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Maurits Cornelis Escher Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Analyse einiger bekannter Bilder Parkettierungen
Escher-Parkettierungen
Manfred Dobrowolski
Universitat Wurzburg
Maurits Cornelis Escher Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Analyse einiger bekannter Bilder Parkettierungen
Escher-Parkettierungen
1 Maurits Cornelis Escher
2 Symmetrien periodischer Parkettierungen
3 Escher-Parkette
4 Analyse einiger bekannter Bilder
5 Parkettierungen der hyperbolischen Ebene
Maurits Cornelis Escher Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Analyse einiger bekannter Bilder Parkettierungen
Maurits Cornelis Escher (1898-1972)
Selbstportrat, Lithographie 1929
Maurits Cornelis Escher Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Analyse einiger bekannter Bilder Parkettierungen
Fruhe Werke
Selbstportrat im Stuhl PapageiHolzschnitt 1920 Linolschnitt 1919
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Erstes Parkett
Acht Kopfe, Holzschnitt 1922
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Italienische Periode 1922-1935
Die Brucke CastrovalvaLithographie 1930 Lithographie 1930
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Im Spiegel
Stilleben mit spharischem Spiegel, Lithographie 1934
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Unmogliche Figuren
Belvedere, Lithographie 1958
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Unmogliche Figuren
Druckgallerie, Lithographie 1956
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Unmogliche Figuren
Wasserfall, Lithographie 1961
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Aus dem Alhambra-Palast1
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Beispiele symmetrischer Kacheln
Spiegelsymmetrische und drehsymmetrische Kacheln
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Beispiele periodischer Parkette
v u
v
Translationssymmetrie
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Beispiele periodischer Parkette
u
u
Gleitspiegelsymmetrie
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Beispiele periodischer Parkette
Dreh- und Spiegelsymmetrie
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Definition des periodischen Parketts
Jede Abbildung, die ein Parkett auf sich selber abbildet, heißtSymmetrie des Parketts.
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Definition des periodischen Parketts
Jede Abbildung, die ein Parkett auf sich selber abbildet, heißtSymmetrie des Parketts.
Ein Parkett heißt periodisch, wenn es in zwei Richtungentranslationssymmetrisch ist.
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Definition des periodischen Parketts
Jede Abbildung, die ein Parkett auf sich selber abbildet, heißtSymmetrie des Parketts.
Ein Parkett heißt periodisch, wenn es in zwei Richtungentranslationssymmetrisch ist.
Ob es nichtperiodische Parkette mit einer Kachel gibt, weiß mannicht.
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Definition des periodischen Parketts
Jede Abbildung, die ein Parkett auf sich selber abbildet, heißtSymmetrie des Parketts.
Ein Parkett heißt periodisch, wenn es in zwei Richtungentranslationssymmetrisch ist.
Ob es nichtperiodische Parkette mit einer Kachel gibt, weiß mannicht.
Jedes periodische Parkett kann weitere Symmetrien besitzen:Spiegelungen, Gleitspiegelungen und Drehsymmetrien.
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Die Symmetriegruppe eines Parketts
Die Symmetrien eines Parketts konnen hintereinander ausgefuhrtwerden. Ferner gibt es zu jeder Symmetrie eine Umkehrung:
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Die Symmetriegruppe eines Parketts
Die Symmetrien eines Parketts konnen hintereinander ausgefuhrtwerden. Ferner gibt es zu jeder Symmetrie eine Umkehrung:
Symmetrie: Umkehrung:
Spiegelung an g Spiegelung an g
Gleitspiegelung an u Gleitspiegelung an −u
Drehung um den Winkel α Drehung um den Winkel −α
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Die Symmetriegruppe eines Parketts
Die Symmetrien eines Parketts konnen hintereinander ausgefuhrtwerden. Ferner gibt es zu jeder Symmetrie eine Umkehrung:
Symmetrie: Umkehrung:
Spiegelung an g Spiegelung an g
Gleitspiegelung an u Gleitspiegelung an −u
Drehung um den Winkel α Drehung um den Winkel −α
Die Symmetrien bilden daher eine Gruppe, Operation ist dieHintereinanderschaltung der Abbildungen.
