Instituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas1Indice:MduloTema PginaAOperar nmeros reales, potencias y races A1Operar usando nmeros reales.3A2Resolver problemas depotencias.20A3Aplicar propiedades de las races.31en ejercicioscombinados.BIdentificar y aplicar funciones linealesB1Identificar dominio y recorridode relaciones.41 B2Identificar funciones en grficosy diagramas.44B3Interpretar mediante la grfica el dominio y49recorrido de una funcin lineal.B4Resolver problemas aplicando funciones lineales.53CIdentificar y aplicar funciones cuadrticasC1Interpretar mediante la grfica el dominio.64y recorridode una funcin cuadrticaC2Resolver problemas de aplicacin de funciones.66cuadrticasDIdentificar y aplicar funciones exponencialesD1Interpretar mediante la grfica el dominio y78recorrido de una funcin exponencialD2Resolver problemas de aplicacin mediante82funciones exponencialesEIdentificar y aplicar funciones logartmicasE1Interpretar mediante la grfica el dominio87y recorrido de una funcin logartmica.E2Resolver problemas de aplicacinde90funciones logartmicas .Instituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas2E3Resolver problemas mediantefunciones compuestas.93FIdentificar y aplicar ecuaciones linealesF1Resolver ecuaciones lineales. 97F2Aplicar ecuaciones lineales en la resolucin de102problemas del operador de planta.GResolver problemas aplicando sistemas deecuaciones e inecuaciones linealesG1Resolver y graficar sistemas de ecuaciones lineales. 105G2Resolver problemas de la vida real mediante 108ecuaciones lineales.G3Resolver y graficar sistemas de inecuaciones lineales.112G4Resolver problemas de optimizacin mediante sistemas de 120 inecuaciones lineales(1 y 2 variables).HAplicacin de las funciones trigonomtricascircularesH1Explicar y resolver problemas mediante el135 teorema de Pitgoras.H2Explicarfunciones trigonomtricas.141 H3Explicar y aplicar los teoremas seno y coseno152Instituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas3 Mdulo A1_________________________Operar usando nmeros reales__________________________________________________________________________________ NmerosrealesTu necesitas de los nmeros para comprar y vender, para contar los productos terminadosen tu empresa o para leer la hora.Para operar usando nmeros reales, tendras que:-Operar con nmeros naturales-Operar con nmeros enteros-Operar con nmeros racionales-Identificar nmeros irracionales-Operar distintos tipos de nmeros realesInstituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas4La idea de nmero aparece en la humanidad, en forma muy precaria, en los pueblosprimitivos. Para ellos, los conceptos eran uno, dos y muchos.La operacin de contar nace con la necesidad de saber cuntas eran las pertenencias ypara poder intercambiar productos. El hombre se las ingeni y busc elementos parasatisfacer esa necesidad. Fue as como utiliz piedras, nudos, los dedos de las manos,marcas en los troncos, en las piedras y otras alternativas.Qu son los nmeros?Son ideas de cantidad que estn en nuestra mente: dos amigos, veinte compaeros, treshermanos... La forma en que representamos o escribimos esa idea recibe el nombre denumeral.Nuestros numerales actuales son de origen indoarbigo. Es decir, el hombre combinambos sistemas de contar -los de indios y rabes- y esto se extendi por todo el mundo,hasta tener la forma de hoy.A partir de diez cifrasEl sistema numrico que nosotros utilizamos, recibe el nombre de decimal. Se denominaas porque a partir de slo 10 cifras se puede formar cualquier numeral. Esas cifras seconocen como el conjunto de los dgitos, relacionando su nombre con los dedos denuestras manos. Los dgitos son: {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}Tomaremos como ejemplo los dgitos 1, 2 y 3.Con ellos se pueden formar varios numerales: 123, 132, 213, 231, 312 y 321.Te habrs podido dar cuenta que utilizamos los mismos dgitos, pero los numeralesobtenidos son distintos.Algunos conjuntos numricos que debes conocer son :=NmerosNaturaleshh =Conjunto de los Nmeros Naturalesh = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,...El conjunto de los Nmeros Naturales surgi de la necesidad de contar, lo cual semanifiesta en el ser humano desde sus inicios.Este conjunto se caracteriza porque: Tiene un nmero infinito de elementos Cada elemento tiene un sucesor Cada elemento excepto el 1tiene antecesor. El sucesor de un nmero natural se obtiene sumando uno; el antecesor se obtiene ( 1)restando uno. ( 1)2) Conjunto de los Nmeros Cardinales h h+0= =Instituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas5h0= 0, 1, 2, 8, 4, , 6, ...Al Conjunto de los Nmeros Naturales se le agreg el 0 (cero) y se forma el Conjunto delos Nmeros Cardinales.Surgieron entonces nuevos problemas:vCmo indicar temperaturas bajo 0?vCmo diferenciar alturas y profundidades de la tierra?vCmo expresar que qued debiendo algo?=NmerosEnteros tPara responder a estas interrogantes, nuevamente el hombre recurri a su inteligencia yform otro conjunto numrico, en el que podran expresarse cantidades menores que 0.Es el llamado conjunto de los nmeros enteros y que se identifica con el smbolo . tPodemos decir que el conjunto de los nmeros enteros permite expresar: 12 bajo 0 como: -12 y se lee menos 12. Si se debe $5.000, podemos decir: - $5.000, que se lee menos $5.000;Si retrocedemos 49, sealar -49. De esta manera, el mbito numrico se nos agranda hacia la izquierda de la rectanumrica, donde el 0 es el origen.SeaConjunto de los Nmeros Enteros t =t = ... 8, 2, 1, 0, 1, 2, 8, ...Tambin podemos indicar que el Conjunto de los Nmeros Enteros surge de la necesidadde dar solucin general a la restapor ejemplo: ? 20 =Luego:t h = l0 Conjunto de los Nmeros Enteros negativosPodemos decir que: Tiene 3 Subconjuntos: = t Enteros Negativos: t Enteros Positivos: t El Cero: 0 Por lo tanto, el Conjunto de los Nmeros Enteros es la unin de los tres subconjuntosmencionados. t t t = l0lCmo sumamos enteros?Instituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas6Recurriremos a la recta numrica.Por ejemplo, sumaremos . A partir del nos correremos lugares en 2 2sentido positivo, es decir, hacia la derecha, porque el sumando esen la recta 2numrica:Esto quiere decir que si sumamos enteros positivos, obtenemos un nmero 2 = 7Analicemos un segundo ejemplo:. A partir de avanzaremos lugares en 8 4 8 4sentido negativo, hacia la izquierda, porque el otro sumando tiene signo negativo. De estamanera: 8 4 = 7Ahora, sumaremos: 0A partir de contamos lugares en sentido negativo. El resultado es 0 4.Otra forma de determinar la suma es ocupar 2 palabras claves: debo, para los enterosnegativos; y tengo, para los positivos. As: 8 1 8 1 4 = 4 ser debo y debo, entonces, debo. 2 6 2 6 8 = 8 : tengo y tengo; tengo. 8 8 2 = 2 : debo y tengo; pago y me queda que debo. 1 6 1 6 = : debo y tengo; pago y me queda que tengo.Para poder realizar las operaciones en el conjunto de los nmeros enteros (Z) debesmemorizar las siguientes reglas (son fciles; slo requieren de prctica).Existen nicamente dos casos: nmeros de igual signo y nmeros con signo distinto. Lasreglas a memorizar son las siguientes:Nmeros de igual signo: Cuando dos nmeros tiene igual signo se vdebe sumar y conservar el signo.Ej: -3 + -8= - 11( sumo y conservo el signo)12 + 25= 37 ( sumo y conservo el signo)Nmeros con distinto signo: Cuando dos nmeros tienen distinto signo se debe vrestar y conservar el signo del nmero que tiene mayor valor absoluto (recuerda que elvalor absoluto son unidades de distancia, lo que significa que se debe considerar elnmero sin su signo).Ej: -7 + 12 = 5(tener 12 es lo mismo que tener+12, por lo tanto, losnmeros son de distinto signo y se deben restar: 12-7= 5 con cul signo queda?. Elvalor absoluto de 7 es 7 y el valor absoluto de+12 es 12, por lo tanto, el nmero quetiene mayor valor absoluto es el 12; debido a esto el resultado es un numero positivo).5 + -51 = - 46 ( es negativo porque el 51 tiene mayor valor absoluto)Instituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas7 -14+ 34 =20Ejercicios de Prctica1) 2 + -52) -3 + 63)-7 + 24) -3 + 45) 6 + -1 6) -3 + 37)-2 + -2 8)6 + -7Resta en tPara restar dos nmeros o ms, es necesario realizar dos cambios de signo porque de estamanera la resta se transforma en suma y se aplican las reglas mencionadas anteriormente.Son dos los cambios de signo que deben hacerse:Cambiar el signo de la resta en suma vCambiar el signo del nmero que est a la derecha del signo de voperacin por su signo contrarioEj:-3 10=-3+- 10=-13 ( signos iguales se suma y conserva el signo)19 - 16=19 + +16 = 19 +16=35Ejercicios de Prctica:1)2 62) 3 43)4--24) 1--65)2 - 86)3--57) 1-48)0--8Instituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas8Multiplicacin y Divisin en tLa regla que se utiliza es la misma para multiplicar que para dividir. CMO SEHACE?. Multiplico nmeros y luego multiplico los signos de acuerdo a la siguientetabla:++=+- - =++- =-- + =-Ej:-5-10 =50(5 10 =50 ;- - = + ) 12 - 4= -48(12 4 = 48 :+- = - )Para multiplicacin y divisin (esto aplica cuando se estn multiplicando o dividiendodos nmeros a la vez) :Signos iguales = positivo ej . -2 -3 = 6-10 / -2 = 5 23 = 6 10 / 2 = 5 Signos distintos = negativo ej. -2 3 = -6 -10 / 2 = -5 2 -3 = -6 10 / -2 = -5 Ejercicios de Prctica:1) 2 -2=2) -3 -8=3) 10 -2=4)-2-30=5) -2456)435 7) 25 /5 8)24 /8 9) 8 / 4 Instituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas910)30 /2 11) 0 / -312) -4 / 0Respuestas11)0 / - 3 = 0 --------------> Cero dividido por cualquier nmero que no sea cero esigual a cero.12) -4 / 0 = no se puede --------> La divisin por cero no est dividida.Piensa Como divides una pizza en cero pedazo? Me parece que se te va a enfiar, porque no sepuede dividir en cero pedazos.=NmerosRacionalesk El conjunto de los Nmeros Racionales se cre debido a las limitaciones declculo que se presentaban en el conjunto de los Nmeros Naturales, Nmeros Cardinalesy Nmeros Enteros. Por ejemplo, slo se puede dividir en el conjunto de los NmerosEnteros si y slo si el dividendo es mltiplo, distinto de cero, del divisor. Para solucionaresta dificultad, se cre este conjunto, el cual est formado por todos los nmeros de laforma . Esta fraccin en la cual el numerador es, es un nmero entero y ela/adenominador, es un nmero entero distinto de cero. /k = Conjunto de los Nmeros Racionales... , , ,, , k = , 0 , ...8 1 1 1 1 84 2 4 4 2 4El conjunto de los Nmeros Racionalesse ha construido a partir del conjunto de ( ) klos Nmeros Enteros . ( ) tSe expresa :k t = a/ a / =0tal quey ; yb Cada fraccin es un nmero racional y cada nmero racional consta de infinitasfracciones equivalentes.Instituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas10Calcula:1 )6/4+3/8+1/22 )2/5+4/3+3/153 )8/9-4/54 )5/3-1/25 )4/5+1/2-7/86 )1/6-5/9+3/27 )4 +2/58 )5-7/89 )3/4-110 )4/5 2/311 )-2/3 6/712 )6 2/913 )5/8 414 )3/83/415 )41/316 )1/3 417 )3/4 ( 2/3+1/6 )18 )( 2/5-1/2 ) 4/719 )( 1/3-1/6 )1/220 )1/6( 1/3-1/2 )Respuestas1)R: 19/82 ) R: 29/153 )R: 4/454 )R: 7/65 )R: 17/406 ) R: 10/97 )R: 22/58 )R: 33/89 )R: -1/410 )R: 8/1511 )R: - 4/712 )R: 4/313 )R: 5/214 )R: 1/215 )R: 1216 ) R: 1/1217 )R: 5/818 )R: - 2/3519 ) R: 1/320)R: -1Instituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas11=NmerosIrracionales11= = k+ Conjunto de Nmeros IrracionalesConjunto de Nmeros Decimales Infinitos no Peridicos 1=Este conjunto surgi de la necesidad de reunir a ciertos nmeros que no pertenecen a losconjuntos anteriores; entre ellos se pueden citar a las races inexactas, el nmero, etc. A l pertenecen todos los nmeros decimales infinitos puros, es decir aquellos nmeros queno pueden transformarse en una fraccin. No deben confundirse con los nmerosracionales, porque stos son nmeros decimales finitos, infinitos peridicos e infinitossemiperidicos que s pueden transformarse en una fraccin.Ejemplos de nmeros irracionales: 1) 8_ 1,4142135.... 