eejercicios resueltos (método de steffensen)

MÉTODO DE STEFFENSEN

1. Para resolver la ecuación f ( x )=0 use la fórmula

xn+1=xn−f ( xn )g( xn ) ;

en el que

g( x )=f [ x+ f ( x ) ]−f ( x )

f ( x ) es cuadráticamente convergente, como en el método de newton.

a) Aplique el algoritmo para hallar la solución en forma algebraica de f ( x )=0 , donde

f ( x )=e− x+x2−9SOLUCIÓN

Grafica

Hallando convergencia

f ( x )=e− x+x2−9⇒ f (−32

)=e−(−3

2)+(−3

2)2−9= -2 . 2683

f ' ( x )=2 x−e− x⇒ f ' (−32

)=2(−32

)−e−(−3

2)=-7 . 4817

f ''( x )=2+e−x⇒ f ''(−32

)=2e−(−3

2)=6 .4817

|f ( x ) . f ''(x )f '( x )2

|=| -2 . 2683 +6 . 4817

-7 . 4817 2|= 0. 2627 < 1

La función converge en Xo=−3

2

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-20

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

ABSCISAS

OR

DE

NA

DA

S

f=exp(-x)+x.2-9

Iteraciones

g( x )=f [ x+ f ( x ) ]−f ( x )

f ( x ) ;

xn+1=xn−f ( xn )g( xn )

n=0 Xo=−3

2

g(−32

)=f [−

32

+ f (−32

)]−f (−32

)

f (−32

)

g(−32

)=f [−3

2+( -2 . 2683 )]−( -2 . 2683)

-2 .2683

g(−32

)=f (-3 .7683 )+2 .2683-2. 2683

⇒g (−32

)=48 .5065+2. 2683-2 .2683

g(−32

)=48 . 5065+2 .26832 .2683

= 22.3845

x1=−32−f (−3

2)

g(−32

)⇒ x1=−

32−

2 .268322 . 3845

⇒ x1=-1.6013

a) Crear un programa en MATLAB para este algoritmo y dar solución a

f ( x )=e− x+x2−9 .

function steffensennombre_f=input(' Ingrese la función asociada f(x)= ','s');x0=input(' ingrese el valor inicial : ');fprintf ('\n');fprintf (' it aprox g(x) error \n');i=1; e=1; delta=0.001;while e>=3E-12 && i<=07x=x0;fx0=eval(nombre_f);y=x0+fx0;x=y;fy=eval(nombre_f);gx=(fy-fx0)/fx0;r=x0-(fx0/gx);e=abs((r-x0)/r);fprintf ('%3.0f %10.6f %10.6f %10.6f\n',i,x0,r,e);x0=r;i=i+1;endfprintf('La raíz es :%10.9f\n',x0);

rapson1 Ingrese la función asociada f(x)= exp(-x)+x.^2-9

ingrese el valor inicial : -3/2

it aprox g(x) error 1 -1.500000 -1.601333 0.063281 2 -1.601333 -1.693466 0.054405 3 -1.693466 -1.751629 0.033205 4 -1.751629 -1.768500 0.009539 5 -1.768500 -1.769597 0.000620 6 -1.769597 -1.769601 0.000002 7 -1.769601 -1.769601 0.000000La raíz es :-1.769601100

EJERCICION N°02:

EL MÉTODO DE OLVER PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN NO LINEAL f ( x )=0ESTÁ DADO POR

xn+1=xn−f (xn)f ' (xn )

−12f ( {x} rsub {n} )} over {{f} ^ {'} left ({x} rsub {n} right )} {left [left [{f( {x} rsub {n} )} over {f'( {x} rsub {n} )} right ] right ]} ^ {2 ¿

aplique el algoritmo para hallar la solución en forma algebraica

de f ( x )=0 , donde f ( x )=x3−3 x+4

crear un programa en Matlab para este algoritmo y dar

solución a f ( x )=x3−3 x+4 .

Solución:

1) Grafica de la función.

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-60

-40

-20

0

20

40

60

SOLUCIÓN ALGEBRAICA:

Aplicando el algoritmo para hallar la solución en forma algebraica de f ( x )=0 ,

donde f ( x )=x3−3 x+4

Formula=

xn+1=xn−f (xn)f ' (xn )

−12f ( {x} rsub {n} )} over {{f} ^ {'} left ({x} rsub {n} right )} {left [left [{f( {x} rsub {n} )} over {f'( {x} rsub {n} )} right ] right ]} ^ {2 ¿

f ( x )=x3−3x+4 x∈[−4 ;4 ]

De la gráfica= x0=−5 /2 DERIVADAS:

f ( x )=x3−3x+4=−4.1250

f '( x)=3 x2−3=63/4

f left (x right ) =6x=-1

x1=x0−f ( x0)f ' (x0 )

−12f ( {x} rsub {0} )} over {{f} ^ {'} left ({x} rsub {0} right )} {left [left [{f( {x} rsub {0} )} over {f'( {x} rsub {0} )} right ] right ]} ^ {2 ¿

x1=−52

−−4.125063/4

−12

−1563/4 [[−4.1250

63 /4 ] ]2

-3 -2.8 -2.6 -2.4 -2.2 -2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2-15

-10

-5

0

5

10

x1=−2.205431

En programa en Matlab para este algoritmo y dar solución a f ( x )=x3−3 x+4 .

