marco bolzon ii simulazione – seconda prova –...

Marco Bolzon

II Simulazione – Seconda prova – Fisica

MaturitàFisica_Simul_2.indd 1 18/05/15 08:51

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Problema n. 1.

Stai installando il tuo nuovo modem router ADSL wireless, che permette la con-nessione a internet anche del tuo telefono mediante rete WiFi a 2,4 GHz. A un certo punto il software per la configurazione ti chiede di scegliere uno dei 13 ca-nali WiFi disponibili, che trasmettono a diversa frequenza: il canale 1 trasmette a 2412 MHz e la frequenza di ogni canale successivo aumenta di 5 MHz, fino alla frequenza massima di 2472 MHz del canale 13. Selezioni il canale 7.

a) Dopoavercalcolatolalunghezzadell’ondaelettromagneticaemessadalcanale7eclassificatoiltipodiradiazione,esponiilragionamentoallabasedellasceltadelcanale.

Il circuito oscillante collegato all’antenna del wifi ha una capacità di 2pF. b) Calcolal’induttanzadelcircuitoespiegadalpuntodivistafisicolarelazionecheesistetrail

circuitooscillanteel’ondaelettromagneticaemessa.

Il dispositivo può emettere onde di intensità massima 0,10 W/m2. c) Determinaimassimivaloriefficacidelcampoelettricoedelcampomagnetico.

Considera che l’onda si propaghi lungo un asse orizzontale, l’asse x. d) ScrivilafunzioneE(x,t)chedescrivelapropagazionedelcampoelettricolungol’assexefaiun

disegnoindicandolaposizionedell’antennaeicampielettricoemagnetico,peralmenounaoscillazionecompleta.

Tutte le onde emesse colpiscono perpendicolarmente una superficie di 85 cm2 e vengono completamente assorbite. e) Calcolailvaloremediodellaforzaesercitatadalleondesullasuperficie,lapressionediradia-

zioneeladensitàdienergia.

Marco Bolzon

II Simulazione – Seconda prova Fisica

Channel-01 2412MHzChannel-02 2417MHzChannel-03 2422MHzChannel-04 2427MHzChannel-05 2432MHzChannel-06 2437MHzChannel-07 2442MHzChannel-08 2447MHzChannel-09 2452MHzChannel-10 2457MHzChannel-11 2462MHzChannel-12 2467MHzChannel-13 2472MHz


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II Simulazione – Seconda prova – FisicaMarco Bolzon

Problema n. 2

Hai frequentato uno stage presso un laboratorio dell’INFN (Istituto Nazionale di Fisica Nucleare) e devi preparare una relazione sul lavoro svolto da presentare l’ultimo giorno di permanenza. Il tuo tutor ti ha indicato la traccia da seguire: nell’introduzione devi, in primo luogo, spiegare come si esprimono i valori di massa in eV.

a) Descriviilsignificatofisicodellamassaespressainelettron-Volt(eV)everificalamassadelprotonemp=938MeV,sapendochemp=1,007276u,doveu=1,660·10–27kg,c=2,998·108m/s,e=1,602·10–19C.

Gli acceleratori vengono spesso identificati con la loro energia espressa in eV. Le particelle vengono accelerate e aumentano, così, la loro energia cinetica. Nella tua relazione devi discutere la differenza tra energia cinetica classica e relativistica.b) Scriviledueespressioniperl’energiacinetica,classicaerelativistica,evidenziandolediffe-

renzetraleduedalpuntodivistafisico.

c) Ricava,sianelcasoclassicosiainquellorelativistico,l’espressionedellavelocitàalquadratodiunaparticellainfunzionedellasuaenergiacineticav 2(K),conK=energiadell’acceleratore.Rappresentaleduefunzionisuungraficocartesianoeanalizzaquantoottenuto.

Nella tua relazione devi spiegare come effettuare il calcolo della velocità di una particella all’interno di un acceleratore. d) Mostrachelavelocitàmassimadiunaparticelladimassaariposom0(espressaineV/c2)all’in-

ternodiunacceleratoredienergiaEA(espressaineV)èdatadallarelazione:

cv

mE

1 1A

0

2

= - +-

c m

e) Calcolalavelocitàmassimaelavariazionedellamassadiunprotoneall’uscitadell’accelerato-reLINAC2da50MeVchesitrovapressoilCERNdiGinevra.


