managerial decision modeling

1

Managerial Decision Modeling

Cliff Ragsdale6. edition

Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE

Chapter 4Sensitivity Analysis and

the Simplex Method

2Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE

Når vi løser en LP modell antar vi at alle relevante faktorer er kjent med sikkerhet.

Slik sikkerhet eksisterer sjelden.

Sensitivitetsanalysen hjelper med å besvare hvor følsom den optimale løsningen er for endringer i forskjellige koeffisienter i LP modellen.

Innledning

BØK350 OPERASJONSANALYSE 3Rasmus Rasmussen

MAX (eller MIN): c1X1 + c2X2 + … + cnXn

Slik at: a11X1 + a12X2 + … + a1nXn <= b1

:

ak1X1 + ak2X2 + … + aknXn >= bk

:

am1X1 + am2X2 + … + amnXn = bm

Hvor følsom er løsningen overfor endringer i ci , aij , og bi?

Generell form på et Lineært Programmeringsproblem (LP)


Endre dataene og løs modellen på nytt! Noen ganger er dette den eneste praktiske måten.

Solver lager også sensitivitetsrapporter som kan svare på spørsmål om:

Hvor mye koeffisientene i målfunksjonen kan endres uten å endre den optimale løsningen. (endre cj)

Hvor mye målfunksjonen endres ved endringer i de begrensende ressursene. (endre bi)

Hvor mye målfunksjonen endres ved nye endringer i beslutningsvariablene. (endre xj)

Hvordan optimal løsning vil påvirkes av endringer i koeffisientene i restriksjonene. (endre aij)

Sensitivitetsanalyse


LP Modellen for Blue Ridge Hot TubsMax 350X1 + 300X2 Dekningsbidrag

S.T.: 1X1 + 1X2 <= 200 Pumper

9X1 + 6X2 <= 1566 Arbeid

12X1 16X2 <= 2880 Rør

X1 >= 0

X2 >= 0Analyse av koeffisientene i målfunksjonen

Analyse av koeffisientene i restriksjonene


Risk Solver PlatformAktiver Engine Tab i Task Pane

Velg Lineær Solver

Eller kryss av for Automatically Select Engine


Du kan ”styre alt” i Solver fra Risk Solver Platform Ribbon (båndet).

Du kan spesifisere problemet:Angi målfunksjonen - ObjectiveAngi beslutningsvariablene – DecisionsAngi restriksjonene – Constraints

Du kan løse problemet – OptimizeDu kan lage rapporter - Reports

Ribbon


1. Du kan bruke menyene i ”Ribbon”

2. Du kan bruke Task Pane

3. Du kan bruke Add-In Premium Solver

Solver på 3 måter


Litt om Task Pane


Løst i regneark

Koeffisientene i målfunksjonen

Koeffisientene i restriksjonene


Etter å ha kjørt Solver og løst problemet, kan du be om rapporter.

Merk: Rapportene er knyttet til det arket der modellen er, og er tilgjengelig helt til ny kjøring av Solver, eller til du avslutter Excel.

Rapportene du velger blir skrevet ut på egne ark i Excel-filen.

Rapporter


Answer Report

Målfunksjon

Beslutnings-variabler

Restriksjoner

Ny info


Sensitivity ReportFormatet i cellene er hentet fra

formatet i modellen.Du kan fritt endre format.

Beslutningsvariabler

Restriksjoner

Målfunksjon


Koeffisientene i målfunksjonen

X1

X2

Opprinnelig nivåkurveDB =350X1 + 300X2

Endringer i koeffisientene i målfunksjonen endrer helningen på nivåkurven.

Sensitivitetsanalysen viser hvor store endringene kan være uten at opprinnelig optimal løsning endres.122

78 Bruk av pumper:1·X1 + 1·X2 = 200

Bruk av arbeid:9X1 + 6X2 = 1566

Økning c1 eller reduksjon c2.

20080

120


Optimal løsning uendret inntil målfunksjonen blir parallell med de bindende restriksjonene (pumper eller arbeid), ny hjørneløsning.

Linjene er parallelle når de har samme stigningsforhold:

Tillatt endring i målfunksjonen

Max: 350X1 + 300X2 X2 = – (350/300) X1 = – (c1/c2) X1

Pumper: 1X1 + 1X2 200 X2 = 200 – (1/1) X1

Arbeid: 9X1 + 6X2 1566 X2 = 261 – (9/6) X1

Rør: 12X1 + 16X2 2880 X2 = 180 – (12/16) X1

Hvor mye må koeffisientene i målfunksjonen endres for at den skal bli parallell med pumpe-restriksjonen?

Hvor mye må koeffisientene i målfunksjonen endres for at den skal bli parallell med arbeids-restriksjonen?


