nå skal lederen forsøke å estimere hvor Nå skal lederen forsøke å estimere hvor

mangemange VCR VCR’er’er forretningen vil komme til å forretningen vil komme til å selge neste månedselge neste måned. .

Han har samlet data for de sisteHan har samlet data for de siste 24 24 månedenemånedene. .


DataData


Glidende gjennomsnittGlidende gjennomsnitt


Veid glidende gjennomsnittVeid glidende gjennomsnitt


Eksempel med toEksempel med toeksponensielle glattingsfunksjonereksponensielle glattingsfunksjoner


Eksponentiell glattingEksponentiell glatting


StartverdierStartverdier

I steden for å bruke en formel for å I steden for å bruke en formel for å beregne en startverdi, kan vi la Solver beregne en startverdi, kan vi la Solver finne en ”optimal” startverdi.finne en ”optimal” startverdi.

Da kan vi beholde hele datasettet (fordi vi Da kan vi beholde hele datasettet (fordi vi slipper å bruke noen av dataene til slipper å bruke noen av dataene til estimering av startverdier).estimering av startverdier).

Vi får også en bedre tilpassning til de Vi får også en bedre tilpassning til de historiske dataene.historiske dataene.


Eksponentiell glattingEksponentiell glatting


1. Del inn tidsserien1. Del inn tidsserien


Initialserie

Tilpassingserie

Blindtest

2. Beregn startverdier2. Beregn startverdier


Beregn startverdier

Merk:Istedenfor formler, kan en la Solver velge startverdier.

3. Foreta tilpassigner3. Foreta tilpassigner


Bruk Solver til å minimere MSE i tilpassingsperioden, ved å velge verdier på modellparametrene.

Lag en-periodiske prognoser, og oppdater modellparametrene.

4. Lag prognoser i testserien4. Lag prognoser i testserien


Lag prognoser for hele blindtestperioden, med utgangspunkt i siste periode i tilpassingsserien.

Beregn MSE for blindtestperioden.

5. Lag prognoser for fremtiden5. Lag prognoser for fremtiden


Lag en-periodiske prognoser for hele datasettet, også det som tidligere var brukt til blindtest.

Minimer MSE for hele den nye tilpassingsserien.

Lag prognoser for framtiden, basert på siste periode med data.

Valg av prognosemodellValg av prognosemodell


Metode MSE

Glidende gj.snitt 2 perioder 6,67

Glidende gj.snitt 4 perioder 1,92

Veid glidende gjennomsnitt 2 perioder 4,73

Eksponensiell glatting (formel initialverdier) 4,14

Eksponensiell glatting (Solver velger initialverdier) 1,47

Velg den prognosemetode som gir lavest prediksjonsfeil (MSE) i blindtesten.

SesongvariasjonerSesongvariasjoner

Sesongvariasjoner er et jevnt, Sesongvariasjoner er et jevnt, repeterende mønster rundt en nivålinje, repeterende mønster rundt en nivålinje, og er veldig vanlig i økonomiske dataog er veldig vanlig i økonomiske data..

Kan Kan være av additiv eller multiplikativ være av additiv eller multiplikativ art...art...


Multiplicative Seasonal Effects

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

Tim e Pe riod

Additive Seasonal Effects

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

Tim e Pe riod

Stasjonære sesongeffekterStasjonære sesongeffekter


Stasjonære data med Stasjonære data med additive sesongeffekteradditive sesongeffekter

EEtt er forventet nivå for periode er forventet nivå for periode t.t. SStt er sesongfaktoren for periode er sesongfaktoren for periode t.t.