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Die Untergruppe der Translationen
Sind Tu und Tv die Translationen in die beiden verschiedenenRichtungen u und v , so sind die Translationen um ein (auchnegatives) Vielfaches von u und v ebenfalls Symmetrien.
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Die Untergruppe der Translationen
Sind Tu und Tv die Translationen in die beiden verschiedenenRichtungen u und v , so sind die Translationen um ein (auchnegatives) Vielfaches von u und v ebenfalls Symmetrien.
Tij = TiuTjv , i , j ∈ Z
sind dann ebenfalls Symmetrien, die zur Gruppe (Z2, +) isomorphist. Jede Symmetriegruppe eines periodischen Parketts enthaltdamit diese Untergruppe.
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Die kristallographische Beschrankung
Schreibe Drehwinkel einer Drehung in der Form
α =2π
n=
3600
n.
n heißt Ordnung der Drehung.
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Die kristallographische Beschrankung
Schreibe Drehwinkel einer Drehung in der Form
α =2π
n=
3600
n.
n heißt Ordnung der Drehung.
Satz uber die kristallographische Beschrankung: In jedemperiodischen Parkett gibt es nur Drehungen der Ordnung 2, 3, 4oder 6.
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Beweis der Kristallographischen Beschrankung
P
QP’
Q’
αα
Jede Kongruenzabbildung bildet ein Drehzentrum auf einDrehzentrum gleicher Ordnung ab. Sei P ein Drehzentrum derOrdnung n und Q ein Drehzentrum der Ordnung n mit minimalerEntfernung zu P (=Extremalprinzip).
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Beweis der Kristallographischen Beschrankung
P
QP’
Q’
αα
Jede Kongruenzabbildung bildet ein Drehzentrum auf einDrehzentrum gleicher Ordnung ab. Sei P ein Drehzentrum derOrdnung n und Q ein Drehzentrum der Ordnung n mit minimalerEntfernung zu P (=Extremalprinzip).Wir drehen P um Q mit Winkel α = 2π/n und erhalten den PunktP ′, der nach der vorausgeschickten Bemerkung ebenfalls einDrehzentrum der Ordnung n ist.
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Die 17 ebenen kristallographischen Gruppen
werden folgendermaßen notiert:
Spiegelachse
Gleitspiegelachse
Drehung der Ordnung 2
Drehung der Ordnung 3
Drehung der Ordnung 4
Drehung der Ordnung 6
Ein Escher-Parkett besitzt keine Spiegelachsen, daher kommennicht alle 17 Gruppen vor.
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Gruppe p1
Es gibt nur Translationen, keine anderen Symmetrien.
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Gruppe p2
Hell: Translative ZelleDunkel: Kachel
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Gruppe p3
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Gruppe p4
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Gruppe p6
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Gruppe pg
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Gruppe pgg
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Laves-Netzecharakterisieren periodische Parkette graphentheoretisch. Man gehtim Gegenuhrzeigersinn die Kachel entlang und notiert von jedemKnoten die Zahl der Nachbarknoten.
(6,3,3,3,3)
Anzahl der Ecken der Kachelist daraus auch zu ersehen.
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Die 11 Laves-Netze I
(3,3,3,3,3,3) (6,3,3,3,3) (4,4,3,3,3)
(4,3,4,3,3) (6,4,3,4) (6,3,6,3)
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Die 11 Laves-Netze II
(12,12,3) (4,4,4,4) (8,8,4)
(12,6,4) (6,6,6)
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Definition des Escher-Parketts
Ein Escher-Parkett ist ein Laves-Netz, in dem es keine geradenKanten und keine Spiegelsymmetrien gibt.
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Definition des Escher-Parketts
Ein Escher-Parkett ist ein Laves-Netz, in dem es keine geradenKanten und keine Spiegelsymmetrien gibt.
Die Halfte des Randes wird beliebig vorgegeben. Die andere Halftemuss durch Symmetrieabbildungen aus der ersten Halftehervorgehen:
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Definition des Escher-Parketts
Ein Escher-Parkett ist ein Laves-Netz, in dem es keine geradenKanten und keine Spiegelsymmetrien gibt.