= endring verdi slik at: gammel verdi + = ny verdi = ny - gammel

Tillatt endring i målfunksjonen

Max: 350X1 + 300X2 X2 = – (350/300) X1 = – (c1/c2) X1

Pumper: 1X1 + 1X2 200 X2 = 200 – (1/1) X1

Arbeid: 9X1 + 6X2 1566 X2 = 261 – (9/6) X1

Hvor mye må koeffisientene i målfunksjonen endres for at den skal bli parallell med pumpe-restriksjonen? Har stigningskoeffisient -(1/1)

Ny verdi c1: -(c1/300) = -(1/1) -c1=-1300 c1= 300 c1= 300-350 = -50

Ny verdi c2: -(350/c2) = -(1/1) -350=-1c2 c2= 350 c2= 350-300 = +50

Hvor mye må koeffisientene i målfunksjonen endres for at den skal bli parallell med arbeids-restriksjonen? Har stigningskoeffisient -(9/6)

Ny verdi c1: -(c1/300) = -(9/6) -c1=-(9/6)300 c1= 450 c1= 450-350 = +100

Ny verdi c2: -(350/c2) = -(9/6) -350=-(9/6)c2 c2= 233 1/3 c2= 233 1/3-300 = -66 2/3


Tillatt endring i målfunksjonenEndringene må ligge innenfor alle ytterpunktene:Pumper: c1= -50

Arbeid: c1= +100 -50 c1 100

Rør: c1= -150

Pumper: c2= +50

Arbeid: c2= -66 2/3 -66 2/3 c2 50

Rør: c2= +166 2/3

Har tatt med rør for å illustrere poenget. Trenger bare vurdere bindende restriksjoner.

Optimal løsning uendret så lenge endringene i koeffisientene ligger innenfor disse grensene.


Endringer i ”Objective Coefficient”

Disse koeffisientene kan endres:

innenfor disse grensene,

uten at disse verdiene endres.

Men målfunksjonen og skyggeprisene endres!


I tabellen for beslutningsvariablene (”Decision Variable Cells ”) angir verdiene i kolonnene “Allowable Increase” og “Allowable Decrease” hvor mye en koeffisient i målfunksjonen (”Objective Coefficient”) kan endres uten å endre den optimale løsningen (i kolonnen ”Final Value”), under forutsetning av at alle andre koeffisienter forblir uendret.

Endringer i koeffisientene i målfunksjonen


Hvis målfunksjonen er parallell med en av de bindende restriksjonene har vi alternative optimale løsninger.

Verdier på null (0) i “Allowable Increase” eller “Allowable Decrease” kolonnene for tabellen ”Decision variable Cells” indikerer at en alternativ optimal løsning eksisterer.

OBS! Da er sensitivitetsanalysen ufullstendig!!

Alternative Optimale Løsninger


Alternative optimale løsninger

Hvis noen av disse er lik 0,

så finnes alternative

verdier til disse.


Sensitivitetsanalyse restriksjonene

X1

X2

200

200

Bruk av pumper: 1·X1 + 1·X2 = 200

261

174

Bruk av arbeid: 9X1 + 6X2 = 1566

180

240

Bruk av rør: 12X1 + 16X2 = 2880

122

78

Sensitivitetsanalysen viser hvor store endringene i høyresidene på restriksjonene kan være før vi får andre bindende restriksjoner.

10880

99

120


Tillatt endring i restriksjonene

X1

X2

200

200


261

174


180

240

Bruk av rør: 12X1 + 16X2 = 2880

122

78

Kan endre restriksjonene inntil vi får et nytt sett av bindende restriksjoner. Slik vil skyggeprisene forbli uendret.

Økning pumper: 1·X1 + 1·X2 = 207

En større økning vil gjøre at pumper ikke lenger er bindende, men arbeid og rør.

Reduksjon pumper:1·X1 + 1·X2 = 174

En større reduksjon vil gjøre at arbeid ikke lenger er bindende, men pumper og ikke-negativitet.

Pumper kan økes til 207 eller reduseres til 174 uten at andre restriksjoner enn arbeid og pumper er bindende.


Hvor mye kan tilgang pumper (b1) endres, uten at andre restriksjoner blir bindende?

Økning: Helt til bare arbeid og rør er bindende.Reduksjon: Helt til bare arbeid og x2 ≥ 0 er bindende.