Y E St k t t k p der

1)E-(1)S-Y(E tt-ptt

ptttt )S-(1)E-Y(S

10

10

p angir antall sesonger i et år

Anslag nytt nivå

Anslag ny

sesong

Forrige nivå

Forrige sesong

Stasjonære data med Stasjonære data med additive sesongeffekteradditive sesongeffekter

Initialverdier:Initialverdier:


ptforYp

p

ttt ,...,1

1E

1

p , ... 1, for t E-YS ttt

p angir antall sesonger i en syklus

Gjennomsnitt

Stasjonære data med additiv Stasjonære data med additiv sesongsesong


2. Solver minimerer MSE i tilpassingsserien.

1. Formler beregner startverdiene.

3. Bereger MSE for blindtesten.




1. Solver beregner startverdiene.





1. Oppdaterer tilpassingsserien helt til slutten av datasettet.

3. Lager prognoser for framtiden.

Predikere ved modell Predikere ved modell med additive sesongvariasjonermed additive sesongvariasjoner


Prediksjon gjort på tidspunkt 24 for periodene 25 - 28:

24 24 24 4Y E Sk k

00.36345.844.354SEY 212425

73.33682.1744.354SEY 222426

13.40158.4644.354SEY 232427

82.32273.3144.354SEY 242428

Stasjonære Data med Stasjonære Data med Multiplikativ sesongvariasjonerMultiplikativ sesongvariasjoner

EEtt er forventet nivå for periode er forventet nivå for periode t.t. SStt er sesongfaktoren for periode er sesongfaktoren for periode t.t.


Y E St k t t k p der

1)E-(1)/SY(E tt-ptt

ptttt )S-(1)/EY(S

10

10

p angir antall perioder i en syklus

Anslag nytt nivå

Anslag ny

sesong

Forrige nivå

Forrige sesong

Stasjonære data med Stasjonære data med multiplikative sesongeffektermultiplikative sesongeffekter

Initialverdier:Initialverdier:


ptforYp

p

ttt ,...,1

1E

1

p , ... 1, for t E

YS

t

tt

p angir antall sesonger i en syklus

Gjennomsnitt

Modell for stasjonære data og Modell for stasjonære data og multiplikative sesongvariasjonermultiplikative sesongvariasjoner



1. Formler beregner startverdiene.





1. Solver beregner startverdiene.





1. Oppdaterer tilpassingsserien helt til slutten av datasettet.

3. Lager prognoser for framtiden.

Prediksjoner ved modell med Prediksjoner ved modell med multiplikative sesongvariasjonermultiplikative sesongvariasjoner


Prediksjoner ved tidspunkt 24 for periodene 25 - 28:

24 24 24 4Y E Sk k

26.359015.195.353SEY 212425

83.334946.044.354SEY 222426

03.401133.144.354SEY 232427

80.322912.044.354SEY 242428

Valg av prognosemodellValg av prognosemodell


Metode MSE

Eksponensiell glatting og additiv sesong (formel initialverdier) 418,76

Eksponensiell glatting og additiv sesong (Solver velger initialverdier) 365,90

Eksponensiell glatting og multiplikativ sesong (formel initialverdier) 485,49

Eksponensiell glatting om multiplikativ sesong (Solver velger intialverdier) 409,14

Velg den prognosemetode som gir lavest prediksjonsfeil (MSE) i blindtesten.

Trend-modellerTrend-modeller Trend Trend er en langsiktiger en langsiktig bevegelsebevegelse eller eller

utvikling i en generell retningutvikling i en generell retning for en for en tidsserietidsserie..

Vi skal nå se på noen ikke-stasjonære Vi skal nå se på noen ikke-stasjonære tidsserieteknikker som kan passe for tidsserieteknikker som kan passe for data som inneholder en stigende eller data som inneholder en stigende eller synkende trend.synkende trend.


Et eksempel med trendEt eksempel med trend WaterCraft Inc. WaterCraft Inc. er en produsent av waterer en produsent av water

crafts (crafts (såkalte sjøscooteresåkalte sjøscootere). ). Selskapet har gledet seg over en rimelig Selskapet har gledet seg over en rimelig

stabil vekst i salget av sine produkterstabil vekst i salget av sine produkter.. Selskapets ledelse forbereder salgs- og Selskapets ledelse forbereder salgs- og

produksjonsplaner for kommende årproduksjonsplaner for kommende år. . Prognoser behøves for salgsnivået Prognoser behøves for salgsnivået

selskapet forventer å oppnå hvert kvartal. selskapet forventer å oppnå hvert kvartal.