Die Halfte des Randes wird beliebig vorgegeben. Die andere Halftemuss durch Symmetrieabbildungen aus der ersten Halftehervorgehen:
T Linie geht durch Translation aus einer anderen Linie hervorG Linie geht durch Gleitspiegelung aus einer anderen Linie hervorC Linie ist punktsymmetrisch zur MitteCn Linie geht durch Drehung um 2π/n aus einer anderen Linie hervor,
wobei n = 2, 3, 4, 6
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Definition des Escher-Parketts
Ein Escher-Parkett ist ein Laves-Netz, in dem es keine geradenKanten und keine Spiegelsymmetrien gibt.
Die Halfte des Randes wird beliebig vorgegeben. Die andere Halftemuss durch Symmetrieabbildungen aus der ersten Halftehervorgehen:
T Linie geht durch Translation aus einer anderen Linie hervorG Linie geht durch Gleitspiegelung aus einer anderen Linie hervorC Linie ist punktsymmetrisch zur MitteCn Linie geht durch Drehung um 2π/n aus einer anderen Linie hervor,
wobei n = 2, 3, 4, 6
Diese Notation und die Klassifizierung der Escher-Parkette stammtvon Heinrich Heesch (1906-1995).
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Ein Beispiel
A
B
C
DTyp 19
TGTG
Netz (4,4,4,4)
Gruppe pg
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Die 28 grundlegenden Escher-ParketteEcken 6 5 4 3
Netze 333333 63333 43433 44333 6363 6434 4444 666 884 12,12,3
p1
p2
p3
p6
p4
pg
pgg
TTTTTT2
TTTT1
TCCTCC7
CCCC4 CCC
3TCTC5
TCTCC6
C3C3C3C3C3C3
9C3C3C2C2
8
CC3C3C6C6
13C3C3C6C6
12CC6C6
11CC3C3
10
CC4C4C4C4
16C4C4C4C4
15CC4C4
14
TG1G1TG2G2
18G1G1G2G2
17
TG1G2TG2G1
20TGTG
19
TCCTCC24
TCTGG23
CCGG22
CGCG25
CGG21CG1CG2G1G2
28 CG1G2G1G2
27G1G2G1G2
26
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Ecken 6 5 4
Netze 333333 63333 43433 44333 6363 6434
p1
p2
p3
p6
p4
TTTTTT2
TCCTCC7 TCTCC
6
C3C3C3C3C3C3
9C3C3C2C2
8
CC3C3C6C6
13C3C3C6C
12
CC4C4C4C4
16
TG G TG G
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Beispiel Dreieck
Da eine Dreiecksseite eine C-Linie sein muss, haben wir furperiodische Parkette die folgenden Moglichkeiten:
CCC , CC?C?, CGG .
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Beispiel Dreieck
Da eine Dreiecksseite eine C-Linie sein muss, haben wir furperiodische Parkette die folgenden Moglichkeiten:
CCC , CC?C?, CGG .
CTT kannn nicht vorkommen, da zwei Dreiecksseiten immer einenPunkt gemeinsam haben.
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Typ 3
B
AC
Typ 3
CCC
Netz (6,6,6)
Gruppe p2
Die Punkte A,B,C bilden ein beliebiges, nichtdegeneriertes Dreieck.Die Eckpunkte werden durch beliebige C-Linien miteinanderverbunden.
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Typ 10:
A
C
B
1200
Typ 10
CC3C3
Netz (12,12,3)
Gruppe p6
Drehe die frei gewahlte Linie AB in A um 120o in die Position ACund verbinde BC durch eine beliebige C-Linie.
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Typ 10:
A
C
B
1200
Typ 10
CC3C3
Netz (12,12,3)
Gruppe p6
Drehe die frei gewahlte Linie AB in A um 120o in die Position ACund verbinde BC durch eine beliebige C-Linie.
Dies ist der einzige Typ, der von Escher nie realisiert wurde.
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Typ 11
A
C
B
600
Typ 11
CC6C6
Netz (6,6,6)
Gruppe p6
Drehe die frei gewahlte Linie AB in A um 60o in die Position ACund verbinde BC durch eine beliebige C-Linie.
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Typ 14
A
C
B900
Typ 14
CC4C4
Netz (8,8,4)
Gruppe p4
Die Punkte A,B,C bilden ein rechtwinkliges gleichschenkligesDreieck. Eine Kathete wird frei gewahlt und auf die anderegedreht. Die dritte Seite besteht aus einer frei gewahlten C-Linie.