2) 0,10200300004000005.... 8)Puedes identificar si los siguientes nmeros son irracionales o no?1) 3,44442) _73) 2,345687532211790654324) -3,456...=NmerosRealeslLa unin de los racionales y los irracionales forma el conjunto de los nmeros reales. .Teniendo eso en cuenta, se puede representar grficamente el conjunto de los reales conuna recta, en la que cada punto representa un nmero.Clasificacin de los nmeros realesUn nmero real puede ser racional (si se puede representar mediante una fraccin) oirracional (si no se puede representar mediante una fraccin). Ejemplos de nmerosreales racionales son el 2, 7, 1500, 3/4, 8/7 y de nmeros reales irracionales,._ _ , 2ejercicios:I Ordena de mayor a menor:1 )2/3y3/42 )3/5y5/93 )1/2,4/7y3/8II )Ordena de menor a mayor:1 )4/5y7/92 )3/4y6/73 )2/5,4/9y3/7Instituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas12III)Transforma a decimal:1 )3/42 )4/53 )3/84 )2/35 )5/66 )8/57 )21/9IV)Transforma a fraccin:1 )0,352 )1,43 )2,5V)Calcula:1 )0,04+0,22 )0,31+2,23 )6,057+4,1254 )0,48-0,35 )2,41-3,56 )- 0,26+0,187 )- 3,45-8,748 )5,03+2,58-4,99 )3,6-9,05+5,7110 )0,03 0,411 )- 0,21 0,512 )2,3 ( -1,4 )13 )- 0,006 ( - 0,005 )14 )0,360,615 )- 0,250,0516 )2( - 0,4 )17 )- 0,6( - 3 )18 )0,06250,2519 )0,196( -2,8 )20 )- 25,60,03221 )2,430,02722 )0,5 ( 0,08+0,21 )23 )( 0,41-0,83 ) ( - 0,6 )24 )( 0,36-0,21 )1,525 )- ( 0,02+0,1 )0,000626 )( 0,2+0,05 ) ( 0,3+0,01 )27 )( 0,3+0,01 )( 0,2+0,05 )28 )( 1,4-2,3 ) ( - 3,5+7,2 )29 )( 4,1+1,4 )( 6,2 - 6,25 )30 )0,25+1/4Instituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas1331 )0,75-1/232 )0,11/633 )- 2/50,834 )2,251/235 )3/50,136 )( 3/4+1/2 ) 0,537 )( 0,26-0,66 ) 3/438 )( 0,36-0,2 )2/539 )0,6 ( 1/6+1/4 )40 )0,2( 1/5-2/15 )VI )Ordena de mayor a menor:1 )0,03,0,035y0,162 )0,01,- 0,2y0,0063 )- 0,018,- 0,01y- 0,0094 )- 0,06,- 0,03y0,025 )0,0508,0,05082y0,05009VII )Ordena de menor a mayor:1 )0,06,0,061y0,12 )4,06,- 2,3y1,063 )-1,25,- 2,79y6,454 )1,304,1,3061y1,30095 )- 2,008,- 2,0009y- 2,0076VIII)Expresa en notacin cientfica:1)28.000 2 )0,0009 3 )502.000.000 4 )0,00201 5 )0,15 IX)Expresa en forma decimal:1 )3,7 10 8 2 )1,5 10 - 6 3 )4,08 10 3 4 )7,4 10 - 5 5 )2,09 10 - 4 X)Expresa:1 )240.000 menKm2 )3,6 Kmenm3 )27.000 cmenm4 )0,048 menmm5 )6,021 mendmInstituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas146 )0,08 dmenmm7 )0,105 mencm8 )79 cmenmm9 )58.000 mmenm10 )370 mmencm11 )8.204 cm 2enm 212 )0,006 Km 2enm 213 )9,3 10 10 m 2enKm 214 )2,3 10 -6 m 3encm 315 )1.800 mlenl16 )0,2lenml17 )0,03 Kgeng18 )7 10 5 mgeng19 )0,064 genmg20 )297 genKg21 )1,5 hrenmin22 )0,5 hrenseg23 )720 segenmin24 )270 minenhr25 )2,5 minenseg26 )28 m+96 cmenm27 )0,3 Km+406 menm28 )1,8 m 2+3.000 cm 2enm 229 )5,9l+600 mlenl30 )700 ml-0,3lenl31 )0,9 Kg+400 genKg32 )0,7 Kg-250 geng33 )5,6 g+800 mgeng34 )1 hr+30 minenhr35 )5 min+48 segenminXI)Calcula:1 )7,3 C sobre cero+4,5 C bajo cero2 )0,8 C bajo cero+0,6 C sobre cero3 )3,6 C sobre cero-2,7 C sobre cero4 )7,5 C bajo cero-5,8 C bajo cero5 )1,8 C sobre cero-9,1 C bajo ceroRespuestas:I)Ordena de mayor a menor:1 )R: 3/4 > 2/32 ) R: 3/5 > 5/93 ) R: 4/7 > 1/2 > 3/8Instituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas15II)Ordena de menor a mayor:1 ) R: 7/9 < 4/52 ) R: 3/4 < 6/73 )R: 2/5 < 3/7 < 4/9III)Transforma a decimal:1 ) R: 0,752 )R: 0,83 )R: 0,375IV)Transforma a fraccin:1 )R: 7/202 )R: 7/53 )R: 5/2V)Calcula:1 )R: 0,242 )R: 2,513 )R: 10,1824 )R: 0,185 )R: -1,096 )R: - 0,087 )R: -12,198 )R: 2,719 )R: 0,2610 )R: 0,01211 )R: - 0,10512 )R: - 3,2213 )R: 0,0000314 )R: 0,615 )R: - 516 )R: - 517 )R: 0,218 )R: 0,2519 )R: - 0,0720 )R: - 80021 )R: 9022 )R: 0,14523 )R: 0,25224 )R: 0,125 )R: - 20026 )R: 0,077527 )R: 1,2428 )R: - 3,33Instituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas1629 )R: - 11030 )R: 1/2 ( 0,5 )31 )R: 1/4 ( 0,25 )32 )R: 1/6033 )R: - 8/25 ( - 0,32 )34 )R: 9/2 ( 4,5 )35 )R: 636 )R: 5/8 ( 0,625 )37 )R: - 3/10 ( - 0,3 )38 )R: 2/5 ( 0,4 )39 )R: 1/4 ( 0,25 )40 ) R: 3VI)Ordena de mayor a menor:1 )R: 0,16 > 0,035 > 0,032 )R: 0,01 > 0,006 > - 0,23 )R: - 0,009 > - 0,01 > - 0,0184 )R: 0,02 > - 0,03 > - 0,065 )R: 0,05082 > 0,0508 > 0,05009VII)Ordena de menor a mayor:1 )R: 0,06 < 0,061 < 0,12 )R: - 2,3 < 1,06 < 4,063 )R: - 2,79 < -1,25 < 6,454 )R: 1,3009 < 1,304 < 1,30615 )R: - 2,008 < - 2,0076 < - 2,0009VIII)Expresa en notacin cientfica:1 )R: 2,8 10 42 )R: 9 10 - 4 3 )R: 5,02 10 84 )R: 2,01 10 - 35 )R: 1,5 10 - 1IX)Expresa en forma decimal:1 ) R: 370.000.0002 ) R: 0,00000153 ) R: 4.080 4 ) R: 0,0000745 ) R: 0,000209Instituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas17X)Expresa:1 )R: 240 Km2 )R: 3.600 m3 )R: 270 m4 )R: 48 mm5 )R: 60,21 dm6 )R: 8 mm7 )R: 10,5 cm8 )R: 790 mm9 )R: 58 m10 )R: 37 cm11 ) R: 0,8204 m212 ) R: 6.000 m 213 ) R: 9,3 10 4 Km 214 ) R: 2,3 cm 315 ) R: 1,8l16 ) R: 200 ml17 )R: 30 g18 )R: 700 g19 )R: 64 mg20 )R: 0,297 Kg21 )R: 90 min22 )R: 1.800 seg23 )R: 12 min24 )R: 4,5 hr25 )R: 150 seg26 )R: 28,96 m27 )R: 706 m28 )R: 2,1 m 229 )R: 6,5l30 )R: 0,4l31 )R: 1,3 Kg32 )R: 450 g33 )R: 6,4 g34 )R: 1,5 hr35 )R: 5,8 minXI)Calcula:1 )R: 2,8 C2 )R: - 0,2 C3 )R: 0,9 C4 )R: - 1,7 C5 )R: 10,9 CInstituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas18Problemas que usan fracciones1. Los dos quintos de los ahorros de Laura son $53,40. Cunto dinero tiene ahorrado?2. Jos sale de su casa con $50 y gasta 4/5 en el cine y 1/10 en chocolates, qu fraccindel total ha gastado?3. Gonzalo vive en Buenos Aires y decide visitar a su hermano que vive en la provinciade Santa Cruz. El primer da recorre 2/7 del camino y el segundo da 2/5 de lo que lefalta. Si le quedan an 900 km por recorrer, cuntos km tiene el camino?4. Ya complet los 2/5 de un lbum. Para llenar un cuarto de lo que me falta necesito 36figuritas. Cuntas figuritas en total tiene el lbum?5. Pagamos $38 por un libro, un cuaderno y una birome. El precio del cuaderno es unquinto del precio del libro. La birome cuesta un tercio de lo que cuesta el cuadernoCunto cuesta el libro?6. Del total de alumnos de una escuela de Mendoza, la mitad naci en esa provincia, untercio en otra provincia argentina y los restantes nacieron en otros pases. Si son 83 losalumnos extranjeros de la escuela, cuntos de los alumnos de la escuela nacieron enMendoza?7. Mara gast en el supermercado las tres cuartas partes del dinero que llevaba. Despusfue a la zapatera y quiso comprar tres pares de zapatillas a $9,90 cada una, pero lefaltaban $6,50. Cunto dinero tena al entrar al supermercado?8. Javier ayuda a su pap en su negocio. Durante las vacaciones lo hace de lunes aviernes y en poca de clases, los sbados. Por cada da de trabajo recibe $4,50. Alterminar las 8 semanas de vacaciones haba ganado 2/3 del dinero que necesita paracomprarse una bicicleta nueva. En cuntos sbados reunir lo que le falta? Cuntocuesta la bicicleta que quiere comprar?9. Sobre un terreno rectangular de 630 X 800 m hay una pequea laguna que ocupa el10% de la superficie total, un pequeo bosque que ocupa 2/9 de la superficie restante yun viedo que se extiende sobre el resto. Cuntas hectreas ocupa el viedo?10. El Sr. Gmez decide repartir su capital en partes iguales entre sus tres hijos: Roberto,Jorge y Gloria, reservndose para s un quinto del total. A su vez, Roberto renuncia a susderechos a favor de sus hijas: Ana, Mercedes y Mara, que se reparten lo heredado enpartes iguales. Jorge es el padrino de Mara, le da a sta la mitad de lo que le correspondea l y entonces Mara recibe en total $8000. Con cunto se qued el Sr. Gmez?Instituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas19Respuestas1. 133,50$2. 9/103. 2100 km4. 240 figuritas5. El libro cuesta $306. Nacieron en Mendoza 249 alumnos.7. Al entrar al supermercado tena $92,808. Tiene que trabajar 20 sbados. La bicicleta cuesta $2709. 35,28 ha.10. El Sr. Gmez se qued con $7200Instituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas20 Mdulo A2__________________________Resolver problemas depotencias___________________________________________________________________________________ PotenciasTu puedes ocupar potencias para escribir nmeros, en estudios cientficosPara resolver y aplicar problemas de potencias tendrs que:-Definir una potencia, identificar sus partes-Identificar propiedades de una potencia-Aplicar propiedades de las potencias usando ejercicios y problemas delos operadores.Instituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas21=PotenciasLuisa quiere saber cuntos bisabuelos y tatarabuelos ha tenido. Para contarlos dibuja ensu cuaderno su rbol genealgico:Ella tiene 2 padres (un padre y una madre).Cada uno de ellos tiene 2 padres. Por tanto, ella tiene 2*2 = 4 abuelos.Cada abuelo tiene a su vez 2 padres, luego ella tiene 2*2*2 = 8 bisabuelos.Cada bisabuelo tiene a su vez 2 padres; ella tiene 2*2*2*2 = 16 tatarabuelos.Operacin ResultadoPadres 2 = 221=Abuelos 2*2 = 242=Bisabuelos 2*2*2 = 288=Tatarabuelos 2*2*2*2 = 2164=En muchas situaciones hay que multiplicar un nmero por s mismo varias veces. Paraabreviar, en lugar de escribir 2*2*2*2 escribimos 2y lo llamaremos potencia.42se lee "2 elevado a 4" o tambin "2 elevado a la cuarta".45se lee "5 elevado a 2" o tambin "elevado al cuadrado", que es ms habitual.2Una potencia es el resultado de multiplicar un nmero por s mismo varias veces. Elnmero que multiplicamos se llama base, el nmero de veces que multiplicamos la basese llama exponente.En la potencia 2 , la base es 2 y el exponente es 4.4Calcula las siguientes potencias: 3 ,5 , 7 ,2 ,10 ,4 . En cada caso escribe cul es la 8 2 7 4 8base y cul es el exponente.Luego podemos indicar que: As,\: , aa a...a = a:t _______________n vecesEjemplos:1) 2 +5 =( 2 2 2 2 2 ) + ( 555 )= 32 +125=1575 3 2)( 3) =3 3 3=27 3Instituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas22Propiedades:I. Potencias de igual base.a) Producto de potencias de igual base :Para multiplicar potencias de igual base, se conserva la base y sesuman los exponentes. aa = a: : Ejemplos:1) aa = a5 3 8 2)aa =aa 8 / 2a4/ 8a / 3) ( ) : : : : =: : :2 3 4 5 3 2 5 5 7 7 3 1 a a a a a a 4 ) aa =a23 2 + 3=aInstituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas23b) Divisin de potencias de igual base: Para dividir potencias de igual base, se conserva la base y serestan los exponentes.a : a = = a a = 0aa: :: Ejemplos:1) : a a =a =a5 3 5 3 2 2) :a a = a5 3 2 : :3)( ) :a a a a =a a a84 1 +1 7 2 3 : : : : : :4 ) : = =2 8 2 (8) II. Potencias de igual Exponente.c) Producto de potencias de igual exponente: Para multiplicar potencias de igual exponente, se multiplican lasbases y seconservan los exponentes.a/ = (a/) Ejemplos:1)2 5(10)10003 3 3 = = 2) (2 )24 8a= a =/ / /a 4a33 33_ _ _ _3 2 )1 = 2= 8 = 27

