manual 2014-i 02 matemática ii gn (1530)

8/12/2019 Manual 2014-I 02 Matemtica II GN (1530)

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MATEMTICA II

Segundo ciclo2013


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2

CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC

ndice

Presentacin

Red de contenidos

Unidad de aprendizaje 1

1.1. Tema 1 : Inecuaciones

1.1.1

1.1.2

1.1.3

1.1.41.1.5

: Desigualdad

Inecuacin

Inecuacin lineal de una sola variable

Inecuacin de segundo grado ( mtodo punto crtico)Inecuacin de orden superior( factor con exponente par e

impar)

7

7

7

1117


2.1 Tema 2 : Plano cartesiano y ecuacin de la recta.

2.1.1

2.1.2

2.1.3

Distancia entre dos puntos - punto medio de un segmento

Angulo de inclinacin, rectas paralelas y perpendiculares

Ecuacin de la recta: punto pendiente, dados dos puntos

28

37

402.2 Tema 3

2.2.1

2.2.2

2.2.3

2.2.4

: La parbola

Definicin

Ecuacin cannica

Ecuacin ordinaria

Ecuacin general

47

48

52

53


3.1 Tema 4

3.1.1

3.1.2

: Dominio y Rango

Definicin de funcin

Dominio y rango

60

63

3.2 Tema 5

3.2.1

3.2.2

3.2.3

3.2.4

: Funciones bsicas:

Funcin constante

Funcin Identidad

Funcin Lineal

Funcin valor absoluto

70

70

71

71


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MATEMTICA II 3

CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES

3.2.5

3.2.6

Funcin raz cuadrada

Funcin cuadrtica.

72

72


4.1 Tema64.1.1

4.1.2

4.1.3

: Lmites de funcionesDefinicin

Lmites indeterminados: polinmicas y con radicales

Lmites en el infinito

81

82

84


5.1 Tema7 : La Derivada

5.1.1

5.1.2

Interpretacin de la derivada, definicin

Derivada de funciones algebraicas ( teoremas bsicos )

91

93


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4


Presentacin

MatemticaII pertenece a la lnea formativa, analtica y de solucin deproblemas, propios del clculo diferencial y se dicta en todas las CarrerasProfesionales de Cibertec. El curso brinda un conjunto de herramientasalgebraicas y geomtricas que permitirn el desarrollo de las capacidades deabstraccin y de resolucin de problemas. La forma didctica en quepresentamos los temas permitir que sea un material complementario paraafianzar el aprendizaje de nuestros alumnos.

El presente manual de matemtica II, ha sido diseado bajo la modalidad deunidades de aprendizaje (UA), las que se desarrollarn durante las 15 semanasde clases programadas. En cada una de ellas, se hallarn los logros que sedeben alcanzar al final del desarrollo de la unidad. El tema tratado de cada UA,ser ampliamente desarrollado tanto en el fundamento terico del tema, como enla parte prctica, los mismos que tendrn problemas desarrollados, problemaspropuestos y auto-evaluaciones que en su mayora son problemas deevaluaciones continuas, parciales y finales propuestas en semestres pasados.Las sesiones de aprendizaje fomentarn la participacin activa de los alumnos

mediante ejercicios dirigidos, dinmicas individuales y grupales, adems de laprctica de ejercicios y problemas tipos, que le garanticen un nivel ptimo deaprendizaje. Se utilizarn controles de desempeo con el fin de promover eltrabajo en equipo, el pensamiento crtico, la argumentacin y justificacin de susideas as como la comunicacin

El curso es de naturaleza prctica. Se inicia resolviendo inecuaciones lineales yde grado superior; luego en el plano cartesiano, aprenderemos a construirgrficas de rectas y parbolas, as como reconocer dichas elementos a partir de

sus ecuaciones. Del mismo modo, se analizarn las grficas y el comportamientoen el plano de funciones algebraicas. Se analizarn el lmite de un funcin yfinalmente saber calcular la derivad a de una funcin, a fin de hallar y manejarlas diferentes aplicaciones del clculo diferencial.


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RED DE CONTENIDOS

INECUACIONES

MATEMATICA II

GEOMETR AANALITICA FUNCIONES LMITES DERIVADAS


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DESIGUALDADES E INECUACIONES

LOGRO DE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE

Al trmino de la unidad, el alumno resuelve inecuaciones mediante elempleo de las grficas del conjunto solucin en la recta de los nmerosreales y el mtodo de los puntos crticos, aplicando para ello, teoremassobre desigualdades y las propiedades de los factores de potencia yfactores cuadrticos.

TEMARIO

TEMA 1: INECUACIONES1.1 Desigualdad1.2 Inecuacin

1.3 Inecuacin lineal de una sola variable.1.4 Inecuaciones de segundo grado (mtodo de puntos crticos)1.5 Inecuaciones de grado superior: factor elevado a exponente

par e impar.

ACTIVIDADES PROPUESTAS

Los alumnos, por medio de exposiciones y resolucin de ejercicios por parte delprofesor, trabajarn de manera grupal y obtendrn los resultados a los ejerciciospropuestos para la clase.

Los alumnos resolvern ejercicios propuestos para que lo desarrollen en su

domicilio y se revisar en la prxima clase.

UNIDAD DE

APRENDIZAJE

1


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MATEMTICA II 7


TEMA 1: INECUACIONES

1.1 Desigualdad

Una desigualdad es una relacin que existe entre cantidades que tiene diferente

valor. Esta relacin puede ser:

mayor que (>) ; mayor o igual que ( )menor que (


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8


5x + 5 - 4x + 12 > 10x + 30 - 20x + 80

5x - 4x -10x + 20x > 30 + 80 - 5 - 12

11x > 93

x >11

93

- 0 93/11 +

o

] [

Problemas propuestos para la clase

1) Determine el conjunto solucin de las siguientes inecuaciones:

a) 7x33

5x2

b) x5

4

1x

3

2x

c)

3

1x2

4

1

2

x

2) Halle el conjunto solucin de:

a) 4 (7x)3 (1x) > 5 ( x + 2 )

b) 3 (x - 5)4 (43 x ) 2 ( 7x )3 ( x5 )

3) Resuelva las siguiente inecuacin:

5 x - 2 < 10 x + 8 < 2 x - 8


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10


Como la expresin es menor que cero , el conjunto solucin ser el intervalo quetiene el signo menos.

C.S. : ]-1/2 , 3[



a) 13x6

9x3

b ) 0392

xx

c ) 0x84

8x2

2) Halle AB si :

4

7

x322/RxB;

1x

xx/RxA

2

3) Halle PQ si:

1423562/;1613

2

1

/

2

xxxxRxQx

xx

RxP


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MATEMTICA II 11


1.4 Inecuaciones cuadrticas

Son inecuaciones que tienen la siguiente forma:

; a0

Teorema: Si x es un nmero real pero diferente de cero entonces

a) Inecuaciones cuadrticas factorizables

Ejemplo: Resuelva: 0342 xx

Resolucin:

Factorizando la expresin:( x3 ) ( x1 ) 0

Empleando el mtodo de los puntos crticos : 3 y 1 ( puntos crticos cerrados )

Como la expresin es mayor o igual a cero, entonces el conjunto solucin est dadopor la unin de los intervalos que tengan el signo ms:

C.S. = [- , 1] U [3 , + ]

0202 cbxaxcbxax o

0x2


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12




010xx2 2

2) Resuelva:

02xx3 2

3) Halle :siBA

37xx2x3/RxA 222 ; 222 3x2x1x/RxB

4) Halle PQ si:

3x3x22x1x/RxP 22 303x51x/RxQ 2


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MATEMTICA II 13


b) Inecuaciones cuadrticas no factorizables

Para resolver este tipo de inecuaciones, se emplea el mtodo de completarcuadrados, pero teniendo en cuenta las siguientes propiedades:

1)

Ejemplos:

CERO.que

menoronegativonmerounresultadocomod27xquetalxrealnmeroningnexisteNo

Falso!027xdoFactorizan:Solucin

0.4914x2x:Resolvere)

.3sersolucinconjuntoelLuego,0.23-x3xparasperoCERO)

quemenordecir,(esnegativosea23-xquetalxlvalor reaningnhayNo023-xd)R.:solucinconjuntoelluego

CERO,aigualopositivoes21xqueresultaxdevalorcualquierPara021xc)

0502

5b)

09023a)

C.S :

2)

Ejemplo: Resuelva: x2 25debe ser positivo.