DERIVADAS:

f (x1 )→f (−2.205431 )=x3+4=−0.1108

f '( x1)→f ' (−2.205431 )=3 x2−3=11.5917

f ( x1 )→f (−2.205431 )=6 x=−13.2326

x2=x1−f (x1)f ' (x1)

−12f ( {x} rsub {1} )} over {{f} ^ {'} left ({x} rsub {1} right )} {left [left [{f( {x} rsub {1} )} over {f'( {x} rsub {1} )} right ] right ]} ^ {2 ¿

x2=−2.205431−−0.110811.5917

−12−13.232611.5917 [[ −0.1108

−11−5917 ]]2

x2=−2.1958619

3. El método de Halley para resolver una ecuación no lineal f ( x )=0 está dado por

xn+1=xn−1an ; Con

an=f '( xn )f ( xn )

−12 [ f ''( xn )

f '( xn ) ]a) Aplique el algoritmo para hallar la solución en forma algebraica de

f ( x )=0 , donde f ( x )=e− x−2 x+4

b) Crear un programa en MatLab para este algoritmo y dar solución a

f ( x )=e− x−2 x+4 .

SOLUCIONa)

abscisas

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

ord

enad

as

104

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5grafica de funciones

Graficando con el matlab:

f=exp(-x)-2*x+4plot(x,f,'b')grid onxlabel('abscisas')ylabel('ordenadas')title('grafica de funciones')

Acercando con el zoom, veremos que se corta en unidades muy pequeñas que esta entre el rango de [2,3]

Entonces nuestra grafica a calcular seria esta:

i) f ( x )=e− x−2 x+4ii) Derivada de la función f ' ( x )=−−2iii) Segunda derivada de la función f ' ' ( x )=¿iv) Determinamos la primera aproximación de la raízv) Cuando x0 =5/2

Cuando n=0

x 1=x0−1a0 ; con

a0=f ' (5 /2)f (5/2)

−12 [ f ''(5/2 )f '(5 /2 ) ]

x 1=5 /2−1

2 .3128 a0=

f ' (−2 .0821)f (−0. 9180 )

−12 [ f ''(0 .0821 )f ' (−0 . 9180 ) ]

x 1=2 . 0676 a0=2 .3128

Donde:

f (5/2)=e−5 /2−2(5 /2)+4f (5/2)=−0 .9180

f '(5 /2)=−e−5 /2−2f '(5 /2)=−2 . 0821

f ' ' (5/2 )=e−5/2

f ' ' (5/2 )=0 . 0821

Cuando n=1

x 2=x1−1a1 ; con

a1=f '(2 . 0676)f (2.0676 )

−12 [ f ''(2 .0676 )f ' (2. 0676 ) ]

x 2=2 . 0676−1

251. 6954 a1=

(−2. 1265 )(−0. 0087 )

−12 [ 0 .1265

−0 .0087 ]x 2=2 . 0636 a1=251. 6954

Donde:

f (2. 0676 )=e−2 .0676−2(2 . 0676 )+4f (2. 0676 )=−0 . 0087

f '(2 . 0676 )=−e−2. 0676−2f '(2 . 0676 )=−2 .1265

f ' ' (2 .0676 )=−e−2. 0676−2f ' ' (2 .0676 )=0. 1265

Cuando n=2

x 3=x2−1a2 ; con

a2=f '(2 . 0636)f (2.0636 )

−12 [ f ''(2.0636 )f ' (2. 0636 ) ]

x 3=2. 0636−1

10952.5 a2=

(−2. 1270 )(−0. 0002 )

−12 [ 0 . 1270

−0. 0002 ]x 3=2. 0635 a2=10952. 5

Donde:

f (2. 0636 )=e−2 .0636−2(2 . 0636 )+4f (2. 0636 )=−0 . 0002

f '(2 . 0636 )=−e−2. 0636−2f '(2 . 0636 )=−2 .1270

f ' ' (2 .0636 )=−e−2. 0636−2f ' ' (2 .0636 )=0. 1270

Ejercicio n°5Tomando el punto inicial P0 (3/4 ; 1/2;−1/2 )

a) {f 1( x , y , z )=0 ¿ {f 2 ( x , y , z )=0 ¿ ¿¿¿

; donde {f 1( x , y , z )=x+ y+z ¿ {f 2( x , y , z )=x2+ y2+z2−2¿ ¿¿¿

p0=¿ [ 3/4 ¿ ] [ 1/2¿ ]¿¿

¿¿PASO1

F ( p0 )=¿ [ f 1( p0 )¿ ] [f 2 ( p0 )¿ ]¿¿

¿¿

¿¿

PASO 2

J ( x , y )=¿ [∂ f 1

∂ x∂ f 1

∂ y∂ f 1

∂ z¿][ ∂ f 2

∂ x∂ f 2

∂ y∂ f 2

∂ z¿ ]¿

¿¿¿

J ( p0 )=J (1 ,−1,2)=¿ [1 1 1¿ ] [ 3/2 1 -1 ¿ ]¿¿

¿¿

PASO 3

J= [1 1 1;3/2 1 -1;0 3/4 3/4 ]J−1=¿ [ 1 0 −4/3 ¿ ] [−3 /4 1/2 5/3 ¿ ]¿

¿¿¿

¿

¿

PASO 4pk+1=pk+ΔP

p0=[3/4;1/2;-1/2 ] Δp= [7/12;-61/96;-67/96 ] p1=p0+Δp

p1 = x=1.333333333333334 y=-0 . 135416666666667 z=-1 .197916666666667

E-B) resolver el sistema de ecuaciones {f 1( x )=0 ¿ {f 2( x )=0 ¿ ¿¿¿

; donde

{f 1 (x , y , z )=24 xz+3 y2−5xyz2−34 ¿ {f 2( x , y , z )=x−57 y2−12xz−53 ¿ ¿¿¿ Paso 1: en el punto P0 (10 ; 10 ; 10 )

f ( p0 )=[-47334-694355361 ]