3( ( 1 82 28 88Instituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas24d) Divisin de potencias de igual exponente: Para dividir potencias de igual exponente, se dividen las bases y seconserva el exponente : a : / = (a : /) = : / = 0a a/ / ( Ejemplos:1)48 :1638148164 4 44 = = = ( 2) (- ): ( ) ( )( )( ) ( )a / a / = = a /a/a/a /2 2 3 333_ _ 3 )4 : 2 = (4 : 2) = (2) = 82 III. Potencia elevada a potencia.Para elevar una potencia a una potencia, se conserva la base y se multiplican los exponentes.(a ) = a: : Ejemplos:1)( ) a =a2 5 102)[ (2 ) ] ( 2 )1 1( 2) 16 = = =2 244 3) ( )( )( )a /c d a / c da / c d a / c d= = a / c d2 3 2 2 3 4 6 3 6 1 2322 4626 2 9 4 4) (3 )(3)2 3= =82 8 6IV. Otras propiedades-Toda potencia elevada a exponente uno es igual a su base.a a 1 -Toda potencia de exponente cero es igual a uno.0 ; 10za a

Instituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas25-Toda potencia de exponente negativo es igual a uno dividido por la potenciacon exponente positivo.0 ;1z

aaann -Toda potencia de base fraccionaria con exponente negativo es igual alrecproco de la base y exponente positivo.0 ; 0 ; z z