Solucin:

Si x R entonces x20

mxm-:Entonces

positivo.seamcuandoysiempremxSi 2

5x5

25x25entonces25xSi

mxmentoncesmxSi

2

2

5,5x.S.C


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14


3)

Ejemplo: Resuelva: x2

49

Solucin:

Grficamente:

-7 7 +-

Ahora, aplicaremos el mtodo de COMPLETAR CUADRADOS. Aqu se recomienda

que el coeficiente del trmino cuadrtico sea UNO.

Ejemplo: Resuelva 04xx2 2

Resolucin:

2042 2 xx

02

2

4

12

4

1x

2

12x

:cuadradosoCompletand

02x

2

12x

0216

1

4

1 2

x

4

331x

4

331x

4

33

4

1x

4

33

4

1x

16

33

4

1x

16

33

4

1x

16

33

4

1x

016

33

4

1x

2

2

,

4

331

4

331,xCS

mxmx:Entonces

positivo.seamcuandoysiempremxSi 2

7x7x

49x49xentonces49xSi

mxmxentoncesmxSi

2

2

,77,xCS


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MATEMTICA II 15


Problemas propuestos para la casa

1) Halle el conjunto solucin de la siguiente inecuacin:072xx2

2) Cuntos valores enteros satisfacen a la siguiente inecuacin?

02x2x2

3) Sean los conjuntos:

04xx3/RxB

015x2x/RxA

2

2

Halle A B


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16


4 . Resuelva:

1. 2x + 5 > 4x -7 Rpta x 6,

2. 15

5

1

2

xxRpta x 5,21,5

3. 3(x2) + 2x(x +3) > (2x - 1)(x + 4) Rpta x ,1

4. 2x +7 < 6x - 5 Rpta x ,3

5. xx2

153

4

1 Rpta x ,1451

6. 3x2 - 11x + 5 > 0 ; Rpta x

,

6

6111

6

6111,

7. Determine: A BAB , , A-B y B-A , sabiendo que :

A= 47,3015,47,20 y B= 50,4030,70,12


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MATEMTICA II 17


PARb)(ax

IMPARb)(ax

1,1,2RxCS

1.5 Inecuaciones de orden superior: con factor elevado a potenciapar, impar y factor cuadrtico.

a) Factor lineal elevada a potencia PAR

Son de la forma:

Para simplificar o eliminar el exponente, se debe tener en cuenta el siguienteteorema:

Lo que quiere decir que el factor es mayor o igual a cero.

Ejemplo: Resuelva:

0

1x

1x2x50

1002

Solucin:

; Restricciones:

x-2 valores que no puede tomar x porque hara

x-1 CERO el factor y la pregunta es MAYORx 1 que CERO.

b) Factor lineal elevada a potencia IMPAR

Son de la forma ; para simplificar o eliminar el exponente, se

copia solamente la base y se saca los puntos crticos para graficarlo y resolverlo.

Ejemplo: Resuelva:

0

3x2

2xx2x101

6531

Solucin: Se copia solamente la base de cada factor:

0

3x2

2xx2x

0xRxSi 2

0

1x

1x2x

50

1002

++

+


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18


0cbxax2

P.C. =

2

3,2,0,2

+-

- + -+ +

-2 -3/2 0 2

c) Factor cuadrtico

Son de la forma ; a 0. Este caso ya lo hemos estudiado en laque establecimos que se debe factorizar en todos los casos.

Ejemplo: Resuelva:

0

7xx8

1x2x5x32

22

Solucin: Factorizando el numerador y denominador:

8

7,1,1,

3

2..

1Re;0

17811123

CP

xstriccin

xxxxxx

+-

- + -+ +

-1 -7/8 2/3 1

2,02

3,2xCS

,1

3

2,

8

71,xCS


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MATEMTICA II 19


Ejemplo: Resuelva:

0

5x4x5x

21x3x4x4x

269

40220

Solucin:

5,2

1.C.P

05x

2

1x

1x

3x

4x

:sstriccioneRe

05x4x5x

2

1x1x3x4x

269

404020

El factor cuadrtico x2-4x+5siempre es positivo paracualquier valor de x. Adems su

determinante es D< 0.se descarta este factor.

+ + +

+

4,3,12

1,5

xCS

-

-+

-5 1/2 +

+


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20



1) Resuelva:

0

8x6x

3x2x5x1x

20

19310

2) Resuelva:

03x4x

3

1x2x3x1x

5040

3120

3) Resuelva:

0

3x9x4x

5x1x4x212

602

4) Resuelva:

0

106

934452

6125022

xxx

xxxxx


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MATEMTICA II 21


Problemas propuestos para la casa

I. Inecuaciones de primer grado

1. Si se tiene:

A = { xR / 1 -2x [ -11, 11> }

B = { xR / 6x + 2 + 4 4x + 18 + 3x }

2

C = { xR / (x + 1)2> ( x - 1)2}

D = { xR / x + 7 2 + 2x + 16 }

3Halle: CBDAK

2. Si se tiene:

A = { x R / 2 0

c) (x2+ 4x +5) (x-3)2(x) (x+1) < 0

d) x5+ 5x4+ 7x3-x2- 8x - 4 > 0

e) (x3- 1)3(x4- 1) (-x2+ x) (-x - 2)2< 0


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22


4. Inecuaciones racionales:Resuelva:

a) (x-8) (x-5) (x+ 3) (x+2) (x-10 0(x + 5) (x - 2) (x -11)

b) (x-2)3(x+1)2(x-1)> 0x3-3x2+ 3x - 1

c) (x2+ x - 6) (x2- x- 6)0(x2+ 4) (x2-16)

d) 2x + 12x - 3x + 3 x + 1

5. Resuelva:

(x2- 1)3 (x3 - 13x + 12) _ 0(x + 4)5(x3+ 8x2+ 4x48)

6. Resuelva:

(x + 5)3(x + 1)4(x + 2) (x2- 7x + 12) (8 - x)40(x + 7)6( x - 8) (x3- 8) (x2 - 14x + 48)

7. Un carpintero hizo cierto nmero de mesas. Vendi 70 y le quedan por vender msde la mitad. Hace, despus, 6 mesas ms y vende 36, por lo que le quedan menosde 42 mesas por vender. Cuntas mesas ha hecho el carpintero?

8. Si al doble de la edad de Tovar se le resta 17 aos, resulta menor que 39; pero si ala mitad de la edad se le suma 3, resulta mayor que 15 Cul es la edad de Tovar?


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MATEMTICA II 23


Ejercicios adicionales

1) Resuelva: 02x3x4x4x 12x13x6xx 1002232

2) Resuelva:

01x3x3x

x91x2x23

29069

02x1xx2x

1x2x2x1x2x/RxB

2,2x22/RxA:Sea)3

342

222

Halle AB

CBAHalla

02xx2x/NxC

3

1x42x2

2

x3/ZxB

2,2x24/ZxA)4

45


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24


Resumen

Desigualdades.- Es una relacin que existe entre dos cantidades.

Inecuaciones Lineales.- Para resolverlas, tenemos que tomar en cuenta laspropiedades. Estas nos permiten mantener o variar el sentido de la desigualdad.Al resolver una inecuacin obtenemos un conjunto infinito de respuestas.

Inecuaciones Cuadrticas.- Son de la forma 2 0ax bx c . Estas pueden ser:

a) Factorizables.- Aquellas que se convierten en producto de factores; proceso:obtener sus puntos crticos, ubicarlo en la recta real y, finalmente, sombrearlopara obtener el conjunto solucin.

b) No factorizables.- Para resolverlas, tenga presente: Completar cuadrados Aplicar uno de los siguientes teoremas, segn sea el caso:

Si 2x m m x m

Si 2x m x m x m

Factor elevado a potencia PAR e IMPAR:

a) PAR.- Para eliminar la potencia, tenga presente si2

0x R x b) IMPAR.- Toda potencia impar se elimina la potencia y se copia la base, y sesigue los pasos ya conocidos.