{f 1 ( p0 )=f 1(10 ; 10 ; 10)=24 (10 ) (10 )+3 (10 )2−5 (10 ) (10 ) (10 )2−34=-47334 ¿ {f 2( p0 )=f 2 (10 ; 10 ; 10 )=(10 )−57 (10 )2−12 (10 ) (10 )−53=-6943 ¿ ¿¿¿ Paso 2:

J ( x , y , z )=[∂ f 1

∂ x∂ f 1

∂ y∂ f 1

∂ z∂ f 2

∂ x∂ f 2

∂ y∂ f 2

∂ z∂ f 3

∂ x∂ f 3

∂ y∂ f 3

∂ z]=[24 z−5 yz2 6 y−5xz 2 24 x−10 xyz

1−12 z −114 y −12x4 y+25 z2 4 x+3 z3 9 yz2+50 xz ]

f ( p0 )=[ f 1( p0 )f 2( p0)f 3( p0 )

]=[4021/138-138759/1725811/113 ] →

J ( p0 )=J (10 ,10 ,10)=[ -4760 -4940 -9760 -119 -1140 -120 2540 3040 14000 ]

J−1 (10 ,10 ,10)=¿ [ -17/46632 7/7583 -20/81223 ¿ ] [ 12/377125 -71/72576 2/144953 ¿ ]¿¿

¿¿ Paso 3:

J ( p0 )×ΔP=−f ( p0 )J−1 ( p0 )×J ( p0 )×ΔP=−J−1( p0 )× f ( p0 )

I×ΔP=−J−1( p0 )×f ( p0 ) ΔP=−J−1( p0 )×f ( p0 )

ΔP=−¿ [-17/46632 7/7583 -20/81223 ¿ ] [ 12/377125 -71/72576 2/144953 ¿ ]¿¿

¿¿

ΔP=¿ [ 280715514 ¿ ] [ -6904440 ¿ ]¿¿

¿¿

Paso 4:

pk+1=pk+ΔP

k=0p1=po+ΔP

p1=[101010 ]+¿ [ 280715514 ¿ ] [ -6904440 ¿ ] ¿

¿¿

¿

¿

p1=¿ [ 280715524 ¿ ] [ -6904430 ¿ ]¿¿

¿¿

c)resolver el sistema de ecuaciones {f 1( x )=0 ¿ {f 2( x )=0 ¿ ¿¿¿

; donde

{f 1( x , y , z )=3x−Cos( yz)−0 .5 ¿ {f 2( x , y , z )=x2−81 ( y+0 .1)2+Sen (z )+1.06 ¿ ¿¿¿ Paso 1: en el punto P0 (

12; 1 ; 3

2)

f ( p0 )=[1248/1343-11580/1219699/242 ]

{f 1 ( p0 )=f 1(12; 1 ; 3

2)=3×(1 /2 )−Cos(1×(3/2 ))−0 . 5=1248/1343 ¿ {f 2( p0 )=f 2(

12; 1 ; 3

2)=(1/2)2−81 (1+0.1)2+Sen (3/2)+1 .06=-11580/121 ¿ ¿¿¿

Paso 2:

J ( x , y )=[∂ f 1

∂ x∂ f 1

∂ y∂ f 1

∂ z∂ f 2

∂ x∂ f 2

∂ y∂ f 2

∂ z∂ f 3

∂ x∂ f 3

∂ y∂ f 3

∂ z]=[ 3 zsen ( yz ) ysen ( yz )

2 x −162( y+0 . 1) cos z

− ye−xy −xe− xy 20 ]

J ( p0 )=J (1 ,−1,2)=[ 3 5973/3992 1991/19961 -891/5 95/1343

-743/1225 -743/2450 20 ]J−1 (1 ,−1,2)=[800/2431 7/2508 -211/12848

35/18912 -83/14832 -4/5516525/2498 0 119/2404 ]

Paso 3: J ( p0 )×ΔP=−f ( p0 )J−1 ( p0 )×J ( p0 )×ΔP=−J−1( p0 )× f ( p0 )

I×ΔP=−J−1( p0 )×f ( p0 ) ΔP=−J−1( p0 )×f ( p0 )

f ( p0 )=[ f 1( p0 )f 2( p0)f 3( p0 )

] →

ΔP=−[800/2431 7/2508 -211/1284835/18912 -83/14832 -4/5516525/2498 0 119/2404 ]×[1248/1343

-11580/1219699/242 ]

ΔP=[832/1343-552/1033-5603/2811]

Paso 4:

pk+1=pk+ΔP

k=0p1=po+ΔP

p1=[1/213/2 ]×[832/1343

-552/1033-5603/2811]

p1=[ 0 .5619185830170420 .465634075508228-0. 493240839558876]

d)

{f 1( x , y , z ,w )=0 ¿ {f 2( x , y , z ,w )=0¿ {f 3 (x , y , z ,w )=0 ¿ ¿¿¿; donde