Data med trendData med trend


Dobbelt glidende gjennomsnittDobbelt glidende gjennomsnitt

EEtt er forventet nivå for periode er forventet nivå for periode t.t.

TTtt er forventet trend for periode er forventet trend for periode t.t.


Y E Tt k t tk der

ttt DM2E )1/()DM(2T kttt

kktttt /)(M YYY 11

kktttt /)(D MMM 11

Gjennomsnittet

Gjennomsnittet av

gjennomsnittet

Modell med dobbelt glidende Modell med dobbelt glidende gjennomsnittgjennomsnitt


Foreta en blindtest.

Modell med dobbelt glidende Modell med dobbelt glidende gjennomsnittgjennomsnitt


Oppdater modellen t.o.m. siste periode

Lag prognoser for framtiden

Prediksjoner ved modell med Prediksjoner ved modell med dobbelt glidende gjennomsnittdobbelt glidende gjennomsnitt


Prediksjoner for periodene 21 til 24 ved tidspunkt 20:

23.25259.139133.2385T1EY 202021

20 20 20Y E Tk k

13.26659.139233.2385T2EY 202022

03.28059.139333.2385T3EY 202023

94.29449.139433.2385T4EY 202024

Dobbel eksponensiell glatting:Dobbel eksponensiell glatting:Holt’s Holt’s metodemetode

EEtt er forventet nivå i periodeer forventet nivå i periode t.t. TTtt er forventet trend for periodeer forventet trend for periode t.t. Initialverdier: EInitialverdier: E11 = Y = Y1 1 og Tog T11 = 0 = 0


Y E Tt k t tk der

Et = Yt + (1 )(Et-1+ Tt-1)

Tt = (Et Et-1) + (1 ) Tt-1

10 og 10

Tilsynelatende nivå Forrige anslag på

nivå

Tilsynelatende trend

Forrige anslag på trend

Modellen med Holt’s metodeModellen med Holt’s metode


1. Beregn startverdier

2. Lag en-periodisk prognose og oppdater parametrene i hele tilpassingsserien

3. Bruk Solver til å minimere MSE for tilpassingsserien

4. Lag prognose i blindtestperioden, og beregn MSE.



1. La Solver velge startverdier



4. Lag prognose i blindtestperioden, og beregn MSE.



1. Oppdater modellen for hele dataserien, helt fram til siste periode.

2. Bruk Solver til å minimere MSE for den nye tilpassingsserien.

3. Lag prognoser for den ukjente framtiden.

Prediksjoner basert påPrediksjoner basert på Holt’s Holt’s modellmodell


Prediksjoner for periode 21 til 24 i periode 20:

. . .Y E T21 20 201 23368 1 1521 2488 9

. . .Y E T22 20 202 23368 2 1521 26410 . . .Y E T23 20 203 2336 8 3 152 1 27931

. . .Y E T24 20 204 2336 8 4 152 1 2945 2

Holt-Winter’s metode for Holt-Winter’s metode for Additive sesongvariasjonerAdditive sesongvariasjoner


Y E T St k t t t k pk der

)T)(E-(1SYE 11 ttpttt 11 )T-(1EET tttt ptttt )S-(1EYS

10

10

10

Anslag på nivå,

trend og sesong

Forrige verdi nivå,

trend og sesong

Holt-Winter’s metode for Holt-Winter’s metode for Additive sesongvariasjonerAdditive sesongvariasjoner


0T p

ppp SYE

p 1,..., for t 1

S1

p

tttt Y

pY

Initialverdier :

