METODO DE LA SECANTE

Marco Terico:Este mtodo de basa en la frmula de Newton Raphson, pero evita el clculo de la derivada usando la siguiente aproximacin.

Que es la frmula de la secante. Ntese que para calcular los valores de Xn+1 necesitamos conocer los dos valores de Xn y Xn_1.Obsrvese tambin, el gran parecido con la frmula del mtodo de Regula Falsi. La diferencia entre una y otra es que mientras el mtodo de Regula Falsi trabaja sobre intervalos cerrados, el mtodo de la secante es un proceso iterativo, es decir, no se tiene en cuenta el signo de la funcin para e(stimar el siguiente punto y por lo mismo, encuentra la aproximacin casi con la misma rapidez que el mtodo de Newton Raphson. Claro, corre el mismo riesgo de ste ltimo de no converger a la raz, mientras que el mtodo de Regula Falsi va a lo seguro. Se procede independientemente de los signos de la funcin. Esto, como veremos, mejora el orden de convergencia pero hace que la convergencia del mtodo sea ms incierta. En definitiva, el mtodo de la secante consiste en considerar la ecuacin antes mencionada a partir de ciertos valores x0 y x1 dados, que son los valores iniciales. El algoritmo deber parar cuando |xn+1 xn| sea menor que la precisin requerida. METODO DE REGULA FALSIMarco Terico:Mtodo de Regula Falsi (regla falsi) o falsa posicin es uno de los mtodos iterativos, cuya peculiaridad es que combina dos mtodos, el mtodo de la biseccin y el mtodo de la secante; y que a diferencia del mtodo de la biseccin, este se basa en una visualizacin grfica que consiste en unir f(a0) y f(b0) con una lnea recta, la interseccin de esta recta con el eje de coordenadas x representa una mejor aproximacin de la raz que por el mtodo de la biseccin, aunque no siempre es as.

METODO DE LA BISECCIONEl mtodo de la biseccin se basa en el siguiente teorema de clculo:Teorema del valor IntermedioSea contnua en un intervalo y supongamos que . Entonces para cada tal que , existe un tal que . La misma conclusin se obtiene para el caso que.Bsicamente el Teorema del valor Intermedio nos dice que toda funcin contnua en un intervalo cerrado, una vez que alcanz ciertos valores en los extremos del intervalo, entonces debe alcanzar todos los valores intermedios.En particular, si y tienen signos opuestos, entonces un valor intermedio es precisamente , y por lo tanto, el Teorema del valor Intermedio nos asegura que debe existir tal que , es decir, debe haber por lo menos una raz de en el intervalo .El mtodo de la biseccin sigue los siguientes pasos:Sea contnua, i. Encontrar los valores iniciales, tales que y tienen signos opuestos, es decir,

ii. La primera aproximacin a la raz se toma igual al punto medio entre y :

iii. Evaluar. Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos: En este caso, tenemos que y tienen signos opuestos, y por lo tanto la raz se encuentra en el intervalo. En este caso, tenemos que y tienen el mismo signo, y de aqu que y tienen signos opuestos. Por lo tanto, la raz se encuentra en el intervalo En este caso se tiene que y por lo tanto ya localizamos la raz. El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo, hasta que:

Es decir,

METODO DIFERENCIAS DIVIDIDASMARCO TERICOConocido tambin como polinomio interpolante de Newton, es otra forma de obtener el polinomio interpolador. Este mtodo es muy algortmico y resulta sumamente cmodo en determinados casos, sobre todo cuando se quiere calcular unpolinomio interpolador de grado elevado. En este mtodo el polinomio interpolador se escribe de la forma:

Y el algoritmo proporciona una regla para obtener los coeficientes a, a1 an. Imponiendo que el polinomio interpolador pase por los puntos de interpolacin obtenemos Pn(X0)= a0= f(x0)Pn(X1)= a0 (x1 x0) a1= f(x1)Pn(X2)= a0 (x2 x0) a1 + (x2 x0)(x2 x1) a2= f(x2)Pn(Xn)= a0 (xn x0) a1 ++ (xn xn-1)(x2 x1) an= f(xn)De estas ecuaciones, es obvio que a0 depende slo de x0 y x1y as sucesivamente. Introducimos la nueva notacin a0= f[x0], a1= f[x0, x1], y as sucesivamente, con f[x0]= f(x0), como se ve de la primera ecuacin. Restando las dos primeras ecuaciones obtenemos la primera diferencia dividida finita que se representa de la siguiente manera:

La segunda diferencia dividida finita, la cual representa la diferencia de las dos primeras divididas se expresa como:a2= f[x0,x1,x2]=f(x2) - f(x1) - f[x0,x1](x2-x1) = f[x1,x2] - f [x0,x1] (x2-x0)(x2-x1) x2-x0La n-sima diferencia dividida finita es: Xn= f[x0,x1,,xn]= f[x1,,xn] - f [x0,,xn-1] Xn-x0