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Typ 21
A
B
CTyp 21
CGG
Netz (6,6,6)
Gruppe pgg
Gleitspiegele die frei gewahlte Linie AB auf BC mit Achse parallelzu AC mit gleichem Abstand zu A und B. Verbinde A und C miteiner beliebigen C-Linie.
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D
CB
A
TTTT
Laves-Netz (4,4,4,4)
Gruppe p1
Typ 1
”Pegasus“, Symmetriezeichnung 105, 1959
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D
C
B
A
G G G G
Laves-Netz (4,4,4,4)
Gruppe pg
Typ 17
1 1 2 2
”Reiter“, The Regular Division of the Plane, 1957
Maurits Cornelis Escher Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Analyse einiger bekannter Bilder Parkettierungen
D
CB
A
C C C C
Laves-Netz (4,4,4,4)
Gruppe p4
Typ 15
4 4 4 4
Symmetriezeichnung 104, 1959
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C C C C C C
Laves-Netz (3,3,3,3,3,3)
Gruppe p3
Typ 9
3 3 3 3 3 3
Symmetriezeichnung 25, 1939
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A
B
C
E
D
F
TG G TG G
Laves-Netz (3,3,3,3,3,3)
Gruppe pg
Typ 18
1 1 2 2
K. Moser: Forellenreigen, 1899
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A
BC
D
C C C CLaves-Netz (6,4,3,4)Gruppe p6Typ 12
3 3 6 6
Symmetriezeichnung 56, 1942
Maurits Cornelis Escher Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Analyse einiger bekannter Bilder Parkettierungen
AB
C
DE
CG G G GLaves-Netz (4,3,4,3,3)Gruppe pggTyp 27
1 2 1 2
Symmetriezeichnung 16, 1942
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Karten
Der Globus lasst sich nicht mit all seinen Eigenschaften auf eineEbene abbilden. Eine Karte heißt
winkeltreu, wenn sie die Schnittwinkel zweier Kurven erhalt,
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Karten
Der Globus lasst sich nicht mit all seinen Eigenschaften auf eineEbene abbilden. Eine Karte heißt
winkeltreu, wenn sie die Schnittwinkel zweier Kurven erhalt,
maßstabstreu, wenn die lokale Langenverzerrung in allenRichtungen die gleiche ist,
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Karten
Der Globus lasst sich nicht mit all seinen Eigenschaften auf eineEbene abbilden. Eine Karte heißt
winkeltreu, wenn sie die Schnittwinkel zweier Kurven erhalt,
maßstabstreu, wenn die lokale Langenverzerrung in allenRichtungen die gleiche ist,
flachentreu, wenn sie alle Flacheninhalte korrekt wiedergibt.
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Karten
Der Globus lasst sich nicht mit all seinen Eigenschaften auf eineEbene abbilden. Eine Karte heißt
winkeltreu, wenn sie die Schnittwinkel zweier Kurven erhalt,
maßstabstreu, wenn die lokale Langenverzerrung in allenRichtungen die gleiche ist,
flachentreu, wenn sie alle Flacheninhalte korrekt wiedergibt.
Langentreue Karten des Globus kann es nicht geben.
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Karten
Der Globus lasst sich nicht mit all seinen Eigenschaften auf eineEbene abbilden. Eine Karte heißt
winkeltreu, wenn sie die Schnittwinkel zweier Kurven erhalt,
maßstabstreu, wenn die lokale Langenverzerrung in allenRichtungen die gleiche ist,
flachentreu, wenn sie alle Flacheninhalte korrekt wiedergibt.
Langentreue Karten des Globus kann es nicht geben.
”Normale“ Karten sind winkel- und maßstabstreu. Es gibt beliebig
viele solcher Karten (=Projektionen), bei denen die Kontinenteimmer etwas unterschiedlich aussehen.
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Geometrien
Eine (ebene) Geometrie besteht aus einer Menge von Punkten,einer Menge von Linien (Geraden) und einer Funktion, Metrik
genannt, die je zwei Punkten einen Abstand zuordnet.