Holt-Winter med additive Holt-Winter med additive sesongeffektsesongeffekt





4. Lag prognoser i blindtestperioden, og beregn MSE.

Holt-Winter med additive Holt-Winter med additive sesongeffektsesongeffekt





Prediksjoner ved Holt-Winter’s modell Prediksjoner ved Holt-Winter’s modell Additive sesongeffekterAdditive sesongeffekter


Prediksjoner for periodene 21 til 24 på tidspunkt 20:

20 20 20 20 4Y E T Sk kk 3.267066.2623.15413.2253ST1EY 17202021 3.224959.3123.15423.2253ST2EY 18202022 6.292140.2053.15433.2253ST3EY 19202023 6.325612.3863.15443.2253ST4EY 20202024

Holt-Winter’s metode for Holt-Winter’s metode for Multiplikative sesongvariasjonerMultiplikative sesongvariasjoner


Y E T St k t t t k pk der

)T)(E-(1S/YE 11 ttpttt 11 )T-(1EET tttt ptttt )S-(1E/YS

10

10

10

Holt-Winter’s metode for Holt-Winter’s metode for Multiplikative sesongvariasjonerMultiplikative sesongvariasjoner


0T p

p

pp S

YE

p 1,..., for t 1

S

1

p

tt

tt

Yp

YInitialverdier :

Holt-Winter: Multiplikativ sesongHolt-Winter: Multiplikativ sesong





4. Lag prognoser i blindtestperioden, og beregn MSE.

Holt-Winter: Multiplikativ sesongHolt-Winter: Multiplikativ sesong





Prediksjoner med Holt-Winter’s modell Prediksjoner med Holt-Winter’s modell Multiplikative sesongeffekterMultiplikative sesongeffekter


Prediksjoner for periodene 21 - 24 på tidspunkt 20:

( ) ( . . ) . .Y E T21 20 20 171 2217 6 1 137 3 1152 2712 8 S ( ) ( . . ) . .Y E T22 20 20 182 2217 6 2 137 3 0 849 2115 9 S

( ) ( . . ) . .Y E T23 20 20 193 2217 6 3 137 3 1103 2900 3 S

( ) ( . . ) . .Y E T24 20 20 204 2217 6 4 137 3 1190 3292 5 S

20 20 20 20 4Y E T Sk kk

Holt-Winter og endringerHolt-Winter og endringerMultiplikativ sesong

50

100

150

200

250

300

350

400

450

0 4 8 12 16 20 24

Additiv sesong

50

100

150

200

250

300

350

400

0 4 8 12 16 20 24

Skifta i nivå

50

100

150

200

250

300

0 4 8 12 16 20 24

Skift i trend

507090

110130150170190210230250

0 4 8 12 16 20 24Rasmus RasmussenRasmus RasmussenLOG350 OperasjonsanalyseLOG350 Operasjonsanalyse 7777

Tidsserier og REGRESJONTidsserier og REGRESJON

DataData Modeller som Modeller som IKKEIKKE tillater skift i nivå/trend/sesong tillater skift i nivå/trend/sesong

TrendTrendLangsiktig Langsiktig generell endring i generell endring i nivånivå

Lineær trendLineær trend

Kvadratisk trendKvadratisk trend

Trend & Trend & SesongSesongLangsiktig Langsiktig generell endring i generell endring i nivå og repeterte nivå og repeterte variasjoner rundt variasjoner rundt trendlinjentrendlinjen

Trend (lineær eller kvadratisk), additiv ellerTrend (lineær eller kvadratisk), additiv eller

multiplikativ sesongjustering.multiplikativ sesongjustering.

Regresjon med trend (lineær eller Regresjon med trend (lineær eller kvadratisk) og additiv sesongkvadratisk) og additiv sesong

Rasmus RasmussenRasmus RasmussenLOG350 OperasjonsanalyseLOG350 Operasjonsanalyse 7878

Modell med lineær trendModell med lineær trend


Y Xt b bt

0 1 1

tt1Xder

For eksempel:X X X 1 1 11 2 3

1 2 3 , , ,

Blindtest med lineær trendBlindtest med lineær trend


Spesialtilfelle av Holt’s modell.Spesialtilfelle av Holt’s modell.

