newton secante steffensen

IndiceNewton-Raphson

SecanteSteffesen

Metodos Numericos: Newton-Raphson, Secante ySteffensen

Baltodano Guzman Bismark A90736Villalobos Bogantes Carlos B 17658

17 de enero de 2014

Baltodano Guzman Bismark A90736 Villalobos Bogantes Carlos B 17658Metodos Numericos: Newton-Raphson, Secante y Steffensen


SecanteSteffesen

1 Newton-Raphsonexplicacion, planteo y desarrollo

2 Secanteexplicacion, planteo y desarrollo

3 Steffesenexplicacion, planteo y desarrollo



SecanteSteffesen

explicacion, planteo y desarrollo

Explicacion

¿Que es?Es una tecnica numerica para resolver raıces f(x)=0, la cualpermite lograr una convergencia mas rapida que las queofrecen otros tipos de iteracion funcional

¿su base?se basa en polinomios de taylor.

Considere el primer polinomio de Taylor para f(x) expandidoalrededor de p0 y evaluado en x=p.

f (p) = f (p0) + (p − p0)f ′(p0) + (p−p0)22 f ′′(ε(p))



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Explicacion

Donde ε(p) esta entre p y p0. Dado que f(p)=0 esta ecuacionda como resultado.0 = f (p0) + (p − p0)f ′(p0) + (p−p0)2

2 f ′′(ε(p))

El metodo de Newton se obtiene suponiendo que, como|p − p0| es tan pequeno, el termino que contiene (p − p0)2 esmucho menor y que0 ≈ f (p0) + (p − p0)f ′(p0)

Despejando p de esta ecuacion obtenemos:p ≈ p0 − f (p0)

f ′(p0)≡ p1



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Explicacion

Esto nos prepara para introducir el metodo de Newton, el cualcomienza con una aproximacion inicial p0 y genera la sucesion{pn}∞n=0 , definida por:

p0 ≈ pn − f (pn−1)f ′(pn−1)

,≥ 1



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Explicacion

Graficamente tenemos lo siguiente:

Figura: Grafico 1

newton.pngBaltodano Guzman Bismark A90736 Villalobos Bogantes Carlos B 17658Metodos Numericos: Newton-Raphson, Secante y Steffensen


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MetodoM: Algoritmo de Newton-Raphson

ENTRADA aproximacion inicial p0; tolerancia Tol; numero deiteraciones N0.SALIDA solucion aproximada p o mensaje de fracaso.

Paso 1 tome i=1.

Paso 2 Mietras i =< N0 haga pasos 3-6.

Paso 3 tome p=p0 - f(p0)/f’(p0). (Calcule pi)

Paso 4 si |p-p0|< TOL entonces

SALIDA (p); (Procedimiento terminado satisfactoriamente.)

PARAR

Paso 5 tome i=i+1.

Paso 6 tome p0=p. (Redefina p0.)

Paso 7 SALIDA (’El metodo fracos despues de N0 iteraciones, N0=’, N0)

;(Procedimiento terminado sin exito.)

PARAR



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Ejemplo

Aproxime con Newton-Raphson hasta alcanzar una Tol menora 10−4 tome p0 =11.1 con (cos(−8x) +

√2x − 5)=0.

paso 1: derivar a (cos(−8x) +√

2x − 5)como sigue;cos(−8x) +

√2x − 5)=0

sin(−8x) ∗ −8 + 12(2x)

−12 ∗ 2

8 sin(−8x) + 1

(2x)12

paso 2:calcular p1= p0− f (p0)f ′(p0)

= 11,1− f (11,1)f ′(11,1)=p1 = 11,1668

p2= p1 − f (p1)f ′(p1)

=p2 = 11,1570

|11,15− 11,16| < 0,0001=0, 00984 < 0,0001 no es menor.

p3= p2 − f (p2)f ′(p2)

= p3 = 11,1570

|11,1570− 11,1569| < 0,0001=0, 0000932 < 0,0001 si esmenor, por lo tanto p3 es la aproximacion buscada.