{f 1( x , y , z )=4 x− y+z−xw ¿ {f 2 ( x , y , z )=−x+3 y−2 z− yw ¿ {f 3( x , y , z )=x−2 y+3 z−zw ¿¿¿¿Tomando el punto inicial P0 (1 ; 1 ;−1 ;−1)

f ( p0 )=¿ [ 3 ¿ ] [ 5 ¿ ] [−5 ¿ ]¿¿

¿¿

{ f 1( p0)=f 1 (1 ; 1 ;−1 ;−1)=4(1 )−(1 )+(-1 )−(1)(-1 )= 3 ¿ {f 2 ( p0 )= f 2(1 ; 1 ;−1;−1 )=−(1 )+3(1)−2(−1 )−(1 )(−1 )=5 ¿ {f 3( p0 )= f 3 (1 ; 1 ;−1 ;−1 )=(1)−2(1 )+3(−1 )−(−1 )(−1 )=−5 ¿ ¿¿¿

f ( p0 )=[ f 1 ( p0 )f 2 ( p0 )f 3 ( p0 )f 4 ( p0 )

]=¿ [ 3¿ ] [ 5¿ ] [−5 ¿ ] ¿¿

¿¿

Paso 2:

J ( x , y , z ,w)=¿[∂ f 1

∂ x∂ f 1

∂ y∂ f 1

∂ z∂ f 1

∂w∂ f 2

∂ x∂ f 2

∂ y∂ f 2

∂ z∂ f 2

∂w∂ f 3

∂ x∂ f 3

∂ y∂ f 3

∂ z∂ f 3

∂w

¿]¿¿

¿¿

J ( p0 )=J (1 ; 1 ;−1 ;−1 )=¿ [ 5 −1 1 −1−1 4 −2 −11 −2 4 1

¿ ]¿¿

¿¿

J−1 (1 ; 1 ;−1 ;−1 )=¿ [ 1/10 -1/20 1/20 1/5 ¿ ] [ -1/20 11/40 9/40 3/20 ¿ ] [ 1/20 9/40 11/40 -3/20 ¿ ]¿¿

¿¿ Paso 3:

ΔP=−J−1( p0 )×f ( p0 )

ΔP=−¿ [1/10 -1/20 1/20 1/5 ¿ ] [-1/20 11/40 9/40 3/20 ¿ ] [ 1/20 9/40 11/40 -3/20 ¿ ]¿¿

¿¿

ΔP=¿ [ -1/5 ¿ ] [ -2/5 ¿ ] [ 2/5 ¿ ] ¿¿

¿¿ Paso 4:

pk+1=pk+ΔP

k=0p1=po+ΔP

p1=¿ [1 ¿ ] [1 ¿ ] [−1¿ ]¿¿

¿

¿

¿

P1= X=0.8000 Y= 0.6000 Z=-0.6000 W=1.80000

EJERCICIO 6:

La velocidad de un paracaidista que cae está dada por v=

g .mc

[1−e−c . tm ]

donde g=9.8m/s2. Para un paracaidista con un coeficiente de arrastre c=14 Kg/s, calcule la masa m de modo que la velocidad sea v=35 m/s en t=8s. Use el método del punto fijo.

1. GRAFICA

x=50:0.05:60;f=((0.7.*x).*(1-exp(-112./x)))-35;plot(x,f,'r')grid on xlabel('ABSCISAS')ylabel('ORDENADAS')title('VELOCIDAD DE UN PARACAIDISTA')

2. CONSTRUYENDO FUNCIONES g(m)

b ) f (m)=0

0 .7m(1−e−112m )−35=0

0 .7m(1−e−112m )=35

(1−e−112m )=35

0 . 7m

−e−112m =35

0 .7m−1

− ln(e−112m )=ln(35

0 .7m−1)

−112m

=−ln(350 . 7m

−1)m=112

ln(350 .7m

−1)

f (m)=0 . 7m(1−e−112m )−35

a ) f (m )=0

0 .7m(1−e−112m )−35=0

0 .7m=35

(1−e−112m )

m=

35

(1−e−112m )

0. 7=

35

0 .7 (1−e−112m )

3. CONVERGENCIA:

A.

m=35

0 .7 (1−e−112m )

g’(m)f=35./(0.7*(1-exp(-112./x)))syms xdiff(f,x)g’(m)=(2744*exp(-112/x))/(x^2*((7*exp(-112/x))/10 - 7/10)^2)Analizando convergencia:

m 0=58 .5→g ' (m)=g ' (58 .5)g’(m)=(2744*exp(-112/x))/(x^2*((7*exp(-112/x))/10 - 7/10)^2)g’(m)=0.3318

Luego; converge en m0=58 .5 para un

g(m)=35

0 .7(1−e−112

m )4. ITERACIONES MANUALES:

xn+1=g (xn )

xn+1=35

0. 7(1−e−112m )

n=0

m1=35

0 .7 (1−e−112

(1172 ) )

m1=58. 644912

n=1

m2=35

0 .7 (1−e−112( 58 .6449 ) )

m2=58. 693033

n=2

m3=35

0 .7 (1−e−112( 58 . 6930 ) )

m3=58 .709028

5. ITERACIONES EN MATLAB

>> puntofijoIngrese la función del punto fijo

g(x)=35./(0.7*(1-exp(-112./x))) ingrese el valor inicial x0= 58.5

it aprox g(x) error

1 58.500000 58.644912 0.002471 2 58.644912 58.693033 0.000820 3 58.693033 58.709028 0.000272 4 58.709028 58.714347 0.000091 5 58.714347 58.716115 0.000030 6 58.716115 58.716703 0.000010 7 58.716703 58.716899 0.000003 8 58.716899 58.716964 0.000001