b aabban n

Ejemplos:1 )40 28 = 80 0 2)a/a/ = a/ = 1:1 8: 1: :8 0 0 3) [ 8(a 2j) (7a 4j) 28[ = 12 8 04)2 1 12 8 33= =5)2+ 4 + 8 + +1 1 1 32 4 8 646 3 2 6 3 2 = =6)_ _ _ _8 4 164 8 0= =2 2SignosdeunaPotenciaPotenciadeExponentePar:Sabemos que un nmero par cualquiera se expresa por 2:siendo perteneciente al conjunto . Por lo tanto, si la base de una potencia es positiva : ty su exponentees par, la potencia tambin es positiva.( )[ ()] ( ) = / = / = / /22 2 2 : : : :Si la base es negativay el exponente par, se obtiene( )[ ()] ()+ / = / = / = /2 22 2 n : : : :Luego "Toda potencia de exponente par de un nmero real es siempre positivo". Es decir;( ) para que pertenezca al conjunto y al conjunto . / =/ : /22 : :t lInstituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas26Ejemplos:1)( 7) ( 7) ( 7)= 49 = 22)( 4) ( 4) ( 4)( 4) ( 4) =256 = 4PotenciadeExponenteImpar.Unnmeroimparseformaagregandolaunidadaunnmeropar.Porlotanto,(2 + ) : 1expresa un nmero impar cualesquiera siendo perteneciente al conjunto. : tEntonces:Si la base es positiva y real la potencia tambin es positiva es decir : / ,( ) ( )( ) = / = / / /2 2 2 1 :1 : :Si la base es negativa se obtiene: /() ( )( ) ( ) ( ) / = / / =// 1 = /2 12 2 2 1 : : : :Por lo tanto"Toda potencia de exponente impar tiene el signo de la base "( ) / = /21 2 1 : :Ejemplos:1)(3 )( 3)( 3) 243 = = 4 52)( )( )( ); a a = a =a a3 2 43 4 a a1 a a 8pertenece a h3)( 2)(2) 4 8 32 ==2 34)( 2 ) (2)(2)32 = =32 5Ejercicios PropuestosI) Simplifique las siguientes expresiones1)2) () a/a/ a a aa2 5 3 31 4 5 1 3 a a a 3) (:)4) 3a aa / aa / a/3 4 52 35 2 2 75) []2 6) 61 13 4a j : : 2 34 0 44 4_ _ _ _7)( ) : ( ) 8)(0,5)+ (0,25)+ (0,125) a / a /2 2 3 3 6 3 29) ( ( ( a/ a/ c da / c d a / 2 3 410)(0, 5)+ (0, 25)+ (0, 125)11)[ ( ) ] : a 63 2 3cInstituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas27II) Simplifique las siguientes expresiones y de la solucin sin exponentesnegativos.1)5)2a /c (a/ )4a / c (/a)4 2 8 2 1 22 8 8 2 11_ _2) 6) ( 8a/ (8aj )(a j)c 8aj(a/ )4 2 818 2 22 8 8 43) 7)aj aj a/c a/ c(aj) j /a c a /c :2 2 8 2 4 8 4 22 2 4 2 8 2 0 1 2 8__ _ _ _ _4)(6a .)(8)(a.)0aj8 2 24 2Respuestas I ) 1) 2) + 3)a / a a a a3 8 02 3 5 8 12 a a4) 5)3 6) + 316/ a/ a 1a /9 8 5 35 7 7)() 8) 364a/39) 10)19211)( )( )( )a /c da/c23a :II)1)2) 3)/ ca2a / aj10 4 2 8 4)5)6) 2.j a 0a / aj 2 8 4 2 7)a/ c216 Instituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas28NotacinCientficaLaspotenciasde10tantoconexponentespositivoscomonegativostienenbastanteimportanciayaplicacinsobretodoenFsicayQumicaparaescribircantidadesmuygrandesomuy chicasen forma abreviada. Veremos algunos ejemplos:1)Lamasadelatierraes5.980.000.000.000.000.000.000.000,Kg.aprovechandolaspotencias de 10 se escribe sencillamente5,98 10Kg. 242)Uncoulombtienetresmilmillonesdestatcoulomb=3000.000.000Stcabreviadamente se esribe:3 10stc.93)Elgruesodeunahojadepapeldecuadernocorrienteessietecienmilsimosdemetros. 0,00007m; abreviadamente se escribe 7 10 m 5 4)Eldimetrodelarbitadelelectrndelhidrgenoesundiezmillonsimosdemilmetro = 0,0000001 mm lo que se escribe 10 mm. 7 Ejercicos propuestosAprobeche las potencias de 10y escriba abreviadamente con una cifraenteray un decimal las cantidades indicadas. )280.000.000.000 1)El nmero de avogadro es : 2602.300.000.000.000.000.000.000.molculasmol)El grueso de un vidrio corriente de venta es de un milsimo de metro. 8Respuestas) 2, 8 10 1 11)6, 023 102 23 molculasmol)10 m 83Instituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas29AnlisisDimensionalLa palabra tiene un significado especial en fsica. Suele significar la naturaleza dimensinfsicadeunacantidad.Yaseaquesemidaunadistanciaenunidadespiesometros,setrata de una distancia.Se dice que una dimensin es la longitudSilossmbolosempleadosparaespecificarlongitud,masaytiemposon, y 1 ` 1respectivamente, escribiremos las dimensiones de velocidadcomo. =11Otroejemplolasdimensionesderea,son.Lasdimensionesderea, , = 12volumen, velocidad y aceleracin se registran en la tabla siguiente.CabedestacarqueSIcorrespondealsistemainternacionaldeunidades.Enestesistemalasunidadesdelongitud,masaytiemposonelmetro,elkilgramoyelsegundorespectivamente.Sistema rea ( Volumen ( VelocidadAceleracinSIDe ingeniera britnico1) 1) - -cq- c c c- c-ic ic ic- ic2 8 1 11 12 8 22 8 22 8j j 2-2En muchas situaciones ser necesario deducir o verificar una frmula especfica. Aunquesehayanolvidadolosdetallesdeladeduccin,hayuntilyeficazmtodoconocidocomoanlisisdimensionalquepuedeutilizarseenladeduccinoverificacindesuexpresinfinal.Esteprocedimientosedebeemplearsiempre,puestoqueayudaraminimizar la memorizacin rutinaria de ecuaciones. El anlisis dimensional aprovecha elhecho de que las dimensiones pueden tratarse como cantidades algebraicas. Es decir, lascantidades pueden sumarse o restarse slosi tienen las mismas dimensiones. Asimismo,lostrminosdeambosladosdeunaecuacin deben tener las mismasdimensiones. Conestassencillasreglaspuedeemplearelanlisisdimensionalparadeterminarsiunaexpresin tiene o no la forma correcta, puesto que la relacin slo puede corregirse si lasdimensiones en ambos lados de la ecuacin son iguales.Parailustraresteprocedimiento,supngasequesedeseaobtenerunafrmulaparaladistancia recorrida por un carro en un tiempo si el carro parte del reposo y se mueve a tconaceleracinconstante.Laexpresincorrectaparaestoes. Utilizaremos a a = at122elanlisis dimensional para comprobar la validez de esta expresin.La cantidaden el lado izquerdo tiene la dimensin de la longitud. Para que la ecuacin aseadimensionalmentecorrecta,lacantidadenelladoderechotambindebetenerlamismadimensin.Sepuedeefectuarunacomprobacindimensionalalsustituirlasdimensionesdelaaceleracin,yeltiempo,enlaecuacin.esdecir,laforma1112dimensional de la ecuacin es: a = at1221 = 1 = 11122Instituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas30Si cancelamos las unidades de tiempo nos queda la unidad de longitud.Ejemplos:Muestre que la expresin es dimensionalmente correcta, donde = a t 0y representan velocidades, es la aceleracin y es un intervalo de tiempo. a t0 Si observamos la tabla, tenemos:= 1 =1 1 11 1 12Lo que es dimensionalmente correctoConversin de Unidades:Algunasvecesesnecesarioconvertirunidadesdeunsistemaaotro.Losfactoresdeconversin entre las unidades SI y convencionales de longitud son como siguen:1 i||a = 1600 = 1.600 /1 = 80.87n|q = 8.281 ic. 1 ic = 0.8048 = 80 48 c1 n|q = 0.024 = 2.4cEsposibletratarlasunidadescomocantidadesalgebraicasquepuedencancelarseentres.Porejemplo,sisedeseaconvertir15.0 acomo1 ,se n|q c, n|q = 2.4cencuentra que:1.0 n|q = (1.0 n|q) 2.4 = 88.1 ccn|q_ _Ejemplos:Respiraciones en una vida:Estime el nmero de respiraciones que se realizan durante una vida promedio de 70 aos.Elnicoclculoquedebehacerseenesteejemploeselnmeropromedioderespiraciones que una persona efecta en 1 minuto. Este nmero vara, dependiendo de silapersona hace ejercicio, duerme, tiene hambre, est serena, etctera. As, se tomarn 8respiraciones por minuto como rpomedio. El nmero de minutos en un ao es:ao605.26 10 mindas h minao da h18624= 5Por tanto:, en 70 aos habr (70) (5.26 10 ) 3.68 =105 7Aunatasade8respiracionesporminutoelindividuorealizaracercade3.68107respiraciones.Instituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas31 Mdulo A3_________________________Aplicar propiedades de las racesen ejercicios combinados__________________________________________________________________________________ RacesTu vas a emplear races para analizar grficos, tambin trabajando como operadorvas aocupar races para resolver problemas opuestos a las potenciasPara aplicar las propiedades de las rices en la definicin de problemas debers:-Definir una raz e identificar suspartes-Identificar las propiedades de las races-Aplicar propiedades de las races usando ejercicios y problemas de los operadoresInstituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas32=RaicesSabemos que 749. Esta igualdad la podemos expresar tambin como2=7 = 40_y se lee 7 es igual a la raz cuadrada de 49. En general, se define la raz cuadrada de unnmero como otro nmero tal que. a / / = a2Igualmente, se define raz-sima de un nmero al nmero tal que: a / / = a:Y escribimos:/ = a_:El nmero se llama radicando y el nmero, ndice. a :Por ejemplo1)por que 2 : 8 = 2 = 8_8 82) por que 4_426 =4 = 264Deestaforma3) 9+ 25 =3 + 5 =8_ _4) 27+ 81+ 16+ 32= 3 + 3+ 2 + 2 = 10_ _ _ _3 5 4 4Es importante precisar que no todos los nmeros poseen races. Las raz cuadradade no existe, pues el cuadrado de cualquier nmero, sea positivo o negativo, siempre 4es positivo. Por la misma razn no existe la raz cuadrada de ningn nmero negativo nila raz de ndice par de ningn nmero negativo.Ejemplo:_ 25 no pueden ser un nmero real, pus tanto ( + 5 )como ( 5) es 2 2+25.Esnecesario,entonces,"imaginarse"unvalorpara 25 yparaellose_escribe en forma de producto.En efecto2525( 1) 5 1. : = = ___Este nmero no pertenece a los nmeros reales.Nota: Es un error muy comnconsiderar iguales a:6436 con 6436 si observamos se tiene:_ _ _ 64 3664 36_ _ _ = 100 8 + 6_= 1014 =Luego_ __a j = a j2 2 2 2

_ __a j = a j2 2 2 2Instituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas33 : Potencia de exponentefraccionarioTodarazsepuedeescribircomounapotenciadeexponentefraccionariocuyonumerador es el exponente de la cantidad subradical y el denominador es el ndice de laraz.; de modoa = a a = a::_ _ : : Ejemplos:1) 81 8181 30,25= = =144_ 2) 3232 ( 32)280,6 3 3= = = =355_ 3) a = a82_8 4) a = a_7878 5) a = a_Observacin:El ndice fraccionariose puede amplificar o simplificar segn convenga:sin que cambie el valor.Estapropiedadtambinseaplicacuandoqueremosmultiplicarodividirracesdedistinto ndice.Ejemplos:1 Simplificar las races: ) a = a = a_ _ _20 20:2 1014 14:2 72Convertir a igual ndice las races:) a : a_ _8 62 7 a)_ _ _ 8 84 12a = a = a2 24 8b)_ _ _6 62 12a = a = a7 72 143) _ _ _ _8 4 4 84a / a / . 2 24 = 88 = _ _12 12a /8 1=_12a/8 1Instituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas34=PropiedadesdelasracesI. Multiplicacinde races de igual ndice.Para multiplicar races de igualndice se conserva el ndice y se multiplican lascantidades subradicales y viceversa. _ __ _ _ : :: : :a/ = a/ : a: / l Ejemplos:1) 24, 593_ _ _ = =2)(7 + 27) 321 + 819 +21_ _ _ _ _ _ = =3) 80, 125 8 11_ ___5 5 5 5== =18 II. Divisin de races de igual ndice.Paradividirracesdeigualndiceseconservaelndiceysedividenlascantidadessubradicales y viceversa. ____ __::: : ::a/= = a : /: / = 0: a : / a/l Ejemplos :1) 4 2__8 2 82= = = ml2)625 : 5 12556255l l ln3 3 3 3= = =III. Raz de una raz o producto de ndices.Para extraer raz de unaraz se multiplican los ndices y se conserva la cantidadsubradical.ml l l l : : : :a = a : a : : a l l Instituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas35Ejemplos:1) ml l3 6/ = /2)77ml0,254=IV. Potencia de una raz.Paraelevarunarazaunapotenciasetransformalarazapotenciadeexponentefraccionario y se aplica la propiedadde potencia elevada a una potencia.( a ) = a = a:l l: : l Ejemplos:1)(l l8 8 108 8a) = (a) = a = a 10 2 22)( a) = (a ) = a = al 1 3) (4 2 ) = (42) = 4(2)l81 18 88 8 8 8= 642= 128V. Intoducir el coeficiente de una raz como factor del subradical.En general, si se tienese obtiene: a /l:l l l: : :a/ = a /: :Luego: a / = a /l l: :: El coeficientede una razpasa como factor del subradicalelevndoloal ndicede laraz.Ejemplos: 1)35359 5 45 l l l l===22) 2 3 5266 7l l lm 235 26= n6 7 6 7l l l2 Instituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas36 (2 26 3) (5 2 6 )(5 2 6 ) 526)= = ( ml l l lm= = =254 6 25241l lVI. Signos de una raz.Raz de indice impar.Tiene elindice de la cantidad subradical.Ejemplos:1)644 pus(4) 64l3= = 32) 27 3pus ( + 3) +27l3= =33)322 pus ( 2 )32l5 = = 5EjerciciosSin usar calculadora, determina el valor aproximado de las siguientes raicesa) 7 /) 8 c) 0 l l ld) 0 c) 20 )) 28l l l8 8 4Empleando tu calculadora determina el valor aproximado de.a) 28 /)20 c) 8 l l 8888 8d) 8 c) 0 )) 224l l 7 7RacionalizacindeDenominadores.Sonmuycomuneslasexpresionesfraccionariasquecontienenraceseneldenominador, su racionalizacinconsiste en eliminar las races del denominador .Instituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas37Primer caso : Cuandoeldenominadoresunmonomioirracionalseamplificalafraccinpor ste monomio. a a / a // / /==/ l l ll lEjemplos1:326 6 2 6222 2 2 l l ll ll== =Segundocaso: Si el denominador es un binomio irracional se amplifica la fraccin poreste binomio, pero, cambiando de signo de uno de sus trminos, es decir, se amplificarpor el "binomio conjugado " . En esta formaqueda en el denominador el productode lasumapor la diferencia de los dos trminosdel denominador.Ejemplos: l) 121213 213213 2 13 2l l ll =

1213 2 134=6 7l

12 13 2413 2 9 3= = 6 7 6 7l l2) = 33 5 2 52 5 2 52l l l l l ll l

3 52352 5 2 3= = 6 7 6 7l l l l5+2 =l lInstituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas38=Ejercicioscombinados1 2) 52 ) a al6 7 6 7ll34 34 23) 4) 17 7 6 7 6 7 6 7l ll l la / a / 25)9166)16 3212 0, 25 0, 75 0, 47)12, 5 2 8)8 18 l l l l 9)12564 10) 49l l3 a / c2 4 611) 753 lla /a/312)1550 1832 6200:3 26 7l l l l 13)14) 8 163227 81243n n n3 5 415) 32 16) l l5 53 13/17)18)l lml2 2 3: :/ / /73 97 : :19) 3 220)5 721)3 5 l ll22) 23)6 188 5+ 2 188 l l l ll l2 ) Determina el valor aproximado de 4a) 3l l2 /) 4 8 6c) d)26 4llInstituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas39Respuestas1)2 2)50 3)a b a 4)344 14 7 5)56)4 l7)58)129)2010) 7 11) 5 12) 29 a/ c a2 313)14)15) 8 2 43 316)17)18)/ / / /2 3 3 l l5 619) 18 ) 175 2 ) 3 5 5l ll20 12 )2 ( 5 2 )2 ) 52 8l l24) a) 4, 24 /)12, 028 c) 1, 010d) 1, 78 Instituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas40Autoevaluacin de la Unidad1. Simplificar las siguientes expresiones.a).c/ 2./4a/ .c