Inecuaciones de Orden Superior.- Por regla, toda inecuacin de grado dos omayor se factoriza y se sigue los pasos ya conocidos. Es decir: Factorizar empleando cualquier mtodo Si hay factores comunes, se suman exponentes o se cancelan con su

restriccin respectiva. Sacar puntos crticos (PC) Los PC ubicarlos en la recta real Finalmente, sombrear el signo resultante obtenido por la regla de signos y

este ser el conjunto solucin.

Si desea saber ms acerca de estos temas, puede consultar las siguiente pgina.

.

http://www.unapiquitos.edu.pe/intranet/pagsphp/docentes/archivos/inecuaciones.pdf

En esta pgina, hallar informacin sobre el tema.


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MATEMTICA II 25


GEOMETRA ANALTICA


Al trmino de la unidad, el alumno resuelve problemas geomtricos aplicandola ecuacin de la recta y de la parbola con diferentes mtodos de solucin.Adicionalmente, utiliza el plano cartesiano para la construccin de grficos e

indica los elementos correspondientes de las cnicas.

TEMARIO

Tema 2: Plano cartesiano y Ecuacin de la recta

2.1 Distancias entre dos puntos, punto medio de un segmento2.2 ngulo de inclinacin de una recta, rectas paralelas y perpendiculares2.3 Ecuacin de recta: Punto-pendiente; dados dos puntos.

Tema 3: La parbola

3.1. Definicin3.2. Ecuacin cannica3.3. Ecuacin ordinaria3.4. Ecuacin general


Calcula la distancia entre dos puntos y lo grafica en el plano cartesiano. Calcula permetros y reas tanto analtica como geomtricamente. Calcula las coordenadas del baricentro del tringulo.

TEMA 2 :EL PLANO CARTESIANO

UNIDAD DE

APRENDIZAJE

2


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MATEMTICA II 27


Al completar la tabla con los valores, queda de la siguiente manera:

Ubicando los puntos obtenidos, podemos esbozar la grfica de la ecuacin con los

valores indicados.

X Y

-3

0

2

1

x-x

y

-y

5,3

1,0

2,

2

1

-3

-5

12

1

2

5,3

1,0

2,

2

1


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28


El D P1QP 2 es recto en Q , Entonces, aplicando Teorema de Pitgoras a dicho

tringulo, obtenemos: d2

= (x2x1)2

+ (y2y1)2

de donde: d = 2

12

2

12 )()( yyxx , d:distancia entre los puntos P1y P2.

Por lo tanto la frmula, para determinar la Distancia entre 111 yxP ; y 222 yxP ; es:

212

212 yyxxd

Ejemplo:

1.Calcule la distancia entre los puntos P = (3; 5) y Q (-3;-3).

Solucin:

d= 22 )35()33( = 22 86 = 10

2.Demuestre que el tringulo con vrtices en A = (-2, 4), B = (-5, 1) y C = (-6, 5) es

issceles. Adems halle el permetro.

Solucin:

Demostraremos que el D tiene dos lados iguales.

2.1 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS


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MATEMTICA II 29


a) dAB

= 22 )14()52( = 22 33 = 3 2

dAB

= 3 2

b) dBC

= 2222 )4(1)51()65(

dBC

= 17

c) dAC

= 2222 1454)62( = 17

dBC

= dAC

= 17

ABCD es issceles.

El permetro es la suma de todas las distancias =3 2 +2 17

3.-Calcule la distancia entre los siguientes puntos.

a) A (2, 7) y B (-2, 4)b) T (-2, 5) y R (4,-3)

c) M (4, 0) y N (11, )5

d) L(0,4) y S(- )9,11 e) S( )1,5 y Q (- )15,3

4.-Calcule el permetro y el rea del polgono cuyos vrtices son los puntos:a) A(4,1) , B(7, 1) , C(9, 3) , D(7, 5) , E(4, 5) y F(2, 3)b) )1,11()5,9(,)5,2( 321 PyPP


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30


Ejercicios propuestos1. Demuestre que el tringulo con vrtices en A (3, -6), B (8, -2) y (-1, -1) es un tringulo

rectngulo. (Sugerencia: Recuerde el teorema que deben satisfacer las longitudes delos lados de un tringulo rectngulo, teorema de Pitgoras).

2. La distancia entre A y B es de 5 unidades. Si A (7; 1), B (3; y), entonces Cul es el

producto de los valores de y?

3. F es el punto simtrico de (5,2) respecto al origen; A es el punto simtrico de (2;-6)

respecto al eje X; C es el punto simtrico de (4; 3) respecto al eje Y. Si p es el

permetro del tringulo FAC, entonces cul es el valor numrico de la expresin

2113p ?.

4. Si M (k,1+k) es un punto que equidista de R(2,1) y T(-6,5). Halla el valor de k.

5. Si M (k, 1+k) es un punto que equidista de R(2,1) y T(-6,5). Halla el valor de k.


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MATEMTICA II 31


Nuestro objetivo es hallar las coordenadas X e Y del punto M ubicado a

igual distancia de los extremos P y Q del segmento PQ .

Para el caso, digamos que se trata de los puntos:

),(),;(,);(2211

yxMQP yxyx

Obtencin de la Abscisa X de M:

a. Por los puntos P, M y Q tracemos perpendiculares al eje X. (

QCMBPA //// por ser perpendiculares a una misma recta).

b. Aplicando el teorema de Thales se tiene: ,BC

AB

MQ

PM pero como M es un

punto medio, .MQPM

Entonces,BC

AB1

c. Observamos que 1XXAB , XXBC 2 . Sustituyendo en 2:

PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO


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32


12

1

xx

xx

2

2121

xxxxxxx

Por igual procedimiento se demuestra que la ordenada y de Mes

2

21 YYY

(Queda como ejercicio para los alumnos)

Por lo tanto, las coordenadas del punto medio de un segmento de extremos

: PM(x, y), donde

22

2121 yyxxPM ;

Ejemplos:

1. Halle el punto medio (coordenadas) de los puntos A (-8,-2) y B (4,8)

Solucin:

Se tiene que:

2.Los puntos medios de los lados de un tringulo son: P (2,5), Q (4,2), R (1,1).

Halle las coordenadas de los tres vrtices.

Solucin:

Se tiene la grfica:

:;; 2211 sonyxyx y

),(..

;..

32

2

82

2

48

MP

MP


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34


Ejercicios propuestos

1. Encuentre la longitud y el punto medio del segmento cuyos extremos son los

puntos dados.

a.- A = (1, 5) B =(2,3)

b. - E = (0,1) D =(3,1)

c. - Q= (2, 1) W=(2, 0)

2. Encuentre los puntos medios de los lados del cuadrado si los puntos 1,0A

5,3B 2,7C 2,4D son sus vrtices .Tambin halle el rea del

cuadrado construido con sus puntos medios.

3. Dos vrtices de un tringulo equiltero son )1,1(A 1,3B . Encuentre las

coordenadas del tercer vrtice. (Recuerde tomar en cuenta ambos casos).

4. El punto medio de un segmento es 2,1M y uno de sus extremos es

5,2N , encuentre las coordenadas del otro extremo.

5. Encuentre las coordenadas de los extremos de A y B de un segmento, que se

divida en tres partes iguales por los puntos P (2; 2) y Q(1,5).

6. Hasta qu punto debe prolongarse el segmento que une a 1,1A y

5,4B en la direccin de AB para que su longitud se triplique?