La raíz es :58.716963781

6. RESPUESTA:La masa es 58.716963781

7. La ecuación de estado de Van der Waals para un gas real, está dado por:

(P+ a .n2

v2 )( v−n .b )=n. R .Ten la que P es la presión en atm, v volumen el litros, T la

temperatura absoluta en K, R la constante universal de los gases (0,082 L x atm/mol x K), a y b constantes que dependen de cada gas.Calcule el valor de v usando la técnica del punto fijo, para los siguientes gases:

Gas a bDióxido de carbono 3,592 0,04267Dimetilamina 37,49 0,1970Helio 0,03412 0,2370Óxido nítrico 1,340 0,02789

7.1 PARA DIÓXIDO DE CARBONO

Datos obtenidos:

(P+a.n2

v2 )( v−n .b )=n. R .T

P=1 atmR=0 . 082 L×atm /mol×KT=293. 15 0 K (ambiente )n=1a=3.592b=0.04267

Despejando ecuación:

(1+3 . 592⋅(1 )2

v2 ) (v−(1 ) . (0 .04267 ) )= (1 ) . (0 .082 ) . (293. 15 )

(1+3 . 592v2 )⋅(v−0. 04267 )=24 . 0383

(v2+3 .592v2 )⋅(v−0 . 04267 )=24 .0383

v3−0 . 04267v2+3. 592v−0. 15327064=24 .0383v2

v3−24 . 08097v 2+3 .592v−0 .15327064=0

Graficando en MatLab:

% EJERCICIO 7.1x=0:0.05:50;f=x.^3-24.08097*x.^2+3.592*x-0.15327064;plot(x,f,'r')grid ontitle('DIOXIDO DE CARBONO')xlabel('-----v-----')ylabel('f(v)')legend('f(v)=v.^3-24.08097*v.^2+3.592*v-0.15327064')gtext( 'RAIZ 1')

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-1

0

1

2

3

4

5

6

7x 10

4 DIOXIDO DE CARBONO

-----v-----

f(v)

RAIZ 1

f(v)=v.3-24.08097*v.2+3.592*v-0.15327064

Intervalos de solución:

v1¿∈ [ 20 ;25 ]→v0=

20+252

=452

=22 .5

Obteniendo solución por el método de Punto fijo:

f (v )=0v3−24 .08097 v2+3 .592v−0 .15327064=0

v=3√24 . 08097v2−3 .592v+0. 15327064⏟

g(v )

v=g1( v ); g1( v )=3√24 .08097 v2−3 .592v+0 .15327064

v=2√v3+3. 592v−0. 15327064

24 . 08097⏟g (v )

v=g2( v ); g2( v )=2√v3+3 . 592v−0 . 15327064

24 .08097

v=−v3+24 . 08097 v2+0 .153270643 .592⏟

g (v )

v=g3 (v ); g3 (v )=−v3+24 . 08097v2+0 .153270643. 592

Analizando convergencia:

g1 ( v )→g1, (22. 5 )=|0. 6827|<1 (OK )

g2 ( v )→g1, (22. 5 )=|1. 4482|<1

g3 ( v )→g1, (22. 5 )=|-121.1321|<1

∴ v0=22. 5 en g1 (v )

Iteraciones: vn+1=g (n )

n=0

vn+1=g (vn)=3√24 .08097vn2−3 .592 vn+0 .15327064

v1=g (22 .5 )=3√24 .08097 (22.5 )2−3.592 (22.5 )+0 .15327064

v1=22 .9642

n=1

vn+1=g (vn)=3√24 .08097vn2−3 .592 vn+0 .15327064

v2=g (22 .9642 )=3√24 .08097 (22.9642 )2−3 .592 (22 .9642 )+0.15327064

v2=23 .2801

n=2

vn+1=g (vn)=3√24 .08097vn2−3 .592 vn+0 .15327064

v3=g (23 .2801 )=3√24 .08097 (23 .2801 )2−3 .592 (23 .2801 )+0 .15327064

v3=23 .4938

Utilizando programa en MatLab:

>> puntofijo

Ingrese la función del punto fijo g(x)=(24.08097*x.^2-3.592*x+0.15327064).^(1/3)

ingrese el valor inicial xo= 22.5

it aprox g(x) error

1 22.500000 22.964232 0.020215

2 22.964232 23.280072 0.013567

3 23.280072 23.493734 0.009094

4 23.493734 23.637723 0.006092

5 23.637723 23.734513 0.004078

6 23.734513 23.799465 0.002729

7 23.799465 23.843001 0.001826

8 23.843001 23.872161 0.001221

9 23.872161 23.891682 0.000817

10 23.891682 23.904745 0.000546

11 23.904745 23.913485 0.000365

12 23.913485 23.919332 0.000244

13 23.919332 23.923243 0.000163

14 23.923243 23.925859 0.000109

15 23.925859 23.927608 0.000073

16 23.927608 23.928778 0.000049

17 23.928778 23.929561 0.000033

18 23.929561 23.930084 0.000022

La raíz es :23.930083810

>>

7.2 PARA DIMETILAMINA

Datos obtenidos:

(P+a.n2

v2 )( v−n .b )=n. R .T

P=1 atmR=0 . 082 L×atm /mol×KT=293. 15 0 K (ambiente )n=1a=37. 49b=0.1970


(1+37 .49⋅(1 )2

v2 )(v− (1 ) . (0 .1970 ))=(1 ) . (0 . 082 ) . (293 .15 )

(1+37 .49v2 )⋅(v−0 .1970 )=24 .0383

(v2+37 . 49v2 )⋅( v−0 . 1970 )=24 . 0383

v3−0 . 1970v2+37 . 49 v−7 .38553=24 . 0383v2

v3−24 . 2353v2+37 . 49v−7 . 38553=0


% EJERCICIO 7.2x=0:0.05:50;f=x.^3-24.2353*x.^2+37.49*x-7.38553;plot(x,f,'r')grid ontitle('DIMETILAMINA')xlabel('-----v-----')ylabel('f(v)')legend('f(v)=v.^3-24.2353*v.^2+37.49*v-7.38553')gtext( 'RAIZ 1')

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-1

0

1

2

3

4

5

6

7x 10

4 DIMETILAMINA

-----v-----

f(v)

RAIZ 1

f(v)=v.3-24.2353*v.2+37.49*v-7.38553


v1¿∈ [ 20 ;25 ]→v0=

20+252

=452

=22 .5


f (v )=0v3−24 .2353 v2+37 .49v−7 .38553=0

v=3√24 . 2353v2−37 . 49v+7 . 38553⏟

g(v )

v=g(v ); g (v )=3√24 .2353 v2−37 .49 v+7 .38553

v=±2√v3+37 . 49v−7 . 38553

24 . 2353⏟g(v )

v=g(v ); g (v )=±2√v3+37 . 49v−7 . 38553

24 .2353

v=−v3+24 . 2353v2+7 .3855337 . 49⏟

g(v )

v=g(v ); g (v )=−v3+24 . 2353v2+7 . 3855337 . 49


g1 ( v )→g1, (22. 5 )=|0. 6917|<1 (OK )

g2 ( v )→g1, (22. 5 )=|1. 4294|<1

g3 ( v )→g1, (22. 5 )=|-11.4207|<1

∴ v0=22. 5 en g1 (v )


n=0

vn+1=g (vn)=3√24 .2353vn2−37 .49vn+7 .38553

v1=g (22 .5 )=3√24 .2353 (22 .5 )2−37 .49 (22 .5 )+7 .38553

v1=22 .5279

n=1

vn+1=g (vn)=3√24 .2353vn2−37 .49vn+7 .38553

v2=g (22 .5279 )=3√24 .2353 (22 .5279 )2−37 .49 (22 .5279 )+7 .38553

v2=22 .5471

n=2

vn+1=g (vn)=3√24 .2353vn2−37 .49vn+7 .38553

v3=g (22 .5471 )=3√24 .2353 (22 .5471 )2−37 .49 (22 .5471 )+7 .38553

v3=22 .5604


>> puntofijo



it aprox g(x) error

1 22.500000 22.527854 0.001236

2 22.527854 22.547117 0.000854

3 22.547117 22.560432 0.000590

4 22.560432 22.569635 0.000408

5 22.569635 22.575994 0.000282

6 22.575994 22.580388 0.000195

7 22.580388 22.583423 0.000134

8 22.583423 22.585520 0.000093

9 22.585520 22.586968 0.000064

10 22.586968 22.587969 0.000044

11 22.587969 22.588660 0.000031

12 22.588660 22.589137 0.000021

13 22.589137 22.589467 0.000015

14 22.589467 22.589695 0.000010

15 22.589695 22.589852 0.000007

16 22.589852 22.589961 0.000005

17 22.589961 22.590036 0.000003

18 22.590036 22.590088 0.000002

La raíz es :22.590087688

7.3 PARA HELIO

Datos obtenidos:

(P+a.n2

v2 )( v−n .b )=n. R .T

P=1 atmR=0 . 082 L×atm /mol×KT=293. 15 0 K (ambiente )n=1a=0.03412b=0.12370


(1+0 . 03412⋅(1 )2

v2 ) (v−(1 ) . (0 . 2370 ) )= (1 ) . (0 .082 ) . (293 .15 )

(1+0 . 03412v2 )⋅(v−0 .2370 )=24 .0383

(v2+0 . 03412v2 )⋅(v−0 .2370 )=24 . 0383

v3−0 . 2370v2+0 . 03412 v−0.00808644=24 . 0383 v2

v3−24 . 2753v2+0. 03412 v−0 .00808644=0


% EJERCICIO 7.3x=0:0.05:50;f=x.^3-24.2753*x.^2+0.03412*x-0.00808644;plot(x,f,'r')grid ontitle('HELIO')xlabel('-----v-----')ylabel('f(v)')legend('f(v)=v.^3-24.2753*v.^2+0.03412*v-0.00808644')gtext( 'RAIZ 1')

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-1

0

1

2

3

4

5

6

7x 10

4 HELIO

-----v-----

f(v)