8 2 88 2 7/) ( a) : (a )2c)(8ca)27c/a2 86 2Resp: . : a) /) a c) a : /./2ac2 222. Sisetiene15milimetros,expresarenmetrosyenkilometrosutilizandonotacincientifica.8. , Obtener la medida 25 pies, en pulgadas.4 De 230 ( , obtener en ( . . ) )/ /v -cq. 1 6Resolver: l lInstituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas41 Mdulo B1_________________________Identificar dominio y recorridode relaciones__________________________________________________________________________________DominioyrecorridoderelacionesTu podrs utilizar las relaciones en la industria para explicarla vinculacin entre materiaprima y productos finales de un proceso-Definir una relacin-Esquematizar una relacin-Identificar dominio y recorrido de una relacin-Identificar relaciones en al vida como operador de plantaInstituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas42=RelacinElconceptoderelacinfuncinesunodelosmsimportantesdelasmatemticas.Ejemplos de correspondencias en la vida diaria son:- A cada artculo de un estante se le hace corresponder su precio.- A cada nombre de la gua telefnica se le hace corresponder uno o msnmeros de telfono.- Acada cuadrado se le hace correponder su rea.- A cada estudiante un nmero de matrcula. . . ..........etc.Uno de los aspectos ms importantes en cualquier ciencia es establecercorrepondenciasentrediversostiposdefenmenos.Unavezqueseconoceunacorrespondenciasepuedencalcularvaloresparaunavariable,conocidalaotra. Unanalsta de costos podra predecir los costos de diferentes niveles de salida de un procesodemanufactura;uninvestigadormdicopodraconocerlacorrepondenciaentrelasenfermedades cardacas y el aumento del peso.Los ejemplos anteriores tienen en comn que cada uno intenta formar pares de elementosdeunprimerconjunto,llamado,conloselementosdeunsegundoconjunto Dominiollamado Codominio.=DominioyrecorridoSedefineasunacomounacorrepondenciaqueasignaacadaelementodel RelacinDominio Codominiouno o ms elementos del .Unaesunarelacinconlarestriccindequeacadavalordelle Funcin Dominiocorreponde del. "unoyslounvalor" CodominioEjemplos :

Instituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas43El conjunto se denominay se denota por , el conjunto se 1o) 1 dominio de]!denominay se denota por y el conjunto de imgenes de se codominio de] Cod) ) a!!denominay se denota por recorrido1cc) .!Al determinar dominio y recorrido de:

Se tiene:1o( q) = a, /, c, d1cc (q) = 1, 2, 1o()) = 1cc ()) = Otro ejemplo sera:Seauna relacin tal que 1 = (1, 2), (8, 6),(, 6)Dom 1 = 1, 8, Rec 1 = 2, 6Enumera distintas relaciones presentes en tu vida como las descritas anteriormente.Instituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas44 Mdulo B2____________________________________Identificar funciones en grficosy diagramas_____________________________________________________________________________________________FuncionesengrficosydiagrmasUtilizando funciones tu podrs reconocer en los indicadores grficos los distintoscomportamientos o tendencias del proceso industrial-Definir funciones-Identificar una funcinmediante grficos-Identificar una funcinmediante diagramas.Instituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas45=FuncinUnaesunarelacinconlarestriccindequeacadavalordelle Funcin Dominiocorreponde del. "unoyslounvalor" CodominioA travs de los grficos tambin es posible darse cuenta cuando una relacin es funcin ycuando no lo es. Para ello se trazan paralelas al eje Y, si la paralela corta al grfico sloen un punto, entonces el grfico es una funcin, en caso contrario es slo una relacin.Instituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas46NotacinFuncional.Las funciones generalmente se simbolizan por las letrasdesignando por ] g h r , , " "ala variable independiente " " a la variable dependiente yporylanotacinms gcomnesendondeeslafrmulaalgebracaquerelacionaa"g = ] (r) ] (r) r "con"" . gEjemplos :1) Al permetro de una circunferencia se le hace correponder el dobledel valor demultiplicado por su radio. Si designamos porel radio r(variable independiente) y por al permetro (variable dependiente) gtenemos : g = r 2Instituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas472) A cada valor de Z se le hace corresponder el doble dedisminuido en 6.2= 2 63)A la temperatura en grados celsiusse la hace correponder.La 59 partes de la temperatura en grados fahrenheit disminuyendo en 32 .Asignando porla temperatura en grados celsius y por a la j atemperaturaen grados F, tenemos:g = r ( 32)59 SabemosqueunaFuncincomprendedosconjuntosdeelementos,unDominio,unCodominioyunaregladecorrespondenciaquepermiteasignarcadaelementodeldominioexactamenteunelementodelCodominio.Sirepresentaunelementodel adominio de una funcin, entonces, a menudo usaremos el smbolo en lugar de) ] ( r) gpara designar el nmero del codominio de la funcincon el cual seaparea. ) r g = ] ( r)Observacin : Sia una funcin , definida sobre los reales,no se le indica el dominioaldefinirlacorrepondenciaseentenderqueeldominioestconstituidoportodosaquellos nmeros reales para los cuales el valor de la funcin existe y es real.DominiodeUnaFuncin.El dominio de una funcin hace referencia al conjunto de los posibles valores que puedetomar la variable independiente esto es:=,Jon]D Ea a 1 j = )(a)Ejemplos: 1)Determine el dominio de las siguientes funcin.a) ( ) 34Solucin)a = a a : 1o =2lb) ( )Solucin : {4 } 9 4qa = 1o = a a2lInstituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas48c)3 6 Solucin :2 /(a) = a 1o = a_ld)( ) =Solucin : 7 + 1a 1o =a2lObservacin: Eldominiodelasfuncineslineales,cuadrticasypolinomialeselconjunto de losnmeros reales.RecorridodeunaFuncin.El Recorrido de una funcin hace referencia al conjunto de todas las imgenes que poseeuna funcin. Es decirlos posibles valores que puede tener la variable dependiente . ,{, } Hcc ] = j 1 a j = )(a)Ejemplos :Determine el recorrido de las siguientes funciones.a) ( )71 )a = a 1cc ) =lb) q(a) =a 1cc q =2 +0lPuesto que el recorrido es el conjunto de todas las posibles imgenes, entonces una formaprctica de determinar el recorrido es garantizando la existencia de su preimagen ( ) ; aestoselogradespejandodichavariableyanalizandoparaquevaloresde ""existe g" " rInstituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas49 Mdulo B3_______________________________Interpretar mediante la grfica eldominio y recorrido de una funcin lineal________________________________________________________________________________________ FuncinlinealTu podrs determinar el tipo de variableque utilizaun proceso productivo adems loque resulta en dicho proceso .-Definirdominio y recorrido de una funcin-Identificar dominio y recorrido en una funcin lineal-Graficar una funcin lineal-Interpretar grfica de una funcin linealInstituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas50=FuncinLinealDefinicin: ( ) Una funcin bien definida , es de primer grado o lineal cuando g =] restrepresentadaporunaexpresindelaformadondeyson g or b = a /constantes.=DominioyrecorridoEl dominio y el recorrido de una funcin lineal son todos los reales=Representacingrficadeunafuncinlineal.Para cualquier funcin definida en las variables e se puede considerar un conjunto de a jpuntosquesatisfacenlarelacindada;estospuntospuedenserrepresentadosenelsistemadecoordenadascartesianas;endondeelejeesasignadoalavariable " " rindependiente y el ejea la variable dependiente. La grfica de una funcin lineal es " " gunalinearectayparagraficarladebemosconocercomomnimo2puntosquelasatisfagan.En una funcin lineal de la formareconoceremos el valor de " " como g =orbala pendiente , designada por de la recta, el punto (0, ) la interseccin de la recta " " n /coneleje,porlocualalafuncinlellamaremosformaintersecto- j g =orbpendienteEjemplos :En la funcin7 reconoceremos pendiente, y3 3 22j= a =el punto ( 0,7 ) de interseccin de la recta con el eje (0 ). ja=Para graficar una funcin lineal de la forma , se necesita hallar 2 puntos j =a a /que satisfagan la ecuaciny unirlos con una linea recta.Conocido el intersecto" " (0,) , slo se necesita un punto ms por conocer, el que se j /puede determinar hallando el intersecto " " ,esto es,haciendo 0 a j =Ejemplos Representar graficamente la funcin : 37 j = a 0 7 a= =j = 0j= =a=73Dom; Rec = = l lInstituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas51Idea grfica : =GrficadeunafuncinlinealEjercicios: Dadaslassiguentesfuncionesdeterminaremossupendiente,paraluegoanalizar su pendiente y con ello analizar su inclinacin:a) 1 su pendiente es . j = a =3 34 4Su grficacorresponde a una con pendiente positivab)=2 6 su pendientees2 j a =Su grficacorresponde a una con pendiente negativa) = 4su pendiente esc j = 0Su grficacorresponde a una recta paralela al eje ad) 3 su pendiente esa = =Su grficacorresponde a una recta paralela al ejee)2su pendiente es..... a j 6 = 0 =Su grficacorresponde a una con pendiente ...f) 32 su pendiente es a j = 8 = ...Instituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas52Su grficacorresponde a una con pendiente ....g) su pendiente esj =2a 8 = ...Su grficacorresponde a una con pendiente ....h)su pendiente esj = 8a 2 = ...Su grficacorresponde a una con pendiente ....Instituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas53 Mdulo B4_________________________Resolver problemas aplicandofunciones lineales__________________________________________________________________________________AplicacinfuncinlinealMediante funciones lineales tu podrs identificar cuando un proceso se comporta enforma lineal y con ello cuantificarlo y analizar su tendencia-Determinar la ecuacin de una rectaque pasa por dos puntos-Transformar la ecuacin de la rectaa funcin lineal-Aplicar la funcin lineal a situaciones prcticasInstituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas54=EcuacindeunarectaquepasapordospuntosPendientedeunaLineaRecta : pendiente Definicin Lade una linea recta mide el cambio en ( ) tambin j j -conocidacomo" "divididaporuncambioen(), incremento en g a a -conocido como" ". Lapendiente indica la inclinacin y la direccin de incrementoenrunalinearecta.Cuantomayoreselvalorabsolutodelapendiente,msinclinadaeslarecta.Enlaformaintersectopendientedeunafuncinlineal,esla j = a / " " npendiente.Para una recta que pasa por los puntos(,);(,) ,la pendiente" a j a j1 1 2 2 " se puede expresar de cualquiera de las 2 formas siguientes :

n= =g g gr r r--2 12 11 2() a = aUna recta con pendiente que pasa por el punto ( ,) tiene la siguiente ecuacin a j1 1llamada forma " punto pendiente ".gg = nr r( )1 1Ejemplos: Determinar la ecuacin de la recta que une los puntos (2,3)y (-1,5).Pendiente : 3 5 22 13 = =Ecuacin: 3 (2)23j = a 3(3 ) 24 j = a 3213 j = a

