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Método Steffensen..para el cálculo de raíces de ecuaciones.

Universidad Autónoma Gabriel René Moreno – Métodos Numéricos

Método Steffensen

Eliana Montero Reyes

R. Joshep Lujan Pardo

Willian Cardona Terceros

Oscar Reinaldo Calisaya

Luis Alberto Baigorria R.

..para el cálculo de raíces de ecuaciones.

INTEGRANTES:

Un polinomio es una suma de términos llamados monomios.

Un monomio es el producto de un coeficiente, una variable elevada a un exponente (entero positivo).


Método Steffensen

GENERALIDADES

Polinomios

Ejemplos:

Monomio: 5x2

Binomio: 9x7-6

Trinomio: 6y5-7y3-8

f(x) = a0+a1x+a2x2+…+anx

n (ai є Z)


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GENERALIDADES

Cálculo de raíces de ecuaciones

El objeto del cálculo de las raíces de una ecuación es determinar los valores de x para los que se cumple:

f(x) = 0

La importancia radica en que si podemos determinar las raíces de una ecuación también podemos determinar:

• Máximos y Mínimos

• Valores propios de matrices

• Res. sistemas de ecuaciones lineales y diferenciales.


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GENERALIDADES

Reglas para determinar raíces de ecuaciones

Regla de los signos (Renato Descartes)

”El número de raíces ‘positivas’ en un polinomio f(x), es igual al número de cambios de signos término a término de f(x)”

f(x) = x2+x-12 ; Tiene una raíz positiva

g(x) = x3-4x2+x+6 ; Tiene dos raíces positivas

h(x) = x4+4x2+3x ; No tiene raíces positivas

Valores de posibles raíces: Encontrar un conjunto de valores que son candidatos a ser raíces de la ecuación f(x). Esto es si trabajamos con polinomios de la siguiente forma:

f(x)= xn + an-1xn-1 + an-2x

n-2 + an-3xn-3+...+a3x3 + a2x

2 + a1x1 + a0


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GENERALIDADES


El conjunto de posibles raíces de f(x) se forma con los divisores de a0 (término independiente), hay que considerar estos divisores tanto con signo positivo como con negativo.

GENERALIDADES


Función Divisores Raíces

x2 + x-121,2,3,4,6,12

-1,-2,-3,-4,-6,-12-4 y 3

x3-2x2-5x+61,2,3,6

-1,-2,-3,-6-1,2 y 3

x4-5x2+41,2,4

-1,-2,-4-1,-2,1 y 2

Nota: Éste método es poco potente por lo que solo nos sirve como una orientación para el cálculo de raíces de ecuaciones.


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Método Steffensen

BIOGRAFÍA

Johan Frederik Steffensen (1873–1961)

Nacido en abril de 1873 en Copenhague (Dinamarca).

Desde muy temprano (12 años) se introdujo en el campo de las matemáticas, haciendo investigaciones sobre el cálculo numérico.

Especialista en matemáticas y estadística. Realizó investigaciones al cálculo de diferencias finitas e interpolación.

Los diferentes estudios e investigaciones realizados, lo llevaron a descubrir un algorítmo que permite calcular las raíces en ecuaciones no lineales.

Falleció en septiembre de 1961.


Método Steffensen

BIOGRAFÍA

Johan Frederik Steffensen (1873–1961)

Método numérico que nos permite calcular la raíz de una ecuación.

A diferencia del método de la secante, presenta una convergencia rápida hacia la raíz.

El proceso de iteración solo necesita un punto inicial (p0).


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INTRODUCCIÓN AL MÉTODO

Definición/Ventajas

- Dada la función:


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Proceso de resolución

- Creamos otra función despejando la variable de mayor grado, así tenemos:


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- Considerando el punto inicial P0 , encontramos el

valor de Xi entonces tenemos:


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- Recordando..


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- Finalmente, teniendo los puntos: Xi , Yi , Zi.

Reemplazamos en la fórmula general de Steffensen:

Dada la función: f(x) = x3-x-1 y el punto inicial x0=1. Calcular la raíz de la ecuación con un error absoluto de 0,005.


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ALGUNOS EJEMPLOS

Demostración:

1º Paso: Se debe calcular G(x). Para obtener G(x) se tiene que despejar de F(x) la variable de mayor exponente, en el presente caso seria x3.

-Igualando la ecuación a 0 (cero):

x3 – x - 1 = 0


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ALGUNOS EJEMPLOS

Demostración:

- Despejando x3 tenemos:

3 1 ( )x x G x 2º Paso: Dado el punto inicial: x0=1, calculamos Y0

reemplazando en G(x) en valor de xi.

0

30

0

(1)

( 1)

1,25992105

y G

y x

y

ALGUNOS EJEMPLOS

Demostración:

3º Paso: Con y0 calculamos z0, reemplazando el valor de y0 en G(x)

0 0

0

( )

1,312293837

z G y

z

4º Paso: Calculamos x(i+1) con la fórmula:

2

12

i i

i i

i i i

z yx z

z y x


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ALGUNOS EJEMPLOS

Demostración:

5º Paso: Calculamos el error relativo porcentual con la fórmula correspondiente:

*100

actual anterior

a

actual

V VE

V

Repetimos desde el 2º paso las iteraciones que sean necesarias para satisfacer la condición de error que nos dan. Así tenemos:

ALGUNOS EJEMPLOS

Demostración:

I Xi Yi Zi X(i+1) E%

0 1 1.2599215 1.312293837 1.308832542 -----

1 1.308832542 1.321693675 1.324143255 1.324134441 1.16%

2 1.324134441 1.324607111 1.324696902 1.32469689 0.04%

Cumple el error relativo porcentual


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PRESENTACIÓN DEL SOFTWARE

Diagrama de flujo


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