RAIZ 1

f(v)=v.3-24.2753*v.2+0.03412*v-0.00808644


v1¿∈ [ 20 ;25 ]→v0=

20+252

=452

=22 .5


f (v )=0v3−24 .2753 v2+0 . 03412v−0 . 00808644=0

v=3√24 . 2753v2−0 .03412 v+0. 00808644⏟

g(v )

v=g(v ); g (v )=3√24 .2753 v2−0 . 03412v+0 . 00808644

v=±2√v3+0 . 03412v−0 . 00808644

24 . 2753⏟g(v )

v=g(v ); g (v )=±2√v3+0. 03412v−0 .00808644

24 .2753

v=−v3+24 . 2753v2+0 .008086440 .03412⏟

g (v )

v=g(v ); g (v )=−v3+24 . 2753v2+0 . 008086440 .03412


g1 ( v )→g1, (22. 5 )=|0. 6838|<1 (OK )

g2 ( v )→g1, (22. 5 )=|1. 4441|<1

g3 ( v )→g1, (22. 5 )=|-1 .2496⋅104|<1

∴ v0=22. 5 en g1 (v )


n=0

vn+1=g (vn)=3√24 .2753vn2−0 .03412vn+0 .00808644

v1=g (22 .5 )=3√24 .2753 (22 .5 )2−0.03412 (22.5 )+0 .00808644

v1=23 .0764

n=1

vn+1=g (vn)=3√24 .2753vn2−0 .03412vn+0 .00808644

v2=g (23 .0764 )=3√24 .2753 (23 .0764 )2−0 .03412 (23 .0764 )+0 .00808644

v2=23 .4688

n=2

vn+1=g (vn)=3√24 .2753vn2−0 .03412vn+0 .00808644

v3=g (23 .4688 )=3√24 .2753 (23 .4688 )2−0 .03412 (23 .4688 )+0.00808644

v3=23 .7341


>> puntofijo



it aprox g(x) error

1 22.500000 23.076376 0.024977

2 23.076376 23.468817 0.016722

3 23.468817 23.734154 0.011180

4 23.734154 23.912715 0.007467

5 23.912715 24.032505 0.004984

6 24.032505 24.112700 0.003326

7 24.112700 24.166314 0.002219

8 24.166314 24.202123 0.001480

9 24.202123 24.226027 0.000987

10 24.226027 24.241976 0.000658

11 24.241976 24.252615 0.000439

12 24.252615 24.259710 0.000292

13 24.259710 24.264441 0.000195

14 24.264441 24.267596 0.000130

15 24.267596 24.269700 0.000087

16 24.269700 24.271103 0.000058

17 24.271103 24.272038 0.000039

18 24.272038 24.272661 0.000026

La raíz es :24.272661075

>>

7.4 PARA OXIDO NÍTRICO

Datos obtenidos:

(P+a.n2

v2 )( v−n .b )=n. R .T

P=1 atmR=0 . 082 L×atm /mol×KT=293. 15 0 K (ambiente )n=1a=1 .340b=0.02789


(1+1 .340⋅(1 )2

v2 ) (v−(1 ) . (0 .02789 ) )=(1 ) . (0. 082 ) . (293 . 15 )

(1+1 .340v2 )⋅(v−0. 02789 )=24 . 0383

(v2+1 .340v2 )⋅(v−0. 02789 )=24 .0383

v3−0 . 02789v2+1 . 340v−0 . 0373726=24 . 0383v2

v3−24 . 06619v2+1.340v−0.0373726=0


% EJERCICIO 7.4x=0:0.05:50;f=x.^3-24.06619*x.^2+1.340*x-0.0373726;plot(x,f,'r')grid ontitle('OXIDO NITRICO')xlabel('-----v-----')ylabel('f(v)')legend('f(v)=v.^3-24.06619*v.^2+1.340*v-0.0373726')gtext( 'RAIZ 1')

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-1

0

1

2

3

4

5

6

7x 10

4 OXIDO NITRICO

-----v-----

f(v)

RAIZ 1

f(v)=v.3-24.06619*v.2+1.340*v-0.0373726


v1¿∈ [ 20 ;25 ]→v0=

20+252

=452

=22 .5


f (v )=0v3−24 .06619 v2+1 .340 v−0 .0373726=0

v=3√24 .06619v2−1.340v+0 .0373726⏟

g (v )

v=g(v ); g (v )=3√24 .06619 v2−1 .340v+0 . 0373726

v=±2√v3+1.340v−0 .0373726

24 .06619⏟g (v )

v=g(v ); g (v )=±2√v3+1 .340v−0.0373726

24 .06619

v=−v3+24 .06619v2+0 .03737261 .340⏟

g (v )

v=g(v ); g (v )=−v3+24 .06619v2+0.03737261.340


g1 ( v )→g1, (22.5 )=|0.6821|<1 (OK )

g2 ( v )→g1, (22.5 )=|1.4497|<1

g3 ( v )→g1, (22.5 )=|-325 . 2026|<1

∴ v0=22. 5 en g1 (v )