Sensitivitetsanalyse pumper: b1

Økning: Arbeid: 9X1 + 6X2 = 1566 |(-4/3) -12X1 - 8X2 = -2088Rør: 12X1 + 16X2 = 2880 12X1 + 16X2 = 2880

8X2 = 792

X2 = 792/8 = 99. 9X1 + 699 = 1566 9X1 = 1566 – 594 = 972 X1 = 972/9 = 108Behov pumper: 1 99 + 1108 = 207 b1 = 207 – 200 = +7

Reduksjon: Arbeid: 9X1 + 6X2 = 1566

X2 = 0

9X1 + 60 = 1566 X1 = 1566/9 = 174

Behov pumper: 1 174 + 10 = 174 b1 = 174 – 200 = -26 -26 ≤ b1 ≤+7



X1

X2

200

200


261

174


180

240

Bruk av rør: 12X1 + 16X2 = 2880

122

78


Arbeid kan økes til 1800 eller reduseres til 1440 uten at andre restriksjoner enn arbeid og pumper er bindende.

Økning arbeid: 9X1 + 6X2 = 1800

Reduksjon arbeid: 9X1 + 6X2 = 1440

En større reduksjon vil gjøre at rør blir en bindende restriksjon istedenfor pumper.

En større økning vil gjøre at arbeid ikke lenger er bindende, men pumper og ikke-negativitet.


Hvor mye kan tilgang arbeid (b2) endres, uten at andre restriksjoner blir bindende?

Reduksjon: Helt til bare pumper og rør er bindende.Økning: Helt til bare pumper og x2 ≥ 0 er bindende.

Sensitivitetsanalyse arbeid: b2

Reduksjon: Pumper: 1X1 + 1X2 = 200 |(-12) -12X1 - 12X2 = -2400Rør: 12X1 + 16X2 = 2880 12X1 + 16X2 = 2880

4X2 = 480

X2 = 480/4 = 120. 1X1 + 1120 = 200 1X1 = 200 – 120 = 80 X1 = 80/1 = 80Behov arbeid: 980 + 6120 = 1440 b2 = 1440 – 1566 = -126

Økning: Pumper: 1X1 + 1X2 = 200

X2 = 0

1X1 + 10 = 200 X1 = 200/1 = 200

Behov arbeid: 9 200 + 60 = 1800 b2 = 1800 – 1566 = +234 -126 ≤ b2 ≤+234



X1

X2

200

200


261

174


180

240

Bruk av rør: 12X1 + 16X2 = 2880

122

78


Rør kan reduseres til 2712 eller økes uendelig uten at andre restriksjoner enn arbeid og pumper er bindende.

Reduksjon rør: 12X1 + 16X2 = 2712

Økning rør:12X1 + 16X2 = ?

Kan øke tilgang på rør uendelig uten at andre restriksjoner blir bindende.

En større reduksjon vil gjøre at pumper ikke lenger er bindende, men arbeid og rør.


Hvor mye kan tilgang rør (b3) endres, uten at andre restriksjoner blir bindende?

Reduksjon: Helt til pumper og arbeid er bindende.Økning: Ubegrenset, restriksjonen er ikke bindende i utgangspunktet.

Sensitivitetsanalyse rør: b3

Reduksjon: Pumper: 1X1 + 1X2 = 200 X1 = 200 - X2

Arbeid: 9X1 + 6X2 = 1566

9(200 -X2) + 6X2 = 1566 -3X2 = 1566 - 1800 X2 = -234/(-3) = 78X1 = 200 - X2 X1 = 200 – 78 = 122Behov rør: 12122 + 1678 = 2712 b3 = 2712 – 2880 = -168Økning: Ubegrenset b3 = +

-168 ≤ b3 ≤ +


Endringer i Contstraint R.H. Side

Så lenge disse endres

innenfor disse

grensene,

forblir skyggeprisene

konstante.

Men optimale verdier på målfunksjonen og beslutningsvariablene endres !


Skyggepriser

X1

X2

200

200


261

174


180

240

Bruk av rør: 12X1 + 16X2 = 2880

122

78

Hvor mye målfunksjonen endres ved å øke kapasiteten for en restriksjon med en enhet.

Når tilgang på arbeid økes med 1 enhet, vil ny tilpassing skje langs restriksjonen for bruk av pumper.

Økning arbeid: 9X1 + 6X2 = 1800

Samme skyggepriser (med motsatt fortegn) gjelder ved reduksjoner. Unntatt degenererte løsninger.


Hvor mye endres målfunksjonen når tilgang på arbeid økes med en enhet?

Når vi endrer kapasiteten for arbeid, vil ny tilpasning skje langs kapasitetsgrensen til pumper.

Skyggepris arbeid

Pumper: 1X1 + 1X2 = 0 Uendret kapasitet Arbeid: 9X1 + 6X2 = 1 1 ekstra enhet

Þ X1 = -X2 & 9X1 + 6X2 = 1 9(-X2) + 6X2 = 1 -3X2 = 1 X2 = 1/(-3) = -1/3X1 = -X2 =-(-1/3) = 1/3. En ekstra arbeidstime vil gi: X1 =1/3 og X2 = -1/3.