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Geometrien
Eine (ebene) Geometrie besteht aus einer Menge von Punkten,einer Menge von Linien (Geraden) und einer Funktion, Metrik
genannt, die je zwei Punkten einen Abstand zuordnet.
Fur diese Geometrie gelten die ublichen Regeln: Durch zweiverschiedene Punkte lasst sich genau eine Linie ziehen, zwei Linienschneiden sich hochstens in einem Punkt, die Strecke ist diekurzeste Verbindung zweier Punkte und so weiter.
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Geometrien
Eine (ebene) Geometrie besteht aus einer Menge von Punkten,einer Menge von Linien (Geraden) und einer Funktion, Metrik
genannt, die je zwei Punkten einen Abstand zuordnet.
Fur diese Geometrie gelten die ublichen Regeln: Durch zweiverschiedene Punkte lasst sich genau eine Linie ziehen, zwei Linienschneiden sich hochstens in einem Punkt, die Strecke ist diekurzeste Verbindung zweier Punkte und so weiter.
Euklidisches Parallelenaxiom: Zu jeder Geraden g und jedemPunkt P, der nicht auf g liegt, gibt es genau eine Parallele g ′
durch P.
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Geometrien
Eine (ebene) Geometrie besteht aus einer Menge von Punkten,einer Menge von Linien (Geraden) und einer Funktion, Metrik
genannt, die je zwei Punkten einen Abstand zuordnet.
Fur diese Geometrie gelten die ublichen Regeln: Durch zweiverschiedene Punkte lasst sich genau eine Linie ziehen, zwei Linienschneiden sich hochstens in einem Punkt, die Strecke ist diekurzeste Verbindung zweier Punkte und so weiter.
Euklidisches Parallelenaxiom: Zu jeder Geraden g und jedemPunkt P, der nicht auf g liegt, gibt es genau eine Parallele g ′
durch P.
Hyperbolisches Parallelenaxiom: Zu jeder Geraden g und jedemPunkt P, der nicht auf g liegt, gibt es mindestens zwei Parallele g ′
und g ′′ durch P.
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Hyperbolische Geometrie
Durch das hyperbolische Parallelenaxiom und die ubrigen Axiomeder euklidischen Geometrie ist die hyperbolische Geometrieeindeutig bestimmt. Es gibt keine einfache Darstellung dieserGeometrie, sondern nur unterschiedliche Karten wie esunterschiedliche Karten des Globus gibt.
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Karte der hyperbolischen Geometrie in der oberen Halbene
P
P
Q
”Punkte“: Punkte der oberen Halbebene ohne die Punkte der
Stutzgeraden.
”Geraden“: Alle Halbstrahle und Halbkreise, die mit der
Stutzgeraden einen rechten Winkel bilden.
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Karte der hyperbolischen Geometrie in der oberen Halbene
P
P
Q
”Punkte“: Punkte der oberen Halbebene ohne die Punkte der
Stutzgeraden.
”Geraden“: Alle Halbstrahle und Halbkreise, die mit der
Stutzgeraden einen rechten Winkel bilden.
Diese Karte ist winkel- und maßstabstreu.
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J. Leys: Monsters, 2005
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Transformation auf den Einheitskreis
Wir bilden die obere Halbebene auf den Einheitskreis der Ebenemit Hilfe einer Mobius-Transformation ab, namlich in komplexerSchreibweise
z 7→z − i
z + i,
was sich weniger elegant reell schreiben lasst,
(
x
y
)
7→1
x2 + (y + 1)2
(
x2 + y2− 1
−2x
)
.
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Transformation auf den EinheitskreisDie Mobius-Transformation ist winkel- und maßstabstreu, sie bildetKreise/Geraden auf Kreise/Geraden ab:
(0,0)
(0,1) (1,0)
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Transformation auf den EinheitskreisDie Mobius-Transformation ist winkel- und maßstabstreu, sie bildetKreise/Geraden auf Kreise/Geraden ab:
(0,0)
(0,1) (1,0)
”Punkte“: Punkte innerhalb des Einheitskreises
”Geraden“: Kreissegmente des Einheitskreises, die den Rand
im rechten Winkel schneiden.
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Circle Limit III, 1959 Circle Limit IV, 1960