7. Hallar el rea del tringulo formado por los ejes coordenados: X, Y y la recta

L: 5x + 4y - 2 = 0. Construya su grfica en cada caso


35/99

MATEMTICA II 35


Autoevaluacin

1. Halla la longitud de cada segmento cuyos extremos son los puntos siguientes:

a) A(-3;2) y B(5;2) b) E(-2;-1) y F(3;4) c) P(6;4) y Q(8;2)

d) R(-2;-1) y S(7;3)e) )

2

1;0(M y N (9; 0) f) T(2,5; 8) y )

4

3;3(S

2. Se sabe que 6EF siendo E(x;2) ,F(5;8) y que 8CD cuando C(-3;4), D(5;y).

Entonces el valor de 3 )3(2 yx es:

a)

3

152 b)

3

153 c)

3

15 d)

3

154 3. Conociendo que 72PQ ; P(2;y) ,Q(8;7) y que 25RS ; R(x;-1) ,S(5;-2). el

producto del mayor valor de y por el menor valor de x, es:

a)24 b)18 c) -12 d) -26

4. Los vrtices del D EFG son E (4; 3), F (6;-2), G (-11;-3). Por tanto el tringulo es:

a) Issceles b) escaleno c) equiltero d) rectngulo

5.ACes la base del D issceles ABC cuyos vrtices son A (-8;-1), B (6; 7), C (-2; y). Si C

pertenece al II cuadrante, entonces la distancia de C al origen es:

a) 445 b) 443 c) 130671 d) 127441

6. El valor de x para que los puntos K(-2 ;5), T(1; 3), Q (x ;-1) sean colineales es:

a) 8 b) 6,8 c) 7,2 d) 7


36/99

36


Resumen

1) DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

d = 212

2

12 )()( yyxx ,

2) PUNTO MEDIO DE DOS PUNTOS

22

2121 yyxxPM ;

BIBLIOGRAFIA:

Lehmman,Charles

Geometra Analtica EditorialLIMUSA USA 2001


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MATEMTICA II 37


Dada una recta L ubicada en el plano cartesiano, se llama ngulo de

inclinacin de una recta, al ngulo que forma dicha recta respecto a la horizontal

(eje x), medido en sentido anti horario.

As, en los grficos siguientes, y 1 son los ngulos de inclinacin de las rectas L y

L1 respectivamente.

El ngulo de inclinacin (alfa) de cualquier recta est comprendido entre 0

y 180.

PENDIENTE DE UNA RECTA

La pendiente de la recta L se denota con la letra m y su valor est dado por la funcin

tangente de su ngulo de inclinacin .

tgm

Si la recta es paralela al eje x, su ngulo de inclinacin es 0.

Si la recta es perpendicular al eje x, su ngulo de inclinacin es 90.

00 1800

1

y

x x

y

L 1L

2.2. NGULO DE INCLINACIN DE UNA RECTA


38/99

38


12

12

xxyym

La pendiente m de una recta L que pasa por los puntos ),(),( 222111 yxPyyxP

es el nmero: 1212

xx

yym

Demostracin

12 yyQA ; 12 xxAP

AP

QAtg

12

12

xx

yytg

Ejemplo:Determine la pendiente de una recta que pasa por los puntos P 1(1,2) yP2(-3,4).

Resolucin:

Aplicando la frmula de la pendiente

Por los puntos P y Q de L tracemos paralelas a los ejes X e Y.

Por lo tanto en el tringulo rectngulo PAQ: QPA =

12

12

xx

yy

m

PENDIENTE DE UNA RECTA CONOCIENDO DOS PUNTOS

Frmula Pendiente


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MATEMTICA II 39


mmLL 2121//

1. 2121 mmLL

Ejemplo:Se definen 2 pares de rectas

.

Determine qu rectas son paralelas y en cuales son perpendiculares.

A. Calculamos las pendientes de L1y L2.

Las pendientes de ambas rectas son iguales. Luego, cumplen con la condicin de

paralelismo (L1y L2son rectas paralelas).

B. Calculamos las pendientes de L3 y L4.

16

6

24

6

24

393 )(mL 12

2

02

204 mL

Las pendiente de las rectas no son iguales, pero su producto es -1. Luego, cumplen con lacondicin de Perpendicularidad (L3 y L4son perpendiculares).

Si dos rectas son paralelas, entonces tiene igual pendiente.

Si las pendientes de dos rectas son iguales, entonces son paralelas.

Si dos rectas son perpendiculares entonces el producto de sus pendientes es1.

Si el producto de las pendientes de dos rectas es1, entonces las rectas son

perpendiculares.

2

1

4

2

)3(1

42;

2

1

4

2

13

24

mm

L1: (1,3) y (2,5)L2: (3,11) y (-4,-3)

L3: (-2,3) y (4,9)L4: (0,2) y (2,0)

27

14

34

1132 mL21

2

12

351 mL

RECTAS P RALELAS Y PERPENDICULARES


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40


Es aquella expresin matemtica que indica la condicin que deben cumplir todos los

puntos que pertenecen a una misma recta.

a. Primer caso: Conociendo dos puntos

DATOS:

),(,),( 222111 yxPyxP

Por divisin de segmento con una razn dada: rPP

PP

2

1 luego:

)1.......(2

1

xx

xxr

y

Igualando ambas ecuaciones (1) = (2):xx

xx

2

1 =yy

yy

2

1

y resolviendo, obtenemos la ecuacin:

a la cual llamamos Ecuacin Punto-Punto.

)2.(..........2

1

yy

yyr

)( 112

121 xx

xx

yyyy

2.3 ECUACIN DE LA RECTA


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MATEMTICA II 41


Figura A

Ejemplos:

1. Calcule la ecuacin de la recta que pasa por los puntos (1,3) y (2,5).

Solucin:

Ya que conocemos 2 puntos de la recta, podemos utilizar la ecuacin Punto-Punto.

Para aplicar esta ecuacin, debemos escoger cul de los puntos ser ),(: 111 yxP y

222 ,: yxP . Recordemos que es irrelevante cul sea P1y cual P2a nivel del resultado.

)3,1(:1P 5,2:2P

2. Dado el trapecio A (-4;-2), B (8,2), C (4,6) y D (-2,4). Halle las ecuaciones de

sus diagonales. (Figura A)

Resolucin:

Primero, calcularemos la ecuacin de AC.

2,4:1 P y 6,4:2P

)( 112

353 xy

)4()4(4

)2(6)2( xy )4(

44

262

xy

)4(

8

82 xy 42 xy 02yx

)1(12

353

xy )1(1

23 xy 12xy


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42


Aplicando el mismo procedimiento, podemos obtener la ecuacin de la diagonal que pasa

por BD y verificar que es

b. Segundo caso: Conociendo un punto y lapendiente

Si analizamos las ecuaciones y

Nos damos cuenta que tienen en comn la expresin de la pendiente. Entonces, al sustituir

una expresin en la otra nos queda:

a la que llamaremos: Ecuacin Punto Pendiente.

Ejemplo:

Encuentre la ecuacin de la recta que pasa por el punto (2,3) y tiene pendiente igual

a 2.

Resolucin: Aplicando la ecuacin Punto Pendiente

En los ltimos dos ejemplos hemos expresado la ecuacin de la recta pedida escribiendo a

x e y en el mismo miembro e igualando toda la expresin a cero. Podemos generalizar

estas expresiones de la forma Ax+By+C=0, siendo sta la ecuacin general de la recta.

0185 yx

12

12

xx

yym

)( 1

12

121 xx

xx

yyyy

11 xxmyy

223 xy 423 xy 012 yx


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MATEMTICA II 43


c. Tercer caso: Ecuacin pendienteintercepto

Conociendo la pendiente y el intercepto con el eje y

Datos:

),0(1 bP

Pendiente =m

L: yb = m(x0)

L: y = m x + b ( Ecuacin Pendiente Intercepto)

Ejemplo:

Dada la ecuacin de la recta L: 3x + 4y = 7, halle la pendiente y el intercepto de dicharecta.

Solucin:

De la ecuacin L tenemos: 4y = -3x + 7

4

7

4

3

xy Luego: y

4

7b

4

3m


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44



1. Hallar la ecuacin de la recta que pasa por )3,2(1

P y tiene la misma pendiente que la

recta 2x+ 3y = 1.

2. Hallar la ecuacin de la recta que pasa por )2,3(1P y su pendiente es inversa y con

signo contrario de la pendiente de la recta x + 2y = 3.

3. Hallar la ecuacin de la mediatriz de un segmento cuyos extremos son:).3,5()1,3(

21 PP y

4. Un punto P de abscisa 2, pertenece a una recta cuya pendiente es 1 y que pasa por

. Calcule la ordenada de P.