Endring i målfunksjonen: 350(1/3) + 300(-1/3) = 16,67

Skyggeprisen for en ekstra time arbeid er 16,67 og viser verdien (økt dekningsbidrag) pr. arbeidstime.


Hvor mye endres målfunksjonen når tilgang på arbeid økes maksimalt?

Maksimal tillatt økning arbeid er 234 timer (uten andre bindende restriksjoner).Da vil ny optimal produksjon være 200 stk. X1 og 0 stk. X2.

Ny verdi på målfunksjonen blir: 350200 + 3000 = 70.000,-Opprinnelig optimal verdi på målfunksjonen: 66.100,-Økt verdi av økt tilgang arbeidstid: 3.900,-Økt verdi pr. arbeidstime: 3.900,-/234 timer = 16,67 pr. time.Hver ny arbeidstime er verd 16,67, som er skyggeprisen på restriksjonen for arbeidstid.

Skyggepris arbeid


Skyggepriser

X1

X2

200

200


261

174


180

240

Bruk av rør: 12X1 + 16X2 = 2880

122

78

Hvor mye målfunksjonen endres ved å øke kapasiteten for en restriksjon med en enhet.

Når tilgang på pumper økes med 1 enhet, vil ny tilpassing skje langs restriksjonen for bruk av arbeid.

Økning pumper: 1X1 + 1X2 = 207

Samme skyggepriser (med motsatt fortegn) gjelder ved reduksjoner. Unntatt degenererte løsninger.

108

99


Hvor mye endres målfunksjonen når tilgang på pumper økes med en enhet?

Når vi endrer kapasiteten for pumper, vil ny tilpasning skje langs kapasitetsgrensen til arbeid.

Skyggepris pumper

Pumper: 1X1 + 1X2 = 1 1 ekstra enhetArbeid: 9X1 + 6X2 = 0 Uendret kapasitet

Þ X1 = 1 – X2 & 9X1 + 6X2 = 0 9(1-X2) + 6X2 = 0 -3X2 = -9 X2 = -9/(-3) = 3X1 = 1-X2 =1-3 = -2. En ekstra pumpe vil gi: X1 =-2 og X2 = +3.

Endring i målfunksjonen: 350(-2) + 300(+3) = 200

Skyggeprisen for en ekstra pumpe er 200,- og viser verdien (økt dekningsbidrag) pr. pumpe.


Hvor mye endres målfunksjonen når tilgang på pumper økes maksimalt?

Maksimal tillatt økning pumper er 7 stk. (uten andre bindende restriksjoner).Da vil ny optimal produksjon være 108 stk. X1 og 99 stk. X2.

Ny verdi på målfunksjonen blir: 350108 + 30099 = 67.500,-Opprinnelig optimal verdi på målfunksjonen: 66.100,-Økt verdi av økt tilgang pumper: 1.400,-Økt verdi pr. pumpe: 1.400,-/7 stk. = 200,- pr. stk.Hver ny pumpe er verd 200,-, som er skyggeprisen på restriksjonen for pumper.

Skyggepris pumper


Skyggepriser

Disse angir endringen i

målfunksjonen,ved én enhets økning i denne

verdien,

hvis endringen er innenfor

disse verdiene.


Skyggeprisen til en restriksjon indikerer hvor mye målfunksjonen endres som følge av en enhets økning i restriksjonens RHS verdi, hvis alle andre koeffisienter forblir konstante.

Skyggeprisene er kun gyldige ved endringer av restriksjonens RHS verdi innenfor verdiene i kolonnene “Allowable Increase” og “Allowable Decrease”.

Skyggepriser for ikke-bindende restriksjoner er alltid null.

Skyggepriser


Skyggeprisene viser kun endringen i mål-funksjonen ved endringer i restriksjonsgrensene.

Endringer av grensen for en bindende restriksjon endrer også mulighetsområdet og de optimale verdiene på beslutningsvariablene.

For å finne de nye optimale verdiene på beslutningsvariablene etter endring av en bindende restriksjonsgrense, må en løse problemet på nytt.

Endringer i restriksjonens RHS verdi


Økt arbeidskapasitet

X1

X2

200

200


261

174


Opprinnelig mulighetsområde180

240

Bruk av rør: 12X1 + 16X2 = 2880

Flere arbeidstimer: 9X1 + 6X2 = 1728

Utvidet mulighetsområde

Ny optimal løsning


Anta at en ny varmtvannsbereder (Typhoon-Lagoon) vurderes. Den har et dekningsbidrag på $320 pr. stk. og krever:

1 pumpe (skyggepris = $200)8 timer arbeid (skyggepris = $16,67)13 dm rør (skyggepris = $0)

Q: Er det lønnsomt å produsere noen ?A: $320 - $200*1 - $16,67*8 - $0*13 = -$13,33 = Nei!