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Quesiti

1. La bobina di un alternatore è costituita da 200 spire e ruota con velocità angolare costante all’interno di un campo magnetico uniforme di 0,18 T, compiendo un giro ogni 2 decimi di se-condo; l’area di ciascuna spira è di 12 cm2. Determina l’espressione e il valore della f.e.m. indotta ai capi della bobina. Discuti questa affermazione: “l’alternatore è un dispositivo che utilizziamo ogni giorno, anche se indirettamente”.

2. Una linea di distribuzione trasporta energia elettrica in corrente alternata con un valore efficace 10 kV e una frequenza di 50 Hz. In prossimità delle abitazioni, per usi domestici, la tensione efficace viene portata a 230 V. La linea di distribuzione fornisce energia a 60 abitazioni, 3/4 delle quali utilizza una fornitura “standard” di 3,3 kW, mentre le restanti hanno a disposizione 5 kW. Supponendo una dispersione di energia complessiva del 2% nella trasformazione e, suc-cessivamente, lungo il percorso verso le abitazioni, determina l’intensità di corrente massima nella linea a 10 kV. Determina quantitativamente i parametri necessari alla trasformazione della tensione e illustra i vantaggi del trasporto dell’energia elettrica in corrente alternata rispetto alla corrente continua.

3. Una radiazione luminosa monocromatica proveniente dall’aria penetra, con un angolo di inci-denza di 63°, in una lastra di materiale vetroso avente indice di rifrazione 1,58 e uno spessore di 2,0 cm e poi fuoriesce nuovamente nell’aria. Determina il valore della costante dielettrica relativa del vetro, sapendo che la permeabilità magnetica del vuoto vale 4p · 10-7 N/A2, e calcola il tempo impiegato dal raggio luminoso per percorrere la lastra di vetro.

4. Il fenomeno fisico rappresentato in figura è noto come creazione di coppia: un fotone ad alta energia crea una coppia particella-antiparticella, elettrone-positrone.

e+

e–

g

Sapendo che la massa dell’elettrone (e del positrone) è 9,11 · 10-31 kg, determina l’energia mi-nima in MeV perché la reazione avvenga e classifica la radiazione. Spiega come sia possibile evidenziare e distinguere le due particelle mediante un rivelatore.

5. Ti trovi nello spazio interstellare a bordo della base spaziale Genesis, che possiamo considerare un sistema di riferimento inerziale, e controlli i dati dell’astronave Athesis, che si sta muoven-do con velocità costante rispetto alla base. Il tuo collaboratore si mostra scettico rispetto alle misure dei tempi che ottieni: afferma che il confronto tra gli orologi atomici della vostra base e quelli dell’astronave, quando quest’ultima sarà rientrata alla vostra base, porterà a un evidente paradosso. Tu invece lo rimproveri per non aver seguito e approfondito le lezioni di relatività: il paradosso è già stato trattato esaurientemente anche da Einstein.

Di quale paradosso si tratta? Come lo spiegheresti al tuo collaboratore?

6. Un sincrotrone è un tipo di acceleratore in cui le particelle cariche seguono orbite circolari. Se si vogliono accelerare elettroni, ci si imbatte in un problema, lo stesso che riscontrò Rutherford nella costruzione del suo modello atomico, il cosiddetto modello atomico planetario.

Spiega di quale problema si tratta, evidenziando analogie e differenze tra i due casi proposti.


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7. Il pione carico è una particella avente una massa di 139,6 MeV/c2 e una vita media t = 2,6 · 10–8 s. Se all’istante t = 0 s si ha un numero N

0 di pioni, dopo un tempo t il loro numero sarà diminuito

esponenzialmente secondo la legge dei decadimenti radioattivi N(t) = N0 e–t/t. All’interno di un

acceleratore di particelle un fascio di pioni viaggia a una velocità di 0,996c: il loro numero mi-surato da un rivelatore è 1/4 rispetto al numero misurato dal rivelatore precedente.