Tilpassingsserien

Blindtest

Prognose med lineær trendPrognose med lineær trend


Spesialtilfelle av Holt’s modell.Spesialtilfelle av Holt’s modell.

Tilpassingsserien gjelder nå hele datasettet.

Prognose for framtiden

Prediksjoner basert på lineær Prediksjoner basert på lineær trendtrend



. . .Y X21 0 1 1213751 92 6255 21 2320 3 b b

. . .Y X22 0 1 1223751 92 6255 22 2412 9 b b

. . .Y X23 0 1 1233751 92 6255 23 25056 b b

. . .Y X24 0 1 1243751 92 6255 24 2598 2 b b

TREND() TREND() funksjonenfunksjonenTREND(Y-TREND(Y-område;område; X- X-område;område; X- X-verdi for prediksjonverdi for prediksjon))

derder: :

Y-Y-områdeområde er området i er området i regnearket som inneholderregnearket som inneholder verdiene for den avhengigeverdiene for den avhengige Y Y variabelenvariabelen, , X-X-områdeområde er området i regnearket som inneholder er området i regnearket som inneholder verdiene for de(n) uavhengigeverdiene for de(n) uavhengige X X variablene,variablene, X-X-verdi for prediksjonverdi for prediksjon er en celleer en celle ( (ellereller cell cellerer) ) som som inneholder verdier forinneholder verdier for X X variabelen(e)variabelen(e) som vi ønsker å som vi ønsker å estimerteestimerte Y Y verdier til verdier til..

MerkMerk: TREND( ) : TREND( ) funksjonenfunksjonen blirblir dynamiskdynamisk oppdatertoppdatert hver ganghver gang dataene tildataene til funksjonen endresfunksjonen endres. . Imidlertid gir den ikke den Imidlertid gir den ikke den statistiske informasjonen som regresjonsanalysen girstatistiske informasjonen som regresjonsanalysen gir..


Kvadratisk trend modellKvadratisk trend modell


Y X Xt b b bt t

0 1 1 2 2

221 X og Xder tt

tt

Blindtest kvadratisk trendBlindtest kvadratisk trend


Tilpassingsserien

Blindtest

Prognoser kvadratisk trendPrognoser kvadratisk trend


Tilpassingsserien gjelder nå hele datasettet.

Prognose for framtiden

Prediksjoner ved kvadratisk trend Prediksjoner ved kvadratisk trend modellmodell



. . . .Y X X21 0 1 1 2 22

21 2165367 16 671 21 3617 21 2598 9 b b b

. . . .Y X X22 0 1 1 2 22

22 22653 67 16 671 22 3 617 22 27711 b b b

. . . .Y X X23 0 1 1 2 22

23 2365367 16 671 23 3617 23 29505 b b b

. . . .Y X X24 0 1 1 2 22

24 24653 67 16 671 24 3 617 24 3137 2 b b b

SesongvariasjonerSesongvariasjoner Sesong er et jevnt, repeterende mønster Sesong er et jevnt, repeterende mønster

rundt en trendlinje, og er veldig vanlig i rundt en trendlinje, og er veldig vanlig i økonomiske data.økonomiske data.


$0

$500

$1,000

$1,500

$2,000

$2,500

$3,000

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21

Tidsperiode

Sa

lg (

i $

1,0

00

s)

Faktisk salg

Kvadratisk trend

SesongjusteringsindekserSesongjusteringsindekser Vi kan beregne sesongjusteringsindekser for Vi kan beregne sesongjusteringsindekser for

sesong sesong pp slikslik::


pinp

i i

i

p sesong iinntrer som allefor ,Y

Y

S

Justert prediksjon for periode i er da

pipii sesong iinntrer som enhver for ,SY=justert Y

Blindtest kvadratisk trend Blindtest kvadratisk trend multiplikativ sesongmultiplikativ sesong


1. Beregn kvadratisk trend, basert på tilpassingsperioden. 2. Beregn multiplikativ sesong,

i tilpassingsperioden.