Merk at vi nå har beregnet Reduced Cost.

Praktisk bruk av skyggepriser


Nytt produkt


Reduced Cost

Reduced Cost er lik profitten pr. enhet (verdien i målfunksjonen) minus verdien av ressursene som forbrukes (priset til skyggeprisene)


Skyggeprisen for en ekstra time arbeid er lik $16,67. Den er gyldig for økninger i arbeidstiden på opp til 234 nye timer.

Hvis arbeid er en variabel kostnad, så er lønnskostnaden inkludert i db/stk., og skyggeprisen angir ekstraverdien av arbeid utover ordinær lønnskostnad. Vi er da villig til å betale en timepris som er $16,67 mer enn ordinær timepris.

Hvis arbeid er en fast kostnad som ikke er inkludert i målfunksjonen, så er vi kun villig til å betale $16,67 pr. ekstra time.

Praktisk bruk av skyggepriser


Reduced Cost til en beslutningsvariabel angir hvor mye koeffisienten i målfunksjonen må endres for at variabelen skal komme med i optimal løsning.

For variabler som inngår i den optimale løsningen er følgelig Reduced Cost = 0.

Reduced Cost for hvert produkt er lik profitten pr. enhet minus verdien av ressursene som forbrukes (priset til skyggeprisene).

Reduced Cost ved standard LP formulering


Reduced Cost i Solver

Type av problemOptimal verdi på beslutningsvariablene

Optimal verdi på Reduced Cost

Maksimeringlik enkel nedre grense ≤ 0mellom øvre og nedre grenser = 0lik enkel øvre grense ≥ 0 (skyggepris)

Minimeringlik enkel nedre grense ≥ 0 (skyggepris)mellom øvre og nedre grenser = 0lik enkel øvre grense ≤ 0


For variabler som ikke inngår i den optimale løsningen angir Reduced Cost hvor mye koeffisienten i målfunksjonen må endres for at variabelen skal komme med i optimal løsning. (samme som ved standard LP).

For variabler som inngår i optimal løsning, og med verdi lik sin direkte nedre elle øvre grense, angir Reduced Cost skyggeprisen for denne bindende restriksjonen. (Variabler med Bounds.)

Øvrige variabler som inngår i optimal løsning har Reduced Cost lik 0.

Reduced Cost i Solver


Totalverdien av ressursene vurdert til skyggeprisene er lik totalverdien av produktene som produseres (dvs. optimal verdi av målfunksjonen).

Ressurser som ikke brukes fullt ut har en skyggepris (marginalverdi) lik null.

Et produkts Reduced Cost er lik differansen mellom produktets fortjeneste og alternativkostnaden for de ressurser det forbruker.

Produkter med en fortjeneste som er mindre enn alternativ-kostnaden til de ressurser det forbruker vil ikke inngå i den optimale løsningen. (Reduced Cost er negativ.)

Viktige poenger


Verdi ressurser = Verdi produksjonRessurs Mengde Verdi Total verdi

Pumper 200 200,00 40.000,-

Arbeid 1566 16,67 26.100,-

Rør 2880 0,00 0,-

Total verdi ressurser 66.100,-

Produkt Mengde Verdi Total verdi

Aqua Spa 122 350,00 42.700,-

Hydro Lux 78 300,00 23.400,-

Total verdi produksjon 66.100,-

Totalverdien av ressursene vurdert til skyggeprisene er lik totalverdien av produktene som produseres (dvs. optimal verdi av målfunksjonen).


Q: Anta at en Typhoon-Lagoon kun trenger 7 arbeidstimer isteden for 8. Er det nå lønnsomt å produsere noen?A: $320 - $200*1 - $16,67*7 - $0*13 = $3,31 = Ja!

Q: Hva er den største arbeidstiden Typhoon-Lagoons kan bruke og likevel være lønnsom?A: Da må $320 - $200*1 - $16,67*L3 - $0*13 >=0

Det holder så lenge L3 <= $120/$16,67 pr. time

= 7,20 timer.

Vi har nå analysert aij, dvs. restriksjonskoeffisienten.

Endringer i restriksjonskoeffisienter


100% Regelen kan brukes til å avgjøre om optimal løsning endres når mer enn én koeffisient i målfunksjonen endres.

Vi kan ha to situasjoner:Tilfelle 1: Alle variablene med endret koeffisient har Reduced Cost forskjellig fra null.(Ingen av variablene inngår i optimal løsning.)Tilfelle 2: Minst en variabel med endret koeffisient har en Reduced Cost lik null.(Minst en av variablene inngår i optimal løsning.)