2 133 3g = r Ejemplos :Determine ecuacin y pendiente de la recta de pendientey pasa por3 5 =el punto, 3 .1 28 9Ecuacin : 331 5 2j = a8 9Instituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas55 5 ( 3 ) 3j = a128 95 15 3 32j = a2 . 10 306 3 j = a10 6 27 j = a 3 27 5 10j = Ejercicios1).- En 1870, la temperatura media del suelo en Pars fue de 11.8 . Desde entonces ha Caumentado a una tasa casi constante, y en 1969 alcanz los 13.5 . CExprese la temperatura, en , en trminos del tiempo, en aos, siendo=0 el ao de 1 C t t1870, y 0< 0Races realesyDistintasiii)4 < 0Races Complejas. b oc2Representacin Grfica de una funcin Cuadrtica.La grfica de una funcin cuadrtica0 es una) a = ( ) ; "parbola" r = or b r c2quetienesueje(rectadesimetra)paraleloalejevertical.Si>0laparbolaes ocncava hacia arriba; y si0 la parbola es concava hacia abajo. o 0 y 1aLas funciones exponenciales se emplean para expresar crecimiento y decrecimiento, estaes la razn por la cual a estas funcionesfrecuentemente se les da el nombre de funcionesde crecimiento.Engeneralseempleanparadescribirporejemplo,aumentomonetario,auninterscompuesto,crecimientodemogrficodenmerodeanimalesybacterias,desintegracinradiactiva, etc.Ejemplo:Si se desea construir la grfica de la funcin exponencial2 j =aSe tiene la siguiente tabla de valoresa j 8 2 10 11 22 48 8181412Instituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas80IdeagrficaEn general, independiente de la base (> 1) , (1 ) toda funcin exponencial de la a a =forma pasa por el punto (0, 1). j= aaPropiedadesde la funcin exponencial.Supuesto > 0; ,1 ecualquier nmero real. a, / a / = : a j1) aa = aa j aj 2) 1a =aaa3) 8 9aa=aaja j 4)! a = aa ajj 5) ( ) a/ = a /a a a6)a a/ /=aaa6 7Ejemplo:2 j =a 8420 1123a j 8 2 1121418IdeagrficaInstituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas81 Una funcin exponencial tienen las siguientes caractersticas. Dada ; > 01 j =a a , a =aa)Eldelafuncineselconjuntodetodoslonmerosreales,eldela dominio rangofuncin es el conjunto de todos los nmerosreales positivos.b) Para > 1 la funcin es creciente y cncava hacia arriba; para 0 < < 1, la funcin es a adecrecientey cncava hacia arriba.c)Independiemtementedelabase,lafuncinexponencialpasasiempreporel j =aapunto (0, 1).Enlasfuncionesexponenciales,labasequeconmsfrecuenciaseutilizaeselnmeroirracional cuyo valor matemtico aproximado a la quinta cifra es2,171828...As la " " cfuncin: la denominaremos " ". j = cafuncin exponencial natural Lasfuncionesqueinvolucranpotenciasde" "jueganunpapelcentralenmatemtica caplicadaseusanendemografaparapreveertamaosdepoblacinenfinanzasparacalcular al valor de inversiones, en arqueologa para fechar objetos antigos.Instituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas82Mdulo D2_________________________Resolver problemas de aplicacinmediante funciones exponenciales__________________________________________________________________________________Aplicacin funcin exponencialPuedes observarque existen enfermedades que crecen en forma muy rpida oexponencialmente, como tambin en la empresa existen mquinas que se deprecian a suvez en forma exponencial-Identificar si elcomportamiento de la funcin exponencial es creciente odecreciente-Identificar las partes que componen una funcin exponencial.-Resolver problemas de aplicacin mediante funciones exponenciales.Instituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas83=Aplicaciones de las Funciones Exponenciales.Crecimiento exponencial.Una cantidad( ) que crece de acuerdo a una leyde la forma( ) o dondeQt Qt = Q c Q1 t0y son constantes positivas se dice que experimentan un "crecimiento exponencial ". 1Ejemplo: Sea) el nmero de bacterias presentes pasado minutos respondeel Q(t tmodelo( ) 2000Qt = c0,05 tCuntas bacterias habrn pasado 20 minutos?Solucin:Q = . c (20)2 000 0,05 20 Q = . (20) 5 436, 6 bacterias.Decrecimiento exponencial.Una cantidad( )que decrece de acuerdocon la ley ( )dondeyQt Qt =Qc Q 10 01tson constantes positivas se dice que experimenta un "decrecimiento exponencial ".Ejemplo :Losbosquesdeunpasestndesapareciendo a razn de 3,6 % al ao. Sioriginalmente haban 2 400 (millones).Cuntos rboles haban desaparecido 7 aos? .Solucin:Qt = . c ( )2 400 0, 036 7Q = . c (7) 2 400 0,252Q = . (7) 1 865, 4millones de rboles.Inters Compuesto.Si se invierten dlares a un tipo anual de inters y el inters se compone veces por 1 v /ao, el saldo ( )pasado aos ser: 1t t dlares.JI = J ( ) 1 + 4 5rhh ICuando crece la frecuencia con lo que es compuesto el inters, el correspondiente saldo1t ( ) tambin crece.Inters compuesto contnuamente:Si se intervienen dlares se compone continuamente, el saldo( ) despus de aos 1 1t tser:( ) JI = JcrIdlaresInstituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas84Ejemplo:Supongaqueinvierten3 000dlaresauntipoanualdeintresdel4%. .Calcule el saldo despus de 8 aos si el intresse compone.a)Semestralmente.b)Mensulamente.c)Continuamente.Solucin:a) ( ) 3 000 14 118, 4dlares. 1t = . = .4 50, 0422 8 b)( ) 3 000 1 4 129, 2dlares. 1t = . = .4 50, 0412128 c) ( )3 0004 131, 4dlares. 1t = . c = .0,04 8 Instituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas85DepreciacinCuandolasorganizacionesadquierenvehculos,edificios,equiposyotrasclasesde"bienes", los contadores acostumbran asignar el costo del objeto a lo largo del perido enque se usa. En el caso de un camin que cueste $10.000 y cuya vida til sea de 5 aos,asignarn2 000dlaresporaocomocostodeposesin.Sedaelnombrede .depreciacinalcostoasignadoaunperidodeterminado.Loscontadoresllevanasimismoregistrosdelosprincipalesactivosysuvaloractualo"enlibros".Elvalorenlibrosrepresentaladiferenciaentreelpreciodecompradelactivoylacantidaddedepreciacin asignada, o sea.Valor librocosto de compra depreciacin. = El valor en libros de un equipo industrial se representa mediante la funcin exponencial.300 000(2,5) \= . t 0,1Dondeeselvalorlibroexpresadoendlaresyrepresentaelnmerodeaos \ ttranscurridos desde la adquisicin del equipo. El valor del equipo al cabo de 5 aos es:\= )() =800.000(2, )0,1 ()=800.000(2, )0,= 800.0001(2, )0,=800.0001, 8$ 189 873,42 = .Cul era el valor del equipo cuando se compr?.Y cul era al cabo de 10 aos?De 20aos?.Respuestas. $300 000,$120 000, $48 000. . . . Instituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas86Ejercicios Propuestos1)Supongaqueseconvierten1 200dlaresauntipoanualdeintersdel3,2%. .Calculeel saldo despus de 5 aos si el intersse compone:a) Mensualmente.b) Contnuamente.2) Una cierta maquinaria industrial se deprecia de forma que su valor pasado aos viene tdado por:( ) Qt =Q c t 0, 03a) Despus de 20 aos la maquinaria tiene un valor de 9000 dlares. Cul erasuvalor original ?b) Cul ser su valor pasado 3 aos?c) Establezca una grfica.3)Elritmoalqueunempleadomediodecorreopuedeclasificarcartasdespusdetmeses en el trabajo est dada por:( ) 420 120 ecarta por hora . Ct = t 0, 4a)Esboce una grfica.b)Estimenmero de cartas clasificadas pasado4 meses.c)Sielnumerodecartasclasificadasa300porhora.Cuntaantigedadtieneeneltrabajo?.Respuestas1)a)1 407, 9 dlares. .b)1 408, 2 dlares. .2)a) 16 400 dlares. .b) 14 988 dlares. .3)b) 395, 77cartas.c)0 mes de antigedad.Instituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas87Mdulo E1_________________________________Interpretar mediante la grfica el dominioy recorrido de una funcin logartmica.__________________________________________________________________________________________Funcin LogartmicaExisten etapasdel proceso productivo de la empresa que grficamente se modelancomouna funcin logartmica, como por ejemplo el ciclo de prensado-Identificar una funcin logartmica.-Definir funcin logartmica-Graficarla funcin logartmica.-Interpretar grfica de una funcin logartmica.Instituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas88= Funcin LogartmicaDefinicin:Lafuncindefinelavariable " " en funcin de " "esta ecuacin j = a j aatambin puede determinar a " " como una funcin de " " lo que se denotapor, a a j a = ajestanuevafuncinseledarelnombredefuncinlogartmicaenbase""loquese adenota por: , > 0; 1 g = log r r=o si y slosi oga a =Esimportanterecordarqueylaexpresindescribenlamisma j = |oq a a = aajfuncin.Puestoqueeldominiodeunafuncinexponencialincluyeatodoslosnmeros reales ysu recorrido es el conjunto de los nmeros reales positivos,el dominiode una funcin logartmica en el conjunto de todos los reales positivosy su recorrido elconjunto de todos los nmeros reales.Ejemplo :Determinegrficamentede que es equivalentea j = |oqa a = 88jIdeagrficaEngeneral,independientedelabase( >0,1)lafuncinpasa a a = j = |oqaasiempre por el punto (1, 0).Propiedadesde la funcin Logartmica.Sea> 0, 2,> 0, > 0 . / / = ` `1) |oq / = a/aInstituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas892) |oq ``=|oq ` |oq`/ / /3) |oq =|oq` |oq`/ / /``4)|oq ` = |oq`/1/5) , siy solo si, |oq`=|oq` `= `/ /6) 1 0 |oq =/Logartmo NaturalSinosencontramosconlaformaexponencial, esnatural que deseemos resolver a = cjla ecuacin para, lo que equivale a: jj = |oq a |oq ...c calaexpresin" "ladenominaremos"Logartmonaturalde",ennuestro caso logartmo natural delo que se denota por: a,g= lnr r = c si y slo sigLasfuncionesexponencialesylasfuncioneslogartmicassoninversaentres.Comotales,la una contribuye en la solucinde la otra. Puesto que significa la potencia a |:ala que debeelevarse " " para obtener, se concluye que: c a1);;c = a c = a c = )(a)|:a | :a | :)(a)2) ;;( ) |:c = 1 |: c = a | : c = )aa )(a)Instituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas90Mdulo E2_________________________Resolver problemas de aplicacinde funciones logartmicas__________________________________________________________________________________Aplicacin funcin logartmicaSi deseas solicitar un crdito al banco, y quieres saber por ejemplo en cuanto tiempo vasa pagar una determinada deuda, aplicando funciones logartmicas, puedes resolver esteconflicto.Adems si un proceso se comporta en forma exponencial y deseas saber la taza decrecimiento, los logartmicoste ayudaran.-Aplicar propiedadesde la funcin logartmica.-Resolver mediantefuncin logartmica problemas de situaciones cotidianas delos operadores de plantaInstituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas91=Aplicaciones de Logartmo NaturalEjemplo: La poblacin del mundo est creciendo a un ritmo aproximado del3% anual reponiendo el modelo( ) dondees eltiempoen , 1t =1 c t0t 0,03 aos. Cunto tardar la poblacin mundial en duplicarse?.Solucin:1t =1 c ( ) 0t 0,032 1 =1 c0 0t 0,032 e= |:0,03 t| : = t |:c 2 0, 03 |: = t 20, 03 |:=t =t =20, 03 23, 1 aos.Ejemplo:Cuntosaosdemorarunasumadedineroparatriplicarseauninters t 1compuesto del 8 %, anual.Solucin:A (10,08) =1 t3 (1 0,08) 1 = 1 t3 (1 0,08) = | :t|: =t | : 31,08.| :| :=t3 1, 08 14 aos . t =Ejemplo :Elfermentodeuncultivoaumentade5gramosa12gramosdespesde9horas. Halle la razn de crecimiento. vSolucin:125= c9 v2, 4=c | :9 v| : = v 2, 49Instituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas92| := v2, 49 0,09 9 %. = v v=Ejemplo : Las moscas de rboles frutales crecen a razn de 5, 8%alda.Cunto demorar la poblacin en llegar a ser cuatro veces su tamaoactual?.Solucin :1t = 1 c ( )00, 0584PP0 0= c0, 058T4=c0,058| := .40, 058