Quanto sono distanti i due rivelatori?

8. All’elettrone dell’atomo di idrogeno, nel suo stato fondamentale, viene associata la funzione densità di probabilità radiale P(r):

4P r r r e3B

r r2 2 B$= -^ ^h h

dove rB indica il raggio di Bohr.

Analizza la funzione P(r) dal punto di vista fisico e matematico, spiegando la relazione esistente con il modello atomico di Bohr.

9. La figura schematizza una precisa ipotesi della fisica quantistica applicata alle orbite atomiche. Spiega di quale ipotesi si tratta e descrivi la figura con considerazioni di tipo fisico. Quest’ipotesi segna l’inizio di un nuovo tipo di meccanica: quale?

10.Viene misurata la velocità istantanea di una sferetta da 40 grammi in moto rettilineo e si trova il valore di 10 m/s. Viene determinata la velocità di un protone (m

p = 1,7 · 10-27 kg) e si ottiene

5,0 · 107 m/s. Supponi che entrambe le misure abbiano un’incertezza dell'1% e fai un confronto discutendo, per entrambi i casi, l’incertezza sulla posizione lungo la direzione del moto.


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Soluzioni

Problema1

a) La frequenza del canale 7 è:

f MHz2412 5 6 2442$= + =

e la lunghezza d’onda è:

,

,,

fc

s

m sm

2 442 10

2 998 100 1239 1

8

$

$m = = =-

La radiazione elettromagnetica si trova nella regione delle microonde. Per una corretta selezione del canale bisogna evitare fenomeni di interferenza: è necessario

verificare la frequenza di trasmissione di altri dispositivi wireless eventualmente presenti (tele-visori, media center e alcuni sistemi audio possono trasmettere in WiFi). In questo caso bisogna evitare di utilizzare la stessa frequenza, perché il circuito del router assorbirà (riceverà) tutte le onde elettromagnetiche in risonanza, introducendo un disturbo nel segnale da elaborare. Inoltre, se è già stato utilizzato un canale, il 3 per esempio, conviene evitare anche i canali im-mediatamente vicini. Il motivo è che ogni canale ha una certa larghezza di banda: se questa è di 20 MHz significa che la trasmissione avviene in un range di frequenze centrate su f (quella del canale dove si ha la massima intensità), con una frequenza minima f – 10 MHz e una frequenza massima f + 10 MHz. Queste frequenze vanno quindi a sovrapporsi ad altri canali, da un minimo di due se si tratta dei canali agli estremi (1 e 13), fino a 4 per quelli centrali.

b) Per generare un’onda elettromagnetica di frequenza f si utilizza un’antenna collegata a un cir cui-to RLC avente una frequenza di risonanza uguale a f, alimentato da un generatore che produce una f.e.m. alternata con la stessa frequenza. Dalla frequenza di risonanza del circuito possiamo ricavare il valore dell’induttanza:

,,f

LCL

f C snH

pF2

141

4 2 442 101 2 12

2 102 2 2 2 18 1 9&$ $ $r r r

= = = =- -^ ^h h

Come descritto dalle equazioni di Maxwell, cariche accelerate producono onde elettromagneti-che: gli elettroni, “pilotati” dal generatore tramite il circuito RLC, si muovono su e giù nell’anten-na, con un movimento simile a quello di una mano che regge una corda e che vi produce un’onda trasversale. L’analogia non deve far dimenticare che le onde elettromagnetiche non sono onde meccaniche: non c’è spostamento di materia ma campi elettrici e magnetici oscillanti.

c) Il valore efficace del campo elettrico è:

, ,

,,I c E E

cI

m s F m

W mV m

3 00 10 8 85 10

01061eff eff0

2

08 12

2

&$ $ $

ff

= = = =-^ ^h h

Mentre quello del campo magnetico:

,

,,B

cE

m s

V mT

3 00 10

612 0 10eff

eff

8

8

$$= = = -


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Va sottolineato che, mentre il valore del campo elettrico ha valori ordinari ed è misurabile, il valore del campo magnetico è molto piccolo rispetto ai valori del campo magnetico terrestre (il cui ordine di grandezza è 10-5 T) ed è molto difficile misurarlo.

d) Se consideriamo un’onda elettromagnetica armonica che si propaga lungo l’asse x (orizzontale), polarizzata linearmente lungo la direzione verticale (la direzione dell’antenna), il suo campo elettrico è:

, 2[ ]E x t E sen x ft0 r m= -^ ^h h

Per il campo magnetico basta sostituire E con B. Si tratta di un’onda viaggiante, in cui il segnale si propaga con velocità costante v = l f (nel vuoto

v = c)

, v[ ]E x t E sen p l x t20= -^ ^h h

Trattandosi di onde sinusoidali vale la seguente relazione tra il valore massimo E0 e il suo valore

efficace:

, ,E E V m V m2 2 61 8 6eff0 $= = =

Analogamente per il campo magnetico:

, ,B B T T2 2 2 0 10 2 8 10eff08 8$ $ $= = =- -

Il vettore campo elettrico è sempre perpendicolare al vettore campo magnetico ed entrambi lo sono rispetto alla direzione di propagazione.

direzione dipropagazione

antenna

El

B

e) La forza media esercitata sulla superficie è:

,

,,

,F

cIS

m s

W mN

m

3 00 10

0102 8 10

8 5 108

2

12

3 2

$$

$ $= = = -

-^ h

La pressione di radiazione e la densità di energia hanno il medesimo valore:

,

,, ,p

cI

m s

W mPa u J m

3 00 10

0103 3 10 3 3 108

2

10 10 3&

$$ $= = = =- -


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Problema2

a) L’elettronvolt è un’unità di misura dell’energia: alla massa a riposo del protone mp corrisponde

infatti un’energia pari a mpc2, quindi, effettuando le dovute conversioni in kg e poi in eV:

1,007276 , 2,998 10 , ,E m c m s J eVkg eV1 660 10 1 602 10 9 38 102 16 2 2p2 27 19 6$ $ $ $$ $= = =- -^ ^ ^h h h

mcE MeV c9 83p 2

2= =

Prendendo c come unità di misura (c = 1) si può scrivere semplicemente, come è consuetudine tra i fisici:

m MeV938p =

b) Nella fisica classica l’energia cinetica è:

K mv21 2=

Einstein scoprì che tale relazione è un’approssimazione valida per velocità “piccole” rispetto a quella della luce (l’approssimazione migliora al diminuire del rapporto v/c). La relazione relati-vistica è:

K E m c02= -

dove m0 è la massa a riposo, mentre E è l’energia totale della particella:

E mc

cv

m c

12

2

2

02

= =

-

Utilizzando i coefficienti relativistici

cvb = e

1

12

cb

=-

possiamo scrivere in forma compatta:

K m c c Km m c1202

0 02

&c c= - = -^ h

Classicamente l’aumento dell’energia cinetica della particella (per esempio a causa dell’azione di una forza costante) è associato a un aumento di velocità che può assumere qualsiasi valore, mentre il valore della massa viene considerato costante. In dinamica relativistica, invece, la velocità non può aumentare illimitatamente, perché non può superare c. Nell’espressione rela-tivistica troviamo quindi una correzione per la massa, che aumenta all’aumentare della velocità.

c) Nel caso della relatività ristretta, dobbiamo esplicitare il termine v2 a partire dalla relazione:

K E m c K

cv

m cm c

m cK

cv

cv m c

K

1 1

1 1

1

1 102

2

2

02

02

02

2

2

2

202& & &= - =

-

- =

-

-

-

= +


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Invertiamo ed eleviamo al quadrato:

cv

m cK

cv

m cK1 1 1 12

2

02

2

2

2

02

2

&- = + = - +- -

c cm m

Segue:

vm cK c1 12

02

22= - +

-

c m; E

Ora analizziamo l’andamento di v2 in funzione dell’energia cinetica K>0. Per K=0 si ha v=0, come previsto anche dalla fisica classica (particella ferma). Calcolando il limite per K che tende a più infinito, il termine fra parentesi tonda tende a zero. Di

conseguenza la velocità tende asintoticamente a c:

lim limv Km cK c c1 1

K K

2

02

22 2= - + =

" "3 3+ +

-

^ ch m; E

La dipendenza di v da K è del tipo –1/K2 (a meno di costanti e traslazioni), quindi ci si aspetta una curva il cui andamento è simile a quello della funzione quadratica inversa: sempre crescente senza massimi né minimi. Facciamo una verifica calcolando anche la derivata prima:

dKdv c

dKd

m cK c

dKdm cK c

m cK

m c1 1 1 2 1 12

02

22

02

22

02

3

02= - + =- + =- - +

- - -

c c ^ cm m h m; E

Quindi:

dKdv

m m cK2 1

0 02

3

= +-

c m

La derivata prima trovata è sempre positiva (i termini sono tutti positivi) e quindi la velocità è sempre crescente, come atteso, all’aumentare dell’energia cinetica K.

L’andamento previsto dalla fisica classica è invece di tipo lineare (in grafico è una retta uscente dall’origine):

K mv vmK

21 22= =

Nel grafico si può notare come le due curve si sovrappongano per velocità piccole rispetto a c.

V2

c2

K


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Per bassi valori di velocità l’aumento di energia cinetica è associato quasi esclusivamente all’au-mento lineare della velocità, con la massa che rimane praticamente costante. Invece, al cresce-re della velocità fino a valori prossimi a quello della luce, l’aumento di velocità tende asintotica-mente a zero e l’aumento di energia cinetica comporta un progressivo aumento della massa.

d) La relazione v(K) trovata al punto precedente restituisce l’espressione per la velocità della par-ticella:

cv

m cK

cv

m cK1 1 1 12

2

02

2

02

2

&= - + = - +- -

c cm m

Osservando che l’energia EA fornita dagli acceleratori viene trasferita alle particelle che hanno

velocità massima interamente come energia cinetica (K= EA), ed esprimendo la massa in eV/c2

si ottiene la relazione richiesta.

e) Sostituendo i valori, utilizzando per il protone il valore riportato al punto a), si trova:

, %cv

MeVMeV1

93850 1 0 31 31

2

= - + = =-

` j

È comodo esprimere l’aumento della massa sempre in MeV, che corrisponde proprio all’energia EA:

E K m c02= + ed essendo E mc m m m K c MeV c502

02 2

& D= = - = =

, %mmm MeV

MeV950 5 338

%0

D D= = =

Verifichiamo il risultato con l’espressione relativistica per la massa:

mc

cv

m cMeV m MeV

1

988 988 938 502

2

2

02

& D=

-

= = - =

Osserviamo come sia impossibile che l’energia dell’acceleratore sia l’energia totale del protone, che è sempre maggiore della sua massa a riposo (938 MeV).


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Quesito1

La spira ruota con velocità angolare:

0,,

Trad s2

22 31 4~ r r= = =

La f.e.m. indotta si calcola mediante la legge di Faraday-Neumann-Lenz:

cosfdtd

dtd B N S t B N S sen tem

B $ $ $ $ $ $ $~ ~ ~U=- =- =^ ^h h6 @

Ai capi della bobina è presente una tensione alternata che varia in modo sinusoidale, con periodo 0,2 s (frequenza 5 Hz). Il valore massimo si ha quando sen (wt) = 1:

, , ,f B N S T m s V018 200 12 10 31 4 1 3604 2 1$ $ $ $ $ $ $~= = =- -^ ^ ^h h h

Il valore efficace è:

,,V

fV

2 2

1 360 96eff

0D = = =

L’alternatore è presente nella maggior parte delle centrali elettriche (termoelettriche, idroelettri-che, nucleari, eoliche) e permette, in modo molto efficace e relativamente semplice, la trasfor-mazione in energia elettrica dell’energia cinetica di rotazione della bobina. Gran parte dell’energia elettrica che utilizziamo ogni giorno viene prodotta tramite alternatori (non lo è, per esempio, quella prodotta tramite pannelli fotovoltaici), aventi una frequenza di circa 50 Hz, dieci volte su-periore a quella del quesito. Anche nei mezzi di locomozione (auto, pullman, …) generalmente è presente.