I Tilfelle 1 forblir optimal løsning uendret så lenge alle endringene ligger innenfor sine Allowable Increase eller Allowable Decrease.

Simultane endringer i målfunksjonen


I Tilfelle 2, beregn for hver variabel:

Simultane endringer i målfunksjonen

,hvis 0

r

,hvis < 0

c jc jI j

j c jc jD j

Beregn økningen eller reduksjonen i forhold til tillatt økning eller reduksjon.

Hvis summen av alle %-vise endringer er ≤ 100%, vil optimal løsning forbli uendret.

Beregn økningen eller reduksjonen i forhold til tillatt økning eller reduksjon.

Hvis summen av alle %-vise endringer er ≤ 100%, vil optimal løsning forbli uendret.

Hvis mer enn en koeffisient i målfunksjonen endres, vil optimal løsning forbli uendret sålenge alle rj summers til £ 1. (Merk at hvis alle rj summeres til > 1, kan løsningen

også forbli uendret, men det er ikke garantert.)


100% regelen kan også brukes til å avgjøre om skyggeprisene og Reduced Cost endres når mer enn én høyreside av restriksjonene endres:

Vi kan ha to situasjoner:Tilfelle 1: Ingen restriksjoner med endret høyreside er bindende.Tilfelle 2: Minst en restriksjon med endret høyreside er bindende.

I Tilfelle 1 forblir optimal verdien på målfunksjon, beslutningsvariabler og skyggepriser uforandret, sålenge hver høyreside forblir innenfor tillatte endringer.

I Tilfelle 2:Beregn %vis endring for hver restriksjon i forhold til tillatt reduksjon eller økning.Hvis sum %vis endring ≤ 100%, så forblir skyggeprisene og Reduced Cost uendret. (Men optimale verdier på beslutningsvariablene vil endres.)

Simultane endringer i restriksjonsgrensene.


Løsningen til et LP problem er degenerert hvis Allowable Increase eller Decrease er lik null (0) for noen restriksjoner (tabellen ”Constraints”).

Når en løsning er degenerert:1. Da kan vi ikke finne ut om det eksisterer alternative

optimale løsninger på samme måte som vi beskrev tidligere.

2. Reduced Costs for beslutningsvariablene vil ikke lenger være unike. Koeffisientene i målfunksjonen må nå endres minst så mye som (sannsynligvis mye mer enn) Reduced Cost for at optimal løsning skal endres.

Degenererte løsninger; Vær obs!


Når en løsning er degenerert (forts.)

3) Kolonnene Allowable Increase og Allowable Decrease for koeffisientene i målfunksjonen vil som regel angi for små verdier.

4) Skyggeprisene er ikke lenger unike: Ett sett skyggepriser gjelder for økninger i

restriksjonsgrensene. Et annen sett av skyggepriser gjelder for

reduksjoner av restriksjonsgrensene.

Degenererte løsninger


Degenerert løsning

Hvis noen av disse er lik 0

så er løsningen degenerert.

Sensitivitetsanalysen er da villedende !


Degenerert problem grafisk

X1

X2

207

207


261

174


180

240

Bruk av rør: 12X1 + 16X2 = 2880

122

78

Degenerert løsning fordi mer enn to restriksjoner bestemmer optimalpunktet.

Nivåkurve:DB =350X1 + 300X2


Når et LP-problem er degenerert kan optimal løsning bestemmes på flere måter: det er flere bindende restriksjoner enn det er ukjente variabler, vi har et overbestemt ligningssystem.

Hvilke bindende restriksjoner som utelates for å bestemme optimal løsning påvirker hvilke skyggepriser som blir beregnet.

Bindende restriksjoner som utelates får en skyggepris på 0, men er likefullt bindende.

Årsak til vansker ved degenererte problem


Degenerert problem i regneark

Det er umulig å oppdage fra løsningen at problemet er

degenerert.


Her ser vi at det er degenerert

Når noen av disse er lik 0, så er problemet

degenerert !!


Sensitivitetsanalysen er villedende !

Og disse verdiene er

ofte feil.

Disse grensene er

ofte for små.


Mangelfull sensitivitetsanalyse

Ved degenererte løsninger finnes det to sett av skyggepriser for restriksjonene: • ett for reduksjoner i RHS• ett for økninger i RHSVi har fått oppgitt en blanding.