24 dias. .=Instituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas93Mdulo E3_________________________Resolver problemas mediantefunciones compuestas.__________________________________________________________________________________funcin CompuestaSupuesto que conocemos el nivel de contaminacin de la empresa en funcin de laproduccin, adems sabemos que la produccin depende del tiempo, la funcincompuesta nos permitir ver como se relaciona la contaminacin y el tiempo.-Definir funcin compuesta.-Resolver ejercicios de funcin compuesta.-Resolver problemas confuncin compuesta.Instituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas94=Composicin de Funciones.Haymuchassituacionesenlasqueunacantidadvienedadaenfuncindeunavariable,la que a su vez puede ser escrita en funcin de otra.Combinandolasfuncionesdeunmodoadecuadosepuedeexpresarlacantidadoriginalcomo una funcin de latercera variable.ste procesose conoce como composicin defunciones.Observacin:Comnmente la notacin [( ) ] se denotapor ( o )( )a condicin ) qa ) q ade que . 1cc ) _ 1o)=Aplicaciones de la Compuesta.Ejemplo : Un estudio ambiental sugiere que el nivel medio diario de monxido decarbono en el aire ser 0, 73partes por milln cuando la poblacin seaC() = miles . Se estima que dentro de aos la poblacin ser()8 0, 2miles. t t = t2a)Exprese el nivelde monxido de carbono en el aire enfuncindel tiempo.( )0, 7 C = 8( ) 8 0, 2 t = t2[( ) ]0, 7 [ 80, 2 ]3 C t = t 2[( ) ]0,14 8,6 C t = t 2b) Nivelde monxidotranscurrido5 aos.[(5) ] 0, 14 0, 25 8, 6 C = [(5) ]12, 1partes por milln C =Ejemplo: Una empresa determina que la funcin de la demanda para " " artculos aviene dada por( ) 4800 20donde " " es el precio de venta (dlares). A su vez a = los costos totales vienen definidos por( ) 6000 30en dlares. Ca = aa) Qu cantidad de artculos se haban vendido para un precio de 4,2 dlares ?. Resp : (4, 2)471 dlares . a =b) Cul es el costo para xartculos vendidos a 5, 8 dlares?[( ) 6000 30 (4.800 20 ) C a [ = [( 5, 8) ] 146.520 dlares. C a =Ejercicios Propuestos.1 a )La funcin demanda " " de un producto en trmino de su precio " "viene dadopor9000 20 La funcin costototales viene dado por12000 30 a = . C= a.Instituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas95Determine:a) Funcin ingreso total.b) Estime el ingreso para 12 artculos vendidos.c) Funcin utilidad.d) Cunta utilidad genera la venta de 48 artculos? .e) Estime costo para una produccin de 36 artculos .2)Un estudio ambiental de una cierta comunidadsuburbanasugiere que el nivel mediodiario de monxido de carbno en el aire ser( ) 0 8 3 partes por milln cuando C = , lapoblacinseamiles.Seestimaquedentrodesieteaoslapoblacindela comunidadser:( ) 8 0,2 miles.Expreseelniveldemonxidodecarbonoen t = t2funcin del tiempo y estime su valor cuando han transcurrido siete aos.8)Enciertaindustriaelcostototaldefabricacinduranteelprocesodiariodeproduccines de( ) 2 400 dolares. En un da tpico de trabajo, se fabrican C = 2t = t t ( ) 30 unidadesdurantelaprimerahorasdelprocesosdeproduccin.Expreseelcosto total en funcin de y estime cunto habr sido gastado en produccin al final de tla tercera hora?.4)Unimportadordearrozestimaquelosconsumidoreslocalescomprarnaproximadamente( ) milesdekilospormes,cuandoelprecioseade 128021 = dlares. Seestimaquedentrodesemanaselpreciodelarrozser tt = t t ( ) 0,3 1,2 16dolares por miles de kilos .2a)Exprese la demanda de consumode en funcin de . tb)Cuntos miles de kilos de arroz comprarn cuando el precio sea de 1, 2 dolares?c) Cul ser el precio del kilo de arroz en la tercera semana?d) Cul ser la demanda a la quinta semana ?Respuestas1 1a = a a)a) ( )450 202b)(12)5.392, 8 pesos . 1 =c)( )42012.000x201a = a2d) (48) 8.044, 0 pesos . 1 =e)(36) 13.080 pesos. C =2 Ct = t ) ( ) 0, 169, 4 2(7) 17, 24 partes por milln C =Instituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas968 Ct = )( ) 900t+ 60 t + 4002(3)8.680 dolares . C =4) 1t =t t a) ( ).1.280 [ 0, 3 1, 216 ] 2 2b)(1,2) 889 miles de kilos 1 =c)(3) 22, 3 dolares =d) (5)1, 4 miles de Kilos. 1 =Instituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas97Mdulo F1_________________________Resolver ecuaciones lineales__________________________________________________________________________________Ecuaciones LinealesTu debes poder sumar o restar productos de un mismo tipo, para luego, determinar conexactitud lo que vas a necesitar.-Definir ecuacin lineal-Reducir trminos semejantes.-Resolver ecuaciones lineales.Instituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas98Ideas Bsicas de lgebraA continuacin se indican tres ideas bsicas del lgebra y las reglas para manejar lasrelaciones ("ecuaciones") que implican cantidades desconocidas, cuyos valores estintentando hallar.En la mayora de los clculos intentamos encontrar un nmero. Por ejemplo, el rea de unterreno rectangular de 25 metros de longitud y 40 metros de anchura (o yardas o pies) es25 40 1000 = 2Hasta que llevemos a cabo la multiplicacin, podemos representar la respuestaporalguna letra, normalmente la, y escribir a25 40 = aPodemos decir que "simboliza una cantidad desconocida". La idea fundamental del algebra es muy simple:La cantidad desconocida es un nmero como cualquier otro. Se puede sumar, restar, amultiplicar o dividir de la misma forma que los nmeros comunes.A la relacin matemtica que implica a nmeros conocidos (como 25 40) y adesconocidos (como) se la conoce como una ecuacin. A veces no tenemos de una a aforma tan clara como anteriormente, sino que est dentro de alguna expresincomplicada. Par obtener una solucin, deberemos reemplazar la susodicha ecuacin (oecuaciones) por otras que contengan la misma informacin pero de forma ms clara. Elobjetivo final es aislar la incgnita, para que parezca aparte, para proporcionar a laecuacin la entedicha frmula, a sabera =(expresin conteniendo solo nmeros conocidos)Una vez alcanzado esto, el nmero que representa la puede calcularse rpidamente. aPor ejemplo:"Cual es el nmero que si lo dobla, luego le suma 5 y luego divide esa suma por 3,obtiene 3?"Llame a ese nmero. La declaracin hecha mediante palabras puede tambin escribirse apor medio de una ecuacin:(2a )8= 8El parntesis encierra las cantidades que se manejan como un nmero nico, y 2asignifica "2 veces". En lgebra, los smbolos (o parntesis) colocados junto a otros se asobreentiende que estn multiplicados. Si sigue esta regla, nunca se confundir por lasimilitud entre la letra y el signo de lamultiplicacin. aInstituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas99Una segunda idea fundamental en lgebra es:Si tiene una ecuacin y modifica ambos lados de la misma exactamente igual, lo queobtiene tambin es una ecuacin vlida.Puede sumar, restar, multiplicar o dividir cualquier nmero que desee; si lo hace deforma igual en ambos lados de la igualdad, el resultado sigue siendo vlido. Asimismo lanueva ecuacin sigue conteniendo la misma ecuacin que antes. (Pero no multipliqueambos lados por 0 y obtenga0 = 0; el resultado es correcto, pero toda su informacin se ha desvanecido en el aire.)Por ejemplo, la ecuacin dada anteriormente:(2a )8= 8Multiplique ambos lados por 3:(2a ) = 0Reste 5 en ambos lados:2a = 0 = 4Divida ambos lados por 2:a = = 242Se obtiene el resultado,. Las reglas anteriores, ms el objetivo bsico de "aislar el a = 2nmero desconocido", Te dar buenos resultados.Frecuentemente se salta un ltimo paso, pero no se debe hacer. Para estar seguro de queno ha cometido un error por el camino, tome la ecuacin original(2a )8= 8y reemplace en ella la cantidad desconocida por el valor que ha calculado, en este caso ael nmero 2, y compruebe si los dos lados son iguales. Si lo son, puede estar seguro deque su respuesta es correcta.Relata una situacin simple que se pueda plantear como una ecuacinInstituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas100Ecuacin de Primer Grado o LinealDefinicin:Cuando0,paraalgnvalordeldominio,laexpresin)(a) = or b= 0se denomina " Ecuacin de primer grado o Lineal ".Elconjuntosolucindeunaecuacinsonlosvaloresquesustituidosenlaecuacin,latransforman en una igualdad, a dichos valores se les denominade "races o soluciones " la ecuacin.Ejemplo:Laecuacin2 3 0tieneporrazpuessustituidaenla3 2a = a =ecuacin la hace verdadera .Resolucin de una Ecuacin LinealLas siguientes propiedades de la igualdad son fundamentales para el proceso de resolverecuaciones.Sean, , nmeros reales, entonces: a / ca)Si , se cumple (Propiedad Aditiva) a = / a c= / cb)Si, se cumple (Propiedad Sustraccin) a = / a c= / cc)Si , se cumple (Propiedad Multiplicacin) a = / a c= /cd)Si , se cumple , 0(Propiedad Divisin ) a = / = c =a /c cObservacin:En una ecuacin de la formatenemos: aa / = 0i) Si0 la solucin es unica a = a =/aii)Si ,existen infinitas soluciones. a = 0 / = 0iii) Si, No tiene solucin. a = 0 / = 0Silaecuacinoriginalsemodificamedianteelusodecualquieradelaspropiedadesanteriores se obtendra una ecuacin equivalente.Ejemplo: 52 8 / +2 a =58 2 a = 510/ 5 a =2 a =Ejemplo: 73 54/5 a = a 234 /3 a = 27/ 2 a =

72a =Instituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas101Ejemplo: Resuelva83 (5 2) 3(1) 3 a a = a 8 15 633 3 a a= a 1415 3/3 a = a a1115 0 /15 a = 11 15 /:11 a = 1511a =Ejemplo: Resuelva /12 13 4a a 1 = 2 4( 1 ) 36 a a =44 36 a a = 4 6 a = 2 a =Ejemplo :Resuelva 31 25a a a a =(3 ) ( 5 ) ( 1 ) (2 ) a a = a a 531522 a a a =a a a 2 2 2152 /a a = a a a2 2 2152 a =a 14 a =Ejemplo: Resuelva2 8 43 ( 1 ) ( 1 ) (1) a a a =a 2 2 ( 1 )8 ( ) 4 3 a a 1 = a 2288 43 a a = a 610 43 a = a 7 10 = a