5. Determine la pendiente, la ordenada en el origen y grafique, dadas las rectas:

6. El punto de interseccin de las rectas 022:,0: 21 yxLyxL , Es el puntomedio del segmento cuyos extremos son: M (a,2) y N(2,b) .Halle el valor de a y b.

7.Se tienen las rectas 02054:,04: 21 yxLyxL , encuentre el rea de la

regin limitada por las rectas 21,LL y el eje x.

8. Halle la ecuacin de la recta que pasa por el punto P (2,-1) y cuyo ngulo de

inclinacin es 45.

9. En las ecuaciones L1: a x + (2 - b) y23= 0, L2: (a1) x + by =15. Halle los valores

de a y b para que representen rectas que pasan por el punto P (2,-3).

10. Determine la ecuacin de la recta cuya pendiente es2

1 y que corta al eje de las

y en (0,5).

23

2) xya 334) yxb

)1,2(1

P


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MATEMTICA II 45


Autoevaluacin1. Halle la ecuacin de la recta que es mediatriz del segmento que une a los puntos

A (7,4) y B (-1,-2).

2. Si la recta L1 que contiene a los puntos A(a ,2 ) y B (0 , 2 a) es paralela a la recta L 2que contiene a los puntos C (-a ,3 ) y D(1 ,-2 a ), Hallar el valor de a

1. Dado el tringulo de vrtices A (-4,3), B (5,-1) y C(7,5). Halle las ecuaciones de las

rectas que pasan por el vrtice C y trisecan al lado opuesto AB .

2. Una recta pasa por el punto P (2,3) y la suma de los segmentos que determina

sobre los ejes coordenados es 10. Halle la ecuacin de la recta.

3. Calcule la ecuacin de la recta cuya ordenada y abscisa en el origen suman 2 ycuya pendiente es 9/5.

4. El producto de los interceptos de una recta con los ejes coordenadas es igual a -6.

Halle la ecuacin de la recta, si su pendiente es igual a 3.

5. Calcule la ecuacin de una recta cuya ordenada al origen es el doble de la

ordenada de la recta 2x-3y+5=0, sabiendo que pasa por el punto P, siendo P el

punto medio de A(3,-1) y B(-2,8).


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46


Resumen

Sea La recta L cuyo ngulo de inclinacin es el ngulo de medida

Pendiente de una recta: tanm

Para los puntos: ),(),( 222111 yxPyyxP la pendiente es:12

12

xx

yym

BIBLIOGRAFIA:

Lehmman,Charles

Geometra Analtica EditorialLIMUSA USA 2001

00 1800

mmLL 2121// 1. 2121 mmLL


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MATEMTICA II 47


TEMA 3: LA PARBOLA

3.1. Definicin

Es el conjunto de puntos ubicados en el plano cartesiano, que equidistan de una recta

fija llamada directriz y de un punto fijo llamado foco.

ELEMENTOS:

a. Vrtice (V): Es el punto de interseccin de la parbola con el eje de

simetra.

b. Foco (F):Es el punto fijo, situado sobre el eje de simetra, ubicado a p

unidades del vrtice.

c. Eje de simetra o Eje Focal ( l ): Es la recta perpendicular a la directriz ypasa por el vrtice y foco.

d. Cuerda (AR):Es el segmento de recta que une dos puntos cualesquiera

de la parbola.

e. Directriz (d): Es la recta fija perpendicular al eje de simetra ubicada a p

unidades del vrtice, en sentido opuesto al foco.

f. Cuerda focal ( AB): Segmento de recta que une dos puntos de la

parbola, pasando por el foco.

g. Lado recto (LR ): Es una cuerda focal, perpendicular al eje de simetra.


48/99

48


h. Radio vector (PF ):Segmento de recta que une el foco con un punto de la

parbola.

La ecuacin cannica modela parbolas cuyo vrtice est en el origen de

coordenadas. El eje de simetra de la parbola puede ser horizontal o vertical.

Ecuacin cannica Horizontal

Cuando el eje de simetra coincide con el eje x.

Se sabe que:

PFPQ

22222

222

22

22

2-2

-

0)(

yppxxxpxp

ypxxp

ypxxp

ypxxp

Ecuacin de la Parbola: pxy 42 .Esto es conocido como la ecuacin cannica de la parbola con vrtice en elorigen de coordenadas y su eje de simetra coincide con el eje x. El grfico dela parbola se abre dirigido hacia el eje x, porque en la ecuacin se ve que eslineal en la variable x.

Analizando:

pxpxy 24

p y x deben tener el mismo signo, es decir que p< 0 p> 0, de donde se

concluye que:

3.2 ECUACIN CANNICA DE LA PARBOLA


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MATEMTICA II 49


a. Si p >0, la parbola se abre hacia la derecha. y el foco est en laparte positiva del eje x.

b. Si p0 p0 la parbola se abre hacia arriba y el foco est en la parte positiva

de y.

b) Si p


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50


pyx 42 pyx 42 Ejemplos:

1. Halle la ecuacin de la parbola cuyo vrtice es el origen de coordenadas,

sabiendo que es simtrica respecto al eje Y; y que pasa por el punto (4,-8)

Solucin:

)8-(444: 22 ppyxP

2. Halle en la parbola xy 122 los puntos cuyos radios vectores son iguales a

6

Solucin:Se tiene

2

1

32-16

p

p

yxyx 2-)2

1(4

22


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MATEMTICA II 51


6,1 rrpx

Sabemos que

39

6363

666

11

11

111

xx

xx

pxpxpx

)6,3()6,3(

636

)3(12

2

2

yy

y

Ejercicios Propuestos

1. Una parbola tiene su vrtice en el origen y su eje coincide con el eje x. Si P

(2,-2) es un punto de la parbola, halle la ecuacin de la parbola, lascoordenadas del foco y la ecuacin de su directriz.

2. Halle las coordenadas del vrtice, del foco y la ecuacin de la directriz de lasparbolas cuyas ecuaciones son:

312442 pppxy

a) xy 32 b) xy 122 c) yx 42 d) yx 82


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52


La ecuacin ordinaria modela una parbola cuyo vrtice est en un punto (x,y) que no

coincide con el origen del sistema de coordenadas. La ecuacin cannica es un caso

particular de la ecuacin ordinaria cuando las coordenadas del vrtice son (0,0). La

forma de la ecuacin varia con el eje de simetra de la parbola a la que representa.

Ecuacin Ordinaria de la Parbola con eje de simetra paralela al eje y

Ecuacin Ordinaria de la Parbola con eje de simetra paralela al eje x

3.2 ECUACIN ORDINARIA DE LA PARBOLA

kyphxFrmula 42:

),(: pkhFoco

pkyDirectriz :

hxpkyFrmula 42:

),(: kphFoco

phxDirectriz :


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MATEMTICA II 53


Ecuacin general de la parbola:

1. Calcule el vrtice, el foco y la directriz de las siguientes parbolas.

Solucin:

A. Resolvamos en primer lugar a

Las parbolas estn expresadas en forma de ecuacin general

02 DCyBxAx o 02 DCxByAy . Para calcular las

coordenadas 0=F+Ey+Dx+2x y 0=F+Ey+Dx+2y de sus elementos

(foco, vrtice y directriz) vamos a expresarlas en su ecuacin ordinaria

siguiendo los siguientes pasos.

i. Determina si el eje de simetra de la parbola es Horizontal o

Vertical.

Esto lo puedes determinar analizando cul es la variable que NO EST

ELEVADA AL CUADRADO, ya que sta determina a cul de los ejes del

sistema de referencia es paralelo el eje de simetra de la parbola.En el caso concreto de la parbola, el eje de

simetra es paralelo al eje Y.

ii. Escoge la ecuacin segn el eje de simetra y completa

cuadrado.