Skyggeprisen gjelder:Reduksjon Økning


Multiple optimale løsninger grafisk

X1

X2

200

200


261

174


180

240

Bruk av rør: 12X1 + 16X2 = 2880

122

78

Multiple optimale løsninger når nivåkurven til målfunksjonen blir parallell med en bindende restriksjon

Nivåkurve:DB =350X1 + 350X2


Multiple løsninger i regneark

Vi kan se at problemet har alternative optimale løsninger :Koeffisientene i målfunksjonen (Dekningsbidrag) er 350 ganger koeffisientene i restriksjonen for pumper; dvs. den er parallell med en restriksjon som er bindende.

Bindende restriksjoner


Sensitivitetsanalysen er mangelfull

Alternative løsninger hvis noen

av disse er lik 0.

Da finnes det flere alternative

løsninger for disse:

Og disse grensene er ofte for små.


Løs problemet på vanlig måte.Hvis Allowable Increase/Decrease=0 for noen koeffisienter i målfunksjonen:

Kopier regnearket til et nytt ark, og reformuler Solver-oppsettet:

Endre målfunksjonen: Maksimer eller minimer verdien på en av beslutningsvariablene.Ny restriksjon: Verdi gammel målfunksjon lik optimal verdi opprinnelig problem.

Løs den nye modellen.

Finne alternative løsninger


Finne alternativ optimal løsning

Maksimer verdien på en «liten» variabel

Legg til en restriksjon slik at målfunksjonen ikke blir dårligere enn før.


Bounds: restriksjoner direkte på beslutningsvariablene

Bounds: Restriksjoner direkte på beslutningsvariablene

(Må produsere minst så mange som bestilt)


Sensitivitetsanalyse av Bounds mangler

Restriksjoner direkte på beslutningsvariablene

(Decision variable cells) er utelatt!

Skyggeprisen angitt under Reduced

Cost.


Alternativ formulering I:

Lag en ny dummy-variabel:Antall solgt (= Antall produsert)

Flytt leveringsrestriksjonen til den nye dummy-variabelen.


Full sensitivitetsanalyse

Sensitivitetsanalyse også av restriksjonene

på leveringsbetingelsene


Alternativ formulering II:

Standard LP-modell:En linje for hver restriksjon


Full sensitivitetsanalyse

Sensitivitetsanalyse på alle restriksjonene


Vi kan benytte RSP’s mulighet til å kjøre multiple optimiseringer for ulike parameterverdier, for å utføre ad hoc sensitivitetsanalyse, slik som:

Spider Tables & Plots Sammendrag av optimal verdi for én output celle ved individuelle endringer i flere input celler.

Solver TablesSammendrag av optimal verdi for flere output celler ved endringer i én input celle.

Ad Hoc sensitivitetsanalyse


For å variere hver av p forskjellige parametere med v ulike verdier krever totalt p*v optimeringer (Fig 4-12)

PsiCurrentOpt( ) - returnerer gjeldende optimering # (O#) Celle B27

INT( (O# -1)/v )+1 - returnerer gjeldende parameter # (P#) Celle B28

O# - v *(P# -1) - returnerer gjeldende iterasjon # Celle B29

Spider Tables & Plots


Spider Table

Vilkårlige endringer


Finne optimale verdier for p forskjellige verdier av en parameterstørrelse. (Pumper tilgjengelig)

PsiOptParam( ) brukes til å angi ulike verdier for en input celle ved ulike optimeringer.

PsiOptValue( ) returnerer verdien for en output-celle ved de ulike optimeringene.

Solver Tables


Solver Table

Vilkårlige endringer


Sensitivitetsanalyse restriksjonene

X1

X2

200

200


261

174


180

240

Bruk av rør: 12X1 + 16X2 = 2880

122

78

Sensitivitetsanalysen viser hvor store endringene i høyresidene på restriksjonene kan være før vi får andre bindende restriksjoner.

Ad-hoc sensitivitetsanalysen endrer verdiene i vilkårlige gitte trinn. Disse vil bare tilfeldigvis sammenfalle med tillatte økninger og reduksjoner.


Tradisjonell sensitivitetsanalyse antar at alle koeffisientene i en modell er kjent med sikkerhet.

Optimale løsninger på randen av mulighetsområdet gjør løsningene sårbare for endringer.

En “robust” løsning av et LP problem finnes inne i mulighetsområdet, og forblir mulig og rimelig god for moderate endringer i koeffisientene.

Robust optimering


For LP problemer har RSP støtte for usikkerhet i restriksjonskoeffisienter via “uncertainty set (USet) chance constraints”

For eksempel, anta…Arbeidsbehovet for hver varmtvannstank varierer likt fra +/- 15 minutter (0,25 timer) fra de opprinnelige estimateneMengden av rør pr varmtvannstank varierer likt fra +/- 6 inches (0,5 feet) fra opprinnelige estimater.