710 = aInstituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas102Mdulo F2_________________________________Aplicar ecuaciones lineales en la resolucinde problemas del operador de planta__________________________________________________________________________________________Aplicacin ecuaciones linealesCada vez que recibes tu sueldo, has de distribuirlo en diferentes tareas, donde la suma deellosha de ser igual al sueldo que tienes.-Identificar una funcin lineal-Aplicar ecuaciones linealespararesolver problemasInstituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas103=Aplicaciones de Ecuaciones LinealesPara resolver problemas verbales, puede dejarse llevar por los siguientes guas:v Leer el problema cuidadosamente para determinar exactamente lo que se estbuscando.v Asignar variables a las cantidades que se desea encontrar. Usualmente se utilizan lasvariables y. a :v Utilizar los datos dados para establecer una ecuacin involviendo las variables de losvalores desconocidos.v Resolver la ecuacin y cotejar la respuesta.Ejercicios:1)Un estudiante tiene calificaciones de 64y 78, en sus exmenes. Qu calificacin debealcanzar en la tercera prueba para obtener un promedio de 80?SolucinRegla 1. Lea el problema cuando menos una vez ms.Regla 2. La cantidad desconocida es la calificacin de la tercera prueba, de modo que se define :calificacin en la tercera prueba. a =Regla 3. Para este problema no es necesario un esquema o croquis.Regla 4. (a) Lo que se conoce son las calificaciones de 64y 78 en los dos primeros exmenes.(b) Una relacin en la que interviene es el promedio de las calificaciones a 64, 78 y. As calificacin promedio . a :64 78 a8Regla 5. Como la calificacin promedio en la regla 4 debe ser 80, entonces 64 78 a8= 80Regla 6. Resuelva la ecuacin formulada en la regla 5:64 78 a = 808142 a = 240a = 08Regla 7. Comprobacin: Si las tres calificaciones son 64, 78 y 98, entonces su promedio eses lo que se deseaba.64 78 088= 802) Se dispone de dos clases de caf. Cuntos kilogramos se han mezclado de cada clase,a razn de 105 y 125 pesetas el kilogramo, respectivamente, para obtener otra de 120pesetas el Kilogramo, si de la clase mejor se han tomado 20 Kg. Ms que de la otra?.Solucin:Kg. empleados de 105 pesetas: aKg. empleados de 125 pesetas: a 2010a 12(a 20 = 120(2a 20)a = ...Instituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas1048)Un tren que marcha a 90 Km./h pasa por la estacin A en el mismo instante en que otrotren, que va a 70 km./h, pasa por la estacin B. Ambos van en el mismo sentido. Cuntotiempo tardaran en encontrarse si B dista de A 80 km.? A que distancia de B lo harn?Solucin:El tiempo de ambos es 4 hSe encontraran a 280 Km. de B4)Un numero se multiplica por 3. El resultado se divide por 4 y luego se le resta 5. Estenuevo resultado se multiplica por 10, obtenindose as la cuarta parte del numeroaumentada en 37. Cul es el numero?Solucin:a = 12)Calcula los ngulos de un tringulo sabiendo que es la mitad del otro y que el terceroes la cuarta parte de la suma de los dos primeros.Solucin:a = 48 j = 06 .= 86 Otro Ejemplo:Empleando la depreciacin lineal o de linea recta, una firmacalcula el valor actual " " de una mquina despus de " " aos en : j a= 30.0002 00 j 4 aa) Hallar el valor actual de la mquina Al inicio 0 luego ; a= 30.000 2400 0 j = 30.000 j =b) El valor despus de 5 aos 5, luego ; a =30.000 2.400 j = 18.000 j =c) El valor de salvamento despus de 9 aos30.000 2400 9 j = 8.400 j =Instituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas105Mdulo G1_________________________Resolver y graficar sistemas de ecuaciones lineales.__________________________________________________________________________________Sistema de Ecuaciones Lineales Tu puedes emplearla grfica de un sistema de ecuaciones para ver en forma ms ntidaque sucede a la vez con dos procesos productivos que se comportan en forma lineal.-Resolver sistemas de ecuaciones-Graficar sistemas de ecuaciones linealesInstituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas106=Sistema de Ecuaciones Lineales.Soluciones de una ecuacin lineal con dos incgnitasUna ecuacin lineal con dos incgnitas tiene infinitas soluciones. Cada una de ellas estformada por una pareja de valores ( ), que grficamente representa las coordenadas de a, jun punto en el plano. Al dibujar esos infinitos puntos en un sistema de ejes coordenados,se obtiene una recta.Dosecuacionesquetenganlasmismasdosvariablessepuederesolverdeunamaneragrficaoalgebraica.Unaformaderesolveralgebraicamenteunsistemaesexpresarlasecuaciones en la forma intersecto - pendiente. Igualando ambas expresiones se despeja lavariable, la quefinalmente determina sustituyndola en cualquera de las ecuaciones a jintersecto - pendiente.Ejemplo :Resuelva algebraicamente 210 a j =6 416 a j =i) Forma intersecto- pendiente210(1) j = a 1,54 (2) j= a ii): Igualando210 1,54 a = a143,5 = a4 =aiii) : Reemplazando en (1) (2) se tiene a2 4 10 j = 2 j =Luego el punto de interseccin de ambas rectas es (4,2).Pararesolverelsistemaanteriorsegraficanambasecuacionesenelmismoplanoysedetermina el plano donde se cruzan ambas rectas. En el ejemplo anterior : 2 j = a10 010 05Ha = j =j = a =j = a a = j =j = a =1,5404 02,7HInstituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas107=Ideagrfica : Ejemplo :Dadas las ecuaciones de costo e ingreso para una industria definidos por : 5120 C = a 8 1 = aDetermine algebraicamente y grficamente el punto de equilibrio :a)Algebraicamente: 1 = C 8 5 120 a = a 40 a =Para una produccin de 40 artculos la utilidad es nula.b) : Grficamente5120j = a j =8 a 12000 a = 0 = j = a = =j =0 24 648 j = =a = a = =j =Punto de equilibrio40 unidades. a = Instituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas108Mdulo G2___________________________Resolver problemas de la vida realmediante ecuaciones lineales.____________________________________________________________________________________Aplicacin sistema de ecuacionesTu vas a emplear los sistemas de ecuaciones cuando desees saber por ejemplo quenmero de toneladas de produccinpermiten queel ingreso y el costo de la empresaseaniguales.-Identificar ecuaciones lineales-Aplicar la resolucin de sistemas de ecuaciones a situaciones reales de unoperadorInstituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas109=Identificar ecuaciones linealesUna ecuacin lineal es aquella de la forma donde es la pendiente, j = a : : es el coeficiente de posicin, debes recordar adems que dependiendo de la pendiente,ser la posicin que adoptar la recta. Todo proceso que se comporte linealmente, tendrque satisfacer una ecuacin con estas caractersticas=Problemas de aplicacin. Un entrenador de tenis compra comida para su equipo en un restaurante. Ordena ochohamburguesas y cinco porciones de papas a un costo de $4 750. Como algunos de los .jugadores quedan con hambre, el entrenador compra seis hamburguesas ms y otras dosporciones de papas por $3 300.Cul es el precio de una hamburguesa y de una porcin .de papas?El planteamiento del problema puede hacerse mediante un sistema de dos ecuaciones condos incgnitas. Cada compra se expresa como una ecuacin lineal con incgnitas e, a jdonde representa el precio de una hamburguesa e representa el precio de una porcin a jde papas:8a j = 4.706a 2j = 8.800Resuelva el sistema por el mtodo que ms le agrade, sus resultados debes sere a = 00j = 10Resuelva los problemas1)Dadas las ecuaciones de oferta y demanda : = = 2500 8000 400018.000 Halle el precio de equilibrio y cantidad en forma algebraica y grficamente.2) Dada las ecuaciones Ingreso total y costos totales. Indique punto de equilibrioy explique el significado grficamente y algebraicamente 7550+ 150 1 = a C= a3) Dadas las ecuaciones40y 30 120, ingresos y costos totales de 1 = a C= a una fbrica, determine punto de equilibrio, algebraicamente y grficamente.Instituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas1104) Los costos marginales de una empresa ascienden a U$ 20 y los costos fijos a U$800.Si el precio de venta por cada unidad ser de U$ 32 . Determine grfica y analticamenteel punto de equilibrio para dicha empresa.Respuestas1) = 4; = 2000 2) Punto de equilibrio = 5 unidades. a3)12 unidades. a =4) 66,6 unidades a = Instituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas111Autoevaluacin de la Unidad1.-Se tiene los siguientes puntos que pertenecen a una recta: (-2, -1); (6,-5)a) Calcular la ecuacin principal de la recta que pasa por los puntos dados.b) Graficar la recta indicando los puntos de interseccin a los ejes.c) Indicar el valor de "y" si "x" es igual - 5. Graficar este punto.Res: a)j = 2: c) j =a 12 23.-El crecimiento de un cultivo de microorganismos esta dado por la funcin:P aos.i0,008 t= 2000c t :P Poblacin en el ao i.i:a) Indicar la poblacin inicial.b) Indicar la poblacin en el tercer ao.c) En cuantos aos se tendr 8.000 microorganismos.d) Cuantos aos pasaran para que la poblacin se triplique.Resp.: a) Hab. b) Hab.aos.1 =2.000 1 = 2.188 c) t = 46, 2 d)t0 8=86, 6 aos.4.- Considerando que las ventas, de la empresa ABC, tienen una tendencia lineal. Se sabequeparaao2000lasventasfueronde8.000unidadesyparael2001,de10.000unidades. a) Indicar cual ser el nivel de venta para el ao 2002.b) Graficar la funcin indicando la ecuacin de la funcin.Res.: a) 12.000 unidades.Instituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas112 Mdulo G3_________________________Resolver y graficar sistemasde inecuaciones lineales.__________________________________________________________________________________Sistema de InecuacionesT puedes emplear la grafica de un sistema de inecuaciones para ver en forma mas clarala regin de confianza en la combinacin de dos productos diferentes-Resolver sistemas de inecuaciones-Graficar indicando zona de confianza.Instituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas113Relaciones de Orden en l. Dados y nmeros reales se cumple una y slo una de las siguientes alternativas: a / i) ; " mayor que " a/ a /ii); " menor que " a < / a /iii) ; " es igual que " a = / a /Otras desigualdades son : ; " mayor o igual que " a _/ a / ; " a menor o igual que " a _/ /Propiedades de las Desigualdades.1) Si , entonces 0 a/ a / 2) Si, entonces a _ / a < / a = / 3) Si,0 , entonces a _ / cac _ /c4) Si ,0 , entonces a _ / c< a c _/c5) Si y , entoncesa _ / / _ c a _ c6) Si0 ,entonces (00 ) o (00) a/ _ a _ ./ _ a _ ./ _7) Si0 , entonces (00) o (00)a/_ a _ . /a _ . / ? F G a/ = a a _ a_ /b) ,? ? F G a/ = a a < a_ /c) ,> > F G a / = a a _a< /d),? > F G a/ = a a < a< /Ejemplo : Resuelva 321 a _Solucin : 3 3 a_ 1 a _Graficando:Instituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas115 Intervalo Solucin:, 1? ? Ejemplo : Resuelva : 7 1 632 3a a +Solucin: 94226 aa7 36 a

367a Intervalo Solucin:,+ ? >367Ejemplo : ( 3 )7 2( 5 ) 6 a a < a a 269 7 + 2+ 56 a a a< a a2 2 42 56 a < a 98 1 a < + 98 a 89a Intervalo Solucin:, + ? >89Valor Absoluto.Esfrecuenteenelclculooperarcondesigualdades.Sondeparticularimportancialasqueserelacionanconlanocinde"valorabsoluto " .Si es un nmero real, su valor aabsoluto es un nmero real no negativo designado por, es que se define por : * * a* *Ha =a a_ a a es el semiplano izquierdo o derecho ( pero no a a