En nuestro ejemplo, la ecuacin a utilizar es kyphx -4- 2 .El proceso de completar cuadrado y obtener la ecuacin es como sigue:

)2(2)3(

4296

2

6132

2

66

1326

2

2

22

2

2

-

-

-

-

yx

yyx

yyx

yxx

Coor denadas de l vrt ice: Vrtice (-3,2)

Valor de :

013262 yxx 0232246 2 xyy

013262 yxx

021 p

0=13+y2x6+2x -


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54


Coor denadas del vrt ice:

Recta directr iz:2

3

2

12 yy

Grfic a

B.Aplicando el mismo procedimiento para

Se tiene:

Coordenadas del Vrtice:

2,2

1

Valor de P: 00 la grfica se abre hacia arriba. Si a


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MATEMTICA II 73


Como

a

bac

a

bxaxf

a

bc

a

bx

a

bxaxfcbxaxxf

4

4)

2()(

4)

4()()(

22

2

2

222

Luego el vrtice de la parbola es: )4

4,

2(

2

a

bac

a

bV

Si a>0 se tiene :

RDf ; ,

a

bacRf

4

4 2

Si a


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74


FUNCIONES SECCIONADAS

Son aquellas que tienen varias reglas de correspondencia

22

11

,)(

,)(

)( Axsixf

AxsixfxF donde

)()()(

)(

21

21

fRafRafRan

AAfDom


1. Construya la grfica y calcule el dominio y rango de:

32,524)( xparaxxf

2. Halle el dominio y la grfica de la siguiente funcin:

1)( xxf

3. Halle dominio, rango y esbozar la grfica de la funcin:

,6;6

6,0[;4

0,5;3

1

5

1

6,9;

9,;

)(

x

xx

xx

xx

xx

xf

4. Hallar dominio, rango y esbozar la grfica de la funcin:

8,212

84,42

40,2

0,,2

)(

xsix

xsix

xsixx

xsi

xf


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MATEMTICA II 75


5. Hallar dominio, rango y esbozar la grfica de la funcin :

() { | |

APLICACIONES DE LAS FUNCIONES

a. Un fabricante de filtros para agua, tiene costos fijos por S/. 20 000, costos de

produccin de S/. 20 por unidad y un precio de venta unitario de S/. 30.

Determina las funciones de costos, ingresos y ganancias para Rango.

Adems indica su punto de equilibrio y grfica.

b. Juan Manuel es dueo de la panadera Pan y Sabor y contrat un consultor

para analizar las operaciones del negocio. El consultor dice que sus

ganancias P(x) de la venta de x unidades de panes estn dadas por P(x)

120x x2. Cuntos panes debe vender para maximizar las ganancias?

Cul es la ganancia mxima?

c. Para una editorial, el costo de mano de obra y materiales por unidad de

produccin es de $ 5 y los costos fijos son de $200 diarios. Si se vende cada

libro a $15

a. Cuntos libros se debern producir y vender diariamente para mantener el

negocio en un punto de equilibrio? Grafique el modelo.

b. Si se producen y venden 75 libros pierde o gana? cunto?

d. Los impuesto personales en Estados Unidos entre 1960 y 1990 son

aproximados por:

1990197563614351975196045097

adex

adexxf

..

..

Trace la grfica de la funcin si x = 0 representa 1960. Qu sucedi a los

impuestos personales en 1975?


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76


Autoevaluacin

1.Halle dominio, rango y esbozar la grfica de la funcin:

9,6[,

]3,22,22,3[,4

3,,2410

6,3,5

30,9,1

)( 2

xx

x

xxx

xx

xx

xf

2.Hallar dominio, rango y esbozar la grfica de la funcin:

,4,18

4,2,12

2,4,2

4,13,42

)( 2

xx

xx

xx

xx

xf

3.Halle el dominio, rango y esbozar la grfica de la funcin.

2,63

,10,6

10,8,4

8,4,102

4,2,2

]2,2,44

1

)(

2 xxx

xx

x

xx

xx

xx

xf

4.Dada la siguiente funcin

2

2

2

1

4

3/),( xyRyxf

Halle )()( fRangfDomA

5. Dada la siguiente funcin

22 2

4

14/),( xyRyxf

Halle )()( fRangfDomB


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MATEMTICA II 77


6. Halle dominio, rango y esbozar la grfica de la funcin:

4,4

2,1,42

1,32

)( 2

xx

xxx

xx

xf

8. APLICACIONES DE LAS FUNCIONES:

A. Supngase que el costo de fabricacin de x artculos diariamente tiene el

siguiente modelo: C(x) = 0.2x + 10x +320y cada una se vende a S/ 30 .00.o Determine el punto de equilibrio

o Determina el nivel de produccin que maximice sus utilidades.

o Cul es la utilidad mxima?

o Realiza la grfica correspondiente

B. Para una fbrica de zapatos, el costo de mano de obra y materiales por cada

par de zapatos es de S/. 20 y los costos fijos son S/. 3000 diarios. Si se vende

cada par de zapatos a S/. 35 Modele matemticamente el Costo Total y la Venta Total.

Encuentre el punto de equilibrio e interprtelo econmicamente.

Si vende 800 pares de zapatos diarios, gana o pierde? Cunto?

C. Para una editorial, el costo de mano de obra y materiales por unidad de

produccin es de $ 5 y los costos fijos son de $500 diarios. Si se vende cada

libro a $15

o Cuntos libros se debern producir y vender diariamente para

mantener el negocio en un punto de equilibrio? Grafique el modelo.

o Si se producen y venden 100 libros pierde o gana? cunto?


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78


MISCELANEA DE PROBLEMAS SOBRE FUNCIONESI. Asocia cada funcin con su grfica:

a) 5xy

b) 3x2

3y

c) x2

1y

d) 2xy 2

e) 1xy 2

f)x

2y

g)2

3y

h) 2x2y

1. 2.

3.4.

5. 6.7.

8.

Rp. a. (1) b.(4) c.(6) d.(8) e.(3) f.(2) g.(5) h.(7)

II. El permetro de un rectngulo es de 30 cm. Obtn la funcin del rea delrectngulo en funcin de la longitud de la base x.

III. Determina el dominio, el rango y esboza la grfica de las siguientes funciones:

1.

5x,9x2

5x10,8x3)x(f

,1)x(fRan

,10)x(fDom

3x,1

3x2,1x

2x,1x6x

)x(f

2

,8)x(fRan

R)x(fDom


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MATEMTICA II 79


Resumen*) Funcin constante: Cxf )(

*) Funcin identidad: xxf )(

*)Funcin lineal: baxxf )(

*) Funcin valor absoluto:

0,

0,

xx

xx

x

Si a>0 la grfica se abre hacia arriba. Si a


80/99

80


LMITES


Al trmino de la unidad, el alumno resuelve problemas de lmitesindeterminados en el infinito, utilizando las propiedades de lmites, las leyes dellgebra bsica y las representaciones grficas en el plano cartesiano.

TEMARIO

Tema 6: Lmites de funciones

6.1 Definicin

6.2 Lmites indeterminados: Polinmicas y con radicales0

0

6.3 Lmites en el infinito


Calcula lmites indeterminados de funciones algebraicas, racionales e irracionales.

Calcula lmites indeterminados cuando la variable tiende al infinito.

UNIDAD DE

APRENDIZAJE

4


81/99

MATEMTICA II 81


LMITE DE UNA FUNCIN

6.1 DEFINICIN:

Sea F(x) una funcin definida en un intervalo que contiene o no al nmero a. Sedice que cuando x se aproxima al nmero a la funcin F(x) tiende al nmero L,

que se denota por: F(x)ax

Lim

=L, s para todo nmero positivo > 0 existe un

nmero positivo tal que F(x)-L


82/99

82


Ejemplos :

Calcule:

a)

6

42322

432

432432

2

2

2

2

22

2

2

2

2

)(

)x(LmxLm

)(Lm)x(Lm)x(LmxxLm

xx

xxxx

b) 2851355 31

31

31

13

3

13

xLmxLm

xx

FORMAS INDETERMINADAS

Las formas indeterminadas que analizaremos en este captulo son las siguientes:

,0

0

6.2 LMITES ALGEBRAICOS :

1)Calcule:3222324

1222324

1

lim

xxxx

xxxx

x

Resolucin:

0

0

322

23

24

1222324

1

lim

xxxx

xxxx

x

(forma indeterminada)