3. Beregn gjennomsnittlige sesongfaktorer i tilpassingsserien.

4. Lag prognoser, basert på kvadratisk trend og gjennomsnittlige sesongfaktorer.

Prognose kvadratisk trend Prognose kvadratisk trend multiplikativ sesongmultiplikativ sesong


1. Beregn kvadratisk trend, basert på hele datasettet. 2. Beregn multiplikativ sesong,

for hele datasettet.

3. Beregn gjennomsnittlige sesongfaktorer for hele datasettet.

4. Lag prognoser, basert på kvadratisk trend og gjennomsnittlige sesongfaktorer.

Prediksjoner med sesongjusteringer Prediksjoner med sesongjusteringer for vår kvadratiske trend modellfor vår kvadratiske trend modell



( ) . . .Y X X21 0 1 1 2 2 121 212598 9 1057% 2747 03 b b b S

( ) . . .Y X X22 0 1 1 2 2 222 2227711 801% 2219 65 b b b S

( ) . . .Y X X23 0 1 1 2 2 323 2329505 1031% 304197 b b b S

( ) . . .Y X X24 0 1 1 2 2 424 243137 2 1111% 348543 b b b S

Sammendrag av trend og bruk Sammendrag av trend og bruk av sesongvekterav sesongvekter

1. 1. Lag en trend modell og beregn prediksjoner for Lag en trend modell og beregn prediksjoner for hver observasjonhver observasjon..

2. 2. For For hver observasjon beregnes forholdet mellom hver observasjon beregnes forholdet mellom faktisk og predikert trend verdifaktisk og predikert trend verdi..

3. 3. For For hver sesong, beregn gjennomsnittet av hver hver sesong, beregn gjennomsnittet av hver brøk fra trinn 2. Dette er sesongvektenebrøk fra trinn 2. Dette er sesongvektene..

4. 4. Multipliser enhver prediksjon fra trendmodellen Multipliser enhver prediksjon fra trendmodellen med tilhørende sesongvekt beregnet i trinn 3.med tilhørende sesongvekt beregnet i trinn 3.


Rafinere modellen med Rafinere modellen med sesongindeksersesongindekser

Merk at Solver kan brukes til å beregne Merk at Solver kan brukes til å beregne optimale verdier for optimale verdier for sesongindeksenesesongindeksene ogog parametreneparametrene i trend modellen i trend modellen simultantsimultant..

Det finnes ingen garanti for at dette vil Det finnes ingen garanti for at dette vil gi bedre prediksjoner, men det vil gi en gi bedre prediksjoner, men det vil gi en modell som passer bedre til de modell som passer bedre til de historiske data ut fra MSE.historiske data ut fra MSE.


Solver beregner trend-Solver beregner trend-parametre og sesongindekserparametre og sesongindekser


1. Beregn kvadratisk trend, basert på koeffisienter Solver kan velge.

2. Beregn prognose, basert på kvadratisk trend og sesongfaktorer Solver kan velge.

3. La Solver minimere MSE for tilpassingsserien, ved å velge trend-koeffisientene og sesongfaktorene.

4. Beregn MSE i blindtesten.

Solver beregner trend-Solver beregner trend-parametre og sesongindekserparametre og sesongindekser


1. Beregn kvadratisk trend, basert på koeffisienter Solver kan velge.

2. Beregn prognose, basert på kvadratisk trend og sesongfaktorer Solver kan velge.

3. La Solver minimere MSE for helehele datasettet, ved å velge trend-koeffisientene og sesongfaktorene.

Trend & additiv sesongTrend & additiv sesong

Vi kan selvsagt benytte additiv sesong Vi kan selvsagt benytte additiv sesong istedenfor multiplikativ sesong.istedenfor multiplikativ sesong.