Quesito2

La potenza complessiva che dev’essere disponibile per le abitazioni è:

, ,P kW kW W45 3 3 15 5 223 5$ $= + =^ ^h h

Nella linea da 10 kV la potenza necessaria, considerando che il 2% viene disperso, è

, ,P kW kW223 5 0 98 228linea = =

da cui segue che l’intensità di corrente efficace e quella massima sono:

iVP

kVkW A

10228 28eff

eff

= = =

i i A A2 2 28 32max eff $= = =

Per la trasformazione della tensione, da 10 kV a 230 V, deve essere:

,VV

NN

VkV

23010 43 5

2

1

2

1= = =

Il numero di spire nel circuito primario del trasformatore deve essere 43,5 volte il numero di spire nel circuito secondario.


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Il vantaggio dell’utilizzo della tensione alternata è principalmente legato alla possibilità di mo-dificarne il valore di tensione. Per minimizzare la dissipazione per effetto Joule lungo il percorso è preferibile, a parità di potenza, avere tensioni elevate e basse correnti.

La tensione continua, invece, non può essere accresciuta in modo altrettanto semplice ed effi-cace. Per esempio, trasportando la tensione a 230 V su tutta la linea la dissipazione aumenterebbe di circa 1900 volte:

,PP

RiRi

i

N N i

NN

43 5 1900,

,

J

J

1

2

12

22

12

1 2 1

2

1

2 22 .= = = =

^ ch m

Quesito3

Questo quesito di ottica può essere formalizzato e risolto come un problema di elettromagnetismo.Rappresentiamo graficamente il percorso del raggio luminoso:

a1

vetro

aria

n1

d

n2

a2

a2

La velocità delle onde elettromagnetiche nel vetro è

Vnc

22

=

ma anche:

V c1

r r r r

2

0 0f f n n f n= =

Da queste due relazioni segue:

n r r2 f n=

Fatta eccezione per i materiali ferromagnetici, tutti gli altri possiedono permeabilità magnetica relativa, con buona approssimazione, uguale a 1, quindi:

, ,n 1 58 2 5r 22 2f = = =

Calcoliamo l’angolo di rifrazione nel vetro:

,,° °n sen n sen arcsen

nnsen arcsen sen

1 581 63 34 31 1 2 2 2

2

11&a a a a= = = =` cj m

Poiché la velocità è V2=c/n

2 e lo spazio da percorrere è s=d/cosa

2 il tempo Dt vale:

,,

,

°cos

cos cost

nc

d

cdn

m s

ms

3 10

2 101 3 10

34 3

1 58

2

2

2

2

8

2

10

$

$$

$

$aa

D = = = =-

-

^^

hh


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Quesito4

L’energia minima necessaria perché avvenga la creazione di coppia è quella corrispondente alla massa delle due particelle create. In questo caso si tratta del doppio della massa a riposo dell’elet-trone (uguale a quella del positrone):

, 2,998 10 , , ,E m c kg m s J eV eV MeV2 2 911 10 1 602 10 2 511 10 1 022 16 2 2e2 31 19 5$ $ $ $ $ $ $$= = = =- -^ ^ ^h h h

La frequenza e la lunghezza d’onda della radiazione sono:

,

,,f

hE

eV seV

Hz4136 10

1 02 102 47 1015

620

$ $$

$= = =-

-

,

,, ,

fc

Hz

m sm pm

2 47 10

3 00 101 22 10 1 2220

8

12

$

$$m = = = =-

-

La radiazione è al confine tra i raggi X duri e i raggi g. Per distinguere le due particelle della coppia creata si applica un campo magnetico perpendico-

lare alla velocità: le due particelle vengono deviate dalla forza di Lorentz e compiono traiettorie cir-colari con lo stesso raggio (massa uguale), ma in direzioni opposte a causa della loro carica opposta.