Factorizando por el Mtodo de Evaluacin Binmica o Ruffini

)35233(

)1323(

1

lim

)35233)(1(

)1323)(1(

1

lim

xxx

xxx

xxxxx

xxxx

x

3

1

123531

1311 4

, luego3

1

3222324

1222324

1

lim

xxxx

xxxx

x


83/99

MATEMTICA II 83


2) Calcule:22

2

2

lim

xx

x

Solucin:

0

0

22

2

2

lim

x

x

x

Racional izando tanto el numerador como el denominador

22

22

2

2

22

2

2

lim

x

x

x

x

x

x

x=

2

1

4)Calcule:x

x

x 412

3

3 lim

Resolucin:

00

3412

33

412

3

3

lim

x

x

xIndeterminado

Levantamos la indeterminacin:

4

1

4

1

)3(

)3(

)3(4

)3(

33

x

xLim

x

xLim

xx

5) Calcule:x

xLimx

33

0

Resolucin:

0

0

0

30333

0

x

xLim

x

indeterminado

Levantando la indeterminacin:

6

3

33

1

0,)33()33(

3)3(

)33(

)33()33(33

0

00

00

x

Lim

xxx

xLim

xx

xLim

x

x

x

xLim

x

xLim

x

xx

xx


84/99

84


6)Halle34

23

2

2

1 xxxx

Limx

Solucin:

0

0

341

231

34

232

2

1

xx

xxLim

xindeterminado

Levantando la indeterminacin:

2

1

2

1

)3(

)2(

1)1)(3(

)1)(2(

34

23

1

12

2

1

x

xLim

xxx

xxLim

xx

xxLim

x

xx

6.3LMITES AL INFINITO

Casos a) LxfLimx

)( b) LxfLimx

)(

c)

)(xfLim

x d)

)(xfLim

x

Ejemplos:

1.Calcule:52

124 2

x

xxLimx

Solucin:

0

4

00

004

52

124

52

124

52

124

52

124

2

2

2

2

2

2

xx

xx

Lim

x

xx

xx

Limx

xxLim

x

xx


85/99

MATEMTICA II 85


2. Calcule:23

22

2

x

xLimx

Solucin:

3

1

23

21

)23(

)21(

23

2

23

2

22

22

2

2

2

2

x

Lim

xx

xx

Lim

x

xLim

x

xLim

x

xx

3. Calcule:3342

12

34

6lim

xxxxx

x

Solucin:

3

4

312

4

1

3

1

2

3

lim

3342

12346lim6

xx

xxx

xxx

xxx

x

4. Calcule: 511243

35 x xxx ))((lim

Solucin:

m xfx

m xfx

propiedadlaAplicando

x

xxx

x

L

x

xx

xL

)(lim

)(lim

:

;5

11243

3155lim

511243

)3)(5(lim

511

243

1521

511

243

1521

lim5

11243

152lim

x

xx

xx

xx

x

L315

2431


86/99

86



Calcula los siguientes lmites:

1.1x536

3xx2lm

2

1x

Rp.3

4

2.31x10

x540lm

48x

Rp. 54

3.25

23

2x x8x

4x7x3lm

Rp.6

1

4. 24x 4x

4x4xlm

Rp.161

5.1x

3

1x

xlm

21x

Rp.

2

5

6.xx

xxlm

30x

Rp.

7.2

31x x9x61

x124lm

Rp.

8. bxaxxlmx

Rp.2

ba

9.x4

1xx3x3x3lm

3222

x

Rp.4

3

10.

32

3

3 2

x

3x2x5

1x8

lm

Rp. 4

11.1222

243lim234

23

xxxxxxx

xRp. 0

12.107

6102lim

x

xxx Rp. 1/7


87/99

MATEMTICA II 87


Autoevaluacin

I. CALCULE LOS SIGUIENTES LMITES:

33

64.1

6

x

xLmx

8

8.2

2

2

x

xLmx

xx

xLmx 4

16.3

3

2

4

4

2

.4 2

23

2

x

xx

Lmx

4

165.5

4

x

xLmx

25

425.6

2

5

2

x

xLmx

3

27.7

3

3

x

xLmx

7

49.8

2

7

x

xLmx

8

64.9

2

8

x

xLmx

xx

xxLmx 4

25.10

2

2

0

1

2.11

2

1

x

xx

Lmx

6

158.12

2

2

3

xx

xxLmx

543

27212.13

2

2

9

xx

xxLmx

5112

5214.14

2

2

5

xx

xxLmx

87

1.15

2

3

1

xx

xLmx

8

81610.16

3

2

2

x

xxLmx

6416

24192.17

2

2

8

xx

xxLmx

164

1432.18

3

2

4

1

x

xx

Lmx

16249

43.19

2

2

3

4

xx

xxLmx

16

143.20

2

2

3

1

xx

xxLmx

II. CALCULE LOS SIGUIENTES LMITES:

3x

9+x

9x

lim.1

-

61-

4-

16

lim.2

x

x

x

1x1x

1x

lim.3

--

8.x

x

x

1

32

1

lim 2

5

5

5

lim.9

x

x

x

660lim..10

xx

x


88/99

88


3-2

49-

7

lim.4

2

x

x

x

2

4

4

lim.5

x

x

x

9

3

9

lim.6

x

x

x

7.xxxx

xxx

x 232

123lim257

34

x51

x+53

4x

lim.11

--

-

3

k

3

x

7k

7x

kx

lim.12

-

-

13.4

1024

413416lim

xx

xx

x

RESPUESTAS DE I:

1)2 2)-6/5 3)0 4)-1 5) 6)4 7)27 8)14 9)16 10)1/2 11)3 12)-2/5 13)1 14)19/9

15)1/3 16)2 17) 18)1 19)- 20)2/5

RESPUESTAS DE II:1) 2)1/8 3)2 4)-56 5)4 6)-1/6 7)0 8)60 9)1/2 10)2 5

11)2 6

RESUMEN1. )()()()()(

00

xhLmLxfLmxhxgxfSxxxx

LxgLmxx

)(0

2. :)()( 2100

entoncesLxgLmLxfLmSixxxx

a) 21000

LL)x(gLm)x(fLm)x(g)x(flmxxxxxx

b) 21.)().()().(000

LLxgLmxfLmxgxfLmxxxxxx

c)2

2

1110

0

0 L)x(gLm)x(gLmLS

xx

xx

d)2

12

0

0

0

0L

L

)x(gLm

)x(fLm

)x(g

)x(fLmLS

xx

xx

xx


89/99

MATEMTICA II 89


e) RCLCxfLmCxfCLmxxxx

,.)(.)(. 100

.

f) CxfLmteConsCxfSixx

)(tan)(0

g) Si NmLxfxx

Lmxf

xx

Lmm

mm

,)()())(( 100

BIBLIOGRAFIA:

FIGUEROA,Ricardo

Matemtica Bsica Edit GrficasAmrica S.R.L Lima 2004

LEITHOLD,Louis

Clculo conGeometra analtica

EditorialOxford Mxico 2004


90/99

90


LA DERIVADA

Logros de la Unidad de Aprendizaje

Al trmino de la unidad, el alumno resuelve ejercicios y problemas dederivacin de funciones algebraicas aplicando las propiedades de laderivacin, el lgebra bsica y las representaciones grficas en el planocartesiano.

TEMARIO

Tema 7: La derivada

7.1 Interpretacin geomtrica de la derivada, definicin7.2 Derivada de funciones algebraicas (teoremas bsicos)


Calcula la derivada como el lmite de una funcin, siempre que esta exista.

Calcula derivadas de funciones algebraicas bsicas en un punto dado.

UNIDAD DEAPRENDIZAJE

5


91/99

MATEMTICA II 91


7.1 INTERPRETACIN DE LA DERIVADA

El concepto de derivada es uno de los dos conceptos centrales del clculo

infinitesimal. El otro concepto es la antiderivada o integral; ambos estn

relacionados por el Teorema Fundamental del Clculo.A su vez, los dos conceptos

centrales del clculo estn basados en el concepto de Lmite, el cual separa las

matemticas previas, como el lgebra, laTrigonometra o la Geometra Analtica,

del Clculo. Quiz la derivada es el concepto ms importante del Clculo

Infinitesimal.