Estimert sesongeffekt blir da: Estimert sesongeffekt blir da:


i i iS Y T

Tilsvarende blir prognosen endret til:Tilsvarende blir prognosen endret til:

t t pY T S

Regresjonsmodeller med sesongRegresjonsmodeller med sesong

Indikatorvariabler kan brukes i regresjonsmodeller Indikatorvariabler kan brukes i regresjonsmodeller for å representere sesongeffekterfor å representere sesongeffekter..

Hvis det erHvis det er pp sesongersesonger, , trengstrengs pp-1-1 indikatorvariablerindikatorvariabler..


Vårt eksempel har kvartalsvise data, så p = 4 og vi definerer følgende indikatorvariabler:

ellers ,0

2 kvartalfor observsjonen er Y hvis ,1X4

t

t

ellers ,0

1 kvartalfor n observasjoen er Y hvis ,1X3

t

t

ellers ,0

3 kvartalfor n observasjoen er Y hvis ,1X5

t

t

Implementere modellenImplementere modellen

Regresjonsfunksjonen erRegresjonsfunksjonen er::


Y X X X X Xt b b b b b bt t t t t

0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5

221 X og Xder tt

tt

0 ellers kvartal, 1. hvis 1X og 3 t



Regresjon med additiv sesong - Regresjon med additiv sesong - blindtestblindtest


Regresjon med additiv sesong - Regresjon med additiv sesong - prognoseprognose


Prediksjoner ved Prediksjoner ved regresjonsmodell med sesongregresjonsmodell med sesong


Prediksjoner for periodene 21 til 24 i periode 20:

. . ( ) . ( ) . ( ) . ( ) . ( ) .Y212824 471 17 319 21 3485 21 86805 1 424 736 0 123 453 0 2638 7

. . ( ) . ( ) . ( ) . ( ) . ( ) .Y222824 471 17 319 22 3485 22 86 805 0 424 736 1 123 453 0 2468 0

. . ( ) . ( ) . ( ) . ( ) . ( ) .Y232824 471 17 319 23 3 485 23 86 805 0 424 736 0 123 453 1 2943 4

. . ( ) . ( ) . ( ) . ( ) . ( ) .Y242824 471 17 319 24 3485 24 86 805 0 424 736 0 123 453 0 32481

Kombinere prediksjonerKombinere prediksjoner

Det er også mulig å kombinere prediksjoner for å Det er også mulig å kombinere prediksjoner for å lage en ”kompositt” prognoselage en ”kompositt” prognose..

Anta at vi har brukt tre forskjellige Anta at vi har brukt tre forskjellige prediksjonsmetoder på et gitt sett av data.prediksjonsmetoder på et gitt sett av data.


Benevn predikert verdi i periode t ved bruk av hver metode slik:

tttFFF 321 og ,,

Vi kan lage en komposittprognose slik :

Y F F Ft b b b bt t t

0 1 1 2 2 3 3

Mer om Mer om sesongfaktorersesongfaktorer For å unngå systematiske prediksjons-feil For å unngå systematiske prediksjons-feil

bør sesongfaktorene bør sesongfaktorene normaliseresnormaliseres : :


1

1 p

t t p jj

F Sp

Gjennomsnittlig Faktorsum :

Vi justerer de p siste sesongfaktorene

t p jt p j

t

SS

F

Normalisering Multiplikativ:

Normalisering Additiv: t p j t p j tS S F

Normalisering av Normalisering av sesongfaktorersesongfaktorer


End of Chapter 11End of Chapter 11


managerial decision modeling

Documents

se p veien via speilet

feilmlen br vre p vakt

forsker styre bilen

the mean square error

root mean square error

mean absolute percent

gjenspeiler nye data

fokusere p mse