Quesito5

Il quesito ripropone, anche se in termini diversi, il famoso paradosso dei gemelli. Quando due sistemi di riferimento, nel nostro caso la base spaziale e l’astronave, sono in moto

relativo con velocità costante, un osservatore “vede” rallentare l’orologio che si trova nell’altro sistema di riferimento, in movimento rispetto al suo. Questa situazione è perfettamente simmetrica in entrambi i sistemi di riferimento ed è proprio per questa simmetria che il collaboratore pensa a un paradosso. Egli pensa che, riportando alla base l’orologio in movimento, sarà impossibile che entrambi gli orologi siano in ritardo l’uno rispetto all’altro. In realtà si potrà verificare solo una di queste due situazioni: o sarà l’orologio dell’astronave in ritardo rispetto a quello della base, oppure sarà l’orologio della base in ritardo rispetto a quello dell’astronave!

In effetti il paradosso non esiste, perché per riportare l’orologio alla base bisogna rallentare (decelerare) l’astronave, e poi accelerarla per farle invertire la rotta. In questi momenti il sistema di riferimento dell’astronave non è più inerziale: qui si rompe la simmetria. Quando i due orologi verranno messi a confronto nella base, che è rimasta ferma (sistema di riferimento inerziale), l’orologio dell’astronave sarà in ritardo rispetto a quello della base.

Quesito6

Il problema cui fa riferimento il quesito è l’emissione di radiazione (onde) elettromagnetica da par-te di una carica accelerata, come previsto dalle equazioni di Maxwell. In entrambi i casi proposti, elettrone in un sincrotrone oppure orbitante intorno al nucleo, per curvare la traiettoria occorre una forza – e quindi un’accelerazione – centripeta. Gli elettroni in un sincrotrone, infatti, emettono una radiazione nota come radiazione di sincrotrone (o luce di sincrotrone), nel range dei raggi X duri. Questa radiazione più che un problema costituisce proprio il prodotto voluto, perché ha numerose applicazioni nell’ambito della fisica della materia e della tecnologia dei materiali.

Rutherford non riusciva a spiegarsi come mai, invece, gli elettroni in orbita attorno al nucleo (come i pianeti attorno al sole) fossero stabili e non perdessero energia “cadendo” sul nucleo. Successivamente, l’esistenza di orbite stazionarie in numero discreto fu una delle ipotesi del modello successivo elaborato da Bohr.


© M

onda

dori

Edu

catio

n

14

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onda

dori

Edu

catio

n

14


Quesito7

Eseguiamo i calcoli nel sistema di riferimento del pione, nel quale il pione possiede il tempo di vita indicato nel testo. Calcoliamo dopo quanto tempo il numero di particelle del fascio si riduce a un quarto:

, , ,ln ln lnN N e tNN t

NN s s2 6 10 0 25 3 60 10t

00 0

8 8& & $ $x

x= = =- =- =x- - -c c ^ ^m m h h

In questo intervallo di tempo percorre uno spazio pari a:

, , , ,s vt s m s s m0 996 3 00 10 3 60 10 10 88 8& $ $ $D D= = =-^ ^h h

Rispetto al sistema di riferimento del laboratorio il pione misura la distanza contratta di un fattore:

,,

1

1

1 0 996

1 11 22 2

cb

=-

=-

=

La distanza propria, misurata nel sistema del laboratorio, nel quale i rivelatori sono fermi, è dunque:

' 11,2 , 121s s m m10 8$cD D= = =^ h

Quesito8

La funzione P(r) = (4/r3B ) r2e–2r/rB esprime la densità di probabilità radiale, cioè l’andamento, al variare

della distanza r dal nucleo, della probabilità di trovare l’elettrone. La funzione è definita in modo tale che P(r) dr rappresenti la probabilità che l’elettrone si trovi nello spazio compreso tra le due superfici sferiche di raggi r e r + dr.

P r err4 r r

B

2

3

2 B=^ h

La funzione è nulla per r = 0 e tende a 0 per r che tende a più infinito. Ciò significa che l’elettrone non può trovarsi in corrispondenza del nucleo e che è estremamente improbabile (praticamente impossibile) trovarlo a grandi distanze dal nucleo. Infatti P(r) diventa estremamente piccola già a distanze pari a dieci volte il raggio di Bohr.