La derivada es un concepto que tiene variadas aplicaciones. Se aplica en aquellos

casos donde es necesario medir la rapidezcon que se produce el cambio de una

magnitud o situacin. Es una herramienta de clculo fundamental en los estudios de

Fsica, Qumica y Biologa, o en ciencias sociales como la Economa y la

Sociologa.Por ejemplo, cuando se refiere a lagrfica de dos dimensiones de , se

considera la derivada como la pendiente de la rectatangente del grfico en el punto. Se puede aproximar la pendiente de esta tangente como el lmite cuando la

distancia entre los dos puntos que determinan una rectasecante tiende a cero, es

decir, se transforma la recta secante en una recta tangente. Con esta interpretacin,

pueden determinarse muchas propiedades geomtricas de los grficos de

funciones, tales comoconcavidad oconvexidad.

Algunas funciones no tienen derivada en todos o en alguno de sus puntos. Por

ejemplo, una funcin no tiene derivada en los puntos en que se tiene una tangente

vertical, una discontinuidad o un punto anguloso.Afortunadamente, gran cantidad

de las funciones que se consideran en las aplicaciones son continuas y su grfica

es unacurva suave,por lo que es susceptible de derivacin.
http://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_matem%C3%A1ticohttp://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_matem%C3%A1ticohttp://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_matem%C3%A1ticohttp://es.wikipedia.org/wiki/Integralhttp://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_fundamental_del_c%C3%A1lculohttp://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_matem%C3%A1ticohttp://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_matem%C3%A1ticohttp://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticashttp://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebrahttp://es.wikipedia.org/wiki/Trigonometr%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_Anal%C3%ADticahttp://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculohttp://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_Infinitesimalhttp://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_Infinitesimalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Magnitud_(matem%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Qu%C3%ADmicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Biolog%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/Econom%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/Sociolog%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%A1fica_de_una_funci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Tangente_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_matem%C3%A1ticohttp://es.wikipedia.org/wiki/Secantehttp://es.wikipedia.org/wiki/Concavidadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Convexidadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_discontinuahttp://es.wikipedia.org/wiki/Punto_angulosohttp://es.wikipedia.org/wiki/Curva_suavehttp://es.wikipedia.org/wiki/Curva_suavehttp://es.wikipedia.org/wiki/Punto_angulosohttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_discontinuahttp://es.wikipedia.org/wiki/Convexidadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Concavidadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Secantehttp://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_matem%C3%A1ticohttp://es.wikipedia.org/wiki/Tangente_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%A1fica_de_una_funci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Sociolog%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/Econom%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/Biolog%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/Qu%C3%ADmicahttp://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Magnitud_(matem%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_Infinitesimalhttp://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_Infinitesimalhttp://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculohttp://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_Anal%C3%ADticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Trigonometr%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebrahttp://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticashttp://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_matem%C3%A1ticohttp://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_fundamental_del_c%C3%A1lculohttp://es.wikipedia.org/wiki/Integralhttp://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_matem%C3%A1ticohttp://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_matem%C3%A1tico


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92


Definicin

Sea y = F(x) , x Dom(F )Entonces F (x) representa la derivada de la funcin F(x) con respecto a x, y sedefine por:

F(x) =xx D

DD

F(x)-x)F(x

0

lim o F(x) =

h

h

h

F(x)-)F(x

0

lim

Siempre que el lmite exista, 0D hx

hxD es el incremento o variacin de la variable independiente de la funcin F(x)y como consecuencia la funcin tambin se incrementa en yxF DD )( , su valor

secalcula por: )()()()( xFhxFxFxxFyF DDD

La nueva funcinF (x)es conocido como funcin derivada o primera derivada de lafuncin F(x).

Derivada de una funcin en un punto dado

El valor de la derivada en un punto x0conocido, se calcula con la expresin:

F(0x) =

xx D

D

D

)F(x-x)xF(

0

lim00 o F(

0x) =

h

h

h

)F(x-)F(x

0

lim00

Siempre que el lmite exista.

La tasax

y

D

Des conocida como razn de cambio promedio

Y )(0

xfx

y

x

Lm

DD

Des una razn de cambio instantnea.

Otras notaciones de la primera derivada de la funcin y= f (x)

yyDdx

df

dx

dyyxf x )(


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MATEMTICA II 93


7.2 DERIVADA DE FUNCIONES ALGEBRAICAS: Reglas Prcticas

a) Derivada de una Constante

b) Derivada de x

c) Derivada de una funcin lineal

d) Derivada de una potencia

e) Derivada de una Adicin o Diferencia

f) Derivada de una Constante por una Funcin

g) Derivada de un Producto

h) Derivada de un cociente


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94


Ejemplos:

1. Halle y si4 22 5123 xxy )(

Solucin:

)6(51)51(4

10)23( 4 2

4 32

2 xxx

xxy

2. Halle y si534 33 1 ).()()( xxxxxxf

Solucin:

532

4 3)1()

213.(

)(43)( xxx

xx

xxxf

34 3

3

243 )(

2

1

12

3)1(5 xxx

xx

x

xxxx

3. Halle )(xf si 83 3 xxxfy )( Solucin:

)8()()3()( 3

dx

dx

dx

dx

dx

dxfy

0)()(3)( 3 x

dx

dx

dx

dxf

0)(1))(3(3)( 02 xxxf 19)( 2 xxf

4. Halle )(xf si 331)(

3 xxxfy

Solucin:

)3()()3

1()( 3

dx

dx

dx

dx

dx

dxfy

0)()(3

1)( 3 x

dx

dx

dx

dxf


95/99

MATEMTICA II 95


0)(1))(3(3

1)( 02 xxxf

1)( 2 xxf

5. Halle la derivada de: 33 32)( xxxf

Solucin:

36323)(

32323)(

32)(

223

323

33

xxxxf

xxxxxf

xxxf

6.Si y =dt

dyCalcul etttuuvv .,, 13

2323 Solucin:

Utilizando regla prctica para el clculo dedt

dy

3

223 )13( ttty Entonces y 3

)163()13(2 231

23

ttttt

7. Si567 )12(40

1

)12(24

1

)12(56

3)(

xxxxf , Calcula:

dx

dy

Solucin:

y

X0X0X

L

L

)(xf

x

)( xf

{

{

0

LMITE LATERAL POR LA DERECHA

{

0X

L


96/99

96



I. Determine la deriva de las siguientes funciones:

a) 1)( 2 xxxf

b) xxf 32)(

105

5024

5024105

3028

5024

)1(

)53()

)53()1()

)138(4)

)53()

xx

xxxyd

xxxxxyc

xxxyb

xxxya

II. Calcule las derivadas de las siguientes funciones en el punto x=1:

a) 1,012 22)( xxxxf

b) 8233)( 3 xxxxf

c) 7,03 611 43)( xxxxxf

d) )2)(13()( 32 xxxf

e) )1)(1()( 122

xxxxxf

f)1

3)(

2

x

xxf

g)1

2)(

2

3

xx

xxf

h)x

xxxf

1)(

2


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MATEMTICA II 97


AutoevaluacinI. Determine la derivada de las siguientes funciones:a) 3x)x(f

b) 21

x)x(f

c)

1

12

x

)x(f

d) 52 x)x(f

e) )1(,5

1

44

1)( '

24 3 fhalleadems

x

xxxf

III. Encuentre el valor de verdad o falsedad en las siguientes proposiciones:

a) La grfica de la funcin derivada de y=0.5 2x , es la funcin identidad.

b) La derivada de f(x) =x

5, existe en x= 0.

c) 283

30

3

3

ttt

t

Lim


98/99

98



1. Halle la funcin derivada para las siguientes funciones :

322

2

1 xxy

.

xxxy

14

2

223 xxxy

() ()

2. Si f(x) =2

1

1

x

x, calcule el valor de k en la ecuacin

21202

0 23

)(f.k)('fk)(f

)('fk

3. Si2

2

1x

1x)x(f

, determina el valor de k en: )0('f4k5)1(f3

Bibliografa:

LARSON, RON Clculo EditorialMcGraw Hill Mxico 2006

SOBEL, MAX A. Preclculo Pearson Mxico 2006


99/99

MATEMTICA II 99

manual 2014-i 02 matemática ii gn (1530)

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