Chance Constraints


Robust optimering


MAX (eller MIN): c1X1 + c2X2 + … + cnXn

Slik at: a11X1 + a12X2 + … + a1nXn <= b1

:

ak1X1 + ak2X2 + … + aknXn >= bk

:

am1X1 + am2X2 + … + amnXn = bm

LP på generell form


Ved simplex metoden må alle ulikheter konverteres til likheter ved å legge til slakk-variabler til <= restriksjoner, og trekke fra overskuddsvariabler fra >= restriksjoner.

Eksempelvis: ak1X1 + ak2X2 + … + aknXn <= bk

konverteres til: ak1X1 + ak2X2 + … + aknXn + Sk = bk

Og: ak1X1 + ak2X2 + … + aknXn >= bk

konverteres til: ak1X1 + ak2X2 + … + aknXn – Sk = bk

Simplex metoden


For vårt eksempel...Max 350X1 + 300X2 Dekningsbidrag

S.T.: 1X1 + 1X2 +1S1 = 200 Pumper

9X1 + 6X2 +1S2 = 1566 Arbeid

12X1 16X2 +1S3 = 2880 Rør

X1 >= 0

X2 >= 0

S1 >= 0

S2 >= 0

S3 >= 0

Hvis det er n variabler i en modell med m restriksjoner, (der n>=m) kan vi velge vilkårlig m variabler og så løse ligningene (ved å sette de gjenværende n-m variablene lik 0.)


Ordne ligningene på tabell-form. (Simplex-tabell)

350X1 + 300X2 + 0S1 + 0S2 + 0S3 Max

1X1 + 1X2 + 1S1 + 0S2 + 0S3 = 200

9X1 + 6X2 + 0S1 + 1S2 + 0S3 = 1566

12X1 +16X2 + 0S1 + 0S2 + 1S3 = 2880

• Velg som basisvariabler de som har koeffisienten 1 i en kolonne og øvrige koeffisienter i kolonnen lik 0.

• Sett alle andre variabler lik 0. Ligningsystemet er løst !• Velg som ny basisvariabel den som har størst koeffisient i målfunksjonen.• Utgående variabel bestemmes slik at ny løsning forblir mulig, samtidig som ny

variabel får størst mulig verdi.

Ligningene for Simplex-metoden


Basis Ikkebasis VerdiVariabler Variabler Løsning Målfunksjon

1 S1, S2, S3 X1, X2 X1=0, X2=0, S1=200, S2=1566, S3=28800

2 X1, S1, S3 X2, S2 X1=174, X2=0, S1=26, S2=0, S3=792 60,900

3 X1, X2, S3 S1, S2 X1=122, X2=78, S1=0, S2=0, S3=168 66,100

4 X1, X2, S2 S1, S3 X1=80, X2=120, S1=0, S2=126, S3=0 64,000

5 X2, S1, S2 X1, S3 X1=0, X2=180, S1=20, S2=486, S3=0 54,000

6* X1, X2, S1 S2, S3 X1=108, X2=99, S1=-7, S2=0, S3=0 67,500

7* X1, S1, S2 X2, S3 X1=240, X2=0, S1=-40, S2=-594, S3=0 84,000

8* X1, S2, S3 X2, S1 X1=200, X2=0, S1=0, S2=-234, S3=480 70,000

9* X2, S2, S3 X1, S1 X1=0, X2=200, S1=0, S2=366, S3=-320 60,000

10* X2, S1, S3 X1, S2 X1=0, X2=261, S1=-61, S2=0, S3=-1296 78,300

* angir umulig løsning

Forskjellige basisløsninger


Mulige basisløsninger & ekstremalpunkter

X1

X2

Mulige basisløsninger

1 X1=0, X2=0, S1=200, S2=1566, S3=2880

2 X1=174, X2=0, S1=26, S2=0, S3=792

3 X1=122, X2=78, S1=0, S2=0, S3=168

4 X1=80, X2=120, S1=0, S2=126, S3=0

5 X1=0, X2=180, S1=20, S2=486, S3=0

1 2

3

4

5


Simplex metoden starter med å finne en mulig basisløsning til LP problemet, og beveger seg så til et tilgrensende ekstremalpunkt, såfremt dette forbedrer målfunksjonen. Når ingen tilgrensende hjørneløsninger har en bedre verdi på målfunksjonen er den eksisterende basisløsningen optimal, og simplex-metoden stanser.Bevegelsen fra en hjørneløsning til en tilgrensende utføres ved å bytte en av basisvariablene med en ikke-basisvariabel, for å skape en ny basisløsning som tilsvarer den tilgrensende hjørneløsningen.

Sammendrag Simplex-metoden


Slutt på kapittel 4

managerial decision modeling

Documents