n=0

vn+1=g (vn)=3√24 .06619vn2−1.340v n+0 .0373726

v1=g (22 .5 )=3√24 .06619 (22 .5 )2−1 .340 (22.5 )+0 .0373726

v1=22 .9914

n=1

vn+1=g (vn)=3√24 .06619vn2−1.340v n+0 .0373726

v2=g (22 .9914 )=3√24 .06619 (22 .9914 )2−1.340 (22 .9914 )+0 .0373726

v2=23 .3254

n=2

vn+1=g (vn)=3√24 .06619vn2−1.340v n+0 .0373726

v3=g (23 .3254 )=3√24 .06619 (23 .3254 )2−1 .340 (23 .3254 )+0 .0373726

v3=23 .5510

>> puntofijo



it aprox g(x) error

1 22.500000 22.991425 0.021374

2 22.991425 23.325401 0.014318

3 23.325401 23.551015 0.009580

4 23.551015 23.702816 0.006404

5 23.702816 23.804680 0.004279

6 23.804680 23.872912 0.002858

7 23.872912 23.918563 0.001909

8 23.918563 23.949080 0.001274

9 23.949080 23.969470 0.000851

10 23.969470 23.983089 0.000568

11 23.983089 23.992184 0.000379

12 23.992184 23.998255 0.000253

13 23.998255 24.002309 0.000169

14 24.002309 24.005014 0.000113

15 24.005014 24.006821 0.000075

16 24.006821 24.008026 0.000050

17 24.008026 24.008831 0.000034

18 24.008831 24.009368 0.000022

La raíz es :24.009367846

>>

Finalmente Obtenemos que:

Gas a b vDióxido de carbono 3,592 0,04267 23.930083810Dimetilamina 37,49 0,1970 22.590087688Helio 0,03412 0,2370 24.272661075Óxido nítrico 1,340 0,02789 24.009367846

Ejercicio 8T (◦C 150 160 170 180 190 200 210R(%) 35.5 37.8 43.6 45.7 47.3 50.1 51.2

a) Hallar polinomio lineal, cuadrático y cúbico de Lagrange.

P1( x )=Y 0

( x−x1 )( x0−x1)

+Y 1

( x−x0 )( x1−x0 )

P1( x )=(35 . 5)(x−160)

(150−160 )+(37 . 8)

( x−150 )(160−150 )

P1( x )=−3 .55 (x−160)+3 .78( x−150 )P1( x )=0 .23 x+1 POLINOMIO LINEAL

P2 (x )=Y 0

( x−x1)( x−x2 )( x0−x1)( x0−x2 )

+Y 1

( x−x0 )( x−x2 )( x1−x0 )( x1−x2)

+Y 2

(x−x0 )( x−x1 )( x2−x0 )( x2−x1)

P2 (x )=(35 . 5)( x−160 )( x−170 )

(150−160 )(150−170 )+(37 . 8)

( x−150 )( x−170 )(160−150 )(160−170 )

+(43 .6 )(x−150)( x−160 )

(170−150)(170−160)

P2 (x )=(0 .1775)( x−160 )( x−170 )+(−0 .378 )( x−150 )( x−170)+(0 .218 )( x−150 )(x−160)

P2 (x )=0 . 0175x2−5 .195 x+421 POLINOMIO CUADRATICO

P3 ( x )=Y 0

( x−x1)( x−x2 )( x−x3 )( x0−x1 )(x0−x2 )( x0−x3 )

+Y 1

( x−x0 )(x−x2)( x−x3 )( x1−x0 )( x1−x2 )( x1−x3 )

POLINOMIO CUBICO

b) Use el polinomio cuadrático para hallar el rendimiento del proceso a una temperatura de 163C°.

+Y 2

( x− x0 )( x−x1 )( x−x3 )( x2−x0 )(x2−x1 )(x2−x3 )

+Y 3

( x−x0 )( x−x1 )( x−x2 )(x3−x0 )( x3−x1 )( x3− x2 )

P3 ( x )=(35 . 5)( x−160 )( x−170)( x−180 )

(150−160 )(150−170)(150−180)+(37 . 8 )

( x−150 )( x−170 )(x−180)(160−150)(160−170)(160−180)

+(43 . 6)( x−150 )( x−160)( x−180 )

(170−150 )(170−160 )(170−180 )+(45 .7 )

( x−150 )( x−160 )( x−170)(180−150)(180−160)(180−170)

P3 ( x )=(−0 . 005917 )( x−160)( x−170 )( x−180 )+(0 . 0189)( x−150 )( x−170 )(x−180)+(−0 .0218 )( x−150)( x−160 )( x−180 )+(0 .007617)( x−150 )( x−160 )( x−170)P3 ( x )=-0 . 0000012x3+0 .0005935x2 -0 . 097235x+5 . 317

T ( °C )=163 °C=xP2 (163 )=0. 0175 x2−5 . 195 x+421

P2 (163 )=0. 0175(163 )2−5. 195(163 )+421P2 (163 )=39 . 1725 %

c) Use el polinomio cuadrático para hallar la temperatura del proceso a un rendimiento del proceso de 46.5%.

P2 (x )=46 .5 %

46 . 5=0 .0175 x2−5.195 x+4210 .0175 x2−5 .195 x+374 . 5=0

x=−(−5 .195 )±√(−5 . 195)2−4 (0 . 0175)(374 .5 )

2 (0. 0175 )x=173 .5491 MÁS PROBABLEx=123 . 308

d) Se considera un rendimiento óptimo el que va de 38.5 a 45, por lo que la planta trabaja a 175 ◦C. Si la temperatura de trabajo cae a 162 ◦C por una avería, ¿será el proceso satisfactorio hasta que sea reparada?

T ( °C )=162° C=xP2 (163 )=0. 0175 x2−5 . 195 x+421

P2 (163 )=0. 0175(162 )2−5 . 195(162)+421P2 (163 )=38 . 68 %

eejercicios resueltos (método de steffensen)

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