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Explicacion

Su origen: esta tecnica nace de una modificacion que se leaplica al metodo de Newton-Raphson, esto debido a lanecesidad de conocer el valor de la derivada de f en cadaaproximacion y el costo asociado en calculos aritmeticos quese requiere.

por lo cual se plantea la modificacion siguiente para eliminarla derivada del metodo:

por definicion, lımx→pn−1

(f (x)− f (pn−1)

x − pn−1),si pn−2 esta cerca de

pn−1 , entonces f’(pn−1) ≈ f (pn−2)−f (pn−1)(pn−2−pn−1)

= f (pn−1)−f (pn−2)(pn−1−pn−2)

,

al aplicar esta aproximacion para f’(pn−1) en la formula de

Newton, se obtiene pn = pn−1 = f (pn−1)−(pn−1−pn−2)(f (pn−1)−f (pn−2))



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Explicacion

Graficamente tenemos lo siguiente:

Figura: Grafico 2

secante.pngBaltodano Guzman Bismark A90736 Villalobos Bogantes Carlos B 17658Metodos Numericos: Newton-Raphson, Secante y Steffensen


SecanteSteffesen


Metodo: Algoritmo de Secante

ENTRADA aproximacion iniciales p0,p1; tolerancia Tol; numero deiteraciones N0.SALIDA solucion aproximada p o mensaje de fracaso.

Paso 1 tome i=2,q0=f(p0),q1=f(p1).

Paso 2 Mietras i=< N0 haga pasos 3-6.

Paso 3 tome p=p1 - q1(p1-p0)/(q1-q0). (Calcule pi)



PARAR

Paso 5 tome i=i+1.

Paso 6 tome p0=p1,q0=q1,p1=p,q1=f(p). (Redefina p0,q0,p1,q1.)



PARAR



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Ejemplo

Aproxime la solucion usando secante hasta alcanzar una Tolmenor a 10−2 tome p0 =11,p1=11.1 con(cos(−8x) +

√2x − 5)=0.

calcular p2= p1 − f (p1) p1−p0f (p1)−f (p0) = 11,2245

|11,1− 11,22| < 0,01=0, 12 < 0,01 no es menor.p3= p2 − f (p2) p2−p1

f (p2)−f (p1)) = 11,1527

|11,22− 11,15| < 0,01=0,0717 < 0,01 no es menor.p4= p3 − f (p3) p3−p2

f (p3)−f (p2) = 11,1568

|11,1527− 11,1568| < 0,01=0,004017 < 0,01 si es menor, porlo tanto p4 es la aproximacion buscada.



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Explicacion

Introduccion sobre Analisis de error (orden de convergencia) yconvergencia Acelerada.

Analisis de error: Sea xn una sucesion que converge a x1 sedenota en xn − x , n > 0, donde ese llama la sucesion de loserrores, si existen α y δ en R+.

convergencia Acelerada: Convergencia acelerada Dada unasucesion linealmente convergente esta se puede acelerar a unaconvergencia cuadratica, por medio de un metodo llamada ∆2

de Aitken.

A partir del metodo ∆2 de Aitken podemos calcular laconvergencia del metodo de punto fijo y generar un nuevometodo conocido como el metodo de Steffensen.xn+2 = xn − (f (xn+1)−xn)2

f (xn+2−2f (xn+1)+xn



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Metodo: Algoritmo de Steffensen

ENTRADA aproximacion inicial p0; tolerancia Tol; numero deiteraciones N0.SALIDA solucion aproximada p o mensaje de fracaso.

Paso 1 tome i=2.

Paso 2 Mietras i=< N0 haga pasos 3-6.

Paso 3 tome p1=g(p0);(Calcule p1^(i-1))

p2=g(p1);(Calcule p2^(i-1))

p1=p0-(p1-p0)^2/(p2-2p1+p0);(Calcule p0^(i))



PARAR

Paso 5 tome i=i+1.

Paso 6 tome p0=p. (Redefina p0.)



PARARBaltodano Guzman Bismark A90736 Villalobos Bogantes Carlos B 17658Metodos Numericos: Newton-Raphson, Secante y Steffensen


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Ejemplo

Resolviendo x3 − x − 1 = 0 donde f(x)= 3√x + 1 y x0 = 1,6.

calcular


newton secante steffensen

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