Calcoliamo la derivata prima della funzione:

dr

dP r

rre

rr e

rr e

rr4 2 2 8 1

B

r r

B

r r

B

r r

B3

22

2

3

2B B B= - = -- - -^ h ; 8E B

La funzione è dotata di un massimo in r = rB.

Questo risultato mette in evidenza la differenza tra il modello di Bohr e la meccanica ondulatoria. L’elettrone nel modello atomico di Bohr compie un’orbita circolare attorno al nucleo alla distan-za r

B, mentre per la meccanica ondulatoria l’elettrone non è un corpuscolo ben definito e non si

può parlare di traiettoria: il raggio di Bohr è solo la distanza alla quale è più probabile che si trovi l’elettrone.


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onda

dori

Edu

catio

n

15

© M

onda

dori

Edu

catio

n

15


La funzione ha un andamento del tipo:

P(r)

rB r

Quesito9

La figura rappresenta l’applicazione alle orbite atomiche dell’ipotesi di onda materiale, formulata dal fisico francese Louis de Broglie tra il 1924 e il 1925.

Louis De Broglie ipotizzò che le orbite stabili del modello di Bohr fossero quelle associate a onde materiali stazionarie, come quelle che si producono in uno strumento musicale.

La lunghezza d’onda dell’elettrone-onda va calcolata mediante la relazione proposta da de Broglie:

h pm =

L’onda materiale su un’orbita di raggio r è stazionaria se dopo ogni giro riacquista la stessa fase, richiudendosi. In caso contrario l’onda interferisce con sé stessa e si estingue. La condizione richie-sta è che una circonferenza completa contenga un numero intero di lunghezze d’onda di de Broglie:

r n2 nr m=

Combinando le due equazioni si ottiene proprio la condizione di quantizzazione delle orbite (quan-tizzazione del momento angolare) proposta da Bohr:

r nmvh mvr n h2

2n n&r

r= =

Il risultato ottenuto da de Broglie non introduce nulla di nuovo dal punto di vista fisico al modello atomico di Bohr, ma dà una giustificazione all’impossibilità per l’elettrone di occupare altre orbite; un aspetto, quest’ultimo, che Bohr non era riuscito a spiegare.

Si può affermare che con l’ipotesi di de Broglie nasce la meccanica ondulatoria, perfezionata successivamente in particolare da Schröedinger.

Quesito10

Applichiamo il principio di indeterminazione e calcoliamo, per le due particelle, le indeterminazioni sulla posizione lungo la direzione del moto:

x p xv m

xx

&$

' '$ $D D DD

sferetta: ,

6,63 10,

,x

m s

Jsm

kg0 01 10

22 6 10

0 04

34

32

$

$$

$$

rD =

-

-

^ ^^

h hh

protone: , ,

,,x

m s kg

Jsm

0 01 5 10

6 63 10 210

1 7 101 27

34

13

27$ $ $

$$

$$

rD =

-

-

-^ ^^

h hh


© M

onda

dori

Edu

catio

n

16

© M

onda

dori

Edu

catio

n

16


Possiamo fare le seguenti considerazioni:• l’indeterminazione sulla velocità del protone è 5 milioni di volte quella sulla velocità della sferet-

ta ma, a causa dell’ingente differenza tra le masse (25 ordini di grandezza), l’indeterminazione sulla posizione della sferetta è 19 ordini di grandezza più piccola rispetto a quella calcolata nel caso del protone;

• l’indeterminazione sulla posizione della sferetta prevista dal principio di indeterminazione è praticamente impossibile da misurare sperimentalmente;

• l’indeterminazione sulla posizione del protone è più grande di ben due ordini di grandezza ri-spetto alle dimensioni del protone (10-15m). Ciò significa che, se il protone avesse le dimensioni del centimetro, l’incertezza sulla sua posizione sarebbe di circa un metro.


marco bolzon ii simulazione – seconda prova –...

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